Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669"

Transkript

1 Gynáziu, Otrava-Poruba, Č. exilu 669 STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ŘEŠENÍ FYZIKÁLNÍCH ÚLOH ANTONÍN BALNAR Otrava 005

2 Recenze: prof. RNDr. Erika Mechlová, CSc. Publikace byla vytvořena v ráci projektu Státní inforační politiky ve vzdělávání v roce 005. Mgr. Antonín Balnar ISBN

3 Řešení fyzikálních úloh Strana 5 Obah Obah...5 Úvod...7 Forální zpracování fyzikální úlohy...9 Převádění jednotek SI.... SI.... Náobky a díly jednotek SI Převody fyzikálních jednotek SI Základní ateatické potupy úpravy výrazů Využití rovnic a nerovnic při řešení fyzikálních úloh Kvadratické rovnice Lineární nerovnice Soutavy rovnic Exponenciální a logaritické rovnice Grafy a tabulky ve fyzikálních úlohách Grafy v zadání úloh Úlohy řešené poocí grafu Úlohy zadané tabulkou Práce vektory a gonioetrickýi funkcei...48 Poznáky...5 Závěr...53 Literatura...54

4 Řešení fyzikálních úloh Strana 6

5 Řešení fyzikálních úloh Strana 7 Úvod Úpěšné zvládnutí tředoškolké fyziky znaená nejen pochopit teoretický základ tudovaných probléů, ale i zvládnout praktické dovednoti, jako je řešení fyzikálních úloh, zakrelování grafů a chéat a laboratorní ěření. Protože ditanční fora tudia je pecifická, laboratorní ěření a počítače podporované experienty připravovat nebudete. Žáci prezenční fory tudia e fyzikou etkávají každý týden nejéně dvakrát a nejanoti ohou konzultovat vyučujícíi denně. Ditanční tudenti tuto výhodu neají, což e u zkoušek projevuje jako výrazný handicap. Proto e jedna z opor, které je e rozhodli vytvořit v ráci projektu podporovaného grante Státní inforační politiky ve vzdělávání, zabývá řešení fyzikálních úloh. Tuto oporu byte ěli protudovat před aotný tudie teatických celků z učebnic, ze kterých e budete na zkoušku připravovat. Opora nekopíruje obah učebnic, ale je jejich doplňke. Učitel čato doprovází řešení úloh vý vlatní koentáře, o který jou tudenti ditančního tudia ošizeni. Všechna pravidla uí objevit ai. oporou proto ušetříte poutu čau, nebudete uet přeýšlet, jak pracovat úlohou zadanou tabulkou nebo grafe, jak právně převét fyzikální jednotky, jak fyzikálně interpretovat výledek ateatického řešení úlohy atd. V první ročníku e nejprve eznáíte echanikou, proto e většinu ožných záludnotí ukázat právě na úlohách z echaniky, repektive z olekulové fyziky, která je oučátí učiva fyziky druhého ročníku gynázia. Typově i náročnotí je vybíral úlohy jako jou uvedeny v [4], [5] a []. Vzhlede k vašeu potavení je nepovažoval za nutné vyýšlet ložité úlohy z praxe a doplňovat je hutou oáčkou. Používá čato v úlohách jen obecné teríny jako těleo atd. Úlohy jou tručné, ale jednoznačné. Práci oporou třídejte e tudie fyzikálních učebnic a ějte připraveny i učebnice ateatiky. Fyzika je z pohledu řešení úloh jen ateatika aplikovaná ve lovních úlohách z oblati fyziky.

6 Řešení fyzikálních úloh Strana 8 Po protudování opory budete uět: forální zápi při řešení fyzikálních úloh; fyzikálně interpretovat výledky ateatických řešení úloh; převádět fyzikální jednotky; řešit fyzikální úlohy včetně úloh zadaných forou grafu nebo tabulky. Po protudování opory budete chopni: pracovat fyzikální texte; aplikovat ateatické potupy a výpočty ve fyzikálních úlohách; pracovat hodnotai zapanýi v tabulce nebo zadanýi grafe.

7 Řešení fyzikálních úloh Strana 9 Forální zpracování fyzikálních úloh V této kapitole e naučíte: fyzikálně analyzovat zadání fyzikální úlohy; právně potupovat při řešení fyzikální úlohy. Klíčová lova kapitoly: zadání fyzikální úlohy; potup řešení; fyzikální interpretace výledku. Ča potřebný pro protudování kapitoly: 0,5 hodiny Průvodce Řada žáků i nedá poradit a íto píené práce odevzdává chao. Přito pravidly jak řešit úlohu jou detailně eznáeni. v jejich zápiu je veli těžké e orientovat a z toho praení i pouta chyb. Žáci zapoenou na převádění jednotek, chybný označení doadí do vztahu jinou hodnotu atd. Podobné nedotatky jou zbytečné. Fyzikální úlohy ají čato podobu lovní úlohy z oblati fyziky, jak je znáe z ateatiky. To znaená, že některé údaje nejou v textu explicitně přío napány, ale vyplývají z okolnotí. Při řešení nevytačíte jen e znalotí ateatických operací, protože pro úpěšné řešení je třeba využít fyzikální vztahy a kobinovat je. Při řešení fyzikální úlohy potupujte náledující způobe:. Úlohu i dvakrát přečtěte, abyte i ujanili, co je v úloze uvedeno a co áte ai zjitit.. Vytvořte zkrácený zápi, ve které všechny jednotky převeďte do SI (viz kapitola ). Do zápiu ůžete připat i iplicitně nepřío zadané hodnoty (např. je-li uveden litr vody, je jeho hotnot ai kg) a fyzikální kontanty ouviející problée. 3. Zakrelete ituaci do obrázku. Obrázek vá čato navede na vhodné řešení. 4. Poznačte i fyzikální vztahy, které budete při řešení úlohy potřebovat. Dotanete rovnici nebo outavu rovnic, jejichž řešení vede k výledku. 5. Obecně vyjádřete hledanou veličinu. Až poto do výledného vztahu doaďte číelné hodnoty (viz Řešená úloha ). 6. Výledek řešené úlohy fyzikálně interpretujte, porovnejte e zadání úlohy a napište odpověď. Řešená úloha Balón byl vržen vile vzhůru rychlotí 8 k. Do jaké axiální výšky vytoupí? hod v 8 k hod 5 h? g 9,8 Potup řešení

8 Řešení fyzikálních úloh Strana 0 Řešení: Výpočet e opírá o zákon zachování echanické energie: kinetická energie E k na počátku pohybu e rovná potenciální energii E p v nejvyšší bodě trajektorie. E k { h} E p v gh v gh v h g 5 9,8 h,7 Balón vytoupí do axiální výšky,7. Průvodce K zápiu: Převedl je rychlot na etry za ekundu. Tíhové zrychlení g je obecně znáá kontanta. K výpočtu: v obecné řešení vytupuje i hotnot, která e však v rovnici krátí a neuíe ji znát! Pokud bych e nažil nejprve vypočítat číelnou hodnotu kinetické energie, neohl bych dále v řešení úlohy pokračovat.

9 Řešení fyzikálních úloh Strana Převádění jednotek SI V této kapitole e dozvíte: co je Mezinárodní outava jednotek; které jednotky jou základní, doplňkové, odvozené a vedlejší; pravidla pro převádění jednotek fyzikálních veličin. V této kapitole e naučíte: převádět fyzikální jednotky; odvozovat vztahy pro převody jednotek; provádět rozěrovou analýzu. Klíčová lova kapitoly: SI; fyzikální jednotka; fyzikální veličina; základní jednotka, doplňková jednotka, vedlejší jednotka, odvozená jednotka; převádění jednotek; náobky a díly jednotek; rozěrová analýza. Ča potřebný pro protudování kapitoly:,5 hodiny teorie +,5 hodiny řešení úloh. SI Od roku 960 platí ve většině tátů tzv. Mezinárodní outava jednotek, zkráceně SI (z franc. Sytèe International d Unité). Vědci, obchodníci i obyčejní lidé ohou jednodušeji porovnávat údaje z různých čátí věta. Například délka je tandardně uváděna v etrech a lokty, topy, íle a pídě e už ve fyzice nepoužívají. SI á ed základních jednotek, dvě doplňkové jednotky, několik vedlejších jednotek a odvozené jednotky. Základní jednotky jednotky délky, hotnoti, čau, terodynaické teploty, elektrického proudu, látkového nožtví a vítivoti uožňují popat celé pektru fyzikálních diciplín. Pokud vá ve výčtu některé veličiny chybí, jejich jednotky jou tzv. odvozené jednotky, například elektrické napětí, íla, práce, energie,... i když odvozené jednotky ají čato vlatní název volt, newton, joule,..., dají e vyjádřit poocí oučinu edi základních jednotek v různých ocninách. Doplňkové jednotky radián a teradián louží ke geoetrickéu zpřenění fyzikálního popiu. Vedlejší jednotky je povoleno používat v praxi Celiův tupeň, tuna, litr, elektronvolt, větelný rok,... základní jednotky odvozené jednotky doplňkové jednotky vedlejší jednotky

