Z aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005

Transkript

1 Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005

2 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti Úplné, seprbilní kompktní prostory Zobrzení metrických prostorů Normovné prostory Normovné unitární prostory Příkldy normovných prostorů Zobrzení normovných prostorů Hhn-Bnchov vět Příkldy djungovných prostorů Vět o uzvřeném grfu Zákldy teorie Fourierových řd Spektrální teorie lineárních operátorů Spektrum operátoru Adjungovné operátory Kompktní operátory Cvičení Metrické prostory Normovné prostory Spektrální teorie i

3 Kpitol Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti. Definice: Množinu X nzveme metrickým prostorem, je-li n krtézském součinu X X definován reálná funkce d s následujícími vlstnostmi:. d(x, y) 0 x, y X; d(x, y) = 0 x = y. 2. d(y, x) = d(x, y) x, y X. 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X (trojúhelníková nerovnost). Funkci d nzýváme metrikou metrický prostor X znčíme též (X, d). Příkldy:. Eukleidovský prostor R n je množin uspořádných n-tic reálných čísel x = (x, x 2,..., x n ) s metrikou d(x, y) = { n i= x i y i 2 } 2 Anlogicky je definován prostor C n, kde x = (x, x 2,..., x n ); x j C. 2. Prostory l n p l n tvoří množin všech uspořádných n-tic reálných nebo komplexních čísel x = (x, x 2,..., x n ) s metrikou d p (x, y) = { n i= x i y i p } p, p ; d (x, y) = mx i=,...,n x i y i. 3. Oznčme C(, b) množinu všech spojitých funkcí n uzvřeném intervlu, b s metrikou d(f, g) = mx f(t) g(t) ; f, g C(, b). t,b 4. Prostor s je množin všech posloupností reálných nebo komplexních čísel. Je-li x = {x k }, y = {y k }, potom d(x, y) = x k y k 2 k + x k y k.. Poznámk: K ověření xiomů metrického prostoru pro metriku d p (x, y) z příkldu 2 budeme potřebovt Minkowského nerovnost, kterou nyní odvodíme.

4 Lemm: Bud te, b > 0, p >, q tkové, že p + q =. Potom pltí b p p + bq q. Důkz: Pro p = 2 dostneme známou nerovnost 2b 2 + b 2. Je-li p > libovolné, uvážíme funkci ϕ(t) = tp p + t q q pro t > 0. Tto funkce má pro t= minimum ϕ() = p + q + (ověřte si detilně) tedy = ϕ() ϕ(t) t > 0. Jestliže položíme t = q b p po vynásobení p q b p b p q + p + b q p q + b q p +. q, dostneme Poněvdž pltí + p q = p, + q p = q (ověřte), plyne odtud tvrzení lemmtu. Vět: (Hölderov nerovnost) Bud te,..., n, b,..., b n (n N) nezáporná čísl, p >, p + q =. Potom pltí { n n k b k p k } p { n b q k } q. Důkz: Položme A k = k j np ff p, B k = b k j np ff q. Podle předchozího lemmtu pltí p i i= b q i i= A k B k Ap k p + Bq k q (k =, 2,..., n), neboli { n p i i= k b k } p { n Sečtením těchto nerovností dostneme { n p i i= b q i i= n k b k i= } p { n } q b q i i= } q p k p n p i i= + bq k q n p + q = b q i i=. odtud plyne tvrzení. Vět: (Minkowského nerovnost) Bud te,..., n, b,..., b n (n N) nezáporná, p. Potom pltí { n } p ( k + b k ) p { n p k } { p n + b p k } p. 2

5 Důkz: Je-li p =, je nerovnost zřejmá. Necht je tedy p >. Potom můžeme psát n ( k + b k ) p = n c k k + kde c k = ( k + b k ) p. Podle Hölderovy nerovnosti pltí { n n } { q n ( k + b k ) p c q k p k n c k b k, } { p n + b p k } p odtud Poněvdž je p + q n ( k + b k ) p { n { n } ( k + b k ) q(p ) q =, plyne odtud, že q(p ) = p, p k } { p n + b p k } p. { n } q ( k + b k ) p { n p k } { p n + b p k } p, což je dná nerovnost. Poznámk: Hölderov i Minkowského nerovnost pltí i pro nekonečné řdy nebo integrály. Je všk třeb doplnit předpokldy o jejich konvergenci. Tyto skutečnosti později upřesníme, ž je budeme používt. Tedy ztím formálně: Hölderov nerovnost { } { p } q k b k k p b k q f(x)g(x) dx p f(x) p dx g(x) q dx q. Minkowského nerovnost { } { p k + b k p f(x) + g(x) p dx p } { p k p + f(x) p dx p + b k p } p g(x) p dx p. Definice: Bud {x n } n= posloupnost bodů metrického prostoru X. Řekneme, že posloupnost {x n } konverguje k bodu x, jestliže lim d(x n, x) = 0, nebo stručněji zpsáno d(x n, x) 0. 3

6 Poznámk: Ukzuje se, že v prostorech uspořádných n-tic [R n = l n 2, l n p, l n ] různé předpisy pro metriku neovlivní skutečnost, že nějká posloupnost bodů konverguje. Definice: O dvou metrikách d d n prostoru X řekneme, že jsou ekvivlentní, jestliže existují konstnty α, β > 0 tk, že x, y X pltí αd(x, y) d (x, y) βd(x, y). Poznámk: Je-li posloupnost {x n } bodů metrického prostoru X konvergentní v metrice d, je konvergentní i v metrice d obráceně. Definice: Bud X metrický prostor, x X bod, ε > 0 reálné číslo. Potom ε-okolím bodu x rozumíme množinu S(x; ε) = {y X; d(x, y) < ε}. Jsou-li A, B X dvě neprázdné množiny, pk jejich vzdáleností rozumíme číslo d(a, B) = inf d(x, y). x A, y B Průměrem množiny A, který budeme znčit δ(a) rozumíme číslo δ(a) = sup d(x, y). x, y A Je-li δ(a) <, řekneme, že A je omezená množin. Poznámky:. Množinu S(x; ε) nzýváme tké někdy koulí (nebo otevřenou koulí) o středu x poloměru ε. 2. Místo oznčení S(x; ε) se též užívá znčení B(x; ε) nebo U(x; ε). Lemm: Sjednocení konečného počtu omezených množin je omezená množin. Důkz: Bud te x, y A B libovolné dv body, A, b B pevné body. Potom pltí d(x, y) δ(a), je-li x, y A, d(x, y) δ(b), je-li x, y B. Pro x A, y B pltí d(x, y) d(x, ) + d(, b) + d(b, y) δ(a) + d(, b) + δ(b) <. Definice: Bud X metrický prostor G, F X jeho podmnožiny. Řekneme, že G je otevřená, jestliže ke kždému bodu x G existuje okolí S(x; ε) tkové, že S(x; ε) G. O množině F řekneme, že je uzvřená, je-li X F otevřená množin. Poznámky:. Pltí též obráceně: je-li G otevřená množin, potom je X G uzvřená množin. Skutečně je X (X G) = G tedy X G je uzvřená množin. 2. Uzvřenost otevřenost množiny se nevylučují. Existují tedy množiny, které jsou zároveň uzvřené i otevřené. Příkldem je celý prostor X prázdná množin. 4

7 Lemm: Množin S(x; ε) je otevřená. S(x; ε) δ S(; δ) x ε Důkz: Bud S(x; ε). Potom je d(x, ) < ε existuje tedy číslo δ > 0 tk, že d(x, ) + δ < ε. Dále pltí, že S(; δ) S(x; ε). Skutečně, je-li y S(; δ), pltí d(x, y) d(x, ) + d(, y) < d(x, ) + δ < ε S(x; ε) je otevřená množin.! Vět: Sjednocení libovolného systému průnik konečného systému otevřených množin je otevřená množin. Průnik libovolného systému sjednocení konečného systému uzvřených množin je množin uzvřená. Důkz:. ) Bud G α (α Λ) systém otevřených množin x že x G α0 tedy i pro nějké ε > 0. b) Je-li x n S(x; ε) G α0 α Λ G α α Λ G α. Pk existuje α 0 tk, G j, pk x G j pro j =, 2,..., n tedy existují ε, ε 2,..., ε n > 0 tk, že S(x, ε j ) G j (j =, 2,..., n). Položíme-li ε 0 = min{ε, ε 2,..., ε n }, potom S(x; ε 0 ) G j pro j =, 2,..., n, tedy n S(x; ε 0 ) G j. 2. Tvrzení pro uzvřené množiny plyne z de Morgnových prvidel. Bud te F α (α Λ) uzvřené množiny. Potom jsou G α = X F α otevřené pltí F α = X G α. Odtud F α = X α Λ α Λ vzhledem k otevřenosti množiny G α dostneme okmžitě tvrzení. Anlogicky pltí α Λ n F j = X G α n G j. Poznámky:. Jestliže uvžujeme spočetné průniky otevřených množin, nemusíme již dostt otevřenou množinu. Anlogicky spočetné sjednocení uzvřených množin nemusí být uzvřená množin. Dostáváme dlší systémy množin t. zv. G δ F σ množiny. Tedy řekneme, že A je množin typu G δ, je-li A = G n, n= 5

