Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3"

Transkript

1 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou plochu x 2 4xy + 5y 2 + 2xz + 2yz + 10z 2 + 2y + 4z = 3 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pokud je kvadrika cetrálí, určete její střed. (10 bodů) Rozhoděte, zda platí rovost d dx + Korektě a velmi detailě zdůvoděte!! (10 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice ( 1) ( ) 2x2 + 4 = ( 1) +1 1 x R. 2 2x x 2 y ( 5x 2 + 4x ) y + ( 6x x + 6 ) y = 0 i difereciálí rovice y 6y + 12y 8y = 0. Nápověda: Rovice jsou sestaveé tak, že mají eprázdý průik fudametálích systémů. (10 bodů) Nalezěte Maclauriovu řadu fukce a její obor kovergece. f (x) = l ( x x 2) (7 bodů) Představte si, že cestujete po prostoru spojitých fukcí C ( 0, 1 ), kde je defiová skalárí souči f g = 1 0 f (x) g (x) dx f, g C ( 0, 2π ), který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Chcete se dostat z bodu θ do bodu h a a mapě zjistíte, že můžete cestovat bud přes f, ebo přes g. Přitom x 0, 1 platí Která z těchto dvou cest je kratší? θ (x) = 0, h (x) = x 2, f (x) = x + 1, g (x) = 2x.

2 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 2 z předmětu 01MAB3 21. leda 2016, 9:00 11:00 Sestavte mociou řadu, jejíž součet je rove itegrálu I (x) = x 0 1 e t2 dt a určete její obor kovergece O. Dále rozhoděte, zda uvedeá řada stejoměrě koverguje a O. Velmi pečlivě zdůvoděte všechy kroky. (9 bodů) Načrtěte možiu M ( ) R 2, ρ 2 zadaou předpisem M = (A B) \ (A B), kde {( A = 1, 1) (0, 2), B = ) x, 2x 2 R 2 x R}. Poté ačrtěte a pomocí matematických formulí (tj. podobě jako v defiici samoté M) popište možiy C = M 0, D = M, E = der ( M 0), F = (der (M)) 0. Nakoec ajděte předpis pro metriku χ (x, y) tak, aby χu 5 ((0, 1)) = F. Pokyy k áčrtkům: Nakreslete osy souřadé soustavy. Plou čarou vyzačte hraici možiy, která do í patří, přerušovaou čarou hraici, která do í epatří. Kde je to potřebé, vyzačte plým kolečkem bod, který do možiy patří, prázdým kolečkem bod, který do í epatří. Plochu patřící do možiy vyšrafujte. (11 bodů) Pro kvadratickou plochu x z + 6xz 5 2y + 17z 2 + 4x + 2y 2 2xy = 0 v prostoru R 3 staovte hlaví a vedlejší sigaturu, ormálí tvar a ázev. Najděte vektory příslušé polárí báze. Rozhoděte, zda jde o plochu cetrálí a pokud ao, příslušý střed vypočítejte. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. t 2 Pokračováí a další stráce!

4 (12 bodů) Nalezěte ortoormálí bázi podprostoru [ ] p0, p 1, p 2 λ C ( 0, + )) kde p 0 (x) = 3, p 1 (x) = π + ex, p 2 (x) = e + πx + eπx 2. Skalárí souči je a C ( 0, + )) zavede vztahem + f g = xe x f (x) g (x) dx. Nápověda: 1) Jak vypadají prvky lieárího obalu [ p 0, p 1, p 2 ]λ? 2) Čemu se rová I = x e x dx? Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

5 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (8 bodů) Zkoušková písemá práce č. 3 z předmětu 01MAB3 1. úora 2016, 9:00 11:00 Abelovým kritériem vyšetřete stejoměrou kovergeci řady + a R. Je možé použít i Weierstrassovo kritérium? (10 bodů) Mezi formálími řešeími difereciálí rovice ( 1) (2)!! 2 (2 + 1)!! 2 + x 2 y = 3 y2 x 2 6 y x 3 3 y2 x y x 3 je i kružice o poloměru R = 5. Nalezěte její střed. (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2u 2 + 2uv + 5v 2 6vx + 2x 2 8uy 4vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 0, 1) T, (2, 1, 1, 2) T, (7, 2, 1, 5) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Necht H = je prostor se skalárím součiem f C ( 0, + )) f g = f 2 (x) e x dx < + f (x) g (x) e x dx, který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Nalezěte možiu M = {m N 0 o U 6 ( f m )}, kde o je ulová fukce o (x) = 0 a f m (x) = x 3 2 m. Dále určete, čemu se rová f m0 ( 4) pro m 0 = mi (M). (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) 2 2.

