I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
|
|
- Jindřiška Kopecká
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl Funkce jejich zákldní vlstnosti Posloupnosti Diferenční sumční počet Elementární funkce Limit funkce Spojité funkce Cvičení Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 55. Derivce Derivce vyšších řádů, diferenciál Obecné věty o derivci Tylorův vzorec Průběh funkce Rovinné křivky Cvičení Integrální počet funkcí jedné proměnné 8 3. Primitivní funkce Určitý integrál Vlstnosti Riemnnov integrálu Integrál jko funkce horní meze Nevlstní integrály Aplikce určitého integrálu Numerická integrce Cvičení II Diferenciální počet funkcí více proměnných diferenciální rovnice 5 4 Metrické prostory 7 4. Pojem metriky Podmnožiny metrického prostoru Konvergence Úplné kompktní prostory Zobrzení metrických prostorů Cvičení
2 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Spojitost limit Derivce Diferenciál Derivce složené funkce, Tylorův vzorec Průběh funkce více proměnných Implicitní funkce Diferencovtelná zobrzení Diferencovtelné vriety Vázné extrémy Vektorové funkce, sklární vektorová pole Cvičení Obyčejné diferenciální rovnice Zákldní pojmy Elementární metody řešení ODR Existence jednoznčnost řešení systému ODR Globální vlstnosti řešení systému ODR Systémy lineárních ODR Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu Diferenciální nerovnosti Autonomní systémy Eulerov numerická metod řešení ODR Cvičení Úvod do vričního počtu Funkcionál jeho vrice Úlohy s pevnými konci Úlohy s volnými konci III Funkcionální nlýz 9 8 Nekonečné řdy 8. Pojem řdy jejího součtu Řdy s nezápornými členy Řdy bsolutně nebsolutně konvergentní Dvojné řdy Součin řd Posloupnosti řdy funkcí Vlstnosti stejnoměrně konvergentních posloupností řd Mocninné řdy Cvičení Fourierovy řdy Hilbertův prostor Prostor L, b) Fourierovy řdy vzhledem k trigonometrickému systému Fourierův integrál Aplikce Fourierových řd Cvičení Okrjové úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu 67. Formulce úloh Řešení nehomogenní okrjové úlohy Cvičení
3 Speciální funkce distribuce 75. Funkce Γ Besselovy funkce Legendreovy polynomy Čebyševovy-Lguerreovy polynomy Čebyševovy-Hermiteovy polynomy Distribuce
4 4
5 Část I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5
6
7 Kpitol Preklkulus. Reálná čísl Přirozená čísl: N {,, 3,...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějké množiny. Lze n nich definovt zákldní početní operce, uspořádání. Celá čísl: Z {..., 3,,,,,, 3,...} výsledek. Doplnění množiny N tk, by operce odčítání měl vždy Rcionální čísl: Q { m n výsledek. : m Z, n N} Doplnění množiny Z tk, by operce dělení měl vždy Ircionální čísl: I Čísl, která není možno vyjádřit ve tvru m n, kde m Z, n N Ircionální čísl potřebujeme. Npř. log 3 I. Sporem. Připusťme, že log 3 m n. Pk m n 3 m 3 n m 5 m 3 n Dostli jsme dv různé rozkldy jednoho čísl n prvočinitele. To je spor. Nebo I. Sporem. Připusťme, že m n. Pk m n n m V rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n levé strně rovnosti je v liché mocnině, v rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n prvé strně rovnosti tedy téhož čísl) je v sudé mocnině. To je spor... Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání. Uspořádání je binární relce, která je i) reflexivní: M) ) ii) ntisymetrická:, b M) b, b b) iii) trnsitivní:, b, c M) b, b c c) ) Buď M, A M. Řekneme, že je horní resp. dolní) závor množiny A v množině M, jestliže x resp. x) pro kždé x A. Řekneme, že množin A je ohrničená shor resp. zdol), jestliže existuje její horní resp. dolní) závor. Řekneme, že množin A je ohrničená, je-li ohrničená shor i zdol. 7
8 .. Příkldy. Množin A {, +, + + 3,...} je ohrničená zdol dolní závor je npř. ) není ohrničená shor: Při oznčení n n je > > Indukcí lze dokázt, že n > + n číslo + n může být libovolně velké.. Množin B {, + 4, π 9,...} je ohrničená shor, b 6 později.) pro kždé b B. Bude dokázáno..3 Definice Buď A M, kde M je množin, n níž je definováno uspořádání. Řekneme, že A je mximum nebo největší prvek minimum nebo nejmenší prvek) píšeme mx A min A), jestliže pro kždé x A pltí x x)...4 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď A M. Řekneme, že M je supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A, t.j. jestliže pltí s) x A) x ), s) x A) x b)) b. Píšeme sup A...5 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď A M. Řekneme, že M je infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A, t.j. jestliže pltí i) x A) x), i) x A) b x)) b. Píšeme inf A...6 Poznámky. Podmínku s) v..4 lze nhrdit podmínkou s ) p M, p < ) x A) p < x). p < je definováno jko p součsně p ; v dlším budeme používt i symboly, >.) Nechť M splňuje s) nechť p M, p <. Pk p není horní závor množiny A jink by podle s) bylo p). Odtud plyne, že existuje x A tkové, že x > p, tedy pltí s ). Nechť M splňuje s ) buď b M horní závor množiny A. Kdyby b <, pk by existovlo x A tkové, že b < x tedy b by nebyl horní závor množiny A. Je tedy b.. Anlogicky lze dokázt, že podmínku i) v..5 lze nhrdit podmínkou i ) p M, p > ) x A) p > x). 3. Libovolná A M má nejvýše jedno supremum nejvýše jedno infimum. 8
9 Nechť sup A, b sup A. b je podle s) horní závor množiny A, tedy b podle s). Anlogicky je horní závor A, tedy b. Z ntisymetrie relce plyne b. Anlogicky se ukáže pltnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje mx A min A), pk existuje tké sup A inf A) pltí sup A mx A inf A min A). Nechť mx A. splňuje s) přímo podle definice mxim..3 Nechť b je horní závor množiny A. Pk b x pro kždé x A, zejmén tedy b A. Což znmená, že pltí s). Tvrzení pro infimum minimum se dokáže nlogicky...7 Definice Množin reálných čísel je množin R, n níž jsou definovány dvě binárním operce + sčítání), násobení) jedn binární relce < menší než), které splňují podmínky R) pro všechn, b R pltí + b b + komuttivní zákon pro sčítání) R) pro všechn, b, c R pltí + b) + c + b + c) socitivní zákon pro sčítání) R3) existuje prvek R tkový, že pro všechn R pltí + existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) R4) ke kždému R existuje prvek R tkový, že + ) existence opčného prvku) R5) pro všechn, b R pltí b b komuttivní zákon pro násobení) R6) pro všechn, b, c R pltí b) c b c) socitivní zákon pro násobení) R7) existuje