10 Řešení fyzikálních úloh Strana Mezinárodní outava jednotek Základní jednotky Veličina Značka Jednotka Značka délka l etr hotnot kilogra kg ča t ekunda elektrický proud I apér A terodynaická teplota T kelvin K látkové nožtví n ol ol vítivot I candela cd Doplňkové jednotky rovinný úhel α, β, γ radián rad protorový úhel Ω teradián r Řešená úloha Vyjádřete newton poocí základních jednotek SI. Řešení: Newton je jednotka íly. Síla F je definována vztahe F a, kde je hotnot tělea a a jeho zrychlení. Jednotkou hotnoti je kilogra, jednotkou zrychlení (etr je v první ocnině; ekunda ve druhé). Vztah pro výpočet íly ůžee považovat z ateatického pohledu za rovnici, uí být obě trany ekvivalentní. Takže i jejich fyzikální rozěr tj. rozěr jednotky uí být tejný. Rozěr jednotek na pravé traně je kg -. Jednička označující první ocninu e nezapiuje; další čtyři základní jednotky SI zatoupeny nejou (ají nultou ocninu jejich hodnota je jedna). N kg - Průvodce Převádět jednotky na základní jednotky vede vždy ke právnéu řešení, ale ve peciálních případech ůžete převádění poinout. Pokud jou tejné veličiny například v poěru, neuíte zloek upravovat. Bylo by to krácení nebo rozšiřování, které neá na číelnou hodnotu výrazu vliv (viz Řešená úloha 3). Podobných výjiek, kdy převádění není nutné, exituje víc. Řešená úloha 3 V jaké vzdálenoti od Slunce by obíhala planeta, jejíž oběžná doba by byla deet let? T 0 let T Z rok a Z AU a? AU

11 Řešení fyzikálních úloh Strana 3 Řešení: Oběžná doba planet e udává v letech a vzdálenot planet od Slunce v atronoických jednotkách AU. AU je třední vzdálenot Zeě Slunce; AU,5 0 8 k. I když v zadání je explicitně uveden jen jeden údaj oběžná doba planety, k výpočtu ůžee použít oběžnou dobu a vzdálenot od Slunce jakékoliv další planety (nejlépe Zeě, proto index z ). Z třetího Keplerova zákona pro vzdálenot planety vyplývá: T a a T T a T Z a 3 Z Z Z a a { a} 3 Z T T Z 0 3 a 4,64 AU. Střední vzdálenot planety od Slunce by byla ai 4,64 AU tedy 4,64krát větší než vzdálenot Zeě od Slunce. Kdybych oběžné doby převedl na ekundy a vzdálenoti na etry, výledek by byl tejný. Úloha Rozhodněte, zda platí J kg -3. (Řešení úlohy je na traně 7.) Úloha Vyjádřete watt poocí základních jednotek SI. (Řešení úlohy je na traně 7.). Náobky a díly jednotek V inuloti e náobky a díly označovaly lovně. Většina předpon znaená v latině, italštině nebo řečtině přídavné jéno alý, velký atd. Pro výpočty je však výhodnější uvádět náobky a díly jednotek poocí ocnin deeti. Sčítání různých hodnot velikoti fyzikální veličiny e oezí na jednoduché ateatické operace. Problé ůže natat u veličin, jejichž jednotka je ložená nebo je jinak hitoricky zavedena (viz kapitola.3 Převody fyzikálních jednotek). Náobné předpony Dílčí předpony Předpona Značka Mateatické vyjádření Předpona Značka Mateatické vyjádření yotta- Y 0 4 deci- d 0 - zetta- Z 0 centi- c 0 - exa- E 0 8 ili- 0-3 peta- P 0 5 ikro- µ 0-6 tera- T 0 nano- n 0-9

12 Řešení fyzikálních úloh Strana 4 giga- G 0 9 piko- p 0 - ega- M 0 6 feto- f 0-5 kilo- k 0 3 atto- a 0-8 hekto- h 0 zepto- z 0 - deka- da 0 yokto- y 0-4 Řešená úloha 4 Chodec nejprve ušel 3 k a poto dalších d. Jakou celkovou vzdálenot urazil? l 3 k d l l 3, ,8 k Chodec urazil dráhu 3,8 k. Úloha 3 Převeďte: 0,3 kv V 60 µa A kw W (Řešení úlohy je na traně 7.).3 Převody fyzikálních jednotek Mezi ložitější převody nejběžnějších jednotek patří převody jednotek plošného obahu, objeu, hutoty a rychloti. Průvodce U převádění objeu a plošného obahu i uíte dát pozor na ocniny jednotek. Například krychle o traně á obje 3, ale také ji ůžee považovat za krychli o délce trany 0 d, takže obje je 000 d 3. Ačkoli je rozěr délky hrany zěnil o jeden řád (z etru na decietr), obje e zěnil o tři řády! Plošný obah nejčatěji převádíe na čtvereční etry např. čtverec e tranou. Běžně ale používáe i, c, d a k. V praxi e pak etkáváe i ary a hektary. ar je 00 (0 x 0 ) a hektar (značka ha) (00 x 00 ). obah Řešená úloha 5 Převeďte: 36 ha? 36 ha ha ,005 ar? d 0,005 ar 0, ,5 0,5 00 d 50 d 0,005 ar 50 d

13 Řešení fyzikálních úloh Strana 5 Úloha 4 Převeďte: 0,8 c 560 ar k 0,09 k ha (Řešení úlohy je na traně 7.) Obje převádíe podobně jako plošný obah. V praxi e nejčatěji používají krychlové ilietry 3, krychlové centietry c 3, krychlové decietry d 3, krychlové etry 3 a litry. Decilitr je deetina litru, hektolitr je 00 l. Přito platí, že d 3 je litr. obje Řešená úloha 6 Převeďte: 4,7 dl? c 3 4,7 dl 0,47 l 0,47 d 3 0,47 d 3 0, c 3 (protože d c 3 ) 0,47 dl 470 c 3,4 3? hl,4 3,4 000 d d l 4 hl,4 3 4 hl Úloha 5 Převeďte: 540 c 3 d 3 0,08 l c dl hl (Řešení úlohy je na traně 7.) Hutota ρ udává hotnot jednotky objeu tejnorodé látky: ρ. V Na gynáziu není potřeba v ouviloti hutotou používat jinou jednotku objeu než c 3 nebo 3. I když e hutoty látek výrazně liší 3 vzduchu á hotnot ai,3 kg a rtuti kg, používáe pro zápi hotnoti jednoho kubíku pouze kilogray a pro zápi hotnoti jednoho krychlového centietru gray. Hutotu tedy kg uvádíe v 3 a v g. Pro tyto dvě jednotky hutoty platí náledující převodní 3 c vztahy: hutota 3 g 0 kg 3 kg kg c 0, 3 kg 0 g 3 g g ,00 0 c c c. Rychlot vyjádřenou různýi jednotkai převádíe obdobně. Rychlot je definována jako podíl dráhy a čau: v. t rychlot

14 Řešení fyzikálních úloh Strana 6 Rychlot autoobilu vyjadřujee v kiloetrech za hodinu k h, ale pro výpočty je nutné používat jednotku etr za ekundu, tj. jednotku SI. Pro tyto dvě jednotky rychloti platí náledující převodní vztahy: k 000 0,7 h 3600 Řešená úloha 7 Převeďte: a) 8 k h k 000 3,6 h 3 600? k h k h k 8 5 h b) 3,5? k h k k k 3,5 3,5 3,5,6 h 000 h h k 3,5,6 h Úloha 6 Převeďte: 7 k h? 5? k h 0,5? k h (Řešení úlohy je na traně 7.) Průvodce Mnozí žáci, kteří na gynáziu přicházejí ze základních škol, znají převody rychloti nazpaěť. Je to chyba, protože kapacita lidkého ozku je oezená a člověk by ěl ozek využívat k přeýšlení, ne jen k ukládání poznatků. Snažte e proto převody odvozovat. Nepřekvapí vá poto převod z centietrů za inutu na etry za den, třeba u výpočtu rychloti hleýždě. Takové převody áe y učitelé fyziky u zkoušení obzvláště rádi!

15 Řešení fyzikálních úloh Strana 7 Výledky úloh Úloha J rozěrově neodpovídá kg -3, ale J kg -. Úloha W kg -3 (výkon je práce za ča, jednotka výkonu je tedy joule za ekundu). Úloha 3 0,3 kv 30 V 60 µa a,6 0-4 A kw W Úloha 4 0, c 560 ar 0,056 k 0,09 k 9 ha Úloha c 3 0,54 d 3 0,08 l 80 c dl 0,4 hl Úloha 6 7 k h k h 0,5 0,9 k h

16 Řešení fyzikálních úloh Strana 8 3 Základní ateatické potupy úpravy výrazů V této kapitole e dozvíte: na jaké nejčatější chyby i uíte dát pozor při úpravách výrazů; které ateatické úpravy budete nejčatěji při řešení úloh používat. V této kapitole e naučíte: vyjadřovat neznáou ze vzorce; využívat pravidla pro úpravu loených výrazů, ocnin a odocnin. Klíčová lova kapitoly: úprava ateatického výrazu; vyjádření neznáé ze vzorce; vytýkání; uocňování; odocňování. Ča potřebný pro protudování kapitoly: hodiny Algebraické výrazy uí uět řešit každý žák fyziky. Nejprve e vá pokuí vyvětlit vyjádření neznáé ze vzorce, ve které jou ocniny a odocniny a ve které je zároveň nutné vytýkat nebo používat tzv. oučtové vzorce. Pravidla pro tyto úpravy naleznete ve všech učebnicích ateatiky pro. ročník gynázia a přehledech tředoškolké ateatiky. Také ta naleznete pravidla pro čítaní, náobení, dělení a rozklad nohočlenů a loených výrazů. Bez znalotí popaných v těchto učebnicích e neobejdete ani ve fyzice. Složitější operace, jako je logaritování nebo práce gonioetrickýi funkcei, e pokuí ozřejit v aotatných kapitolách. Mezi nejobecnější pravidla úpravy nohočlenů a loených výrazů patří: Výraz pod odocninou neí být záporný příklady řešíe v oboru reálných a ne koplexních číel. Nelze dělit ani krátit nulou. Touto pravidlu neřekne na naše gynáziu nikdo jinak než Jedenácté Boží (též Vavrošovo) přikázání! Můj kolega a kaarád RNDr. Michal Vavroš určitě ví, proč na něj klade takový důraz... Nezapoeňte, že i neznáá by ohla nabýt nulovou hodnotu! Rovnice neíe nejen dělit, ale ani náobit nulou. Náobení by tak nebylo ekvivalentní úpravou. Vynáobí-li neylnou rovnot 5 4 nulou, dotanu zápi 0 0, který už je právný. Úpravy výrazů používáe v každé fyzikální úloze. V této opoře vá chci eznáit e základníi aplikacei ateatických poznatků ve fyzice. Pokud i ylíte, že jou vaše znaloti úprav algebraických výrazů a nohočlenů labší, natudujte je nejdříve z odborných ateatických učebnic. I když náledující řešená úloha čílo 8 neá fyzikální základ, je jeho úpěšné vyřešení důležité pro další tudiu fyziky. Považuji ho za lakuový papírek vašich ateatických chopnotí. Neáte-li úpravou podobných výrazů problé, jou vaše ateatické základy olidní a pro fyziku dotačující.