8 kde G n jsou otevřené. Anlogicky B je množin typu F σ, je-li kde F n jsou uzvřené. B = F n, n= 2. Předchozí vět dává možnost zvedení obecnější struktury n dné množině X, než je metrik, sice topologie. Topologií τ n množině X budeme rozumět tkový systém podmnožin X, který má první vlstnost z předchozí věty; tedy sjednocení libovolného systému množin z τ průnik libovolného konečného systému množin z τ je opět množin z τ. Tyto množiny budeme nzývt otevřené dvojici (X, τ) nzveme topologickým prostorem. Definice: Bud X metrický prostor, A X podmnožin. Řekneme, že x A je vnitřním bodem A, jestliže existuje tkové okolí S(x; ε), že S(x; ε) A. Množinu všech vnitřních bodů množiny A nzýváme jejím vnitřkem oznčíme Int A. Uzávěrem množiny A nzýváme množinu všech bodů x X tkových, že d(x, A) = 0 znčíme A. Hrnicí množiny A nzveme množinu F (A) = (A) = A (X A). Vět: Int A je otevřená množin. Množin G je otevřená právě když G = Int G. Důkz: Prvá část tvrzení je zřejmá. ) Bud G otevřená množin. Je zřejmé, že Int G G. Dále je kždý bod x G vnitřním bodem G, neboli G Int G. b) Necht obráceně G Int G. Potom s kždým bodem x G ptří do G i jisté okolí S(x; ε) to je chrkterizce otevřené množiny. Vět: A je uzvřená množin. Množin F je uzvřená právě když F = F. Důkz: Bud G = X A x G libovolný bod. Potom je d(x, A) > 0 n příkld S(x; d(x, A)) G. 2 Množin G je tedy otevřená A je uzvřená. Je zřejmé, že F F. ) Je-li F = F, pk je F uzvřená. b) Obráceně kdyby F byl uzvřená existovlo x F F, je x X F existuje okolí S(x; ε) X F. Potom le nemůže být d(x, F ) = 0 to je spor s definicí uzávěru množiny. Vět: Bud x X, A X podmnožin. Potom x A právě když existuje posloupnost {x n } n=, x n A tk, že x n x. 6

9 Důkz: ) Je-li {x n } posloupnost bodů z věty, potom d(x n, x) 0 tedy d(x, A) = 0. b) Je-li d(x, A) = 0, potom ke kždému n N existuje tkové x n A, že d(x n, x) < n, neboli x n x. Definice: Bud X metrický prostor, A X podmnožin. Řekneme, že bod x X je hromdným bodem množiny A, jestliže kždé okolí bodu x obshuje nekonečně mnoho bodů množiny A. Bod množiny A, který není jeho hromdným bodem, nzýváme izolovným bodem. Vět: bodů Bod x X je hromdným bodem množiny A X právě když existuje posloupnost x n A, x n x tk, že lim x n = x. Důkz: ) Bud x X hromdný bod množiny A. Potom koule S(x; n ) obshuje nekonečně mnoho bodů A zvolme x n S(x; n ). Tím dostneme poždovnou posloupnost. b) Je-li obráceně x n A, x n x, x n x, potom je zřejmě x X hromdný bod A. Poznámk: Z předchozího plyne, že množin A je uzvřená právě když obshuje všechny své hromdné body..2 Úplné, seprbilní kompktní prostory. Definice: A = X. Bud X metrický prostor, A X podmnožin. Řekneme, že A je hustá v X, je-li Příkld: Bud X = R, A = Q (rcionální čísl). Potom A = R. Existují všk i jiné husté podmnožiny (vlstní). Je-li B množin všech ircionálních čísel, je opět B = R. Mezi těmito příkldy všk existuje podsttný rozdíl, který bude v dlším důležitý. Množin A je spočetná, ztímco B není. Definice: Bud X metrický prostor. Řekneme, že posloupnost {x n} n= bodů prostoru X je cuchyovská nebo fundmentální, jestliže ke kždému ε > 0 existuje přirozené číslo n 0 tk, že pro všechn n, m n 0 pltí d(x n, x m ) < ε. Prostor X nzveme úplným, jestliže kždá cuchyovská posloupnost bodů prostoru X je konvergentní v X. Poznámk: Není těžké ukázt, že kždá konvergentní posloupnost je cuchyovská, obrácené tvrzení všk nepltí. 7

10 Příkld: Prostor R n je úplný. Důkz: Bud {x (k) } cuchyovská posloupnost v Rn, x (k) = (x (k), x(k) 2,..., x(k) n ). Je-li potom je lim k,l x(k) i lim k,l d(x(k), x (l) ) = 0, tedy x (l) i lim { n k,l (x (k) i i= x (l) i ) 2 } 2 = 0, = 0 pro i =, 2,..., n. Tedy posloupnost {x (k) i } je cuchyovská pro i =, 2,..., n tudíž konvergentní. Oznčme x i = lim zřejmé, že x = lim k x(k). k x(k) i, x = (x, x 2,..., x n ). Nyní je Vět: Bud X metrický prostor necht A X je úplná množin. Potom je A uzvřená. Důkz: Bud A. Potom existuje posloupnost x n A tk, že x n. Poněvdž je A úplná množin {x n } cuchyovská, musí být A, tedy A = A. Poznámk: Předchozí vět ukzuje, že úplnost množiny je vlstnost nezávislá n prostoru, ve kterém leží. Obrácené tvrzení le pltí pouze v úplných prostorech. Vět: Bud X úplný metrický prostor, A X. Potom je A uzvřená právě když je úplná. Důkz: ) Je-li A úplná, je podle předchozí věty uzvřená. b) Bud A uzvřená, tedy A = A {x n } n= cuchyovská posloupnost, x n A. Poněvdž X je úplný prostor, existuje = lim x n, X. Z uzvřenosti A plyne, že A. Definice: podmnožin. Metrický prostor X nzveme seprbilní, jestliže v X existuje hustá spočetná Příkld: Prostor R n je seprbilní. Důkz: Uvžme množinu všech bodů tvru r = (r, r 2,..., r n ), kde r i Q pro i =, 2,..., n. Tto množin je spočetná (dokžte) tvoří hustou podmnožinu. Vět: Kždá podmnožin seprbilního metrického prostoru X je seprbilní. Důkz: Bud Y X, A X hustá spočetná podmnožin, neboli A = X, A = {x, x 2,... }. Oznčme S m,n = S(x m ; ) pro m, n =, 2,.... n 8

11 Tento systém je spočetný. Je-li Y S m,n, zvolme libovolně bod ξ m,n Y S m,n. Množin B všech těchto bodů je spočetná ukážeme, že je hustá v Y. Bud x Y libovolný bod n N libovolné. Potom existuje x m tk, že d(x, x m ) < n, tedy x Y S m,n. Pro příslušné ξ m,n pltí d(x m, ξ m,n ) < n odtud d(x, ξ m,n ) d(x, x m ) + d(x m, ξ m,n ) < 2 n. Lemm: Necht množiny G λ (λ Λ) tvoří disjunktní systém neprázdných otevřených množin v seprbilním prostoru X. Potom je Λ spočetná množin. Důkz: Bud A hustá spočetná podmnožin X. Kždému λ Λ přiřd me bod x λ A tk, že x λ G λ. Tyto body tvoří spočetnou množinu B A. Je-li nyní λ λ 2, pk nutně G λ G λ2. Kdyby bylo x λ = x λ2, potom G λ G λ2 tedy λ = λ 2. Tím dostneme prosté zobrzení Λ n B Λ je spočetná. Definice: Bud A množin. Řekneme, že systém množin B λ(λ Λ) tvoří pokrytí A, jestliže A λ Λ B λ. Vět: (Lindelöfov pokrývcí vět) Bud X metrický prostor, Y X seprbilní podmnožin. Bud te G λ (λ Λ) otevřené množiny pokrývjící Y. Potom existuje spočetná část Σ Λ tk, že Y λ Σ G λ. Důkz: Bud A Y hustá spočetná podmnožin tvořená body x, x 2,... uvžme koule S m,n = S(x m, ) (m, n =, 2,... ). n Tyto koule tvoří spočetný systém. Je-li x Y, pk existuje S m,n tk, že x S m,n G λ pro nějké λ (G λ jsou otevřené). Oznčme odpovídjící množinu G λ jko G m,n. Poněvdž tkto vybrné koule pokrývjí Y, stčí tedy vybrt příslušné množiny G m,n z dného pokrytí tk, že S m,n G m,n. Poznámk: Předchozí vět je topologická chrkterizce seprbilního prostoru. Tedy seprbilní topologický prostor je tkový, že z kždého jeho pokrytí otevřenými množinmi je možné vybrt spočetné pokrytí. Definice: Metrický prostor X nzveme kompktní, jestliže kždá posloupnost bodů X obshuje vybrnou posloupnost konvergentní v X. Příkld: Libovolný uzvřený intervl, b R je kompktní. Anlogicky kždý intervl je kompktní v R n. I =, b 2, b 2 n, b n 9

