Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):

Transkript

1 Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení n větším intervlu Cuchyov úloh: nvíc počáteční podmínky yx y,, y x y,, y n x y,n Cuchyov úloh je jednoznčně řešitelná, jestliže kždá dvě řešení splývjí n některém okolí x Vět Je-li f spojitá funkce n I J I, J intervly, x I, y J, pk Cuchyov úloh y fx, y, yx y má řešení n intervlu I I Je-li nvíc omezená n I J, pk je Cuchyov úloh jednoznčně řešitelná Poznámky fx, y gx hy: stčí spoj g, h, 2 fx, y px y + qx: stčí spoj p, q, x, y gx h y x, y px Lineární diferenciální rovnice řádu x y + x y fx Předpokldy:,, f spojité n intervlu I, n I Cuchyov úloh má pk právě jedno řešení n I D : y y + y je lineární zobrzení n prostoru funkcí diferencovtelných n I Přidružená homogenní rovnice: x y + x y Množin řešení je jádro lineárního zobrzení D Obecné řešení: yx ỹx + ŷx, kde ỹ je obecné řešení přidružené homogenní rovnice ŷ je jedno prtikulární řešení původní rovnice Vydělením x dostneme LDR ve tvru p, q spojité: Řešíme seprcí proměnných: y + px y qx Homogenní LDR řádu y + px y yx c e px dx, x I, c R DR řádu se seprovnými proměnými y gx hy Předpokldy: g spojitá n intervlu I, h spojitá n intervlu J hy yx y, x I je stcionární řešení 2 hy y x gx h yx y x h yx dx gx dx dy hy gx dx + c Dopočítt c nebo yx y yx Cuchyov úloh dy x hy gx dx x Obecný postup: Mximální intervly spojitosti g I 2 Stcionární řešení yx y, x I pro hy 3 Mximální intervly spojitosti nenulovosti h J 4 Pro x, y I J, existuje řešení uvnitř I J Nehomogenní LDR řádu y + px y qx Metod vrice konstnty: hledáme prtikulární řešení ve tvru obecného řešení přidružené homogenní rovnice, ve kterém konstntu nhrdíme funkcí ŷx cx e px Dosdíme do rovnice spočítáme cx: c x e px cx e px px + px cx e px qx c x qx e px cx qx e px ŷx e px qx e px Cuchyov úloh pro LDR řádu y + px y qx yx y Obecné řešení přidružené homogenní rovnice seprcí proměnných 2 Prtikulární řešení metodou vrice konstnty, obecné řešení dné LDR 3 Určení konstnty doszením počáteční podmínky

2 Lineární diferenciální rovnice y n + n x y n + + x y + x y fx Vět Jsou li n,,, f spojité funkce n intervlu I, pk Cuchyov úloh má právě jedno řešení n I Homogenní LDR fx n I Vět Množin řešení homogenní LDR řádu n tvoří lineární prostor dimenze n Důkz D : y y n + n y n + + y + je lineární zobrzení, množin řešení je jeho jádro, tj lineární prostor yx y x y n x řešení C úlohy y x y x y n x y, y, y,n n i y,iy i x lineární obl {y x,, y n x} je celý prostor řešení A y x + + A n y n x xx A : A y x + + A n y n x xx A LDR s konstntními koeficienty n y n + n y n + + y + y fx Předpokldy: n, f je spojitá n intervlu Homogenní LDR s konstntními koeficienty Chrkteristická rovnice: n λ n + n λ n + + λ + Vět Je-li λ reálný kořen chrkteristické rovnice násobnosti k, pk funkce e λx, x e λx,, x k e λx jsou řešením příslušné homogenní LDR 2 Je-li α + β j α, β R imginární kořen chrkteristické rovnice násobnosti k, pk funkce e αx cos βx, x e αx cos βx,, x k e αx cos βx, e αx sin βx, x e αx sin βx,, x k e αx sin βx, jsou řešením příslušné homogenní LDR 3 Všechn tto řešení tvoří fundmentální systém řešení funkce y x,, y n x jsou lineárně nezávislé Definice Báze množiny řešení homogenní LDR se nzývá fundmentální systém řešení Vět Nechť y x, y 2 x,, y n x jsou řešení homogenní LDR řádu n n intervlu I Tyto funkce jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když pro kždé x I je následující determinnt Wronského, wronskián nenulový: y x y 2 x y n x y x y 2 x y nx y n x y n 2 x y n n x Důkz Jsou-li funkce závislé, pk některá y i je lineární kombincí osttních, y i je stejnou kombincí derivcí osttních, i-tý sloupec determinntu je kombincí osttních, tj determinnt je nulový pro kždé x I 2 Je-li determinnt nulový v x, pk homogenní soustv rovnic s touto mticí má netriviální řešení A,, A n, A y x + + A n y n x je řešení s nulovými počátečními podmínkmi v x, tj nulové, tj dné funkce jsou závislé Poznámk jedné LDR Vět nepltí, pokud funkce nejsou řešením Nehomogenní LDR Vět Je-li y řešení LDR ỹ řešení přidružené homogenní rovnice, pk y + ỹ je řešení dné LDR 2 Jsou-li y, y 2 řešení LDR, pk y y 2 je řešení přidružené homogenní rovnice 3 Jsou-li y, y 2 řešení pro prvé strny f, f 2, pk y + y 2 je řešení pro prvou strnu f + f 2 princip superpozice Nehomogenní LDR s konstntními koeficienty Hledáme prtikulární řešení Vrice konstnt: ỹx c y x + + c n y n x ŷx c x y x + + c n x y n x ŷ x c x y x + + c nx y n x + c x y x + + c nx y n x }{{} ŷ x c x y x + + c n x y nx + c x y x + + c n x y n }{{ x } ŷ n x c x y n x + + c n x y n n x + c x yn x + + c n x yn n x 2 Metod odhdu pro kvzipolynomiální prvou strnu: Jsou-li P, Q polynomy stupně nejvýše m, α+β j k-násobný kořen chrkteristického polynomu, fx e αx P x cos βx + Qx sin βx, pk existuje prtikulární řešení ve tvru ŷx x k e αx ˆP x cos βx + ˆQx sin βx, kde ˆP, ˆQ jsou polynomy stupně nejvýše m

