FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý, Oto Přibyl 4

3 Obsah Dvojný integrál 4. Úvod Cíle kapitoly Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu Dvojný integrál na elementárních oblastech v rovině Transformace dvojného integrálu Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu Obsah rovinného obrazce Objem válcového tělesa Obsah plochy Hmotnost tenké rovinné desky Statický moment tenké rovinné desky Těžiště tenké rovinné desky Moment setrvačnosti tenké rovinné desky Kontrolní otázky, autotest Trojný integrál 33. Úvod Cíle kapitoly Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Trojný integrál na trojrozměrném intervalu Trojný integrál na elementární oblastech v prostoru Transformace trojného integrálu Geometrické a fyzikální aplikace trojného integrálu Objem tělesa Hmotnost tělesa Statický moment tělesa Těžiště tělesa Moment setrvačnosti tělesa Kontrolní otázky, autotest Studijní prameny. 54 3

4 Dvojný integrál. Úvod.. Cíle kapitoly Tato kapitola Vás seznámí: s konstrukcí Riemannových integrálních součtů pro funkci dvou proměnných na dvojrozměrném intervalu a jejich využitím pro definici dvojného integrálu. Je zapotřebí dobře zvládnout Fubiniovu větu, která nám umožní převádět dvojné integrály na dvojnásobné. Pro její použití musíte umět popsat oblasti prvního a druhého druhu a základní vlastnosti dvojného integrálu. s větou o transformaci dvojného integrálu. Je zapotřebí ji umět použít zejména při transformaci do zobecněných polárních souřadnic nebo při transformaci posunutí. Pro tyto transformace je také potřebné umět odvodit jakobián. se základními geometrickými a fyzikálními aplikacemi dvojného integrálu. Měli byste znát vztahy pro výpočet a umět je zdůvodnit na základě integrálních součtu a vlastností dvojných integrálů... Požadované znalosti Pro zvládnutí dvojných integrálů je nezbytné dobře zvládnout problematiku modulu Určitý integrál...3 Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu dvojného integrálu na 5 hodin. Pro získání zkušeností a zručnosti ve výpočtu bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na dosavadní početní praxi studenta...4 Klíčová slova Dělení dvojrozměrného intervalu, norma dělení, Riemannův integrální součet, dvojný Riemannův integrál, funkce integrabilní na intervalu, dvojnásobný integrál, Fubiniho věta, oblast prvního a druhého druhu v R, základní vlastnosti dvojného integrálu, Jacobiho matice, jakobián, věta o transformaci dvojného integrálu, zobecněné polární souřadnice, geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu. 4

5 . Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu Uvažujme interval I = a, b c, d R a necht Dm, x resp. Dn y je dělení a, b, resp. c, d s dělicími body a = x < x < < x m = b a c = y < y < < y n = d. Uspořádanou dvojici (Dm, x Dn) y (pro stručnost budeme značit tuto dvojici D mn ) nazýváme dělením intervalu I (viz Obr.). Každý interval I ij = x i, x i y j, y j, i =,..., m, j =,..., n nazýváme částečným intervalem dělení D mn. Říkáme, že systém intervalů I ij pokrývá interval I. Obsah (míru) intervalu I ij definujeme µ(i ij ) = (x i x i ) (y j y j ), i =,..., m, j =,..., n. Výraz ν(d mn ) = max ν(dm), x ν(dn)} y nazýváme normou dělení. Obrázek : Dělení intervalu. Definice.. Necht f je ohraničená funkce na I, D mn dělení I s dělicími body a = x < x < < x m = b a c = y < y < < y n = d. Označme N(D mn ) množinu všech mn-tic bodů M ij I ij. Číslo m n S (f, D mn, N(D mn )) = f (M ij ) µ(i ij ) i= j= nazýváme Riemannovým integrálním součtem funkce f příslušným dělení D mn a mn-tici bodů z N(D mn ). V dalším se budeme ptát, zda existuje lim S (f, D mn, N(D mn )). ν(d mn) 5

6 Definice.. Řekneme, že funkce f má na I R dvojný Riemannův integrál právě tehdy, když existuje konečná limita lim S (f, D mn, N(D mn )), ν(d mn) která nezávisí jak na volbě posloupnosti (D mn ), tak na výběru mn-tic bodů z N(D mn ). Tuto limitu značíme I f (x, y) dxdy. Jestliže integrál existuje, řekneme, že funkce f je integrabilní (integrovatelná) na intervalu I, a píšeme f R(I). Následující věta nám zaručuje existenci integrálu: je inte- Věta.. Každá funkce spojitá na intervalu I = a, b c, d R grovatelná. Věta.. Necht f je integrovatelná na I = a, b a, b R. (a) Jestliže pro každé x a, b existuje J (x) = b a f (x, y) dy, pak platí I f (x, y) dxdy = b a J (x) dx = b d a c f (x, y) dy dx. () (b) Jestliže pro každé y a, b existuje K (y) = b a f (x, y) dx, pak platí I f (x, y) dxdy = b a K (y) dy = b b a a f (x, y) dx dy. () 6

7 Důkaz. Důkaz provedeme pouze pro funkci spojitou na intervalu I. Z Věty o integrálech závislých na parametru plyne, že funkce J (x) = b a f (x, y) dy je na intervalu a, b spojitá a tedy integrabilní. Uvažujme dělení intervalu I = a, b a, b uvedené v definici dvojného integrálu. Pak platí b J (ξ k ) x k = f (ξ k, y) dy n y l x k = f (ξ k, y) dy x k. a l=y l Dle věty o střední hodnotě pro jednorozměrný integrál lze psát Odtud dostáváme m J (ξ k ) x k = k= = a to je integrální součet pro y l y l f (ξ k, y) dy = f (ξ k, η l ) y l. m n y l f (ξ k, y) dy x k k= l=y l ( m n ) m n f (ξ k, η l ) y l x k = f (ξ k, η l ) µ (I kl ), k= l= k= l= I f(x, y) dxdy. Poznámka.. Integrály v koncových členech řetězců rovností () a () se nazývají dvojnásobné. Příklad.. Vypočtěte integrál ye xy dxdy na I =,, R. I Řešení: Funkce y e xy je spojitá na I a podle Věty. integrál existuje. y e xy dxdy = y e xy dx dy = K (y) dy. I K (y) = y K (y) dy = e xy dx = y [ ] y exy = e y. (e y ) dy = [e y y] = e e. 7

8 Poznámka.. Dá se jednoduše ukázat, že pokud f je integrovatelná funkce typu f(x, y) = f (x) f (y) pro [x, y] a, b a, b, můžeme v řetězcích rovností () () dále psát: f (x, y) dxdy = K (y) dy = I a a b f (x, y) dxdy = J (x) dx = I a kde b J i = b i b b a a b d a a i f i (u) du pro i =,. c f (x, y) dx dy = J J f (x, y) dy dx = J J, Příklad.. Vypočtěte integrál e x+y dxdy na I =,, R. I Řešení: Funkce f(x, y) e x+y = e x e y je spojitá na I a podle Věty. integrál existuje. Ve smyslu předchozí poznámky pak máme: e x e y dxdy = e x e y dx dy I = e u du = (e )..3 Dvojný integrál na oblastech prvního a druhého druhu v R. Zavedeme pojem elementární oblasti v rovině: Elementární oblast I. druhu v rovině je množina I = [x, y] R : a < x < b, g(x) < y < G(x) }, kde g a G jsou spojité funkce na intervalu a, b a g(x) G(x) pro každé x a, b. Elementárníoblast II. druhu v rovině je množina II = [x, y] R : c < y < d, h(y) < x < H(y) }, kde h a H jsou spojité funkce na intervalu c, d a h(y) H(y) pro každé y c, d. 8

9 Elementární oblasti I. a II. druhu v rovině. Poznámka.3. Všude v dalším textu této kapitoly budeme místo elementární oblast I. nebo II. druhu v rovině zkráceně mluvit o oblasti I. nebo II. druhu. Cvičení.. Zakreslete dané množiny:. A = [x, y] R : x y, y } ;. B = 3. = 4. C = 5. D = } [x, y] R : x y x ; } [x, y] R : x + y < x ; } [x, y] R : /x < y < /x, y < x < 3y, x >, y > ; } [x, y] R : < x + y < 4, x >, y >. Průvodce studiem Předchozí látka je velice důležitá! Nikdy nespočtete dvojný integrál, pokud nemáte správnou představu o integračním oboru. Proto byste neměli dále pokračovat, dokud si určování oblastí I. a II. druhu řádně neprocvičíte. Věta.3. (Fubiniho věta) (a) Necht existuje f(x, y) dxdy a pro každé x a, b necht existuje integrál I J (x) = G(x) g(x) 9 f (x, y) dy.