12 Definice: Bud X metrický prostor. Řekneme, že množin K(ε) X tvoří ε-sít prostoru X, je-li d(x, K(ε)) < ε pro kždé x X. O množině A X řekneme, že je totálně omezená, jestliže ke kždému ε > 0 existuje konečná ε-sít A. Lemm: Kždá totálně omezená podmnožin metrického prostoru je omezená. Důkz: Bud A X totálně omezená. Pk existuje konečná -sít tk, že d(x, K()) < x A. Nyní pltí K() = {, 2,..., k } A A k S( j ; ) sjednocení omezených množin je omezená množin. Lemm: Kždý totálně omezený metrický prostor je seprbilní. Důkz: Bud X totálně omezený. Potom ke kždému n N existuje konečná n -sít K( n ) oznčme A = K( n ). A je spočetná zřejmě A = X. n=! Vět: Metrický prostor X je kompktní právě když je úplný totálně omezený. Důkz:. Bud X kompktní, {x n } n= libovolná cuchyovská posloupnost. T obshuje konvergentní podposloupnost je tedy sm konvergentní. Odtud plyne, že X je úplný metrický prostor. Necht pro nějké ε > 0 neexistuje konečná ε-sít X. Zvolme libovolně x X; potom existuje x 2 X tk, že d(x, x 2 ) ε. Bud x n+ X tkový bod, že d(x n+, x j ) ε pro j =, 2,..., n. Tím dostáváme posloupnost, ze které nelze vybrt konvergentní podposloupnost to je spor s kompktností X. 2. Bud X úplný totálně omezený necht {x n } n=, x n X je libovolná posloupnost. Poněvdž je X totálně omezený, existuje konečná -sít X tedy koule S, která obshuje nekonečně mnoho bodů posloupnosti {x n }. Oznčme ji {x () n }. Poněvdž S je totálně omezená, existuje konečná 2 -sít S tedy koule S 2, která obshuje nekonečně mnoho bodů {x () n }. Oznčme ji {x (2) n }. Jestliže budeme tkto pokrčovt dále, sestrojíme posloupnost {x (k) n }, která leží v kouli S k o poloměru k. Hledná vybrná posloupnost je nyní následující: {x (), x(2) 2,..., x(n) n,... }, která je zřejmě cuchyovská (odvod te detilně) tedy konvergentní, poněvdž X je úplný prostor. Důsledek: Množin K R n je kompktní právě když je omezená uzvřená. Důkz: Poněvdž je R n úplný prostor, je uzvřená podmnožin úplná. Dlší část plyne z toho, že kždá omezená podmnožin R n je totálně omezená. To je ponecháno jko cvičení. 0

13 Vět: Bud te X, X 2,... neprázdné kompktní množiny necht Důkz: Zvolme x n X n X X 2. Potom je X n. n= (n =, 2,... ). Pk existuje vybrná posloupnost {x kn } n= tk, že x kn x X (X je kompktní). Je-li nyní n 0 libovolné, pk pro k n n 0 pltí x kn X kn X n0 tedy x X n0. Poněvdž n 0 bylo libovolné, je x X n n N, tedy x X n. Příkld: Jestliže budeme v předchozí větě předpokládt pouze uzvřenost, vět již nepltí. Bud X n = n, ). Potom je X X 2, le X n =. Vět: (Borelov pokrývcí vět) Bud X kompktní metrický prostor, G λ (λ Λ) pokrytí otevřenými množinmi. Potom existuje konečná část Σ Λ tk, že X = G λ. λ Σ Důkz: Poněvdž X je seprbilní, je podle Lindelöfovy věty možno z dného pokrytí vybrt spočetné pokrytí. Oznčme je H, H 2,, tedy H p = X. Bud te n= p= K n = H H n, L n = X K n. Potom jsou množiny L n uzvřené tedy kompktní. Dále L L 2 přitom p= Podle předchozí věty musí tedy existovt n 0 tk, že L n0 p= n= L p = X K p = X H p =. p= = tedy X = n0 Poznámk: Borelov pokrývcí vět je topologická chrkterizce kompktnosti. Tedy topologický prostor je kompktní, jestliže z kždého otevřeného pokrytí je možno vybrt konečné pokrytí..3 Zobrzení metrických prostorů. p= H p. Definice: Bud te (X, d) (Y, ϱ) dv metrické prostory, f : X Y zobrzení. Řekneme, že f je spojité v bodě x 0 X, jestliže k libovolnému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že jkmile d(x, x 0 ) < δ, potom ϱ(f(x), f(x 0 )) < ε. Řekneme, že f je spojité n X, je-li spojité v kždém bodě x X. Poznámk: Předchozí definice říká, že ke kždému okolí V = {y Y; ϱ(y, f(x 0 )) < ε} bodu f(x 0 )

14 existuje okolí U = {x X; d(x, x 0 ) < δ} bodu x 0 tk, že f(u) V. Tím dostneme ekvivlentní formulci spojitosti f. Jestliže nvíc přijmeme dohodu, že okolím bodu v topologickém prostoru budeme rozumět libovolnou otevřenou množinu, obshující x, dostneme topologickou chrkterizci spojitosti. Vět: Zobrzení f : X Y je spojité v bodě x 0 X právě když ke kždému okolí V bodu f(x 0 ) existuje okolí U bodu x 0 tk, že f(u) V. V metrických prostorech je spojitost v bodě též možno formulovt pomocí po- Poznámk: sloupností. Vět: Zobrzení f : X Y je spojité v bodě x 0 X právě když pro kždou posloupnost x n X, x n x 0 pltí f(x n ) f(x 0 ). Důkz: ) Bud f spojité v bodě x 0 X, {x n } (x n X) tková posloupnost, že lim x n = x 0 ε > 0 libovolné. Potom existuje δ > 0 tk, že jkmile d(x, x 0 ) < δ, pk ϱ(f(x), f(x 0 )) < ε. Poněvdž x n x 0, existuje index n 0 tk, že pro n n 0 pltí d(x n, x 0 ) < δ tedy ϱ(f(x n ), f(x 0 )) < ε, neboli lim f(x n) = f(x 0 ). b) Necht f není spojité v bodě x 0. Potom existuje ε > 0 tk, že ke kždému δ n = n > 0 existuje x n X tk, že d(x n, x 0 ) < n, le ϱ(f(x n), f(x 0 )) ε. Tedy posloupnost {f(x n )} nemůže konvergovt k f(x 0 ). Poznámk: V dlším zformulujeme podmínky spojitosti n celém prostoru X. Definice: Bud f spojité zobrzení metrického prostoru X n metrický prostor Y. Je-li zobrzení f (pokud existuje) spojité, řekneme, že f je homeomorfní nebo topologické zobrzení. O prostorech X Y pk řekneme, že jsou homeomorfní.! Vět: Bud te X Y metrické prostory, f : X Y zobrzení. Potom jsou následující podmínky ekvivlentní. ) f je spojité n X. b) Je-li G Y libovolná otevřená množin, pk je f (G) otevřená v X. Tedy vzor kždé otevřené množiny je množin otevřená. c) Je-li F Y uzvřená množin, je f (F ) uzvřená v X. Tedy vzor kždé uzvřené množiny je množin uzvřená. Důkz:. Bud f spojité n X, G Y libovolná otevřená množin, f(x) G, V okolí bodu f(x) tkové, že V G. Potom existuje okolí U bodu x tk, že odtud plyne, že f (G) je otevřená množin. f(u) V G, tedy U f (G) 2

