Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Ondřej Žára KVADRATURNÍ FORMULE A FUNKCE EXPONENCIÁLNÍHO TYPU Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Studijní program: Výpočtová matematika

2 Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 9. dubna 27 Ondřej Žára

3 Chtěl bych poděkovat vedoucímu diplomové práce, doc. RNDr. Josefu Kofroňovi, CSc., za poskytnuté studijní materiály, rady, podnětné připomínky a věnovaný čas.

4 Obsah 1 Úvod 1 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Trigonometrické polynomy Funkce z B 2 2π,d Sobolevovy prostory Odhady založené na řádu a typu Formule pro funkce exponenciálního typu Integrace po kladné poloose Příklady Formule založená na Turánově vzorci Turánův vzorec Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu Literatura 47

5 Název práce: Kvadraturní formule a funkce exponenciálního typu Autor: Ondřej Žára Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. vedoucího: Josef.Kofron@mff.cuni.cz Abstrakt: Diplomová práce je zaměřena na studium funkcí exponenciálního typu ve vztahu k aplikacím na kvadraturní formule. K tématu existuje několik článků, zabývajících se různými kvadraturními formulemi a jejich vlastnostmi na třídě celistvých funkcí a funkcí exponenciálního typu; tato práce je shrnuje, doplňuje jejich neúplné či chybějící důkazy a doprovází výklad několika příklady. Přestože nebylo dosaženo žádných nových fundamentálních výsledků, nejde jen o prostý překlad článků - práce obsahuje vlastní důkazy, příklady, komentáře a vysvětlující popisy. Klíčová slova: holomorfní funkce, celistvé funkce, funkce exponenciálního typu, kvadratura, lichoběžníkové pravidlo, typ, řád Title: Quadrature formulae and functions of exponential type Author: Ondřej Žára Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Supervisor s address: Josef.Kofron@mff.cuni.cz Abstract: Master thesis focuses on analysis of entire functions of exponential type, ephasizing their applications to quadrature formulae. Several articles describing quadrature formulae of entire functions and functions of exponential type are available; this work aims to sum and consolidate their results, fill in missing or incomplete proofs and accompany formulae by examples. Although no new fundamental results were achieved, this work contains far more than just article translations - author s own proofs, examples, comments and explanations are included. Keywords: holomorphic functions, entire functions, functions of exponential type, quadrature, trapezoidal rule, type, order

6 1 Úvod 1 1 Úvod K problematice kvadratury celistvých funkcí, potažmo pak funkcí exponenciálního typu, je dostupná řada článků zejména [1], [2], [8], [1] a [11]). Bohužel, jejich obsah je poměrně strohý, prostý zevrubnějších důkazů a příkladů. Tato práce si klade za cíl zmíněnou problematiku sjednotit, detailněji popsat a přiblížit tak méně zainteresovanému čtenáři. Do práce bohužel nemohl být zahrnut článek [11], neboť většina jeho pramenů je nedostupná. Zároveň se nepodařilo kontaktovat profesora Q. I. Rahmana, který by - jako autor článku - mohl poskytnout detailnější informace. Těžiště práce se tak mírně posouvá: důraz je kladen i na širší množinu celistvých funkcí a jejich kvadraturu, zatímco funkcím exponenciálního typu jsou vyhrazeny části 2.4, 3 a 4.

7 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo 2 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Výsledky této části jsou založeny především na [1] a [2]. Definice. Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R C. Pro funkce f C 2π R) definujme n-bodové lichoběžníkové pravidlo: 2π fx) dx = 2π n n ) 2πν f + R n [f] 1) n ν=1 Obrázek 1: Trojbodové lichoběžníkové pravidlo Na Obrázku 1 vidíme lichoběžníkové pravidlo pro případ n = 3: černá kolečka představují funkční hodnoty [ f )] 2πν 3, tečkované obdélníky odpovídají plochám 2π f ) 3 ν=1 2πν 3 3. Součet ploch těchto obdélníků je stejný jako plocha pod červenou čarou; když ji s periodickým prodloužením) posuneme doprava o n/6, snadno nahlédneme, že jde opravdu o lichoběžníky. V této části práce se budeme zabývat tím, jak se chová zbytek R n [f] pro různé typy funkcí. 2.1 Trigonometrické polynomy Lemma Nechť T k značí prostor všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše k. Pak pro všechna f T k platí