prvek R, tkový, že pro všechn R pltí existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) R8) ke kždému R, existuje prvek R tkový, že existence inversního prvku) R9) pro všechn, b, c R pltí b + c) b) + c) distributivní zákon) R) kždé dv prvky z množiny R jsou srovntelné, podrobněji: kždá dvojice prvků, b R splňuje právě jeden ze vzthů < b, b, b < zákon trichotomie) R) jestliže pro, b, c R pltí < b b < c, pk tké < c trnsitivit relce <) R) jestliže pro, b R pltí < b, pk pro kždé c R je + c < b + c monotonie vzhledem ke sčítání) R3) jestliže pro, b, c R pltí < b < c, pk c < b c monotonie vzhledem k násobení) R4) je-li M neprázdná shor zdol) ohrničená podmnožin množiny R, pk existuje sup M R inf M R)..8 Poznámky. R) R4) R5) R8) jsou xiomy komuttivní grupy R) R9) jsou xiomy pole R) R3) jsou xiomy uspořádného pole R) R4) jsou xiomy spojitě uspořádného pole Existuje jediné ž n isomorfismus) uspořádné pole. Axiom R4) se nzývá xiom spojitosti.. Přímk, n níž je zvolen počátek obrz reálného čísl ), jednotková délk orientce obrz čísl ) se nzývá číselná os. Existuje prosté vzájemně jednoznčné zobrzení množiny reálných čísel n číselnou osu. 9
10 3. Druhá část xiomu R4) existence infim) je důsledkem první části osttních xiomů. Nejdříve ukážeme, že pro kždé R je ). Vyjdeme z R4): ) + )) / přičteme zlev + ) + ))) + / R), R3) + )) + )) / R4) + )) / R), R3) ) Dále ukážeme, že jestliže < b pk b < : < b / + ) zprv + ) < b + ) / R4) < b + ) / + b) zlev b) + < b) + b + )) / R3), R) b < b) + b) + ) / R), R4) b < + ) / R), R3) b < Nechť nyní je M R zdol ohrničená, b její dolní závor. Položme M { x : x M}. Pk pro kždé x M pltí b x tedy podle druhého kroku důkzu je x b pro kždé x M. To znmená, že M je shor ohrničená podle první části R4) existuje sup M s R. Podle R4) je s R. Ukážeme, že s inf M: Buď x M libovolné. Pk podle s) je x s podle pomocných tvrzení n zčátku důkzu je s x. Poněvdž x bylo libovolné, je podmínk i) splněn. Buď c R tkové, že c x pro kždé x M. Pk x c pro kždé x M podle s) je s c, tedy c) s. Podle prvního kroku důkzu je c s, což znmená, že i podmínk i) je splněn...9 Příkld Nechť M { m n : m, n N, m < n}. Ukžte, že sup M, inf M. Ř.: Pltnost podmínky s): m n pro m n. Pltnost podmínky s ): Buď p M, p <. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Nechť tedy p >. Položme n + [ p ]. Přitom [x] oznčuje celou část z čísl x, t.j. celé číslo z tkové, že x z < x +. Npř. [π] 3, [ 3 ], [ 3.5] 4 p.) Pk n > p n np > n > np n n > p zřejmě n n M. Pltnost podmínky i): m n > pro všechn m, n N. Pltnost podmínky i ): Buď p M, p >. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Položme n + [ p ]. Pk n > p tedy p > n M. < p. Nechť tedy.. Definice Množinu R R {, } nzýváme rozšířená množin reálných čísel, symboly, nzýváme nevlstní reálná čísl nevlstní body číselné osy). Kldeme < < pro kždé R. Symboly, nejsou čísl, nedefinujeme pro ně početní operce.
11 .. Definice Buďte, b R, < b. Uzvřeným intervlem o krjních koncových, hrničních) bodech, b rozumíme množinu otevřeným intervlem množinu polouzvřenými intervly zprv resp. zlev) množiny Nekonečné intervly definujeme jko množiny [, b] {x R : x b},, b) {x R : < x < b},, b] {x R : < x b}, [, b) {x R : x < b}. [, ) {x R : x },, ) {x R : x > },, b] {x R : x b},, b) {x R : x < b},, ) R. Je-li J intervl jkéhokoliv typu x J, x není krjní, řekneme, že x je vnitřní bod intervlu J... Definice Okolím podrobněji symetrickým) δ-okolím, δ > ) bodu x R rozumíme intervl x δ, x + δ). Okolím bodu rozumíme intervl, ), kde R. Okolím bodu rozumíme intervl, ), kde R. δ-okolí bodu x R budeme oznčovt symbolem O δ x ), stručně Ox )...3 Vět Okolí bodů z množiny R mjí tyto vlstnosti: o) Jsou-li O x ) O x ) dvě okolí téhož bodu x R, pk O x ) O x ) je okolím bodu x. o) Jsou-li x, x R, x x, pk existují Ox ) Ox ) tková, že Ox ) Ox ).. x R, O x ) x δ, x + δ ), O x ) x δ, x + δ ). Položme δ min{δ, δ }. Pk Ox ) x δ, x + δ) O x ) O x ) je okolím bodu x. x, O x ), ), O x ), ). Položme mx{, }. Pk Ox ), ) O x ) O x ) je okolím bodu. x. Pltnost tvrzení ukážeme nlogicky jko v předchozím přípdě.. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt, že x < x. < x < x <. Položme δ 4 x x ). Pk Ox ) x δ, x +δ), Ox ) x δ, x +δ) jsou okolí bodů x, x s poždovnou vlstností. Volb δ 4 x x ) smozřejmě není jediná možná. Stčí volit δ rx x ), kde r.) < x < x. Nechť δ > je libovolné položme x + δ. Pk Ox ) x δ, x + δ), Ox ), ) mjí poždovnou vlstnost. Anlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.
12 ..4 Definice Buď x R. Ryzím okolím bodu x rozumíme množinu Ox ) \ {x }. Okolí nevlstního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x budeme oznčovt O x )...5 Definice Buď x R, δ >. Prvým resp. levým) δ-okolím bodu x rozumíme intervl [x, x + δ) x δ, x ]). Ryzím prvým resp. levým) δ-okolím bodu x rozumíme otevřený intervl x, x + δ) x δ, x )). Prvé resp. levé) δ-okolí bodu x budeme oznčovt P δ x ), stručně Px ) resp. L δ x ), stručně Lx )). Ryzí prvé resp. levé) δ-okolí bodu x budeme oznčovt P δ x ), stručně P x ) resp. L δ x ), stručně L x ))...6 Poznámky. Tké prvá levá okolí, ryzí okolí mjí vlstnosti o), o) z věty..3. Sndnou modifikcí důkzu..3.. Buď J R intervl buď x vnitřní bod intervlu J. Pk existuje Ox ) tkové, že Ox ) J. Nechť, b R jsou krjní body intervlu J...7 Vět Jsou-li, b R, položíme δ min{x, b x )}. Pk δ > x δ, x + δ) je poždovné okolí. Jsou-li R b, položíme δ x ). Pk δ > x δ, x + δ) je opět poždovné okolí. Anlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.. Mezi dvěm libovolnými reálnými čísly x, x, x < x leží rcionální i ircionální číslo.. V libovolném okolí libovolného čísl x R leží rcionální i ircionální číslo. Stručně: Množin Q i množin I je hustá v množině R.). Položme n [ x x ] +, m [nx ] +. Pk m Z, n N tedy q m n Q. Dále pltí m > nx m nx + n > x x x < m n nx nx > nx > nx + Odtud x < m n nx+ n < nx n x, což znmená, že q je rcionální číslo mezi čísly x x. Položme s [ x x ] +, r [ s x ] +. Pk r Z, s N w r s I, neboť v opčném přípdě by Q, což by byl spor s tvrzením dokázným v úvodu tohoto odstvce. Dále pltí Odtud x < r s čísly x x. r > s x r s x + s > x < r s s x + ) s < s x s s x > s x x x + x, což znmená, že w je ircionální číslo mezi. je důsledkem., neboť mezi čísly x δ x + δ leží rcionální i ircionální číslo.