3 Lplceov trnsformce Definice Lplceovým obrzem funkce f definovné n, je funkce F p ft e pt dt, pokud integrál konverguje pro lespoň jedno p R Znčení: L : ft F p, L {f} F, f F Příkldy e t2 nemá Lplceův obrz L {e t } p, L {} p, p > p > Poznámky F se obvykle uvžuje jko funkce komplexní proměnné pro Re p > p f 2 Někdy se uvžují funkce ft definovné n R, které jsou nulové pro t < místo sin t n, se píše sin t Ht, kde Ht je tzv Hevisideov funkce někdy se bere H 2 : Ht {, t <,, t Vět o lineritě Jsou-li f, g L exponenciálního řádu α,, b R, pk L {f + bg} L {f} + b L {g}, p > α Důkz Přímý důsledek linerity integrálu Vět o derivci obrzu řádu α, F L {f}, pk Je-li f L exponenciálního L {t ft} F p, p > α Důkz náznk F p d dp ft e pt dt d dp ft e pt dt ft t e pt dt t ft e pt dt L {t ft} Příkld L {t n } n! p n+, p > Vět o integrci obrzu Je-li f L exponenciálního ft řádu α, F L {f} existuje-li vlstní lim t + t, pk { } ft L F q dq, p > α t p Poznámk L { ft } t F p, integrční konstnt se určí z podmínky lim p F p Definice Funkce ft definovná n, je předmět stndrdního typu f ptří do třídy L, jestliže: f je po částech spojitá, 2 f je exponenciálního řádu α, tj existují čísl M, α R: ft M e αt, t, Vět Nechť f je předmět stndrdního typu exponenciálního řádu α Pk Lplceův obrz funkce f je definován n α, lim p F p Důkz ft e pt dt ft e pt dt M e αt e pt dt M e p αt dt [ M p α e p αt] M p α pro p > α Vět o substituci [posunu] v obrzu Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f}, R, pk L {e t ft} F p, p > α + Důkz e t ft e t M e αt M e α+t e t ft e pt dt ft e pt dt F p Příkld L {e t sin t} p 2 +, p > Vět o změně měřítk Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f}, >, pk L {ft} p F, p > α Příkldy L {sin t} p 2 +, p > L {cos t} p p 2 +, p > Důkz ft M e αt M e αt ft e pt dt t u dt du fu e p/u du F Příkldy ω L {sin ωt} p 2 + ω 2, p > p L {cos ωt} p 2 + ω 2, p >

4 Zpětná Lplceov trnsformce Vět Jsou-li f, f 2 L exponenciálního řádu α, L {f } L {f 2 } n α,, pk f t f 2 t n, s výjimkou nejvýše spočetně mnoh izolovných bodů Vět Rcionální funkce je Lplceovým obrzem funkce třídy L právě tehdy, když je ryze lomená Pk je obrzem n intervlu α,, kde α je největší reálná část kořenů jmenovtele Důkz : lim p F p : rozkld n součet prciálních zlomků, linerit L {e t } { } p, L e t p { } L {t n e t n! }, L p n+ p n tn e t n! pro kvdrtické členy ve jmenovteli: { } { L p + C p + p 2 + bp + c n L b 2 + C b 2 } [p + b c 4 b2 ] n [ { } { }] e b 2 t L p + 2C b 2 L p 2 + ω 2 }{{ n } f nt p 2 + ω 2 }{{ n } g nt Definice Konvoluce funkcí f, g L je funkce f gt t ft u gu du Vlstnosti: komuttivit: f g g f 2 socitivit: f g h f g h 3 distributivit ke sčítání: f g + h f g + f h Vět o obrzu konvoluce Jsou-li f, g L exponenciálního řádu α, F L {f}, G L {g}, pk L {f gt} F p Gp, p > α t Důkz náznk ft u gu du e pt dt u ft u gu e pt dt du gu e pu u ft u e pt u dt du t uv gu e pu fv e pv dv du fv e pv dv gu e pu du F p Gp Poznámky L {F p Gp} f gt 2 H ft t ft dt, tj vět o obrzu integrálu je zvláštním přípdem věty o obrzu konvoluce f t cos ωt, f n+ t 2n t g nt g t ω sin ωt, g n+t 2nω [2n g 2 n t t g nt] Diferenciální integrálně diferenciální rovnice Zobrzíme Lplceovou trnsformcí, vyřešíme lgebrickou rovnici, provedeme zpětnou trnsformci Vět o obrzu derivce Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f} f+ lim t + R, pk L {f t} p F p f+, p > mx{α, } Důkz f t e pt dt u e pt u p e pt v f t v ft [ ft e pt] + p ft e pt dt f+ + p F p Důsledek L {f n } p n L {f} p n f+ p f n 2 + f n + Vět o obrzu integrálu řádu α, F L {f}, pk Je-li f L exponenciálního L { t fu du} F p, p > mx{α, } p Důkz gt t fu du, g+ F p L {g t} p L {gt} g+ p L {gt} Vět o trnslci Je-li f L exponenciálního řádu α,, pk L {ft Ht } e p L {ft + }, L {ft Ht } e p L {ft}, Důkz L {ft b Ht } ft b Ht e pt dt p > α p > α ft b e pt dt t u fu + b e pu+ du e p L {ft + b} první vzth dostneme pro b, druhý pro b Konečný impuls: ft n omezeném intervlu, b: ft [ Ht Ht b] Vět o obrzu periodické funkce Je-li f L periodická funkce s periodou T, pk f je exponenciálního řádu její obrz je T F p ft e pt dt e pt, p > Důkz ft e pt dt n n+t nt ft e pt dt n T fu e pu+nt du n e pt n T fu e pu du T fu e pu du / e pt t u + nt dt du

