Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných

Transkript

1 Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných Pavel Řehák (verze 18. října 2016)

2 2

3 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětům atematická analýza 5, 6. Jeho cílem není (a ani nemůže být), aby obsahoval vše, co se na přednáškách probírá. Spíše se snaží stručně a přehledně zachytit nejdůležitější pojmy a fakta, případně jsou zde detailněji popsány některé vybrané pasáže, což nám pak při přednáškách ušetří čas. V kombinaci s poznámkami z přednášek (kde zejména podrobněji komentujeme probíranou látku, doplňujeme ji, kreslíme obrázky, uvádíme množství příkladů a aplikací a diskutujeme) by tento text měl tvořit postačující zdroj k přípravě na zkoušku. Je samozřejmě vítána i samostatná iniciativa studentů, kdy sami čerpají i z jiných zdrojů (přičemž požadavky na rozsah znalostí jsou zřejmé z obsahu textu a přednášek). Velmi doporučuji si nejprve osvěžit elementy z integrálního počtu funkcí jedné proměnné a částečně též základní teorii funkcí více reálných proměnných (zejména pojem grafu a jeho přibližného nákresu pomocí řezů vhodnými rovinami). Existuje řada dalších zajímavých a důležitých témat, která se v rámci integrálního počtu funkcí více proměnných běžně probírají, avšak vy je zde nenajdete. Vzhledem k celkovému zaměření studia a s ohledem na časovou dotaci, může náš kurs totiž podat pouze velmi stručné přiblížení této disciplíny. Budu vděčný každému, kdo mne upozorní na nepřesnosti či chyby v textu Některé nepřesnosti jde vlastně spíš o zjednodušení jsou ovšem záměrné, vzhledem k výše zmíněnému informativnímu charakteru celého kurzu. Brno, 18. října 2016, Pavel Řehák 3

4

5 Obsah 1 Dvojný integrál přes obdélník Konstrukce Poznámky Trojný integrál přes kvádr Konstrukce Poznámky ěřitelné množiny, Jordanova míra Přístup přes integrál Trochu názornější přístup Další fakta Integrály na měřitelných množinách Definice a některá fakta Vztah mezi integrálem a mírou, vlastnosti Výpočet integrálu, Fubiniova věta Integrace přes obdélník a kvádr Integrace přes normální množiny Transformace Transformace dvojného integrálu Transformace trojného integrálu Literatura 27 5

6

7 Kapitola 1 Dvojný integrál přes obdélník Začneme jednoduchým případem, kdy integračním oborem je (uzavřený) obdélník = {[x, y] R 2 : a x b, c y d}. ůžeme se motivovat třeba snahou o určení objemu tělesa T = {[x, y, z] R 3 : [x, y], 0 z f(x, y)}, kde f je (na ) spojitá a nezáporná funkce dvou proměnných. 1.1 Konstrukce Uvažujme funkci f, která je ohraničená na. Interval a, b rozdělme na podintervaly x 0, x 1, x 1, x 2,..., x k 1, x k, x 0 = a, x k = b a interval c, d rozdělme na podintervaly y 0, y 1, y 1, y 2,..., y n 1, y n, y 0 = c, y n = d. Proložíme-li hraničními body těchto podintervalů přímky, které jsou rovnoběžné s osou x resp. y, vznikne nám tak dělení (označme jej D) obdélníku na podobdélníky. Nechť D značí množinu všech takových dělení. Dále označme ij = sup f(x, y), m ij = inf f(x, y), [x,y] ij [x,y] ij kde ij = x i 1, x i y j 1, y j. Definujme tzv. horní součet S(D, f) = i,j ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) a tzv. dolní součet s(d, f) = i,j m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ). 7

