Rezonance v kvantových grafech

Transkript

1 Rezonance v kvantových grafech Jiří Lipovský Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové, Rokitanského 62, Hradec Králové Úvod a zavedení problému Kvantové grafy sou úspěšným modelem, který se rozvíí hlavně poslední tři desetiletí. Myšlenka umístit kvantovou částici na graf e však eště starší. Poprvé byla použita Paulingem v roce 1936 [1] pro výpočet diamagnetických vlastností aromatických molekul a Ruedenbergem a Scherrem v roce 1953 [2] pro popis π-elektronů v těchto molekulách. Model, který bere nekonečně tenké kvantové dráty a vytvoří z nich graf, není en matematickou hříčkou. Měření eich spektrálních a rezonančních vlastností lze provést například pomocí mikrovln, provádí e např. varšavská skupina [3]. Z matematického pohledu e model kvantových grafů poměrně ednoduchý. Jedná se o systém obyčených diferenciálních rovnic spoených vazebnými podmínkami ve vrcholech. Základem e metrický graf Γ, skládaící se z N vnitřních hran o délkách l a M vněších (nekonečných) hran polopřímek. Hilbertův prostor systému se skládá z kvadraticky integrovatelných funkcí na všech hranách N 2 M 2 H i 1L ((0, li )) i 1 ((0, )). (1) = = = L 2 d Systém e popsán hamiltoniánem, který působí ako + V ( x), kde V(x) e potenciál 2 dx s nosičem pouze na vnitřních hranách grafu. Tento vztah odpovídá hamiltoniánu kvantové částice v soustavě ednotek, kde ħ = 1, m = 1/2. Definiční obor tohoto hamiltoniánu e Sobolevův prostor W 2,2 (Γ), t. ortogonální suma Sobolevových prostorů na ednotlivých hranách. Sobolevův prostor W k,p e množina všech funkcí, eichž všechny slabé parciální derivace do řádu k včetně leží v L p na daném intervalu. Zároveň museí tyto funkce splňovat vazebné podmínky v každém vrcholu ( U I ) Ψ + i( U + I) Ψ ' = 0, (2) kde Ψ e vektor limit funkčních hodnot v -tém vrcholu při blížení se z ednotlivých hran vycházeících z tohoto vrcholu, Ψ e vektor derivací vycházeících z tohoto vrcholu, U e d d unitární matice (d e počet sousedů daného vrcholu), I ednotková matice steného rozměru a i e komplexní ednotka. Tyto vazebné podmínky pro kvantové grafy poprvé na sobě nezávisle popsali Harmer [4] a Kostrykin se Schraderem [5], myšlenka byla ovšem už dříve známá v teorii samosdružených rozšíření. Existue také ednoduchý způsob, ak vazebné podmínky ve všech vrcholech grafu popsat ednou velkou unitární maticí. Všechny vrcholy grafu se spoí do ednoho a zavede se unitární matice U, která e po přeházení určitých sloupců a řádků blokově diagonální s bloky odpovídaícími původním vrcholovým vazebným maticím. Tato velká unitární matice U tak popisue neen vazebné podmínky, ale i topologii celého grafu. Kdybychom matici U nezvolili v určité bázi blokově diagonální, popisovala by i situaci, kdy částice přeskakue mezi ednotlivými vrcholy. Dále se nám bude hodit zavést efektivní energeticky závislé vazebné matice, které popisuí vazbu na vnitřní části grafu (po odpoení všech polopřímek). Nechť se matice U skládá z bloků U1, U2, U3, U4, kde U1 odpovídá vazbě mezi vnitřními hranami grafu, U4 vazbě mezi polopřímkami a U2 a U3 vazbám mezi vnitřními hranami a polopřímkami. Pro M vnitřních hran a N polopřímek nakonec dostáváme efektivní vazebnou matici 1 U ( k) = U I (1 k) U [(1 k) U (1 + k) I U, (3) ef 1 2N 2 4 M ] 3

