Sbírka příkladů z analýzy funkcí více proměnných

Transkript

1 České vsoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Sbírk příkldů z nlýz funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Prh 6

2 Předmluv Tento text je určen pro student technických vsokých škol, zejmén studentům Fkult elektrotechnické ČVUT, k procvičení nlýz funkcí více proměnných, především diferenciálního integrálního počtu. Sbírk obshuje vzorová řešení příkldů k těmto témtům. K řešením jsou tké připojen znění vět definic to tm, kde to slouží buď k připomenutí pojmu nebo k lepšímu pochopení postupu. Protože sbírk bude sloužit především jko podkld ke cvičením z předmětu Mtemtická nlýz Mtemtikvícedimenzionální klkulus vučovných n FEL ČVUT, obshuje tké příkld z Fourieových řd. Část příkldů bl vtvořen pedgog vučujími n FEL ČVUT část bl převzt ze zdrojů uvedených n konci sbírk bl doplněn řešeními. Sbírk bl vtvořen s podporou grntu RPAPS č. /5/56C5.

3 Obsh Množin v R n jejich vlstnosti 4 Limit funkcí více proměnných 9 Derivce ve směru, grdient, totální diferenciál 4 Tlorův polnom, lokální extrém 5 Vázné bsolutní extrém 9 6 Dvojný integrál 9 7 Trojný integrál 5 8 Křivkový integrál 57 9 Plošný integrál 6 Integrální vět 66 Fourierov řd 74

4 Množin v R n jejich vlstnosti Příkld.. Nechť A, B R n nechť A c : R n \ A znčí doplněk complement množin A v R n. Ukžte, že pltí: c, c, i A A A c c A ii A, B otevřené A B otevřená, iii A B A B, iv A, B uzvřené A B uzvřená, v A B A B. Pojem otevřená množin intuitivně zvádíme jko množinu, která s kždým bodem obshuje ještě dost prostoru kolem něj je to kvůli pozdějšímu použití pro derivování - potřebujeme se k bodu přiblížit odkudkoliv. Přesněji: Otevřená množin G je tková, že s kždým bodem x obshuje i nějké jeho okolí U ε x v podobě tzv. otevřené koule s poloměrem ε > středem v bodě x : tj. U ε x def {x R n x x < ε}. G je otevřená def x G ε > U ε x G Pojmem uzvřené množin zse intuitivně mslíme tkovou množinu, ze které nemůžeme vpdnout při limitách posloupností, tj. tková množin obshuje všechn bod, ke kterým se můžeme z této množin přiblížit libovolně blízko. Přesněji: Uzvřená množin F je tková, že kždý bod x R n, jehož libovolné okolí U ε x má s množinou F průnik, už musí ležet v F : F je uzvřená def x R n ε > U ε x F x F Kupodivu, tto dv pojm jsou nkonec nvzájem doplňkové v tom smslu: Připomeňme si ještě, že G je otevřená G c je uzvřená F je uzvřená F c je otevřená vnitřek A množin A definujeme jko množinu všech bodů, které jsou v A i s nějkým okolím neboli vnitřek je největší otevřená množin obsžená v A x A def ε > U ε x A uzávěr A množin A si definujeme jko množinu všech bodů, ke kterým se můžeme přiblížit libovolně blízko z množin A. x A def ε > U ε x A hrnice A množin A je množin všech bodů, jejich libovolná okolí zshují jk do smotné množin A, tk do jejího doplňku A c x A def ε > U ε x A U ε x A c Pro libovolnou množinu A se tk celý prostor R n vžd disjunktně rozloží znčeno pomocí n vnitřek A, hrnici A vnějšek A c : Kromě toho ještě pltí: R n A A A c 4

5 A A \ A A A c Uzávěr A je uzvřená množin sice nejmenší uzvřená, která obshuje množinu A. A je otevřená A A A je uzvřená A A i Sndno teď máme: c [ ] x A ε > U ε x A ε > U ε x A c x A c. Ted A c A c. E. Druhou rovnost dostneme buď nlogick nebo přechodem k doplňkům A : B c následně plikcí doplňků: A E. A c c B c B c E. Ted můžeme prohzovt pořdí uzávěru doplňku, kdž pk uzávěr změníme n vnitřek. ii Jestliže A B jsou otevřené, pk s kždým bodem obshují i nějkou otevřenou kouli. Kdž si vezmeme tu s menším poloměrem, bude obsžen v obou množinách, ted v průniku. Tkže A B je tké otevřená. iii Použijeme zákldní vlstnosti vnitřku: Teď ukážeme, že A B A B : E.5 A B A & A B B A ještě zbývá udělt A B A B : A A E. A A E.4 A B A B E.5 A B A & A B B A B A B A B jsou otevřené A B je otevřená A B A B Ted A B E. A B E.5 A B E.4 A B A B. Tkže máme A B A B. iv Můžeme postupovt podobně jko v použít zákldní vlstnosti uzávěru: A A A A nebo můžeme vužít dokáznou část přejdeme k doplňkům: E.6 E.7 A B A B E.8 A, B uzvřené A c, B c otevřené A c B c A B c otevřená A B uzvřená. v Můžeme postupovt podobně jko v nebo můžeme vužít dokáznou část přejdeme k doplňkům s pomocí : A B A B c c A B c c A c B c c A c B c c A c c c A c c B B A B Jk je vidět, při zákldní mnipulci s uzávěr, vnitřk td.. si do velké mír vstčíme s lgebrickým popisem těchto pojmů viz vlstnosti E. - E.8 nemusíme jít ž do zákldní definice, která vužívá pojem okolí. 5

6 Příkld.. Njděte příkld, kd uvedená tvrzení nepltí pro zblé možnosti, předchozího z příkldu, tj. i A n, n N jsou otevřené, le n A n už není otevřená, ii A B A B, iii A n, n N jsou uzvřené, le n A n už není uzvřená, iv A B A B. i A n n, n R, n N. Pk je n A n {}. iii A n, n R, n N. Pk je n A n,. ii, iv A {x, R x < }, B {x, R x}. Pk je A B R R \ os A B A B os A B. Příkld.. Ukžte, že uzávěr kždé množin M je sjednocení této množin s množinou jejích hromdných bodů. Plne ihned z definic: M ε > U ε M je hromdný bod M ε > P ε M Příkld.4. Sestrojte příkld neprázdných množin M v R, že i nemá žádný vnitřní bod, ii nemá žádný hrniční bod, iii nemá žádný vnější bod, iv nemá žádný hromdný bod, v nemá žádný izolovný bod. i jkákoliv spočetná množin npř. Q, kružnice, přímk mnoho dlších příkldů. ii Z poždvku M plne, že M M M M M M, ted M M M množin M je tk součsně otevřená uzvřená. Jediná tková neprázdná množin je pouze M R. Pro podrobnosti viz příkld o souvislých množinách. iii Vnějšek množin je roven R \ M, ted potřebujeme, b M R množin je tzv. hustá. Můžeme opět volit npř. M Q. iv jkákoliv konečná množin; N mnoho dlších příkldů. v jkákoliv otevřená množin mnoho dlších příkldů. Příkld.5. Stnovte hromdné bod množin M {/n, /m R n, m N}. 6

7 Ukážeme, že množin hromdných bodů je N {/n,,, /n R n N} {, }. Zřejmě kždý prvek N je hromdný bod M. Nopk, nechť R je hromdný bod M, speciálně M. Protože jednotlivé projekce π, π : R R, π x, : x, π x, : jsou spojité funkce, tk pro posloupnost n n N M tkovou, že lim n je tké lim π i n n n π i. Ted π i π i M {/n n N} {} pro i,. Máme tk, že {/n n N} {} M N. Všechn bod původní množin M jsou le izolovné, ted musí být N. Příkld.6. Určete vnitřek, hrnici uzávěr následujících množin: i M {, b R + + b, 4 + b }; ii M Q R, kde Q je množin všech rcionálních čísel. i Zdání lze uprvit n přehlednější tvr. Doplněním n čtverec můžeme první nerovnost uprvit n + + b 4 neboli, b, 4. Podobně druhá nerovnost znmená, b, 4. Množinu M proto můžeme vjádřit jko M A B, kde A U, B U,, ted jko průnik dvou uzvřených koulí viz dále. Pro ε > x R používáme znčení U ε x : {x R x x ε} Uzávěr M: Nní víme, že obě množin A i B jsou uzávěr nějkých množin, ted jsou uzvřené. Množin M je jejich průnikem, ted je tké uzvřená proto je uzávěrem sm sebe neboli M M. Vnitřek M: Použijeme vzth M A B A B. Protože A U, U, což není těžké ukázt. Podobně to pltí pro B dostáváme tk M {, b R + + b <, 4 + b < }. Hrnice M: M M \ M {, b R + + b & 4 + b + + b & 4 + b }. Důležitá poznámk: Nechť f : R R je spojitá funkce. Pk množin f, { R f < } je otevřená množin tj. vzor otevřeného intervlu, R je otevřená množin. Podobně f, { D f } je uzvřená množin tj. vzor uzvřeného intervlu, R je uzvřená množin. 7