13 . Funkce jejich zákldní vlstnosti.. Definice Funkce f podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrzení z množiny R do množiny R. Množin Dom f {x R : y R)x, y) f)} se nzývá definiční obor funkce f. Domin) Množin Im f {y R : x R)x, y) f)} se nzývá obor hodnot funkce f. Imge) Je-li f funkce, pk zobrzení f : Dom f Im f je surjekce zobrzení n). Je-li x, y) f, píšeme y fx), x y, x f y. Prvky z Dom f se nzývjí hodnoty nezávisle proměnné, rgument. Prvky z Im f se nzývjí hodnoty závisle proměnné, funkční hodnot. Pokud není explicitně uvedeno jink, definičním oborem rozumíme největší vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítt... Definice Grfem funkce f rozumíme množinu G {x, fx)) : x Dom f}, kde x, y) znčí orthogonální krtézské souřdnice bodu v rovině...3 Příkld. fx) x mx{x, x}, Dom f R, Im f [, ). x. fx), x Dom f, ), neboť musí pltit x > > x > x Im f R, neboť pro libovolné r R je r x x x )r x r + r )x x, ± r +r Znménko u x musí být stejné jko znménko r u r, tedy x + r 3. fx) [x], kde [x] je celá část z čísl x, to jest celé číslo tkové, že [x] x < [x] +. Dom f R, Im f Z. 4. Dirichletov funkce χx) {, x Q, x I. Dom χ R, Im χ {, }...4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f Dom g. Pk definujeme součet funkcí f, g předpisem: f + g)x) fx) + gx) pro x Dom f Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: f g)x) fx) gx) pro x Dom f Dom g, součin funkcí f, g předpisem: fg)x) ) fx)gx) pro x Dom f Dom g, f podíl funkcí f, g předpisem: x) fx) pro x Dom f Dom g \ {x Dom g : gx) }), g gx) bsolutní hodnotu funkce f předpisem f x) fx) mx{fx), fx)} pro x Dom f. 3
14 ..5 Definice Funkce f se nzývá ohrničená shor ohrničená, zdol ohrničená), je-li množin Im f ohrničená shor ohrničená, zdol ohrničená) podmnožin množiny R. Funkce f je ohrničená právě tehdy, když existují, b R tková, že fx) b pro kždé x Dom f, což nstne právě tehdy, když existuje h R tkové, že fx) h pro kždé x Dom f. Anlogická tvrzení pltí pro funkci ohrničenou shor nebo zdol...6 Definice Funkce f se nzývá sudá, jestliže Funkce f se nzývá lichá, jestliže x Dom f x Dom f, f x) fx). x Dom f x Dom f, f x) fx). Příkldy sudé funkce: x n, kde n N, x, cos x. Příkldy liché funkce: x n+, kde n N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její grf, x, y) G. Pk x, y) G. Body x, y) x, y) jsou symetrické podle osy y, grf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její grf, x, y) G. Pk x, y) G. Body x, y) x, y) jsou symetrické podle počátku souřdného systému, grf liché funkce je symetrický podle počátku souřdného systému...7 Vět Má-li funkce f vlstnost: x Dom f x Dom f, pk ji lze vyjádřit jko součet funkce sudé liché. fx) fx) + f x)) + fx) f x)) gx) fx) + f x)); g x) f x) + fx)) gx); gx) je sudá, hx) fx) f x)); h x) f x) fx)) fx) f x)) hx); hx) je lichá...8 Definice Buď p R, p >. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x Dom f x + p Dom f, fx + p) fx). Příkldy: sin x, cos x period π, tg x period π, sin x π period, konsttntní funkce fx) c R periodou je jkékoliv p, ). Buď f funkce periodická s periodou p >, n N. Pk f je periodická s periodou np. x Dom f x + p Dom f x + p + p x + p Dom f x + np Dom f. fx + np) fx + n )p + p) fx + n )p) fx + n )p + p) fx + n )p) fx). Množin period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná zdol ohrničená nulou. Podle..7 R4) existuje p inf{p : p je period funkce f}. Pokud p je periodou funkce f, nzýváme ji nejmenší nebo zákldní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Npř. periodou Dirichletovy funkce je kždé kldné rcionální číslo...9 Definice Funkce f se nzývá rostoucí v bodě x Dom f, jestliže existuje Ox ) tkové, že Ox ) Dom f pltí x Ox ), x < x fx) < fx ) x Ox ), x > x fx) > fx ), 4
15 stručně: jestliže pro x Ox ) \ {x } pltí x x )fx) fx )) >. Funkce f se nzývá neklesjící v bodě x Dom f, jestliže existuje Ox ) tkové, že Ox ) Dom f pltí x Ox ), x < x fx) fx ) x Ox ), x > x fx) fx ), stručně: jestliže pro x Ox ) pltí x x )fx) fx )). Anlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí v bodě x Dom f. Funkce, která je v bodě x Dom f nerostoucí nebo neklesjící, se nzývá monotonní v bodě x Dom f. Funkce, která je v bodě x Dom f rostoucí nebo klesjící, se nzývá ryze monotonní v bodě x Dom f. Funkce rostoucí v bodě x Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f... Definice Řekneme, že funkce je rostoucí n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x fx ) < fx ). Řekneme, že funkce je neklesjící n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x fx ) fx ). Anlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí n intervlu J. Funkce rostoucí nebo klesjící n intervlu se nzývá ryze monotonní n intervlu, funkce nerostoucí nebo neklesjící n intervlu se nzývá monotonní n intervlu. Monotonie v bodě lokální vlstnost Monotonie n intervlu globální vlstnost Slov intervl J v předchozí definici lze nhrdit slovy množin M Dom f... Vět Funkce f je rostoucí n otevřeném intervlu J Dom f právě tehdy, když je rostoucí v kždém bodě tohoto intervlu. Nechť f je rostoucí n J nechť x J. J je otevřený x je vnitřní bod podle..6.) existuje Ox ) J. Tedy Ox ) Dom f. Je-li x Ox ), x < x, je fx) < fx ); je-li x Ox ), x > x, je fx) > fx ). Tedy f je rostoucí v bodě x. Nechť f je rostoucí v kždém bodě intervlu J. Připusťme, že f není rostoucí n J. Existují tedy x, x J, že x < x fx ) fx ). Oznčme M {x [x, x ] : fx) > fx )}. Pltí ) M, neboť f rostoucí v x ex. Ox ), že pro kždé x > x je fx) > fx ). b) M je shor ohrničená, neboť x je horní závor M. Podle..7 R4) existuje x sup M x. Předpokládejme x x. f je rostoucí v bodě x existuje Ox ) x δ, x + δ) Dom f, že pro x Ox ), x < x pltí fx) < fx ). Podle..6s ) existuje x M, x > x δ. Poněvdž x M, je x x. Jest x Ox ). Pokud x < x, pk fx) < fx ), pokud x x, pk fx) fx ). Tedy fx) fx ). Součsně x M tedy fx) > fx ) fx ). Odtud fx) > fx ) spor. Musí tedy být x < x. Poněvdž f je rostoucí v x, existuje Ox ), že pro kždé x Ox )\{x } pltí x x )fx) fx )) >. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt Ox ) x δ, x +δ) [x, x ]. Podle..6s ) existuje x M, x > x δ tkové, že x x. x Ox ) tedy fx) fx ). Součsně fx) > fx ), neboť x M. Odtud plyne fx ) < fx ). Zvolme x Ox ), x > x. Pk fx) > fx ). Přitom x M, neboť x > x sup M. Tedy fx) fx ). Odtud plyne fx ) > fx ). To je spor. 5