5 Prostory R n Euklidovský prostor R n R R R: n-rozměrné ritmetické vektory x x,, x n s opercemi x + y x + y,, x n + y n x x,, x n x y x y + + x n y n součet sklární násobek sklární součin počátek O krtézského systému souřdnic, bodový prostor e,,,,, e n,,, tvoří stndrdní ortonormální bázi R n 2 Nulový vektor: o,,, 3 Norm euklidovská: x x x x x2 n 4 Vzájemně jednoznčná korespondence mezi body vektory: X O + x 5 Vzdálenost bodů X, Y : XY Y X Zákldní vlstnosti normy: x > pro x o o, 2 x x, 3 x + y x + y trojúhelníková nerovnost Dlší vlstnosti: x y x y Schwrzov nerovnost pro eukl normu, 2 mx i,,n x i x n mx i,,n x i Důkz 2 Odmocníme mx i,,n x 2 i x2 + + x2 n n mx i,,n x 2 i Definice Nechť x R n, M R n Řekneme, že x je vnitřní bod M, pokud existuje okolí Ux, ε M, 2 vnější bod M, pokud existuje okolí Ux, ε disjunktní s M tj M R n \ M, 3 hrniční bod M, pokud kždé okolí bodu x má neprázdný průnik s M i s R n \ M, 4 hromdný bod M, pokud kždé prstencové okolí bodu x má neprázdný průnik s M, 5 izolovný bod M, pokud existuje prstencové okolí bodu x disjunktní s M Definice Nechť M R n Vnitřek M M je množin všech vnitřních bodů M 2 Hrnice M M je množin všech hrničních bodů M 3 Uzávěr M M je M M Definice Množin M R n se nzývá otevřená, je-li rovn svému vnitřku, 2 uzvřená, je-li rovn svému uzávěru Poznámky Množin nemusí být ni otevřená, ni uzvřená 2 Otevřené zároveň uzvřené tzv obojetné množiny v R n jsou pouze R n 3 Jednobodové množiny jsou uzvřené 4 Množin je otevřená právě tehdy, když její doplněk je uzvřená množin 5 Průnik dvou sjednocení libovolně mnoh otevřených množin je otevřená množin 6 Sjednocení dvou průnik libovolně mnoh uzvřených množin je uzvřená množin Poznámky Supremová norm: x M sup{ x i : i,, n} Součtová norm: x S x i + + x n Všechny normy jsou ekvivlentní: x M x x S n x M Definice Dimetr průměr neprázdné množiny M R n : dimm sup{ x y : x, y M} Poznámk dim Definice Množin M R n se nzývá omezená, má-li konečný dimetr Poznámk Množin je omezená právě tehdy, když jsou omezené vzdálenosti jejích bodů od počátku, tj omezené jsou množiny všech souřdnic Definice ε-okolí bodu x R n : Ux, ε {y R n : y x < ε} Prstencové ε-okolí bodu x R n : Vět Kždá omezená nekonečná množin v R n má lespoň jeden hromdný bod Důkz návod Podobně jko princip vnořených intervlů Definice Množin M R n se nzývá souvislá, jestliže neexistují otevřené množiny O, O 2 R n tkové, že: O O 2, 2 O O 2 M, 3 O M, O 2 M Poznámky R n jsou souvislé 2 Jednobodové množiny jsou souvislé 3 Otevřená množin není souvislá právě tehdy, když je sjednocením dvou disjunktních otevřených množin 4 V R jsou souvislé, jednobodové množiny, intervly nic jiného Vět Otevřená množin v R n je souvislá právě tehdy, když kždé dv její body lze spojit lomenou črou ležící v této množině Definice Otevřená souvislá množin se nzývá oblst P x, ε Ux, ε \ {x} {y R n : < y x < ε}

6 Posloupnosti v R n Definice Posloupnost v R n je zobrzení N R n x k člen x R n 2 2 člen x 2 R n Definice Posloupnost x k má limitu x, pokud pro kždé okolí U bodu x existuje k N tk, že pro kždé k > k je x k U x k Ux, ε x k x < ε lim k x k x lim k x k x Vět o konvergenci po složkách Nechť x k je posloupnost v R n Pk lim k x k x právě tehdy, když lim k x k,i x i Důkz k pro kždé i {,, n} mx i x k,i x i x k x n mx i x k,i x i Důsledek Věty o limitě součtu, rozdílu, násobku, vybrné posloupnosti, jednoznčnosti, pltí i v R n Definice Nechť M Df Funkce f má v bodě limitu b vzhledem k M, jestliže je hromdný bod M pro kždé okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu tk, že fp M U Píšeme lim fx b x x M Je-li M Df, pk podmínku x M nepíšeme Příkld n, M, limit zprv Vět Je-li hromdný bod Df, pk lim x fx b právě tehdy, když lim x fx b pro všechny M Df x M tkové, že je hromdný bod M Příkldy lim x,y, ykx 2 lim x,y, ykx x 2 y 2 x 4 +y 4 k2 +k 4 x 2 y x 4 +y, lim 2 x,y, yx 2 3 lim x lim y x 2 x 2 +y 2 lim x, lim y lim x x 2 x 2 +y 2 lim y x 2 y x 4 +y 2 2 Definice Funkce f je spojitá v bodě Df, jestliže lim x fx f Funkce je spojitá, je-li spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Poznámk Věty o limitách spojitosti se djí zobecnit z n Jednoznčnost limity, limit spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce, Funkce v R n Definice Reálná funkce n reálných proměnných je zobrzení f : Df R, kde Df R n je definiční obor funkce f Rf fdf je obor hodnot funkce f Poznámky V prostorech mlé dimenze místo x x,, x n píšeme x, y, x, y, z, 2 Vypouštíme opkovné závorky místo fx,, x n píšeme fx,, x n 3 Pod pojmem funkce rozumíme reálnou funkci n proměnných Definice Vektorová funkce je zobrzení z R n do R k F : DF R k, Df R n F x,, x n F x,, x n,, F k x,, x n F F,, F k Podobně jko pro posloupnosti vyšetřujeme limity tedy i spojitost po složkách, tj limity spojitost F,, F k Definice Grf funkce f je množin Grf f {x, y R n+ : x Df, y fx} Definice Hldin konstntnosti funkce f příslušná c R: {x Df : fx c} f c Řez grfu je průnik grfu s rovinou v R n+ rovnoběžnou s poslední osou