17 Řešení fyzikálních úloh Strana 9 Průvodce S úpravai, které popiuji v této kapitole, e eznaují žáci druhého tupně základních škol. Problé je v to, že poznatky z ateatiky neuějí využít ve fyzice. Může to být proto, že fyzika vedle ateatických oezení klade na výpočet i oezení vlatní. Ča, hotnot a délka trajektorie neohou být nikdy záporné apod. Řešená úloha 8 Vyjádřete všechny neznáé z výrazu: ( a b ). 3c + d Řešení: ) Vyjádření neznáé a: ( a b) Průvodce Nejprve je vynáobil obě trany rovnice 3c + d jenovatele (3c + d ), poto je obě trany ( a b) 3c + d rovnice odocnil a nakonec je převedl výraz - b na pravou tranu. a b 3c + d ( ) a 3c + d + b ) Vyjádření neznáých b, c a d: ( a b) 3c + d ( ) ( ) a b 3c + d a b 3c + d 3 + b b c d a a 3c + d ( a b) 3c + d ( ) ( ) ( ) a b 3c + d ( ) c + d a b 3 3c a b d c 3 a b d ( a b) 3c + d ( ) a b 3c + d ( ) ( ) ( ) c d a b 3 + d a b 3c d a b 3c Řešená úloha 9 Jaká bude výledná teplota vody v kalorietru o tepelné kapacitě J 30? Dva litry vody o teplotě K 80 K byly íchány, l vody o teplotě 340 K. Průvodce Setaví kalorietrickou rovnici, která popiuje dílení tepla ezi těley. Teplo je definováno Q c T, kde je hotnot, c ěrná tepelná kapacita (je uvedena v MFChT) a T je zěna teploty. C 30 J K V l kg T 80 K V, l, kg T 340 K c 4 80 T? K J K kg

18 Řešení fyzikálních úloh Strana 0 Řešení: Kalorietrická rovnice bude ít tvar: c ( T T ) c ( T T ) + C( T T ). Abych vyjádřil výlednou teplotu T, uí nejprve výrazy na obou tranách rovnice roznáobit, poto převedu všechny členy neznáou na levou tranu a všechny otatní na tranu pravou a nakonec teplotu T vytknu: c ( T T ) c ( T T ) + C( T T ) c T c T c T ct + CT CT c T + ct + CT c T + ct + CT T( c + c + C) c T + c T + CT ct + ct + CT T c + c + C 480, { T} , + 30 T 30 K Výledná teplota je 30 K. Úloha 7 Vyjádřete neznáé x, y a z z výrazu: (Řešení úlohy je na traně.) ( x ) + 3 y 3 + z. Průvodce V řešených úlohách č. 8 a 9 jte viděli, že úprava vztahu vede téěř vždy k racionálníu loenéu výrazu, který je žáky chybně označován jako zloek. Ve zloku jou totiž pouze číla. Proto uíte uět určit, pro které hodnoty proěnné je výraz definován, čili najít definiční obor výrazu (viz řešená úloha č. 0). Řešená úloha 0 x + Pro které hodnoty proěnné x á výraz yl? x x Řešení: Protože jenovatel neí být roven nule, vytknu neznáou x a lépe pozná, kdy by tato varianta ohla natat: x + x +. x x x( x ) Jenovatel by byl roven nule, pokud e bude rovnat nule x, nebo člen v závorce. To znaená, že x e neí rovnat 0 nebo.

19 Řešení fyzikálních úloh Strana Průvodce Žáci čato autoaticky zapiují do podínek definičního oboru, že proěnná neí být rovna nule. V řešené úloze 0 to je právné, protože bycho kutečně náobili závorku nulou a výledke takového náobení je vždy 0. V řešené úloze č. e ůžete převědčit, že tato podínka není univerzální. Řešená úloha Pro které hodnoty proěnných x a y á výraz yl? y x 9 Řešení: Výraz ve jenovateli ůžee rozložit na oučin poocí vzorce a - b (a + b)(a b): x. y y y x x x y Výraz neá yl pro hodnoty proěnných y x ±. 3 Řešená úloha Pro které hodnoty proěnných x a y á výraz yl? x (4 xy y ) Řešení: Výraz pod odocninou neí být záporný a zároveň jenovatel neí být roven nule. Výraz ohu upravit na tvar:. x (4 xy y ) x y 4 xy x y( 4 x) Nyní vyřeší odocninu ve jenovateli: Výraz bude kladný, pokud budou oba členy oučinu y a ( - 4x) zároveň kladné, nebo zároveň záporné: y 0 ( 4 x) 0 y 0 4 x nebo y 0 ( 4 x) 0 y 0 4 x y 0 x - y 0 x Protože ve jenovateli neí být nula, uí dále vždy platit: x 0; y 0; x -. 4

20 Řešení fyzikálních úloh Strana Úloha 8 Pro které hodnoty proěnných x a y á výraz 3yx 3xy (Řešení úlohy je na této traně.) yl? Úloha 9 Pro které hodnoty proěnných x a y á výraz (Řešení úlohy je na této traně.) ( ) 4 xy y yl? Úloha 0 Pro které hodnoty proěnných x a y á výraz x 4 (Řešení úlohy je na této traně.) y yl? Výledky úloh Úloha 7 ( z ) 3 y x ; y ( x ) z 3 ; z ( x ) y Úloha 8 3 x 0; x ; y 0 3 Úloha 9 ( y 0 y x 0) ( y 0 y x 0) Úloha 0 x ± y

21 Řešení fyzikálních úloh Strana 3 4 Využití rovnic a nerovnic při řešení fyzikálních úloh V této kapitole e naučíte: aplikovat řešení kvadratických rovnic poocí dikriinantu na fyzikální úlohy; ateaticky zapiovat nerovnice ve fyzikálních úlohách; zvolit nejvhodnější etodu řešení outavy lineárních rovnic a nerovnic; řešit logaritické a exponenciální rovnice vyjadřující vztahy ezi fyzikálníi veličinai. Klíčová lova kapitoly: kvadratická rovnice; dikriinant; outava lineárních a nelineárních rovnic; nerovnice; logaritická a exponenciální rovnice; kořen rovnice. Ča potřebný pro protudování kapitoly: hodiny Lineární rovnice a jejich outavy jte e naučili řešit na základní škole. Některá pravidla je uvedl v předcházející kapitole a při tudiu ateatiky na gynáziu i použití ekvivalentních úprav při řešení rovnic zopakujete. V této kapitole e chci věnovat takový outavá rovnic a nelineární rovnicí, e kterýi e budete celke pravidelně etkávat ve fyzice. Důležité je ateatický výledek úlohy právně fyzikálně interpretovat, tj. vyvětlit (viz náledující řešené úlohy č. 3 až 0). Téěř všechny fyzikální úlohy vedou k řešení poocí rovnice nebo outavy rovnic. Výhoda takových úloh je v to, že i ůžete jednoduše udělat zkoušku doazení kořene, tj. výledku výpočtu, do zadání. Vyjde-li zkouška, ihned víte, že výpočet je ateaticky právný. Výledek ale neuí být právný fyzikálně, vždy je třeba ho v odpovědi interpretovat. 4. Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je každá rovnice neznáou x, která e dá poocí ekvivalentních úprav převét do tvaru ax + bx + c 0, kde a je kvadratický člen, b lineární člen a c abolutní člen. Pokud je kvadratický člen roven nule, rovnice přechází v rovnici lineární bx + c 0. Pokud je buď abolutní člen, nebo lineární člen roven nule, neuí rovnici řešit poocí vzorce dikriinante, který á po úpravě tvar: -b± b -4ac x,, kde odocnina a vytačí i vytýkání a rozklad na oučin. b -4ac je dikriinant, ale dikriinant Průvodce Žáci čato řeší poocí dikriinantu i neúplné kvadratické rovnice, což je zbytečné. Vytýkání a úpravy na oučin jou jednodušší. V příkladech, ve kterých budete doazovat do vztahu pro výpočet kořenů, i dávejte při doazování velký pozor na znaénka.

22 Řešení fyzikálních úloh Strana 4 Řešená úloha 3 V jaké výšce nad povrche Zeě půobí na těleo deetkrát enší gravitační íla než na povrchu Zeě? R z F g : F g (h) 0 : Řešení: Podle Newtonova gravitačního zákona je velikot gravitační íly půobící na těleo uítěné na povrchu Zeě: Mz Mz Fg G a F g(h) G ve výšce h nad povrche. (R ) (R + h) z Ze zadání vyplývá, že hodnota poěru ezi ilai je rovna 0: F : F (h) 0 : g g Mz G F g (R + z ) (R z ) Rz h 0. F g(h) Mz G Rz (R + h) (R + h) z z Nyní upraví ateatický výraz a obdrží kvadratickou rovnici, kterou vyřeší poocí vzorce dikriinante: z Rz + h Rz z z z z z,, 0 h + hr + R 0R h + hr 9R 0 h R ± 4R + 4 9R h R ± 0R h R ( 0 ) h z z z z z R ( 0 + ). z z První řešení je číelně rovno h k. Uítíe-li těleo do této výšky nad povrch Zeě, bude na něj půobit deetkrát enší gravitační íla než na povrchu naší planety. Druhé řešení je číelně rovno h k. Vzdálenot od povrchu ale nikdy neůže být záporná. Ani v případě, že bycho těleo uítili pod povrch Zeě. Proto úloha á jen jedno řešení, i když ateaticky exitují řešení dvě!

