Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Ondřej Žára KVADRATURNÍ FORMULE A FUNKCE EXPONENCIÁLNÍHO TYPU Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Studijní program: Výpočtová matematika

2 Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 9. dubna 27 Ondřej Žára

3 Chtěl bych poděkovat vedoucímu diplomové práce, doc. RNDr. Josefu Kofroňovi, CSc., za poskytnuté studijní materiály, rady, podnětné připomínky a věnovaný čas.

4 Obsah 1 Úvod 1 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Trigonometrické polynomy Funkce z B 2 2π,d Sobolevovy prostory Odhady založené na řádu a typu Formule pro funkce exponenciálního typu Integrace po kladné poloose Příklady Formule založená na Turánově vzorci Turánův vzorec Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu Literatura 47

5 Název práce: Kvadraturní formule a funkce exponenciálního typu Autor: Ondřej Žára Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. vedoucího: Abstrakt: Diplomová práce je zaměřena na studium funkcí exponenciálního typu ve vztahu k aplikacím na kvadraturní formule. K tématu existuje několik článků, zabývajících se různými kvadraturními formulemi a jejich vlastnostmi na třídě celistvých funkcí a funkcí exponenciálního typu; tato práce je shrnuje, doplňuje jejich neúplné či chybějící důkazy a doprovází výklad několika příklady. Přestože nebylo dosaženo žádných nových fundamentálních výsledků, nejde jen o prostý překlad článků - práce obsahuje vlastní důkazy, příklady, komentáře a vysvětlující popisy. Klíčová slova: holomorfní funkce, celistvé funkce, funkce exponenciálního typu, kvadratura, lichoběžníkové pravidlo, typ, řád Title: Quadrature formulae and functions of exponential type Author: Ondřej Žára Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Supervisor s address: Abstract: Master thesis focuses on analysis of entire functions of exponential type, ephasizing their applications to quadrature formulae. Several articles describing quadrature formulae of entire functions and functions of exponential type are available; this work aims to sum and consolidate their results, fill in missing or incomplete proofs and accompany formulae by examples. Although no new fundamental results were achieved, this work contains far more than just article translations - author s own proofs, examples, comments and explanations are included. Keywords: holomorphic functions, entire functions, functions of exponential type, quadrature, trapezoidal rule, type, order

6 1 Úvod 1 1 Úvod K problematice kvadratury celistvých funkcí, potažmo pak funkcí exponenciálního typu, je dostupná řada článků zejména [1], [2], [8], [1] a [11]). Bohužel, jejich obsah je poměrně strohý, prostý zevrubnějších důkazů a příkladů. Tato práce si klade za cíl zmíněnou problematiku sjednotit, detailněji popsat a přiblížit tak méně zainteresovanému čtenáři. Do práce bohužel nemohl být zahrnut článek [11], neboť většina jeho pramenů je nedostupná. Zároveň se nepodařilo kontaktovat profesora Q. I. Rahmana, který by - jako autor článku - mohl poskytnout detailnější informace. Těžiště práce se tak mírně posouvá: důraz je kladen i na širší množinu celistvých funkcí a jejich kvadraturu, zatímco funkcím exponenciálního typu jsou vyhrazeny části 2.4, 3 a 4.

7 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo 2 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Výsledky této části jsou založeny především na [1] a [2]. Definice. Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R C. Pro funkce f C 2π R) definujme n-bodové lichoběžníkové pravidlo: 2π fx) dx = 2π n n ) 2πν f + R n [f] 1) n ν=1 Obrázek 1: Trojbodové lichoběžníkové pravidlo Na Obrázku 1 vidíme lichoběžníkové pravidlo pro případ n = 3: černá kolečka představují funkční hodnoty [ f )] 2πν 3, tečkované obdélníky odpovídají plochám 2π f ) 3 ν=1 2πν 3 3. Součet ploch těchto obdélníků je stejný jako plocha pod červenou čarou; když ji s periodickým prodloužením) posuneme doprava o n/6, snadno nahlédneme, že jde opravdu o lichoběžníky. V této části práce se budeme zabývat tím, jak se chová zbytek R n [f] pro různé typy funkcí. 2.1 Trigonometrické polynomy Lemma Nechť T k značí prostor všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše k. Pak pro všechna f T k platí