7 Derivce funkcí více proměnných Definice Prciální derivce funkce fx podle x i v bodě Df: i ϕ i pro ϕx i f,, i, x i, i+,, n Příkld fx, y e x + x 2 y,, 2 x, y ex + 2xy,, 2 e + 4 x, y x2,, 2 Definice Grdient funkce f v bodě Df: grd f,, n Příkld fx, y e x + x 2 y grd fx, y e x + 2xy, x 2, grd f, 2 e + 4, Poznámk grd f : R n grd f R n je vektorová funkce grd f,, n grd f,, n,, n f grd,, n nbl Vět Nechť je vnitřní bod Df, prciální derivce f existují v některém okolí jsou v tomto bodě spojité tj grd f je spojitý v Pk f h grd f h Příkld fx, y e x + x 2 y, grd f, 2 e + 4, f,3, 2 e + 4,, 3 e Příkld Předpokld o spojitosti nelze vypustit fx, y xy x 2 +y 2 pro x, y,, f, grd f,, fx, f, y f,, lim t ft,t f,,5 t lim t t x, y yy2 x 2 x 2 +y 2 2 lim x,y, y2x x, y lim x 6 25x neexistuje neexistuje Vět Lgrnge Nechť I Df je úsečk s krjními body b, f je spojitá n I má v kždém bodě I \ {, b} derivci ve směru b Pk existuje α, tk, že fb f f b + αb Důkz f + tb ϕt, t, f ϕ, fb ϕ, f b + tb ϕ t Lgrnge n : ϕ ϕ ϕ α ϕ α Poznámk Bod + αb leží uvnitř úsečky I ϕ i + t ϕ i f + te i f lim lim i t t t t Definice Derivce funkce f ve směru h R n v bodě Df: f h f + th f lim t t Příkld fx, y e x + x 2 y,, 2, h, 3 f,3, 2 lim t t e t e 4t + 3t 2 e Poznámky Prciální derivce je směrová: i f e i 2 Někdy se uvžují jen jednotkové vektory h: h 3 f o 4 f ch c f h 5 ϕt f + th: f h lim t ϕt ϕ t ϕ Vět Nechť, h R n existují f h, g h Pk f + g h f h + g h, 2 f g h f h g + f g h, 3 f g f h g f g h h g 2 g Důkz Přepisem do jedné proměnné Příkld fx, y n {x, y : y x 2, x }, jink f h,, f není spojitá v, lineární proximce přírůstku: f + h f k h + ωh ωh h f+h f kh h lim h ωh h f k nejlepší pro k f nejlepší lineární proximce Lh f h lim h f+h f Lh h Definice Totální diferenciál funkce f v bodě vnitřní bod Df je lineární zobrzení L : R n R, pro které pltí f + h f Lh lim h o h Pokud existuje, říkáme, že f je diferencovtelná v bodě Poznámky Znčení: dfh, df[h], df, h 2 df je lineární zobrzení: dfh k h + + k n h n df k dx + + k n dx n k,, k n dx Příkld fx, y x 2 + y 2, df, h, h 2 2h + 2h 2 Poznámky Je-li f lineární, pk df f 2 n : dfh f h, df s f ztotožňujeme 3 Pro vektorovou funkci F f,, f n : R n R k je df df,, df n, tj: F + h F df h lim h o h

8 Věty o derivcích Vět Má-li funkce f v bodě totální diferenciál, pk má v všechny směrové derivce pltí pro kždé h R n f h dfh grd f h Důkz h o: f o dfo h o: t th o: f h f + th f t dfh dfh lim t t f + th f dfth lim h th o ± th }{{} 2 e,, e n stndrdní ortonormální báze R n : dfh dfh e + + h n e n Poznámk Stručné zápisy: h dfe + + h n dfe n h f e + + h n f e n h + + h n n grd f h df grd f dx df dx grd f d dx grd Vět Má-li funkce v některém bodě diferenciál, pk je v tomto bodě spojitá Důkz dfh grd f h grd f h : lim h o [f + h f] lim h o [ f+h f dfh h } {{ } ] h + dfh }{{} Vět Má-li funkce v některém vnitřním bodě svého definičního oboru spojité prciální derivce tj spojitý grdient, pk má v tomto bodě diferenciál Důkz Ověříme, že grd f h je diferenciál: f + h f grd f h [f + h, 2 + h 2, f, 2 + h 2,, n + h n + + [f, 2 + h 2,, n + h n f, 2,, n + h n + + [f, 2,, n + h n f, 2,, n grd f h x h h + + n xn h h n h n h n h n [ i xi i h i ] }{{} h i h }{{}, Důsledek Jsou-li prciální derivce spojité n otevřené množině, pk diferenciál existuje v kždém bodě této množiny Poznámk Je-li A : R n R k lineární, pk existuje mtice A typu k, n tk, že Ax T A x T Diferenciál df má z mtici grd f dfh T n h h n Pro vektorovou funkci F : R n R k, F f,, f k máme diferenciály po souřdnicích: df h df h,, df k h df h T k n k n }{{} Jcobiho mtice F v h h n Příkld F : R 2 R 2, F x, y x 2 + xy, 2x + 5y 2x + y x df x, y 2 5 df, h, h 2 T 3 h 3h + h h 2 2h + 5h 2 df, h, h 2 3h + h 2, 2h + 5h 2 Poznámky Prciální derivce v okolí, spojité v bodě diferenciál v bodě všechny směrové derivce v bodě 2 Podmínk spojitosti prciálních derivcí není nutná Příkld f : R 2 R, fx, y x 2 + y 2 sin x 2 +y 2 x, y,, f, diferenciál df, h, h 2 existuje limit x, y 2x sin x 2 +y 2x 2 x 2 +y cos 2 x 2 +y neexistuje 2 pro Vět Funkce, která má v oblsti G R n nulové všechny prciální derivce, je v této oblsti konstntní Důkz Zvolme x, y G, existuje čár L G z x do y složená z úseček, BÚNO z jedné, existuje z L: fy fx f y x z grd fz y x o y x Důsledek Funkce se stejnými prciálními derivcemi v oblsti se v této oblsti liší o konstntu Příkld fx, y rctg x + rctg y gx, y rctg x+y xy, xy grd fx, y +x 2, +y 2 grd gx, y rctg x + rctg y rctg x+y xy pro xy < rctg x + rctg y rctg x+y xy + π pro xy >, x > rctg x + rctg y rctg x+y xy π pro xy >, x <