23 Řešení fyzikálních úloh Strana 5 Řešená úloha 4 Těleo jelo počáteční rychlotí 5 dlouho urazí 30 etrů? a zrychlovalo e zrychlení a 0,5. Za jak v 0 5 a 0,5 30 t? Řešení: Dráha, kterou těleo urazí při rovnoěrně zrychlené pohybu, je popána rovnicí: v0t + at, kde v 0 je počáteční rychlot, a je zrychlení a t ča. V příkladech, kdy neznáá je ča, je rovnice kvadratická kvadratický člene a, lineární v 0 a abolutní. Proto: t, + 0 at v0t v0 ± v0 4 a( ) a v ± v + a 0 0 a { t, } t t 5 ± , , ,6. 0,5 Úloha á jediné řešení t 0. Těleo potřebuje 0 ekund, aby urazilo 30 etrů. Řešení t - 86,7 je ice ateaticky právné, ale neá fyzikální yl. Úloha Těleo bylo vrženo vile vzhůru počáteční rychlotí 7 k h. Za jakou dobu bude ve výšce a) patnáct etrů, b) 50 etrů? (Řešení úlohy je na traně 34.) 4. Lineární nerovnice Fyzikální úlohy řešené poocí lineárních nerovnic vyžadují nejen právný výpočet, ale i úvahu. Obecně úlohy řešené poocí lineárních nerovnic patří ezi jednoduché

24 Řešení fyzikálních úloh Strana 6 fyzikální úlohy; všechny nátrahy lineárních nerovnic, jak je znáte z ateatiky, nebývají ve fyzice uplatněny. Lineární nerovnice neznáou x lze vždy po úpravě zapat ve tvaru ax + b > 0, kde a a b jou kontanty. Pro zápi je použil znaénko nerovnoti je větší, ale v zápie ůže být i je enší, je enší nebo rovno a nebo je větší nebo rovno. Průvodce Využití jiných než lineárních nerovnic, tj. kvadratických, logaritických, exponenciálních atd., není ve výuce gynaziální fyziky čaté. Protože úlohy řešené poocí ložitějších nerovnic jou řazeny do učiva fyzikálního eináře, nebudu e jii v této opoře zabývat. Řešená úloha 5 Na dno válcové nádoby ůže půobit tlak 50 kpa. Jakou kapalinu ůžete do nádoby nalít, jetliže její výška je etr? h p 50 kpa Pa g 9,8 kg ρ? 3 Řešení: V zadání úlohy je otázka, jakou kapalinu ůže do nádoby nalít. V echanice patří ezi nejzákladnější charakteritiky kapalin jejich hutota ρ. Tlak, který vydrží dno nádoby, je hydrotatický. Hydrotatický tlak je definován jako oučin hutoty kapaliny, výšky kapaliny v nádobě a tíhového zrychlení: p h hρg. Protože výšku kapaliny v nádobě a tíhové zrychlení ěnit neůžee, je hutota kapaliny jediná proěnná na pravé traně rovnice. Hutota uí být axiálně taková, aby tlak na dno byl 50 kpa: p h > hρg, takže: ph ρ hg ,8 kg ρ 5 096,84. 3 { ρ } Do nádoby ůžee až po okraj nalít kapaliny, jejichž hutota je enší než kg 5 096,84, tj. například vodu a líh, ale ne rtuť. 3

25 Řešení fyzikálních úloh Strana 7 Úloha Těleo je položeno na nakloněné rovině úhle 30. Jaká uí být iniální hodnota oučinitel ykového tření tykových ploch tělea a povrchu nakloněné roviny, aby těleo zůtalo v klidu? (Řešení úlohy je na traně 34.) 4.3 Soutavy rovnic Při řešení fyzikálních úloh e vá čato tane, že úlohu budete chtít řešit použití právného vztahu, ale budete ít více neznáých. v takových případech uíte využít i další vztahy popiující danou ituaci. Z pohledu ateatiky e jedná o řešení úlohy poocí outavy rovnic. Soutava dvou lineárních rovnic o dvou neznáých e vždy dá převét do tvaru: ax + by 0 cx + dy 0, kde a, b, c a d jou kontanty. Nejjednodušší je vyjádřit jednu z neznáých z jedné rovnice a doadit upravený výraz do druhé rovnice. Obecně je jedno, ze které rovnice a kterou neznáou vyjádříte. V praxi i vybírejte takový potup, který je z hledika výpočtu nejnazší. Popaná úprava odpovídá doazovací etodě řešení outavy rovnic (viz Řešená úloha 6). Budou-li e rovnat pravé trany rovnic, uí e rovnat i trany levé. Zapište je proto do rovnoti a využijte tak etody rovnávací. Třetí výpočtová etoda řešení outavy rovnic je etoda odčítací. Jak název napovídá, odčítáe od ebe levé a pravé trany rovnic. Ve ložitějších případech uíte využít některou z etod řešení outavy rovnic v kobinaci dalšíi algebraickýi potupy. Čato budete dělit levé a pravé trany rovnic nebo je od ebe odčítat. Zvolit nejvýhodnější potup ůže být obtížné a čato to závií na vašich zkušenotech. Průvodce U outav lineárních i nelineárních rovnic uí vždy platit, že všechny fyzikálně právné potupy řešení, ve kterých nejou výpočtové chyby, uí vét ke právnéu výledku! Popi rozvětvených obvodů poocí Kirchhoffových zákonů je pro učitele vždy lahůdka. Někdy e tane, že u patnácti žáků uí prověřit právnot i deeti různých potupů. Všechny ohou být právné. outavy lineárních rovnic etody řešení outav rovnic Řešená úloha 6 Těleo e pohybovalo na začátku pohybu rychlotí 0 a rovnoěrně zrychlilo na 5 při kontantní zrychlení. Jakou dráhu při zrychlování urazilo? v 0 0

26 Řešení fyzikálních úloh Strana 8 v 5 a? Řešení: Rovnoěrně zrychlený pohyb popiují vztahy pro dráhu a rychlot: v0t + at, v v + at, 0 kde t je ča, v 0 je počáteční rychlot a a je zrychlení. V této outavě rovnic jou neznáé ča t a dráha. Mnoho žáků nejprve ča vyjádří číelně a čílo doadí do rovnice dráhy. Fyzikálně korektnější je ale vyjádřit ča z druhé rovnice obecně a tento výraz doadit do rovnice první: Číelně: v v v v0 + at t a v v0 v v0 0 + v a a a ( v v0 ). a { } ( ) 6,5. 0 O právnoti výpočtu e ůžee převědčit jednoduchý doazení do vztahů. Řešená úloha 7 Dvě dokonale pružné koule o hotnotech kg a 3 kg e pohybovaly tejný ěre po jedné příce a razily e. Jejich rychloti před rážkou byly jejich rychloti po rážce. kg 3 kg v 0 ; v 0 3 a 3. Určete v? ; v? Řešení: Zěnila e rychlot koulí, ale celková hybnot a energie e nezěnila. Platí zákon zachování hybnoti: v 0 + v 0 v + v ()

27 Řešení fyzikálních úloh Strana 9 a zákon zachování energie: v 0 + v 0 v + v. () Po úpravě: v 0 + v 0 v + v. Vztahy () a () vytváří outavu dvou rovnic o dvou neznáých v a v. Obě rovnice přepíšu do takového tvaru, aby na levých tranách rovnic byly hotnoti a na pravých tranách hotnoti : v - v v v 0 0 v - v v v a vydělí levé a pravé trany: v0- v v v0 v - v v v v + v v + v 0 0 v + v v + v 0 0 v v + v v 0 0 Rychlot v doadí do zákona zachování hybnoti ():. v 0 + v 0 (v + v 0 v 0 ) + v v { v } v v + v v ,5 v 3,5. Rychlot koulí po rážce byla 3,5 a,5. Možných etod řešení je několik. Využití etody doazovací ihned po epání outavy rovnic by vedla ke ložité kvadratické rovnici. Některé fyzikální veličiny ohou být ve vztahu uvedeny i ve vyšší ocnině (například rychlot u nerovnoěrných pohybů), řešíe ve fyzice i outavy nelineárních rovnic. Nejčatěji budete pracovat jední nelineární vztahe a jední nebo několika poocnýi lineárníi vztahy. Proto neznáé z nich vyjádřete a doaďte do hlavního vztahu (viz Řešená úloha 8). outavy nelineárních rovnic Řešená úloha 8 Ve vodovodu o plošné obahu 4 d proudí voda rychlotí při tlaku 50 kpa. Určete rychlot a tlak vody ve zúžené průřezu o obahu 90 c.