2 kde I značí ednotkovou matici a dolní index udává eí velikost, k e odmocnina z energie. Vazebná podmínka e pak dána rovnicí (2), kde místo U e Uef. Rezonance Rezonance budeme chápat ako čísla v komplexní rovině. Kdybychom uvažovali časově závislý případ, částice by se při průchodu grafem zdržela v eho vnitřní části déle pro energie, které odpovídaí reálným částem těchto komplexních čísel. Doba života částice ve vnitřní části grafu by byla tím vyšší, čím sou tyto rezonance blíže reálné ose. Existuí dvě hlavní definice rezonancí póly rezolventy a póly matice rozptylu. Rezolventní 1 rezonance sou póly analytického prodloužení tzv. rezolventy, t. operátoru ( H λ id), kde H e hamiltonián a id identický operátor. V případě kvantových grafů e komplexní energie E = k 2 rezolventní rezonancí, estliže existue řešení nečasové Schrödingerovy rovnice s asymptotikou typu e ikx na všech polopřímkách. Elegantním způsobem, ak naít rezolventní rezonance e metoda vněšího komplexního škálování známá díky Augilarovi, Baslevovi a Combesovi [6, 7] iž od 70. let minulého století. Hlavní myšlenka e přeškálovat vněší hrany grafu transformací θ / 2 θ Uθ g( x) = e g( e x) (4) a vnitřní hrany ponechat beze změny. Tato transformace e pro reálné θ unitární, zaímavé vlastnosti má ale pro θ s netriviální imaginární částí. Funkce e ikx pro k se zápornou imaginární částí zevně nesou kvadraticky integrabilní. Po transformaci při dostatečně velké imaginární části θ se kvadraticky integrabilními stanou. Přeškálovaný hamiltonián UθHU-θ, který e nesamosdružený operátor, má vlastní čísla na místech rezonancí původního hamiltoniánu. Rezolventní rezonance tedy můžeme naít ako vlastní čísla tohoto nesamosdruženého operátoru. Druhou možností definice rezonancí sou tzv. rozptylové rezonance. Jsou to póly matice rozptylu, kterou můžeme definovat ako matici zobrazuící vektor amplitud vcházeících vln na vektor amplitud vycházeících vln. Jeí prvky diverguí pro komplexní energie, které odpovídaí rozptylovým rezonancím. Lze dokázat, že obě rodiny rezonancí si odpovídaí [8]. Přesněi řečeno, množina rezolventních rezonancí e rovna sednocení množiny rozptylových rezonancí a množiny vlastních hodnot (vnořených do spoitého spektra) původního hamiltoniánu s vlastními funkcemi, které maí nosič pouze na vnitřní části grafu. Je logické, že tyto hodnoty nepatří do rodiny rozptylových rezonancí, protože eich vlastní funkce sou identicky nulové na polopřímkách, tato řešení tedy neodpovídaí rozptylovým stavům. Matice rozptylu e tedy nemůže uvidět. Rezonance vycházeící z racionálních poměrů hran Uvažume kvantový graf bez potenciálu s tzv. delta-podmínkami ve vrcholech. Jsou to takové vazebné podmínky, u kterých e vlnová funkce v každém vrcholu spoitá a pro součet derivací vycházeících z každého vrcholu ve směru ednotlivých hran platí N = 1 f '( v) = αf ( v), (5) t. eich suma e rovna násobku funkční hodnoty. Nechť vnitřní část grafu obsahue smyčku hran, eichž délky sou násobky hodnoty l0. Protože vlastní funkce pro negativní druhou derivaci sou kombinací sinu a kosinu, e pro tento případ vlastní funkcí hamiltoniánu funkce, eíž komponenty na ednotlivých hranách sou siny, které maí nuly ve vrcholech smyčky (viz obr. 1), a sou triviálně nulové mimo smyčku. Proto sou vlastními čísly hamiltoniánu πn 2 /l0 2.