15 2. Necht pro kždou otevřenou množinu G Y je f (G) otevřená v X bud V okolí bodu f(x). Potom je f (V ) otevřená množin položme U = f (V ). Pltí tedy f(u) V, což jsme chtěli dokázt. 3) Ekvivlence b) c) plyne okmžitě ze vzthu f (Y G) = X f (G). Poznámk: Vlstnost b) z předchozí věty je topologická chrkterizce spojitého zobrzení slouží v obecném topologickém prostoru z definici spojitosti.! Vět: Bud te X Y metrické prostory, f : X Y spojité zobrzení necht je X kompktní. Potom pltí. ) f(x) je kompktní. b) Je-li f prosté, je i f spojité, tedy f je homeomorfní zobrzení. Důkz: ) Necht y n f(x) je libovolná posloupnost. Potom existují x n X tk, že f(x n ) = = y n. Posloupnost {x n } obshuje konvergentní podposloupnost x kn x X. Ze spojitosti f plyne, že y kn = f(x kn ) f(x) f(x) je kompktní. b) Je f : f(x) X bud F X libovolná uzvřená množin (tedy kompktní). Potom je [f ] (F ) = f(f ) poněvdž je f(f ) kompktní, je utomticky uzvřená. Tedy vzor kždé uzvřené množiny je množin uzvřená f je spojité. Důsledek: Bud f spojité zobrzení metrického prostoru X do R. Je-li X kompktní, pk f(x) obshuje nejmenší největší číslo. Jinými slovy kždá spojitá reálná funkce n kompktním metrickém prostoru nbývá své nejmenší největší hodnoty. Důkz: Bud Poněvdž je ϱ(f(x), α) = 0, pltí α = inf f(x), β = sup f(x). α f(x) = f(x). Poznámk: V dlším se budeme zbývt otázkou vnoření metrického prostoru do úplného metrického prostoru. Definice: Bud f zobrzení metrického prostoru (X, d) n metrický prostor (Y, ϱ). Řekneme, že f je izometrické zobrzení nebo izometrie, jestliže pro všechn x, y X pltí d(x, y) = ϱ(f(x), f(y)). Poznámk: Je zřejmé, že kždá izometrie je prosté zobrzení. Jednoduché ukázky izometrií jsou n příkld shodná zobrzení známá z elementární geometrie. Definice: Bud (X, d) libovolný metrický prostor. Úplný metrický prostor (X, d ) nzveme zúplněním nebo úplným oblem prostoru X, jestliže pltí ) X je izometrický s podprostorem X 0 prostoru X. b) X 0 = X, tedy X 0 je hustý v X. 3

16 Příkld: Bud X = C(, b) s metrikou d(x, y) = Ukážeme, že X není v této metrice úplný prostor. Uvžme posloupnost x(t) y(t) dt položme =, b =. x n (t) = 0 pro t 0, nt pro 0 < t n, pro n < t. x n x m n m t Necht n > m. Potom x n (t) x m (t) = 0 pro t 0, (n m)t pro 0 < t n, mt pro n < t m, 0 pro m < t. x n (t) x m (t) dt = 2m 2n 0. m, Tedy posloupnost {x n } je cuchyovská, nekonverguje všk v prostoru C(, ). Je totiž { 0 pro t 0, x(t) = lim x n(t), kde x(t) = pro 0 < t.! Vět: Ke kždému metrickému prostoru existuje úplný obl. Všechny úplné obly k dnému metrickému prostoru jsou izometrické. Důkz: Důkz věty je konstruktivní, tedy ukzuje, jk úplný obl vypdá provedeme jej v několik krocích. Bud X dný metrický prostor.. Množinu všech cuchyovských posloupností prostoru X rozložíme n třídy pomocí ekvivlence. Dvě posloupnosti {x n } {y n } nzveme ekvivlentní oznčíme {x n } {y n }, jestliže d(x n, y n ) 0. (Ukžte, že tento vzth ekvivlence je reflexivní, symetrický trnsitivní.) Tím se všechny cuchyovské posloupnosti X rozpdnou n ekvivlentní třídy, které budeme znčit 4

17 x, y,... X množinu všech těchto tříd. Dále x = {x, x,... }, kde x X znčíme tk zvné stcionární posloupnosti, nebo přesněji ekvivlentní třídu posloupností, obshující x. 2. V X zvedeme metriku d (x, y ) = lim d(x n, y n ), kde {x n } x {y n } y jsou libovolné cuchyovské posloupnosti. Ukážeme, že d nezávisí n výběru {x n } {y n } že tvoří skutečně metriku. Nejdříve všk musíme dokázt, že limit n prvé strně existuje. Pltí Je totiž d(x n, y n ) d(x m, y m ) = d(x n, y n ) d(x n, y m ) + d(x n, y m ) d(x m, y m ) d(x n, y n ) d(x n, y m ) + d(x n, y m ) d(x m, y m ) d(y n, y m ) + d(x n, x m ) 0. n,m d(x n, y n ) d(x n, y m ) + d(y m, y n ) d(x n, y m ) d(x n, x m ) + d(x m, y m ). Tedy číselná posloupnost s n = d(x n, y n ) je cuchyovská existuje lim d(x n, y n ). Bud te {x () n }, {x (2) n } x {y n () }, {y n (2) } y. Potom pltí d(x () n, y () n ) d(x (2) n, y (2) n ) d(x () n, x (2) n ) + d(y () n, y (2) n ) 0 d nezávisí n výběru posloupností {x n }, {y n }. Je totiž d(x () n, y () n ) d(x () n, x (2) n ) + d(x (2) n, y (2) n ) + d(y (2) n, y () n ). Pokud se týče ověření xiomů metriky, je zřejmé, že vlstnosti. 2. pltí. Ohledně trojúhelníkové nerovnosti pltí n N d(x n, z n ) d(x n, y n ) + d(y n, x n ) odtud neboli lim d(x n, z n ) lim d(x n, y n ) + lim d(y n, z n ) d (x, z ) d (x, y ) + d (y, z ). 3. Prostor X obshuje část X 0, která je izometrická s X. Jestliže jko X 0 oznčíme množinu všech stcionárních posloupností x = {x, x,... } pro x X, je zřejmé, že Tedy zobrzení x x je izometrie. d(x, y) = lim d(x, y) = d (x, y ). 4. X 0 = X. Je-li x X libovolný bod {x n } x, pk položme x = {x n0 }. Potom pltí ε > 0 n 0 N tk, že m, n n 0 je d(x n, x m ) < ε x X 0 d (x, x ) = lim d(x n, x n0 ) ε tedy X 0 = X. 5

18 5. X je úplný prostor. Připomeňme nejdříve, že kždá cuchyovská posloupnost {x n } bodů prostoru X reprezentuje prvek x X, neboli cuchyovská posloupnost {x n} prvků x n X 0 konverguje k prvku x X. Je-li nyní {x n} n= libovolná cuchyovská posloupnost bodů X, pk n N x n X 0 tk, že d (x n, x n) < n (je X 0 = X ). Odtud plyne, že {x n} konverguje lim x n = x. 6. X je určeno jednoznčně ž n izometrii. Bud te X X dvě zúplnění prostoru X. Potom pltí X = X 0 X = X 0 definujme zobrzení ϕ : X X předpisem ϕ(x ) = x pro x X 0. Je-li x X libovolný bod, potom existuje posloupnost Poněvdž X je úplný prostor, existuje {x n}, x n X 0 tk, že x n x. x X tk, že x n x položme ϕ(x ) = x. Ukážeme, že ϕ je izometrie. Bud te x, y X libovolné body, {x n}, {y n}; x n, y n X 0 tkové, že Potom je x n x, y n y v X tké x n x, y n y v X. d (x, y ) = lim d (x n, y n) = lim d(x n, y n ) = lim d (x n, y n) = d (x, y ) ϕ je izometrie. Definice: Bud X metrický prostor, f : X X zobrzení. Řekneme, že f je kontrktivní zobrzení nebo kontrkce, jestliže existuje α (0, ) tk, že pro všechn x, y X pltí d(f(x), f(y)) αd(x, y). Poznámky:. Kždá kontrkce je spojité zobrzení. Skutečně, je-li x n x, potom f(x n ) f(x) podle definice kontrkce. 2. V úplném metrickém prostoru pltí t. zv. vět o pevném bodu pro kontrktivní zobrzení, která má velmi důležité plikce.! Vět: (Bnchov vět o kontrkcích) Bud X úplný metrický prostor, f : X X kontrktivní zobrzení. Potom existuje právě jeden bod x X tk, že f(x) = x. Tento bod nzýváme pevným bodem zobrzení f. Důkz:. Existence Bud x 0 X libovolný bod uvžme posloupnost {x n }, definovnou předpisem x n = f(x n ) n N. Ukážeme, že {x n } je cuchyovská. Bud te m, n N, m > n. Potom je m = n+k, kde k N pltí d(x m, x n ) = d(x n+k, x n ) = d(f(x n+k ), f(x n )) αd(x n+k, x n ). Odtud indukcí plyne, že d(x m, x n ) α n d(x k, x 0 ). Ale d(x k, x 0 ) d(x 0, x )+d(x, x 2 )+ +d(x k, x k ) {+α+α 2 + +α k }d(x 0, x ) d(x 0, x ) α. 6