28 Řešení fyzikálních úloh Strana 30 S 4 d 0,04 S 90 c v p 50 kpa Pa v? p? Pa Průvodce Uvedená úloha charakterizuje hydroechaniku, tj. echaniku kapalin. Proudící kapalinu v ní popiujee poocí Bernoulliovy rovnice, která vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu, a rovnice kontinuity (též pojitoti toku). Obě rovnice jou uvedeny v řešení náledující úlohy. Jedinou jednoduchou etodou řešení této outavy rovnic je vyjádřit z rovnice pojitoti rychlot v ve zúžené průřezu potrubí a doadit ji do Bernoulliovy rovnice. Snažte e v podobných úlohách nejprve řešit obecně a číelné hodnoty doazujte až do finálního vyjádření (viz kapitola Forální zpracování fyzikální úlohy). Řešení: Bernoulliova rovnice: ρ v + p ρ v + p Rovnice pojitoti toku: Sv Sv. Jak je uvedeno již v průvodci, do Bernoulliovy rovnice doadíe vyjádření rychloti v, kterou vypočítáe: Sv Sv Sv v S S v ρ v + p ρ + p { p } S Sv p ρ v + p ρ S p 0, ,5 kpa. 3 Rychlot v ůžee dopočítat z Bernoulliovy rovnice i z rovnice pojitoti; repektive ůžee právnot výpočtu ověřit: ρ v + p ρ v + p Sv Sv Sv ρ v ρ v + p p v S v 0,04 ρ v + p p { v} ρ v 8,9. v ρ v p p ρ + { v } v ,9. p

29 Řešení fyzikálních úloh Strana 3 Ověření: Tlak ve zúžené čáti trubice je,5 kpa a rychlot 8,9. Úloha 3 Jakou rychlot uí ít těleo, které e pohybuje po kružnici o poloěru to etrů, aby v její nejvyšší bodě byla jeho tíha nulová? (Řešení úlohy je na traně 34.) Úloha 4 Střela e pohybovala rychlotí 00 a pronikla do trou do hloubky c. Jakou rychlotí e pohybovala třela, která pronikla do hloubky 0 c? (Řešení úlohy je na traně 34.) 4.4 Exponenciální a logaritické rovnice Při řešení fyzikálních úloh nevytačíte pouze e znalotí lineárních a kvadratických rovnic. Potupně e od druhého ročníku budete eznaovat i dalšíi typy rovnic. Poocí dekadického logaritu je v akutice popána hladina intenzity zvuku v záviloti na intenzitě zvuku nebo v atrofyzice tzv. Pogonova rovnice uožňující klaifikaci hvězdných agnitud. Aktivita zářiče ve fyzice ikrověta je zae exponenciální funkce. Exponenciální je i závilot náboje a napětí kondenzátoru na čae. Na gynáziu e těito vztahy etkávají pouze žáci volitelného předětu Seinář a cvičení z fyziky. V praxi e využívá i přirozený logaritu, jehož základe je Eulerovo čílo; e,7. Něco navíc!

30 Řešení fyzikálních úloh Strana 3 Průvodce S úlohai řešenýi poocí ložitějších ateatických operací e etkáte až ve druhé a vyšších ročnících. Nejprve e uíte eznáit potřebný ateatický aparáte, který náledně využijete v praxi ve fyzice. Např. logarity e tudují v ateatice na gynáziích už ve druhé ročníku. Řešená úloha 9 Hladina intenzity zvuku tikajících hodinek je ai 0 db. Motorová vozidla vydávají hladinu intenzity zvuku okolo 90 db. Jaké zvýšení intenzity zvuku odpovídá zvýšení hladiny intenzity zvuku z 0 na 90 db? Průvodce Hladina intenzity zvuku L á jednotku decibel (zkratka db). Ucho je citlivější při nižších intenzitách zvuku, kdy i alé zěny dokáže relativně přeně rozpoznat. Je proto výhodnější používat tzv. logaritickou tupnici. Náledující bod logaritické tupnice e od předchozího liší v ocnině. Nezapiujee např. na ou y hodnoty 0,,, 3,... ale 0 0, 0, 0, 0 3,... což odpovídá, 0, 00, 000,...). I W Platí vztah L 0log, kde i je intenzita zvuku a I I. 0 L 0 db L 90 db W I I : I? Řešení I. Určí obě intenzity zvuku a vypočítá poěr těchto hodnot: L I I 0 L 0log 0, I I I I 0 0 { I } I L W 0 L I 0 { I } I I I 0log 0 I I I 0 L L W 0 Řešení II. Neznáá ve výpočtu bude poěr intenzit hlaitoti, pro který platí rovnice logarituji a zároveň vynáobí 0 db. I I I I 0. Obě trany I I 0

31 Řešení fyzikálních úloh Strana 33 ( 0dB) log ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dB log 90dB 0dB log I I I I 0dB log I I I I I 0dB log 0dB log 0dB log I I I I I I 0dB log I I I I I 70dB Při zěně hladiny intenzity zvuku o 3,5 náobek e zění intenzita zvuku krát. Řešená úloha 0 Určete koeficient tluení δ kitání, jetliže počáteční aplituda poklene na čtvrtinu vé počáteční hodnoty za 75 ekund. t 75 y 0,5 y 0 δ? - Řešení: δt Zěna aplitudy tlueného kitání v čae je popána vztahe: y y0e. Odtud po úpravě a logaritování přirozený logarite: y y 0 y ln y { δ } e 0 δt δ,85 y ln y δt δ T ln 4 0,75 Koeficient tluení je,

32 Řešení fyzikálních úloh Strana 34 Úloha 5 Za jak dlouho klene náboj kondenzátoru v RC obvodu na polovinu počáteční hodnoty? Odpor rezitoru v obvodu je kω, kapacita kondenzátoru 50 µf. RC (Poznáka: Vybíjení kondenzátoru je popáno vztahe Q Q0e ) (Řešení úlohy je na této traně.) t Řešení úloh Úloha Úloha Úloha 3 Úloha 4 Úloha 5 Ve výšce 5 bude těleo za (při pohybu nahoru) a za 3 (při pohybu zpět dolů). Výšku 50 těleo nezíká nikdy. Složka tíhové íly rovnoběžná povrche roviny uí být tejně velká nebo enší než třecí íla, která je rovna oučinu koeficientu ykového tření a tlakové íly (ložka tíhové íly kolá na povrch): F f F. Po doazení poocí gonioetrických funkcí: inα f ; f 0,577. coα Na těleo půobí neutále íla gravitační a íla odtředivá. Otatní íly, jako je například odpor vzduchu, zanedbává. V nejvyšší bodě jou tyto íly, které půobí na těleo, tejně veliké, ale opačného ěru. F F od g v g v rg r v 3,3. Za předpokladu, že v obou případech půobila třela na dřevo přibližně tejnou ilou a obě třely ěly tejnou hotnot, platí outava dvou rovnic (kinetická energie třely e rovná vykonané práci): F v. F v Obě rovnice je vydělil a vyjádřil je rychlot: v 9, Pokud jte právně upravili exponenciální rovnici, víte, že platí: t 0,69 RC; t 0,0345..

33 Řešení fyzikálních úloh Strana 35 5 Grafy a tabulky ve fyzikálních úlohách V této kapitole e naučíte: zapiovat hodnoty fyzikálních veličin do tabulek a grafů; zíkávat hodnoty fyzikálních veličin, které jou uvedeny v tabulce nebo v grafu; fyzikálně a ateaticky analyzovat data zadaná tabulkou nebo grafe. Klíčová lova kapitoly: tabulka; graf; ouřadnicové oy; ěřítko oy; úěra; lineární funkce; kvadratická funkce. Ča potřebný pro protudování kapitoly: 3 hodiny Zpracování úlohy v podobě grafů a diagraů patří ve fyzice ezi nejčatěji používané etody. Některé úlohy jou grafe přío zadány, u jiných je graf nedílnou oučátí potupu nebo řešení. Průvodce Grafy, e kterýi e etkáváte v ateatice, jou ve vé podtatě tejné jako grafy fyzikální. Pokud i to uvědoíte, předejdete noha probléů. V ateatice e naučíte přeně znázornit průběh funkce; ve fyzice uíte uět průběh funkce popat lovy. 5. Grafy v zadání úloh Řešená úloha Rovnoěrný příočarý pohyb tělea je znázorněn na grafu. Určete: a) dráhu, kterou těleo urazí za 4 ; b) rychlot tělea; Řešení: Jednotlivé úkoly neuíe řešit ve tejné pořadí, ve které jou zadány: ad b) Rychlot rovnoěrně příočarého pohybu v je definována jako dráha, kterou těleo urazí za určitý ča t. Neznáe celkovou dráhu ani celkový ča, ale z grafu ohu určit, že za první ekundu těleo urazilo patnáct etrů, protože na začátku ěření bylo od pozorovatele vzdáleno patnáct etrů a za jednu ekundu už třicet etrů: 5 v { v} t v 5. ad a) Dráhu ohu vyjádřit z definičního vztahu pro rychlot:

34 Řešení fyzikálních úloh Strana 36 v vt t 60. Těleo e pohybovalo rychlotí 5 ; za čtyři ekundy urazilo 60 etrů. Úloha 6 Na grafu je zaznaenán rovnoěrný pohyb tělea. Určete: a) dráhu, kterou těleo urazí za 90 ; b) za jak dlouho těleo urazí 30? (Řešení úlohy je na traně 46.) Řešená úloha Na grafu je zobrazena závilot teploty dvou těle na přijíané teple. Hotnot obou těle je 60 graů. Určete počáteční a koncové teploty těle. Určete ěrné tepelné kapacity látek, z nichž jou tělea A a B zhotovena. Řešení: Pro práci grafy je důležité uět je čít : Na vodorovné oe (oa x) je zobrazeno teplo, které tělea A a B přijíají. Vidíe, že počátek odpovídá přijatéu teplu 0 J a jeden dílek znaená přijetí tepla J. Hodnoty na vilé oe (oa y) udávají zěnu teploty. Z grafu vyplývá, že počátek odpovídá 0 C a jeden dílek je C. Grafy funkcí jou znázorněny jako dvě úečky. To znaená, že záviloti jou lineární a dají e ateaticky obecně zapat rovnicí y ax + b, kde a a b jou kontanty. Nejprve určíe z grafu počáteční a koncové teploty. Muíe tedy najít ypilonové ouřadnice koncových bodů obou úeček. Graf tělea a začíná v bodě, kteréu odpovídá teplota t 0A 4 C; koncovéu bodu odpovídá teplota t A 5 C. Těleo A e zahřálo o C. Počáteční teplota tělea B je t 0B C; koncová t B 4 C. Těleo B e ohřálo o 3 C. Abycho ohli vypočítat ěrné tepelné kapacity, uíe znát i velikot přijíaného tepla. V obou případech je Q 6 J. Protože teplo ůžee v terodynaice vypočítat poocí vztahu Q c t, ěrné tepelné kapacity těle jou:

35 Řešení fyzikálních úloh Strana 37 Q 6 J c { c } ; c 00. 0,06 K kg A A A A ta Q 6 J c { c } ; c 33,3. 0,06 3 K kg B B B B tb Měrné tepelné kapacity jou c A 00 J K kg a c B 33,3 J. K kg Řešená úloha 3 Na grafu je znázorněna zěna tlaku vzduchu při zěně jeho objeu. Jakou echanickou práci vzduch při popané ději vykonal? Průvodce Práce plynu je při kontantní tlaku definována vztahe W p V, při proěnlivé tlaku bych uel integrovat, což je ložitá ateatická operace. z obou případů ale vyplývá, že práce plynu je číelně rovna obahu plochy pod křivkou na pracovní diagrau. Vyvětlení e dovíte ve druhé ročníku. v tuto chvíli je důležitější výpočet než jeho teoretická východika. Řešení: Všechny potřebné údaje jou zadány v grafu a ne v textu úlohy. Protože práce plynu číelně odpovídá obahu vybarvené plochy, je řešení úlohy nohe jednodušší, než by e ohlo podle teoretických poznatků zdát. Plochu je rozdělil na několik čátí trojúhelník a dva obdélníky a jejich obahy je ečetl. Proto práce vykonaná plyne je 7 kj.

36 Řešení fyzikálních úloh Strana 38 Úloha 7 Na obrázku je nakrelen graf vyjadřující zěnu teploty jako funkci tepla přijatého těito těley. Hotnot obou těle je kg. Určete teplo přijaté těley. Určete ěrné tepelné kapacity látek, ze kterých jou tělea zhotovena. (Řešení úlohy je na traně 46.) 5. Úlohy řešené poocí grafu Méně zkušený žáků vždy radí, aby při řešení fyzikálních úloh axiálně používali grafy, nákrey, chéata a obrázky. Uvědoí i přito noho ouvilotí, které z paného textu neuí ihned vyplývat. přibývajícíi zkušenoti nutnot krelení grafů a obrázků izí. Při tudiu fyziky e budete čato etkávat i úlohai, ve kterých je grafické znázornění některých fyzikálních veličin přío řešení některého dílčího úkolu (viz Řešená úloha 4). Řešená úloha 4 Těleo e pohybovalo tři čtvrtiny hodiny rychlotí 5, poto 30 inut rychlotí 0 k h a nakonec 0,5 h tálo. Nakrelete a) graf záviloti dráhy na čae, b) graf záviloti rychloti na čae. Určete průěrnou rychlot. t 0,75 hod 700 v 5 t 30 in 800 v 45 k h,5 t 3 0,5 hod 900 v 3 0 v p? Řešení: Průvodce Ča zakrelujee v grafu dráhy i rychloti vždy na ou X. K oe je nutno připat značku čau t a značku jednotky. Za jednotku čau i ůžete zvolit ekundu, inutu nebo třeba hodinu. Nezapoeňte ale, že v různých úecích je ča uveden v různých jednotkách, a proto uíte převádět všechny hodnoty na tejnou jednotku. Podobně je to jednotkai rychloti, repektive dráhy, které znázorňujee na ou Y. Pokud budou vaše výpočty právné, ůžete i zvolit jakékoliv jednotky a neuíte pracovat jen jednotkai základníi. Zvolte i vhodné ěřítko. v řešené úloze 4 by bylo hloupé přiřadit jedné ekundě na oe c nebo třeba decietru.

37 Řešení fyzikálních úloh Strana 39 ad a) Graf záviloti dráhy na čae popiuje délku trajektorie tělea vzhlede k čau. Nejprve vypočtu dráhy, a 3, které těleo v jednotlivých úecích dráhy urazilo. Dráha rovnoěrného pohybu je definována jako oučin rychloti a čau: vt, proto: v t ; ; v t ; 500 ; 3 v 3 t 3 ; 3 0. Protože celkový ča je a celková dráha , ohu i zvolit odpovídající ěřítko grafu: Dráha rovnoěrného pohybu je vzhlede k čau, jako proěnné, lineární funkce, kde kontantou úěrnoti je rychlot: vt + 0. Grafe takové funkce je čát příky. V první úeku vychází z počátku, protože počáteční dráha 0 je nulová. Ve druhé úeku už těleo urazilo dráhu, a proto úečka neěřuje do počátku. Ve třetí úeku těleo tálo a dráha e nezvětšovala, byla kontantní. Grafe kontantní funkce je čát příky rovnoběžná oou X. ad b) Graf záviloti rychloti na čae etrojí podobně jako graf záviloti dráhy na čae. Potřebné hodnoty čau a rychloti v jednotlivých úecích jou uvedeny v zápie.

38 Řešení fyzikálních úloh Strana 40 V jednotlivých úecích e rychlot tělea neěnila - byla kontantní. Proto jou grafy úečky rovnoběžné oou X. ad c) Průěrná rychlot je podíl celkové dráhy a celkového čau. Tyto hodnoty ůžee určit výpočte nebo z grafu: v v p p { vp} t 6, Průěrná rychlot tělea je 6,67. Pokud by e těleo celou dobu pohybovalo průěrnou rychlotí, uelo by urazit tejnou dráhu (viz dvě křivky na grafu). Úloha 8 Hotný bod e nejprve pohyboval 0,5 in rychlotí 8 k h, poto urazil 7 etrů rychlotí 3 a nakonec 5 ekund tál. Nakrelete graf záviloti a) dráhy na čae, b) rychloti na čae. Určete průěrnou rychlot. (Řešení úlohy je na traně 46.) Řešená úloha 5 Hotný bod zrychloval dvacet ekund z klidu, až doáhl rychloti 8, poto e pohyboval 5 ekund kontantní rychlotí. Nakrelete graf záviloti a) dráhy na čae, b) rychloti na čae.

39 Řešení fyzikálních úloh Strana 4 v 0 0 v 8 t 0 ; t 5 ;?? Řešení: První úek dráhy urazil hotný bod za 0 ekund a jeho rychlot e zvýšila za tuto dobu z nuly na o etrů za ekundu. Jedná e o pohyb rovnoěrně zrychlený, jehož rychlot a dráha jou určeny vztahy: v v + at v0t + at. Protože počáteční dráha a rychlot ají nulovou hodnotu, ohu vztahy zapat ve zjednodušené tvaru: v at at. Abych ohl vypočítat dráhu, kterou hotný bod urazil v první úeku, doadí vyjádření zrychlení ze vztahu pro rychlot do vztahu pro dráhu (viz kapitola 4.3 Soutavy rovnic): v a at vt t { } Ve druhé úeku e hotný bod pohyboval rovnoěrný pohybe rychlotí 8 po dobu, takže urazil dráhu 96. Nyní zná všechny potřebné hodnoty a ohu nakrelit hledané grafy: ad a) Graf záviloti dráhy na čae:

40 Řešení fyzikálních úloh Strana 4 V první úeku e tává grafe čát paraboly závilot dráhy na čae je kvadratická; ve druhé úeku je grafe čát příky, závilot dráhy na čae je lineární. ad b) Graf záviloti rychloti na čae: Úloha 9 Hotný bod e pohyboval 0 ekund kontantní rychlotí 4, poto rovnoěrně zpoaloval a za 8 e zatavil. Nakrelete graf záviloti a) dráhy na čae, b) rychloti na čae. (Řešení úlohy je na traně 47.) Řešená úloha 6 Jaké teplo uíe dodat 0,5 kg ledu o teplotě 5 C, aby roztál a voda náledně vyvřela? Měrné kupenké teplo vypařování vody je,9 MJ, ěrné kupenké teplo kg tání ledu je 334 kj J, tepelná kapacita vody je 4 00, ěrná tepelná kapacita kg kg K J ledu je 00. kg K l l 334 kj kg J kg l v,9 MJ kg,9 06 J c 00 kg K J c 4 80 kg K 0,5 kg t -5 C t 0 C t 3 00 C Q? J J kg

41 Řešení fyzikálních úloh Strana 43 Řešení: Led bude potupně přijíat tyto ložky tepla: teplo Q na ohřátí ledu na teplotu tání, kupenké teplo tání na zěnu kupentví (led taje na vodu) Q, teplo Q 3 na ohřátí vzniklé vody na 00 C a kupenké teplo varu Q 4 : Q Q + Q + Q + Q { Q} 3 4 ( ) ( ) Q c t t + l + c t t + l l 3 0, , , ,5,9 0 6,53 0 J Q Ledu uíe dodat teplo,53 MJ. v 3 6 Průvodce Mnoho žáků v toto příkladů zapoíná na všechny ložky tepla, které přijíá led. Graf ji poáhá uvědoit i, jaký děj probíhá a co e při ně děje. 5.3 Úlohy zadané tabulkou Tabulky e využívají předevší v těch fyzikálních úlohách, ve kterých pracujee e tatiticky velkýi oubory. Abycho neueli například ečítat tovky hodnot, zapíšee je do několika intervalů a pracujee průěrnýi hodnotai intervalů. Součet velkého počtu hodnot e nazývá ua, značka Σ. Ve vyšší ateatice nahrazuje uu integrování. Druhou kupinou fyzikálních úloh, ve které e budete etkávat tabulkai, je kineatika. Pohyb těle je čato vyjádřen tabulkou, která ůže loužit jako poůcka při vytváření grafu, nebo pro kontrolu jeho právnoti. Pokute e vytvořit tabulky k řešený úlohá 4 a 5. Neylitelné jou laboratorní práce bez zápiu naěřených hodnot do tabulek. Naěřené hodnoty e dále zpracovávají (průěr, ua, odu, nejvyšší a nejnižší hodnota;...) například poocí prograu MS Excel. Řešená úloha 7 Určete třední kinetickou energii olekul kylíku, jetliže rychlot olekul kylíku tudovaného ouboru je popán tabulkou: Sua rychlot olekul v počet olekul N / % a více 9 Průvodce Střední kvadratická rychlot v k e zavádí proto, abycho neueli počítat kinetickou energii všech čátic aotatně. Každá čátice á jinou rychlot, á i jinou Řešení: kinetickou energii. Proto je potřebné najít rychlot, kterou označujee jako třední Mkvadratickou r (O ) 6 rychlot. Kdyby ji totiž ěly všechny čátice ytéu, nezěnila by e jeho celková kinetická energie.