8 2.1 Trigonometrické polynomy 3 R n [f] = pro všechna n > k. 2) Důkaz. Nechť fx) = k l= eilx, k < n. Levá strana lichoběžníkového pravidla je rovna 2π; chceme ukázat, že 2π = 2π n n ν=1 f ) 2πν n, neboli l= ν=1 n = n ν=1 exp 2πi n)) l ν = k l= exp 2πi lν ). n Pravou stranu můžeme psát ve tvaru [ k n k n = l= ν= ] exp 2πi n)) l ν 1 = [ k n ] ω n l) ν 1, l= kde ω n l) := e 2πi n) l. Pro l = 1,..., n nabývá ωn l) všech hodnot n-té odmocniny komplexní jednotky. Vzorec pro částečný součet geometrické řady dává n 1 ν= ν= ω n l) ν = ω nl) n 1 ω n l) 1, což je ; jmenovatel naopak nikdy roven nule není, protože l < n a tedy ω n l) 1. Všimneme si, že [ k n ] k ω n l) ν 1 = [ω n l) n 1] = k 1 1) = ; l=1 ν= pro zbývající člen l = platí l=1 n ω n ) ν 1 = n + 1) 1 1 = n, ν= což je hledaná část pravé strany lichoběžníkového pravidla.

9 2.1 Trigonometrické polynomy 4 Vlastnost 2) však prostor T k necharakterizuje, neboť 2) platí i pro jiné funkce, například všechny f liché na intervalu [, 2π] tj. fx) f2π x)). Dokonce je možné ukázat viz [21], [22] a [23]), že pro gx) = n=1 µn) n einx, kde µ je Möbiova funkce 1, platí R n [g] = pro všechna n N, přestože g + c není na intervalu [, 2π] lichá pro žádnou konstantu c. Pro využití zbytku lichoběžníkového pravidla je třeba uvážit posuny funkce f: f h : x fx + h), h R, jejichž zbytek R n [f h ] lze odhadnout s využitím Fejérovy věty. Lemma Vlastnosti Fejérova jádra). Fejérovo jádro kde K n x) := 1 n + 1 D k x) := 1 2 je Dirichletovo jádro, má tyto vlastnosti: i) K n x) = 1 2 ii) 1 π π π n k= n K n x) dx = 1, 1 k ) e ikx, n + 1 n D k x), k= k j= k π 2 iii) K n x) n + 1)x pro < x π. 2 1 pro n 1 1 definice převzata z [3]: µn) := 1) k pokud n je součin k navzájem různých prvočísel jinak e ijx

10 2.1 Trigonometrické polynomy 5 Důkaz. i): Z definice Dirichletova jádra je ii): Je n + 1)K n x)) = π π 1 2 n k= n = 1 2 n D k x) = k= e ikx dx = 1 2 n k= 1 2 k j= k n n + 1 k )e ikx. k= n n k= n π π e ijx e ikx dx = π, neboť pro nenulové k se integrály odpovídající hodnotám ±k odečtou. Tedy 1 π π π D n x) dx = 1 a proto i iii): Dle [14] je 1 π K n x) dx = 1. π π tedy K n x) = 1 n + 1 ) 2 sinxn + 1)/2), sinx/2) K n x) 1 1 n + 1 sin 2 x/2). Víme, že pro < x π je t/π sint/2), takže K n x) 1 π 2 n + 1 x. 2 Věta Fejér). Nechť f C 2π R). Pokud ˆfk) := 1 2π ft)e ikt dt, k Z, 2π

11 2.1 Trigonometrické polynomy 6 pak fx) = lim m m k= m 1 k ) m + 1 ˆfk)e ikx 3) pro všechna x R. Důkaz. Definujme nejprve σ n f, x) := 1 π 2π ft)k n t x) dt, kde K n x) je n-té Fejérovo jádro. Ukážeme, že pro všechna x R je Je σ n f, x) = 1 π 2π lim σ nf, x) = fx). n ft)k n x t) dt = 1 π využijeme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti ii): σ n f, x) fx) = 1 π = 1 π π π 2π 2π fx t)k n t) dt fx) π fx t)k n t) dt ; π π K n t) dt K n t)[fx + t) + fx t) 2fx)] dt. Výraz v hranaté závorce označme Φx, t). Pro < δ < π máme σ n f, x) fx) 1 δ Φx, t) K n t) dt + π π Pro odhad prvního integrálu v 4) použijeme následující: Φx, t) fx + t) fx) + fx t) fx), δ ) Φx, t) K n t) dt. 4) tedy pro libovolné ε > můžeme volit < δ < π tak, aby pro všechna t, < t < δ platilo Φx, y) ε 2.