8 8 Kapitola 1 Jestliže m f(x, y) na pro nějaká m, (což vzhledem k ohraničenosti f máme zaručeno), pak jistě platí m(b a)(d c) s(d 1, f) S(D 2, f) (b a)(d c), kde D 1, D 2 D jsou libovolná dělení. ůžeme tedy bez obav definovat tzv. horní dvojný integrál (funkce f přes množinu ) f(x, y) dx dy = inf S(D, f) D D a tzv. dolní dvojný integrál (funkce f přes množinu ) f(x, y) dx dy = sup s(d, f). D D Definice 1.1. Jestliže f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy, pak tuto hodnotu nazýváme dvojným integrálem funkce f přes množinu ; označujeme ji f(x, y) dx dy. Říkáme, že funkce f je integrovatelná v Riemannově smyslu. 1.2 Poznámky Lze ukázat: Jestliže je funkce f spojitá na, potom je zde integrovatelná. Požadavek spojitosti lze oslabit ve smyslu, že stačí spojitost na s výjimkou nejvýše konečného počtu bodů nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých křivek. Později zmíníme ještě další vylepšení. Podobně jako v integrálním počtu funkcí jedné proměnné platí: Jestliže funkce f je integrovatelná na, potom lim I(D l, f, V l ) = f(x, y) dx dy, l kde D l je libovolná nulová posloupnost dělení, V l je nějaký výběr při dělení D l a I je příslušný integrální součet. Připomeňme, že nulová posloupnost dělení znamená, že normy těchto dělení jdou k nule, kde norma dělení D se definuje jako D = max i,j {x i x i 1, y j y j 1 }. Výběrem při dělení D máme na mysli libovolně vybranou množinu reprezentantů [ξ i, η j ] ij pro i = 1,..., k, j = 1,..., n. Příslušný integrální součet pak znamená f(ξ i, η j )(x i x i 1 )(y j y j 1 ) i,j a má zřejmý geometrický význam.

9 Kapitola 1 9 Integrální součet uvedený v předchozím bodu může být použit při alternativní (a ekvivalentní) definici dvojného integrálu. V této definici zkoumáme limitu součtu při normě dělení jdoucí do nuly. Existence limity musí být nezávislá na výběrech.

10 10 Kapitola 1

11 Kapitola 2 Trojný integrál přes kvádr Zde můžeme postupovat analogicky jako v předchozí kapitole. Představivost pro geometrickou motivaci však už poněkud selhává. Opět začneme jednoduše. Uvažujme tedy případ, kdy integračním oborem je (uzavřený) kvádr = {[x, y, z] R 3 : a 1 x b 1, a 2 y b 2, a 3 z b 3 }. 2.1 Konstrukce Uvažujme funkci f, která je ohraničená na. Interval a 1, b 1 rozdělme na podintervaly x 0, x 1, x 1, x 2,..., x l 1, x l, x 0 = a 1, x l = b 1, interval a 2, b 2 rozdělme na podintervaly y 0, y 1, y 1, y 2,..., y n 1, y n, y 0 = a 2, y n = b 2 a interval a 3, b 3 rozdělme na podintervaly z 0, z 1, z 1, z 2,..., z m 1, z m, z 0 = a 3, z m = b 3. Proložíme-li hraničními body subintervalů roviny rovnoběžné s rovinami x = 0, resp. y = 0, rexp. z = 0, vznikne nám tak dělení (označme jej opět D) kvádru na menší kvádry. Nechť D značí množinu všech takových dělení. Dále označme ijk = sup f(x, y, z), m ijk = inf f(x, y, z), [x,y,z] ijk [x,y,z] ijk kde ijk = x i 1, x i y j 1, y j z k 1, z k. Definujme tzv. horní součet S(D, f) = i,j,k ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) a tzv. dolní součet s(d, f) = i,j,k m ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ). 11

12 12 Kapitola 2 Díky analogickému argumentu jako u integrálu přes obdélník jsou množiny horních resp. dolních součtů (uvažované vzhledem ke všem dělením) omezené. ůžeme tedy definovat tzv. horní trojný integrál (funkce f přes množinu ) f(x, y, z) dx dy dz = inf S(D, f) D D a tzv. dolní trojný integrál (funkce f přes množinu ) f(x, y, z) dx dy dz = sup s(d, f). D D Definice 2.1. Jestliže f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dx dy dz, pak tuto hodnotu nazýváme trojným integrálem funkce f přes množinu ; označujeme ji f(x, y, z) dx dy, dz. Říkáme, že funkce f je integrovatelná f Riemannově smyslu. 2.2 Poznámky I v tomto případě platí: Jestliže je funkce f spojitá na, potom je zde integrovatelná. Požadavek spojitosti lze oslabit ve smyslu, že stačí spojitost na s výjimkou nejvýše konečného počtu bodů nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých křivek nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých ploch. Později zmíníme ještě další vylepšení. Jestliže funkce f je integrovatelná na, potom lim I(D k, f, V k ) = f(x, y, z) dx dy dz, k kde D k je nulová posloupnost dělení, V k je nějaký výběr při dělení D k a I je příslušný integrální součet. Integrální součet uvedený v předchozím bodu může být použit při alternativní (a ekvivalentní) definici trojného integrálu. V této definici zkoumáme limitu součtu při normě dělení jdoucí do nuly. Existence limity musí být nezávislá na výběrech. Podobnými úvahami jako v předchozích odstavcích lze sestrojit n-rozměrný integrál f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n funkce y = f(x 1,..., x n ) přes n-rozměrný kvádr.