16 .. Poznámky. Anlogická vět pltí pro neklesjící, klesjící nerostoucí funkci.. Pro uzvřený intervl vět nepltí: Npř. fx) sinx), J [ π, π ]. f je rostoucí n celém J, le není rostoucí v krjních bodech. 3. Ve druhé části důkzu jsme nevyužili předpokld, že intervl J je otevřený. Pltí tedy: Je-li funkce f rostoucí v kždém bodě libovolného intervlu J, pk je rostoucí n celém intervlu J...3 Definice Buďte f, ϕ funkce nechť pltí Im ϕ Dom f. Pk F {x, y) R : u R)x, u) ϕ, u, y) f)} se nzývá složená funkce. Funkce ϕ se nzývá vnitřní složk funkce F, funkce f se nzývá vnější složk funkce F. x ϕx) u fu) fϕx)) Podmínk Im ϕ Dom f je nutná dosttečná pro existenci složené funkce. Není-li tto podmínk splněn, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ...4 Příkldy. ϕx) x, Im ϕ [, ) fu) sinu), Dom f, ). Tedy Im ϕ Dom f, F x) fϕx)) sin x. ϕx) x, definujeme Dom f [, ]. Pk Im ϕ [, ]. fu) u, Dom f [, ). [, ] [, ), F x) fϕx)) x. 3. ϕx) x, Im ϕ, ] fx) log u, Dom f, ). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opkovt vytvářet funkce vícenásobně složené. Npř.: y log sin x: y u u log v v w w sin x..5 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pk se nzývá inversní funkce k funkci f. f {y, x) R : x, y) f} Z definice plyne: Dom f Im f, Im f Dom f, x f y) y fx). Zobrzení f : Dom f Im f je surjekce. Aby toto zobrzení bylo bijekcí, musí být injekcí prostým zobrzením), t.j. x, x Dom f, x x fx ) fx )...6 Poznámky. Grf inversní funkce f je symetrický s grfem funkce f podle osy prvního třetího kvdrntu.. Je-li funkce f ryze monotonní, pk je prostá. Nechť pro určitost je f rostoucí buďte x, x Dom f, x x. Pokud x < x pk fx ) < fx ), pokud x > x pk fx ) > fx ) tedy fx ) fx ). 6
17 ..7 Vět Nechť funkce f je rostoucí resp. klesjící) n množině Dom f. Pk funkce f je rostoucí resp. klesjící) n množině Im f. Nechť f je rostoucí n Dom f buďte y, y Im f, y < y. Oznčme x f y ), x f y ), t.j. y fx ), y fx ). Jest x x podle..6.. Kdyby x > x, pk by y fx ) > fx ) y, což by byl spor. Pltí tedy x f y ) < f y x..3 Posloupnosti.3. Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f N. t.j. f : N R) Oznčení: f n fn), čstěji n, b n,... { n }, stručně { n } posloupnost n člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlstnosti: ohrničenost, monotonie, periodicit s periodou p N) zvedené v.. Nopk pojmy inversní nebo složená posloupnost nemjí smysl. Pltí: { n } je rostoucí n N) n < n+ ) { n } je neklesjící n N) n n+ ) podobně..3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má limitu píšeme lim n n, nebo stručněji lim n, n, jestliže ke kždému ε R, ε > existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n < ε. Posloupnost, která má limitu, se nzývá konvergentní..3.3 Vět o jednoznčnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Připusťme, že pro { n } pltí lim n, lim n b, b. Nechť pro určitost < b. Položme ε b. Pk ε >. Tedy existuje n N, že n n n < ε existuje n N, že n n n b < ε Položme n mx{n, n }. Pk pro n n pltí ε < n < + ε, b ε < n < b + ε, tedy b ε < n < + ε poněvdž b ε b b b + + ε + b + b pltí b Vět < b +, což je spor. Konvergentní posloupnost je ohrničená. Nechť lim n buď ε >. Existuje n N tkové, že pro n n pltí ε < n < + ε. Buď h mx{,,..., n, + ε}, d min{,,..., n, ε}. Pk pro kždé n N pltí d n h. 7
18 .3.5 Poznámky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n, lim b n b. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n < b n, pk b. Připusťme > b položme ε b. Pk ε > existují n N, že pro n n je ε < n < + ε, n N, že pro n n je b ε < b n < b + ε. Pro n > n 3 mx{n, n, n } nyní je ε + b < n < b n < b + ε + b spor. Tvrzení zůstne v pltnosti i z předpokldu n b n pro n n.. Řekneme, že posloupnost { n } je skorostcionární, jestliže existuje n N tkové, že pro n n je n. Řekneme, že posloupnost { n } je stcionární, jestliže pro kždé n N je n. Skoro)stcionární posloupnost je konvergentní pltí lim n. 3. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n {b n } buď ohrničená posloupnost. Pk lim n b n. {b n } je ohrničená existuje h R, že b n < h pro kždé n N. Buď ε > libovolné. K ε h > existuje n tkové, že pro n n je n n < ε h. Pro n n pltí n b n n b n < ε h h ε, tedy lim nb n. 4. Jestliže posloupnost { n } je monotonní neohrničená, pk lim n. Buď { n } neklesjící ε > libovolné. Poněvdž je { n } neohrničená, existuje n N tkové, že n > ε..3.6 Vět Poněvdž { n } je neklesjící, pro kždé n n pltí n n > ε >. Odtud plyne, že pro n n pltí n n < ε, tedy lim. n n Pro nerostoucí posloupnost se důkz provede nlogicky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n, lim b n b. Pk. existuje lim n pltí lim n,. existuje lim n + b n ) pltí lim n + b n ) + b, 3. existuje lim n b n pltí lim n b n b, 4. existuje lim n b n ) pltí lim n b n ) b, 5. pokud b, pk existuje lim n b n pltí lim n b n b.. Buď ε > libovolné. Pk existuje n N, že pro n n je n < ε. Pro n n tedy pltí n n < ε, což znmená lim n.. Buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n mx{n, n } pltí n +b n ) +b) n )+b n b) n + b n b < ε + ε ε tedy lim n + b n ) + b. 8
19 3. Je-li, plyne tvrzení z.3.4 z Nechť buď ε > libovolné. Podle.3.4 existuje h R tkové, že b n < h pro kždé n N. K ε h > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε h. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n mx{n, n } pltí obě nerovnosti součsně, tedy n b n b n b n b n + b n b n b n b n + b n b n b n + b n b < < ε h h + ε ε + ε ε. 4. Plyne z., Podle. je lim b n b podle předpokldu b >. Tedy k b > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b, neboli b n > b b b. Odtud plyne, že pro n n je Buď ε > libovolné. K b ε > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b ε Pro n n mx{n, n } je b n b b b n b b n Podle 3. je lim n lim n lim b n b n b b. < b ε b b ε tedy lim b n b.. b n < b. Poznmenejme, že z z.3.5. plyne: Jsou-li c R, { n } konvergentní posloupnost s lim n, pk existuje limc n ) c lim n c..3.7 Vět o třech posloupnostech, o sevření) Buďte { n }, {b n }, {c n } posloupnosti tkové, že existuje n N, že pro n n je n b n c n. Jestliže lim n lim c n, pk tké lim b n. Buď ε > libovolné. K němu existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, neboli n > ε. Dále existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 je c n < ε, neboli c n < + ε. Pro n n mx{n, n, n 3 } pltí ε < n b n c n < + ε, neboli ε < b n < + ε, což znmená lim b n..3.8 Příkld Pro R, > je lim n. n Pro plyne tvrzení z Buď >. Pk n n pro kždé n N, neboli ) + α) n, kde α n. n n Dále + α n ) n + nα n + α n + + α n n n + αn n + nα n. Odtud α n n. Celkem α n. Podle je lim lim n n n lim n tedy podle je lim α n. Podle je lim n + lim α n. Buď < <. Pk b > tedy lim n b. Avšk podle je lim n b lim lim n lim n, z čehož plyne lim n. 9