19 (Je α (0, )). Neboli d(x m, x n ) αn α d(x 0, x ) m, 0. Poněvdž X je úplný metrický prostor, je posloupnost {x n } konvergentní, tedy Vzhledem ke spojitosti f pltí x je tedy pevný bod f. 2. Jednoznčnost Necht f(x) = x f(y) = y. Potom pltí f(x) = f( lim x n) = lim f(x n) = lim x n+ = x d(x, y) = d(f(x), f(y)) αd(x, y). Poněvdž je α (0, ), pltí d(x, y) = 0, tedy x = y. lim x n = x. Poznámk: Předpis x n+ = f(x n ) udává metodu přibližného řešení úlohy f(x) = x. Zároveň je možno udt chybu po n-té proximci. Pltí d(x m, x n ) αn α d(x 0, x ) pro m dostneme d(x, x n ) αn α d(x 0, x ). Příkld: Uvžme otázku řešitelnosti Cuchyovy úlohy y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 v C(, b). Tto úloh je ekvivlentní s řešitelností integrální rovnice t y(t) = y 0 + f(τ, y(τ))dτ. t 0 Oznčme t T (y) = y 0 + f(τ, y(τ))dτ předpokládejme, že spojitá funkce f splňuje Lipschitzovu podmínku t 0 Potom pltí t T (y) T (z) = f(t, y ) f(t, y 2 ) K y y 2. t f(τ, y(τ))dτ f(τ, z(τ))dτ t f(τ, y(τ)) f(τ, z(τ)) dτ t 0 t 0 t 0 t K t 0 y(τ) z(τ) dτ K(b ) mx y(t) z(t) t b 7

20 pro t t 0. Anlogický odhd dostneme všk i pro t t 0, jen musíme uvážit Odtud plyne, že t 0 t f(τ, y(τ)) f(τ, z(τ)) dτ. mx T (y) T (z) = d(t (y), T (z)) K(b )d(y, z). t b Je-li K( b) < (čehož se dá vždy dosáhnout, je-li t 0 (, b) tento intervl je dosttečně mlý), dostneme odtud, že T je kontrkce dná úloh má jediné řešení. 8

21 Kpitol 2 Normovné prostory. 2. Normovné unitární prostory. Poznámk: V úvodu připomeneme některé známé pojmy z lineární lgebry. Pod pojmem číselné těleso budeme rozumět množinu reálných čísel R nebo množinu komplexních čísel C. Těleso budeme obyčejně znčit Φ. Definice: Bud X množin, jejíž prvky budeme znčit x, y,..., Φ těleso, jehož prvky budeme znčit α, β,.... Řekneme, že X tvoří lineární vektorový prostor nd tělesem Φ, jsou-li v X definovány 2 operce: sčítání vektorů (prvků) X násobení prvků X elementy Φ (skláry), které mjí následující vlstnosti: A Ke kždé dvojici x, y X existuje jejich součet x + y X. A 2 x + y = y + x x, y X. A 3 x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z X. A 4 Existuje prvek 0 X, nzývný nulový vektor tk, že x + 0 = x x X. A 5 Ke kždému x X existuje prvek x X, nzývný opčný vektor tk, že x + ( x) = 0. M Ke kždému x X ke kždému α Φ existuje jejich součin αx X. M 2 α(x + y) = αx + αy α Φ, x, y X. M 3 (α + β)x = αx + βx α, β Φ, x X. M 4 α(βx) = (αβ)x α, β Φ, x X. M 5 x = x Φ, x X. Poznámk: Prvky X nzýváme vektory, prvky Φ skláry. Vektorový prostor složený jen z nulového vektoru 0 budeme znčit {0}. Definice: Neprázdnou podmnožinu Y lineárního vektorového prostoru X nzýváme podprostorem, jestliže x + y Y jkmile x, y Y αx Y jkmile x Y, α Φ. Řekneme, že vektory x,..., x n jsou lineárně závislé, jestliže existují skláry α,..., α n, které nejsou všechny nulové tk, že n α j x j = 0. 9

22 Je-li možno tuto rovnost splnit jen tk, že α = α 2 = = α n = 0, řekneme, že vektory x,..., x n jsou lineárně nezávislé. Nekonečnou množinu M nzveme lineárně nezávislou, je-li kždá její konečná podmnožin lineárně nezávislá. O lineárním prostoru X řekneme, že má konečnou dimensi n, jestliže v X existuje n lineárně nezávislých vektorů kždá skupin o více než n vektorech je lineárně závislá. Jestliže ke kždému přirozenému číslu k existuje v X k lineárně nezávislých vektorů, řekneme, že X má nekonečnou dimensi. Poznámk: Lineární lgebr se zbývá vyšetřováním konečnědimensionálních prostorů, funkcionální nlýz zkoumá většinou prostory nekonečné dimense. Ty bývjí čsto normovné. Definice: Lineární vektorový prostor X nzveme lineárním normovným prostorem, je-li n X definován reálná nezáporná funkce x, nzývná norm s následujícími vlstnostmi:. x 0 x X; x = 0 x = αx = α x α Φ x X. 3. x + y x + y x, y X (trojúhelníková nerovnost). Lemm: Kždý normovný prostor je metrický prostor, jestliže definujeme d(x, y) = x y. Obráceně lineární metrický prostor je normovný, jestliže metrik d má následující 2 vlstnosti: V tomto přípdě stčí položit x = d(x, 0).. d(x, y) = d(x y, 0) x, y X. 2. d(αx, 0) = α d(x, 0) α Φ, x X. Důkz: ) Je zřejmé, že d(x, y) = x y má prvé dvě vlstnosti metriky. Pokud se týče trojúhelníkové nerovnosti, pltí d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z). b) Obráceně definujeme-li x = d(x, 0), je zřejmé, že pltí. vlstnost normy. Druhá plyne z dodtečné vlstnosti 2. Pro trojúhelníkovou nerovnost pltí x + y = d(x + y, 0) = d(x, y) d(x, 0) + d(0, y) = = x + d( y, 0) = x + d(y, 0) = x + y. Definice: Řekneme, že normovný lineární prostor X je Bnchův prostor (nebo B-prostor), jeli úplný v metrice indukovné normou X. Poznámk: Vzhledem k větě o vnoření do úplného metrického prostoru budeme v dlším prcovt většinou s B-prostory. Dlším důležitým přípdem normovného prostoru je unitární prostor nebo jeho zúplnění Hilbertův prostor. Definice: Bud H lineární prostor nd tělesem Φ. Řekneme, že H je unitární nebo pre- Hilbertův prostor, je-li n H H definován funkce (x, y) s hodnotmi ve Φ, nzývná sklární součin, která má následující vlstnosti:. (x, x) 0 x H; (x, x) = 0 x = (y, x) = (x, y) x, y H. 3. (x + x 2, y) = (x, y) + (x 2, y) x, x 2, y H. 4. (αx, y) = α(x, y) α Φ; x, y H. 20

23 Lemm: Pro sklární součin (x, y) pltí. (x, y + y 2 ) = (x, y ) + (x, y 2 ) x, y, y 2 H, 2. (x, αy) = α(x, y) α Φ ; x, y H. Důkz:. Je (x, y + y 2 ) = (y + y 2, x) = (y, x) + (y 2, x) = (y, x) + (y 2, x) = (x, y ) + (x, y 2 ). 2. Anlogicky (x, αy) = (αy, x) = α(y, x) = α(y, x) = α(x, y).! Vět: (Cuchyov nerovnost) Bud H unitární prostor. Potom pro libovolné x, y H pltí (x, y) 2 (x, x)(y, y). Rovnost pltí právě když jsou x y lineárně závislé. Důkz: Pro libovolné x, y H α, β Φ pltí 0 (αx + βy, αx + βy) = αα(x, x) + αβ(x, y) + αβ(x, y) + ββ(y, y). Jestliže položíme dostneme α = t R; β = { (x,y) (x,y) pro (x, y) 0 jink 0 t 2 (x, x) + 2t (x, y) + (y, y). Tedy diskriminnt tohoto kvdrtického trojčlenu musí být menší nebo roven 0. Neboli (x, y) 2 (x, x)(y, y) 0.. Je-li y = λx, potom (x, y) 2 = (x, λx) 2 = λ 2 (x, x) 2 = (x, x) λ 2 (x, x) = (x, x)(λx, λx) = (x, x)(y, y). 2. Necht (x, y) 2 = (x, x)(y, y). Potom pltí 0 ((x, y)y (y, y)x, (x, y)y (y, y)x) = = (x, y) 2 (y, y) (y, y) (x, y) 2 (x, y) 2 (y, y) + (y, y) 2 (x, x). Je-li y = 0, je tvrzení zřejmé. Pro y 0 zkrátíme (y, y) dostneme 0 (y, y)(x, x) (x, y) 2 = 0 odtud (x, y)y (y, y)x = 0, tedy x y jsou lineárně závislé. 2