6 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

7 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 4 z předmětu 01MAB3 9. úora 2016, 9:00 11:00 Nalezěte dvě řešeí exaktí difereciálí rovice (cy bx) y = ax + by, která jsou ve tvaru přímky procházející bodem (0, 0). Určete podmíku pro parametry a, b, c R + ve tvaru závislosti b = b (a, c) tak, aby uvedeé dvě přímky byly a sebe kolmé při skalárím součiu ( ) 1 1 u u = u T u. 1 2 Nápověda: Prozradili jsme vám typ rovice. Chtěli jsme vám tím usadit práci? (15 bodů) Řešte difereciálí rovici 5 a j x j y ( j 1) (x) = b pro a = (24, 0, 12, 4, 1) T, b = 120 a x > 0. Nápověda: Někde uhodete, že ěco je rovo 1 a +2. (6 bodů) j=1 Necht g C ( a, b ) a g a,b g. Dokažte, že v Hilbertově prostoru C ( a, b ) se skalárím součiem f g = b a f (x) g (x) dx a příslušou ormou a metrikou, které jsou tímto skalárím součiem idukováy (geerováy), platí (10 bodů) lim g = g. + Nalezěte všechy hodoty parametru µ R, pro které je kvadratická forma egativě defiití. (10 bodů) q (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 4µ (xy + xz + yz) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé.

8 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

9 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (16 bodů) Zkoušková písemá práce č. 5 z předmětu 01MAB3 17. úora 2016, 9:00 11:00 Načrtěte co ejpřesěji kuželosečku, která představuje formálí řešeí difereciálí rovice s počátečí podmíkou y 2y (x + 2y) = ; y ( 2) = 1. x 2 8y 2 Nápověda: Při tvorbě áčrtku může pomoci zalost středu kvadriky (pokud existuje), průsečíků s osami (pokud existují), vektorů polárí báze, asymptot (pokud existují) apod. Zvažte sami, co z toho se bude ejlépe hodit! (8 bodů) Vypočítejte + = (12 bodů) Nalezěte ezámé vektory u, u v souboru tak, aby platily ásledující podmíky: (1) S je polárí bází kvadratické formy S = ( ( 1, 1, 1) T, u, u ) q (x 1, x 2, x 3 ) = 7x 2 3 2x x 1x 2 + 2x 1 x 3 8x 2 x 3, (2) Při stadardím skalárím součiu a R 3 je u e 1 = 0. Určete sigaturu formy q. V závislosti a parametru µ R poté diskutujte, jakou kvadriku defiuje rovice q (x) µ = 0. Pozámka: Určeí ázvu kvadriky v závislosti a µ je výzamě hodoceo. Pokud si epamatujete ázvy podle tvaru Q, můžete použít metodu řezů. (9 bodů) Necht jsou v pro každé x, y R 2 defiováa zobrazeí ω J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2, ρ J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2. Ověřte, zda ω J a ρ J jsou metriky, a postup detailě kometujte. (7 bodů) Nalezěte fukci f : R R, pro kterou platí a dále f (1) = 6, f (1) = 5, f (1) = 4, f (1) = 3 f (k) (1) = 2 k N, k > 3.

10 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

11 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (12 bodů) Zkoušková písemá práce č. 6 z předmětu 01MAB3 10. květa 2016, 9:20 11:20 Pro kvadratickou plochu 2x + x 2 6y 2xy + 2y 2 + 4z 4xz 2yz + 12z 2 = 0 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. (6 bodů) Heavisideova fukce θ je defiováa jako 1 x > 0, θ (x) = 0 x 0. Necht je zadá metrický prostor ( R 2, ρ ) s metrikou defiovaou vztahem ρ (x, y) = x 2 y 2 + θ ( x 1 y 1 ). Vykreslete tvar okolí U 1 ((2, 3)) a rozhoděte, zda v prostoru ( R 2, ρ ) platí implikace ( ) lim x = x = ( 0 N) ( > 0 ) (x = x). + Svoje tvrzeí správě zdůvoděte. (12 bodů) S použitím vhodých zalostí z teorie mociých a Taylorových řad odvod te tvar Maclauriových řad fukcí f (x) = si x a g (x) = arcta x. Odvod te rověž příslušé obory kovergece a dokažte, že součty těchto řad jsou a jejich oborech kovergece skutečě rovy fukcím f (x) a g (x).

12 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

13 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (11 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu Zkoušková písemá práce č. 7 z předmětu 01MAB3 25. květa 2016, 9:00 11:00 x 4 y 2x 3 y 8x 2 y + 20xy = 72, y (1) = 8, y (1) = 2, y (1) = 64. Nápověda: Možá vám pomůže číslo 2. (11 bodů) Vypočítejte x 7 e x 4 dx. Nezapomeňte ověřit, že všechy provedeé úpravy jsou platé. Nápověda: Platí + 1 = π (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2v 2 + 2uv + 5u 2 6ux + 2x 2 4uy 8vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 1, 0) T, (2, 1, 2, 1) T, (7, 2, 5, 1) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (10 bodů) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 x 1 y x 2 y 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé. (6 bodů) Ozačme symbolem A možiu všech omezeých fukcí f : 1, 1 R. Rozhoděte, zda platí: (1) Zobrazeí N ( f ) := sup x 1,1 f (x) je ormou a A. (2) Bilieárí forma H ( f, g) := 1 f (x) g (x) dx je skalárím součiem a A. Svá tvrzeí detailě odůvoděte. 1

14 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 3 bodů) Zkoušková písemná práce č. z předmětu MAB3 4. ledna 6, 9: : Pro kvadratickou plochu x 4xy + 5y + xz + yz + z + y + 4z = 3 určete hlavní a vedlejší signaturu a normální tvar včetně afinní transformace

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Obsah. 1 Lineární prostory 2

Obsah. 1 Lineární prostory 2 Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

( x) ( lim ( ) ( ) 0

( x) ( lim ( ) ( ) 0 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více