20 .3.9 Vět o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost { n } neklesjící shor ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n sup{ n : n N}. Je-li posloupnost { n } nerostoucí zdol ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n inf{ n : n N}. Je-li monotonní posloupnost { n } ohrničená, pk je konvergentní. Buď { n } neklesjící shor ohrničená posloupnost. Podle..7R4) existuje sup{ n : n N} R. Buď ε > libovolné. Pk ε < podle..6s ) existuje n { n } tkové, že n > ε. Poněvdž { n } je neklesjící, je n > ε pro kždé n n. Tedy pro n n je ε < n < + ε, neboli lim n. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je důsledkem prvního druhého..3. Příkld { Posloupnost + ) n } je rostoucí konvergentní. n Znčíme lim + n) n e, jest e ) l S využitím binomické věty vzthu n + < l n, neboli l n + > l pro všechn n, l N dostneme: n + ) n+ n+ ) n n + n + k n + ) k > ) n + k n + ) k > k n k n k k k n + )nn ) n k + ) k! nn ) n k + ) k! n + ) k n + ) k n n n k! n + n + n k + n + k n ) ) k ) k! n + n + n + n k n k n k n k k! k! n ) n ) n n n n n k + n n )n ) n k + ) k! nn )n ) n k + ) k! k n ) n k n n k k n k > ) n k + ) n n { To znmená, že posloupnost + ) n } je rostoucí. n Položme n + n) n+. Pk n s využitím nerovnosti + x) m + mx pro x, m N viz..3.8) dostneme: ) n + n+ n n+ + n n + n+ + ) n+ n n + ) n+ n+ n n+ n n + n+ ) n+ n nn + ) n + n ) n+ + n + n + n + n + ) n n +. nn + ) n + n
21 Tedy n n+, posloupnost { n } je nerostoucí, zdol ohrničená nulou. Podle.3.9 je konvergentní. Dále podle pltí lim + ) tedy podle existuje n lim + n) n + ) n+ lim + ) n+ n n lim + ) lim + ) lim + n+. n) n n.3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n stručněji lim n, n ) n jestliže ke kždému h R existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n > h. Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n stručněji lim n, n n ) jestliže ke kždému h R existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n < h. Má-li posloupnost { n } nevlstní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost { n } limitu ni nevlstní limitu, řekneme, že je oscilující. Nhrdíme-li v tvrzeních.3.3,.3.5.,.3.7 slovo limit slovem nevlstní limit, zůstnou tto tvrzení v pltnosti..3. Poznámky. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > resp. n <, resp. n ), pk lim resp. lim, resp. lim n n n ). Buď h > libovolné. Poněvdž lim n, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n < h. Pro n n mx{n, n } pltí > h, tedy lim. n n n Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je jejich důsledkem.. Nechť lim n, resp. lim n ) nechť posloupnost {b n } je zdol resp. shor) ohrničená. Pk lim n + b n ) resp. lim n + b n ) ). Existuje k R, že b n > k pro kždé n N. Buď h R libovolné. Poněvdž lim n, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > h k. Tedy pro n n je n + b n > h k + k h, což znmená lim n + b n ). Druhé tvrzení se dokáže nlogicky. 3. Nechť lim n nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > tková, že pro n n je b n > δ resp. b n < δ). Pk lim n b n resp. lim n b n ). Nechť lim n nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > tková, že pro n n je b n > δ resp. b n < δ). Pk lim n b n resp. lim n b n ). Buď h R libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n je n > h δ. Pro n n mx{n, n } pltí n b n > h δ δ h, což znmená lim nb n. Zbývjící tvrzení se dokáží nlogicky. Předpokld { } b n > δ pro n n nelze zeslbit n b n > pro n n. Npříkld pro { n } {n}, {b n } n je podle lim n b n lim n. 4. Nechť lim n {b n } je ohrničená posloupnost. Pk lim n lim b n n.
22 Buď ε > libovolné. Existuje n N, že pro n n je n > ε, tedy n n n < ε. Druhé tvrzení nyní plyne z Je-li posloupnost { n } neklesjící resp. nerostoucí) není ohrničená shor resp. zdol), pk je určitě divergentní lim n resp. lim n ). Buď h R libovolné. Poněvdž { n } není ohrničená shor, existuje n N tkové, že n > h. Poněvdž { n } je neklesjící, pro n n je n n > h, tedy lim n. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky..3.3 Definice Nechť { n } je posloupnost {n k } k je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost { n k } k se nzývá vybrná z posloupnosti { n }. Npříkld { n } {, 4, 6,... }, { n } {, 4, 9,... }, { n } nm { m, m+, m+,... } jsou posloupnosti vybrné z { n }. Poznámk: Sndno ověříme, že posloupnost { n } je rostoucí, klesjící, nerostoucí, neklesjící, ohrničená shor, ohrničená zdol, ohrničená, stcionární právě tehdy, když kždá posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n } má stejnou vlstnost..3.4 Vět lim n R právě tehdy, když pro kždou posloupnost { nk } n k vybrnou z posloupnosti { n} pltí lim n k. k Nechť R buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že n < ε pro kždé n n. Poněvdž {n k } k je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k N tkové, že n k n n k n k pro kždé k k. Tedy pro kždé k k je nk < ε, což znmená lim. Pro nebo dokážeme tvrzení nlogicky. je triviální. Je-li lim k n k pro kždou {n k } k, pltí to zejmén pro n k k. k n k.3.5 Definice Číslo R nzveme hromdným bodem posloupnosti { n }, jestliže ke kždému n N kždému ε > existuje n n tkové, že n < ε. je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m N tkových, že m < ε pro kždé ε >. Npříkld posloupnost { ) n } {,,,,,... } má dv hromdné body..3.6 Vět Číslo R je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n }, která konverguje k číslu.