9 Interpretce plikce Směr největšího spádu pro h je Schwrzov nerovnost: f h grd f h grd f h grd f rovnost nstne, pokud jsou h grd f lineárně závislé, tj v přípdě grd f pro jednotkové vektory: h mx grd f grd f, h min h mx Tečná ndrovin normál grfu tečná ndrovin lineární proximce v [, f]: y f + grd f x grd f x y grd f f grd f, x, y grd f,, f grd f, je normálový vektor Lineární proximce fx f + dfx f + grd f x Vět Je-li pltí 2 f j i spojitá n otevřené množině G, pk n G 2 f 2 f i j j i 2 f 2 f i j Vět Existují-li j i, v okolí bodu jsou-li spojité v, pk jsou v tomto bodě stejné Příkld fx, y e xy2 x, y y2 e xy2, x, y 2xexy2 2 f x, y 2yexy2 + 2xy 3 e xy2 2 f x, y Definice Nechť G R n je otevřená, k N Funkce f : G R n se nzývá třídy C k n G f C k G, jestliže všechny prciální derivce řádu k jsou n G spojité Poznámky C spojité funkce 2 C C C 2 3 Ck C Důsledek Je-li f C k G, pk prciální derivce do řádu k n G nezávisejí n pořdí derivování Příkld Aproximujte fx, y rctg x+y xy v okolí, grd fx, y +x, 2 +y, grd f,, 2 fx, y f, +, x, y x + y Derivce vyšších řádů Prciální derivce vyšších řádů: x i x x i j x 3 f x 3 f 2 x k f ik i x řádu k j smíšená: lespoň 2 proměnné různé x 2 f x i j i Poznámk Pořdí derivování nelze vždy změnit Příkld fx, y xyx2 y 2 x 2 +y 2 pro x, y,, f, x, y yx4 +4x 2 y 2 y 4 x 2 +y 2 pro x, y, 2, x, y xx4 4x 2 y 2 y 4 x 2 +y 2 pro x, y, 2, 2 f, lim x 2 f, lim y x y, y, x,, dfh grd f h h grdf d h grd n i h i i d 2 h grd 2 n i,j h ih j 2 i j d 3 h grd 3 n i,j, h ih j h k 3 i j k Poznámky Pro n je d k fh f k h k 2 Pro fx, y se spojitými prciálními derivcemi: 3 d 2 h 2 d 3 h h 2 h h h 2 h 2 d 2 h,, h n h h n h n 2 2 n }{{} Hessov mtice h h n Příkld Pro fx, y x y e y ln x, Df, R je d 2 f, 2h, h 2 2h 2 + 2h h 2

10 Tylorův polynom f + h f + f h + f 2! + f k+ + αh h k+ k +! h f k k! h k + Vět o Tylorově polynomu Je-li funkce f třídy C k+ n otevřené množině G R n obshující úsečku s krjními body, + h, pk existuje α, tk, že pltí f + h f + dfh + d2 fh 2! + dk fh k! dk+ f + αhh k +! Poznámky h x Tylorův polynom 2 Pro k dostáváme Lgrngeovu větu: f + h f + h grd f + αh f h + αh Příkld Pomocí Tylorov polynomu odhdněte,5 3,2 fx, y x y,, 3, h,5;,2, h grdf h + h 2 h yx y + h 2 x y ln x 3h, h grd 2 f h 2 2 f + 2h 2 h 2 f 2 + h2 2 2 f 2 h 2 yy xy 2 + 2h h 2 x y + y ln x + h 2 2 xy ln 2 x 6h 2 + 2h h 2, f + h f + h grdf + 2 h grd2 f + 3h + 3h 2 + h h 2,585,5 3,2,587 Příkld Určete diferenciál fx, y ge xy, e xy, g C Pro e xy, e xy u, v f x, y, f 2 x, y F x, y je f g F dgx, y g, g y e xy x e xy df x, y 2 dfx, y xy g y e 2 y e xy x e xy g g y e xy, x exy g x e xy Vět Nechť G R n, H R k jsou otevřené množiny, F : G H má v bodě G derivci ve směru h R n, g : H R má v bodě b F diferenciál Pk funkce g F má v bodě derivci ve směru h pltí g F h dgb F h Důkz pokud F má diferenciál g F h dg F h dgb df b dgb df h dgb F h Derivce složené funkce n : R f R g R, g f g f f Vět Nechť G R n, H R k jsou otevřené množiny, F : G H má diferenciál v bodě G, g : H R má diferenciál v bodě b F Pk funkce g F má v bodě diferenciál pltí dg F dgb df Poznámky Složení lineárních zobrzení je lineární 2 Mtice složeného zobrzení je součinem mtic F f,, f k : dgb grd gb df k n k n dg f grd gb k n k n grd gb,, grd gb n 3 Lze i pro vektorovou funkci g 4 Pro n k dostneme násobení čísel derivcí Pro prciální derivce dostáváme tzv řetězové prvidlo znčíme F x y, gy,, y k : g F i grd gb i g b,, g k b i,, k i g b i + + g k b k i Někdy vypuštíme rgumenty uvžujeme x, y g F i g i + + g k k i Někdy se nerozlišuje f i od y i f g F : i g i + + g k k i Někdy se nerozlišuje ni g od f Příkld Určete prciální derivce fx, y ge xy, e xy Oznčme e xy, e xy u, v: g + g g g y exy y e xy, g + g g g x exy x e xy Příkld Pro fx, y, z x g y x, z x, g C je x + y + z z f

11 Trnsformce diferenciálních výrzů fx, y gu, v: x, y,, g u, v,, g I Nové proměnné pomocí strých fx, y, u ux, y, v vx, y Použijeme větu o derivci složené funkce pro fx, y g ux, y, vx, y, spočteme stré proměnné: g + g g + g x xu, v y yu, v Příkld x y, u x y, v y: x uv, y v: g y + g g x y + g 2 Vět Jcobiho mtice inverzních vektorových funkcí jsou k sobě inverzní Pro regulární, tj s nenulovým determinntem Jcobiho mtice, g, g g, g, Poznámk Je to zobecnění věty o derivci inverzní funkce jedné proměnné 4 Použijeme větu o derivci složené funkce pro f, prciální derivce nových proměnných podle strých spočítáme invertováním Jcobiho mtice inverzní trnsformce Příkld x y, x uv, y v v u v u v x y 2x y g y g g 2u v g II Stré proměnné pomocí nových fx, y, x xu, v, y yu, v Přepočítáme u ux, y, v vx, y použijeme I Příkld x y, x uv, y v: u x y, v y 2 Použijeme větu o derivci složené funkce pro gu, v f xu, v, yu, v, spočítáme prciální derivce f: g + g + Příkld x y, x uv, y v: g v + g u + v g g u v g 3 Použijeme větu o derivci složené funkce pro f, prciální derivce nových proměnných podle strých spočítáme z derivcí trnsformčních rovnic Příkld x y, x uv, y v derivcemi trnsformčních rovnic dostneme: v + u v, v + u u v, Příkld x 2 g 2 f 2 g + g 2 f +, x sin u, y v: cos u cos u g g + g + g g + g ϕu gu, v c v e u +c 2 u fx, y c y e rcsin x + c 2 x g 2 g cos x Příkld f 2 f + 2 f 2, x r cos ϕ, y r sin ϕ 2 r r cos ϕ r sin ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ ϕ g r 2 f 2 sin ϕ g cos ϕ r 2 g r 2 cos ϕ ϕ sin ϕ r r cos ϕ r + ϕ 2 g sin ϕ ϕ r r + g ϕ 2 g g ϕ r cos ϕ r sin ϕ 2 g ϕ 2 f 2 g r 2 + r 2 2 g ϕ + g 2 r r ϕ sin ϕ r 2 sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r g ϕ cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r

