INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL"

Transkript

1 INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci využit, to je souvislost s křivkovým integrálem jeho nezávislost n cestě. Pokud nebude uvedeno jink, uzvřená křivk je orientován kldně. Nejdříve je nutné vysvětlit, jk bude vypdt odpovídjící křivkový integrál. Necht f je funkce n otevřené množině G. Pole jí odpovídjící je komplexní pole f, if). Potřebuje se vyjádřit křivkový integrál 2.druhu tohoto pole po křivce v G vyjádřené prmetricky funkcí Φ =, ψ) : [, b] G: f dx + if dy) = = f x, y) + if 2 x, y) ) dx + if x, y) f 2 x, y) ) dy f x, y) dx f 2 x, y) dy + i f 2 x, y) dx + f x, y) dy b f t), ψt)) t) f 2 t), ψt))ψ t) ) dt + = b + i f2 t), ψt)) t) + f t), ψt))ψ t) ) dt b = f t), ψt)) + if 2 t), ψt)) ) t) dt + b + f t), ψt)) + if 2 t), ψt)) ) iψ t) dt b b = ft) + iψt)) t) + iψ t)) dt = fφt))φ t) dt. DEFINIE. Integrály v předchozí rovnosti se znčí fz) dz nzývjí se integrál funkce f po křivce nebo, pokud křivk není podsttná, křivkový integrál funkce f. Tedy b fz) dz = fφt))φ t) dt. Připomeňte si, že křivkový integrál prvního druhu funkce f po téže křivce je roven b f ds = ft), ψt)) 2 t) + ψ 2 t) dt = Smotný výpočet křivkového integrálu je podle vzorečku typu kuchřk sndný. b fz) dz = fφt))φ t) dt b fφt)) Φ t) dt. Klsická záležitost bude nzávislost tohoto integrálu n zvolené prmetrizci dné křivky.

2 Protože definice fz) dz je vlstně známý křivkový integrál 2.druhu, je sndné přepst pro tento speciální přípd jeho vlstnosti: VĚTA. Necht f, g jsou funkce definovné n příslušných orientovných křivkách,, 2. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny. Čtvrtá vlstnost pltí, jkmile má smysl levá strn.. αfz) + βgz)) dz = α fz) dz + β gz) dz; 2. + fz) dz = 2 fz) dz + fz) dz; 2 3. fz) dz = fz) dz; 4. fz) dz fz) ds L) mx z fz), kde L) je délk křivky. Poznámky Příkldy Otázky PRIMITIVNÍ FUNKE Bude potřeb z teorie pole převést ještě jeden pojem, to pojem potenciální funkce. Dostne se pojem primitivní funkce, který je sice dosttečně jsný, le je lépe ho definovt i pro komplexní obor. DEFINIE. Funkce F se nzývá primitivní k funkci f n otevřené množině G, jestliže pro kždé z G pltí F z) = fz). VĚTA. Necht n oblsti U má funkce f derivci f. Pk pltí f z) dz = fβ) fα) pro libovolnou křivku jdoucí z bodu α do bodu β. Nyní je již možné uvést druhou část chrkterizce vektorového pole. Protože vnitřky uzvřených křivek ležících v G musí tké ptřit do G, je nutné předpokládt, že G je jednoduše souvislá. VĚTA. Následující podmínky jsou ekvivlentní pro funkci f mjící spojité prciální derivce.řádu svých složek n jednoduše souvislé oblsti G:. f je holomorfní n G; 2. integrály z f po křivkách ležících v G nezávisí n cestě tj. závisí jen n počátečním koncovém bodě křivky); 3. kždý integrál z f po jednoduché uzvřené křivce v G je nulový; 4. f má n G primitivní funkci F. Poznámky 2 Otázky 2 2 AUHYOVA VĚTA Předchozí větu přeformulujeme. Je to velmi důležité tvrzení proto bude zformulováno znovu z obecných předpokldů: 2