23 Nechť je hromdným bodem posloupnosti { n }. K ε, n existuje n N, n tkové, že n <. K ε k n + N existuje n N, n > n tkové, že n <. K ε 3 3 k n + N existuje n 3 N, n 3 > n tkové, že n3 < 3. Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } tkových, že nk < k. k, ke kždému ε > existuje k N tkové, že k k < ε pro kždé k k. Poněvdž lim k Tedy pro k k pltí nk < k < ε, což znmená lim k n k. Jestliže existuje { nk } tková, že lim n k, pk ke kždému ε > existuje k N tkové, že pro kždé k k k tedy pro nekonečně mnoho indexů k pltí nk < ε, což znmená, že je hromdným bodem posloupnosti { n }. Z.3.4 plyne: Je-li lim n R, pk je jediným hromdným bodem posloupnosti { n }..3.7 Lemm Buď { n } posloupnost M množin hromdných bodů této posloupnosti. Nechť M. Je-li M shor resp. zdol) ohrničená, pk existuje mx M resp. min M). Podle..7R4) existuje sup M. Buď ε > libovolné. Pk ε < podle..6s ) existuje hromdný bod m M tkový, že m > ε. Tedy ε m + ε >. Dále m ε m m + ε) ε, m + ε m + m + ε) + + ε + ε, neboť sup M m. Odtud plyne, že m ε, m + ε ) ε, + ε). Podle definice hromdného bodu leží v m ε, m + ε ) nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, tedy i v ε, + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, což znmená, že je hromdný bod posloupnosti { n }, M tedy podle..6.4 mx M. Druhá část tvrzení se dokáže nlogicky..3.8 Vět Bolzno [78 848], Weierstrss [85 897]) Kždá ohrničená posloupnost má lespoň jeden hromdný bod. Buď { n } ohrničená posloupnost, h n H pro kždé n N. Položme M k { n : n > k}. M k, M k je shor ohrničená H je její horní závor). Existuje tedy b k sup M k. Zřejmě b k h pro kždé k N poněvdž M k M k+, pltí b k b k+. Tedy posloupnost {b k } k je nerostoucí zdol ohrničená. Podle.3.9 je {b k} k konvergentní, lim b k b. k Ukážeme, že b je hromdný bod posloupnosti { n }. Buď ε > libovolné. Existuje k N, že pro kždé k k jest b k b < ε, neboli b k < b + ε. Pro k k je tké b k sup{ n : n k} k. Celkem k b k < b + ε. Připusťme, že b není hromdný bod posloupnosti { n }. Pk v intervlu b ε, b + ε) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znmená, že existuje n k tkové, že pro k n je k b ε. Tedy i b k sup{ n : n k} b ε. Podle.3.5. je b lim b k b ε, což je spor. k.3.9 Důsledky. Z kždé ohrničené posloupnosti lze vybrt posloupnost konvergentní. plyne z Je-li množin hromdných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohrničená. 3
24 .3. Definice Buď { n } posloupnost M množin jejích hromdných bodů. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n lim sup n mx M, je-li n { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n lim inf n min M. Není-li { n } ohrničená shor, kldeme n lim sup n, není-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n lim inf n, je-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim sup n lim inf n. Není-li { n } ohrničená shor ni zdol, kldeme lim sup n, lim inf n. Číslo lim sup n se nzývá limes superior posloupnosti { n }, číslo lim inf n se nzývá limes inferior posloupnosti { n }. Stručně: lim sup n je největší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená shor, lim inf n je nejmenší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená zdol..3.7 ukzuje, že definice je korektní. Anlogickou úvhou jko v důkzu věty.3.8 lze ukázt, že lim sup n lim k sup{ n : n > k}), lim inf n lim k inf{ n : n > k}). Zřejmě pltí: lim inf n lim sup n. lim inf n lim sup n právě tehdy, když existuje vlstní nebo nevlstní limit lim n..3. Definice Posloupnost { n } se nzývá cuchyovská, jestliže ke kždému ε R, ε > existuje n N tkové, že pro kždé n n kždé m n pltí m n < ε..3. Vět Cuchyovo Bolznovo kriterium konvergence) Posloupnost { n } je konvergentní právě tehdy, když je cuchyovská. Nechť { n } je konvergentní, lim n. Buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε pro m n je m < ε. Tedy pro n n m n pltí m n m + n m + n < ε + ε ε. Nechť { n } je cuchyovská. K číslu existuje ñ tkové, že pro n ñ pltí n ñ <, tedy ñ < n < ñ +. Položme h min{,,..., ñ, ñ }, H mx{,,..., ñ, ñ + }. Pk pro kždé n N je h n H, tedy { n } je ohrničená podle.3.9. existuje vybrná posloupnost { nk } k tková, že lim k n k R. Buď ε > libovolné. K ε existuje k N tkové, že pro kždé k k je nk < ε. Součsně existuje n N tkové, že pro m, n n je m n < ε. Buď n n libovolné. Zvolme k k tkové, že n k n. Pk n n nk + nk n nk + nk < ε + ε ε, tedy lim n. 4
25 .4 Diferenční sumční počet.4. Definice Buď { n } posloupnost. Posloupnost { n } jejíž členy jsou dány vzthem n n+ n nzýváme první) diference vpřed) posloupnosti { n }. Zřejmě pltí: Posloupnost { n } je rostoucí klesjící) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti { n } jsou kldné záporné)..4. Definice Řekneme, že k N je uzel posloupnosti { n }, jestliže k nebo k k <..4.3 Vět Buď { n } posloupnost, k N. Jestliže k > k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }; jestliže k < k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }. Nechť k > k, k > k+. Pk k k+ k <, k k k >, tedy k ) k ) <. Nechť k > k, k k+. Pk k k+ k. Anlogicky lze ukázt pltnost druhého tvrzení..4.4 Vět Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R. Pk pltí. c n ) c n,. n + b n ) n + b n, 3. n b n ) n b n, 4. n b n ) n )b n+ + n b n ) n )b n + n+ b n ), ) n 5. Pokud b n b n+, pk n)b n n b n ). b n b n+. c n ) c n+ c n c n+ n ) c n. b n. n + b n ) n+ + b n+ ) n + b n ) n+ n ) + b n+ b n ) n + b n. 3. Plyne z.. 4. Pltí n b n ) n+ b n+ n b n n+ b n+ n b n+ + n b n+ n b n n+ n )b n+ + n b n+ b n ) n )b n + n+ b n ), tkže první vzth pltí. Druhý plyne z prvního z komuttivity násobení. ) 5. b n b n+ b n. b n b n+ b n ) b n b n+ b n b n+ n Podle 4. nyní je ) n + n n b n n n)b n n b n ). b n+ b n+ b n b n+ b n b n+ b n b n 5
26 .4.5 Definice Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Sumu členů posloupnosti { n } v mezích od m do k definujeme vzthem k i m + m+ + + k..4.6 Vět im Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R, m, k N, m k. Pk k c i c im k i ± b i ) im k i, im k i ± im Plyne přímo z distributivního socitivního zákon..4.7 Vět k b i. Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Oznčme [ n ] k nm k m. Pk pltí k im i [ i ] k+ im. k n m+ m ) + m+ m+ ) + + k k ) + k+ k ) k+ m. im Vět ukzuje, že diference sumce jsou v jistém smyslu inversní operátory..4.8 Vět Sumce per prtes ) Buďte { n }, {b n } posloupnosti, m, k N, m k. Pk pltí Ř.: Podle pltí k im k [ n b n ] k+ nm i b i ) im i b i [ n b n ] k+ nm im k i )b i+. im k i )b i+ + i b i ) im Příkld: Njděte součet n. n i i n i i + ) i) i n + ) 3 n 3 + 3n + 3n k i )b i+ + im n i i [ i 3] n+ n i i ) i + ) i i n i + ) i ) i + ) n 3 + 3n + 3n i n i + 3i + ) n 3 + 3n + 3n i n 3 + 3n nn + ) + 3n n 3 6 n i i i k i b i. im n i + )i + ) i n n n 3 i i i n3 + 6n + 4n 3n 3n i n i. i