10 Pak existuje také dvojnásobný integrál a platí rovnosti b G(x) f (x, y) dy dx a g(x) b b G(x) f (x, y) dxdy = J (x) dx = f (x, y) dy dx. I a a g(x) (b) Necht existuje II f(x, y) dxdy a pro každé y c, d existuje integrál K (y) = H(y) h(y) Pak existuje také dvojnásobný integrál a platí rovnosti II f (x, y) dxdy = d H(y) c d c h(y) f (x, y) dx. f (x, y) dx dy K (y) dy = d H(y) c h(y) f (x, y) dx dy. Věta.4. Necht R je elementární oblast prvního nebo druhého druhu a necht funkce f je na spojitá a ohraničená. Pak je funkce f na integrabilní. Poznámka.4. Integrovatelnost a hodnota dvojného integrálu nezávisí na chování funkce v konečném počtu bodů integračního oboru, nebo na sjednocení konečného počtu křivek konečné délky. Je tedy v předešlých větách nepodstatné, jestli integrujeme přes otevřený integrační obor, nebo jestli přidáme k tomuto oboru jakoukoliv část hranice oboru. Příklad.3. Vypočtěte integrál y x + y dxdy, kde = [x, y] R : < x < y, y < x}.

11 Řešení: Množina je oblast prvního druhu v R a funkce y/(x + y ) je na spojitá a ohraničená. Podle Věty.4 integrál existuje a můžeme na výpočet použít Větu.3. J (x) = = = x x y x + y dy dx = u = x + y y dy = du y = x.. x u = x..x + x x +x x [ ln u u du ] x +x x = ( ln(x + x) ln(x ) ) = ln x + x. J (x) dx. x y x + y dy dx = x [ ] ln(x + ) ln(x) dx = (5 ln 3 ln 3). Věta.5. (Základní vlastnosti dvojného integrálu.) Necht,, jsou oblasti prvního nebo druhého druhu a necht f, g R() (tzn. f a g jsou funkce integrovatelné na ). Pak platí: (a) ( ) f(x, y) + g(x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + g (x, y) dxdy. (b) kf (x, y) dxdy = k f (x, y) dxdy, kde k R. (c) Jestliže pro každé [x, y] platí f (x, y) g (x, y), pak f (x, y) dxdy g (x, y) dxdy.

12 (d) f R () a platí f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy. (e) Jestliže pro každé [x, y] platí že f (x, y) M, pak f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy Mµ (). (f) Jestliže int int =, f R( ) a f R( ), pak je funkce f integrovatelná na a platí (g) f g R (). f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy. (h) Jestliže je funkce f spojitá na, pak existuje bod [ξ, η] tak, že f (x, y) dxdy = f (ξ, η) µ (). Poznámka.5. Symbolem µ() budeme v této kapitole rozumět míru (obsah) elementární oblasti. Symbolem int značíme tzv. vnitřek množiny. Je to zjednodušeně řečeno,,množina uvažovaná bez své hranice. Symbolem značíme tzv. uzávěr množiny. Je to zjednodušeně řečeno,,množina uvažovaná spolu se svou hranicí. Úkol pro vás: Ukažte, že z tvrzení h) Věty.5 plyne následující jednoduchý důsledek: µ() = dxdy. Cvičení.. Graficky znázorněte obory integrace a spočtěte integrály: }. x dxdy, kde M = [x, y] R : x < y, 4x + y < ;. M M e x y dxdy, kde M = [x, y] R : y >, y <, x >, y > } x ; [ 4 ] 3 3 [ ] e 3

13 3. 4. M M x y dxdy, kde M = [x, y] R : x < 3, } x < y < 4x ; y } x + y dxdy, kde M = [x, y] R : < x < y, y < x. [ ( 5 ln )] [ (5 ln 3 ln 3) ].4 Transformace dvojného integrálu Necht R je otevřená množina. Uvažujme funkce ϕ, ψ : R a G : R, G = (ϕ, ψ) takové, že: a) ϕ, ψ C (), tj. ϕ, ψ jsou spojitě diferencovatelné na ; b) G = (ϕ, ψ) je prosté zobrazení, tj. pro všechna [u, v ], [u, v ] platí: Jestliže [u, v ] [u, v ], pak G(u, v ) G(u, v ). Uvažujme libovolný dvojrozměrný interval (tj. obdélník) I o vrcholech V, V, V 3 a V 4 a stranách délky u, v. Transformací G = (ϕ, ψ) se zobrazí obdélník I na,,křivočarý obdélník I = G(I) o vrcholech Q, Q, Q 3 a Q 4 : V = [u, v] Q = [ϕ (u, v), ψ (u, v)], V = [u + u, v] Q = [ϕ (u + u, v), ψ (u + u, v)], V 3 = [u + u, v + v] Q 3 = [ϕ (u + u, v + v), ψ (u + u, v + v)], V 4 = [u, v + v] Q 4 = [ϕ (u, v + v), ψ (u, v + v)]. V dalším se pokusíme alespoň přibližně spočítat obsah obrazce G(I). S použitím Taylorovy věty máme: ϕ (u + u, v) = ϕ (u, v) + ϕ u(u, v) u + R, ϕ (u, v + v) = ϕ (u, v) + ϕ v(u, v) v + R, ψ (u + u, v) = ψ (u, v) + ψ u(u, v) u + R, ψ (u, v + v) = ψ (u, v) + ψ v(u, v) v + R, ϕ (u + u, v + v) = ϕ (u, v) + ϕ u(u, v) u + ϕ v(u, v) v + R, ψ (u + u, v + v) = ψ (u, v) + ψ u(u, v) u + ψ v(u, v) v + R, kde R = R(( u), ( v), u v) jsou zbytky v Taylorově vzorci, které označíme ve všech předešlých výrazech stejně. 3

14 Všechny zbytky v naší úvaze zanedbáme a budeme uvažovat pouze body Q = Q, Q = Q + [ϕ u(u, v) u, ψ u(u, v) u], Q 3 = Q + [ϕ u(u, v) u + ϕ v(u, v) v, ψ u u + ψ v(u, v) v], Q 4 = Q + [ϕ v(u, v) v, ψ v(u, v) v]. Obsah křivočarého lichoběžníka G(I) je přibližně roven obsahu rovnoběžníka Q Q Q 3Q 4 o stranách Q Q a Q Q 4. Obsah tohoto rovnoběžníka je roven dvojnásobku obsahu Q Q Q 4, což z analytické geometrie je absolutní hodnota z determinantu ( x det x y y x 4 x y 4 y ), kde Q = [x, y ], Q = [x, y ], Q 4 = [x 4, y 4]. Po dosazení máme ( ϕ det u (u, v) u, ϕ v(u, v) v, ) ψ u(u, v) u ψ v(u, v) v = = ( ϕ det u (u, v) u, ϕ v(u, v) v ψ u(u, v) u, ψ v(u, v) v ( ) ϕ det u, ϕ v ψ u, ψ u v. v ) 4

