17 Křivky v rovině a prostoru

Transkript

1 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ, ψ] se nzývá prmetrizce křivky. 2. Body A : [ϕ(), ψ()], B : [ϕ(b), ψ(b)] nzýváme koncové body křivky. Křivk se nzývá uzvřená, je-li A B. 3. Křivk se nzývá jednoduchá, je-li F prostá n, b. Geometricky to znmená, že křivk se nikde neprotíná. 4. Křivk se nzývá jednoduchá uzvřená (jordnovská), je-li uzvřená F je prostá n (, b). 5. Křivk se nzývá hldká, je-li jednoduchá F má spojitou derivci n, b (tj. funkce ϕ ψ mjí spojité derivce n, b ). 6. Křivk se nzývá po částech hldká, je-li spojením konečně mnoh hldkých křivek, přičemž toto spojení je pouze skrz koncové body. 7. Je-li hldká křivk pro nějké t 0, b je F (t 0 ) [0, 0], pk bod P [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )] nzveme singulárním bodem křivky, v opčném přípdě regulárním bodem. 8. Hldká křivk se nzývá regulární, jsou-li všechny její body regulární, npř. křivk [t 2, t 3 ], t 1, 1 není regulární, má singulární bod [0, 0] (pro t 0). 9. Křivk se nzývá po částech regulární, vznikne-li spojením konečně mnoh regulárních křivek (npojení je opět pouze v koncových bodech jednotlivých křivek). Poznámk. ) Kždá jednoduchá ( jednoduchá uzvřená křivk) má nekonečně mnoho prmetrizcí, npř. jednotková kružnice se středem v počátku má prmetrizci [cos t, sin t], t 0, 2π, nebo [cos 2t, sin 2t], t 0, π, nebo [sin t, cos t], t 0, 2π. b) Je-li f funkce spojitá n, b, pk její grf je křivk s prmetrizcí ϕ(t) t, ψ(t) f(t), t, b. c) Derivce F (t 0 ) předstvuje tečný vektor ke křivce v bodě F (t 0 ) [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )]. d) áme-li dvě různé prmetrizce téže křivky, může se stát, že některý bod je regulární v jedné prmetrizci singulární v druhé. Pk mluvíme o nepodsttně (odstrnitelném) singulárním bodu křivky. Je-li bod singulární ve všech prmetrizcích křivky, mluvíme o podsttně (neodstrnitelném) singulárním bodu křivky. Pro přípd křivkového integrálu II. druhu je nvíc potřeb zvést pojem orientce křivky. Orientovt křivku znmená určit směr, ve kterém jsou body křivky procházeny (to lze dvěm způsoby). Definice 17.2 (souhlsné nesouhlsné orientce jednoduché (uzvřené) křivky). 1. Buď {[ϕ(t), ψ(t)] : t, b } jednoduchá křivk zvolme n ní dv různé body P 1 [ϕ(t 1 ), ψ(t 1 )] P 2 [ϕ(t 2 ), ψ(t 2 )]. Orientujme křivku tk, že se pohybujeme od bodu P 1 směrem k bodu P 2 (říkáme tké, že bod P 1 je před bodem P 2, zpisujeme P 1 P 2 ). Je-li t 1 < t 2, řekneme, že křivk je orientován souhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. Je-li nopk t 1 > t 2, řekneme, že křivk je orientován nesouhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. 2. V přípdě jednoduché uzvřené křivky ji orientujme pomocí tří bodů P 1, P 2 P 3 tk, že se po křivce pohybujeme z bodu P 1 do P 2 z P 2 do P 3 (bodu P i odpovídá prmetr t i, i 1, 2, 3). Je-li t 1 < t 2 < t 3 nebo t 3 < t 1 < t 2 nebo t 2 < t 3 < t 1, pk řekneme, že křivk je orientován souhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ] je-li t 1 > t 2 > t 3 nebo t 2 > t 3 > t 1 nebo t 3 > t 1 > t 2, pk řekneme, že křivk je orientován nesouhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. Příkld Jednotková kružnice se středem v počátku orientovná proti oběhu hodinových ručiček je orientován souhlsně vzhledem k prmetrizci [cos t, sin t], le nesouhlsně vzhledem k prmetrizci [sin t, cos t]. Prostorovou křivku bychom definovli jko množinu {[ϕ(t), ψ(t), χ(t)] : t, b } R 3, kde 3-funkce F [ϕ, ψ, χ] je spojitá n, b. Osttní pojmy jko jednoduchá nebo hldká křivk by se zvedly nlogicky. Pozor, křivku v prostoru nelze zdt explicitně pomocí funkce! 