8 Protože funkce f, b + + b g, b 4 + b jsou spojité n celém R, je množin M {, b R + + b, 4 + b } uzvřená neboli M M množin je otevřená neboli N N. N {, b R + + b <, 4 + b < } POZOR! Tímhle způsobem le obecně nemusíme získt přímo vnitřek M, le jen nějkou jeho podmnožinu N M. Rovnost nemusí obecně nstt npř. pro A {x R x } je {x R x < } R \ {} R A. Pro rovnost je potřeb použít větu o implicitní funkci. Z té pk plne toto tvrzení: Vět: Nechť U R n je otevřená množin f : U R je spojitě diferencovtelná funkce n U. Položme A {x U fx }. Pokud pro kždé x A tkové, že fx, je f x f x,..., f x n x, pk A {x U fx < }. V nšem přípdě oprvdu pro f, b + + b máme f, b f, f +, b. Pokud b b náhodou nstlo, že f, b, pk je b tudíž f, 4. Podmínku z předchozí vět tk máme splněnou proto oprvdu {, b R + + b < } je vnitřek množin {, b R + + b }. ii Uvědomíme si, že v libovolném okolí libovolného r R leží jk nějké rcionální číslo, tk tké nějké ircionální číslo. Dále pokud máme r i s i < ε pro i,, kde r i, s i R ε > pk r, r, r s, s, s ε. Speciálně ted v libovolném okolí bodu x R leží jk nějký prvek z Q, tk nějký prvek z R \ Q. Proto můžeme ihned npst, že Q R, Q Q Q \ Q R. Příkld.7. Jké jsou obojetné, tj. součsně otevřené uzvřené množin v eukleidovském prostoru R n? Jediné tkové dvě množin jsou R n. Abchom si to ověřili, použijeme následující pojem souvislé množin, který intuitivně odpovídá tomu, že množinu nemůžeme rozkouskovt n oddělené blok ted to, co se děje v jedné její části, ovlivňuje i celý zbtek této množin tento pojem se upltní hlvně při spojitém rozšiřování funkci, existenci potenciálu td. Množin A R n se nzývá souvislá právě kdž nejde rozdělit pomocí dvou otevřených disjunktních neprázdných množin, tj. A R n je souvislá def [ ] U, U otevřené neprázdné A U U & U U Pokud b nní existovl nějká obojetná množin U v R n, tková, že tké U R n, znmenlo b to, že R n se dá rozdělit pomocí dvou disjunktních neprázdných otevřených množin U U c. Ted R n b pk nebl souvislá množin. Dokázt, že R n je skutečně souvislá, dá trochu práci, le zkusíme se podívt, jk b se to pro n dlo udělt, pokud bchom už věděli, že R je souvislá množin. Budeme postupovt sporem. Předpokládejme, že R n není souvislá pro n. Dá se ted zpst jko R n U V, kde U V jsou neprázdné disjunktní otevřené množin. 8

9 Zvolme si bod U b V nechť ϕ : R R n je obvklá prmetrizce přímk, která spojuje bod b tj. ϕt + tb pro t R. Zobrzení ϕ je ted spojité proto vzor ϕ U otevřené množin U je opět otevřená množin neprázdná, protože ϕ U. Podobně i ϕ V je otevřená neprázdná množin protože ϕ V, která je nvíc disjunktní s ϕ U. A nvíc určitě pltí, že R ϕ U ϕ V. To le znmená, že R není souvislá, což je spor! R n tk musí být souvislá proto nemá žádné dlší neprázdné obojetné množin. Příkld.8. Rozhodněte, zd množin je souvislá: i {x, R x, < 5}, ii Q, iii R \ bod, R \ přímk, iv R \ bod, R \ přímk, R \ rovin. i Dokzovt souvislost jko tkovou je trochu obtížnější. Pomůžeme si proto o něco silnějším pojmem: Množin M R n se nzývá obloukově souvislá, pokud kždé dv bod, b M existuje spojitá křivk ϕ :, M, že ϕ ϕ b. Vet: Kždá obloukově souvislá množin je souvislá. Pozor! Existují le množin, která jsou sice souvislé, le nejsou obloukově souvislé, npř. { A x, sin } R x, {}, x kde bod n ose nejdou propojit s grfem funkce sin x. Pro otevřené množin le ob pojm splývjí: Vět: Nechť U R n je otevřená množin. Pk je obloukově souvislá právě kdž je souvislá. Otevřená souvislá množin se nzývá oblst. Množin {x, R x, < 5} je souvislá, protože se jedná o mezikruží, které je obloukově souvislé bod lze spojit npř. soustřednými kružnicemi t pk propojit úsečkou směřující do počátku. ii Množin není souvislá, protože ji lze rozložit pomocí dvou neprázdných disjunktních otevřených množin A B, npř. A {x, R x < } B {x, R x > }. iii, iv souvislé jsou tto množin: R \ bod, R \ bod, R \ přímk protože jsou zjevně obloukově souvislé, nesouvislé tto: R \ přímk, R \ rovin protože se zjevně djí npst pomocí dvou otevřených poloprostorů. Limit funkcí více proměnných Příkld.. Všetřete existenci limit určete její přípdnou hodnotu: i ii iii sinx+ lim x,, x+ x lim +x+ x,, x x lim x,, x + 9

10 iv lim x,, x + x i Pro funkci fx, sinx+ x+ je její definiční obor D f R \ {t, t t R}. Bod, je hromdným bodem množin D f ted má smsl ptát se n limitu f v tomto bodě. Limitu určíme podle vět o limitě složené funkce fx, hgx,, kde gx, x + hz sinz z. Pro korektní použití vět o limitě složené funkce le ještě potřebujeme zjistit, b buď v okolí bodu, blo gx, nebo b funkce h bl spojitá v z. První přípd si můžeme zjistit tk, že omezíme definiční obor funkce g, tj. vezmeme D g : D f druhý tk, že funkci h spojitě dodefinujeme v z. Nní ted máme lim gx, lim x + x,, x,, protože g je součet spojitých funkcí, tkže sinz lim hz lim z z z sinx + lim lim hgx,. x,, x + x,, ii Pro funkci fx, x +x+ x je její definiční obor Zúžením f n osu x tj. dostáváme D f R \ {x, R x ±}. x lim fx, lim x x x. N druhou strnu zúžením f n osu tj. x dostáváme Původní limit ted NEEXISTUJE. lim f, lim. iii Pro funkci fx, x x + je její definiční obor D f R \ {, }.