12 2.1 Trigonometrické polynomy 7 Potom lze odhadnout 1 π δ Φx, t) K n t) dt 1 π < 1 π δ ε 2 π ε 2 K nt) dt π K n t) dt < ε 2, neboť K n t) pro všechna t R. Pro odhad druhého integrálu v 4) využijme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti iii): 1 π π δ Φx, t) K n t) dt 1 π Φx, t) π 2 π 2 1 n + 1)x 2 π n + 1)x 2 dt π δ π 2 2 n + 1)x 2 δ f π fx) ). k= n fx + t) + fx t) 2fx) t 2 Tento člen jde pro n k nule, tedy lim n σ n f, x) = fx). Nakonec pomocí Lemmatu 2.1.2), vlastnosti i): K n x) = 1 n 1 k ) e ikx, 2 n + 1 tedy σ n f, x) = 1 π = 1 π = = = 2π 2π n k= n n k= n n k= n ft)k n x t) dt ft) 1 2 n k= n 1 k n + 1 ) e ikx t) dt 1 2π ft) 1 k ) e ikx e ikt dt 2π n k ) 1 2π ft)e ikt dt e ikx n + 1 2π ) ˆfk)e ikx. 1 k n + 1 dt

13 2.1 Trigonometrické polynomy 8 Lemma Nechť f C 2π R). Pak pro všechna h R platí R n [f h ] = lim m 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh. 5) Suma s hvězdičkou značí takový součet, ve kterém vynecháme sčítanec odpovídající indexu rovnému. Dále standardně x značí zaokrouhlení na celá čísla dolů. Důkaz. Dle předchozího lemmatu je f h x) = fx + h) = lim pro všechna x, h R. Tedy R n [f h ] = lim m k= m = lim m m k= m m 1 + k ) m + 1 [ 2π e ik x+h) dx 2π n m 1 + k ) m m + 1 k= m [ 2π e ik x+h) dx 2π n 1 + k ) m + 1 ˆfk) ˆfk)e ikx+h) ] n e ik h+2πν/n) = ν=1 ˆfk) ] n e ik h e ik 2πν/n. Pro k = je 2π e ikx+h) dx = 2π, v ostatních případech. Dále pro ta k, která nejsou násobkem n, je 1 n n ν=1 eik2πν/n =, v ostatních případech 1. Suma přes k má tedy nenulové sčítance jen pro k = jn, j N a platí 5). ν=1 Nyní již můžeme přistoupit k hlavnímu výsledku, týkajícího se trigonometrických polynomů. Věta Nechť f C 2π R). Pak f T k tehdy a jen tedy, pokud R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/n.

14 2.1 Trigonometrické polynomy 9 Důkaz. První implikace: pokud f T k, pak f h T k pro všechna h R a tedy R n [f h ] = pro všechna n > k, viz Lemma Druhá implikace: předpokládejme, že R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/2. Pak pro dané ε > a n > k existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π 1 jn ) ˆfjn)e ijnh < ε m + 1 j m/n pro všechna m m a h π/2. Tedy pro trigonometrický polynom tθ) := 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijθ 6) platí tθ) ε pro všchna θ R, pokud m m. Především tedy 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 < ε pro m m, n > k, z čehož plyne f T k.

15 2.2 Funkce z B 2 2π,d Funkce z B 2 2π,d množinu všech 2π-periodických funkcí f, holo- Definice. Označme B2π,d 2 morfních v které splňují S d := {z C : Iz < d}, 1 2π 1/2 f := sup fx + iy) dx) 2 < +. 7) y <d 2π Dále označme l 2 Hilbertův prostor posloupností a n ) n N, splňujících a n 2 <. n N Lemma Funkce f C 2π R) je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d tehdy a jen tehdy, pokud ˆfn) = a n e n d kde a ±n ) n N l 2. Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Pak definujme α n y) := 1 2π fx + iy)e inx dx pro n Z. 2π Když zintegrujeme funkci fz)e inz podél obdélníku s vrcholy, 2π, iy a 2π + iy, kde y < d a ny <, dostaneme Cauchyova věta), z čehož plyne, že ˆfn) = 1 2π fx)e inx dx 2π = 1 2π fx + iy)e inx+iy) dx = e ny α n y), 2π neboť hodnoty integrálů podél svislých přímek se navzájem vynulují jako důsledek předpokládané 2π-periodicity). Použijme nyní 7) a Besselovu nerovnost: ˆfn) 2 e 2 ny = α n y) 2 f 2 pro y d, d). n Z n Z