42 Řešení fyzikálních úloh Strana 44 E k? J T? K Řešení: Střední kinetická energie je popána vztahe, kde v k je třední kvadratická rychlot a hotnot olekuly: E0 v k Střední kvadratickou rychlot uíe určit poocí zadané tabulky. Najdee ji z definice jako vážený průěr: v N v + N v + N v + N v k { vk } v k 0, , , , ,5. Za rychloti je doadili průěrnou hodnotu v dané intervalu. Střední kvadratická rychlot je důležitá pro výpočet třední kinetické energie olekul kylíku. Hotnot ytéu je oučin relativní olekulové hotnoti M r a atoová hotnotní jednotka u : E v M Ek Mruv k k k r u E E k k 6, ,5 5, 0 J. 7 Střední kinetická energie olekul kylíku je 5, 0 - J Řešená úloha 8 Model autoobilu e při závodu rozjížděl od tartovací čáry deet ekund rovnoěrně zrychlený pohybe. Doplňte tabulku: t / / 3,6 v / 0,8 a / 0,

43 Řešení fyzikálních úloh Strana 45 Řešení: Dráha a rychlot v rovnoěrně zrychleného pohybu jou při nulové počáteční rychloti popány vztahy: ;, kde a je zrychlení a t ča. at v at Protože zrychlení a je při rovnoěrně zrychlené pohybu kontantní, ohu do všech políček čtvrtého řádku tabulky napat tejnou hodnotu, jaká je zapaná pro ča t 8 : t / / 3,6 v / 0,8 a / 0, 0, 0, 0, 0, 0, Poocí vztahu pro rychlot (oučin čau a zrychlení) doplní po jednoduché výpočtu i hodnoty velikoti rychloti. t / / 3,6 v / 0 0,4 0,8*,,6 a / 0, 0, 0, 0, 0, 0, Podobně potupuji při výpočtu dráhy, která je definována vztahe at : t / / 0 0,4,6 3,6* 6,4 0 v / 0 0,4 0,8*,,6 a / 0, 0, 0, 0, 0, 0, * tyto hodnoty byly v tabulce předepány a zároveň jou hodné hodnotai vypočtenýi. To dokazuje, že výpočet byl právný. Průvodce Pokud by nebyla udána hodnota zrychlení, uel bych ji ze vztahů pro rychlot a dráhu vyjádřit (viz kapitola 3 Základní ateatické potupy - úprava výrazů). Některé hodnoty ohu vypočítat doazení vyjádření jedné neznáé do druhého vztahu (viz kapitola 4.3 Soutavy rovnic). Úloha 0 Vlak e rozjížděl 5 in rovnoěrně zrychlený pohybe e zrychlení 0,04 a poto jel 30 inut kontantní rychlotí. Doplňte tabulku:

44 Řešení fyzikálních úloh Strana 46 t / in / k 0 v / 0 (Řešení úlohy je na traně 47.) Řešení úloh Úloha 6 Protože těleo za 0,5 in urazí 30, jeho rychlot je. Za devadeát Úloha 7 Úloha 8 ekund urazí 80 etrů; 30 etrů urazí za 5 ekund. Pozor: Ča je na oe X uveden v inutách! Tepla přijatá těley jou: Q A 0 kj a Q B 80 kj a jejich ěrné tepelné J J kapacity c A 96,7 a c B 500. kg K kg K Pozor: Grafy vyjadřující závilot zěny teploty těle na přijaté teple nevycházejí z počátku! První úek trval 5 ekund a těleo urazilo 75 etrů, takže jeho rychlot byla 5 ; druhý úek trval 9 ekund a těleo urazilo 7 etrů (rychlot byla 3 ). Nakonec těleo bylo 5 ekund v klidu:

45 Řešení fyzikálních úloh Strana 47 Úloha 9 Těleo e nejprve pohybovalo rovnoěrný příočarý pohybe a za 0 ekund urazilo 40 etrů, poto zpoalovalo a za 8 ekund urazilo dalších 4 etrů: Úloha 0 t / in / k 0,8 7, 6, 7 37,8 48,6 59,4 70, 8 v /

46 Řešení fyzikálních úloh Strana 48 6 Práce vektory a gonioetrickýi funkcei V této kapitole e naučíte: vytvářet grafické rozbory fyzikálních úloh; kládat a rozkládat vektorové fyzikální veličiny; pracovat gonioetrickýi funkcei a používat je ve fyzikálních úlohách; využívat další ateatické poznatky, jako jou vlatnoti podobných trojúhelníků a Pythagorova věta. Klíčová lova kapitoly: vektorová fyzikální veličina; kalární fyzikální veličina; kládání a rozklad vektorů; výledný vektor; ložka vektoru; gonioetrické funkce; Pythagorova věta; podobnot trojúhelníků. Ča potřebný pro protudování kapitoly:,5 hodiny Využívání obrázků a grafické rozbory jou při řešení fyzikálních úloh běžné a čato nutné. Neobejdete e bez základních znalotí planietrie, tj. geoetrie v rovině, jako jou například práce trojúhelníke a úhly, gonioetrie a vektorové algebry. Geoetrie v protoru e nazývá tereoetrie. Ve fyzice e budete etkávat trojúhelníky, čtyřúhelníky a úhly. Víte již, že úhlopříčky v koodélníku jou na ebe kolé, co jou vrcholové úhly a kdy jou k obě kolé dvě kružnice? Pokud ne, uíte základy tereoetrie nejprve natudovat. Všechny fyzikální veličiny ůžee rozdělit na kalární a vektorové. u kalárních veličin, tzv. kalárů, ná zajíá pouze jejich velikot. Příklade kalárních veličin je teplota, hotnot, ča, teplo nebo elektrický odpor. Naproti tou u vektorových veličin, tzv. vektorů, je nutné znát nejen jejich velikot, ale i ěr, který půobí, a půobiště. Mezi vektorové fyzikální veličiny patří okažitá rychlot, íla, hybnot, oent íly, elektrická intenzita a agnetická indukce. Při práci e kaláry jou výpočty jednoduché. Sčítáe-li dvě hotnoti, jejich oučet je vždy janý. U vektorů ale neuí platit, že jedna a jedna jou vždy dvě. Jetliže gravitační íla půobící na těleo á velikot N a vy budete toto těleo zvedat ve vilé ěru ilou o velikoti N, bude výledná íla půobící na těleo nulová. Jedna a jedna kutečně nejou dvě. V této kapitole e eznáíte kutečně jen nejzákladnější uplatnění práce vektory při řešení fyzikálních úloh. Tato probleatika e tuduje v průběhu celého prvního ročníku a je detailně popána v učebnicích echaniky a v přehledech fyzikálních poznatků. Vektorové veličiny ůžee čítat, odčítat, náobit kaláre i vektore. Vektor ůžee rovněž rozložit na jeho jednotlivé ložky atd. vektor a kalár Průvodce Žáci čato ezi vektory řadí i elektrický proud a tlak. Je to dáno tí, že v ouviloti těito veličinai e o ěru hovoří také. Jenože ěr elektrického proudu je oezen paraetry obvodu a nedá e na něj aplikovat vektorová algebra. Sěr tlaku zae ouvií půobící tlakovou ilou a ůže být veli neurčitý například v kapalinách půobí tlak vyvolaný vnější ilou všei ěry. Tlak a elektrický proud nejou vektorové veličiny!

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek).

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek). Soustava SI SI - zkratka francouzského názvu Systèe International d'unités (ezinárodní soustava jednotek). Vznikla v roce 1960 z důvodu zajištění jednotnosti a přehlednosti vztahů ezi fyzikálníi veličinai

Více

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství)

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství) . Mechanika - úvod. Základní pojy V echanice se zabýváe základníi vlastnosti a pohybe hotných těles. Chcee-li přeístit těleso (echanický pohyb), potřebujee k tou znát tyto tři veličiny: hota, prostor,

Více

FYZIKA 1. ROČNÍK. Tématický plán. Hodiny: Září 7 Říjen 8 Listopad 8 Prosinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6.