11 Zúžením f n osu x tj. dostáváme lim fx,. x N druhou strnu zúžením f n přímku x dostáváme Původní limit ted NEEXISTUJE. x lim fx, x lim x x + x. iv Pro funkci fx, x + x e x lnx + je její definiční obor D f R \ {, }. Stčí ted zjistit lim x,, x lnx +. Použijeme odhd x lnx + x 4 + x + 4 lnx + x + lnx +. Použitím vět o limitě složené funkce pro dostáváme lim gx, lim x,, Z vět o sevření pk máme ted gx, x + hz z ln z hz npř. L Hospitlovo prvidlo z + lim x,, x + lnx + lim hgx,. x,, lim x,, x lnx + lim x,, x + x e. Příkld.. Všetřete existenci limit určete její přípdnou hodnotu: i ii iii iv v lim x,, x + + x + xz lim z x,,z,, xz x lim x,, x + x lim x,, x + x lim x,, x. x + i Pro funkci fx, + x + je její definiční obor D f R \ {, } bod, je ted hromdným bodem D f. Pro limitu použijeme obvklý trik, jk se zbvit odmocnin tj. vzorec b + b b lim x,, x + + x + x + lim + x + x,, x x + + +

12 x + lim x x,, x ii Pro funkci fx,, z xz z xz je její definiční obor D f {x,, z R xz } bod,, je ted hromdným bodem D f. Stupně polnomů v čitteli i jmenovteli jsou stejné, tkže spíš zkusíme, jestli limit vůbec existuje. Zúžením f n přímku x z bez bodu x,, z,, dostáváme fx, x, x x x x, tkže lim fx,, z lim fx, x, x. x,,z,, x xz N druhou strnu zúžením f n přímku x opět bez bodu x,, z,, dostáváme f,, z z z z z, tkže lim fx,, z lim f,, z lim z. x,,z,, z z x Původní limit ted NEEXISTUJE. iii Pro funkci fx, x x + je její definiční obor D f R \ {, } má hromdný bod,. Polnom v čitteli má všší stupeň než ve jmenovteli, tkže spíš zkusíme ukázt, že limit existuje bude nulová což si můžeme otestovt zúžením f npř. n souřdné os. Použijeme opět odhd pk větu o limitě sevřené funkce. Zřejmě pltí x x + x,, což je důležitá nerovnost, která se hodí n dokzování limit. Podobně x,, tkže máme x x + x, x, x + x,. Z definice limit sndno dostáváme, že lim x, x,, podobná tvrzení už můžeme brát skoro jko fkt ted z vět o limitě sevřené funkce je rovněž lim x,, x x +. iv N rozdíl od předchozího přípdu zde bude situce podsttně jiná to kvůli nulovým hodnotám jmenovtele. Pro funkci fx, x je její definiční obor x + D f {x, R x } zřejmě má hromdný bod,. Zúžením f n přímku x bez bodu x,, dostáváme f,, tkže lim fx, lim f,. x,, x Pokud b ted limit existovl, musí být rovn. Polnom v čitteli je nulový n osách x, ztímco polnom ve jmenovteli je nulový n křivce x. V bodech x, R tkových, že x x ted máme lim x, x, x x x + x + +

13 pokud n chvíli připustíme, že + může tké být limitou, kterou jink smí podle nší definice být pouze prvek z R. Pokud b funkce f měl v, limitu, musel b speciálně být n nějkém okolí, omezená, tj. existují K > ε >, že x x + K pro všechn x, Uε, D f. V okolí U ε, se le tké ncházejí bod x, x, ve kterých je v limitě funkce f nopk neomezená. To je spor původní limit ted NEEXISTUJE. v Výrz v limitě má definiční obor D : x, což jsou dvě větve hperbol. Zkusíme přiblížení ve směru souřdných os. Přiblížením po přímce x dostáváme x lim x,, x lim. x N druhou strnu přiblížením po přímce dostáváme Původní limit ted neexistuje. x lim x,, x lim x x x lim x +. x Derivce ve směru, grdient, totální diferenciál Příkld.. Njděte grdient funkce fx, e x sin v bodě, π 4 rchlost růstu f v bodě ve směru vektoru v,. Grdient grdf je mticí ve stndrdních souřdnicích derivce f funkce f v bodě. Postčující podmínkou pro existenci derivce funkce f v bodě je existence spojitých prciálních derivcí n nějkém okolí bodu což je v nšem přípdě splněno. grdf f x, f e x sin, e x cos e, e Rchlost růstu f v funkce f v bodě ve směru vektoru v je dán f v grdf v e, e, e. Příkld.. Njděte jednotkový směr největšího růstu funkce fx,, z xe +z v bodě, ln,. grdf Jednotkový směr největšího růstu funkce f v bodě je grdf grdf f x, f, f e, xe, z,, z,,,,,,. Příkld.. Určete derivci funkce

14 i fx,, z z x v bodě, 6, podle vektoru v, 4,, ii fx, e x cos + v bodě, podle vektoru v,. Derivce funkce f v bodě podle vektoru v je definovná jko f f + t v f : lim v t t Pokud ovšem existuje derivce f funkce f v bodě tj. totální diferenciál, pk pltí kde v v,..., v n. f v f [ v] grdf v f x v + + f x n v n i Pro fx,, z z x, 6, máme grdf x, x, z,,. f,, v 4. Pokud bchom brli derivci podle SMĚRU v, pk je potřeb vektor ještě znormovt, tj. použijeme vektor u v f v pk je u v f v. ii Pro fx, e x cos +, máme grdf e x cos, e x sin +, f, v. Příkld.4. Velmi unvený horolezec leze po ploše, která je grfem funkce fx, e x + ln x. Právě se nchází v bodě A,,? R. Kterým ze dvou směrů U,,? V,,? v tečné rovině grfu funkce f v bodě A se má vdt, b šel cestou menšího stoupání? Pro, R je f e, ted A,, e. Spočítáme grdient derivci funkce f: grd f, f, e x + x, xex, e +, e Rovnice tečné rovin ke grfu funkce f v bodě je ] z f, + f, e + e +, e [ x x e + x + e e + Vektor U V leží v této tečné rovině přesněji v jejím změření právě kdž jsou kolmé n její normálový vektor N e +, e, tj. kdž U N V N. Máme tk, že U,, e + V,, e +. Strmost stoupání je dán úhlem, který tto vektor svírjí s rovinou z, ted e+ rctn pro U rctn e+ + pro V. Menší stoupání je tk ve směru vektoru U. + Poznámk: Mohli jsme vužít implicitního zdání grfu Φx,, z pro Φx,, z : fx, z. Pk bchom rovnou dostli normálový vektor jko grdient Φ, tj. N grd ΦA. 4

15 Pokud položíme u, v,, pk máme U u, f [u] V v, f [v]. Pokud nvíc pltí u v jko v nšem přípdě, pk pro strmost stoupání ve směru vektorů U V stčí porovnt pouze jejich poslední složk, tj. hodnot f [u] f [v]. Příkld.5. Předpokládejme, že výšk terénu v R je popsán grfem funkce f : R R, fx, x + +. V bodě A dném x upustíme míč. Určete směr při pohledu shor, tj. v R, kterým se bude kutálet. Dále určete, zd je strmější tečná rovin v bodě A nebo v bodě B dném x tj. porovnejte úhl, které tto rovin svírjí se zákldnou z. Míč se bude kutálet ve směru největšího spádu funkce, tj. proti směru grdientu x grdf A x + +, 4 x , 47 ted ve směru určeném npř. vektorem v, směr je určen vektorem ž n kldný násobek. Normálový vektor tečné rovin grfu funkce ve zvoleném bodě je f x, f., Jde ted o normálové vektor n A 47, 47, 5 s normmi n A 7 + n 4 B jednotlivých rovin jsou dán jko Porovnáním dostneme cosα cosβ n B, 4, A Normálový vektor rovin z je e,,. Úhl na e n A e n B e n B e cosα? > cosβ ? > >? ? 4 > ? 7 >. Poslední vzth pltí, proto cosα > cosβ ted α < β v bodě B je rovin strmější. Příkld.6. Njděte tečnou rovinu ke grfu funkce i fx, x + v bodě,,?, ii fx, x + sinx + v bodě,,?. i Grf funkce f je {, z R z f}. Tečná rovin T,f ke grfu f v bodě, f,, je dán rovnicí z f + grdf. 5

16 Máme grdf 4x, 4,, ted tečná rovin má rovnici neboli z + 4, x, + 4x + 4x + z. ii Grf funkce f je množin Γ f {x,, z R z fx, & x, D f }. Tečná rovin T x,,z, ke grfu f v bodě x,, z,,, kde z fx, je dán rovnicí z fx, + grdf x, x x. Máme grdf x, f x, f + cosx +, x + cosx +,, x,, ted tečná rovin má rovnici z +, x + x neboli x z. Příkld.7. Nlezněte úhel, který v bodě,, svírjí grf funkcí fx, ln x + gx, sinx. Úhel, který svírjí grf funkcí je dán jko úhel mezi jednotlivými tečnými rovinmi ten je zse určen jejich normálovými vektor, tj. grdient. Grf si zdáme implicitně: pro f to bude Γ f {x,, z R F x,, z & x,, }, kde F x,, z lnx + z pro g to bude Γ g {x,, z R Gx,, z }, kde Gx,, z sinx z. Normálové vektor tečných rovin jsou nní x n grd F,, x +, x +,,,,, n grd G,, cosx, x cosx,,, Úhel α, π je nní dán jko ted α π. n n cos α n n,,, Příkld.8. Určete grdient funkcí fx, x + gx, e sinx v bodě,. Určete úhel, který v bodě,, svírjí grf těchto funkcí. 6