3 VĚTA. uchy) Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku. Potom je fz) dz = 0. Poznmenejme jk již bylo zmíněno v Poznámkách 2), je možné dokázt Greenovu větu bez předpokldu spojitosti použitých prciálních derivcí, nebo je možné dokázt přímo, že v implikci ) 3) není tto spojitost potřeb. Použije-li se obecná Greenov vět i pro vícenásobně souvislé oblsti, dostne se následující tvrzení: VĚTA. uchy) Necht,..., n jsou jednoduché uzvřené kldně orientovné křivky, přičemž,..., n leží uvnitř vnitřky křivek,..., n jsou nvzájem disjunktní. Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku kromě vnitřků křivek,..., n. Potom je n fz) dz = fz) dz. i= i uchyov vět se dostne pro n = 0. Tvrzení pro n = je velmi důležité, je vhodné ho zformulovt jko důsledek. DŮSLEDEK. Jestliže jednoduchá uzvřená křivk obshuje ve svém vnitřku jednoduchou uzvřenou křivku D obě jsou kldně orientovné, pk fz) dz = D fz) dz pro kždou funkci f holomorfní n obou křivkách mezi nimi. Tohoto důsledku se používá pro nhrzení komplikovné křivky jednodušší křivkou D, npř. kružnicí. Následující důležité tvrzení tkovéto náhrdy v důkzu využívá. Je to tzv. uchyův vzorec, z kterého vyplývá, že hodnoty holomorfní funkce uvnitř křivky jsou určeny hodnotmi n křivce. VĚTA. uchyův vzorec) Necht je jednoduchá uzvřená křivk f je holomorfní uvnitř n. Potom pro kždý bod w ležící ve vnitřku pltí fz) dz = fw). 2πi z w Vzoreček fz) dz = fw) 2πi z w počítá hodnotu funkce ve vnitřním bodě integrcí přes obvod množiny. Z pohledu diferenciálních rovnic zde uchyovy Riemnnovy podmínky) je to v pořádku. Řešení existuje je jednoznčné. Poznámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 3 DŮSLEDKY AUHYOVA VZORE uchyův vzorec má mnoho důsledků. Nejdříve je vhodné si uvědomit, že lze používt větu z kpitoly o integrálech s prmetrem, která uvádí podmínky pro záměnu derivce integrálu: LEMMA. Necht fw, z) je komplexní funkce dvou komplexních proměnných, která je je spojitá ve druhé proměnné n jednoduché uzvřené křivce, holomorfní v první proměnné v oblsti G má v G spojité prciální derivce podle složek první proměnné. Potom funkce F w) = fw, z) dz je holomorfní v G pltí F w) = f w w, z) dz. Nyní slíbené důsledky uchyov vzorce. DŮSLEDEK. 3

4 . Holomorfní funkce v oblsti G má v G derivce všech řádů, pro které pltí vzorec f n) w) = n! fz) dz, 2πi z w) n+ kde je libovolná jednoduchá uzvřená křivk ležící i s vnitřkem v G bod w leží ve vnitřku. 2. Je-li f holomorfní v kruhu z w r, pk f n) w) n! rn mx{ fz); z w = r}. 3. Liouville) Kždá omezená celistvá funkce je konstntní. 4. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) < mx{ fz) ; z }. Důsledkem předchozího prvního tvrzení je jednk fkt, že holomorfní funkce má spojité prciální derivce svých složek všech řádů), že hrmonické funkce mjí derivce všech řádů, že funkce mjící primitivní funkci je holomorfní. Tto poslední vlstnost dává již dříve slibovnou Morerovu větu bez předpokldu spojitosti prciálních derivcí): VĚTA. Morer) Necht c fz) dz = 0 pro kždou jednoduchou uzvřenou křivku ležící i s vnitřkem v otevřené množině G. Pk je f holomorfní. Liouvillov vět má jko jednoduchý důsledek zákldní větu lgebry: VĚTA. Kždý polynom P stupně spoň má nulový bod, tj. existuje z tk, že P z) = 0. Poznámky 4 Příkldy 4 Otázky STANDARDY z kpitoly INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL DEFINIE. Zápisem b fz) dz = fφt))φ t) dt. definujeme integrál funkce f po křivce prmetrizovné Φ nebo, pokud křivk není podsttná, nzýváme jej křivkový integrál funkce f. VĚTA. Necht f, g jsou funkce definovné n příslušných orientovných křivkách,, 2. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny. Čtvrtá vlstnost pltí, jkmile má smysl levá strn.. αfz) + βgz)) dz = α fz) dz + β gz) dz; 2. + fz) dz = 2 fz) dz + fz) dz; 2 3. fz) dz = fz) dz; 4