18 Křivkový integrál Definice 18.1 (křivkového integrálu I. druhu ze spojité funkce). Nechť je regulární křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] f : R 2 R je spojitá funkce n nějké otevřené množině obshující křivku. Potom definujeme křivkový integrál I. druhu jko f(x, y) ds : b f(ϕ(t), ψ(t)) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt 41 ( )

2 Ukžme, co nás vedlo ke vzorci v předchozí definici. Jko motivci uvžujme úlohu určit obsh plochy τ {[x, y, z] R 3 : [x, y], 0 z f(x, y)}. Proveďme nějké dělení intervlu t 0 < t 1 < < t n b intervlu, b. Tímto dělením je určeno tké dělení A P 0 P 1 P 2 P n B křivky (P k [ϕ(t k ), ψ(t k )], k 0, 1,..., n). Potom je přirozené proximovt hledný obsh číslem S n : f(ϕ(t k ), ψ(t k )) ([ϕ(t k ) ϕ(t k 1 )] 2 + [ψ(t k ) ψ(t k 1 )] 2. Potřebujeme ukázt, že S n konverguje k hodnotě n prvé strně ( ) pro kždou nulovou posloupnost dělení intervlu, b (připomeňme, že se jedná o posloupnost dělení, ve které norm dělení mx k {1,2,...,n} t k t k 1 jde s rostoucím n k nule). Podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě (viz vět 16.2 v SA1) existují čísl ξ k, η k (t k 1, t k ) tková, že ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ) ϕ (ξ k )(t k t k 1 ) ψ(t k ) ψ(t k 1 ) ψ (η k )(t k t k 1 ). Hodnotu S n tedy můžeme přepst S n f(ϕ(t k ), ψ(t k )) [ϕ (ξ k )] 2 + [ψ (η k )] 2 (t k t k 1 ). Kdyby pod odmocninou byly hodnoty derivcí v bodě t k (nmísto ξ k η k ), pk by S n předstvovl přímo integrální součet (s výběrem reprezentntů Ξ {t k : k 1, 2,..., n}) v limitě bychom ihned dostli poždovný integrál (protože f je spojitá nd křivkou výrz ϕ 2 + ψ 2 je tké spojitá funkce díky regulritě ). Jko poslední krok je tedy potřeb ukázt, že lim S n lim n n f(ϕ(t k ), ψ(t k )) [ϕ (t k )] 2 + [ψ (t k )] 2 (t k t k 1 ). Důkz tohoto kroku využívá Heineho Cntorovy věty (viz vět v SA1), která říká, že spojitá funkce n uzvřeném intervlu je již stejnoměrně spojitá. Poznámk. ) Předpokld regulárnosti křivky v definici křivkového integrálu lze i oslbit, zejmén lze připustit, by hldká křivk měl konečný počet singulárních bodů. Z jistých důvodů se le regulárnost obvykle předpokládá již v definici integrálu (čsto se dokonce přidává do definice hldké křivky to pk i lépe odpovídá intuitivní předstvě o hldkosti křivky). b) Hldkost křivky zručí, že je tto křivk tzv. rektifikovtelná. To znmená, že délk lomené čáry při zjemňování dělení neroste nde všechny meze, tedy křivk má konečnou délku (délk křivky je právě tkto definován jko supremum délek lomených čr přes všechn možná dělení). Příkldem nerektifikovtelné křivky je křivk o prmetrizci { 0 pro t 0 ϕ(t) t, ψ(t) t sin 1 t pro t > 0., t 0, 1, ψ není spojitá v bodě 0. Pro délku rektifikovtelné křivky pltí l() c) Lze ukázt, že hodnot integrálu nezávisí n zvolené prmetrizci dné křivky. d) Křivkový integrál je možné definovt obecněji než v definici 18.1, kdy vycházíme z ohrničené funkce n oblsti obshující křivku zvedeme podobně jko u stndrdního Riemnnov integrálu horní dolní součty funkce nd