16 2.2 Funkce z B 2 2π,d 11 Tedy, volbou a n := ˆfn)e n d, dostáváme a n 2 e 2 n d y ) f 2 pro y d, d), n Z což implikuje z Z a n 2 f 2. Nyní naopak nechť ˆfn) = a n e n d, kde a ±n ) n N l 2. Pak funkce f má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a lze ji rozšířit do S d holomorfní funkcí fx + iy) := ˆfn)e inx+iy), která splňuje Parsevalovu rovnost: 1 2π fx + iy) 2 dx = 2π n= n= ˆfn)e ny 2 n= pro všechna y d, d). Tedy f < a f B 2 2π,d. a n 2 e 2 n d y ) Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d, ii) R n [f h ] b n e nd b n ) n N l 2. pro všchna n N a h π/n, kde d je kladné a Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Dle Lemmatu je ˆf = a n e n d, a n ) n N l 2. Tedy s pomocí Lemmatu dostáváme pro všechna n N a h R: R n [f h ] 2π a jn e n j d =: b n e nd. Chceme ukázat, že b n l 2. Je b n = 2π j Z a jn e nd j 1) = 2π j Z [ ajn e nd j 1)/2 e nd j 1)/2], j Z

17 2.2 Funkce z B 2 2π,d 12 dle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti platí [ ] [ ] b n 2 4π 2 a jn 2 e nd j 1) e nd j 1) j Z j Z [ ] 4π 2 a jn 2 e [2 ) ] nd j 1) e d nj j Z j= 8π 2 a 1 e d jn 2 e nd j 1), j Z kde součet j= e d ) nj jsme odhadli součtem celé řady 1 1 e d, a tedy pro všechna N N: N b n 2 n=1 8π 2 1 e d 8π 2 m Z 1 e d ) 2 m 1 a m 2 ν= a m 2, m Z e νd tedy i) implikuje ii). Předpokládejme nyní naopak, že ii) platí. Nechť n je libovolné pevně zvolené přirozené číslo; dle Lemmatu existuje m N takové, že pro všechna m m platí 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh b n + 1 ) e nd. n Pravá strana nerovnosti tak omezuje koeficienty trigonometrického polynomu 6); především 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 b n + 1 ) e nd n pro všechna m m, tedy ˆf±n) 1 2π b n + 1 ) e nd. n S pomocí Lemmatu konečně dostáváme, že f je restrikcí do R nějaké funkce z B 2 2π,d.

18 2.3 Sobolevovy prostory Sobolevovy prostory Definice. Označme W k L Sobolevův) prostor funkcí f : R C s periodou 2 2π, pro které existuje f k 1) a je absolutně spojitá a f k) L 2, 2π). Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f W k L 2 pro nějaké přirozené k 2, ii) R n [f h ] b n n k pro všechna n N a h π/n, kde b n ) n N l 2 Důkaz. Dle [4, Věta 4.1.1] je tvrzení i) ekvivalentní tvrzení i*) ˆfn) = in) k c n pro všechna n Z, kde c ±n ) n N l 2. Tedy dle Lemmatu je R n [f h ] 2π j Z c jn jn k := b nn k pro všechna n N a h R. Pro k 2 a M k := j Nj k dostaneme z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti Tedy b n 2 8π 2 j k c jn 2 pro n N. j Z N m b n 2 8π 2 M k c m 2 j k 8π 2 Mk 2 c m 2 n=1 m Z a z toho plyne ii). Nyní nechť ii) platí. Ke každému n N existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π j m/n 1 jn ) m + 1 j=1 ˆfjn)e ijnh m Z b n + 1 ) n k n pro všechna m > m a h π/2. Uvážíme-li opět, stejně jako v důkazu Věty 2.2.2, polynom 6), dospějeme k platnosti i*), což implikuje platnost i).