24 Definice: Řekneme, že unitární prostor H je Hilbertův prostor, je-li H úplný normovný prostor v normě x = (x, x). Vět: Rovnost x = (x, x) definuje normu. V trojúhelníkové nerovnosti pltí rovnost právě když y = λx, kde λ 0. x + y x + y x, y H Důkz: Je zřejmé, že x 0 x H x = 0 x = 0. Dále αx = (αx, αx) = αα(x, x) = α x. Pokud se týče trojúhelníkové nerovnosti, pltí x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 + (x, y) + (y, x) + y 2 = = x 2 + 2Re(x, y) + y 2 x x. y + y 2 = ( x + y ) 2 podle Cuchyovy nerovnosti.. Necht y = λx, kde λ 0. Potom x + y = ( + λ)x = x + λ x = x + y. 2. Je-li x + y = x + y, potom z předchozí části důkzu plyne, že Re(x, y) = x y. Poněvdž všk pltí obecně (x, y) x y, dostneme odtud, že (x, y) = x y. Podle předchozí věty pltí y = λx tedy (x, y) = (x, λx) = λ x 2 zároveň x y = λ x 2, neboli λ = λ λ 0. Poznámky:. Sklární součin je spojitá funkce 2 proměnných ve smyslu, že pokud Je totiž x n x, y n y, pk (x n, y n ) (x, y). (x n, y n ) (x, y) = (x n, y n ) (x n, y) + (x n, y) (x, y) (x n, y n y) + (x n x, y) x n y n y + x n x y Sklární součin umožňuje zvést pojem ortogonlity nebo kolmosti vektorů, známý z lineární lgebry. Definice: Bud M množin vektorů lineárního prostoru X. Množinu všech konečných lineárních kombincí prvků M nzveme lineárním oblem M oznčíme [M]. Podmnožinu S unitárního prostoru H nzveme ortogonální, je-li (x, y) = 0, jkmile x, y S, x y. Řekneme, že S je ortonormální, je-li nvíc x = pro všechn x S. 22

25 Poznámk: S ortonormální množinou se počítá velmi dobře ukzuje se, že z libovolného nezávislého systému vektorů v unitárním prostoru lze vytvořit systém ortonormální. Vět: (Grm-Schmidtov ortogonlizce) Bud {x n } spočetná lineárně nezávislá množin. Potom existuje ortonormální množin {u n } tk, že pro kždé přirozené k pltí [{x,..., x k }] = [{u,..., u k }]. Důkz: Je x n 0 n N. Definujme y, y 2,..., u, u 2,... následujícím způsobem y = x u = y y y 2 = x 2 (x 2, u )u u 2 = y2 y 2 y k+ = x k+ k (x k+, u j ) u k+ = y k+ y k+. Tento proces skončí, je-li {x n } konečná množin, jink pokrčuje do nekonečn. Indukcí dostneme, že [{x,..., x k }] = [{u,..., u k }] k N. Dále je zřejmé, že (u i, u j ) = 0 pro i j, u i =. Vět: Bud H unitární prostor. Nutná postčující podmínk pro to, by byly vektory x,..., x n H lineárně nezávislé je, by jejich Grmův determinnt byl nenulový, t. j. (x, x ),, (x n, x ) Γ(x,..., x n ) = (x, x n ),, (x n, x n ) 0. Důkz:. Jsou-li x,..., x n závislé, je zřejmě Γ(x,..., x n ) = Necht jsou x,..., x n nezávislé. Potom má soustv λ x + + λ n x n = 0 pouze triviální řešení λ = = λ n = 0 tedy tké soustv λ (x, x )+ +λ n (x n, x ) = 0 λ (x, x n )+ +λ n (x n, x n ) = 0. To je všk možné pouze když Γ(x,..., x n ) 0. Poznámky:. Dlší vlstnosti Hilbertov prostoru budou uvedeny později. 2. Vzájemný vzth mezi prostory, se kterými jsme se ztím setkli, je možno vyjádřit symbolicky inklusemi Rn Hilbertovy prostory Bnchovy prostory Metrické prostory Topologické prostory. 23

26 2.2 Příkldy normovných prostorů.. Prostor l p ( p < ). Definice: Prostorem l p nzveme množinu všech číselných posloupností x = {α n } tkových, že α n p <. Norm je definován předpisem n= x = { n= α n p } p. Vět: l p tvoří seprbilní Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme předpisem: Je-li x = {α n }, y = {β n }, λ Φ, pk x + y = {α n + β n }, λx = {λα n }. Důkz: Skutečnost, že x + y l p plyne z Minkowského nerovnosti. Je totiž x + y = { α n + β n p } p { α n p } p + { β n p } p = x + y. n= To zároveň dokzuje trojúhelníkovou nerovnost. Osttní vlstnosti normy jsou zřejmé. Seprbilit Oznčme Y množinu všech vektorů z l p tvru n= y = {r, r 2,..., r n, 0,... }, kde r j jsou rcionální n N. Potom je Y spočetná množin. Ukážeme, že je hustá v l p. Bud x l p. Potom ε > 0 k N tk, že α n p < εp 2. Dále existuje tkové y = {r,..., r k, 0, 0,... } tk, že Odtud plyne, že x y p < ε p, tedy x y < ε. Úplnost Bud cuchyovská posloupnost. Potom tedy n=k+ k n= n= {x (k) } = {α (k), α(k) 2,... } α n r n p < εp 2. ε > 0 n 0 tk, že k, l n 0 pltí x (k) x (l) < ε, { n= α (k) n Odtud plyne, že pro všechn n N je α n (k) cuchyovská pro kždé n N, neboli existuje } p α n (l) p < ε. α n (l) < ε posloupnost (číselná) {α n (k) } je lim k α(k) n = α n. 24

27 Oznčme x = {α n }. Pro kždé přirozené s N pltí Odtud pro l dostneme pro s s n= s n= n= α (k) n α (k) n α (l) n p < ε p. α n p ε p α (k) n α n p ε p. To všk znmená, že x (k) x l p tedy i x = x (k) (x (k) x) l p. Vět: Prostor l 2 tvoří Hilbertův prostor, jestliže definujeme (x, y) = α n β n. n= Důkz: Vlstnosti sklárního součinu jsou zřejmé, jestliže ukážeme, že dná řd konverguje bsolutně. To všk plyne z Hölderovy nerovnosti. Pltí totiž { } { 2 } 2 α n β n α n 2 β n 2 = x y. n= Zároveň to též ukzuje, že pltí Cuchyov nerovnost (x, y) x y. n= n= Poznámky:. Prostory l n p R n (po přípdě C n ) tvoří uzvřené podprostory l p l 2, jestliže prvky x = (α, α 2,..., α n ) ztotožníme s vektory l p tvru 2. Prostor l p má nekonečnou dimensi. Vektory jsou lineárně nezávislé. 3. Jestliže oznčíme x = (α, α 2,..., α n, 0, 0,... ). ε = (, 0, 0,... ), ε 2 = (0,, 0,... ),... K = {x l p ; x }, pk je K omezená uzvřená množin, která všk není kompktní. Ukzuje se totiž, že kompktnost uzvřené jednotkové koule v Bnchově prostoru X je nutná postčující podmínk pro to, by X byl konečnědimensionální. 2. Prostor l. Definice: Prostorem l (nebo m) nzveme množinu všech omezených číselných posloupností x = {α n }. Norm v l je definován předpisem x = sup α n. n 25