křivkou, přípdně integrální součty. e) Křivkový integrál přes po částech regulární křivku bychom definovli jko součet integrálů přes jednotlivé části. Příkld (x + y) ds, kde je obvod trojúhelník ABC, A [0, 0], B [0, 2], C [1, 0]. [ 1 2 ( ) ] Příkld rctg y x ds. ds, kde je část Archimédovy spirály ρ ϕ ležící v kruhu o poloměru π/2. [ 1 3( (1 + π 2 /4) 3/2 1 )] Poznámk. V přípdě prostorové křivky by se z nlogických předpokldů vzorec definice 18.1 modifikovl n b f(x, y, z) ds f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 + [χ (t)] 2 dt. 42

3 Příkld y2 + z 2 ds, kde {[x, y, z] R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, x y, x 0, z 0}. [2π] V přípdě křivkového integrálu druhého druhu přes rovinnou křivku budeme hodnoty 2-funkce dvou proměnných interpretovt jko vektory, budeme tedy hovořit o vektorovém poli znčit ho f(x, y) (P (x, y), Q(x, y)). Definice 18.5 (křivkového integrálu II. druhu ze spojitého vektorového pole). Nechť je orientovná regulární křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] f je vektorové pole spojité n nějké otevřené množině obshující křivku. Pk definujeme křivkový integrál II. druhu f(x, y) ds P (x, y) dx + Q(x, y) dy : ± b [P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t)] dt, ( ) kde znménko + bereme v přípdě souhlsné orientce křivky s prmetrizcí F znménko v přípdě nesouhlsné. otivce pro vzorec ( ) je následující. Buď AB orientovná úsečk s počátečním bodem A koncovým bodem B. Uvžujeme-li konstntní silové pole f, pk z fyziky je známo, že práce, kterou vykoná silové pole f po úsečce AB, je dán sklárním součinem f (B A). Je-li tento sklární součin kldný, jedná se o vykonnou práci, je-li záporný, jedná se o spotřebovnou práci. Opčná orientce úsečky by znmenl práci s opčným znménkem. Jká bude práce, kterou vykoná/spotřebuje silové pole f(x, y) po orientovné křivce? Uvžujme opět nějké dělení t 0 < t 1 < < t n b intervlu, b (to opět určí dělení A P 0 P 1 P n B křivky ). Nhrdíme-li orientovné křivky k : {[ϕ(t), ψ(t)] : t t k 1, t k } (k 1, 2,..., n) orientovnými úsečkmi P k 1 P k n kždé z nich silové pole f konstntním silovým polem s hodnotou f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )), pk získáme proximci vykonné práce W n : f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (P k P k 1 ) f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ), ψ(t k ) ψ(t k 1 )). Přepíšeme-li rozdíly ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ) ψ(t k ) ψ(t k 1 ) pomocí Lgrngeovy věty o střední hodnotě, dostneme W n : f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ (ξ k ), ψ (η k ))(t k t k 1 ). Pomocí Heineho Cntorovy věty lze opět ukázt, že lim W n lim n n f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ (t k 1 ), ψ (t k 1 ))(t k t k 1 ). Sum z znkem limity n prvé strně předchozího vzthu předstvuje integrální součet spojité funkce, tkže v lim n W n dává prvou strnu vzorce ( ) pro libovolnou nulovou posloupnost dělení intervlu, b. Příkld Určete (xy, 0) ds, kde je část prboly x y 2 jdoucí z bodu [1, 1] do počátku [0, 0]. [ 2 5 ] Poznámk. Vzth mezi křivkovým integrálem I. II. druhu je následující. Je-li rovinná křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] regulární, tk tečný vektor F (t) (ϕ (t), ψ (t)) je nenulový pro t, b. Potom vektor F 1(t) F (t)/ F (t) je jednotkový ( je