5 4. fz) dz fz) ds L) mx z fz), kde L) je délk křivky. PRIMITIVNÍ FUNKE DEFINIE. Funkce F se nzývá primitivní k funkci f n otevřené množině G, jestliže pro kždé z G pltí F z) = fz). VĚTA. Necht n oblsti U má funkce f derivci f. Pk pltí f z) dz = fβ) fα) pro libovolnou křivku jdoucí z bodu α do bodu β. VĚTA. Následující podmínky jsou ekvivlentní pro funkci f mjící spojité prciální derivce.řádu svých složek n jednoduše souvislé oblsti G:. f je holomorfní n G; 2. integrály z f po křivkách ležících v G nezávisí n cestě tj. závisí jen n počátečním koncovém bodě křivky); 3. kždý integrál z f po jednoduché uzvřené křivce v G je nulový; 4. f má n G primitivní funkci F. AUHYOVA VĚTA VĚTA. uchy) Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku. Potom je fz) dz = 0. VĚTA. uchy) Necht,..., n jsou jednoduché uzvřené kldně orientovné křivky, přičemž,..., n leží uvnitř vnitřky křivek,..., n jsou nvzájem disjunktní. Necht f je holomorfní n jednoduché uzvřené křivce n jejím vnitřku kromě vnitřků křivek,..., n. Potom je n fz) dz = fz) dz. i= i DŮSLEDEK. Jestliže jednoduchá uzvřená křivk obshuje ve svém vnitřku jednoduchou uzvřenou křivku D obě jsou kldně orientovné, pk fz) dz = D fz) dz pro kždou funkci f holomorfní n obou křivkách mezi nimi. Tohoto důsledku se používá pro nhrzení komplikovné křivky jednodušší křivkou D, npř. kružnicí. VĚTA. uchyův vzorec) Necht je jednoduchá uzvřená křivk f je holomorfní uvnitř n. Potom pro kždý bod w ležící ve vnitřku pltí fz) dz = fw). 2πi z w Vzoreček fz) 2πi z w dz = fw) 5

6 počítá hodnotu funkce ve vnitřním bodě integrcí přes obvod množiny. DŮSLEDKY AUHYOVA VZORE LEMMA. Necht fw, z) je komplexní funkce dvou komplexních proměnných, která je je spojitá ve druhé proměnné n jednoduché uzvřené křivce, holomorfní v první proměnné v oblsti G má v G spojité prciální derivce podle složek první proměnné. Potom funkce F w) = fw, z) dz je holomorfní v G pltí F w) = f w w, z) dz. Důsledky uchyov vzorce: DŮSLEDEK.. Holomorfní funkce v oblsti G má v G derivce všech řádů, pro které pltí vzorec f n) w) = n! fz) dz, 2πi z w) n+ kde je libovolná jednoduchá uzvřená křivk ležící i s vnitřkem v G bod w leží ve vnitřku. 2. Je-li f holomorfní v kruhu z w r, pk f n) w) n! rn mx{ fz); z w = r}. 3. Liouville) Kždá omezená celistvá funkce je konstntní. 4. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) < mx{ fz) ; z }. Důsledkem předchozího prvního tvrzení je jednk fkt, že holomorfní funkce má spojité prciální derivce svých složek všech řádů), že hrmonické funkce mjí derivce všech řádů, že funkce mjící primitivní funkci je holomorfní. Tto poslední vlstnost dává již dříve slibovnou Morerovu větu bez předpokldu spojitosti prciálních derivcí): VĚTA. Morer) Necht c fz) dz = 0 pro kždou jednoduchou uzvřenou křivku ležící i s vnitřkem v otevřené množině G. Pk je f holomorfní. Liouvillov vět má jko jednoduchý důsledek zákldní větu lgebry: VĚTA. Kždý polynom P stupně spoň má nulový bod, tj. existuje z tk, že P z) = 0. K trdičnímu výkldu uchyovy věty ptří důkz uchyovy věty pro trojúhelník: VĚTA. Necht je funkce f holomorfní n otevřené množině U křivk popisuje obvod trojúhelník T U. Pk fz) dz = 0. Existuje jeden pěkný trikový důkz principu mxim modulu: Při výpočtu integrálu z dz pro křivku neprocházející počátkem můžeme křivku lokálně nhrzovt částmi jednotkové kružnice díky předchozí větě. 6

