Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Ondřej Žára KVADRATURNÍ FORMULE A FUNKCE EXPONENCIÁLNÍHO TYPU Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Studijní program: Výpočtová matematika

2 Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 9. dubna 27 Ondřej Žára

3 Chtěl bych poděkovat vedoucímu diplomové práce, doc. RNDr. Josefu Kofroňovi, CSc., za poskytnuté studijní materiály, rady, podnětné připomínky a věnovaný čas.

4 Obsah 1 Úvod 1 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Trigonometrické polynomy Funkce z B 2 2π,d Sobolevovy prostory Odhady založené na řádu a typu Formule pro funkce exponenciálního typu Integrace po kladné poloose Příklady Formule založená na Turánově vzorci Turánův vzorec Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu Literatura 47

5 Název práce: Kvadraturní formule a funkce exponenciálního typu Autor: Ondřej Žára Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. vedoucího: Abstrakt: Diplomová práce je zaměřena na studium funkcí exponenciálního typu ve vztahu k aplikacím na kvadraturní formule. K tématu existuje několik článků, zabývajících se různými kvadraturními formulemi a jejich vlastnostmi na třídě celistvých funkcí a funkcí exponenciálního typu; tato práce je shrnuje, doplňuje jejich neúplné či chybějící důkazy a doprovází výklad několika příklady. Přestože nebylo dosaženo žádných nových fundamentálních výsledků, nejde jen o prostý překlad článků - práce obsahuje vlastní důkazy, příklady, komentáře a vysvětlující popisy. Klíčová slova: holomorfní funkce, celistvé funkce, funkce exponenciálního typu, kvadratura, lichoběžníkové pravidlo, typ, řád Title: Quadrature formulae and functions of exponential type Author: Ondřej Žára Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Supervisor s address: Abstract: Master thesis focuses on analysis of entire functions of exponential type, ephasizing their applications to quadrature formulae. Several articles describing quadrature formulae of entire functions and functions of exponential type are available; this work aims to sum and consolidate their results, fill in missing or incomplete proofs and accompany formulae by examples. Although no new fundamental results were achieved, this work contains far more than just article translations - author s own proofs, examples, comments and explanations are included. Keywords: holomorphic functions, entire functions, functions of exponential type, quadrature, trapezoidal rule, type, order

6 1 Úvod 1 1 Úvod K problematice kvadratury celistvých funkcí, potažmo pak funkcí exponenciálního typu, je dostupná řada článků zejména [1], [2], [8], [1] a [11]). Bohužel, jejich obsah je poměrně strohý, prostý zevrubnějších důkazů a příkladů. Tato práce si klade za cíl zmíněnou problematiku sjednotit, detailněji popsat a přiblížit tak méně zainteresovanému čtenáři. Do práce bohužel nemohl být zahrnut článek [11], neboť většina jeho pramenů je nedostupná. Zároveň se nepodařilo kontaktovat profesora Q. I. Rahmana, který by - jako autor článku - mohl poskytnout detailnější informace. Těžiště práce se tak mírně posouvá: důraz je kladen i na širší množinu celistvých funkcí a jejich kvadraturu, zatímco funkcím exponenciálního typu jsou vyhrazeny části 2.4, 3 a 4.

7 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo 2 2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo Výsledky této části jsou založeny především na [1] a [2]. Definice. Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R C. Pro funkce f C 2π R) definujme n-bodové lichoběžníkové pravidlo: 2π fx) dx = 2π n n ) 2πν f + R n [f] 1) n ν=1 Obrázek 1: Trojbodové lichoběžníkové pravidlo Na Obrázku 1 vidíme lichoběžníkové pravidlo pro případ n = 3: černá kolečka představují funkční hodnoty [ f )] 2πν 3, tečkované obdélníky odpovídají plochám 2π f ) 3 ν=1 2πν 3 3. Součet ploch těchto obdélníků je stejný jako plocha pod červenou čarou; když ji s periodickým prodloužením) posuneme doprava o n/6, snadno nahlédneme, že jde opravdu o lichoběžníky. V této části práce se budeme zabývat tím, jak se chová zbytek R n [f] pro různé typy funkcí. 2.1 Trigonometrické polynomy Lemma Nechť T k značí prostor všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše k. Pak pro všechna f T k platí