17 Grdient jsou grd f, grd g, x x +, x +,,, cosxe sinx, x cosxe sinx,, Úhel, který svírjí grf funkcí je dán jko úhel mezi jednotlivými tečnými rovinmi ten je zse určen jejich normálovými vektor, tj. grdient funkcí Normálové vektor tečných rovin jsou nní F x,, z x + z Gx,, z e sinx z. n grd F,,,, n grd G,,,, Úhel α, π je nní dán jko n n cos α n n, ted α π. Příkld.9. Njděte rovnici tečné rovin k elipsoidu x z 9, která i je rovnoběžná s rovinou 4x + + z, ii vtíná stejné úsek n všech souřdnicových osách. Kdž je nějká množin M zdná jko vrstevnice nějké spojitě diferencovtelné funkce tj. rovností fx,, z, pk tečná rovin k M je kolmá ke grdientu funkce f pokud je tento grdient nenulový, tj. grdient je její normálový vektor. je V nšem přípdě si vezmeme fx,, z x z 9. Tkže normálový vektor tečné rovin f grdf x 5, 8, z 9 i Tečná rovin má být rovnoběžná s rovinou ρ : 4x + + z, která má normálový vektor n ρ 4,,. To nstne právě kdž x 5, 8, z grdf λ n ρ λ 4,, 9 pro nějké λ R. Ted x 5λ, 6λ z 9 λ. Součsně má tké pltit, že x z 9. Po doszení pk dostneme λ + 6λ λ ted λ ±/ 47. Hledné tečné rovin pk musí mít normálový vektor n ρ, ted rovnici 4x++z c, kde neznámé hodnot c R určíme doszením spočítných bodů x,, z ± 47,, 9, kterými tečné rovin musí procházet. Výsledek je 4x + + z 47 7

18 4x + + z 47. ii Postupujeme podobně. Rovin, vtíná stejné úsek n všech souřdnicových osách, má normálový vektor n,,. Ted x 5, 6, z grdf u λ n λ,, 9 pro nějké λ R. Dostáváme λ ±/ 5 tečné rovin jsou x + + z 5 x + + z 5. Příkld.. Njděte rovnici tečné rovin k elipsoidu x + + z, která je rovnoběžná s rovinou ρ : 4x + + z. Použijeme následující větu důsledek vět o implicitní funkci: Vět: Nechť G je otevřená množin v R n, f : G R je spojitě diferencovtelná n G. Nechť bod u G je tkový, že fu f u. Pk tečná rovin k ndploše tzv. vrietě v bodě u má rovnici M {u G fu & f u } f u u u. V nšem přípdě je fx,, z x + + z G R. Protože pro u x,, z je derivce f u grdf u x, 4, z nulová pouze pro u,, f,, můžeme použít uvedenou větu normálový vektor tečné rovin v bodě u M je právě grdf u. Tto rovin bude rovnoběžná s ρ, která má normálový vektor n ρ 4,,, právě kdž x, 4, z grdf u λ n ρ λ 4,, pro nějké λ R, ted x,, z λ, λ/, λ/. Součsně má tké pltit, že x + + z. Po doszení pk dostneme λ + λ/ + λ/ ted λ ±/ 9. Hledné tečné rovin pk musí mít normálový vektor n ρ, ted rovnici 4x++z c, kde neznámé hodnot c R určíme doszením spočítných bodů u ± 9 4,,, kterými tečné rovin musí procházet. Výsledek je 4x + + z 9 4x + + z 9. Příkld.. Njděte úhel sevřený dvěm plochmi v bodě,,. x + + z 8 x + + z 6 Úhel sevřený dvěm rovinmi je roven úhlu, který svírjí přímk určené normálovými vektor těchto rovin. Podle předchozího je ted n x,, z 4,, 4 n x,, z, 4,. 8

19 Pro hledný úhel α, π pk je tkže α π. cos α n n n n Příkld.. Všetřete existenci derivce totálního diferenciálu v bodě, u funkce { x x fx, +, x,,, x,, Podle definice je derivce f v bodě, tkové lineární zobrzení f L : R R, že f f L lim. Pokud derivce existuje, pk je jednoznčně určen prciálními derivcemi v dném bodě: f ft, f, t lim lim x, t t t t f f, t f, lim lim, t t t t Pro x, tk je Tkže L, x x. f f L lim lim x,, x x + x lim x + x,, Pokud si teď vezmeme zúžení výsledného výrzu npř. pro x dostneme lim x,, x x lim x + / x x lim x / x x 8 x. x x + / Tto limit le neexistuje tím spíš původní limit neexistuje už vůbec není nulová, jk bchom potřebovli. Derivce totální diferenciál v bodě, ted neexistuje. Příkld.. Njděte derivci složené funkce f g, kde st i g : R R, gs, t s cos t f : R R, fx,, z x + + z, s sin t ii g : R R, gs, t st e st t f : R R, fx,, z x + z + zx. i Můžeme buď vjádřit funkci hs, t f gs, t st + s sin t + s cos t s t + s tu zderivovt h h s, t s, h st + s, s t t 9

20 nebo použít větu o derivci složené funkce: f x, f, f z h s, t f g s, t f gs, t g s, t g g s t g g x,, z gs,t s g s t g t st, s cos t, s sin t t cos t sin t s s sin t s cos t gs,t t cos t sin t st + s, s t s s sin t s cos t kde g i s, t jsou jednotlivé složk zobrzení g. Přitom je třeb při derivování f mít stejně zvolené pořdí proměnných jko je pk pořdí jednotlivých složek g i v mtici derivce zobrzení g ted npř. pokud bchom derivovli v pořdí podle, z, x pk pořdí složek v mtici derivce g bude odshor postupně g, g g. Změn pořdí jen odpovídá tomu, že si mtici derivce zvolíme v jiné bázi. ii Postupujeme podobně: hs, t f gs, t ste st + t e st + st h s, t h s, h t + st + t e st + t, s + s t + t + st e st + st t nebo h s, t f gs, t g s, t + z, z + x, x + e st + t, st + t, e st + st t te st gs,t s se st t t + st + t e st + t, s + s t + t + st e st + st. t s te st se st t Příkld.4. Njděte derivci složeného zobrzení f g, kde f : R R x, fx, x +, g : R R, gα, β cos α sinαβ. Oznčme si jednotlivé složk zobrzení f jko f x, x f x, x +. Pro mtici derivce zobrzení f pk máme f f x g α g α f g β g β x f x f ted v jednotlivých řádcích jsou zpsán grdient jednotlivých složek. Podobně pro g α, β cos α g α, β sinαβ bude g sin α β cosαβ α cosαβ Tkže derivce f g bude f g f g g x x x sinαβ cos α x sin α β cosαβ α cosαβ.