8 2.1 Trigonometrické polynomy 3 R n [f] = pro všechna n > k. 2) Důkaz. Nechť fx) = k l= eilx, k < n. Levá strana lichoběžníkového pravidla je rovna 2π; chceme ukázat, že 2π = 2π n n ν=1 f ) 2πν n, neboli l= ν=1 n = n ν=1 exp 2πi n)) l ν = k l= exp 2πi lν ). n Pravou stranu můžeme psát ve tvaru [ k n k n = l= ν= ] exp 2πi n)) l ν 1 = [ k n ] ω n l) ν 1, l= kde ω n l) := e 2πi n) l. Pro l = 1,..., n nabývá ωn l) všech hodnot n-té odmocniny komplexní jednotky. Vzorec pro částečný součet geometrické řady dává n 1 ν= ν= ω n l) ν = ω nl) n 1 ω n l) 1, což je ; jmenovatel naopak nikdy roven nule není, protože l < n a tedy ω n l) 1. Všimneme si, že [ k n ] k ω n l) ν 1 = [ω n l) n 1] = k 1 1) = ; l=1 ν= pro zbývající člen l = platí l=1 n ω n ) ν 1 = n + 1) 1 1 = n, ν= což je hledaná část pravé strany lichoběžníkového pravidla.

9 2.1 Trigonometrické polynomy 4 Vlastnost 2) však prostor T k necharakterizuje, neboť 2) platí i pro jiné funkce, například všechny f liché na intervalu [, 2π] tj. fx) f2π x)). Dokonce je možné ukázat viz [21], [22] a [23]), že pro gx) = n=1 µn) n einx, kde µ je Möbiova funkce 1, platí R n [g] = pro všechna n N, přestože g + c není na intervalu [, 2π] lichá pro žádnou konstantu c. Pro využití zbytku lichoběžníkového pravidla je třeba uvážit posuny funkce f: f h : x fx + h), h R, jejichž zbytek R n [f h ] lze odhadnout s využitím Fejérovy věty. Lemma Vlastnosti Fejérova jádra). Fejérovo jádro kde K n x) := 1 n + 1 D k x) := 1 2 je Dirichletovo jádro, má tyto vlastnosti: i) K n x) = 1 2 ii) 1 π π π n k= n K n x) dx = 1, 1 k ) e ikx, n + 1 n D k x), k= k j= k π 2 iii) K n x) n + 1)x pro < x π. 2 1 pro n 1 1 definice převzata z [3]: µn) := 1) k pokud n je součin k navzájem různých prvočísel jinak e ijx

10 2.1 Trigonometrické polynomy 5 Důkaz. i): Z definice Dirichletova jádra je ii): Je n + 1)K n x)) = π π 1 2 n k= n = 1 2 n D k x) = k= e ikx dx = 1 2 n k= 1 2 k j= k n n + 1 k )e ikx. k= n n k= n π π e ijx e ikx dx = π, neboť pro nenulové k se integrály odpovídající hodnotám ±k odečtou. Tedy 1 π π π D n x) dx = 1 a proto i iii): Dle [14] je 1 π K n x) dx = 1. π π tedy K n x) = 1 n + 1 ) 2 sinxn + 1)/2), sinx/2) K n x) 1 1 n + 1 sin 2 x/2). Víme, že pro < x π je t/π sint/2), takže K n x) 1 π 2 n + 1 x. 2 Věta Fejér). Nechť f C 2π R). Pokud ˆfk) := 1 2π ft)e ikt dt, k Z, 2π

11 2.1 Trigonometrické polynomy 6 pak fx) = lim m m k= m 1 k ) m + 1 ˆfk)e ikx 3) pro všechna x R. Důkaz. Definujme nejprve σ n f, x) := 1 π 2π ft)k n t x) dt, kde K n x) je n-té Fejérovo jádro. Ukážeme, že pro všechna x R je Je σ n f, x) = 1 π 2π lim σ nf, x) = fx). n ft)k n x t) dt = 1 π využijeme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti ii): σ n f, x) fx) = 1 π = 1 π π π 2π 2π fx t)k n t) dt fx) π fx t)k n t) dt ; π π K n t) dt K n t)[fx + t) + fx t) 2fx)] dt. Výraz v hranaté závorce označme Φx, t). Pro < δ < π máme σ n f, x) fx) 1 δ Φx, t) K n t) dt + π π Pro odhad prvního integrálu v 4) použijeme následující: Φx, t) fx + t) fx) + fx t) fx), δ ) Φx, t) K n t) dt. 4) tedy pro libovolné ε > můžeme volit < δ < π tak, aby pro všechna t, < t < δ platilo Φx, y) ε 2.