13 Kapitola 3 ěřitelné množiny, Jordanova míra Vzniká přirozená otázka, jak postupovat v případě, kdy integrační obor není obdélník. V této kapitole si budeme všímat těch množin, přes které budeme schopni našimi prostředky integrovat. Zejména zavedeme pojem míry a měřitelné množiny. Tím zhruba řečeno dáme přesný formální smysl (intuitivně) známým pojmům obsah či objem. 3.1 Přístup přes integrál Nejdříve zaveďme jeden pomocný pojem. Nechť R 2. Potom definujeme funkci χ : R 2 R (tzv. charakteristickou funkci množiny ) předpisem ξ (x, y) = { 1 pro [x, y] 0 pro [x, y]. Definice 3.1. Omezená množina R 2 se nazývá měřitelná (přesněji Jordanovsky měřitelná), jestliže pro nějaký uzavřený obdélník existuje integrál z charakteristické funkce χ na obdélníku. Potom klademe m() = χ (x, y) dx dy; m() je tzv. (Jordanova) míra množiny. Poznámka 3.1. (i) Nezáleží na tom, který uzavřený obdélník vybereme. Zřejmě jich existuje nekonečně mnoho. (ii) nalogicky zavádíme m() pro R 3. 13

14 14 Kapitola Trochu názornější přístup Uvažujme opět omezenou množinu R 2. Sestrojme v rovině tzv. síť řádu n, n N {0} pomocí přímek rovnoběžných s osami x, y, které procházejí body [k2 n, 0] resp. [0, k2 n ], k Z. Síť řádu n nám rozdělí rovinu na tzv. čtverce řádu n, z nichž každý má zřejmě míru (tj. obsah) rovnu 4 n. Tzv. elementární množinu řádu n definujeme jako sjednocení konečného počtu čtverců téhož řádu n s disjunktními vnitřky. Tzv. jádro řádu n množiny (ozn. J n ()) definujeme jako elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n obsaženými ve vnitřku. Tzv. obal řádu n množiny (ozn. O n ()) definujeme jako elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n, jejichž průnik s uzávěrem je neprázdný. Platí a J n () O n () m(j n ()) m(j n+1 ()), m(o n ()) m(o n+1 ()), n N {0}, kde m značí míru (obsah) dané elementární množiny. (S výpočtem obsahů elementárních množin jistě není problém.) Všimněte si, že jsme takto obdrželi jisté posloupnosti, které jsou omezené a monotonní. Tedy máme zaručenu existenci limit a lze bez obav definovat m () = lim n m(j n()), m () = lim n m(o n()); m () se nazývá vnitřní Jordanova míra množiny a m () se nazývá vnější Jordanova míra množiny. Vždy platí 0 m () m (). Definice 3.2. Je-li m () = m (), nazývá se množina (Jordanovsky) měřitelná a číslo m() = m () = m () nazýváme (Jordanovou) mírou. 3.3 Další fakta nožina je měřitelná ve smyslu Definice 3.1, právě když je měřitelná ve smyslu Definice 3.2. íry z těchto definic jsou totožné. Podobně lze (ať už přes integrál či geometrickými úvahami) sestrojit m(), kde R 3 (krychle řádu n atd.)