28 Vět: l tvoří Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme jko v přípdě l p. l není seprbilní. Důkz: Je zřejmé, že výše uvedený předpis definuje normu. Úplnost Bud x (k) = {α (k), α(k) 2,... } cuchyovská posloupnost. Potom existuje číslo M k tk, že α (k) n M k n N. Dále ε > 0 n 0 N k, l n 0 pltí x (k) x (l) < ε tedy Odtud plyne, že posloupnost {α n (k) k číslu α (k) n } α (l) n < ε n N. je cuchyovská pro všechn n N tedy konverguje α n = lim k α(k) n. Oznčme x = {α n }. Ukážeme, že x tvoří omezenou posloupnost. Poněvdž α n (k) dostneme pro l α n (k) α n ε. Nyní α n α n α n (k) + α n (k) ε + M k. Oznčme Y podmnožinu l složenou ze všech posloupností tvru y = (, 0,,, 0,, 0, 0,... ). Tto množin je nespočetná (ukžte proč) při tom pro y, z Y, y z pltí y z =. α (l) n < ε, Definice: Prostorem c nzveme množinu všech konvergentních číselných posloupností x = {α n } s normou x = sup α n. n Prostorem c 0 nzveme množinu všech číselných posloupností, které konvergují k 0 s normou x = sup α n. n Vět: Prostor c je uzvřeným podprostorem l, prostor c 0 je uzvřeným podprostorem c. Prostor c je dále seprbilní. Důkz: Jestliže dokážeme uzvřenost c c 0, plyne odtud utomticky, že c i c 0 jsou Bnchovy prostory. Ze seprbility c plyne i seprbilit c 0. Necht x (k) k x, x (k) c. Potom x = {α n } l. Zbývá dokázt, že {α n } je konvergentní, tedy Poněvdž x (k) x, pltí, že ε > 0 n 0 m, n n 0 α n α m < ε. ε > 0 k 0 N k k 0 x (k) x < ε, 26

29 neboli α n (k) α n < ε n N. Nyní je pro dosttečně veliká k, m, n. Seprbilit c α n α m α n α n (k) + α n (k) α m (k) + α m (k) α m < 3ε Oznčme Y množinu všech prvků c tvru y = {r,..., r n, r, r,... }, kde r,..., r n, r jsou rcionální čísl. Potom je Y spočetná množin. Necht nyní x = {α n } c. Pk existuje lim α n = α ε > 0 n 0 N n n 0 je α n α < ε 2. Bud r tkové, že α r < ε 2 r,..., r n0 tková, že α j r j < ε j =,..., n 0. Pro n n 0 je α n r α n α + α r < ε, tedy x y < ε. Poznámky:. Prostor l n tvoří uzvřený podprostor c 0, jestliže vektory x = (α,..., α n ) ztotožníme s vektory c 0 tvru x = {α,..., α n, 0, 0,... }. 2. Prostory l, c, c 0 mjí nekonečnou dimensi. 3. Prostor B(S). Definice: Bud S libovolná množin. Prostorem B(S) nzveme množinu všech omezených sklárních funkcí, definovných n S s normou f = sup f(s). s S Vět: B(S) tvoří Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme předpisy: (f + g)(s) = f(s) + g(s) f, g B(S) s S. (αf)(s) = αf(s) f B(S), α Φ s S. B(S) není seprbilní, je-li S nekonečná. Důkz: Je zřejmé, že B(S) tvoří lineární normovný prostor. Bud nyní {f n } fundmentální posloupnost v B(S). Potom ε > 0 n 0 N m, n n 0 je f m f n < ε, tedy f m (s) f n (s) < ε s S. Neboli existuje Nyní f(s) = lim f n(s) s S. f(s) f(s) f n (s) + f n (s) < ε + K n s S. Je-li S konečná, n příkld S = {s, s 2,..., s k }, potom je B(S) = l k. Je-li všk S nekonečná, stčí vzít funkce z B(S), které nbývjí pouze hodnot 0. Množin všech těchto funkcí je nespočetná pro dvě libovolné různé funkce f, g tohoto typu pltí f g =. 27

30 . Z definice normy v B(S) plyne, že konvergence v B(S) je stejnoměrná kon- Poznámky: vergence n S. 2. Jk již bylo řečeno v důkzu předchozí věty, je B(S) = l n, je-li S konečná B(S) = l pro S spočetnou. 4. Prostor C(S). Definice: Bud S kompktní metrický prostor. Prostorem C(S) nzveme množinu všech spojitých sklárních funkcí, definovných n S s normou f = mx s S f(s). Vět: C(S) tvoří Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme jko v přípdě B(S). Je-li S R n, je C(S) seprbilní. Důkz: Úplnost C(S) plyne ze skutečnosti, že konvergence v prostoru C(S) je stejnoměrná konvergence n S. Je-li S R n, je množin všech polynomů v n proměnných s rcionálními koeficienty spočetná hustá v C(S). 5. Prostor L p (M). Definice: Bud M R n měřitelná množin. O dvou měřitelných funkcích f g n M řekneme, že jsou ekvivlentní, jestliže f(x) = g(x) s. v. v M. Definice: Bud p, M R n měřitelná množin. Potom prostorem L p (M) nzveme množinu všech ekvivlentních tříd měřitelných funkcí v M tkových, že f(x) p dx <. M Normu v L p (M) definujeme předpisem f = M f(x) p dx p. Vět: L p (M) tvoří seprbilní Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme obvyklým způsobem. Poznámk: Prostor L p tvoří třídy nvzájem ekvivlentních funkcí, le v dlším budeme používt opět název funkce pro prvky L p. Důkz: Nebudeme provádět detilně. Seprbilit L p plyne z konstrukce Lebesgueov integrálu jko limity jednoduchých µ-integrovtelných funkcí. Jestliže vezmeme jednoduché µ-integrovtelné funkce s rcionálními hodnotmi, dostneme spočetnou hustou podmnožinu. Úplnost plyne z vlstností Lebesgueov integrálu. 28

31 Zbývá ukázt, že uvedený předpis je skutečně norm. Je-li f = 0, pk f(x) = 0 s. v., neboli f je nulový prvek L p. Vlstnost αf = α f je zřejmá. Trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti. Je totiž p p p f + g = (f + g)(x) p dx f(x) p dx + g(x) p dx = f + g. M M M Vět: Prostor L 2 (M) tvoří Hilbertův prostor, jestliže definujeme (f, g) = f gdx. M Důkz: Vlstnosti sklárního součinu jsou zřejmé, jestliže ukážeme, že dný integrál konverguje bsolutně. To všk plyne z Hölderovy nerovnosti. Je totiž 2 f g dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx M 6. Prostor L (M). M M 2 = f g. Definice: Bud M R n měřitelná množin. Prostorem L (M) rozumíme množinu všech měřitelných funkcí v M, které jsou s. v. konečné v M. Norm v L (M) je definován předpisem f = ess sup x M f(x), kde ess sup f(x) = x M inf N;µ(N)=0 sup f(x). x M N Vět: L (M) tvoří Bnchův prostor, jestliže lgebrické operce definujeme obvyklým způsobem. L (M) není seprbilní, je-li M nekonečná množin. Důkz: Důkz nebudeme provádět, zájemci jej mohou nlézt v textu, věnovném Lebesgueovu integrálu. 7. Sobolevovy prostory. Poznámk: Uvžme prostor L 2 (Ω), kde Ω je otevřená omezená podmnožin R n s hldkou hrnicí. Jestliže uvážíme prostor C všech funkcí n Ω, které mjí spojité prciální derivce všech řádů, je C hustý podprostor L 2 (Ω), tedy C = L 2 (Ω). Jestliže všk změníme normu, dostneme dlší podprostory (uzvřené), tedy Hilbertovy prostory. Oznčení: Bud te α,..., α n nezáporná celá čísl, α = (α,..., α n ). Potom oznčíme α = α + + α n. Je-li f(x,..., x n ) funkce n proměnných, pk oznčíme D α α f f = x α, D α f D α g = xαn n α + +α n= α α f x α xαn n α g x α xαn n. 29