15 Matice J (u, v) = ( ϕ u (u, v), ϕ v(u, v) ψ u(u, v), ψ v(u, v) se nazývá Jacobiho matice transformace G = (ϕ, ψ). Determinant J(u, v) = det J (u, v) z této matice se nazývá jakobián této transformace. ) Dospěli jsme k jedné z nejdůležitějších vět této kapitoly: Věta.6. Necht R je otevřená množina a G = (ϕ, ψ) : R je prosté zobrazení takové, že ϕ, ψ C () a jakobián J(u, v) v každém bodě [u, v]. Necht K je uzavřená množina, která je sjednocením konečného počtu elementárních oblastí prvního nebo druhého druhu, a funkce f je spojitá na G(). Pak platí G(K) f (x, y) dxdy = f (ϕ (u, v), ψ (u, v)) J (u, v) dudv. K Poznámka.6. Věta zůstane v platnosti, pokud zobrazení G nebude prosté, nebo jakobián bude roven nule na podmnožinách množiny K uvedených v Poznámce.4, budou-li jejich obrazy při zobrazení G opět množiny uvedených typů v G(K). Pokud funkce f bude ohraničená na G(K), pak také stačí, aby f byla spojitá na G(K) s výjimkou množin uvedených v Poznámce.4. Poznámka.7. Účelem transformace je zjednodušit integrační obor nebo integrovanou funkci. Nejlepší alternativou je, když se podaří zlepšit obojí. Příklad.4. S použitím transformace vypočtěte integrál x = uv ϕ (u, v), y = u ψ (u, v) v arctg (xy) dxdy, kde = [x, y] R : /x < y < /x, y < x < 3y, x >, y > }. Rešení: Funkce arctg(xy) je spojitá a ohraničená na a podle Věty.4 integrál existuje. Daná transformace G(ϕ, ψ) zobrazuje množinu (a, b) (c, d), < a < b, < c < d vzájemně jednoznačně na množinu [x, y] R : a < xy < b, c < x/y < d}. 5

16 Spočtěme jakobián transformace G: J (u, v) = ϕ u ψ u ϕ v ψ v = v u u v u uv v v = v. Úplný vzor množiny je množina Potom podle předchozí věty máme: = [u, v] R : < u <, < v < 3 }. arctg (xy) dxdy = 3 = ln 3 = ln 3 arctg u dv du v [u arctg u ln ( + u )] ( arctg + ln 5 π ). 4 Průvodce studiem Předchozí příklad ukázal, že při zavádění transformačních vztahů se fantazii meze nekladou. Ve vaší budoucí inženýrské praxi se ale budete pravděpodobně potkávat s daleko prozaičtějšími transformacemi. Proto je čas uvést ty nejdůležitější a naučit se s nimi dokonale pracovat. Nejdůležitější typy transformací: Posunutí. Je dáný bod [u, v ]. Transformace G = (ϕ, ψ) daná vztahy x = u + u ϕ (u, v), y = v + v ψ (u, v) posouvá bod [x, y] o orientovanou vzdálenost u ve směru souřadnicové osy x a o orientovanou vzdálenost ve směru souřadnicové osy y. Úkol pro vás: Spočtete jakobián transformace posunutí. Řešení: J (u, v) = ϕ u ψ u ϕ v ψ v = =. 6

17 Obrázek : Integrální součet. Obrázek 3: Transformace posunutí. 7

18 Zobecněné polární souřadnice. Jsou dány konstanty a, b >. Transformace do zobecněných polárních souřadnic je dána vztahy: x = ar cos t ϕ (r, t), y = br sin t ψ (r, t). ϕ ϕ J (r, t) = r t ψ ψ = a cos t ar sin t b sin t br cos t = abr. r t Tato transformace G = (ϕ, ψ) zobrazuje množinu (, ) ( π, π) vzájemně jednoznačně na množinu R \ [x, y] R : x, y = }. Inverzní zobrazení G je dáno vztahy r = x + y, arctg y x > x π t = arctg x x, y > y π arctg x x, y < y Poznámka.8. Speciální případ nastává pro volbu parametrů a = b =. V takovém případě mluvíme o polárních souřadnicích (vypouštíme přívlastek zobecněné). Geometrický význam polárních souřadnic je popsán na Obrázku 4. Obrázek 4: Polární souřadnice. Příklad.5. S použitím transformace do polárních souřadnic vypočtěte integrál ln (x + y ) x + y 8 dxdy,

19 kde = [x, y] R : r < x + y < r, x >, y > }, < r < r. Řešení: Funkce ln(x + y )/(x + y ) je spojitá a ohraničená na a podle Věty.4 integrál existuje. Použijeme transformace do polárních souřadnic podle Věty.6. Vzor množiny je množina [r, t] R : r < r < r, < t < π/}. ln (x + y ) x + y dxdy = = r π/ r = π ln r dt dr = π r r r ln r r ln r = s r = r r r s = ln r ln r dr ( ln r ln r ) = π ln (r r ) ln ln r = π s ds ln r ( ) r. r Průvodce studiem Ze své předchozí početní praxe víte, že při výpočtu určitého integrálu užitím substitučních metod jste často museli substituovat opakovaně. Transformace dvojného integrálu, jak s ní v této kapitole pracujeme, je jenom jistou vícerozměrnou analogií substituční metody pro výpočet určitého integrálu funkce jedné proměnné. Proto se dá čekat, že při řešení některých úloh se setkáme s nutností vhodně kombinovat transformace různých typů. Příklad.6. Kombinací transformace posunutím a převedením do polárních souřadnic spočtěte integrál I = dxdy, kde = [x, y] R : x + y < x }. Řešení: S daným oborem integrace jste se setkali už ve Cvičení.. Jedná se o otevřený kruh se středem v bodě [, ] a poloměrem R =. Pokud si připomeneme tvrzení z Úkolu.3 v předchozí části tohoto modulu, hned vidíme, že I = π. Takže už víme, jaký výsledek vyjde, a mohli bychom s počítáním skončit. Ale neskončíme, protože si chceme procvičit transformování dvojných integrálů. V první kroku transformujeme náš posunutý kruh na kruh symetrický podle počátku souřadnicového systému: x = + u, y = v. Potom podle Věty.6 I = dxdy = 9 dudv,

20 kde = [u, v] R : u + v < }. Přechodem do polárních souřadnic v dalším kroku převedeme jednotkový kruh na dvojrozměrný interval (obdélník): a tedy podle Věty.6 u = r cos t v = r sin t J(u, v) = r = r pro r (, ) I = r drdt, kde = [r, t] R : < r <, π < t < π }. Potom s využitím výsledku z Poznámky. máme hodnotu integrálu I = π π dt [ ] r dr = π r = π. Cvičení.3. Graficky znázorněte obory integrace a užitím vhodných transformací spočtěte integrály:. a x y dxdy, kde M = [x, y] R : x + y < ax } [ ( )] ; a 3 3 π M M M xy dxdy, kde M = [x, y] R : x + y < a } ; x y + x + y dxdy, kde M = [x, y] R : x >, y >, x + y < } ; (x + y )e x y dxdy, kde M = [x, y] R : x + y < }. M [ π [ a4] 8 π 4 ] [ ( )] π e.5 Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu V dalším budeme předpokládat, že může být sjednocením konečného počtu elementárních oblastí prvního nebo druhého druhu.