15 Kapitola 3 15 Všechny geometrické útvary, které známe z elementární geometrie, jsou měřitelné a jejich míra je rovna jejich obsahu resp. objemu. Jordanova míra má i pro ostatní útvary měřitelné množiny vlastnosti, které jsou charakteristické pro elementární obsah resp. objem, např. m( B) = m() + m(b), kde B =, m() 0, m() m(b) pro B. ůže se stát, že tentýž útvar má různou míru v prostorech různé dimenze. Např. v R je míra úsečky s koncovými body a, b, a < b, rovna b a. však táž úsečka v R 2 (tj. {[x, y] : a x b, y = 0}) má míru nula; lze ji chápat jako obdélník s délkami stran b a, 0. Podobně např. čtverec v rovině vs. čtverec v prostoru. nožina R n je měřitelná, právě když míra hranice množiny je nulová. Existují množiny Jordanovsky neměřitelné. (Terminologie, kterou později využijeme) Říkáme, že vlastnost, která platí všude v množině s výjimkou množiny nulové míry, platí skoro všude (s.v.) v.

16 16 Kapitola 3

17 Kapitola 4 Integrály na měřitelných množinách 4.1 Definice a některá fakta Díky teorii z předchozích odstavců můžeme pohodlně definovat integrál i na jiných množinách než obdélník resp. kvádr. Jak uvidíme dále, následující způsob zavedení integrálu není jediný. Definice 4.1. Řekneme, že funkce f je integrovatelná na množině (přes množinu, v množině) R 2, jestliže existuje integrál f(x, y)χ (x, y) dx dy pro nějaký obdélník R 2 takový, že. Klademe f(x, y) dx dy := f(x, y)χ (x, y) dx dy. Následují jednoduché podmínky zaručující existenci integrálu. Věta 4.1. Jestliže R 2 je měřitelná množina, f : R je na ohraničená a s. v. spojitá, potom f je na integrovatelná. Poznámka 4.1. (i) Nezáleží na tom, který vhodný obdélník, R 2, v definici vybereme. (ii) Lze definovat integrál (přes měřitelné množiny) i z funkcí, které nejsou definovány všude v, ale jen s. v. v. (iii) Riemannův integrál přese měřitelnou množinu R 2 lze též názorným způsobem zkonstruovat, podobně jako integrál přes obdélník. Při dělení integračního oboru totiž vznikají buďto obdélníky (které jsou zřejmě měřitelné) anebo množiny, které sice nejsou obdélníky, ale jsou průnikem dvou měřitelných 17

18 18 Kapitola 4 množin (a proto jsou měřitelné). Následně sestrojujeme horní a dolní součty, horní a dolní integrál atd. (iv) Někde v literatuře (viz i předchozí bod) lze nalézt např. tuto definici f(x, y) dx dy = lim D 0 f(ξi, η j )m( ij ), kde D je norma dělení (tj. D = max i,j {x i x i 1, y j y j 1 }), ij je podstava vzniklá při dělení a (ξ i, η j ) je reprezentant vybraný z ij ; požaduje se, aby limita existovala nezávisle na výběru bodů (ξ i, η j ). (v) Definici a všechny ostatní úvahy lze přirozeně formulovat pro funkci f : R 3 R nebo i ve vyšší dimenzi. 4.2 Vztah mezi integrálem a mírou, vlastnosti Platí tyto vztahy mezi integrálem a mírou m() = dx dy, R 2 a m() = dx dy dz, R 3. U prvního ze vzorců je užitečné si uvědomit, že objem tělesa s výškou rovnou jedné je vlastně roven obsahu jeho podstavy. Podobně to funguje i v druhém případě, pouze o dimenzi výš. Nyní uvedeme několik vlastností dvojného integrálu. ísto f(x, y) dx dy píšeme stručně f. Jestliže existují f i pro i = 1,..., n, kde c 1,..., c n R, potom existuje (c 1 f c n f n ) a platí (c 1 f c n f n ) = c 1 f c n f n. Jestliže existují f, g a f g na, pak f g. Jestliže existuje f, pak existuje f a platí f f. Pozor: z integrovatelnosti f neplyne integrovatelnost f.

19 Kapitola 4 19 Jestliže existuje f a K 1 f(x, y) K 2 pro [x, y], potom K 1 m() f K 2 m() a existuje c K 1, K 2 tak, že f = Cm(). + + f, f., n. Nechť = 1 n a i j = pro i, j = 1,..., n, i j. Potom f = 1 n existuje-li buď f nebo pro všechna i = 1,.. i Poznámka 4.2. (i) Všechna uvedená tvrzení lze zobecnit ve smyslu skoro všude. Např.: jestliže f g s. v. na, potom f g (za předpokladu existence integrálů). V posledním tvrzení (o aditivitě vzhledem k integračnímu oboru) lze místo i j = uvažovat m( i j ) = 0 a množina se liší od množiny 1 n jen o množinu míry nula atd. (ii) Všechna uvedená tvrzení lze přirozeně formulovat i pro funkce tří proměnných (tj. pro trojné integrály).