eukleidovská velikost vektoru). Uvžujeme-li spojité vektorové pole f v nějké oblsti obshující křivku, pk pltí f ds ± f F 1 ds ( + v přípdě souhlsné orientce křivky s prmetrizcí F v přípdě nesouhlsné). Následující tvrzení dává do souvislosti dvojný integrál přes množinu s křivkovým integrálem II. druhu přes hrnici množiny. Řekneme, že hrnice množiny je orientován kldně, jestliže množin při pohybu po zůstává po levé ruce. Vět 18.7 (Greenov přes normální množinu vzhledem k ose x, George Green , Angličn). Nechť je normální množin vzhledem k ose x (tj. {[x, y] R 2 : x b, y ψ(x)} její hrnice je kldně orientovná křivk, přičemž předpokládáme, že funkce ϕ, ψ mjí spojitou derivci n, b. Nechť dále vektorové pole f (P, Q) je spojité n má zde spojité prciální derivce P y Q x. Pk pltí (Q x P y) dxdy (P, Q) ds. 43

4 Důkz. Protože je normální vzhledem k ose x, její hrnici lze složit ze čtyř částí l : x, y ϕ(), ψ(), d : y, x, b, p : x b, y ϕ(b), ψ(b) h : y ψ(x), x, b. Části hrnice l p jsou zřejmě regulární díky předpokldu spojitosti derivcí funkcí ϕ, ψ jsou i části hrnice d h regulární křivky. Pltnost tvrzení bude prokázán, pokud ukážeme, že P y(x, y) dxdy P (x, y) dx Q x(x, y) dxdy Q(x, y) dy. Pltí tj. P (x, y) dx l P (x, y) dx }{{} 0, protože ϕ (t)0 + P (x, y) dx + d P (x, y) dx P (x, y) dx + d P (x, y) dx h b N druhou strnu, podle Fubiniovy věty P y(x, y) dxdy [P (x, ) P (t, ψ(x))] dx. b ( ψ(x) b p P (x, y) dx }{{} 0, protože ϕ (t)0 P (x, ) dx ) P y(x, y) dy dx b b + P (x, y) dx, h b P (x, ψ(x)) dx [P (x, y)] ψ(x) dx [P (x, ) P (x, ψ(x))]dx, tj. pltí P (x, y) dxdy P (x, y)dx. Důkz druhé rovnosti Q(x, y) dxdy Q(x, y) dx je trochu obtížnější, opírá se o následující vlstnost integrálu závislého n prmetru: Nechť f : R 2 R je spojitá n nějké otevřené množině Ω obshující normální množinu {[x, y] R 2 : x b, y ψ(x)}. Potom integrál F (x) : ψ(x) f(x, y) dy je spojitá funkce n, b. á-li nvíc f spojitou prciální derivci f x n Ω ϕ, ψ jsou spojité n, b, pk F má derivci n, b pltí F (x) ψ(x) f x(x, y) dy + f(x, ψ(x))ψ (x) f(x, )ϕ (x). ( ) Rovnost ( ) využijeme při výpočtu Q x(x, y) dxdy. Fubiniov vět dává Položíme-li f Q v rovnosti ( ), pk tedy ψ(b) ϕ(b) ψ(x) Q x(x, y) dxdy b ( ψ(x) ) Q x(x, y) dy dx. Q x(x, y) dy F (x) Q(x, ψ(x))ψ (x) + Q(x, )ϕ (x) Q x(x, y) dxdy [F (x)] b f(b, y) dy ψ() ϕ() f(, y) dy b b b b Q(x, )ϕ (x) dx Q(x, )ϕ (x) dx. Zároveň všk pltí Q(x, y) dy p l h Q(x, y) dy d ψ(b) ϕ(b) f(b, y) dy ψ() ϕ() tj. Q(x, y) dxdy Q(x, y) dx. f(, y) dy b b Q(x, )ϕ (x) dx, 44

5 Poznámk. ) Anlogicky by se tvrzení dokázlo pro normální množinu vzhledem k ose y. b) Tvrzení zůstne v pltnosti, i když části hrnice d h budou po částech regulární křivky. c) Tvrzení dále bude pltit i v přípdě, kdy je regulární množin (připomeňme, že to je množin, kterou lze rozřezt n konečný počet normálních množin). d) Pltnost tvrzení lze rozšířit i n přípd ještě komplikovnějších množin než jsou regulární množiny (npř. typu řez ementálem s nepříliš pěknými oky ). Zejmén lze (z určitých dlších předpokldů) připustit hrnice, které obshují konečný počet singulárních bodů. e) Obsh ohrničené množiny lze pomocí Greenovy věty počítt jko S() 1 x dy y dx. 2 Příkld Určete obsh eliptické výseče mezi body A [ϕ(t 1 ), ψ(t 1 )] B [ϕ(t 1 ), ψ(t 2 )], kde [[ϕ(t), ψ(t)] [ cos t, b sin t],, b > 0, t 1, t 2 0, 2π, t 1 < t b(t 2 t 1 ) ] 45