12 2.1 Trigonometrické polynomy 7 Potom lze odhadnout 1 π δ Φx, t) K n t) dt 1 π < 1 π δ ε 2 π ε 2 K nt) dt π K n t) dt < ε 2, neboť K n t) pro všechna t R. Pro odhad druhého integrálu v 4) využijme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti iii): 1 π π δ Φx, t) K n t) dt 1 π Φx, t) π 2 π 2 1 n + 1)x 2 π n + 1)x 2 dt π δ π 2 2 n + 1)x 2 δ f π fx) ). k= n fx + t) + fx t) 2fx) t 2 Tento člen jde pro n k nule, tedy lim n σ n f, x) = fx). Nakonec pomocí Lemmatu 2.1.2), vlastnosti i): K n x) = 1 n 1 k ) e ikx, 2 n + 1 tedy σ n f, x) = 1 π = 1 π = = = 2π 2π n k= n n k= n n k= n ft)k n x t) dt ft) 1 2 n k= n 1 k n + 1 ) e ikx t) dt 1 2π ft) 1 k ) e ikx e ikt dt 2π n k ) 1 2π ft)e ikt dt e ikx n + 1 2π ) ˆfk)e ikx. 1 k n + 1 dt

13 2.1 Trigonometrické polynomy 8 Lemma Nechť f C 2π R). Pak pro všechna h R platí R n [f h ] = lim m 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh. 5) Suma s hvězdičkou značí takový součet, ve kterém vynecháme sčítanec odpovídající indexu rovnému. Dále standardně x značí zaokrouhlení na celá čísla dolů. Důkaz. Dle předchozího lemmatu je f h x) = fx + h) = lim pro všechna x, h R. Tedy R n [f h ] = lim m k= m = lim m m k= m m 1 + k ) m + 1 [ 2π e ik x+h) dx 2π n m 1 + k ) m m + 1 k= m [ 2π e ik x+h) dx 2π n 1 + k ) m + 1 ˆfk) ˆfk)e ikx+h) ] n e ik h+2πν/n) = ν=1 ˆfk) ] n e ik h e ik 2πν/n. Pro k = je 2π e ikx+h) dx = 2π, v ostatních případech. Dále pro ta k, která nejsou násobkem n, je 1 n n ν=1 eik2πν/n =, v ostatních případech 1. Suma přes k má tedy nenulové sčítance jen pro k = jn, j N a platí 5). ν=1 Nyní již můžeme přistoupit k hlavnímu výsledku, týkajícího se trigonometrických polynomů. Věta Nechť f C 2π R). Pak f T k tehdy a jen tedy, pokud R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/n.

14 2.1 Trigonometrické polynomy 9 Důkaz. První implikace: pokud f T k, pak f h T k pro všechna h R a tedy R n [f h ] = pro všechna n > k, viz Lemma Druhá implikace: předpokládejme, že R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/2. Pak pro dané ε > a n > k existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π 1 jn ) ˆfjn)e ijnh < ε m + 1 j m/n pro všechna m m a h π/2. Tedy pro trigonometrický polynom tθ) := 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijθ 6) platí tθ) ε pro všchna θ R, pokud m m. Především tedy 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 < ε pro m m, n > k, z čehož plyne f T k.

15 2.2 Funkce z B 2 2π,d Funkce z B 2 2π,d množinu všech 2π-periodických funkcí f, holo- Definice. Označme B2π,d 2 morfních v které splňují S d := {z C : Iz < d}, 1 2π 1/2 f := sup fx + iy) dx) 2 < +. 7) y <d 2π Dále označme l 2 Hilbertův prostor posloupností a n ) n N, splňujících a n 2 <. n N Lemma Funkce f C 2π R) je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d tehdy a jen tehdy, pokud ˆfn) = a n e n d kde a ±n ) n N l 2. Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Pak definujme α n y) := 1 2π fx + iy)e inx dx pro n Z. 2π Když zintegrujeme funkci fz)e inz podél obdélníku s vrcholy, 2π, iy a 2π + iy, kde y < d a ny <, dostaneme Cauchyova věta), z čehož plyne, že ˆfn) = 1 2π fx)e inx dx 2π = 1 2π fx + iy)e inx+iy) dx = e ny α n y), 2π neboť hodnoty integrálů podél svislých přímek se navzájem vynulují jako důsledek předpokládané 2π-periodicity). Použijme nyní 7) a Besselovu nerovnost: ˆfn) 2 e 2 ny = α n y) 2 f 2 pro y d, d). n Z n Z