21 sinαβ cos α sin α cos α sinαβ β cosαβ α cosαβ sinαβ sin α β cosαβ cos α α cosαβ cos α cos α sin α + β sinαβ cosαβ α sinαβ cosαβ sinαβ sin α β cosαβ cos α α cosαβ cos α. sinα + β sinαβ α sinαβ Složk se djí tké vpočítt řetízkovým prvidlem bez sestvování mtic. Složk zobrzení f g budou f g i f i xα, β, α, β, kde proměnné x jsou závislé n α β jko xα, β g α, β α, β g α, β. Mtice derivce složeného zobrzení bude mít tvr f g podle řetízkového prvidl budeme mít npř. f g f cos α, sinαβ α α f g α f g α f g β f g β f x cos α α + f sinαβ α x sin α + β cosαβ cos α sin α + β sinαβ cosαβ. Příkld.5. Njděte derivci funkce z fx,, která splňuje rovnici z xz pro všechn x, z vhodného definičního oboru funkce. Postupujte nejdříve obecně pk v bodě x,, z,,. Funkci z sice neumíme nějk jednoduše explicitně vjádřit, le i tk můžeme zjistit její prciální derivce. N obě strn rovnosti použijeme x, přičemž vužijeme řetízkové prvidlo z je závislé n proměnných x : odsud si prciální derivce vjádříme: x z xz z z z z x x x x z xz z z z xz x z x z z x z xz z x To smozřejmě děláme z předpokldu, že z x. Tento výrz je právě prciální derivci podle x funkce Φ : R R, Φ x, ỹ, z z xỹ z tří NEZÁVISLÝCH proměnných, která určuje původní rovnici jko Φ x,, zx, tzv. implicitně určená funkce. Ted Φ z z xỹ. V bodě z,, který splňuje implicitní rovnici ve kterém je výrz z x, pk dostáváme z x, z,. Příkld.6. Njděte derivci zobrzení Φx,, z fx +, z x f, z, kde f : R R je spojitě

22 diferencovtelná funkce. Složk zobrzení Φ oznčme Φ Φ. Potřebujeme sestvit mtici Φ Φ x Φ z Φ Φ K výpočtu jednotlivých složek použijeme řetízkové prvidlo. K tomu si potřebujeme nějk oznčit proměnné funkce f, npř. jko fu, v. Pk můžeme psát Φ z Φ z. podobně Φ x fx +, z x f u f x + x +, z u x x +, z + f v + f z x +, z v x f x +, z x +, z u Φ fx +, z f u x +, z + f v f x +, z x +, z u Φ z fx +, z pro druhou složku budeme mít Φ x f x, z x Φ z Φ f x, z z Celkem ted máme Φ f u f u f u f x, z x +, z + f v f x +, z x +, z v f x u, z + f x v, z f x u, z f x u, x z + f x v, z z f x u, + f x z v, z z z f x v,. z f x +, z x, z x f u f x +, z + z u x, z f v x, z v z x +, z f x v, z. 4 Tlorův polnom, lokální extrém Příkld 4.. Ortogonální trnsformcí převeďte homogenní kvdrtický polnom ted kvdrtickou formu gx, 5x 6x + 5 n digonální tvr. i Mtice g B kvdrtické form g v dné bázi B je jednoznčně určen vzthem gu u T B g B u B pro všechn u V, kde u B je souřdnicový zápis vektoru u v bázi B. Ve stndrdní bázi E e, e tj. e, e pro u x u E gu x, 5 5 x, x R ted máme

23 5 tkže A g E. Novou ortonormální bázi, ve které bude mít g digonální tvr, 5 njdeme jko vlstní normovné vektor mtice A. Ted potřebujeme spočítt kořen polnomu 5 λ pλ deta λe 5 λ 5 λ 9. Ted λ λ 8. Po doszení pk pro λ je vlstní normovný vektor npř. u pro λ 8 je vlstní normovný vektor npř. u hledná ortonormální báze je B u, u. Mtice přechodu M E id B mezi bázemi B E je pk ortogonální, ted MM T E M T M M M T. V nové bázi B má mtice form g digonální tvr g B. To 8 můžeme ověřit npř. i tkto: pro přechod mezi souřdnicemi vektoru u v různých bázích máme vzth u E E id B u B M u B ten dosdíme do vjádření form T gu u T E g E u E M u B ge M u B u T B M T g E M u B ted v bázi B má form mtici g B M T g E M ii Pokud b nás zjímlo nlezení jkékoliv báze ne nutně ortogonální, ve které bude mít form digonální mtici tzv. polární báze můžeme postupovt doplňováním n čtverec tj. použijeme vzorec + b + b + b : gx, 5x 6x V nových souřdnicích tvr x x x x x gx, 5x proto je pozitivně definitní. Příslušná mtice přechodu B id E pk le není ortogonální - mtice se odvodí ze vzthu B id E u E u B odpovídjících nové bázi B má ted form 5 u E 5 pro všechn u R. iii K pouhé definitnosti pk tké stčí ověřit podmínk Slvestrov kritéri, tj. znménk hlvních subdeterminntů mtice A g E : > > Ted form g je pozitivně definitní. Příkld 4.. Njděte Tlorův polnom druhého řádu pro funkci f v okolí bodu : i fx,, z x z,,,, ii fx,, z xe cos z,,,.

24 i Tlorův polnom řádu nejvýše, který proximuje funkci f v bodě, je dán vzthem: kde h h, h, h R. Máme T + h f + f h +! f h, h f z, xz, x z 4, 4, f z z z xz 6xz z 6xz 6x z Ted T + h 4 + 4, 4, h h h + h, h, h h + 4h + h + 4h h + h h + h + h h + h. h h h Polnom lze v tomto přípdě tké získt přímo doszením do původní funkce, kde si v rozvoji vezmeme pouze člen do stupně nejvýše : f + h, + h, + h + h + h + h + h 4 + 4h + h + h + h + h 4 + 4h + 4h + h + 4h h + h h + h + h h + h + všší člen. ii Podobně dostneme: f e cos z, xe cos z, xe sin z,, f e cos z e sin z e cos z xe cos z xe sin z e sin z xe sin z xe cos. Ted T + h h + h h. Polnom lze i v tomto přípdě tké získt rozvojem jednotlivých funkcí jedné proměnné v dných bodech: e h + h + ϕh cos h + ψh ϕt ψt kde lim t t lim t t. f + h, + h, + h h e h cos h h + h + ϕh + ψh h + h h + Ω h kde Ω h h ϕh + h + h h + h ϕh ψh. Ukážeme, že pltí lim polnom: Ω h h h ted jsme skutečně tímto způsobem nšli hledný Tlorův Ω h h ϕh h h h h + ψh h h h h + ψh h h h h + ϕh h h ϕh h + ψh h + ψh h h + ϕh h ψh h h ψh h h h h h pro h, protože h i h pro všechn i,,. Uvedené odhd pltí i kdž je náhodou h i pro nějké i,,. 4

25 Příkld 4.. Njděte Tlorův polnom řádu funkce f : R R fx, e x + cosx v bodě, podle tohoto polnomu rozhodněte, zd má funkce v tomto bodě minimum, mximum nebo sedlový bod. f, f, xe x + + sinx, e x + sinx,, e x + + 4x e x + + cosx 4xe x + cosx 4xe x + cosx e x e x + + cosx., Pro h h, h R máme T h f, + f, h +! f, h, h h, h h h h h h + h. Podle Slvestrov kritéri >, 8 > je mtice f, pozitivně definitní, tkže v bodě, je lokální minimum. Jiné řešení: Polnom lze tké získt Tlorovými polnom funkcí jedné proměnné: e t + t + ϕt t cos t t + ψt t kde lim t ϕt lim t ψt. fh, h e h +h cosh h + h + h + ϕh + h h h + ψh h h h h + h + Ω h, kde Ω h ϕh + h h + h ψh h h h. Výrz T h, h h h h + h je hledným Tlorovým polnomem stupně nejvýše, protože lim h Ω h h : Ω h h ϕ h + ψh h h h h ϕ h + 4 ψh h pro h, protože h h h + h h. Příkld 4.4. Njděte Tlorův polnom řádu funkce f : R R fx, e x v bodě, podle tohoto polnomu rozhodněte, zd má funkce v tomto bodě minimum, mximum nebo sedlový bod. f, f, e x, xe x, 4 e x e x + 4xe x e x + 4xe x 4x e x,, 5

26 Pro h h, h R máme T h f, + f, h +! f, h, h + h, h h h + h h h. Kvdrtická form gh, h h h h h h h druhé derivce je indefinitní npř. g, > g, <. V bodě, je ted sedlový bod funkce f. Jiné řešení: Polnom lze tké získt Tlorovým polnomem funkce jedné proměnné: kde lim t ϕt. e t + t + ϕt t fh, h e hh h + h h + ϕh h h h h + h h h + Ω h, kde Ω h ϕh h h h. Výrz T h, h + h h h je hledným Tlorovým polnomem stupně nejvýše, protože Ω lim h : h h Ω h h ϕh h h h 4 ϕh h h pro h, protože h i h pro i,. Příkld 4.5. Njděte Tlorův polnom řádu funkce f : R R fx, e x x v bodě, podle tohoto polnomu rozhodněte, zd má funkce v tomto bodě minimum, mximum nebo sedlový bod. Funkce je smetrická vzhledem k záměně proměnných, což usndňuje výpočet. f, e x, xe x x, f, e x e x + xe x e x + xe x x e x,, Pro h h, h R máme T h f, + f, h +! f, h, h + h, h h h h h. Kvdrtická form Q h : f, h, h h h druhé derivce je indefinitní npř. Q, > Q, <. V bodě, je ted SEDLO. Příkld 4.6. Njděte lokální extrém následujících funkcí: i fx, x x + 6, ii fx, x + x + 4 5x +, 6

