Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3"

Transkript

1 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou plochu x 2 4xy + 5y 2 + 2xz + 2yz + 10z 2 + 2y + 4z = 3 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pokud je kvadrika cetrálí, určete její střed. (10 bodů) Rozhoděte, zda platí rovost d dx + Korektě a velmi detailě zdůvoděte!! (10 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice ( 1) ( ) 2x2 + 4 = ( 1) +1 1 x R. 2 2x x 2 y ( 5x 2 + 4x ) y + ( 6x x + 6 ) y = 0 i difereciálí rovice y 6y + 12y 8y = 0. Nápověda: Rovice jsou sestaveé tak, že mají eprázdý průik fudametálích systémů. (10 bodů) Nalezěte Maclauriovu řadu fukce a její obor kovergece. f (x) = l ( x x 2) (7 bodů) Představte si, že cestujete po prostoru spojitých fukcí C ( 0, 1 ), kde je defiová skalárí souči f g = 1 0 f (x) g (x) dx f, g C ( 0, 2π ), který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Chcete se dostat z bodu θ do bodu h a a mapě zjistíte, že můžete cestovat bud přes f, ebo přes g. Přitom x 0, 1 platí Která z těchto dvou cest je kratší? θ (x) = 0, h (x) = x 2, f (x) = x + 1, g (x) = 2x.

2 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 2 z předmětu 01MAB3 21. leda 2016, 9:00 11:00 Sestavte mociou řadu, jejíž součet je rove itegrálu I (x) = x 0 1 e t2 dt a určete její obor kovergece O. Dále rozhoděte, zda uvedeá řada stejoměrě koverguje a O. Velmi pečlivě zdůvoděte všechy kroky. (9 bodů) Načrtěte možiu M ( ) R 2, ρ 2 zadaou předpisem M = (A B) \ (A B), kde {( A = 1, 1) (0, 2), B = ) x, 2x 2 R 2 x R}. Poté ačrtěte a pomocí matematických formulí (tj. podobě jako v defiici samoté M) popište možiy C = M 0, D = M, E = der ( M 0), F = (der (M)) 0. Nakoec ajděte předpis pro metriku χ (x, y) tak, aby χu 5 ((0, 1)) = F. Pokyy k áčrtkům: Nakreslete osy souřadé soustavy. Plou čarou vyzačte hraici možiy, která do í patří, přerušovaou čarou hraici, která do í epatří. Kde je to potřebé, vyzačte plým kolečkem bod, který do možiy patří, prázdým kolečkem bod, který do í epatří. Plochu patřící do možiy vyšrafujte. (11 bodů) Pro kvadratickou plochu x z + 6xz 5 2y + 17z 2 + 4x + 2y 2 2xy = 0 v prostoru R 3 staovte hlaví a vedlejší sigaturu, ormálí tvar a ázev. Najděte vektory příslušé polárí báze. Rozhoděte, zda jde o plochu cetrálí a pokud ao, příslušý střed vypočítejte. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. t 2 Pokračováí a další stráce!

4 (12 bodů) Nalezěte ortoormálí bázi podprostoru [ ] p0, p 1, p 2 λ C ( 0, + )) kde p 0 (x) = 3, p 1 (x) = π + ex, p 2 (x) = e + πx + eπx 2. Skalárí souči je a C ( 0, + )) zavede vztahem + f g = xe x f (x) g (x) dx. Nápověda: 1) Jak vypadají prvky lieárího obalu [ p 0, p 1, p 2 ]λ? 2) Čemu se rová I = x e x dx? Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

5 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (8 bodů) Zkoušková písemá práce č. 3 z předmětu 01MAB3 1. úora 2016, 9:00 11:00 Abelovým kritériem vyšetřete stejoměrou kovergeci řady + a R. Je možé použít i Weierstrassovo kritérium? (10 bodů) Mezi formálími řešeími difereciálí rovice ( 1) (2)!! 2 (2 + 1)!! 2 + x 2 y = 3 y2 x 2 6 y x 3 3 y2 x y x 3 je i kružice o poloměru R = 5. Nalezěte její střed. (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2u 2 + 2uv + 5v 2 6vx + 2x 2 8uy 4vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 0, 1) T, (2, 1, 1, 2) T, (7, 2, 1, 5) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Necht H = je prostor se skalárím součiem f C ( 0, + )) f g = f 2 (x) e x dx < + f (x) g (x) e x dx, který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Nalezěte možiu M = {m N 0 o U 6 ( f m )}, kde o je ulová fukce o (x) = 0 a f m (x) = x 3 2 m. Dále určete, čemu se rová f m0 ( 4) pro m 0 = mi (M). (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) 2 2.

6 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

7 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 4 z předmětu 01MAB3 9. úora 2016, 9:00 11:00 Nalezěte dvě řešeí exaktí difereciálí rovice (cy bx) y = ax + by, která jsou ve tvaru přímky procházející bodem (0, 0). Určete podmíku pro parametry a, b, c R + ve tvaru závislosti b = b (a, c) tak, aby uvedeé dvě přímky byly a sebe kolmé při skalárím součiu ( ) 1 1 u u = u T u. 1 2 Nápověda: Prozradili jsme vám typ rovice. Chtěli jsme vám tím usadit práci? (15 bodů) Řešte difereciálí rovici 5 a j x j y ( j 1) (x) = b pro a = (24, 0, 12, 4, 1) T, b = 120 a x > 0. Nápověda: Někde uhodete, že ěco je rovo 1 a +2. (6 bodů) j=1 Necht g C ( a, b ) a g a,b g. Dokažte, že v Hilbertově prostoru C ( a, b ) se skalárím součiem f g = b a f (x) g (x) dx a příslušou ormou a metrikou, které jsou tímto skalárím součiem idukováy (geerováy), platí (10 bodů) lim g = g. + Nalezěte všechy hodoty parametru µ R, pro které je kvadratická forma egativě defiití. (10 bodů) q (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 4µ (xy + xz + yz) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé.