16 2.2 Funkce z B 2 2π,d 11 Tedy, volbou a n := ˆfn)e n d, dostáváme a n 2 e 2 n d y ) f 2 pro y d, d), n Z což implikuje z Z a n 2 f 2. Nyní naopak nechť ˆfn) = a n e n d, kde a ±n ) n N l 2. Pak funkce f má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a lze ji rozšířit do S d holomorfní funkcí fx + iy) := ˆfn)e inx+iy), která splňuje Parsevalovu rovnost: 1 2π fx + iy) 2 dx = 2π n= n= ˆfn)e ny 2 n= pro všechna y d, d). Tedy f < a f B 2 2π,d. a n 2 e 2 n d y ) Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d, ii) R n [f h ] b n e nd b n ) n N l 2. pro všchna n N a h π/n, kde d je kladné a Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Dle Lemmatu je ˆf = a n e n d, a n ) n N l 2. Tedy s pomocí Lemmatu dostáváme pro všechna n N a h R: R n [f h ] 2π a jn e n j d =: b n e nd. Chceme ukázat, že b n l 2. Je b n = 2π j Z a jn e nd j 1) = 2π j Z [ ajn e nd j 1)/2 e nd j 1)/2], j Z

17 2.2 Funkce z B 2 2π,d 12 dle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti platí [ ] [ ] b n 2 4π 2 a jn 2 e nd j 1) e nd j 1) j Z j Z [ ] 4π 2 a jn 2 e [2 ) ] nd j 1) e d nj j Z j= 8π 2 a 1 e d jn 2 e nd j 1), j Z kde součet j= e d ) nj jsme odhadli součtem celé řady 1 1 e d, a tedy pro všechna N N: N b n 2 n=1 8π 2 1 e d 8π 2 m Z 1 e d ) 2 m 1 a m 2 ν= a m 2, m Z e νd tedy i) implikuje ii). Předpokládejme nyní naopak, že ii) platí. Nechť n je libovolné pevně zvolené přirozené číslo; dle Lemmatu existuje m N takové, že pro všechna m m platí 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh b n + 1 ) e nd. n Pravá strana nerovnosti tak omezuje koeficienty trigonometrického polynomu 6); především 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 b n + 1 ) e nd n pro všechna m m, tedy ˆf±n) 1 2π b n + 1 ) e nd. n S pomocí Lemmatu konečně dostáváme, že f je restrikcí do R nějaké funkce z B 2 2π,d.

18 2.3 Sobolevovy prostory Sobolevovy prostory Definice. Označme W k L Sobolevův) prostor funkcí f : R C s periodou 2 2π, pro které existuje f k 1) a je absolutně spojitá a f k) L 2, 2π). Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f W k L 2 pro nějaké přirozené k 2, ii) R n [f h ] b n n k pro všechna n N a h π/n, kde b n ) n N l 2 Důkaz. Dle [4, Věta 4.1.1] je tvrzení i) ekvivalentní tvrzení i*) ˆfn) = in) k c n pro všechna n Z, kde c ±n ) n N l 2. Tedy dle Lemmatu je R n [f h ] 2π j Z c jn jn k := b nn k pro všechna n N a h R. Pro k 2 a M k := j Nj k dostaneme z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti Tedy b n 2 8π 2 j k c jn 2 pro n N. j Z N m b n 2 8π 2 M k c m 2 j k 8π 2 Mk 2 c m 2 n=1 m Z a z toho plyne ii). Nyní nechť ii) platí. Ke každému n N existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π j m/n 1 jn ) m + 1 j=1 ˆfjn)e ijnh m Z b n + 1 ) n k n pro všechna m > m a h π/2. Uvážíme-li opět, stejně jako v důkazu Věty 2.2.2, polynom 6), dospějeme k platnosti i*), což implikuje platnost i).