12 Lokální extrémy funkcí více proměnných f má v lokální minimum: fx f n některém P lokální mximum: fx f n některém P lokální extrém: lokální minimum nebo lokální mximum ostrý lokální extrém mximum, minimum: ostrá nerovnost Příkldy fx, y x 2 + y 2 má v, ostré lokální minimum 2 fx, y x 2 y 2 má v, lokální minimum neostré 3 fx, y xy nemá v, lokální extrém Poznámk Funkce f má v ostré lokální minimum právě tehdy, když funkce f má v ostré lokální mximum Vět Nechť f má v lokální extrém, h R n Pk f h je buď nulová nebo neexistuje Důkz ϕt f + th f má v lokální extrém ϕ má v lokální extrém f h existuje ϕ f h existuje, je nulová Definice Bod nzýváme stcionárním bodem funkce f, jestliže všechny prciální derivce f jsou v nulové druhý diferenciál: d 2 fh n 2 f i,j i j h i h j Příkldy d 2 f, je nulový: fx, y x 2 y 2 má v, neostré lokální minimum 2 fx, y x 3 + y 3 nemá v, lokální extrém 2 fx, y x 4 + y 4 má v, ostré lokální minimum Příkld Určete lokální extrémy fx, y 3x 2 6xy 2y 3 f C 2 R 2, lokální extrémy jsou ve stcionárních bodech 6x 6y, 6x 6y2 stcionární body:,,, d 2 fx, yh, h 2 6h 2 2h h 2 2yh 2 2 d 2 f, h, h 2 6h 2 2h h 2 6[h h 2 2 h 2 2] je indefinitní d 2 f, h, h 2 6h 2 2h h 2 + 2h 2 2 6[h h h 2 2] je pozitivně definitní Funkce f má ostré lokální minimum f, Hessov mtice funkce f v bodě : Oznčme D k det 2 f 2 f 2 n 2 f n 2 f 2 n 2 f 2 f 2 k 2 f k 2 f 2 k Definice Řekneme, že d 2 f je pozitivně definitní, pokud d 2 fh > pro kždý h ; negtivně definitní, pokud d 2 fh < pro kždý h ; indefinitní, pokud existují h, k tk, že d 2 fh < < d 2 fk Příkldy v R 3 h 2 + 2h h2 3 je pozitivně definitní 2 2h 2 h 2 2 4h 2 3 je negtivně definitní 3 h 2 + 2h2 2 h2 3 je indefinitní:,, 3,,, 4 h 2 + h 2 2 není nic z výše uvedeného:,, pozitivně semidefinitní Vět Nechť f je třídy C 2 n otevřené množině G, G je stcionární bod f Pk pltí: Je-li d 2 f pozitivně definitní, pk f má v ostré lokální minimum 2 Je-li d 2 f negtivně definitní, pk f má v ostré lokální mximum 3 Je-li d 2 f indefinitní, pk f nemá v lokální extrém Vět Sylvestrovo kriterium Nechť f je třídy C 2 d 2 f je pozitivně definitní právě když D k > pro všechn k,, n 2 d 2 f je negtivně definitní právě když k D k > pro všechn k,, n 3 Pokud D n pokud nenstl ni jedn z předešlých možností, pk je d 2 f indefinitní Příkld fx, y 3x 2 6xy 2y 3 viz výše Hessov mtice: y ve stcionárních bodech 6 6, :, D 6 6, D , :, D 6 2 6, D 2 36 Důkz náznk podle Tylorovy věty existuje t, : f + h f + dfh + 2 d2 f + thh f + 2 d2 f + thh spojité 2 derivce spojitý 2 diferenciál pozitivně definitní v okolí U pro +h P je f+h > f 2 podobně 3 d 2 fh < < d 2 fk, ve směru h je je ostré lokální mximum, ve směru k ostré lokální minimum není lokální extrém Poznámk V R je d 2 fh f h 2, definitnost je určen znménkem

13 Příkld fx, y, z 2y 2z y 2 2 z2 + 3xz x 3 grdient 3z 3x 2, 2 2y, 2 z + 3x Hessov mtice: 6x ve stcionárních bodech,, : 6 3 2, D 6, D 2 2, D ,, 4 : 2 3 2, D 2, D 2 24, D ostré lokální mximum f2,, 4 II Lgrngeov metod multiplikátorů Předpokldy: G R n otevřená, f C G, M: g x, g p x, p < n, g g p C G, grd g x, grd g p x jsou lineárně nezávislé n M: g g n hod g p g p n p grd g i x je normálový vektor ndplochy dné rovnicí g i x v x, tj tyto ndplochy se protínjí v útvru dimenze n p Princip: f neroste po M, tj grd f je kolmý k M, tj grd f je lineární kombincí normál ndploch, tj pro stcionární bod pltí grd f λ grd g + + λ p grd g p Postup: F x fx λ g x λ p g p x x g x n x g p x n + p rovnic pro x,, x n, λ, λ p dá stcionární body Místo d 2 f je účinnější vyšetřovt d 2 F Vázné extrémy fx, G R n, M: g x, vzby I Snížení počtu proměnných Vyjádření některých proměnných jko funkce jiných řešení vzeb Příkld fx, y y x 2, M: 2x y y 2x gx fx, 2x 2x x 2 g ostré lokální mximum f, 2 ostré lokální mximum vzhledem k M 2 Vyjádření některých proměnných jko funkce nových prmetrizce Příkld fx, y x + y +, M: x 2 + 2x + y 2 M: x y 2, kružnice: střed,, poloměr M: x + cos t, y sin t, t, 2π gt f + cos t, sin t cos t + sin t g + 2/2 2 ostré lokální mximum g + 2/2 2 ostré lokální minimum f + 2/2, 2/2 2 ostré lok mx vzhledem k M f 2/2, 2/2 2 ostré lok min vzhledem k M Příkld fx, y x + y +, M: gx, y x 2 + 2x + y 2 grd gx, y 2x +, 2y o v 2, / M F x, y x + y + λx 2 + 2x + y 2 : λ2x + 2 : λ 2y x 2 + 2x + y 2 x, y + 2/2, 2/2, λ 2/2 x 2, y 2 2/2, 2/2, λ 2 2/2 d 2 fx i, y i h extrémy neurčí d 2 F x, yh 2λh 2 2λh 2 2: fx, y 2 ostré lokální mximum vzhledem k M fx 2, y 2 2 ostré lokální minimum vzhledem k M Poznámk Definitnost d 2 f d 2 F stčí vyšetřovt n tečném prostoru, tj pro vektory h splňující h grd g, grd g h h grd g p, grd g p h p rovnice jsou podle podmínky lineárně nezávislé Poznámk První postup je zvláštním přípdem druhého