21 .5. Obsah rovinného obrazce Obsah rovinného obrazce R se spočte s použitím vzorce: µ () = dxdy. Příklad.7. Vypočtěte obsah množiny = [x, y] R : y x 5 <, y > x, x < }. Řešení: Vyjádříme-li např. množinu = + (viz obr.??), pak platí µ ( ) = = 3 y+ dxdy = y 5 [ y 3 3 y3 + 6y] dx dy = 3 = 5 6 [m ]. ( y y + 6 ) dy Dále Odtud µ ( ) = = 4 x+5 dxdy = x [ (x + 5) 3 3 x + x dy dx = ] 4 4 = ( x + 5 x + ) dx 7 [m ]. µ () = µ ( ) µ ( ) = [m ]. 3

22 Příklad.8. Vypočtěte obsah množiny = [x, y] R : x + y 6y <, x + y y >, x < y < 3x }. Řešení: Použijeme transformace do polárních souřadnic podle Věty.6. Vzor množiny je množina [r, t] R : sin t < r < 6 sin t, π/4 < t < π/3}. µ () = = 6 dxdy = π/3 π/4 π/3 π/4 sin t dt = 8 6 sin t sin t π/3 π/4 = 3 π [m ]. r dr dt = π/3 π/4 [ ] 6 sin t r dt sin t ( cos t) dt = 8 [t ] π/3 sin t π/4 Cvičení.4. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah rovinné desky A = [x, y] R : xy < a, x > ay, y < a, x > }, a >. Výsledek: µ(a) = a ( 3 + ln )..5. Objem válcového tělesa K R 3. Mějme dáno těleso K = [x, y, z] R 3 : [x, y], g (x, y) < z < f (x, y) }, kde R, f, g jsou spojité a ohraničené na. Pak objem tohoto tělesa je dán vzorcem ( ) V (K) = f (x, y) g (x, y) dxdy. Příklad.9. Vypočtěte objem tělesa K = [x, y, z] R 3 : [x, y], z x + y }, kde = [x, y] R : x < y < x }.

23 Řešení: V (K) = = = = ( (f (x, y) g (x, y)) dxdy = x + y ) dxdy x x ( x + y ) dy dx = (x 5/ + 3 x3/ x 4 ) 3 x6 dx ( [ x y + 3 y3 [ 7 x7/ + 5 x5/ 5 x5 ] x7 = 6 35 [m3 ] ] ) x x dx Cvičení.5. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa:. = [x, y, z] R 3 : z >, z < x + y, x + y > x, x + y < x } ;. = 3. 3 = } [x, y, z] R 3 : z > (x + y ), z < x + y ; [x, y, z] R 3 : < z < 4 y, y > x } ; Výsledky: µ( ) = 45 3 π, µ( ) = 5 48 π, µ( 3) = Obsah plochy Obsah části plochy kde f C () je dán vzorcem S = [x, y, z] R 3 : z = f(x, y), [x, y] R }, P (S) = + ( f x ) (x, y) + ( ) f (x, y) dxdy. y Příklad.. Vypočtěte obsah části plochy S = } [x, y, z] R 3 : z = 4 x y, x /4 + y <, < x <. 3

24 Řešení: Označme = [x, y] R : x /4 + y < }. P (S) = = = 8 [ + x 4 x y + y 4 x y dxdy 4 x y dxdy = 8 arcsin x /4 ] x y /4 dx = 8 arcsin 4 x 4 x y dy dx dx = 4 3 π [m ]. Cvičení.6. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte:. Obsah části plochy paraboloidu z = x +y za podmínky [ [ < z < a, kde a > je konstanta; ( + 4a) ]] + 4a. Obsah části plochy x + z = ohraničený rovinami y =, z =, x + y =. [π].5.4 Hmotnost tenké rovinné desky R. Plošnou hustotou rovinné desky rozumíme funkci dvou proměnných σ (x, y), která je definována vztahem m (U r (x, y ) ) lim r + µ (U r (x, y ) ) = σ (x, y ) pro každé [x, y ]. Hmotnost tenké rovinné desky o plošné hustotě σ (x, y) je dána vztahem m () = σ (x, y) dxdy, [kg]. π 6 Příklad.. Vypočtěte hmotnost rovinného obrazce A = [x, y] R : 4 < x + y < 9, x >, y > }, je-li σ(x, y) ln (x + y ) [kg m ] plošná hustota. x + y ln (x + y ) Řešení: m(a) = dxdy. Podle Příkladu.5 pak máme x + y A m(a) = π ln 6 (ln 3 ln ) [kg]. 4

25 .5.5 Statický moment tenké rovinné desky Statický moment tenké rovinné desky R s plošnou hustotou σ(x, y) vzhledem k přímce p je S p = d ([x, y], p) σ (x, y) dxdy [kg m], kde d ([x, y], p) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. S x = y σ (x, y) dxdy, S y = x σ (x, y) dxdy..5.6 Těžiště tenké rovinné desky R. [ Sy T = m, S ] x. m Příklad.. Uvažujme obrazce = [x, y] R : k x y k x, x, y }, = [x, y] R : x /a + y /b, x /k a + y /k b }, kde < k <, k < k. Vypočtěte těžiště tenké homogenní rovinné desky = s plošnou hustotou σ (x, y) [kg m ]. Řešení: Použijeme transformace do zobecněných polárních souřadnic. x = ar cos t = ϕ (r, t), y = br sin t = ψ (r, t). Jacobián J = abr. Z těchto rovnic dostáváme y x = b tg t. a Z této rovnice dostáváme, že t = arctg(ak /b) t arctg(ak /b) = t. m = σ (x, y) dxdy = = ab (t t ) k dxdy = ab r dr = ab ( k ) (t t ) k t r dt dr t kg. 5

26 S x = yσ (x, y) dxdy = = ab (cos t cos t ) k y dxdy = ab k t r sin t dt dr r dr = 3 ab ( k 3) (cos t cos t ) t [kg m]. S y = xσ (x, y) dxdy = = a b (sin t sin t ) T = [ a (k + k + ) (sin t sin t ) k 3 (k + ) (t t ) x dxdy = a b k t r cos t dt dr r dr = 3 a b ( k 3) (sin t sin t ) t [kg m]., b ] (k + k + ) (cos t cos t ). 3 (k + ) (t t ) Cvičení.7. Vypočtěte těžiště homogenní rovinné desky:. = [x, y] R : (x ) + (y ) <, x >, y > } ;. = [x, y] R : x + y <, y < x +, y > } ; [ T = [ [ ] T = [, ], ]] 3(π+) π = [x, y] R : xy > a, y < 8ax, x < a }, a > ; 4. 4 = [x, y] R : b x + a y < a b, x >, y > }. [ [ T = 4a, ]] 4b 3π 3π.5.7 Moment setrvačnosti tenké rovinné desky Moment setrvačnosti tenké rovinné desky R s plošnou hustotou σ(x, y) vzhledem k přímce p je I p = d ([x, y], p) σ (x, y) dxdy, [kg m ], kde d ([x, y], p) je vzdálenost bodu [x, y] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. I x = y σ (x, y) dxdy, I y = x σ (x, y) dxdy. 6

27 Příklad.3. Vypočtěte momenty setrvačnosti I x, I y homogenní tenké rovinné desky = [x, y] R : x 3x + y <, y + x > } s konstantní hustotou σ(x, y) σ [kg m ]. Řešení: I y = x σ (x, y) dxdy = σ I x = = σ x [y] x +3x x = 6 5 σ [kg m ]. = σ dx = σ y σ (x, y) dxdy = σ [ 3 y3 ] x +3x x x +3x x x dy dx ( x 4 + 4x 3) dx = σ [ 5 x5 + x 4 ] dx = 3 σ = 3 σ [ 8 7 x7 + 6x x5 + 7x 4 x +3x x y dy dx ( 8x x 5 54x 4 + 8x 3) dx ] = 44 5 σ [kg m ]. Příklad.4. Vypočtěte momenty setrvačnosti I x, I y homogenní tenké rovinné desky = [x, y] R : r < x + y < r}, kde r < r, s konstantní hustotou σ(x, y) σ [kg m ]. 7