19 2.4 Odhady založené na řádu a typu Odhady založené na řádu a typu V této části budou odvozeny některé odhady zbytku lichoběžníkového pravidla, závisející na řádu a typu funkce. Těchto nerovností lze prakticky využít, jak je v závěru části ukázáno. Funkce, které jsou holomorfní v celé komplexní rovině, nazýváme celistvé. Celistvé funkce bývá ve zvyku charakterizovat pomocí jejich řádu a typu; definujeme je stejně jako v [5]) následujícím způsobem. Označme Pak M f r) := max z =r fz). ρ := lim sup r log log M f r) log r nazýváme řádem funkce f. Pro funkci řádu ρ, ) definujeme její typ jako T := lim sup r log M f r) r ρ. Pro některé následující odhady je užitečné definovat také s-řád a s-typ. Předpokládejme, že celistvá funkce f je omezená v pásu Iz η pro < η <. Označme Pak M f η) := sup fx + iy). y η ρ s := lim sup η log log M f η) η nazýváme s-řádem funkce f. Pro funkci s-řádu ρ s, ) definujeme její s-typ jako log M f η) T s := lim sup. η e ηρ s Funkce řádu ρ < 1 a funkce řádu ρ = 1 typu T < tvoří třídu celistvých funkcí exponenciálního typu.

20 2.4 Odhady založené na řádu a typu 15 Příklady. Funkce f 1 := e 3x nabývá hodnoty M f1 r) na reálné ose. Je tedy a f 1 je řádu 1 typu 3. Funkce f 2 := e x2 splňuje ρ[f 1 ] = lim sup r T [f 1 ] = lim sup r ρ[f 2 ] = lim sup r T [f 2 ] = lim sup r log3r) = 1, log r 3r r = 3 2 logr) = 2, log r r 2 r = 1 2 a je řádu 2 typu 1. Funkce f 3 := e 2 sin x roste po imaginární ose rychleji než libovolná mocnina exponenciály; je proto f 3 xi) lim x e xi = a f 3 je řádu. Zajímavější je v tomto případě s-řád a s-typ: platí tedy Z toho plyne, že f 3 x + iy) = e 2 sin x = e 2sin x cosh y i cos x sinh y), M f3 η) = sup e 2sin x cosh y i cos x sinh y) = e 2 cosh η. y η ρ s [f 3 ] = lim sup η T s [f 3 ] = lim sup η loge η + e η ) η e η + e η = 1 e η = 1, a f 3 je s-řádu 1 s-typu 1. Nakonec mějme f 4 := e cos2 x. Tato funkce je opět řádu ; tentokrát M f4 η) = sup e cos x cosh y i sin x sinh y)2 = e cosh 2 η, y η

21 2.4 Odhady založené na řádu a typu 16 a tedy a f 4 je s-řádu 2 s-typu 1/2. ρ s [f 4 ] = lim sup η T s [f 4 ] = lim sup η 2 log eη +e η 2 ) η e η + e η )/2) 2 = 2, e 2η = 1 2 Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R R. Pro Fourierovy koeficienty funkcí z C 2π R) platí ˆf n) = ˆfn) pro n N. Fourierova řada ˆfn)e n= inz pak definuje celistvou funkci tehdy a jen tehdy, pokud lim ˆfn) 1/n =. 8) n Řád i typ celistvé funkce jsou jednoznačně určeny hodnotami ˆfn), n N. Pro následující odhady definujme ještě R n[f] := Lemma viz [7], Lemma III). Řada fz) = n= sup R n [f h ]. h π/n a n e inz a n = a n, n N) 9) definuje celistvou funkci konečného řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud lim sup n log n log log a n = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve předpokládejme, že fx) je celistvá funkce řádu ρ. Pak pro dané ε > a dostatečně velké x platí fx) < e x ρ+ε. 1) Hodnotu a n můžeme periodičnost, Cauchyův vzorec) počítat takto:

22 2.4 Odhady založené na řádu a typu 17 a n = 1 2π ir 2π = 1 2π ir 2π = 1 2π e nr fx)e inx dx ft ir)e int ir) dt 2π ft ir)e int dt, a n e r+π)ρ+ε nr, 11) využíváme 1). Pro dané n teď zvolíme r tak, abychom minimalizovali pravou stranu 11). Výpočtem dospějeme k tomu, že lim sup n Naopak, předpokládejme, že lim sup n log n log log a n ρ 1. 1 ρ log n log log a n 1 = k >. Pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n > n platí a n e inx < e nk+ε +n x. Z toho dostáváme, že tedy Lemma platí. ρ k k 1, Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud λ := lim sup n log n log logrn[f]) = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve nechť f je celistvá funkce řádu ρ 1. Této funkci přísluší Fourierova řada fz) = a n e inz kde a n = a n, n N. n=