27 iii fx, 6x x +. i Funkce je polnom ted má derivce všech řádů. Nutnou podmínkou pro extrém v dném bodě je nulovost první derivce. f x, x, x Ted f x, právě kdž x x, což je právě kdž x,, nebo x,,. V dných kritických bodech dále všetříme druhou derivci. f x, 6x 6 Pro x,, je f,. Ted pro h h, h T R je f, h, h 4h h tto form nbývá libovolných hodnot je indefinitní. V bodě, je ted sedlo. Pro x,, je f, 4. Podle Slvestrov kritéri 4 <, > je form negtivně definitní ted v dném bodě je lokální mximum. Toto mximum le není globální, protože funkce není zdol omezená lze vzít npř. zúžení fx, x +6. ii Postupujeme podobně jko v předchozím příkldu: f x, 4x + 5, x Ted f x, právě kdž x,,. Druhá derivce f x, 4 8 je podle Slvestrov kritéri pozitivně definitní, ted v, je ostré lokální minimum f, 6. Toto minimum je ve skutečnosti i globální, což plne buď z klsifikce všech možných grfů polnomů stupně nejvýše dv o dvou proměnných jde o speciální přípd tzv. kvdrik nebo si pomůžeme opět doplněním n čtverec: x + x 4 + x 5 4 fx, x + x + 4 5x x x Ted skutečně fx, 6 rovnost nstává pro x neboli x,,. 7

28 Poznámk: Obecně můžeme použít i následující přístup: Kždý polnom f v proměnných x,..., x n stupně nejvýše dv můžeme pro x x,..., x n T vjádřit jko f x x T A x + b T x + c pro vhodnou smetrickou mtici A, vektor b R n c R. Předpokládejme nní, že f x pro nějké x R n. Pro derivce obecně máme: f x h h T A x + x T A h + b T h x T A + b T h f x h, k h T A k Ted f x právě kdž x T A + b T T, tj. A x b. Posunutím souřdnic pk dostneme tvr: f + x + x T A + x + b T + x + c T A + T A x + x T A x + b T + b T x + c T A T b x T b + b T + b T x + c T A x T A x + c. Protože mtice druhé derivce je f x A, tk pokud je tto form pozitivně definitní, pk T A, ted f + x T A x T A x + c x T A x + c rovnost nstává právě pro. Ted v bodě x x je ostré globální minimum f x x T A x + c. V nšem přípdě máme: fx, x, 4 x + 5, x tkže x jk už víme. iii Nutnou podmínkou pro lokální extrém v dném bodě je nulovost první derivce: f x, 6 x, 6x 6 Ted f x, právě kdž x x. Ted 4 řešení jsou tk x,, nebo x, 4,. V dných kritických bodech dále všetříme druhou derivci. f x, 6x 6 6 Pro x,, je f, 6 6. Ted pro h h, h T R je f, h, h h h, 8

29 tto form nbývá libovolných hodnot je indefinitní. V bodě, je ted SEDLO. Pro x, 4, je f, Podle Slvestrov kritéri 6 4 <, > je form dná druhou derivci negtivně definitní ted v dném bodě je lokální MAXIMUM. Toto mximum le není globální, protože funkce není shor omezená - npř. stčí vzít zúžení fx, x +. 5 Vázné bsolutní extrém Příkld 5.. Njděte nejmenší největší hodnot i funkce fx, x + z podmínk x + 5x +, ii funkce fx, x + z podmínk x + x +, iii funkce fx, 6 4x z podmínk x + 4 x, iv funkce fx,, z x + z s vzebnou podmínkou x + + 4z 4. Nčrtněte útvr určené těmito vzbmi. i V nšem přípdě můžeme položit U R Φx, x + 5x +. Protože Φ x, 6x + 5, 5x + 6 tk Φ x, není regulární tj. v tomto přípdě Φ x, právě kdž x,,. Nemůže se ted stát, b Φx, Φ x,. Tkže v kždém bodě množin M {x, R x + 5x + } je Φ x, regulární. Pro bod x, M lokálního extrému f n M teď existuje λ R, že, f λφ 6x λ + 5, 5x + 6 x + 5x +. Sečtením prvních dvou rovnic dostneme x po doszení do vzb získáme kndidát n extrém:,,, s hodnotmi f, 5, f,. 9

30 Potřebujeme ještě zjistit, zd množin M je vůbec omezená uzvřenost M plne sndno z toho, že M Φ {}, neboli že je to vzor uzvřené množin {} při spojitém zobrzení Φ. Doplněním n čtverec x + 5x + x zjistíme, že jde o omezenou množinu konkrétně o ntočenou elipsu. To lze zjistit i z toho, že kvdrtická form Qx, x +5x+ je pozitivně definitní npř. pomocí Slvestrov kritéri. Spojitá funkce f tk n uzvřené omezené množině M skutečně nbývá svého mxim minim v bodech,,. ii Použijeme metodu Lngrngeových multiplikátorů pro kružnici M {x, R gx, }, kde gx, x + x + x + +. Pro extrém x, n M existuje λ R, že, f λg x λ +, x + +. Vjádříme x pomocí λ dosdíme do vzb. Dostneme λ ± , 5 5, 5 5, 5 kndidát n extrém: s hodnotmi 5 5 f, 5, f 5 5, Množin M je uzvřená omezená spojitá funkce f tk v těchto kndidátech skutečně nbývá svého mxim minim. iii Útvr je kružnice x Použijeme metodu Lngrngeových multiplikátorů. Pro extrém x, n kružnici existuje λ R, že 4, f λφ x λ +, x Vjádříme x + λ λ dosdíme do zbývjící rovnice. Dostneme λ ± 5 kndidát n extrém: 4 5, ,, s odpovídjícími hodnotmi po řdě , Kružnice je uzvřená omezená množin spojitá funkce tk v těchto bodech nbývá po řdě svého mxim minim. iv Použijeme vět: Vět: Spojitá funkce n uzvřené omezené tzv. kompktní množině nbývá svého mxim i minim. Vět: Nechť U R n je otevřená množin k n f : U R Φ : U R k jsou spojitě diferencovtelná zobrzení n U. Položme M { U Φ & Φ je regulární}. Jestliže M je bodem lokálního extrému funkce f zúžené n M, pk existují λ,..., λ k R tzv. Lngrngeov multiplikátor, že k f λ i g i, i

31 kde g i jsou jednotlivé složk zobrzení Φ, tj. Φ g,..., g k. Regulrit derivce znmená, že její mtice má mximální možnou hodnost, ted hodnost k, tj. její řádk jsou lineárně nezávislé. Množin M se pk nzývá vriet ngl. mnifold je možné ji přiřdit dimenzi - pomocí vět o implicitní funkci - sice dim M n k. Dimenze tk odpovídá dimenzi n původního prostoru R n sníženou o počet k nezávislých vzeb dných zobrzením Φ. V nšem přípdě můžeme položit U R Φx,, z x + + 4z 4. Protože Φ x,,z x,, 8z tk Φ x,,z právě kdž x,, z,,, což le zse nemůže splnit vzbu. Tkže v kždém bodě množin M {x,, z R x + + 4z 4} je Φ x,,z. Pro bod x,, z M lokálního extrému f n M teď existuje λ R, že Proto musí být λ vjádřením proměnných,, f λφ λx,, 8z x + + 4z 4. x λ λ z 8λ doszením do vzb získáme řešení ± 7 4, 4, λ ± 7 6. Protože f nbývá extrému n M neboť M je evidentně omezená uzvřená, jsou uvedené bod skutečně bsolutní extrém funkční hodnot jsou f ± 7. Příkld 5.. Njděte nejmenší největší hodnot funkce f : R R, n kružnici x + 4. fx, x + x Použijeme metodu Lngrngeových multiplikátorů pro kružnici M {x, R gx, }, kde gx, x + 4. Pro extrém x, n M existuje λ R, že x +, + x f λg λ x, x + 4. Rovnice ted vjdřují to, že hledáme vektor x, T tkový, že λ x. λ Tto soustv má netriviální řešení právě kdž determinnt soustv je roven nule, tj. λ + λ, ted λ ±. Jde v podsttě o hledání vlstních čísel mtice jejích vlstních vektorů s normou rovnou. Pro λ dostáváme: ± +, s funkční hodnotou Pro λ dostáváme: f 4. ±, +