28 Řešení: Vzhledem k symetrii platí, že I x = I y a můžeme počítat kterýkoliv z nich. I x = y σ (x, y) dxdy = σ π r r = 4 σ ( r 4 r 4 = 8 r 3 sin t dr dt ) π cos t dt ( r 4 r 4 ) σ [t sin t ] π = 4 πσ ( r 4 r 4 ) [kg m ]. Často se v technické praxi může využít následující tvrzení: Věta.7. (Steinerova věta.) Jestliže máme dvě rovnoběžné přímky p a p, h je jejich kolmá vzdálenost a první z nich prochází těžištěm desky, pak momenty setrvačnosti vzhledem k těmto přímkám jsou svázány vztahem kde m() je hmotnost desky. I p () = I p () + h m (), Příklad.5. Vypočtěte momenty setrvačnosti I x, I y homogenní tenké rovinné desky = [x, y] R : (x x ) + (y y ) > r, (x x ) + (y y ) < r }, r < r s konstantní hustotou σ(x, y) = σ. Řešení: Vzhledem k symetrii a homogenitě desky víme, že těžiště je v bodě [x, y ] a můžeme využít předešlou větu: I x = I x + y m = 4 πσ ( r 4 r 4 ) + πσ ( r r ) y = 4 πσ ( r r ) ( r + r + 4y ) kgm, kde x je přímka procházející bodem [x, y ] rovnoběžná s osou x. I y = I y + x m = 4 πσ ( ( r 4 r) 4 + πσ r r) x = 4 πσ ( ( ) r r) r + r + 4x kgm. kde y je přímka procházející bodem [x, y ] rovnoběžná s osou y. 8

29 Cvičení.8. Vypočítejte moment setrvačnosti vzhledem k ose x daného homogennho segmentu:. S = [x, y] R : y < h } [ b x + h, y >, kde h >, b > ; 3 5 bh3]. S = [x, y] R : x + y < r, y < a }, kde < a r jsou konstanty. Průvodce studiem Právě jste ukončili studium první kapitoly této studijní opory. Než přejdete studiu dalšího učiva, je důležité, aby jste si dosud probranou látku zažili a získali početní praxi. Pokud jste úspěšně vyřešili všechny úlohy, které byly průběžně zadávány na konci každé podkapitoly, bylo by dobré vzít si některou dostupnou sbírku příkladů a dále počítat. 9

30 .6 Kontrolní otázky, autotest Otázky pro vás: Co je to Riemannův integrální součet funkce dvou proměnných na dvojrozměrném intervalu? Jaká je postačující vlastnost funkce pro to, aby byla na dvojrozměrném intervalu integrovatelná? Co jsou oblasti. a. druhu v R? Zformulujte Fubiniovu větu pro dvojný integrál. K čemu ji používáme? Uved te základní vlastnosti dvojného integrálu. Jak je definován jakobián zobrazení G(ϕ, ψ), kde G : A R, A R, přičemž x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v). Uved te větu o transformaci dvojného integrálu. Jak se definují transformace posunutí a transformace do zobecněných polárních souřadnic v R? Jaké znáte geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu? Uved te vztahy pro jejich výpočet. 3

31 Autotest Vzorové zadání kontrolního testu. Matematika,. semestr Zpracoval: Test č. 3 Jméno: Adresa: A. Načrtněte obory D a vypočtěte integrály: ) ) 3) 4) D D D D dxdy, je-li D = 3, 4, ; x + y x y cos ( xy ) dxdy, je-li D =, π, ; ( x + y ) dxdy, je-li D = [x, y] R : y x, y x } ; (x )y dxdy, je-li D = [x, y] R : y x, y +, x } ; B. Načrtněte obory D a vypočtěte integrály transformací do polárních nebo zobecněných polárních souřadnic: 5) 6) 7) 8) 4 D D 6 x ln ( + x + y ) dy dx; r x y dxdy, je-li D = [x, y] R : x + y rx }, r > ; arctg y x dxdy, je-li D = [x, y] R : x + y 9, x y 3 3x }, r > ; x a y b dxdy, je-li D = [x, y] R : b x + a y a b }, kde a > D, b > ; C. Načrtněte rovinný obrazec A a vypočtěte jeho obsah: 9) A = [x, y] R : (x ) 3 y x +, x 3 y } ;

32 ) A = [x, y] R : x + y 4, x + y } ; D. Načrtněte plochu S a vypočtěte její obsah: ) S = [x, y, z] R 3 : 6x + 3y + z =, x, y, z } ; ) S = [x, y, z] R 3 : x + y = z, x + y } ; E. Načrtněte rovinný obrazec A a vypočtěte souřadnice (souřadnici) těžiště tohoto obrazce, je-li σ(x, y) x plošná hustota daného obrazce: 3) x T rovinného obrazce A = [x, y] R : x + y r, x y }, kde r > ; 4) T rovinného obrazce A = [x, y] R : 4x + y 4, x, y }. př opravil(a) max. bodů 4 zís. bodů 3

33 Trojný integrál. Úvod.. Cíle kapitoly Následující odstavce vás předběžně seznámí s obsahem této kapitoly a přestaví vám studijní cíle, kterých máte dosáhnout: Na základě integrálních součtů je podaná definice trojného integrálu. Po zavedení oblastí prvního, druhého a třetího druhu je uvedena Fubiniova věta. Měli byste ji umět zformulovat pro všechny tři zavedené druhy oblastí a zejména zvládnout řešit příklady na základě této věty. Jde o základní výpočtovou metodu a je proto nezbytné získat dostatečné zkušenosti na základě početní praxe. Projděte si proto pozorně vyřešené příklady a spočítejte si samostatně příklady ze cvičení. Podobně jako pro dvojný integrál jsou zde uvedeny také vlastnosti trojného integrálu. Zavedení jakobiánu pro zobrazení určené třemi funkcemi tří proměnných nám umožní rozšířit větu o transformaci také pro trojný integrál. Je zapotřebí umět odvodit jakobiány transformací do zobecně-ných cylindrických a sférických souřadnic a znát geometrický význam těchto souřadnic. Protože jde o zásadní problematika, která nám umož-ňuje zjednodušit výpočet trojných integrálů, jejichž přímý výpočet pomocí Fubiniovy věty by byl příliš komplikovaný, je vhodné získat praktické početní zkušenosti vyřešením dostatečným počtem příkladů. Je podán přehled základních geometrických a fyzikálních aplikací trojného integrálu. Opět byste měli umět vztahy pro výpočet vysvětlit na základě integrálních součtů a vlastností trojného integrálu... Požadované znalosti Pro zvládnutí trojných integrálů je nezbytné dobře zvládnout problematiku dvojných integrálů a umět rovnice a grafy základních ploch v prostoru R Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu trojného integrálu na hodin. Pro získání zkušeností a zručnosti ve výpočtu bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na dosavadní početní praxi studenta...4 Klíčová slova Dělení trojrozměrného intervalu, norma dělení, Riemannův integrální součet, trojný Riemannův integrál, oblast prvního, druhého a třetího druhu v R 3, Fubiniho věta, 33

34 Jacobiho matice, věta o transformaci trojného integrálu, zobecněné cylindrické souřadnice, zobecněné sférické souřadnice, geometrické a fyzikální aplikace trojného integrálu.. Trojný integrál na trojrozměrném intervalu Uvažujme interval I = a, b c, d e, f R 3. Necht Dm, x resp. Dn, y resp. Dl z je dělení a, b resp. c, d, resp. e, f s dělicími body x, x,..., x m a y, y,..., y n resp. e, f s dělicími body z, z,..., z l. Uspořádanou trojici D mnl = (Dm, x Dn, y Dl z ) nazýváme dělením intervalu I. Každý interval I ijk = x i, x i y j, y j z k, z k I pro i =,,..., m, j =,,..., n a k =,,..., l nazýváme částečným intervalem dělení D mnl. Objem (míru) I ijk definujeme jako µ(i ijk ) = (x i x i ) (y j y j ) (z k y k ). Výraz } ν(d) = max ν(dm), x ν(dn), y ν(dl z ) nazýváme normou dělení. Definice.. Necht f je ohraničená funkce na I, D mnl dělení I s dělicími body x, x,..., x m, y, y,..., y n, z, z,..., z l. Označme N(D mnl ) množinu všech mnl-tic bodů M ijk I ijk. íslo m n l S (f, D mnl, N(D mnl )) = f (M ijk ) µ(i ijk ) i= j= k= nazýváme Riemannovým integrálním součtem funkce f příslušným dělení D mnl a mnl-tici bodů z N(D mnl ). V dalším se samozřejmě budeme ptát, zda existuje lim S (f, D mnl, N(D mnl )). ν(d mnl ) 34