3 0br. 1: Ilustrace vlastní funkce Ve článku [9] sme se zabývali rezonancemi, které vznikou, když tento racionální poměr délek hran porušíme. Potom se totiž původní vlastní hodnota v k-rovině odsune do spodní komplexní poloroviny. Lze dokázat, že celkové množství rezolventních rezonancí se započítáním násobnosti (rezolventními rezonancemi sou ak vlastní hodnoty, tak čisté rezonance) se nezmění. Ukažme si vše na příkladu grafu tvaru kříže s vnitřními hranami, eichž délka závisí na parametru λ. Skládá se ze dvou vnitřních hran o délkách l1 = l (1 - λ) a l2 = l (1 + λ) a dvou polopřímek. Všechny čtyři hrany sou spoeny v ednom bodě. Ve středním vrcholu uvažueme delta-podmínku a v kraních vrcholech obou vnitřních hran tzv. Dirichletovu podmínku f1(l1) = 0 = f2(l2). Chování rezonancí e zobrazeno na obr. 2 a 3. Barvou e znázorněna změna koeficientu λ, který se mění od červené λ = 0 po modrou λ = 1. Obr. 2: Traektorie rezonance, která začíná v k0 = 2π pro α = 10.

4 Obr. 3: Traektorie rezonance pro α = 1. Rezonance se pro určité racionální hodnoty parametru λ vrací k reálné ose, protože pro tyto hodnoty opět existue vlastní hodnota s vlastní funkcí s nosičem na obou vnitřních hranách grafu a nulou v eho středním vrcholu. Na obr. 4 můžeme pozorovat křížení rezonancí. Dvě rezonance pro hodnotu λ = 2,596 se k sobě přiblíží a po chvíli se zase rozedou. Pokud zvýšíme koeficient na hodnotu λ = 2,598, obě rezonance si prohodí druhou část traektorie. Obr. 4: Křížení rezonancí pro α = 2,596. Asymptotika počtu rezonancí v kvantových grafech Dalším problémem, který můžeme u rezonancí sledovat, e eich počet. Kdybychom odpoili všechny polopřímky od vnitřní části grafu, byly by všechny rezolventní rezonance vlastními hodnotami. Asymptotické chování počtu vlastních hodnot pro Laplaceův-Beltramiho operátor na d-dimenzionální varietu e dáno Weylovým zákonem. Uvažume tento operátor na d- dimenzionální kompaktní riemannovské varietě o ploše Ω. Počet vlastních hodnot s absolutní hodnotou menší než λ e

5 ωd Ω d ωd 1 Ω d 1 d 1 N( λ ) = λ ± λ + o( λ ), (6) d d 1 (2π ) 4(2π ) kde ωd značí obem d-dimenzionální koule o poloměru 1. Pro ednodimenzionální případ, kvantový graf o součtu délek vnitřních hran V, očekáváme tedy asymptotiku V N ( λ ) = λ + O(1). Studueme-li problém v k-rovině (tedy vynášíme-li odmocninu z energie), π musíme předchozí výraz zdvonásobit, protože každou vlastní hodnotu započteme dvakrát, neboť k 2 = -k 2. Nyní budeme sledovat počet rezolventních rezonancí v kruhu o poloměru R v k-rovině. 2V Očekávali bychom stený výsledek ako v případě vlastních hodnot, tedy N ( R) = R + O(1) π. Tato asymptotika platí u většiny grafů, pro některé z nich e však překvapivě konstanta v prvním členu asymptotiky menší. Takové grafy nazýváme neweylovskými. Příkladem může být graf, ehož eden z vrcholů spoue ednu vnitřní hranu s ednou polopřímkou a v tomto vrcholu e tzv. standardní (Kirchhoffova) vazebná podmínka. Tato podmínka e deltapodmínkou se silou α = 0, což pro výše uvedený vrchol znamená, že ak funkční hodnota, tak derivace e v tomto bodě spoitá. Proto v tomto bodě není žádná interakce, takže můžeme efektivně polopřímku s touto vnitřní hranou nahradit ednou velkou polopřímkou. Velikost vnitřní části grafu se tedy sníží a konstanta v prvním členu asymptotiky e menší. Davies a Pushnitski [10] studovali asymptotiku rezonancí pro standardní (Kirchhoffovy) podmínky. Zistili, že graf e neweylovský, právě když obsahue vyvážený vrchol (vrchol spouící stený počet vnitřních a vněších hran). V článku [11] sme tento výsledek zobecnili na všechny vazebné podmínky. Graf e 1 k 1 + k neweylovský, když efektivní vazebná matice Uef (k) má vlastní hodnotu buď, nebo 1 + k 1 k. Dále sme zistili, že případ, který zvolili Davies s Pushnitskim, e výimečný. Z celé podtřídy vazebných podmínek, které sou permutačně symetrické, existuí pouze dva případy, u nichž se mohou vyskytnout neweylovské grafy standardní (Kirchhoffova) vazba a eí protiklad anti- Kirchhoffova vazba. Pro ostatní vazebné podmínky sou všechny grafy weylovské. Zatímco o tom, zda e graf weylovský nebo neweylovský, rozhoduí eho lokální vlastnosti (efektivní vazebná matice ve vrcholu), pokud nás zaímá efektivní velikost grafu (tedy konstanta v prvním členu asymptotiky), musíme použít globální vlastnosti grafu. Ukazue to následuící příklad. Uvažume graf typu pravidelného mnohoúhelníku s dvěma polopřímkami připoenými v každém bodě (obr. 5).