8 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

9 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (16 bodů) Zkoušková písemá práce č. 5 z předmětu 01MAB3 17. úora 2016, 9:00 11:00 Načrtěte co ejpřesěji kuželosečku, která představuje formálí řešeí difereciálí rovice s počátečí podmíkou y 2y (x + 2y) = ; y ( 2) = 1. x 2 8y 2 Nápověda: Při tvorbě áčrtku může pomoci zalost středu kvadriky (pokud existuje), průsečíků s osami (pokud existují), vektorů polárí báze, asymptot (pokud existují) apod. Zvažte sami, co z toho se bude ejlépe hodit! (8 bodů) Vypočítejte + = (12 bodů) Nalezěte ezámé vektory u, u v souboru tak, aby platily ásledující podmíky: (1) S je polárí bází kvadratické formy S = ( ( 1, 1, 1) T, u, u ) q (x 1, x 2, x 3 ) = 7x 2 3 2x x 1x 2 + 2x 1 x 3 8x 2 x 3, (2) Při stadardím skalárím součiu a R 3 je u e 1 = 0. Určete sigaturu formy q. V závislosti a parametru µ R poté diskutujte, jakou kvadriku defiuje rovice q (x) µ = 0. Pozámka: Určeí ázvu kvadriky v závislosti a µ je výzamě hodoceo. Pokud si epamatujete ázvy podle tvaru Q, můžete použít metodu řezů. (9 bodů) Necht jsou v pro každé x, y R 2 defiováa zobrazeí ω J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2, ρ J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2. Ověřte, zda ω J a ρ J jsou metriky, a postup detailě kometujte. (7 bodů) Nalezěte fukci f : R R, pro kterou platí a dále f (1) = 6, f (1) = 5, f (1) = 4, f (1) = 3 f (k) (1) = 2 k N, k > 3.

10 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

11 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (12 bodů) Zkoušková písemá práce č. 6 z předmětu 01MAB3 10. květa 2016, 9:20 11:20 Pro kvadratickou plochu 2x + x 2 6y 2xy + 2y 2 + 4z 4xz 2yz + 12z 2 = 0 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. (6 bodů) Heavisideova fukce θ je defiováa jako 1 x > 0, θ (x) = 0 x 0. Necht je zadá metrický prostor ( R 2, ρ ) s metrikou defiovaou vztahem ρ (x, y) = x 2 y 2 + θ ( x 1 y 1 ). Vykreslete tvar okolí U 1 ((2, 3)) a rozhoděte, zda v prostoru ( R 2, ρ ) platí implikace ( ) lim x = x = ( 0 N) ( > 0 ) (x = x). + Svoje tvrzeí správě zdůvoděte. (12 bodů) S použitím vhodých zalostí z teorie mociých a Taylorových řad odvod te tvar Maclauriových řad fukcí f (x) = si x a g (x) = arcta x. Odvod te rověž příslušé obory kovergece a dokažte, že součty těchto řad jsou a jejich oborech kovergece skutečě rovy fukcím f (x) a g (x).

12 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

13 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (11 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu Zkoušková písemá práce č. 7 z předmětu 01MAB3 25. květa 2016, 9:00 11:00 x 4 y 2x 3 y 8x 2 y + 20xy = 72, y (1) = 8, y (1) = 2, y (1) = 64. Nápověda: Možá vám pomůže číslo 2. (11 bodů) Vypočítejte x 7 e x 4 dx. Nezapomeňte ověřit, že všechy provedeé úpravy jsou platé. Nápověda: Platí + 1 = π (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2v 2 + 2uv + 5u 2 6ux + 2x 2 4uy 8vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 1, 0) T, (2, 1, 2, 1) T, (7, 2, 5, 1) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (10 bodů) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 x 1 y x 2 y 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé. (6 bodů) Ozačme symbolem A možiu všech omezeých fukcí f : 1, 1 R. Rozhoděte, zda platí: (1) Zobrazeí N ( f ) := sup x 1,1 f (x) je ormou a A. (2) Bilieárí forma H ( f, g) := 1 f (x) g (x) dx je skalárím součiem a A. Svá tvrzeí detailě odůvoděte. 1

14 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ZÁVĚREČNÉ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE

ZÁVĚREČNÉ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE ZÁVĚREČNÉ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Úspěšě zakočeé studium předpokládá kromě absolvováí všech předmětů teoretického základu také zpracováí bakalářské práce. Je to vaše vizitka, vaše osobí a origiálí dílo, věujte

Více

stručná osnova jarní semestr podzimní semestr

stručná osnova jarní semestr podzimní semestr Brýlová optika stručá osova jarí semestr základy geometrické optiky pro brýlovou optiku Gullstradovo schématické oko, další modely, otoreceptory oka, vizus, optotypy myopie, hypermetropie, aakie a jejich

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více