23 2.4 Odhady založené na řádu a typu 18 Pro dané ε > plyne z Lemmatu 2.4.1, že a n < exp n ρ/ρ 1+ερ)) pro n n. Jestliže nyní použijeme Lemma 2.1.4, dostaneme Rn[f] 4π a jn 4π exp jn) ρ/ρ 1+ρε)). j=1 Pro dostatečně velká n můžeme součet odhadnout dvojnásobkem jeho prvního členu: R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)). Upravujme dále tuto nerovnost: tedy j=1 R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)) log Rn[f]) 1 n ρ/ρ 1+ρε) log8π) log n log R n [f] 1 + C ) ρ ρ 1 + ρε log n log log R n[f] 1 + C) λ := lim sup n ρ 1 ρ + ε, log n log logrn[f]) 1 ) ρ 1. 12) ρ Naopak, nechť λ je definováno jako v 12). Pak pro ε > můžeme odhadnout R n[f] < exp n 1/λ+ε)) pro n n. Z Lemmatu nyní pro každé n n existuje m N takové, že pro všechna m m a h π/n platí 2π 1 jn ) a jn e ijnh m + 1 < exp n ) 1/λ+ε). j m/n Uvažme opět polynom 6), omezený hodnotou exp n 1/λ+ε)). Pro koeficient příslušný ke členu j = 1 máme 2π 1 n ) a n < exp n 1/λ+ε)), m + 1

24 2.4 Odhady založené na řádu a typu 19 z tohoto dostáváme lim sup n log n log log a n 1 λ. Dle Lemmatu má tedy f rozšíření do celistvé funkce řádu ρ, kde ρ 1 ρ λ. 13) Z nerovností 12) a 13) plyne platnost Věty Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád ρ 1, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1+ερ)). Lemma Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce řádu ρ > 1. Pak f je typu T tehdy a jen tehdy, pokud β := lim sup n Důkaz. Definujme nejprve pomocnou funkci Pro y > je dále pak M f y) max π x π ) ρ ) ρ 1 n ρ 1 = T. ρ log a n 1 gz) := a 2 + a n z n. n=1 a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) + M g 1), 14) M f y 2 + π 2 ) max π x π a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) M g 1). 15)

25 2.4 Odhady založené na řádu a typu 2 Nahradíme-li e y za r, vidíme z 14) a 15), že řád i typ funkce f můžeme zjistit pomocí M g r) takto: Dle [6, Věta 2] je ρ := lim sup y T := lim sup y log log M f y) log y log M f y) y ρ = lim sup r = lim sup r log log M g r) log log r log M g r) log r) ρ. lim sup r log M g r) log r) ρ tedy Lemma platí. = lim sup n ) ρ 1 1 ρ 1 ρ ρ nρ, log a n 1 Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu > ρ > 1 a typu T tehdy a jen tehdy, pokud T := lim sup n ) ρ n ρ ρ 1 logr n[f]) 1 ) ρ 1. Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád > ρ > 1 a typ T, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1) ρ 1 ) ρt + ε)) 1/ρ 1). ρ Lemma viz [5], Věta 2.2.2, s. 9). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu ρ s tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n log a n 1. Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce konečného s-řádu > ρ s > tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n logr n[f]) 1.

26 2.4 Odhady založené na řádu a typu 21 Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád ρ s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] n n/ρ s+ε). Lemma viz [5], Věta 2.2.1, s. 11). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup n a n ρs/n. n Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup nrn[f]) ρs/n. n Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád > ρ s > a s-typ T s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí ) n/ρs eρs T s + ε R n [f]. n

27 2.4 Odhady založené na řádu a typu 22 Příklad. Uvažme funkci f 3, definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). S použitím výše uvedených vět dostáváme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O2 Věta 2.4.4) - nelze aplikovat, protože ρ[f 3 ] = O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/1+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 3 x) dx je , Tabulka 1 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = 2,..., 15 a jejich odchylku od přesného řešení. n 2π n n η=1 f 3 2πη ) n R n [f 3 ] E E E E E E E E E E E E E E 32 Tabulka 1: Lichoběžníkové pravidlo pro f 3 V Tabulce 2 je vidět jednotlivé odhady chyb. Tyto výsledky jsou spočítány pro ε =.5. Odhady O3 a O4 jsou výrazně přesnější, než odhad O1. Hodnoty jsou též vykresleny na Obrázku 2; černá čára představuje skutečnou chybu, červená, modrá a zelená jsou odhady O1, O3 a O4.