19 2.4 Odhady založené na řádu a typu Odhady založené na řádu a typu V této části budou odvozeny některé odhady zbytku lichoběžníkového pravidla, závisející na řádu a typu funkce. Těchto nerovností lze prakticky využít, jak je v závěru části ukázáno. Funkce, které jsou holomorfní v celé komplexní rovině, nazýváme celistvé. Celistvé funkce bývá ve zvyku charakterizovat pomocí jejich řádu a typu; definujeme je stejně jako v [5]) následujícím způsobem. Označme Pak M f r) := max z =r fz). ρ := lim sup r log log M f r) log r nazýváme řádem funkce f. Pro funkci řádu ρ, ) definujeme její typ jako T := lim sup r log M f r) r ρ. Pro některé následující odhady je užitečné definovat také s-řád a s-typ. Předpokládejme, že celistvá funkce f je omezená v pásu Iz η pro < η <. Označme Pak M f η) := sup fx + iy). y η ρ s := lim sup η log log M f η) η nazýváme s-řádem funkce f. Pro funkci s-řádu ρ s, ) definujeme její s-typ jako log M f η) T s := lim sup. η e ηρ s Funkce řádu ρ < 1 a funkce řádu ρ = 1 typu T < tvoří třídu celistvých funkcí exponenciálního typu.

20 2.4 Odhady založené na řádu a typu 15 Příklady. Funkce f 1 := e 3x nabývá hodnoty M f1 r) na reálné ose. Je tedy a f 1 je řádu 1 typu 3. Funkce f 2 := e x2 splňuje ρ[f 1 ] = lim sup r T [f 1 ] = lim sup r ρ[f 2 ] = lim sup r T [f 2 ] = lim sup r log3r) = 1, log r 3r r = 3 2 logr) = 2, log r r 2 r = 1 2 a je řádu 2 typu 1. Funkce f 3 := e 2 sin x roste po imaginární ose rychleji než libovolná mocnina exponenciály; je proto f 3 xi) lim x e xi = a f 3 je řádu. Zajímavější je v tomto případě s-řád a s-typ: platí tedy Z toho plyne, že f 3 x + iy) = e 2 sin x = e 2sin x cosh y i cos x sinh y), M f3 η) = sup e 2sin x cosh y i cos x sinh y) = e 2 cosh η. y η ρ s [f 3 ] = lim sup η T s [f 3 ] = lim sup η loge η + e η ) η e η + e η = 1 e η = 1, a f 3 je s-řádu 1 s-typu 1. Nakonec mějme f 4 := e cos2 x. Tato funkce je opět řádu ; tentokrát M f4 η) = sup e cos x cosh y i sin x sinh y)2 = e cosh 2 η, y η

21 2.4 Odhady založené na řádu a typu 16 a tedy a f 4 je s-řádu 2 s-typu 1/2. ρ s [f 4 ] = lim sup η T s [f 4 ] = lim sup η 2 log eη +e η 2 ) η e η + e η )/2) 2 = 2, e 2η = 1 2 Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R R. Pro Fourierovy koeficienty funkcí z C 2π R) platí ˆf n) = ˆfn) pro n N. Fourierova řada ˆfn)e n= inz pak definuje celistvou funkci tehdy a jen tehdy, pokud lim ˆfn) 1/n =. 8) n Řád i typ celistvé funkce jsou jednoznačně určeny hodnotami ˆfn), n N. Pro následující odhady definujme ještě R n[f] := Lemma viz [7], Lemma III). Řada fz) = n= sup R n [f h ]. h π/n a n e inz a n = a n, n N) 9) definuje celistvou funkci konečného řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud lim sup n log n log log a n = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve předpokládejme, že fx) je celistvá funkce řádu ρ. Pak pro dané ε > a dostatečně velké x platí fx) < e x ρ+ε. 1) Hodnotu a n můžeme periodičnost, Cauchyův vzorec) počítat takto:

22 2.4 Odhady založené na řádu a typu 17 a n = 1 2π ir 2π = 1 2π ir 2π = 1 2π e nr fx)e inx dx ft ir)e int ir) dt 2π ft ir)e int dt, a n e r+π)ρ+ε nr, 11) využíváme 1). Pro dané n teď zvolíme r tak, abychom minimalizovali pravou stranu 11). Výpočtem dospějeme k tomu, že lim sup n Naopak, předpokládejme, že lim sup n log n log log a n ρ 1. 1 ρ log n log log a n 1 = k >. Pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n > n platí a n e inx < e nk+ε +n x. Z toho dostáváme, že tedy Lemma platí. ρ k k 1, Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud λ := lim sup n log n log logrn[f]) = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve nechť f je celistvá funkce řádu ρ 1. Této funkci přísluší Fourierova řada fz) = a n e inz kde a n = a n, n N. n=