27 Odtud n i i n3 + 3n + n 6 nn + )n + ) Vět Sztolz [84 93]). Nechť { n } je posloupnost tková, že lim n {b n } je ryze monotonní posloupnost tková, n že lim b n n. Jestliže lim c R n, pk tké lim c. n n b n n b n. Nechť { n } je posloupnost {b n } je neohrničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n tké lim c. n b n. Nechť pro určitost je {b n } klesjící. n c R. Buď ε > libovolné. Existuje n N tkové, že pro kždé k N, k n pltí poněvdž b k+ < b k, pltí c ε < k+ k b k+ b k k k+ b k b k+ < c + ε, c ε)b k b k+ ) < k k+ < c + ε)b k b k+ ). Tto nerovnost pltí pro kždé k n, tedy pro kždé m, n N, m > n > n pltí: c ε)b n b n+ ) < n n+ < c + ε)b n b n+ ) c ε)b n+ b n+ ) < n+ n+ < c + ε)b n+ b n+ ).. c ε)b m b m ) < m m < c + ε)b m b m ). Seštením těchto nerovností dostneme c ε)b n b m ) < n m < c + ε)b n b m ). Podle je lim c ε)b n b m ) c ε)b n lim b m) c ε)b n. m m Podobně lim c + ε)b n b m ) c + ε)b n, lim n m ) n. Tedy podle.3.5. je m m c ε)b n n c + ε)b n. Poněvdž {b n } je klesjící lim n b n, je b n > pro kždé n N tedy c ε n b n c + ε. n Tto nerovnost pltí pro kždé n > n, což znmená, že lim c. n b n c. Buď K R libovolné. Existuje n N tkové, že pro kždé k N, k n pltí k+ k b k+ b k k k+ b k b k+ > K. Odtud pro kždé m, n N, m > n > n dostneme: k k+ > Kb k b k+ ) / m kn n m > Kb n b m ) / lim n Kb n / b n n K, b n 7 m n b n c R, pk
28 n což znmená, že lim. n b n c. Anlogicky jko předchozí přípd. Je-li {b n } rostoucí, provedeme důkz nlogicky.. Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α, α,..., α k reálná čísl β, β,..., β k kldná reálná čísl, m, M R tková, že pro kždé i {,,..., k} pltí m < α i β i < M, pk Důkz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < α β < M je splněno triviálně. m < α + α + + α k β + β + + β k < M. Z indukčního předpokldu m < α + α + + α k β + β + + β k z předpokldu tvrzení < M, neboli mβ + β + + β k ) < α + α + + α k < Mβ + β + + β k ) dostneme sečtením dokzovnou nerovnost. mβ k < α k < Mβ k c R. Buď ε > libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n pltí c ε < n+ n b n+ b n < c + ε. Poněvdž {b n } je podle předpokldu neohrničená rostoucí, lze bez újmy n obecnosti předpokládt b n. Položme α n+ n, α n+ n+,..., α k n n, β b n+ b n, β b n+ b n+,..., β k b n b n. Podle pomocného tvrzení je c ε < n n < c + ε b n b n, neboli n n c b n b n < ε. Dále pltí n c b n n n + n c b n b n n n b n b n + n c b n b n b n b n ) n n bn b n c + b n b n c + n c b n b n b n b n b n ) n n bn b n c + b n b n )c + n cb n b n b n b n b n ) n n c b ) n + n cb n b n b n b n b n n n c b n b n b n + n cb n. b n Poněvdž podle je lim pro n > n je b n n b n b n n N, n > n tkové, že pro n n pltí b n b n b n b n. 8 b n b n, neboli, tk existuje
29 n cb n Poněvdž lim n b n, existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 pltí n cb n b n < ε. Tedy pro n n mx{n, n, n 3 } pltí n c b n < ε + ε ε, n což znmená, že lim c. n b n c. Buďte h R, ε > libovolná čísl. Poněvdž lim n n+ n b n+ b n neboli vzhledem k tomu, že b k+ b k >, existuje n N tkové, že pro k n je k+ k b k+ b k > h + ε), k+ k > h + ε)b k+ b k ). Sečtením těchto nerovnic pro k od n do n dostneme n > h + ε) b n b n b n b n Poněvdž podle je lim n b n pltí b n b n existuje n 3 N, že pro n n 3 pltí Tedy pro n n mx{n, n, n 3 } pltí n což znmená, že lim. n b n c. Anlogicky jko předchozí přípd. n n > h + ε)b n b n ) ) + n. b n n lim, existuje n N, že pro n n n b n <, neboli b n > b n n b n > ε. n b n > h + ε) ε h, Poznámky: Předpokld o ryzí monotonii posloupnosti {b n } v první části věty obecně nelze vynecht. Je-li npříkld n n b n )n, pk lim n+ n lim n b n+ b n n b n n ) n n lim n n n lim b n, n n n+ n ) n+ n+ + n ) lim n n n )n+ n + n + lim n ) n posloupnost { ) n } {,,,,,,... } je oscilující. 9 ) n podle.3..4, všk n +
30 Jestliže neexistuje vlstní ni nevlstní lim n nelze nic tvrdit o existenci lim. n b n n n+ n b n+ b n osttní předpokldy Sztolzovy věty jsou splněny, Je-li npříkld n )n n, b n, pk lim n n, {b n } je klesjící lim b n. Přitom n n posloupnost n b n ) n+ n + ) )n n n + n ) n+ n + n + ) n n + ) n n + ) nn + ) ) n n + n + n + n { } ) n n + n + n { 5 + n, 3 6, 5, 4, 6 3, 85 4,... } nemá limitu. Ale n lim lim n b n n ) n n n ) n lim n n. { } n!) Příkld: Rozhodněte, zd posloupnost je konvergentní pokud no, určete její limitu. n)! Ř.: Oznčme n n!) n)!. Pk pro kždé n N pltí n n+ n n + )!) n)! n + ))! n!) ) <, n + ) n + )n + ) n + n + ) n + + 4n + ) 4 + 8n + ) neboli n+ < n. To znmená, že { n } je klesjící, zdol ohrničená posloupnost tedy podle.3.9 existuje lim n n R. Posloupnost {n)!} je rostoucí neohrničená, tedy n!) lim n n)! n!) lim n n)! n + )!) n!) lim n n + )! n)! lim n neboli 4. Odtud..5 Elementární funkce A. Polynomy.5. Definice n + n 4n + 6n + lim n n!) n + ) ) lim n n)!) n + )n + ) ) + n n + n 4, Buďte n N {},,,..., n R, n. Polynom rcionální funkce celistvá) je funkce tvru P x) n x n + n x n + + x +. Číslo n se nzývá stupeň polynomu, znčíme n st P. Čísl,,..., n se nzývjí koeficienty polynomu. Je-li st P, polynom se nzývá lineární. Je-li st P, polynom se nzývá kvdrtický. Je-li st P 3, polynom se nzývá kubický. 3