28 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5 n R n [f 3 ] O1 O3 O E E E 3 2.1E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 11 Tabulka 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5

29 2.4 Odhady založené na řádu a typu 24 n 2π m n η=1 f 4 2πη ) n R n [f 4 ] E E E E E E E E E E E E E E 15 Tabulka 3: lichoběžníkové pravidlo pro f 4 Příklad. Nyní uvažme funkci f 4, též definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). Opět máme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/2+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 4 x) dx je , Tabulka 3 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = a jejich odchylku od přesného řešení. Tabulka 4 opět zobrazuje odhady chyb, viz Obrázek 3. Použito bylo ε =.5.

30 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 3: Odhady chyb pro f 4, ε =.5 n R n [f 4 ] O1 O3 O E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 6 Tabulka 4: odhady chyb pro f 4, ε =.5

31 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 26 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 3.1 Integrace po kladné poloose Vyjděme z následujícího výsledku [2]): pokud f je celistvá funkce exponeciálního typu méně než 2π a f je integrovatelná na R, pak fx) dx = n= fn). 16) Příklad. Předpoklad na omezení typu funkce nelze zanedbat. Mějme { sin2πz) pro z, z fz) := 2π pro z =. f je řádu 1 typu 2π; dále fx) dx = π n= fn) = 2π. Vzniká otázka, existuje-li podobná formule i pro integraci pouze přes kladnou poloosu. Pro sudé funkce je 16) ekvivalentní s formulí fx) dx = 1 2 f) + fn), je tedy na místě zkoumat vztah mezi fx) dx a 1f) + 2 n=1 fn). Abel-Planova formule viz [9]) dává za předpokladu, že fx) dx = 1 2 f) + n=1 n=1 fiy) f iy) fn) i e 2πy 1 1. lim y fx ± iy) e 2πy = pro všecha x, dy, 17)

32 3.1 Integrace po kladné poloose fx ± iy) e 2πy dy existuje pro všecha x a dále lim x Vzorec 17) vyjadřuje rozdíl E := fx) dx fx ± iy) e 2πy dy =. 1 2 f) + n=1 fn) pomocí integrálu obsahujícího hodnoty f na imaginární ose. V této části práce bude odvozen jiný odhad E, který je výhodnější z numerického hlediska. V následujících lemmatech a větách označení B j určuje j-té Bernoulliho číslo, dále ζx) := n=1 n x značí Riemannovu zeta funkci. Lemma [11, Věta 7]). Nechť f je holomorfní funkce exponenciálního typu méně než 2π v pásu {z C : δ Rz N + δ}, kde δ > a N N. Pak ) kde N fx) dx = 1 N 1 2 f) + fn)) + L k z) := 1) k k j=1 n=1 fn) f 2j 1) N) f 2j 1) ) ) B 2j 2j)! + 18) +i 1) k L 2k t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dx, ν=1 e 2πνz, k N \ {1}, Rz. 19) 2πν) k Důkaz. Technický důkaz tohoto Lemmatu, formulovaného jako [11, Věta 7], tvoří většinu z téměř třicetistránkového článku [11]. V tomto případě se ovšem jedná jen o jednodušší verzi, totiž při zachování značení z [11])

33 3.1 Integrace po kladné poloose 28 a =, b = N, m =, tedy h = 1. Důkaz pak - velmi zhruba - postupuje následovně: Chceme dokázat, že v [11, Věta 3] je R 2,k,1,N [f] = i L 2,k,1 t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)), 2) kde L 2,k,1 splývá s L k, definovaným v 19). Počítáme tedy E [, N, f], definované na straně 246, pomocí [11, Věta 1]: E [, N, f] = kde + i + k j=1 N T B 2j 2j)! f 2j 1) N) f 2j 1) )) 21) Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du Φ 2k it)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dt, Φ k z) := i k+1 ν=1 Ψ k z) := i k+1 1) ν e 2πiνz 2πν) k ν=1 e 2πiνz 2πν) k. Pro T druhý integrál v 21) konverguje k pravé straně 2), navíc N lim i Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du = T e 2πνT N = lim T 1)k+1 e 2πiνu f 2k u it ) e 2πiνu f 2k u + it )) du = 2πν) 2k tedy 2) platí. ν=1 =,