35 Definice.. Řekneme, že funkce f má na I trojný Riemannův integrál právě tehdy, když existuje konečná limita lim S (f, D mnl, N(D mnl )), ν(d) která nezávisí jak na volbě posloupnosti (D mnl ), tak na výběru mnl-tic bodů z N(D mnl ). Tuto limitu značíme I f (x, y, z) dxdydz. Jestliže integrál existuje, řekneme, že funkce f je integrabilní (integrovatelná) na intervalu I. Následující věta nám zaručuje existenci integrálu. Věta.. Každá funkce spojitá na intervalu I R 3 je integrovatelná na I..3 Trojný integrál na elementární oblastech v R 3 Oblast I. druhu je množina I = [x, y, z] R 3 : [x, y] xy R, g (x, y) < z < h (x, y) }, kde xy je oblast I. nebo II. druhu v rovině xy, g, h jsou spojité funkce na xy a g (x, y) h (x, y) pro každé [x, y] xy ; Oblast II. druhu je množina II = [x, y, z] R 3 : [x, z] xz, R, g (x, z) < y < h (x, z) }, kde xz, je oblast I. nebo II. druhu v rovině xz, g, h jsou spojité funkce na xz a g (x, z) h (x, z) pro každé [x, z] xz Oblast III. druhu je množina III = [x, y, z] R 3 : [y, z] yz, R, g 3 (y, z) < x < h 3 (y, z) }, kde yz, je oblast I. nebo II. druhu v rovině yz, g 3, h 3 jsou spojité funkce na yz a g 3 (y, z) h 3 (y, z) pro každé [y, z] yz. Nyní můžeme formulovat analogicky, jak pro dvojný integrál, Fubiniho větu pro trojný integrál. Věta.. (Fubiniho věta) 35

36 (a) Necht funkce f je integrovatelná na množině I. Jestliže pro každé [x, y] xy je funkce f (x, y, z) (nyní proměnné z) integrovatelná na intervalu g (x, y), h (x, y), pak funkce F (x, y) = je integrovatelná na xy a platí I f (x, y, z) dxdydz = = h (x,y) g (x,y) f (x, y, z) dz F (x, y) dxdy xy h (x,y) f (x, y, z) dz dxdy. xy g (x,y) (b) Necht funkce f je integrovatelná na množině II. Jestliže pro každé [x, z] xz je funkce f (x, y, z) (nyní proměnné y) integrovatelná na intervalu g (x, z), h (x, z), pak funkce F (x, z) = je integrovatelná na xz a platí II f (x, y, z) dxdydz = = h (x,z) g (x,z) f (x, y, z) dy F (x, z) dxdz xz h (x,z) f (x, y, z) dy dxdz. xz g (x,z) (c) Necht funkce f je integrovatelná na množině III. Jestliže pro každé [y, z] yz je funkce f (x, y, z) (nyní proměnné x) integrovatelná na intervalu g 3 (y, z), h 3 (y, z), pak funkce F 3 (y, z) = je integrovatelná na yz a platí III f (x, y, z) dxdydz = = h 3 (y,z) g 3 (y,z) yz yz f (x, y, z) dx F 3 (y, z) dydz h 3 (y,z) g 3 (y,z) f (x, y, z) dx dydz. 36

37 Věta.3. Necht R 3 je elementární oblast prvního, druhého nebo třetího druhu a necht funkce f je na množině spojitá a ohraničená. Pak je funkce f na integrabilní. Poznámka.. Integrovatelnost a hodnota trojného integrálu nezávisí na chování funkce v konečném počtu bodů integračního oboru, v sjednocení konečného počtu křivek konečné délky, nebo v konečném sjednocení jednoduchých ploch konečného obsahu. Je tedy v předešlých větách nepodstatné, jestli integrujeme přes otevřený integrační obor, nebo jestli přidáme k tomuto oboru jakoukoliv část hranice oboru. Příklad.. Vypočtěte integrál I = x (z ) 3 dxdydz na = [x, y, z] R 3 : 6x + 3y + z <, z > 3, x >, y > }. Řešení: Množina je oblast prvního druhu v R 3 a funkce f(x, y, z) = x/(z ) 3 je spojitá a ohraničená na a podle Věty.3 integrál existuje a můžeme použít Větu.. I = x 6 3x 3y/ = = = 3 x x 3 [ x [ x (z ) 3 dz dy dx (z ) ] 6 3x 3y/ 3 dy dx x ( 4 3x 3 y) x dy dx x 4 3x 3 y xy ] x dx = 3 = [ 3 3 x3 x + 3 x + 4 ] 9 ln 3x 4 = ln. 7 ( x + x + x ) dx 3x 4 Příklad.. Vypočtěte integrál I = z dxdydz na = [x, y, z] R 3 : z >, x + y < R, z < h R x + y }, h >, R > jsou dané konstanty. 37

38 Řešení: Množina je oblast prvního druhu v R a funkce f (x, y, z) = z je spojitá a ohraničená na a podle Věty.3 integrál existuje a můžeme použít Větu.. h h(x,y) x R +y I = xy = h R g(x,y) xy z dz dxdy = ( x + y ) dxdy, xy z dz dxdy kde xy = [x, y] R : x + y < R }. Na poslední integrál použijeme transformaci do polárních souřadnic. xy ( x + y ) dxdy = R π r 3 dt dr = πh R R r 3 dr = πr4. Celkem I = 4 πh R. Věta.4. (Základní vlastnosti trojného integrálu) Necht,, jsou oblasti prvního nebo druhého druhu a f, g R(). Pak platí: (a) (f ± g) (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz ± g (x, y, z) dxdydz. (b) kde k R, k. kf (x, y, z) dxdydz = k f (x, y, z) dxdydz, (c) Jestliže pro každé [x, y, z] platí f (x, y, z) g (x, y, z), pak f (x, y, z) dxdydz g (x, y, z) dxdydz. (d) f R () a platí f (x, y, z) dxdydz f (x, y, z) dxdydz. 38

39 (e) Jestliže pro každé [x, y, z] platí že f (x, y, z) M, pak f (x, y, z) dxdydz f (x, y, z) dxdydz Mµ (). (f) Jestliže int int =, f R( ) a f R( ), pak je funkce f integrovatelná na a platí f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz. (g) fg R (). (h) Jestliže je funkce f spojitá na, pak existuje bod [ξ, η, ζ] tak, že f (x, y, z) dxdydz = f (ξ, η, ζ) µ (). Cvičení.. Graficky znázorněte obory integrace a spočtěte integrály:. x dxdydz, kde = [x, y, z] R 3 : x + y + z <, x >, y > }.. 3. dxdydz, kde ( + x + y + z) 3 z = [x, y, z] R 3 : x + y + z <, x >, y >, z > }. x + y dxdydz, kde = [x, y, z] R 3 : x + y < x, y >, < z < a }, 4. kde a > je konstanta. y cos(x + z) dxdydz, kde = [x, y, z] R 3 : < y < x, < z < π x }. 39

40 5. z dxdydz, kde = kde h >, R >. 6. dxdydz, kde + x + y [x, y, z] R 3 : h } x R + y < z < h, = [x, y, z] R 3 : x + y + z <, x >, y >, z > }. Výsledky:. ; ( π ( ) ln 5 8 ; )) ; 5. π 4 R h ; 6..4 Transformace trojného integrálu ( ln 5 8 Uvažujme na otevřené množině A R 3 tři funkce x = ϕ (u, v, w), y = ψ (u, v, w), z = χ (u, v, w), takové, že ϕ, ψ, χ C (A) a zobrazení G = (ϕ, ψ, χ) : A R 3 je prosté. Matice J (u, v, w) = ϕ u ψ u χ u ϕ (u, v, w) ψ (u, v, w) χ (u, v, w) v v v ϕ (u, v, w) ψ (u, v, w) χ (u, v, w) 9 a ; (u, v, w) w (u, v, w) w (u, v, w) w se nazývá Jacobiho matice. Determinant J (u, v, w) = J (u, v, w) z této matice se nazývá jakobián. Věta.5. Necht A R 3 je otevřená množina, zobrazení G = (ϕ, ψ, χ) : A R 3 je prosté na A takové, že ϕ, ψ, χ C (A) a jakobián J(u, v, w) v každém bodě [u, v, w] A. Necht K A je uzavřená množina, která je sjednocením konečného počtu elementárních oblastí prvního, druhého, nebo třetího druhu a funkce f je spojitá na G(K). Pak platí f (x, y, z) dxdydz G(K) = K f (ϕ (u, v, w), ψ (u, v, w), χ (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw. Poznámka.. Věta zůstane v platnosti, pokud zobrazení G nebude prosté, nebo jakobián bude roven nule na podmnožinách množiny K uvedených v Poznámce., budou-li jejich obrazy při zobrazení G opět množiny uvedených typů v G(K). Pokud funkce f bude ohraničená na G(K), pak také stačí, aby f byla spojitá na G(K) s vyjímkou množin uvedených v Poznámce.. 4 ).