32 s funkční hodnotou f 4. Množin M je uzvřená omezená spojitá funkce f tk v těchto bodech skutečně nbývá svého mxim minim. Příkld 5.. Kruhový tlíř o rovnici x + je zhřátý n teplotu T x, x + x. Njděte nejteplejší nejstudenější bod n tlíři. Budeme postupovt podobně jko v předchozím příkldu. Všetření extrému T n uzvřené omezené množině A {x, R x + } rozdělíme n přípd volného extrému n otevřené množině přípd vázného extrému n A {x, R x + < } A {x, R x + }. Jestliže x, A je extrém T n A, pk je i extrémem T n A. Tkže musí pltit, že T x, 4 ted, skutečně je pk A. Jestliže x, A je extrém T n A, pk je i vázným extrémem T n A {x, R Φx, }, kde Φx, x +. Musí ted existovt λ R, že x, 4 T λφ λx, x +. Dostáváme ±, nebo, ±. Teď víme, že jedinými možnými kndidát n extrém jsou bod,,,,,,,,. Protože T nbývá n uzvřené omezené množině A extrému, porovnáním funkčních hodnot T, 4, T,, T,, T, 94 T, zjistíme, že T nbývá minim v, mxim v, ±. Příkld 5.4. Njděte bsolutní extrém funkce fx, x x + n množině x +. Množin A {x, R x + } je čtverec je zřejmě omezená i uzvřená je vzorem uzvřeného intervlu, při spojitém zobrzení Ψx, x +. Příkld opět rozdělíme n všetření volného extrému n otevřené množině vázného extrému n množině A {x, R x + < } A {x, R x + }, kterou le tentokrát nejde vjádřit pomocí jediné diferencovtelné vzb. Vzbmi jsou čtři otevřené úsečk hrn čtverce čtři bod vrchol čtverce. Procházení těchto možností si usndníme

33 použitím smetrií ϕ : R R tkových, že zchovávjí jk množinu A, tk dnou funkci f. Ted má pltit, že ϕ A A f ϕ f. Můžeme si zvolit tto tři neidentické smetrie: x, x, středová souměrnost x,, x souměrnost podle os x x,, x souměrnost podle os x Extrém n A : f x, x nstává právě pro, A s hodnotou f,. Extrém n A: n Dík smetriím stčí všetřit extrém n U {x, R x >, > } s vzbou Φ x, x + U {x, R x >, < } s vzbou Φ x, x tj. hrn čtverce A bez koncových bodů dále už pk jen vrchol, čtverce A jko smosttnou vzbu. Pro extrém n U má ted existovt λ R, že x, x f λ Φ λ, x +, ted x,, U f, 4. Podobně pro extrém n U má existovt λ R, že x, x f λ Φ λ, x, ted x,, U f, 4. Zbývá bod, s hodnotou f,. Minimum ted nbývá funkce v bodě, mximum ve vrcholech čtverce které jsme získli z bodu, pomocí smetrií. Příkld 5.5. Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru, který se vejde do prvidelného trojbokého jehlnu, jehož jeden vrchol je společný s vrcholem kvádrů. Intuitivně lze očekávt, že mximální tkový objem bude odpovídt krchli. Hledáme sice jen kldná čísl, le pro vužití vět o nbtí mxim minim spojité funkce je potřeb prcovt s množinou, která je uzvřená omezená. Budeme ted hledt bod mxim funkce fx,, z xz n množině A {x,, z R x,, z & x + + z }, což je trojúhelník i s okrji, tj. hledáme nezáporná čísl. Množin A je zřejmě uzvřená omezená. Všetření rozdělíme n obvklý vázný extrém v otevřené množině U {x,, z R x,, z > },

34 ted n A U {x,, z U Φx,, z } s vzbou Φx,, z x + + z trojúhelník bez okrjů n přípd A \ U okrje trojúhelník. N okrjích trojúhelník je funkce f nulová zřejmě tu nbývá svého minim protože n zbtku množin A je f nenulová. Pro bod extrému x,, z A U pk musí existovt λ R, že tkže,, f f n A. z, xz, x f λφ λ,,,, x + + z, tento bod je tk jediným bodem mxim funkce Příkld 5.6. Určete největší nejmenší hodnot funkce fx,, z xz n množině M dné podmínkmi x + + z 5 x + z + zx 8. Tentokrát máme vzb dvě budeme ted potřebovt ověřit jejich nezávislost v bodech množin M, tj. lineární nezávislost grdientů vzeb v příslušných bodech. Položme Φ x,, z x + + z 5 Pk je M { R Φ & Φ }. Φ x,, z x + z + zx 8. uzvřenost M: Množin { R Φ i } je vzorem jednobodové ted uzvřené množin {} při spojitých zobrzeních Φ i jsou tudíž uzvřené. Množin M je jejich průnikem proto je tké uzvřená. omezenost M: Buď si vjádříme jednu proměnnou z první rovnice npř. z 5 x, dosdíme do druhé tu přepíšeme doplněním n čtverec: x + x + 5 x 8 x + + x 5x 5 8 x nebo použijeme jednodušší elegntnější postup, který vužije konkrétního tvru rovnic: 5 x + + z x + + z + x + z + zx x + + z + 8 x + + z V kždém přípdě vidíme, že proměnné jsou omezené ted i množin M je omezená. nezávislost vzeb: Potřebujeme ukázt, že pro x,, z pltí: Máme Φ & Φ grdφ grdφ jsou lineárně nezávislé. grdφ,, grdφ + z, z + x, x +. 4

35 Tto vektor jsou lineárně závislé právě kdž + z z + x x + neboli kdž x z. Pokud b přitom mělo pltit Φ Φ, pk dostáváme, že x 5 x 8, což nelze splnit. Pro bod z M tk máme oprvdu nezávislost vzeb. že Teď konečně můžeme korektně! použít větu o Lgrngeových multiplikátorech: Pro bod x,, z M bsolutního ted i lokálního extrému f n M teď existuji λ, µ R, z, zx, x grdf λ grdφ + µ grdφ λ,, + µ + z, z + x, x + x + + z 5 x + z + zx 8. Kdž teď od sebe npř. odečteme první dvě rovnice z λ µ + z zx λ µz + x dostneme z x µ x, což dává podmínku buď x nebo z µ. Smetrick dostneme dlší podmínku z nebo x µ. Odsud sndno plne, že vžd je buď x nebo z nebo x µ z, ted že dvě souřdnice jsou vžd stejné. Stčí ted vřešit jednu z verzí dlší už dostneme permutcemi souřdnic. Npř. z podmínk x dostáváme doszením do vzeb řešení x,, z,, nebo x,, z 4, 4, 7. Hodnot prmetru λ ni µ už zjišťovt nemusíme, podezřelé bod teď mohou být už jen tto:,,,,,,,, kde f 4 4, 4, 7 4,, 7, 4 7,, 4, 4 kde f 7. Protože funkce f je spojitá množin M je omezená uzvřená, nbývá f v prvních bodech minimum v druhých mximum protože 7 > 4. x Příkld 5.7. N elipse M : přímk p : x nlezněte bod, které mjí největší nejmenší vzdálenost od Příkld můžeme řešit několik způsob: Použijeme explicitní tvr funkce vjdřující vzdálenost bodu x, R od přímk dné rovnicí αx + β + γ, sice fx, αx+β+γ. α +β Odvození vzorce: Uděláme to rovnou pro vzdálenost bodů od rovin v R pro R je nlogické odvození úplně stejné. Nechť rovin ρ v R má rovnici αx + β + γz + δ. Její normálový vektor je ted n α, β, γ rovnici pro bod x,, z R pk můžeme npst pomocí sklárního součinu jko n δ. Zvolme si nní nějký bod b R v rovině ρ. Vzdálenost bodu x,, z R od rovin ρ je nní dán jko velikost kolmého průmětu vektoru b do směru normálového vektoru n, ted pomocí vzthu n b n. Protože bod b je v rovině ρ, pltí n b δ. Můžeme ted psát n b n b n n + δ n n n Budeme ted hledt mximum minimum funkce fx, x αx + β + γz + δ α + β + γ. z podmínk x Protože f není všude diferencovtelná, můžeme si pomoci buď tk, že 5