20 20 Kapitola 4

21 Kapitola 5 Výpočet integrálu, Fubiniova věta Základní myšlenka výpočtu integrálů v R n, n = 2 resp. n = 3, spočívá v převedení na výpočet dvou resp. tří jednoduchých integrálů, tj: dvojný integrál dvojnásobný integrál, trojný integrál trojnásobný integrál. To je možné díky tzv. Fubinově větě, kterou budeme diskutovat pro různé případy. 5.1 Integrace přes obdélník a kvádr Uvažujme obdélník = {[x, y] R 2 : a x b, c y d}. Pro jednoduchost předpokládejme, že f je spojitá na (ve skutečnosti lze tento předpoklad oslabit). Potom f(x, y) dxdy = b a ( ) d f(x, y) dy dx = c d c ( ) b f(x, y) dx dy. Toto tvrzení má názorný geometrický význam. Stačí si popřemýšlet nad situací, kdy těleso, jehož objem zjišťujeme, vhodně rozřežeme na tenké plátky. Případ trojného integrálu přes kvádr = {[x, y, z] R 3 : a 1 x b 1, a 2 y b 2, a 3 z b 3 } je obdobný. Jestliže f je spojitá na, potom f(x, y, z) dx dy dz = b1 a 1 ( ( b2 ) ) b3 f(x, y, z) dz dy dx. Pořadí integrace lze také zaměnit. Jen je třeba opět dávat pozor na to, abychom integrovali v příslušných mezích vzhledem k správné proměnné. 21 a 2 a 3 a

22 22 Kapitola Integrace přes normální množiny Nyní se pokusíme odpovědět na přirozenou otázku, jak postupovat při výpočtu integrálu v případě, že integračním oborem není obdélník resp. kvádr. Budeme uvažovat tzv. normální množiny. Sami si zdůvodněte, proč jsou takové množiny měřitelné. Uvažujme množinu = {[x, y] R 2 : a x b, g(x) y h(x)}, kde g, h jsou spojité funkce na a, b a g(x) f(x) pro x a, b ; říkáme, že je normální vzhledem k x (pozor: terminologie se může lišit v závislosti na literatuře). Předpokládejme, že f je spojitá na (tento předpoklad lze ve skutečnosti zeslabit). Potom f(x, y) dxdy = b a ( ) h(x) f(x, y) dy dx. Pečlivě dbejte na to, která proměnná je integrační. Zejména musí nutně platit, že vnější integrál má meze konstantní. Výsledkem totiž má být číslo. Podobně postupujeme, pokud integrační obor je množina normální vzhledem k y. Je dobré si uvědomit, že v podstatě všechny běžné rovinné útvary jsou normální množiny anebo je lze napsat jako sjednocení konečně mnoha normálních množin (při integraci přes takové množiny pak můžeme využít aditivitu vzhledem k integračnímu oboru). Fubiniovu větu lze chápat také jako tvrzení, které nám říká, jak zaměnit pořadí integrace v dvojnásobném integrálu. Případ trojného integrálu je analogický. Uvažujme množinu = {[x, y, z] R 3 : a x b, g 1 (x) y g 2 (x), h 1 (x, y) z h 2 (x, y)}, kde g 1, g 2, h 1, h 2 jsou spojité na příslušných množinách a splňují zde nerovnosti g 1 g 2 a h 1 h 2. Jestliže f je spojitá na, potom f(x, y, z) dx dy dz = b a g(x) ( ( g2(x) ) ) h2(x,y) f(x, y, z) dz dy dx. g 1(x) h 1(x,y) Podobně postupujeme v případě kdy integračním oborem je množina normální vzhledem k jiným souřadným osám. Poznamenejme, že trojný integrál lze rozdělit na jednoduchý a dvojný integrál, kde integrujeme přes projekci. Pochopitelně lze obdobné úvahy provádět i pro obecný n-rozměrný intgrál.