41 Důležité typy transformací: Posunutí. Je dán bod [u, v, w ] R 3. Transformační rovnice jsou x = u + u = ϕ (u, v, w), y = v + v = ψ (u, v, w), z = w + w = χ (u, v, w) a jakobián J (u, v, w) = ϕ u ψ u χ u ϕ v ψ v χ v ϕ w ψ w χ w = =. Zobecněné cylindrické souřadnice. Necht jsou dány konstanty a, b >. Transformační rovnice jsou x = ar cos t = ϕ (r, t, z), y = br sin t = ψ (r, t, z), z = z = χ (r, t, z), (3) kde < r <, π < t < π, z R a jakobián J (r, t, z) = ϕ r ψ r χ r ϕ t ψ t χ t ϕ z ψ = z χ z a cos t ar sin t b sin t br cos t = abr. Tato transformace je prosté zobrazení množiny (, ) ( π, π) R do R 3. Volíme-li v transformačních rovnicích (3) a = b =, dostáváme speciální případ zobecněných cylindrických souřadnic, tzv. cylindrické souřadnice (vypouštíme přívlastek zobecněné). Tyto souřadnice mají názorný geometrický význam - viz Obrázek 5. Zobecněné sférické souřadnice. Necht jsou dány konstanty a, b, c >. Transformační rovnice jsou x = ar cos t cos s = ϕ (r, t, s), y = br sin t cos s = ψ (r, t, s), z = cr sin s = χ (r, t, s), (4) 4

42 kde < r <, < t < π, π/ < s < π/ a jakobián J (r, t, s) = = ϕ r ψ r χ r ϕ t ψ t χ t ϕ s ψ s χ s a cos t cos s ar sin t cos s ar cos t sin s b sin t cos s br cos t cos s br sin t sin s c sin s cr cos s ar sin t cos s ar cos t sin s = c sin s br cos t cos s br sin t sin s a cos t cos s ar sin t cos s + cr cos s b sin t cos s br cos t cos s = abcr (sin t sin s cos s + cos t sin s cos s) sin s + abcr (cos t cos s + sin t cos s) cos s = abcr (sin s + cos s) cos s = abcr cos s. Tato transformace je prosté zobrazení množiny (, ) (, π) ( π/, π/) R 3. Volíme-li v transformačních rovnicích (4) a = b = c =, dostáváme speciální případ zobecněných sférických souřadnic, tzv. sférické souřadnice (v sousloví zobecněné sférické souřadnice vypouštíme přívlastek zobecněné). Tyto souřadnice mají názorný geometrický význam viz Obrázek 5. Obrázek 5: Geometrický význam cylindrických a sférických souřadnic. 4

43 Příklad.3. Vypočtěte integrál I = + x + y + z dxdydz na = [x, y, z] R 3 : x >, y >, z >, x + y + z < R }, R >. Řešení: Funkce /( + x + y + z ) je spojitá a ohraničená na množině a podle Věty. integrál existuje. Použijeme transformace do sférických souřadnic. I = R π/ π/ = π R r + r dr = π = π (R arctg R). r cos s + r dt ds dr = π R R π/ r cos s + r ds dr ( ) dr = π + r [r arctg r]r Cvičení.. Načrtněte dané obory a vhodnými transformacemi vypočtěte integrály:. dxdydz, kde 4x + 4y + 3z D D = } [x, y, z] R 3 : z x + y + z 4z, z x + y, x, y ;. dxdydz, kde 4 + x + y = } [x, y, z] R 3 : + x + y z 4 x + y, x, y ; 3. B y dxdydz, kde B = [x, y, z] R 3 : x + y + z 4z, 4z x y 4, x, y } ; Výsledky: π. ln 7;. ( π ln 4 arctg ).= ; 3. 7 π. 5.5 Geometrické a fyzikální aplikace trojného integrálu V dalším budeme předpokládat, že je oblast některého typu uvedeného za Větou.. 43

44 .5. Objem tělesa R 3. µ () = dxdydz. Příklad.4. Vypočtěte objem tělesa = [x, y, z] R 3 : x + y + z < 4z, x + y + z < 4 }. Řešení: Plochy se protnou v kružnici x + y = 3 ležící v rovině z =. Pravoúhlým průmětem tělesa do roviny xy je kruh x + y 3. Transformací do cylindrických souřadnic dostaneme µ () = = π 3 = 37 6 π m3. π 3 dxdydz = 4 r 4 r r dz dr dt r ( r + 4 r ) dr = π [ r 4 r4 3 (4 r ) 3 ] 3 Cvičení.3. Vypočtěte objem tělesa, je-li. = [x, y, z] R 3 : < x < a, < y < a, < z < a x y } ;. = 3. = 4. = 5. = 6. = [x, y, z] R 3 : x + y < z < 6 x y } ; } [x, y, z] R 3 : < z <, z < x + y < 4 ; [x, y, z] R 3 : x + y <, < z < e x y } ; } [x, y, z] R 3 : < z < x + y, < y < x, x + y < 6 ; [x, y, z] R 3 : x < y < x, < z < 4 x }. [ 6 a3] [ 3 3 π ] [ 5 π ] [ ( )] π e [ ] 47 3 [ ] Hmotnost tělesa R 3. Objemovou hustotou tělesa rozumíme funkci tří proměnných ϱ (x, y, z), která je definována vztahem m (U r (x, y, z ) ) lim r + µ (U r (x, y, z ) ) = ϱ (x, y, z ) 44

45 pro každé [x, y, z ], kde m je hmotnost a µ je objem množiny v R 3. Hmotnost tělesa o hustotě ϱ (x, y, z) je dána vztahem m () = ϱ (x, y, z) dxdydz, [kg]. Cvičení.4. Vypočtěte hmotnost homogenního tělesa, je-li }. = [x, y, z] R 3 : x + y + z < a, x + y < ax, kde a > je konstanta;. = } [x, y, z] R 3 : x + y + z <, z > x + y, x >, y >. Výsledky, kde ϱ je objemová hustota( tělesa :. 9 (3π 4) a3 ϱ [kg];. ) π ϱ [kg]. Cvičení.5. Vypočtěte hmotnost nehomogenního tělesa } = [x, y, z] R 3 : < x + y < 4 z, x >, y >, z >, je-li dána objemová hustota ρ(x, y, z) = xy[kg m 3 ]. [ 9 4 [kg] ].5.3 Statický moment Uvažujme těleso R 3 s danou objemovou hustotou ϱ(x, y, z). Potom statický moment tělesa vzhledem k rovině τ je S τ = d ([x, y.z], τ) σ (x, y, z) dxdydz, [kg m], kde d([x, y, z], τ) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y, z] od roviny τ. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz a yz: S xy = z ϱ (x, y, z) dxdydz; S xz = S yz = y ϱ (x, y, z) dxdydz; x ϱ (x, y, z) dxdydz. 45