32 Definice: Bud k 0 celé, Ω R n otevřená omezená množin s hldkou hrnicí. Symbolem H k (resp H k (Ω)) oznčíme množinu všech funkcí f L 2 (Ω) tkových, že pro 0 α k existují derivce D α f ptří do L 2. V H k zvedeme sklární součin normu předpisem (f, g) k = D α f D α g dx, f k = (f, f) k. α k Prostor H k nzveme Sobolevovým prostorem řádu k. Vět: H k je Hilbertův prostor. Ω Důkz: Předepsný sklární součin splňuje zřejmě všechny vlstnosti, stejně tk norm. Zbývá ukázt, že H k je úplný normovný prostor. Bud {f j } cuchyovská posloupnost v H k. Potom D α f j D α f m 2 = D α f j D α f m 2 dx D α f j D α f m 2 dx = f j f m 2 k 0. j,m Ω α k Tedy {D α f j } je cuchyovská posloupnost v L 2 konverguje k jistému prvku f (α) L 2. Tuto limitu budeme povžovt z příslušnou derivci limitní funkce. Poznámky:. V dlším výkldu upřesníme pojem zobecněné nebo distributivní derivce. Potřebujeme k tomu všk pojem spojitého lineárního funkcionálu djungovného prostoru. 2. Jestliže se podíváme n definici H k, pltí zřejmě Ω Nvíc pltí vět: C H k+ H k H 0 = L 2. Vět: Uzávěr C v normě k je roven H k. Důkz: Nebudeme provádět. Příkldy:. Je-li Ω = (, b), pk má skllární součin v H k tvr (f, g) k = f(x) g(x) dx + f (x) g (x) dx + + f (k) (x) g (k) (x) dx. 2. Pro libovolné Ω R n je sklární součin v H tvru (f, g) = Ω f g dx + Ω n f x j g dx = x j Ω f g dx + Ω (grd f, grd g)dx. 2.3 Zobrzení normovných prostorů. Definice: Bud te X,Y dv lineární vektorové prostory nd týmž tělesem tělesem Φ. Řekneme, že zobrzení T : X Y je lineární, jestliže pltí:. Definiční obor D(T ) zobrzení T je podprostor X. 2. T (αx + βy) = αt x + βt y α, β Φ, x, y D(T ). Lineární zobrzení nzýváme též někdy lineární operátor. 30

33 Poznámky:. Úplnou indukcí dostneme, že pro lineární zobrzení pltí T ( p α j x j ) = p α j T x j p N. 2. Je-li T : D(T ) Y lineární operátor, pk jeho obor hodnot R(T ) je tké lineární vektorový prostor (podprostor Y). pk Důkz: Je-li y, y 2 R(T ), y = T x, y 2 = T x 2, α y + α 2 y 2 = α T x + α 2 T x 2 = T (α x + α 2 x 2 ) R(T ). 3. Je-li T lineární operátor, pk T existuje právě když T x = 0 x = 0. Existuje-li T, je to opět lineární operátor. tedy Důkz: Je-li y = T x, y 2 = T x 2, neboli x = T y, x 2 = T y 2, potom T (α x + α 2 x 2 ) = α y + α 2 y 2 α x + α 2 x 2 = α T y + α 2 T y 2 = T (α y + α 2 y 2 ). V prostorech nekonečné dimenze je všk důležitá otázk spojitosti lineárního zobrzení. Vět: Lineární zobrzení, které je spojité v jednom bodě svého definičního oboru, je spojité všude. Důkz: Bud T spojité v bodě x 0 necht x D(T ) je libovolný bod, Potom tedy T (x n x + x 0 ) T x 0. Je všk x n D(T ), x n x. x n x + x 0 x 0, odtud T (x n x + x 0 ) = T x n T x + T x 0 T x n T x 0, t.j. T x n T x. Poznámk: Ověření spojitosti T se provádí většinou v bodě x = 0. Definice: Bud te X, Y normovné prostory, T : X Y lineární operátor. Řekneme, že T je omezený, jestliže existuje konstnt M tk, že T x M x x X. Vět: Bud te X, Y lineární normovné prostory, T : X Y lineární operátor. Potom je T spojitý právě když je omezený. Důkz:. Bud T omezený, t. j. T x M x x X. 3

34 Potom je T zřejmě spojitý v bodě x = 0 tedy všude. 2. Necht je obráceně T spojitý v bodě 0. Potom je Je-li nyní x 0 libovolné, pk položme x 0 = stčí položit M = 2 δ. T x < jkmile x < δ pro nějké δ > 0. δx 2 x. Poněvdž je x 0 = δ 2 < δ, pltí T x 0 <, neboli T x 2 δ x Vět: Bud te X, Y lineární normovné prostory. Potom množin všech spojitých lineárních operátorů z X do Y, kterou znčíme (X, Y), tvoří lineární normovný prostor, jestliže definujeme T = sup T x. x Je-li Y B-prostor, je i (X, Y) B-prostor. Důkz: Bud te T, T 2 (X, Y), α Φ. Potom definujeme T + T 2 αt předpisem (T + T 2 )x = T x + T 2 x, (αt )x = T (αx). Odtud plyne, že (X, Y) tvoří lineární vektorový prostor. Ze spojitosti T (X, Y) plyne existence konstnty M tkové, že T x M x x X tedy pro x dostneme Bud nyní T = 0, neboli T x M odtud T M <. sup T x = 0. x Odtud plyne, že T x = 0 pro x. Je-li x 0 libovolné, pk pro Poněvdž je x 0 = x 2 x pltí x 0 tedy 0 = T x 0 = T x, neboli T = 0. αt x = α T x, plyne odtud, že αt = α T. Bud x. Potom pro trojúhelníkovou nerovnost pltí odtud (T + T 2 )x T x + T 2 x T + T 2 T + T 2 = sup (T + T 2 )x T + T 2. x Odtud plyne, že (X, Y) je normovný prostor. Předpokládejme nyní, že Y je B-prostor bud {T n } libovolná cuchyovská posloupnost v (X, Y). Tedy ε > 0 n 0 N m, n n 0 T n T m < ε. 32

35 To všk znmená, že pro x pltí je-li x 0 libovolné, dostneme, že (T n T m )x T n T m (T n T m ) x x T n T m, neboli (T n T m )x T n T m x < ε x. Tedy x X je {T n x} fundmentální posloupnost v Y tedy konvergentní v Y. Oznčme T x = lim T nx. Stčí ukázt, že T je lineární, poněvdž T (X, Y) T T n 0. Z nerovnosti plyne pro n, že T (α x + α 2 x 2 ) = lim T n(α x + α 2 x 2 ) = lim {α T n x + α 2 T n x 2 } = tedy T T m je omezené zobrzení tké = α lim T nx + α 2 lim T nx 2 = α T x + α 2 T x 2. T n x T m x < ε x T x T m x ε x, T = (T T m ) + T m, neboli T (X, Y). Z nerovnosti vyplývá, že T T m ε, tedy (X, Y) je B-prostor. T x T m x ε x T m T m Poznámk: Normu lineárního operátoru je možno vyjádřit jedním z následujících způsobů: T = sup T x ; T = inf{m; T x M x } ; x T x ; T = sup x = Důkz tohoto tvrzení je ponechán do cvičení. T x T = sup x. x 0 Vět: Bud T : X Y lineární operátor. Potom T existuje je spojitý právě když existuje konstnt m > 0 tková, že m x T x x X. Důkz:. Bud T x = 0. Potom x = 0 T existuje. Je-li y = T x, pk x = T y tedy m T y T x, neboli T y m y 33

36 T je spojitý. Zároveň pltí, že 2. Bud T spojitý, neboli T = sup{m; m x T x }. T y M y, tedy x T x. M 2.4 Hhn-Bnchov vět. Definice: Bud X lineární normovný prostor nd tělesem Φ. Potom B-prostor (X, Φ) nzýváme djungovným nebo duálním prostorem k prostoru X znčíme X. Kždý prvek x X nzýváme lineární formou nebo lineárním funkcionálem n X. Poznámk: V dlším se podíváme n vlstnosti djungovného prostoru otázky rozšiřování lineárního funkcionálu. Definice: Bud X lineární prostor nd tělesem Φ A X podmnožin. Řekneme, že A je konvexní, jestliže x, y A pltí αx + ( α)y A pro α 0,. O zobrzení p : X Φ řekneme, že je konvexní funkcionál (nebo Minkowského funkcionál), jestliže pltí. p(x) 0 x X, 2. p(x + y) p(x) + p(y) x, y X, 3. p(αx) = αp(x) x X, α 0. Poznámky:. Příkldem konvexního funkcionálu je norm (pokud je n dném lineárním prostoru X definován). 2. Je-li A konvexní podmnožin vektorového prostoru X tková, že 0 A, s dlší vlstností pk se ukzuje, že je konvexní funkcionál. x X α Φ tk, že αx A, p(x) = inf{α > 0; α x A}! Vět: (Hhn-Bnchov) Bud X lineární prostor nd tělesem Φ, Y jeho podprostor. Necht p je konvexní funkcionál n X, f lineární funkcionál, definovný n Y tkový, že f(y) p(y) y Y. Potom existuje lineární funkcionál F, definovný n X tk, že F (y) = f(y) y Y ; F (x) p(x) x X. Důkz: Důkz vyžduje zákldní seznámení s částečně uspořádnými množinmi nebudeme jej provádět. Zájemci o důkz se mohou podívt do některé ze stndrdních monogrfií z funkcionální nlýzy nebo si počkt n inovovnou verzi. 34