23 2.4 Odhady založené na řádu a typu 18 Pro dané ε > plyne z Lemmatu 2.4.1, že a n < exp n ρ/ρ 1+ερ)) pro n n. Jestliže nyní použijeme Lemma 2.1.4, dostaneme Rn[f] 4π a jn 4π exp jn) ρ/ρ 1+ρε)). j=1 Pro dostatečně velká n můžeme součet odhadnout dvojnásobkem jeho prvního členu: R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)). Upravujme dále tuto nerovnost: tedy j=1 R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)) log Rn[f]) 1 n ρ/ρ 1+ρε) log8π) log n log R n [f] 1 + C ) ρ ρ 1 + ρε log n log log R n[f] 1 + C) λ := lim sup n ρ 1 ρ + ε, log n log logrn[f]) 1 ) ρ 1. 12) ρ Naopak, nechť λ je definováno jako v 12). Pak pro ε > můžeme odhadnout R n[f] < exp n 1/λ+ε)) pro n n. Z Lemmatu nyní pro každé n n existuje m N takové, že pro všechna m m a h π/n platí 2π 1 jn ) a jn e ijnh m + 1 < exp n ) 1/λ+ε). j m/n Uvažme opět polynom 6), omezený hodnotou exp n 1/λ+ε)). Pro koeficient příslušný ke členu j = 1 máme 2π 1 n ) a n < exp n 1/λ+ε)), m + 1

24 2.4 Odhady založené na řádu a typu 19 z tohoto dostáváme lim sup n log n log log a n 1 λ. Dle Lemmatu má tedy f rozšíření do celistvé funkce řádu ρ, kde ρ 1 ρ λ. 13) Z nerovností 12) a 13) plyne platnost Věty Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád ρ 1, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1+ερ)). Lemma Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce řádu ρ > 1. Pak f je typu T tehdy a jen tehdy, pokud β := lim sup n Důkaz. Definujme nejprve pomocnou funkci Pro y > je dále pak M f y) max π x π ) ρ ) ρ 1 n ρ 1 = T. ρ log a n 1 gz) := a 2 + a n z n. n=1 a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) + M g 1), 14) M f y 2 + π 2 ) max π x π a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) M g 1). 15)

25 2.4 Odhady založené na řádu a typu 2 Nahradíme-li e y za r, vidíme z 14) a 15), že řád i typ funkce f můžeme zjistit pomocí M g r) takto: Dle [6, Věta 2] je ρ := lim sup y T := lim sup y log log M f y) log y log M f y) y ρ = lim sup r = lim sup r log log M g r) log log r log M g r) log r) ρ. lim sup r log M g r) log r) ρ tedy Lemma platí. = lim sup n ) ρ 1 1 ρ 1 ρ ρ nρ, log a n 1 Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu > ρ > 1 a typu T tehdy a jen tehdy, pokud T := lim sup n ) ρ n ρ ρ 1 logr n[f]) 1 ) ρ 1. Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád > ρ > 1 a typ T, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1) ρ 1 ) ρt + ε)) 1/ρ 1). ρ Lemma viz [5], Věta 2.2.2, s. 9). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu ρ s tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n log a n 1. Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce konečného s-řádu > ρ s > tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n logr n[f]) 1.

26 2.4 Odhady založené na řádu a typu 21 Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád ρ s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] n n/ρ s+ε). Lemma viz [5], Věta 2.2.1, s. 11). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup n a n ρs/n. n Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup nrn[f]) ρs/n. n Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád > ρ s > a s-typ T s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí ) n/ρs eρs T s + ε R n [f]. n

27 2.4 Odhady založené na řádu a typu 22 Příklad. Uvažme funkci f 3, definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). S použitím výše uvedených vět dostáváme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O2 Věta 2.4.4) - nelze aplikovat, protože ρ[f 3 ] = O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/1+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 3 x) dx je , Tabulka 1 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = 2,..., 15 a jejich odchylku od přesného řešení. n 2π n n η=1 f 3 2πη ) n R n [f 3 ] E E E E E E E E E E E E E E 32 Tabulka 1: Lichoběžníkové pravidlo pro f 3 V Tabulce 2 je vidět jednotlivé odhady chyb. Tyto výsledky jsou spočítány pro ε =.5. Odhady O3 a O4 jsou výrazně přesnější, než odhad O1. Hodnoty jsou též vykresleny na Obrázku 2; černá čára představuje skutečnou chybu, červená, modrá a zelená jsou odhady O1, O3 a O4.