6 Obr. 5: Graf tvaru pravidelného mnohoúhelníku se dvěma připoenými polopřímkami v každém vrcholu S využitím symetrie grafu lze vypočítat, že efektivní velikost e Wn = nl/2 pro n 0 mod 4 a Wn = (n-2)l/2 pro n = 0 mod 4. Větší symetrie grafu pro počet vrcholů, který e násobkem čtyř, tedy způsobue, že lze vymazat větší část vnitřku grafu. Efektivní velikost grafu tedy závisí na globální struktuře grafu, hlavně na eho symetriích. Dále sme v článku [12] zkoumali, ak se asymptotika počtu rezonancí změní,vložíme-li graf do magnetického pole. Zistili sme, že magnetickým polem nelze změnit neweylovský graf na weylovský a obráceně. Ale e možné změnit efektivní velikost grafu, který e bez magnetického pole neweylovský. Poděkování Tento článek vznikl za podpory proektu Rozvo působení postdoktorandů na Univerzitě Hradec Králové, reg. č. CZ.1.07/2.3.00/ Reference [1] Pauling, L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules. J. Chem. Phys., vol. 4, pp [2] Ruedenberg, K. and Scherr, C. Free-electron network model for conugated systems, I. Theory. J. Chem. Phys., vol. 21, pp [3] Hul, O., Bauch, S., Pakoński, P., Savytskyy, N., Zyczkowski, K., and Sirko, L. Experimental simulation of quantum graphs by microwave networks. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys., vol. 69, p [4] Harmer, M. Hermitian symplectic geomety and extension theory. J. Phys. A: Math. Gen., vol. 33, pp [5] Kostrykin, V. and Schrader, R. Kirchhoff s rule for quantum wires. II: The inverse problem with possible applications to quantum computers. Fortschritte der Physik, vol. 48, pp [6] Aguilar, J. and Combes, J.-M. A class of analytic perturbations for one-body Schrödinger operators. Commun. Math. Phys., 1971, vol. 22, pp [7] Baslev, E. and Combes, J.-M. Spectral properties of many body Schrödinger operators with dilation analytic interactions. Commun. Math. Phys., 1971, vol. 22, pp [8] Exner P., Lipovský J., Equivalence of resolvent and scattering resonances on quantum graphs

7 in "Adventures in Mathematical Physics" (Proceedings, Cergy-Pontoise 2006), AMS "Contemporary Mathematics"Series, vol. 447, Providence, R.I., 2007; pp [9] Exner P., Lipovský J., Resonances from perturbations of quantum graphs with rationally related edges, J. Phys. A43 (2010), [10] Davies E.B., Pushnitski A., Non-Weyl Resonance Asymptotics for Quantum Graphs, Analysis & PDE, 4 no.5 (2011), [11] Davies E.B., Exner P., Lipovský J., Non-Weyl asymptotics for quantum graphs with general coupling conditions, J. Phys. A43 (2010), [12] Exner P., Lipovský J., Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs in a magnetic field, Phys. Lett. A375 (2011),