14 Příkld fx, y, z xyz, M: x + y, y + z grd g x, y, z hod hod 2 v R grd g 2 x, y, z 3 F x, y, z xyz λx + y µy + z : yz λ : xz λ µ z : xy µ x, y, z,,, λ µ x + y y + z x 2, y 2, z 2 3, 2 3, 2 3, λ 2 4 9, µ 2 9 d 2 fx, y, zh 2zh h 2 + 2yh h 3 + 2xh 2 h 3 d 2 f,, h 2h 2 h 3 je indefinitní není to l e v R 3 h h 2 h, h 3 h d 2 f,, h, h, h 2h 2 je negtivně definitní v h f,, je vázné ostré lokální mximum 2 d 2 f 3, 2 3, 2 3 h 4 3 h h h h h 2h 3 d 2 f 3, 2 3, 2 3 h, h, h 2h 2 je pozitivně definitní v h f 3, 2 3, je vázné ostré lokální minimum F x, y y fx Funkce zdné implicitně Příkldy x 2 + y 2 : kružnice, pro x, je: y x x 2, y 2 x x 2 2 x 2 + y 2 + : 3 x 2 + y : bod, 3 4 xy xy :, 2, 2 Vět Nechť F x, y je funkce třídy C v okolí, b, F, b, b Pk existuje okolí U bodu funkce f C U tk, že f b, F x, fx n U x, fx f x x, fx n U Poznámk Je-li, b, pk x gy v okolí b Důkz druhé části dostneme Derivcí F x, fx podle x x, fx + x, fx f x Poznámk Derivce vyšších řádů je-li F ptřičné třídy C k dostneme dlším derivováním, npříkld: 2 F + 2 F 2 f + 2 F + 2 F f f + f Mximum minimum funkce bsolutní/globální extrémy Vět Spojitá funkce n omezené uzvřené množině nbývá svého mxim i minim Postup: Lokální extrémy uvnitř 2 Vázné extrémy n hrnici Příkld fx, y x 2 +y 2 6x 4y+, M: x 2 +y 2 4x 5 Lokální extrémy uvnitř: : 2x 6 : 2y 4 stcionární bod 3, 2 M, f3, Vázné extrémy n hrnici: F x, y x 2 + y 2 6x 4y + λx 2 + y 2 4x 5 : 2x 6 λ2x 4 : 2y 4 λ2y x 2 + y 2 4x 5 f2 + 3/ 5, 6/ ,4 f2 3/ 5, 6/ ,4 mx M f f2 3/ 5, 6/ , min M f f3, 2 2 Příkld Určete lokální extrémy funkce yx dné implicitně rovnicí x 2 + y 2 F x, y x 2 + y 2 x, y 2y je nenulové pro y derivcí rovnice x 2 + y 2 x podle x dostneme 2x + 2yx y x, y x x yx stcionární body,,, druhou derivcí rovnice podle x dostneme y x 2 + 2y 2 x + 2yx y x, y x yx, : y /2 <, ostré lokální mximum, : y 2 /2 >, ostré lokální minimum Vět Nechť F x, y je funkce třídy C v okolí, b, F, b, b Pk existuje okolí U bodu funkce f C U tk, že f b, F x, fx n U grd fx x, fx,, n x, fx n U x, fx x, fx Poznámk grd F x, y je normálový vektor ndplochy dné rovnicí F x, y, tj grfu implicitně zdné funkce Speciálně pro z fx, y F x, y, z fx, y z je grd F,, grd f,

15 Vět Nechť F x, y, Gx, y y R 2 jsou funkce třídy C v okolí, b, F, b G, b det, b 2, b G G, b 2, b Pk existuje okolí U bodu funkce f, g C U tk, že f, g b F x, fx, gx G x, fx, gx n U Příkld Ověřte, že rovnice x+y u v, ux+vy 2 v okolí bodu,,, definují funkce u ux, y, v vx, y v okolí bodu, Určete grd u, Funkce F x, y, u, v x+y u v, Gx, y, u, v ux+vy 2 jsou třídy C R 4, bod,,, vyhovuje podmínkám, det G G det x y x y je v bodě,,, nenulový Prciálními derivcemi rovnic podle x, y dostneme : : x + u + y x + y + v vyřešením: grd u,,, +,,,, +,,, Příkldy diverguje: s n n, lim n s n + 2 k + + osciluje: s n pro n sudé, s n pro n liché 3 2 k lim n 2 n konverguje 4 k k osciluje v R, diverguje v C: s 2n n, s 2n n Poznámk Lepší sčítání je lim n n n s n, pro příkld 2 dá součet 2 Definice Aritmetická řd s diferencí d: + + d + + 2d + + 3d + Součty n k n + n + k d 2 + n n n + 2 n + n, +, d > nebo d, >, k, d < nebo d, <,, d, Příkld n k n 2nn + Číselné řdy R {± } R C { } C n n k Definice Nechť k je posloupnost čísel Nekonečná číselná řd je výrz k Číslo k se nzývá k-tý člen této řdy Poznámk Obecněji: kn k, n N, n Z k M k, M je množin: k k N k Definice Pro kždé n N nzýváme s n n k n-tý částečný součet řdy k Pokud existuje lim n s n s, pk ji nzýváme součtem řdy píšeme s k Řekneme, že řd: konverguje, je-li s C; diverguje, je-li s {±, }; osciluje, pokud lim n s n neexistuje Definice Geometrická řd s kvocientem q: Součty + q + q 2 + q 3 + s n + q + + q n q k qs n q + + q n + q n qs n q n { q n q s n, q n, q q k q, q < { q k, q, v R neex, q {, q > nebo q, neex, q, q Příkld 4 3 k 4/3 /3 2 Příkld k2 k2 kk k k 2 + limn n v C