28 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5 n R n [f 3 ] O1 O3 O E E E 3 2.1E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 11 Tabulka 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5

29 2.4 Odhady založené na řádu a typu 24 n 2π m n η=1 f 4 2πη ) n R n [f 4 ] E E E E E E E E E E E E E E 15 Tabulka 3: lichoběžníkové pravidlo pro f 4 Příklad. Nyní uvažme funkci f 4, též definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). Opět máme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/2+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 4 x) dx je , Tabulka 3 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = a jejich odchylku od přesného řešení. Tabulka 4 opět zobrazuje odhady chyb, viz Obrázek 3. Použito bylo ε =.5.

30 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 3: Odhady chyb pro f 4, ε =.5 n R n [f 4 ] O1 O3 O E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 6 Tabulka 4: odhady chyb pro f 4, ε =.5

31 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 26 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 3.1 Integrace po kladné poloose Vyjděme z následujícího výsledku [2]): pokud f je celistvá funkce exponeciálního typu méně než 2π a f je integrovatelná na R, pak fx) dx = n= fn). 16) Příklad. Předpoklad na omezení typu funkce nelze zanedbat. Mějme { sin2πz) pro z, z fz) := 2π pro z =. f je řádu 1 typu 2π; dále fx) dx = π n= fn) = 2π. Vzniká otázka, existuje-li podobná formule i pro integraci pouze přes kladnou poloosu. Pro sudé funkce je 16) ekvivalentní s formulí fx) dx = 1 2 f) + fn), je tedy na místě zkoumat vztah mezi fx) dx a 1f) + 2 n=1 fn). Abel-Planova formule viz [9]) dává za předpokladu, že fx) dx = 1 2 f) + n=1 n=1 fiy) f iy) fn) i e 2πy 1 1. lim y fx ± iy) e 2πy = pro všecha x, dy, 17)

32 3.1 Integrace po kladné poloose fx ± iy) e 2πy dy existuje pro všecha x a dále lim x Vzorec 17) vyjadřuje rozdíl E := fx) dx fx ± iy) e 2πy dy =. 1 2 f) + n=1 fn) pomocí integrálu obsahujícího hodnoty f na imaginární ose. V této části práce bude odvozen jiný odhad E, který je výhodnější z numerického hlediska. V následujících lemmatech a větách označení B j určuje j-té Bernoulliho číslo, dále ζx) := n=1 n x značí Riemannovu zeta funkci. Lemma [11, Věta 7]). Nechť f je holomorfní funkce exponenciálního typu méně než 2π v pásu {z C : δ Rz N + δ}, kde δ > a N N. Pak ) kde N fx) dx = 1 N 1 2 f) + fn)) + L k z) := 1) k k j=1 n=1 fn) f 2j 1) N) f 2j 1) ) ) B 2j 2j)! + 18) +i 1) k L 2k t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dx, ν=1 e 2πνz, k N \ {1}, Rz. 19) 2πν) k Důkaz. Technický důkaz tohoto Lemmatu, formulovaného jako [11, Věta 7], tvoří většinu z téměř třicetistránkového článku [11]. V tomto případě se ovšem jedná jen o jednodušší verzi, totiž při zachování značení z [11])

33 3.1 Integrace po kladné poloose 28 a =, b = N, m =, tedy h = 1. Důkaz pak - velmi zhruba - postupuje následovně: Chceme dokázat, že v [11, Věta 3] je R 2,k,1,N [f] = i L 2,k,1 t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)), 2) kde L 2,k,1 splývá s L k, definovaným v 19). Počítáme tedy E [, N, f], definované na straně 246, pomocí [11, Věta 1]: E [, N, f] = kde + i + k j=1 N T B 2j 2j)! f 2j 1) N) f 2j 1) )) 21) Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du Φ 2k it)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dt, Φ k z) := i k+1 ν=1 Ψ k z) := i k+1 1) ν e 2πiνz 2πν) k ν=1 e 2πiνz 2πν) k. Pro T druhý integrál v 21) konverguje k pravé straně 2), navíc N lim i Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du = T e 2πνT N = lim T 1)k+1 e 2πiνu f 2k u it ) e 2πiνu f 2k u + it )) du = 2πν) 2k tedy 2) platí. ν=1 =,