34 3.1 Integrace po kladné poloose 29 Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ. Pak pro dané z C a ε > existuje n N tak, že pro všechna n n je f n) z ) τ + ε) n. Důkaz. Tento výsledek plyne z 2.2.1) v [5]. Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak Navíc ještě lim f j) x) = pro všechna j. x lim N L k t)f k) N ± it) dt =. Důkaz. Nejprve nahlédneme [5, Věta 2.4.1]), že všechny derivace f jsou exponenciálního typu τ. Dále dle [5, Věta *]) platí, že pokud existuje fx) dx, pak lim f j) x) = pro všechna j, x a tedy f k) x) je omezená na [, + ). Jsou tedy splněny předpoklady [5, Věta 6.2.3] a je f k) x) Ce π+τ/2) y pro x [, + ), y R, C >. Tedy dle definice 19) je pro y > y L k t)f k) N ± it) dt = C y ν=1 y C 2π) k ζk) e 2πνt 2πν) k Ceπ+τ/2)t dt e 2πνt+πt+τt/2 dt 2πν) k ν=1 y e π τ/2)t dt C ζk) 2π) k π τ/2 e π τ/2)y.

35 3.1 Integrace po kladné poloose 3 Tento člen se pro y + blíží nule. Aplikujme ještě [5, Věta 6.2.8] - dostáváme, že lim n + f k) x + iy) = pro všechna y >. Tedy platí zbývající rovnost pro všechna y >. y lim N L k t)f k) N ± it) dt = Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π. Pak lim k L k t)f k) t) dt =. Důkaz. Označme si integrály, jejichž limitu zkoumáme, jako posloupnost {I k }, I k := L k t)f k) t) dt. Vidíme, že I k existuje pro všechna k 2, protože všechny f k) jsou exponenciálního typu méně než 2π. Všimneme si ještě, že platí t L kt) = L k 1 t). Nyní můžeme integrovat per partes: I k = L k t)f k) t) dt = [L k+1 t)f k) t)] tedy pro všechna k > 2 platí = L k+1 )f k) ) I k+1, L k+1 t)f k+1) t) dt k 1 I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ) + 1) k I k. j=2 Pro platnost Lemmatu tak stačí ukázat, že I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ). j=2

36 3.1 Integrace po kladné poloose 31 = lim T T L 2t)f 2) t) dt, přičemž uvá- K tomuto dospějeme takto: I 2 žíme, že Tedy T L 2 t)f 2) t) dt = f 2) t) = n= f n+2) ) n= Budeme opět integrovat po částech: dále T L 2 t)t n dt = n 1) n+1 L n+1 ) = n! f n+2) ) t n. n! T ) L 2 t)t n dt L 3 t)t n 1 dt = nn 1) T > ). 22) L 4 t)t n 2 dt =... = 1) n+1 n!l n+1 ), 23) 1 2πj) = 1 ζn + 3) ζ3) n+3 2π) n+3 j=1 Z odhadů 23) a 24) tak dostáváme f n+2) ) n! T L 2 t)t n dt f n+2) )L n+3 ) f n+2) ) 2π) n+2. 24) 2π) n+3 ζ3) 2π 25) pro všechna T >. Dle Lemmatu pro n pravá strana 25) konverguje k nule, a součet v 22) má konvergentní majorantu nezávislou na T. Dostáváme tedy takže což jsme měli dokázat. I 2 = = = L 2 t)f 2) t) dt 1) n+1 L n+3 )f n+2) ) n= 1) j+1 L j+1 )f j ), j=2 lim I k =, k

37 3.1 Integrace po kladné poloose 32 Věta Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Důkaz. Vyjděme z Lemmatu Z 18) a Lemmatu plyne, že pro N je fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1) k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) dt. 26) Funkce fx), fi x) i f i x) jsou exponenciálního typu méně než 2π, tedy dle Lemmatu je lim k k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1)k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) = = j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Věta Nechť platí předpoklady Věty a navíc f je omezená na reálné ose konstantou M. Pak pro všechna k 2 platí kde fx) dx = 1 2 f) + k 1 fn) + f 2j 1) ) B 2j 2j)! + R k[f], R k [f] Důkaz. Dle Věty je n=1 j=1 2M ζ2k) τ ) 2k 1 τ/2π) 2 )τ. 27) 2π R k [f] = j=k f 2j 1) ) B 2j 2j)!.