FYZIKA 1. ROČNÍK. Tématický plán. Hodiny: Září 7 Říjen 8 Listopad 8 Prosinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6. Tématický plán Hodiny: Září 7 Říjen 8 Litopad 8 Proinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6 Σ = 73 h Hodiny Termín Úvod Kinematika 8 + 1 ½ říjen Dynamika 8 + 1 konec litopadu Energie 5

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr Úvod Fyzikální veličina je jakákoliv objektivní vlastnost hmoty, jejíž hodnotu lze změřit nebo spočítat. Fyzikálním veličinám přiřazujeme určitou hodnotu (velikost). Hodnota dané veličiny je udávána prostřednictvím

Více

VZDUCH V MÍSTNOSTI POMŮCKY NASTAVENÍ MĚŘICÍHO ZAŘÍZENÍ. Vzdělávací předmět: Fyzika. Tematický celek dle RVP: Látky a tělesa

VZDUCH V MÍSTNOSTI POMŮCKY NASTAVENÍ MĚŘICÍHO ZAŘÍZENÍ. Vzdělávací předmět: Fyzika. Tematický celek dle RVP: Látky a tělesa VZDUCH V MÍSTNOSTI Vzdělávací předět: Fyzika Teatický celek dle RVP: Látky a tělesa Teatická oblast: Měření fyzikálních veličin Cílová skupina: Žák 6. ročníku základní školy Cíle pokusu je určení rozěrů

Více

VÝPOČET HLAVNÍCH ROZMĚRŮ ČTYŘTAKTNÍHO SPALOVACÍHO MOTORU

VÝPOČET HLAVNÍCH ROZMĚRŮ ČTYŘTAKTNÍHO SPALOVACÍHO MOTORU Pítový alovací troj je teelný otor, kde e čát energie vzniklá álení aliva řeění v tlakovou energii. Tato energie oocí vhodného echaniu e ění v echanickou energii. Jako nejoužívanější echaniu k řeěně tlakové

Více

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze 3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proce vodní eroze DRUHY A VLASTNOSTI SPLAVENIN Rozdělení plavenin: Plaveniny: do 7mm (překryv v 0,1 7,0 mm dle unášecí íly τ 0

Více

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Kinetická teorie plynu, která prní poloině 9.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenoenologickou terodynaiku s echanikou, poažuje plyn za soustau

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU Základní úkole ěření je seznáit posluchače s vlastnosti asynchronního otoru v různých provozních stavech a s ožnosti využití provozu otoru v generátorické chodu a v režiu

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis Projekt OP VK CZ..7/..7/. Podpora odborného vzdělávání na tředních školách SK Střední škola průmylová a umělecká, Opava, přípěvková organizace Prakova 8/99 76, Opava www.pu-opava.cz tel.: 55 6 58 e-mail:

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 24. 7. 212 Název zpracovaného celku: KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Fyzikální veličiny popisují vlastnosti, stavy a změny hmotných

Více

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa yzikálí praktiku I Úloha č10 Měřeí oporu prouícího zuchu (erze 0/01) Úloha č 10 Měřeí rychloti prouu zuchu Měřeí záiloti íly oporu protřeí a taru tělea 1) Poůcky: Aeroyaický tuel, ikroaoetr, Pratloa trubice,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Úvod

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Teorie systémů a řízení

Teorie systémů a řízení VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007 Předmluva Studijní materiály eorie

Více

CHEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ. Složení roztoků udává vzájemný poměr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se:

CHEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ. Složení roztoků udává vzájemný poměr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se: CEMICKÉ VÝPOČTY II SLOŽENÍ ROZTOKŮ Teorie Složení roztoků udává vzájený poěr rozpuštěné látky a rozpouštědla v roztoku. Vyjadřuje se: MOTNOSTNÍM ZLOMKEM B vyjadřuje poěr hotnosti rozpuštěné látky k hotnosti

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Mezinárodní soustava jednotek SI Systéme Internationald Unités (Mezinárodní soustava jednotek) zavedena dohodou v roce 1960 Rozdělení Základní jednotky Odvozené

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Implementace ŠVP

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Implementace ŠVP Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Implementace ŠVP Učivo

Více

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání Aynchronní troje Úvod Aynchronní troje jou nejjednodušší, nejlevnější a nejrozšířenější točivé elektrické troje. Používají e především jako motory od výkonů řádově deítek wattů do výkonů tovek kilowattů.

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb.

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. Doporučené aplikace tanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. 1 Metodické pokyny pro určení množtví elektřiny z vyokoúčinné

Více

Změna skupenství, Tání a tuhnutí, Sublimace a desublimace Vypařování a kapalnění Sytá pára, Fázový diagram, Vodní pára

Změna skupenství, Tání a tuhnutí, Sublimace a desublimace Vypařování a kapalnění Sytá pára, Fázový diagram, Vodní pára Zěny skupenství átek Zěna skupenství, Tání a tuhnutí, Subiace a desubiace Vypařování a kapanění Sytá pára, Fázový diagra, Vodní pára Zěna skupenství = fyzikání děj, při které se ění skupenství átky Skupenství

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Soustava SI, převody jednotek

Soustava SI, převody jednotek Variace 1 Soustava SI, převody jednotek Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Co je fyzika, jednotky

Více

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Práce a energie, tepelné jevy, elektrický proud, zvukové jevy Tercie 1+1 hodina týdně Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textilních ateriálů, Technická universita v Liberci, Hálkova 6 461 17 Liberec, e- ail: jiri.iliky@vslib.cz Motto: Všechno není jinak MILAN MELOUN, Katedra

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ A ZPOMALENÉ POHYBY. Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf, Přemysl Šedivý.

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ A ZPOMALENÉ POHYBY. Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf, Přemysl Šedivý. ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ A ZPOMALENÉ POHYBY Sudijní ex pro ouěžící FO a oaní zájece o fyziku Ivo Volf, Přeyl Šedivý Obah Úvod 1 Kineaika rovnoěrně zrychleného a rovnoěrně zpoaleného příočarého pohybu honého

Více

Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů

Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů Vytvoření kriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a imulace technologických proceů M-file for the Internet Interface Ued in the Subject Analyi and Simulation of Technological Procee. Petr Tomášek Bakalářká

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program 1 VY_32_INOVACE_01_13 fyzika 6. Elektrické vlastnosti těles Výklad učiva PowerPoint 6 4 2 VY_32_INOVACE_01_14 fyzika 6. Atom Výklad učiva

Více

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce a energie Mechanická práce Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce Mechanickou práci koná každé těleso,

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

3.9. Energie magnetického pole

3.9. Energie magnetického pole 3.9. nergie agnetického poe 1. Uět odvodit energii agnetického poe cívky tak, aby bya vyjádřena poocí paraetrů obvodu (I a L).. Znát vztah pro energii agnetického poe cívky jako funkci veičin charakterizujících

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Vladislav Válek MGV_F_SS_1S1_D01_Z_MECH_Uvod_PL Člověk a příroda Fyzika Mechanika Úvod Fyzika, SI, násobky a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 TS Matematika pro 2. stupeň ZŠ Terasoft Celá čísla Celý program pohádkový příběh Království Matematikán se závěrečným vyhodnocením Zobrazení čísel na ose Zápis čísel zobrazených na ose Opačná čísla na

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty Pracovní lt č. 3: Pracujeme kategorzovaným daty Cíl cvčení: Tento pracovní lt je určen pro cvčení ke 3. a. přednášce předmětu Kvanttatvní metody B (.1 Třídění tattckých dat a. Číelné charaktertky tattckých

Více

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva Co je důležité vědět před začátkem návrhu Nonou kontrukci zděných taveb tvoří zdi a tropy vytvářející protorově tabilní celek, chopný přenét do základů veškerá vilá a vodorovná zatížení a vyrovnávat edání

Více

PRÁCE A ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie

PRÁCE A ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie PRÁCE A ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie Práce Pokud síla vyvolává pohyb Fyzikální veličina ( odvozená ) značka: W základní jednotka: Joule ( J ) Vztah pro výpočet práce: W = F s Práce

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Animovaná fyzika Top-Hit Atomy a molekuly Atom Brownův pohyb Difúze Elektron Elementární náboj Jádro atomu Kladný iont Model atomu Molekula Neutron Nukleonové číslo Pevná látka Plyn Proton Protonové číslo

Více

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn ýočty za oužití zákonů ro ideální lyn Látka v lynné stavu je tvořena volnýi atoy(onoatoickýi olekulai), ionty nebo olekulai. Ideální lyn- olekuly na sebe neůsobí žádnýi silai, jejich obje je ve srovnání

Více

FYZIKA 2. ROČNÍK. Změny skupenství látek. Tání a tuhnutí. Pevná látka. soustava velkého počtu částic. Plyn

FYZIKA 2. ROČNÍK. Změny skupenství látek. Tání a tuhnutí. Pevná látka. soustava velkého počtu částic. Plyn Zěny skuenství látek Pevná látka Kaalina Plyn soustava velkého očtu částic Má-li soustava v rovnovážné stavu ve všech částech stejné fyzikální a cheické vlastnosti (stejnou hustotu, stejnou strukturu a

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Fyzika 6. ročník. Poznámky. Stavba látek Vlastnosti látek Částicová stavba látek

Fyzika 6. ročník. Poznámky. Stavba látek Vlastnosti látek Částicová stavba látek Fyzika 6. ročník Očekávaný výstup Školní výstup Učivo Mezipředmětové vztahy, průřezová témata Uvede konkrétní příklady jevů dokazujících, že se částice látek neustále pohybují a vzájemně na sebe působí.

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

Základní pojmy a jednotky

Základní pojmy a jednotky Základní pojmy a jednotky Tlak: p = F S [N. m 2 ] [kg. m. s 2. m 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (1) Hydrostatický tlak: p = h. ρ. g [m. kg. m 3. m. s 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (2) Převody jednotek tlaku: Bar

Více

1 mm = 0,01 dm 1 m = 1 000 mm 1 mm = 0,001 m 1 km = 1 000 m 1 m = 0,001 km

1 mm = 0,01 dm 1 m = 1 000 mm 1 mm = 0,001 m 1 km = 1 000 m 1 m = 0,001 km Téma: Převody jednotek fyzikálních veličin A. Pravidla pro převody jednotek v desítkové soustavě převádíme-li z jednotky větší na menší číslo bude větší násobíme 10, 100, 1 000, 1 000 000 posuneme desetinou

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Přepočty jednotlivých veličin

Přepočty jednotlivých veličin Program VIKLAN - modul Jednotky Použité vzorce a výpočetní postupy Vypracoval: Ing. Josef Spilka Dne: 11. 3. 2011 Revize č. 1: Ing. Josef Spilka Dne: 26. 5. 2011 Způsob výpočtu Obecně Každá veličina má

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více