46 .5.4 Těžiště tělesa Mějme dáno tělesu R 3. Potom souřadnice těžiště T tělesa jsou dány vzorcem: T = [ Syz m, S xz m, S ] xy. m Příklad.5. Vypočtěte těžiště homogenního tělesa = [x, y, z] R 3 : (x a) + y < a, z < x + y, z > }, kde a > je daná konstanta, je-li daná objemová hustota tělesa ϱ (x, y, z) ϱ [kg m 3 ]. Řešení: Při výpočtu využijeme toho, že těleso je symetrické vzhledem k rovině xz a tedy S xz =. Hmotnost je dána vztahem m() = a statické momenty S xy = S yz = = ϱ = ϱ xy xy ϱ (x, y, z) dxdydz = ϱ x +y xy dxdydz ( dz dxdy = ϱ x + y ) dxdy zϱ (x, y, z) dxdydz = ϱ x +y xy z dxdydz z dz dxdy = ϱ ( x + y ) dxdy, xϱ (x, y, z) dxdydz = ϱ x dxdydz = ϱ xy x +y x dz dxdy = ϱ xy ( x x + y ) dxdy, kde xy = [x, y] R : (x a) + y < a } je kolmý průmět tělesa do roviny xy. Ve všech předešlých dvojných integrálech použijeme následující transformaci s jakobiánem J = r. x = a + r cos t, y = r sin t. Transformaci takového typu už dobře znáte z Příkladu.6. Vzor množiny xy je 46

47 množina [x, y] R : < r < a, < t < π}. a π m() = ϱ r ( a + ar cos t + r ) dt dr a = ϱ r [( a + r ) t + ar sin t ] π [ = πϱ a r + ] a 4 r4 = 3 πϱa4 [kg]; S xy () = a ϱ = ϱ a a dr = πϱ π r ( a + ar cos t + r ) dt dr r [ (a + r ) t + 4ar ( a + r ) sin t +a r ( t + sin t )] π a = πϱ dr ( (a r + r ) ) + a r = 5 3 πϱa6 [kg m]; ( a r + r 3) dr [ dr = πϱ a4 r + a r 4 + ] a 6 r6 a S yz () = ϱ a = ϱ a = ϱ Nakonec dostáváme π r(a + r cos t) ( a + ar cos t + r ) dt dr π ar(a + r ) + r (r + 3a ) cos t + ar 3 cos t dt dr [ar(a + r )t + r (r + 3a ) sin t + ar 3 (t + sin t )] π a = πaϱ (a r + r 3 ) dr = πaϱ [ a r + r 4] a = πϱa5 [kg m]. T = [ Syz m,, S ] [ ] xy 4 = a,, m 3 9 a. dr Cvičení.6. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenního tělesa, je-li }. = [x, y, z] R 3 : x + y + z < 4, z > 3(x + y ) ; 47 [ T = [ ] ] 3,, 8( 3)

48 . = [x, y, z] R 3 : x + y + z < 8, z > x + y }. [ [ ] ] 7 T =,, Moment setrvačnosti tělesa Mějme dáno těleso R 3 s objemovou hustotou ϱ(x, y, z) [kg m 3 ]. Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k přímce p se spočte s použitím vzorce: I p = d ([x, y, z], p) ϱ (x, y, z) dxdydz, kde d ([x, y, z], p) je kolmá vzdálenost bodu [x, y, z] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x, y a z: I x = I y = I z = ( y + z ) ϱ (x, y, z) dxdydz, ( x + z ) ϱ (x, y, z) dxdydz, ( x + y ) ϱ (x, y, z) dxdydz. Příklad.6. Vypočtěte moment setrvačnosti homogeního tělesa = [x, y, z] R 3 : y x <, z x <, x <, z > }, vzhledem k ose z, je-li dána objemová hustota ϱ (x, y, z) ϱ [kg m 3 ]. Řešení: Integrační obor je oblast I. druhu, integrál existuje a pro výpočet použijeme Fubiniho větu. ( I z () = x + y ) ϱ (x, y, z) dxdydz x ( = ϱ x + y ) dz dx dy y [( = ϱ x + y ) z ] x ( dx dy = ϱ x 4 + x y ) dx dy = ϱ y [ 5 x5 + 3 x3 y ] y dy = ϱ [ = ϱ 5 y + 9 y3 55 y ] 7 y9 y ( y 5 y ) 3 y8 dy = 5 97 ϱ kgm. 48

49 Cvičení.7. Vypočítejte moment setrvačnosti nehomogenní koule o poloměru R vzhledem k ose x, je-li objemová hustota přímo úměrná vzdálenosti bodu [x, y, z] o středu s danou konstantou úměrnosti k. Výsledek: 4 9 kπr6, kde k > je konstanta úměrnosti. 49

50 .6 Kontrolní otázky, autotest Otázky pro vás: Co je to norma dělení trojrozměrného intervalu? Kdy řekneme o limitě posloupnosti integrálních součtů, že je trojným integrálem? Popište oblasti prvního, druhého a třetího druhu v R 3. Zformulujte Fubiniovu větu pro trojný integrál. Co nazýváme jakobiánem zobrazení G(ϕ, ψ, χ), kde ϕ, ψ, χ jsou funkcemi proměnných u, v, w. Uved te větu o transformaci trojného integrálu. Odvod te jakobián pro transformaci do cylindrických souřadnic. Geometricky znázorněte cylindrické souřadnice bodu v prostoru. Odvod te jakobián pro transformaci do zobecněných sférických souřadnic a vysvětlete, co rozumíme sférickými souřadnicemi bodu v prostoru. Jaké znáte geometrické a fyzikální aplikace trojného integrálu. Uved te a vysvětlete vzaty pro jeho výpočet. 5

51 Vzorové zadání kontrolního testu. Matematika,. semestr Zpracoval: Test č. 4 Jméno: Adresa: A. Načrtněte obory W a vypočtěte integrály: ) (x + y) dxdydz, je-li W =,,, 3 ; ) 3) W W W x + y + z + dxdydz, je-li W =,,, ; dxdydz, je-li ( + x + y + z) 3 W = [x, y, z] R 3 : x, y, z, x + y + z } ; 4) W xy dxdydz, je-li W = [x, y, z] R 3 : x, y, x + y, z x + y + } ; B. Načrtněte obory W a transformací do cylindrických nebo sférický souřadnic vypočtěte integrály: 5) (x + y ) dxdydz, je-li W = [x, y, z] R 3 x + y } : z ; 6) 7) W W W 3z 3 dxdydz, je-li W = [x, y, z] R 3 : x + y z x y } ; x yz dxdydz, je-li W = [x, y, z] R 3 : x, y, z, 4x + y + z }, r > ; 8) W xy dxdydz, je-li W = } [x, y, z] R 3 : x + y + z 4z, z x + y ;

52 C. Načrtněte těleso W a vypočtěte jeho objem: 9) W = [x, y, z] R 3 : x + y + z 4, x + y 3z } ; ) W = [x, y, z] R 3 : z x + y, y, y x, y 6 x } ; D. Načrtněte těleso W a vypočtěte souřadnice těžiště T tělesa W, za předpokladu, že těleso W je homogenní: ) W = [x, y, z] R 3 : x y x, z x } ; ) W = [x, y] R : 4x + y 4, x, y }. př opravil(a) max. bodů zís. bodů 5

53 3 Studijní prameny. [] Brabec, J., Hrůza, B.: Matematická analýza II., SNTL, Praha 986. [] Drábek, P., Míka, S.: Matematická analýza II., FAV, Plzeň 997,. vydání. [3] Fichtěngolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isčislenija III., Nauka, Moskva 966, 4. vydání. [4] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha 995, 6. přepracované vydání. [5] Škrášek, J., Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky II., SNTL, Praha

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných

Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných Pavel Řehák (verze 18. října 2016) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětům atematická analýza 5, 6. Jeho cílem není (a ani nemůže

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných

Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více