34 3.1 Integrace po kladné poloose 29 Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ. Pak pro dané z C a ε > existuje n N tak, že pro všechna n n je f n) z ) τ + ε) n. Důkaz. Tento výsledek plyne z 2.2.1) v [5]. Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak Navíc ještě lim f j) x) = pro všechna j. x lim N L k t)f k) N ± it) dt =. Důkaz. Nejprve nahlédneme [5, Věta 2.4.1]), že všechny derivace f jsou exponenciálního typu τ. Dále dle [5, Věta *]) platí, že pokud existuje fx) dx, pak lim f j) x) = pro všechna j, x a tedy f k) x) je omezená na [, + ). Jsou tedy splněny předpoklady [5, Věta 6.2.3] a je f k) x) Ce π+τ/2) y pro x [, + ), y R, C >. Tedy dle definice 19) je pro y > y L k t)f k) N ± it) dt = C y ν=1 y C 2π) k ζk) e 2πνt 2πν) k Ceπ+τ/2)t dt e 2πνt+πt+τt/2 dt 2πν) k ν=1 y e π τ/2)t dt C ζk) 2π) k π τ/2 e π τ/2)y.

35 3.1 Integrace po kladné poloose 3 Tento člen se pro y + blíží nule. Aplikujme ještě [5, Věta 6.2.8] - dostáváme, že lim n + f k) x + iy) = pro všechna y >. Tedy platí zbývající rovnost pro všechna y >. y lim N L k t)f k) N ± it) dt = Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π. Pak lim k L k t)f k) t) dt =. Důkaz. Označme si integrály, jejichž limitu zkoumáme, jako posloupnost {I k }, I k := L k t)f k) t) dt. Vidíme, že I k existuje pro všechna k 2, protože všechny f k) jsou exponenciálního typu méně než 2π. Všimneme si ještě, že platí t L kt) = L k 1 t). Nyní můžeme integrovat per partes: I k = L k t)f k) t) dt = [L k+1 t)f k) t)] tedy pro všechna k > 2 platí = L k+1 )f k) ) I k+1, L k+1 t)f k+1) t) dt k 1 I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ) + 1) k I k. j=2 Pro platnost Lemmatu tak stačí ukázat, že I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ). j=2

36 3.1 Integrace po kladné poloose 31 = lim T T L 2t)f 2) t) dt, přičemž uvá- K tomuto dospějeme takto: I 2 žíme, že Tedy T L 2 t)f 2) t) dt = f 2) t) = n= f n+2) ) n= Budeme opět integrovat po částech: dále T L 2 t)t n dt = n 1) n+1 L n+1 ) = n! f n+2) ) t n. n! T ) L 2 t)t n dt L 3 t)t n 1 dt = nn 1) T > ). 22) L 4 t)t n 2 dt =... = 1) n+1 n!l n+1 ), 23) 1 2πj) = 1 ζn + 3) ζ3) n+3 2π) n+3 j=1 Z odhadů 23) a 24) tak dostáváme f n+2) ) n! T L 2 t)t n dt f n+2) )L n+3 ) f n+2) ) 2π) n+2. 24) 2π) n+3 ζ3) 2π 25) pro všechna T >. Dle Lemmatu pro n pravá strana 25) konverguje k nule, a součet v 22) má konvergentní majorantu nezávislou na T. Dostáváme tedy takže což jsme měli dokázat. I 2 = = = L 2 t)f 2) t) dt 1) n+1 L n+3 )f n+2) ) n= 1) j+1 L j+1 )f j ), j=2 lim I k =, k

37 3.1 Integrace po kladné poloose 32 Věta Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Důkaz. Vyjděme z Lemmatu Z 18) a Lemmatu plyne, že pro N je fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1) k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) dt. 26) Funkce fx), fi x) i f i x) jsou exponenciálního typu méně než 2π, tedy dle Lemmatu je lim k k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1)k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) = = j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Věta Nechť platí předpoklady Věty a navíc f je omezená na reálné ose konstantou M. Pak pro všechna k 2 platí kde fx) dx = 1 2 f) + k 1 fn) + f 2j 1) ) B 2j 2j)! + R k[f], R k [f] Důkaz. Dle Věty je n=1 j=1 2M ζ2k) τ ) 2k 1 τ/2π) 2 )τ. 27) 2π R k [f] = j=k f 2j 1) ) B 2j 2j)!.

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Obsah. 1. Komplexní čísla

Obsah. 1. Komplexní čísla KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i Řešení 2. série ÚlohaN2. Jedánopřirozenéčíslo d.dokažte,žejemožnénajíttakovékladnéreálnéčíslo c, žeprovšechnapřirozenáčísla n > dplatínerovnost [n 1,n 2,...,n d] > cn d. Hranatými závorkami značíme nejmenší

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Zadání I. série. Obr. 1

Zadání I. série. Obr. 1 Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více