16 Vět Jestliže k, b k konvergují, c C, pk k + b k k + b k, c k c k Vět Komplexní řd k konverguje právě tehdy, když konvergují řdy Re k Im k Pk k Re k + j Im k Vět nutná podmínk konvergence konverguje, pk lim k k Jestliže k Důkz lim k k lim k s k s k lim k s k lim k s k s s Vět Je-li k pro kždé k N, pk k existuje Důkz s n n k, s n je neklesjící, tj lim n s n existuje sup n N s n Vět podílové kriterium Nechť < k pro kždé k N Je-li pro kždé k N k+ k q <, pk k konverguje; 2 k+ k Důkz, pk k diverguje k+ k q q k, k q k q 2 k+ k, k + Poznámk Stčí, by byly nerovnosti splněny pro dosttečně velká k, tj počínje některým k Vět limitní tvr podílového kriteri Nechť k pro kždé k N Je-li lim k+ k k <, pk k konverguje; 2 lim k+ k k >, pk k diverguje Příkldy k! konverguje: k+ k k+ 2 k! 2 k diverguje: k+ k k k kr nerozhodne: k+ k k k+ diverguje 4 k 2 kr nerozhodne: k+ k k2 k+ 2 konv Kriteri konvergence Vět srovnávcí kriterium Nechť k b k pro kždé k N Konverguje-li b k, pk i k konverguje 2 Diverguje-li k, pk i b k diverguje Důkz s n n k, t n n b k, s n t n k lim n s n lim n t n b k Příkldy k 2 + k2 k 2 konverguje 2 α 2, k α k 2 3 hrmonická řd: + k2 2 konverguje kk + 2 k α,, k α k diverguje Vět odmocninové kriterium Nechť k pro kždé k N Je-li pro kždé k N k k q <, pk k konverguje; 2 k k, pk k diverguje Důkz k q k, k qk q q 2 k, k + Vět limitní tvr odmocninového kriteri Nechť k pro kždé k N Je-li lim k k k <, pk k konverguje; 2 lim k k k >, pk k diverguje Příkldy 3 ln k k+ konverguje: k k k 3 lnk+ < 2 2k 3 k diverguje: k k k 2 2 > k k k k+ kriterium nerozhodne: k k k [ k+, + ] k e diverguje lim k k Poznámky Stčí uvžovt limsup k <, liminf k > 2 Odmocninové kriterium je účinnější ne, pokud existují obě limity, le někdy se hůře počítá Příkld 2k 2 k, 2k 2 k k k k 2 /2 < konverguje podle odmocninového kr 2k 2k 2 podílové kriterium nerozhodne

17 Vět integrální kriterium Nechť f je nezáporná nerostoucí integrovtelná funkce n, + Pk fk konverguje právě tehdy, když konverguje + fx dx Důkz fk k+ fx dx fk +, k fx dx fk f + fx dx Příkldy k diverguje: x dx [ln x] 2 3 k α + konverguje pro α > : x α dx k ln k diverguje: x ln x dx [ln ln x] α + Příkld Jká je chyb k π 2 6, pokud sečteme prvních členů? k x 2 dx, k x 2 dx,99 Vět Leibnizovo kriterium Nechť k je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel k k konverguje právě tehdy, když lim k k Důkz s n n k s s 3 s 5, s 2k+ s, s 2 s 4 s 6, s 2k s s s s lim k s 2k+ s 2k lim k 2k+ lim k k Definice Přerovnáním řdy k nzýváme kždou řdu fk, kde f : N n N je prosté zobrzení Vět Jestliže řd konverguje bsolutně, pk kždé její přerovnání konverguje bsolutně má stejný součet Důkz k : oznčme m n mx{f,, fn} n fk m n k, tedy fk k opčná nerovnost: první řd je přerovnáním druhé pro f 2 k R: fk + fk fk k k 3 k C: rozkldem n reálnou imginární část + k Tvrzení Jestliže reálná řd nekonverguje bsolutně její členy konvergují k nule, pk kždé reálné číslo je součtem některého přerovnání dné řdy Důkz náznk + k k +, c R vybíráme nezáporné členy, dokud součet nebude c vybíráme záporné členy, dokud součet nebude c postup opkujeme Poznámk Podobně lze dosáhnout i součtu ± Příkld k k ln 2 konverguje: střídjí se znménk, k k k je nerostoucí, k konverguje k Absolutní konvergence Definice Řekneme, že k konverguje bsolutně, pokud konverguje k Příkld k k konverguje, ne bsolutně: k nekonverguje Vět Konverguje-li k, pk konverguje k Důkz k R: + mx{, }, mx{, } +, + +, +, k konverguje + k, k konvergují srovnávcí kriterium k + k k + k k konv 2 k C: Re k, Im k k k konverguje Re k, Im k konvergují srovnávcí kr Re k, Im k konvergují podle k Re k + j Im k konverguje Poznámk Pokud reálná řd konverguje nebsolutně, pk + k k + Poznámk Srovnávcí, podílové, odmocninové integrální kriterium jsou kriteri bsolutní konvergence: b k konv, k b k, pk k konv bs lim k k+ / k <, pk k konv bs lim k k k <, pk k konv bs Vět sčítání po částech Nechť k konverguje bsolutně Pk 2k, 2k konvergují bsolutně jejich součet je roven součtu původní řdy Důkz 2k, 2k k bsolutní konvergence 2k k k + 2k l k + s k k Poznámk Absolutně konvergentní řdu můžeme rozdělit n konečně mnoho různě přeskládných částí, součet se přitom nezmění l k s k