31 Je-li st P 4, polynom se nzývá bikvdrtický. Číslo nzveme nulovým polynomem. Nepřiřzujeme mu stupeň., ), st P je lichý Dom P R, Im P [, ), st P je sudý, n >., ], st P je sudý, n < Komplexní čísl: C { + ib :, b R}, kde i + ib ) + + ib ) + ) + ib + b ) + ib ) + ib ) b b ) + i b + b ) Je-li α + ib C, β C pk ᾱ ib číslo komplexně sdružené konjugovné) α αᾱ + b bsolutní hodnot modul) komplexního čísl α + β ᾱ + β αβ ᾱ β α n ᾱ n pro n N α R b α ᾱ Množin komplexních čísel s opercemi +, splňuje R) R9) z..7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádt..5. Definice Číslo α C se nzývá kořen nulový bod) polynomu P, jestliže pltí P α). Je-li α kořenem polynomu P, pk lineární polynom x α nzveme kořenovým fktorem polynomu P..5.3 Zákldní vět lgebry Kždý polynom stupně n s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tto vět je známá od 7. století. První chybný) pokus o důkz publikovl d Alembert roku 746, větu dokázl Guss roku Vět Buď P x) polynom, st P n. Číslo α C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q n tkový, že P x) x α)qx). Nechť P x) n x n + n x n + + x +, α je kořenem P. Pk P x) P x) P x) P α) n x n + n x n + + x + n α n + n α n + + α + ) n x n α n ) + n x n α n ) + + x α) + ). Pro kždé k N pltí x k α k ) : x α) x k + x k α + x k 3 α + + xα k + α k. Tedy P x) n x α)x n +x n α+ +α n )+ n x α)x n +x n 3 α+ +α n )+ + x α). Oznčíme Qx) n x n + x n α + + α n ) + n x n + x n 3 α + + α n ) + + dostneme tvrzení. je zřejmé. P x), st P n. Podle.5.3 má P kořen α, tedy P x) x α )Q x). Je-li st Q, pk Q x) x α )Q x), tedy P x) x α )x α )Q x). Anlogicky pokrčujeme po n krocích dostneme P x) n x α )x α ) x α n ). Může se stát, že α α α k, k n. Pk x α )x α ) x α k ) x α ) k. Celkem P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km, přičemž k, k,..., k m N, k + k + + k m n. 3
32 .5.5 Definice Číslo α C se nzývá k-násobný kořen polynomu P x), jestliže P x) x α) k Qx), kde Qx) je polynom nemjící kořen α. -násobný kořen se nzývá jednoduchý.).5.6 Vět o rozkldu polynomu n kořenové fktory) Nechť P x) n x n + n x n + + x + je polynom, st P n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho nvzájem různé kořeny, přičemž α je k -násobný, α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Pk P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km, k, k,..., k m N, k + k + + k m n. Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát..5.7 Příkld P x) x 5 + x 4 + x 3 x x x 3 x + x + ) x + x + ) x 3 )x + x + ) )) )) x )x + x + )x + x + ) x ) x + i 3 x i Vět Nechť polynom P x) n x n + n x n + + x + má reálné koeficienty komplexní kořen α. Pk má tké komplexně sdružený kořen ᾱ násobnosti kořenů α ᾱ jsou stejné. Pro x R je x x tedy P x) ā n x n + ā n x n + + ā n x n + n x n + + P x). Podle.5.6 je P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km tedy P x) n x ᾱ ) k x ᾱ ) k x ᾱ m ) km. Z rovnosti P x) P x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nzývá reálný polynom..5.9 Vět o rozkldu reálného polynomu v reálném oboru n ireducibilní polynomy) Buď P x) n x n + n x n + + x + reálný polynom, st P n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Nechť ± ib, ± ib,..., r ± ib r jsou všechny jeho imginární kořeny, přičemž ± ib je l -násobný,..., r ± ib r je l r násobný. Pk je P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km [x ) + b ] l [x ) + b ] l [x r ) + b r ] lr, k + k + + k m + l + l + + l r n. Podle v rozkldu polynomy P x) vystupuje součin fktorů x j + ib j )) lj x j ib j )) lj x j + ib j )x j ib j )x + j + ib j ) j ib j )) lj x j x + j + b j + i jb j j b j )) lj x j x + j + b j )lj [x j ) + b j ]lj. Fktory x j ) +b j se někdy nhrzují kvdrtickým polynomem x +p j x+q j se záporným diskriminntem p j 4q j..5. Příkld Viz též.5.7. x 5 + x 4 + x 3 x x x ) x + i 3 nebo x 5 + x 4 + x 3 x x x )x + x + ). )) x i 3 )) x ) x + ) )
33 B. Rcionální funkce.5. Definice Buďte P x), Qx) nenulové polynomy. Funkce Rx) P x) se nzývá rcionální lomená funkce. Qx) Je-li st P < st Q, funkce R se nzývá ryze lomená; je-li st P st Q, funkce R se nzývá neryze lomená. Dom R R \ {α, α,..., α k }, kde α, α,..., α k jsou všechny reálné kořeny polynomu Qx). Je-li Rx) neryze lomená, lze provést nznčené dělení. Výsledkem je polynom Sx) zbytek polynom T x), který je buď nulový nebo st T < st Q. Tedy Rx) Sx) nebo Rx) Sx) + T x). Odtud plyne, že pltí Qx).5. Poznámk Neryze lomená funkce je buď polynomem nebo ji lze vyjádřit jko součet polynomu ryze lomené funkce..5.3 Lemm Buď Rx) P x) ryze lomená rcionální funkce nechť α je reálný k-násobný kořen polynomu Qx), tj. Qx) Qx) x α) k Q x), Q α). Pk existují reálná čísl,,..., k tková, že pro všechn x Dom R pltí P x) Rx) x α) k Q x) k x α) k + k x α) k + + x α) + x α + P x) Q x), kde P x) je buď nulový polynom, nebo st P < st Q. Pro kždé R je P x) x α) k Q x) x α) k + P x) Q x) x α) k Q x). Položme k P α) Q α). Pk P α) kq α). Je-li P x) k Q x) nulový polynom, tvrzení pltí. Nechť P x) k Q x) není nulový. Pk α je jeho kořen podle.5.4 je P x) α k Q x) x α)p k x), P x) x α) k Q x) k x α) k + P k x) x α) k Q x). P k x) Stejný postup plikujeme n rcionální funkci x α) k po k krocích dostneme tvrzení. Q x).5.4 Lemm Buď Rx) P x) ryze lomená rcionální funkce nechť α + ib je imginární r-násobný kořen polynomu Qx) Qx), tj. Qx) [x ) + b ] r Q x), Q + ib). Pk existují reálná čísl m, n, m, n,..., m r, n r, tková, že pro všechn x Dom R pltí Rx) P x) [x ) + b ] r Q x) m r x + n r [x ) + b ] r + m r x + n r [x ) + b ] r + + m x + n [x ) + b ] + m x + n x ) + b + P x) Q x), kde P x) je buď nulový polynom, nebo st P < st Q. 33
I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceZ aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005
Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
VíceFI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017
FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceObsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12
Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceMatematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček
Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
VíceMasarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık
Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Mtemtik B distnční studijní opor Miloslv Mikuĺık Luboš Buer Brno 2005 Tento projekt byl relizován z finnční podpory Evropské unie v rámci progrmu SOCRATES
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
Vícerovnice 8.1 Úvod Kapitola 8
Kpitol 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 8.1 Úvod Všechny integrály v této kpitole jsou KS-integrály, jejichž definice je rozšířen ve smyslu odstvce 6.8 n mticové funkce (tj. funkce zobrzující
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
VíceNerovnosti a nerovnice
Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceVěta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
Více