7 elkem můžeme přetvořit křivku n cestu procházející pouze jednotkovou kružnicí. Tkto integrci převedeme n známý integrál přes jednotkovou kružnici, který je roven 2πi. Tedy vidíme, že výsledek bude roven n-krát 2πi, kde n udává počet oběhů křivky okolo počátku proti směru hodinových ručiček). Obecně počítáme tento počet oběhů křivky cesty, cyklu) okolo dného bodu z 0 jko integrál dz 2πi z z 0 tomuto číslu říkáme index bodu z 0 ke křivce, znčíme indz 0, ). Index je spojitá, celočíselná užitečná funkce. Index vzroste o jedničku, pokud přeskočíme přes křivku zprv dolev. Vlstnost o nbývání mxim bsolutní hodnoty holomorfní funkce f n hrnici je možné použít i n nbývání minim stčí vzít /f. Je-li nekonstntní funkce f holomorfní n uvnitř jednoduché uzvřené křivky nenbývá tm nikde hodnoty 0, pk pro kždý bod w z vnitřku je fw) > min{ fz) ; z }. Příkld. Spočtěte z w)n dz pro n Z, kde je kružnice se středem v bodě w. Řešení. Popis kružnice je w + re it, t [0, 2π], výsledek je 0 pro n, 2πi pro n =. Příkld. Spočtěte pomocí obecné uchyovy věty integrál dz zz 2 + 6), kde se skládá ze dvou kružnic: z = orientovné kldně z = 3 orientovné záporně. Příkld. Pomocí uchyovy věty spočtěte z2 ) dz přes kružnici o středu 0 poloměru 2. Řešení. Zlomek z 2 ) se rozloží: z 2 = 2 z ) z + podle obecné uchyovy věty nyní stčí spočítt integrály zlomků /z ) /z +) přes kružnice z = z + = vyjde 2πi) odečíst je. Příkld. Pomocí derivce uchyov vzorce vypočtěte integrály jsou jednoduché uzvřené křivky obshující 0 ve svém vnitřku): cosh z cos z e z2 z 4 dz, z 3 dz, z 2 dz. Příkld. Funkce /z je holomorfní n \ {0}. Ukžte, že nemá n svém definičním oboru primitivní funkci. Příkld. Ukžte, že dvě primitivní funkce k f n oblsti G se liší o konstntu. Příkld. Spočítejte křivkový integrál kde je kldně orientovný obvod jednotkového kruhu z dz, {z : z < }. Řešení. Budeme integrovt po křivce t) = e it pro t [0, 2π]. 2π z dz = 2π 0 e it ieit dt = i dt = 2πi. 0 7

8 Příkld. Vypočítejte integrál ze z dz, ψ podél křivky ψt) = t + it 3, 0 t, orientovné ve směru vzrůstu prmetru t. Řešení. Můžeme sice postupovt jko dříve, tj. doszením prmetrizce do integrndu, le jednodušší bude použít větu o integrci primitivní funkce. Funkce ze z je holomorfní n, tkže k ní existuje primitivní funkce F. Tu nvíc sndno spočítáme per-prtes. Tedy F z) = z )e z, hledný integrál je roven ze z dz = F ψ)) F ψ0)) = F + i) F 0) ψ = + ie i+ = e sin + ie cos. Příkld. Spočítejte integrál e 2z z + ) 4 dz, kde = {z : z = 3}. Řešení. Oznčme fz) = e 2z, pk podle uchyov integrálního vzorce máme f n ) = n! fz) dz. 2πi z + ) n+ Pro n = 3 je f z) = 8e 2z, podle uvedeného vzorce dostneme vzth 8e 2 = 3! 2πi f ) = 8e 2 e 2z z + ) 4 dz. Odtud již sndno zjistíme, že zdný integrál má hodnotu e 2z z + ) 4 dz = i8 3 πe 2. Příkld. Spočítejte integrál 2xy x 2) dx + x + y 2) dy, kde je uzvřená pozitivně orientovná křivk ohrničující oblst vymezenou funkcemi y = x 2, x = y 2. Řešení. Zbývejme se nejdříve prvním přípdem, tj. y = x 2. Integrál prmetrizujeme: 0 2x)x 2 ) x 2) dx + x + x 2 ) 2) dx 2 ) = Podobně tomu bude pro x = y 2 : 0 2y 2 )y) y 2 ) 2) dy 2 ) + y 2 + y 2) 0 dy = elkový výsledek tedy bude 2xy x 2) dx + x + y 2) dy = = x 3 + x 2 + 2x 5) dx = y 4 2y 5 + 2y 2) dy =

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

1 Integrál komplexní funkce pokračování

1 Integrál komplexní funkce pokračování Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROĚNNÝCH Petr Vodstrčil Jiří Bouchl Tet bl vtvořen v rámci relizce projektu temtik pro inženýr. století (reg. č. CZ..7/../7.), n kterém se společně podílel Vsoká škol báňská

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 Recenzenti: doc Ing Ld Vňtová,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný Mtemtická nlýz pro fyziky II Robert Černý & Miln Pokorný 29. ledn 2017 2 Obsh 8 Číselné řdy 7 8.1 Zákldní pojmy............................. 7 8.2 Řdy s nezápornými členy....................... 12 8.3

Více

Integrál jako funkce meze

Integrál jako funkce meze Část prcovní verze odstvců o následujících témtech z připrvovných skript o integrálním počtu (utoři P.Ř. V.Ž.): Integrál jko funkce meze První druhá zákldní vět integrálního počtu Výpočetní techniky pro

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité): Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Dráhy planet. 28. července 2015

Dráhy planet. 28. července 2015 Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více