23 Kapitola 6 Transformace Z kurzu věnovanému integrálnímu počtu funkce jedné proměnné víme, že substituce je velmi užitečnou integrační metodou. Teorii v této kapitole lze chápat jako vícedimenzionální rozšíření. 6.1 Transformace dvojného integrálu Uvažujme uzavřené oblasti, jejichž hranice jsou tvořeny konečným počtem jednoduchých po částech hladkých uzavřených křivek. Předpokládejme, že se oblast B (v proměnných u, v) zobrazí pomocí rovnic x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) vzájemně jednoznačně na oblast (v proměnných x, y). Dále předpokládejme, že funkce ϕ, ψ mají v B spojité parciální derivace a že pro tzv. Jakobiův determinant (Jakobián) platí ϕ u ψ u ϕ u ψ v 0 v B. Potom za předpokladu spojitosti funkce f na (spojitost lze zeslabit) platí f(x, y) dx dy = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) du dv. B Poznámka 6.1. bsolutní hodnota Jakobiánu v bodě nám udává faktor, kterým zobrazení zvětšuje či zmenšuje objem v blízkosti bodu. To je důvod, proč se objevuje v substituční formuli. áme tuto přibližnou rovnost m(f ()). = J(u, v) m() pro malé množiny, přičemž (u, v). Jednou z nejdůležitějších substitucí je transformace do polárních souřadnic. Klademe x = u cos v, y = u sin v, 23

24 24 Kapitola 6 u 0, v π, π (příp. v 0, 2π ). Pro Jakobián platí J(u, v) = cos v sin v u sin v u cos v = u a tedy f(x, y) dx dy = f(u cos v, u sin v)u du dv. B Poznámka 6.2. (i) Všimněte si, že uvedená transformace převádí kruh (se středem v počátku) na obdélník. Na co se převede mezikruží či kruhová výseč? (ii) Lze provést různé modifikace, které lze i zkombinovat. Např. substituce x = au cos v, y = bu sin v převádí množinu ohraničenou elipsou s poloosami a, b na obdélník. Substituce x x 0 = u cos v, y y 0 = u sin v převádí kruh (se středem v [x 0, y 0 ]) na obdélník. 6.2 Transformace trojného integrálu Předpokládejme, že se (uzavřená) oblast B R 3 (v proměnných u, v, w) zobrazí pomocí rovnic x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) vzájemně jednoznačně na (uzavřenou) oblast R 3 (vproměnných x, y, z). Dále předpokládejme, že funkce g, h, k mají v B spojité parciální derivace a že pro tzv. Jakobiův determinant (Jakobián) platí g u h u k u g v h v k v g w h w k w 0 v B. Potom za předpokladu spojitosti funkce f na (spojitost lze zeslabit) platí f(x, y, z) dx dy dz = f(g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw. B Poznámka 6.3. Opět platí, že faktor J(u, v, w) vyrovnává změnu míry integračních oborů při substituci a pro malé množiny, (u, v, w). m(f ()). = J(u, v, w) m()

25 Kapitola 6 25 Následují dva velmi důležité speciální typy transformací. Transformace do cylindrických souřadnic: Klademe x = u cos v, y = u sin v, z = w, u 0, π v π. Pro Jakobián platí J(u, v, w) = u. Transformace do sférických souřadnic: Klademe x = u cos w cos v, y = u cos w sin v, z = u sin w, u 0, π v π, π/2 w π/2. Pro Jakobián platí J(u, v, w) = u 2 cos w. Poznámka 6.4. (i) Transformace do cylindrických souřadnic převede válec na kvádr. Transformace do sférických souřadnic převede kouli na kvádr. (ii) Obě transformace lze modifikovat, např. tak, aby eliptická válcová plocha byla převedena na kvádr, resp. elipsoid byl převeden na kvádr. Rovněž lze modifikovat ve smyslu posunutí mimo počátek.

26 26 Kapitola 6

27 Literatura [1] L. E. Garner, Calculus and nalytic Geometry, Dellen Publ. Comp., [2] J. Kalas, J. Kuben, Integrální počet funkcí více proměnných, PřF U Brno, 2009 [3] J. Nagy, E. Nováková,. Vacek, Integrální počet, SNTL, Praha [4]. Ráb, Zobrazení a Riemannův integrál v E n, SPN, Praha, [5] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky I, 7. vydání, Prometheus, Praha, [6] G. B. Thomas, R. L. Finney, Calculus and nalytic Geometry, ddison Wesley,