36 si vezmeme místo toho ekvivlentní zdání, kde hledáme minimum mximum funkce gx, fx, x + 9 snžíme se o co nejjednodušší tvr, bez zbtečných konstnt nebo si všimneme, že M nemá průnik s přímkou p, což znmená, že leží v jedné z otevřených polorovin určených přímkou p protože M je souvislá množin - je totiž obloukově souvislá. V tom přípdě je výrz x + 9 n všech bodech z M vžd buď jen kldný nebo jen záporný. Hledání extrému funkce f pk ekvivlentně odpovídá hledání extrému funkce hx, x + 9. Zvolíme si druhou vrintu i kdž ni první není o nic těžší. Pro bod n elipse M dné vzbou Φx, : x je zřejmě grdφ x Pro bod x, M bsolutního extrému h n elipse M existuje λ R, že x, grdh λ grdφ λ, 9 Z prvních dvou rovnic dostneme x λ x λ 9,, 9. ted λ nebo 4 x. Pokud λ, pk pltí x + 9 tudíž hledáme průnik elips s přímkou p, který je le prázdný. Tkže zbývá přípd 4x, který po doszení do rovnice elips dává rovnici: 4 x x x 9 ted bod x, ± 4 5, 5. V těch funkce f vzdálenosti od přímk nbývá hodnot Použijeme intuitivní náhled, který je le vlstně pouze jinou verzí prvního postupu dík němuž je tké korektnost druhého postupu zručen: Tvrzení: Pokud je množin M dná vzbou uzvřená, omezená má tečn ve všech svých bodech, pk bod z M, které jsou od přímk p nejdál nebo nejblíže, musí mít svou tečnu rovnoběžnou s touto přímkou. Pro náš konkrétní přípd je elips M vrstevnicí vzbové funkce Φx, : x 4 + 9, tkže normál kolmá n tečnu v bodě x, M je grdientem funkce Φ. Hledáme ted bod x, M, ve kterých je normál k M násobkem normál přímk p. Pk ted existuje λ R, že x, grdφ λ, 9 x Není překvpením, že z první podmínk opět dostáváme rovnici 4x ted i stejné řešení jko v prvním postupu. Poznámk: Předstvme si, co b mohlo stát, pokud bchom neměli zručen všechn výše zmíněné předpokld množin M, pro kterou zjišťujeme vzdálenosti bodu od přímk p metodou tečen: 6

37 M má tečn ve všech svých bodech je omezená, le NENÍ uzvřená: z M stčí vzít npř. nší elipsu, ze které jsme odstrnili právě tto extrémní bod extrém prostě v množině obsžené nejsou, přestože bchom je formálně z postupu získli. M má tečn ve všech svých bodech je uzvřená, le NENÍ omezená: z M stčí vzít npř. hperbolu s smptotou p zde žádné extrémní bod ni existovt nemohou. M je omezená uzvřená, le NEMÁ tečn ve všech svých bodech: z M stčí vzít npř. vhodné ntočený trojúhelník extrém sice budou existovt, le pouze pomocí tečen je nenjdeme. Použijeme postup, který se dá plikovt pro vzdálenost obecných útvrů v rovině přípdně v prostoru. To, co je n něm obecně těžší, je njít nkonec řešení výsledných rovnic. V nšem přípdě le problém nebudou. Uvžujme funkci kvdrát vzdáleností dvou bodů x, u, v jko hx,, u, v x u + v budeme hledt její extrém z podmínek x u+v 9. Protože le jedn z podmínek dává neomezenou množinu konkrétně je to přímk p, tk mximum funkce nebude existovt postup je použitelný jen n hledání minim to ještě budeme muset správně odůvodnit. Máme ted dvě vzb s grdient kde x,, u, v. Oznčme si Φ x,, u, v x Φ x,, u, v u + v 9 grdφ x, 9,, grdφ,,, K { R 4 Φ & Φ }. Pro bod K jsou grdient evidentně lineárně nezávislé pro bod extrému funkce f n K pk existují λ, µ R, že x x u, v, u x, v grdh λ, 9,, + µ,,, x u + v 9 neboli máme 6 rovnic o 6-ti neznámých!. Nštěstí jsou rovnice poměrně jednoduché. Postupně dostneme λ x x u µ λ 9 v µ ted opět rovnici λ x, kde přípd λ opět nemá řešení. Zbtek pk opět dává x, 4 5, 5 4 x, 5, 5 pomocí rovnice x u v dopočítáme odpovídjící bod n přímce u, v 5, u, v 5,

38 Pro funkční hodnot neboli hodnot extrémních vzdálenosti bodů i x i, i, u i, v i pltí h < h. Množin dná vzbmi K je teď sice uzvřená, le NENÍ omezená. N druhou strnu pro K jdou hodnot h tké do nekonečn protože elips je omezená. Nní si stčí vzít dosttečně velkou uzvřenou kouli B tk, b n množině K R 4 \ B bl hodnot funkce h větší než npř. h +. A dále: N uzvřené nní už omezené množině K B bude spojitá funkce h nbývt svého mxim i minim. N množině K B budou hodnot funkce h větší nebo rovn hodnotě h + dík spojitosti h dík jejím hodnotám n K R 4 \ B. N množině K B dík otevřenosti množin B pk můžeme vlstně jsme to už udělli použít obvklý způsob všetření vázných extrémů pomocí Lngrngeových multiplikátorů. Výsledkem jsou podezřelé bod které se evidentně musí ncházet v K B dík svým funkčním hodnotámh < h < h +. Absolutní minimum funkce h n množině K B se ted NEMŮŽE ncházet n okrji K B protože tm je funkce moc velká může to ted být jedině bod. Součsně i n množině K R 4 \ B je funkce moc velká, bod je tk oprvdu bsolutní minimum funkce h n původní množině K. Tkto ted vpdá korektní zdůvodnění, že námi nlezený bod je minimum v přípdě, že množin dná vzbou sice nebl omezená, le n druhou strnu zse funkce v nekonečnu roste do nekonečn. A co bod? Abchom zjistili, jk to vpdá zde, blo b potřeb dlšího rozboru pomocí všších derivcí. Intuitivně se zdá, že v něm nejspíš bude sedlo z hledisk nší volb množin K funkce h. To už b le bl poměrně náročný postup, jk je vidět, třetí přístup se hodí oprvdu jen k určení vzdálenosti množin tj. minim funkce h. Příkld 5.8. Njděte vzdálenost prbol M : x od přímk p : x. Můžeme použít některý z předchozích postupů, le musíme si uvědomit, že prbol není omezená množin i kdž je uzvřená má tečn ve všech svých bodech. Nštěstí le funkce vzdálenosti bodů prbol M od přímk p i zde v nekonečnu roste do nekonečn. Minimum vzdálenosti ted musí být nbto v nějkém bodě M v něm musí být tečn rovnoběžná s přímkou p. Směrnici α R tečn v bodě M, který je grfem funkce gx x, můžeme získt tké právě pomocí derivce této funkce jedné proměnné, tj. α d dx x x. Směrnice přímk p je zřejmě. Tkže z x plne x ted x 4. Vzdálenost ρ bodu x,, 4 M od přímk p : x je ted podle obecného vzorce ρ x Příkld 5.9. V rovině x + z nlezněte bod, pro nějž je součet čtverců vzdálenosti od bodů A,, B,, 4 minimální. Použijeme metodu Lngrngeových multiplikátorů pro rovinu M {x,, z R gx,, z }, kde gx,, z x + z funkci fx,, z x + + z + x + + z 4 vjdřující součet čtverců vzdálenosti bodu x,, z od bodů A,, B,, 4. Pro extrém x,, z n M existuje λ R, že x, 4, z 5 f λg λ,, 8