8 2.1 Trigonometrické polynomy 3 R n [f] = pro všechna n > k. 2) Důkaz. Nechť fx) = k l= eilx, k < n. Levá strana lichoběžníkového pravidla je rovna 2π; chceme ukázat, že 2π = 2π n n ν=1 f ) 2πν n, neboli l= ν=1 n = n ν=1 exp 2πi n)) l ν = k l= exp 2πi lν ). n Pravou stranu můžeme psát ve tvaru [ k n k n = l= ν= ] exp 2πi n)) l ν 1 = [ k n ] ω n l) ν 1, l= kde ω n l) := e 2πi n) l. Pro l = 1,..., n nabývá ωn l) všech hodnot n-té odmocniny komplexní jednotky. Vzorec pro částečný součet geometrické řady dává n 1 ν= ν= ω n l) ν = ω nl) n 1 ω n l) 1, což je ; jmenovatel naopak nikdy roven nule není, protože l < n a tedy ω n l) 1. Všimneme si, že [ k n ] k ω n l) ν 1 = [ω n l) n 1] = k 1 1) = ; l=1 ν= pro zbývající člen l = platí l=1 n ω n ) ν 1 = n + 1) 1 1 = n, ν= což je hledaná část pravé strany lichoběžníkového pravidla.

9 2.1 Trigonometrické polynomy 4 Vlastnost 2) však prostor T k necharakterizuje, neboť 2) platí i pro jiné funkce, například všechny f liché na intervalu [, 2π] tj. fx) f2π x)). Dokonce je možné ukázat viz [21], [22] a [23]), že pro gx) = n=1 µn) n einx, kde µ je Möbiova funkce 1, platí R n [g] = pro všechna n N, přestože g + c není na intervalu [, 2π] lichá pro žádnou konstantu c. Pro využití zbytku lichoběžníkového pravidla je třeba uvážit posuny funkce f: f h : x fx + h), h R, jejichž zbytek R n [f h ] lze odhadnout s využitím Fejérovy věty. Lemma Vlastnosti Fejérova jádra). Fejérovo jádro kde K n x) := 1 n + 1 D k x) := 1 2 je Dirichletovo jádro, má tyto vlastnosti: i) K n x) = 1 2 ii) 1 π π π n k= n K n x) dx = 1, 1 k ) e ikx, n + 1 n D k x), k= k j= k π 2 iii) K n x) n + 1)x pro < x π. 2 1 pro n 1 1 definice převzata z [3]: µn) := 1) k pokud n je součin k navzájem různých prvočísel jinak e ijx

10 2.1 Trigonometrické polynomy 5 Důkaz. i): Z definice Dirichletova jádra je ii): Je n + 1)K n x)) = π π 1 2 n k= n = 1 2 n D k x) = k= e ikx dx = 1 2 n k= 1 2 k j= k n n + 1 k )e ikx. k= n n k= n π π e ijx e ikx dx = π, neboť pro nenulové k se integrály odpovídající hodnotám ±k odečtou. Tedy 1 π π π D n x) dx = 1 a proto i iii): Dle [14] je 1 π K n x) dx = 1. π π tedy K n x) = 1 n + 1 ) 2 sinxn + 1)/2), sinx/2) K n x) 1 1 n + 1 sin 2 x/2). Víme, že pro < x π je t/π sint/2), takže K n x) 1 π 2 n + 1 x. 2 Věta Fejér). Nechť f C 2π R). Pokud ˆfk) := 1 2π ft)e ikt dt, k Z, 2π

11 2.1 Trigonometrické polynomy 6 pak fx) = lim m m k= m 1 k ) m + 1 ˆfk)e ikx 3) pro všechna x R. Důkaz. Definujme nejprve σ n f, x) := 1 π 2π ft)k n t x) dt, kde K n x) je n-té Fejérovo jádro. Ukážeme, že pro všechna x R je Je σ n f, x) = 1 π 2π lim σ nf, x) = fx). n ft)k n x t) dt = 1 π využijeme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti ii): σ n f, x) fx) = 1 π = 1 π π π 2π 2π fx t)k n t) dt fx) π fx t)k n t) dt ; π π K n t) dt K n t)[fx + t) + fx t) 2fx)] dt. Výraz v hranaté závorce označme Φx, t). Pro < δ < π máme σ n f, x) fx) 1 δ Φx, t) K n t) dt + π π Pro odhad prvního integrálu v 4) použijeme následující: Φx, t) fx + t) fx) + fx t) fx), δ ) Φx, t) K n t) dt. 4) tedy pro libovolné ε > můžeme volit < δ < π tak, aby pro všechna t, < t < δ platilo Φx, y) ε 2.

12 2.1 Trigonometrické polynomy 7 Potom lze odhadnout 1 π δ Φx, t) K n t) dt 1 π < 1 π δ ε 2 π ε 2 K nt) dt π K n t) dt < ε 2, neboť K n t) pro všechna t R. Pro odhad druhého integrálu v 4) využijme Lemmatu 2.1.2), vlastnosti iii): 1 π π δ Φx, t) K n t) dt 1 π Φx, t) π 2 π 2 1 n + 1)x 2 π n + 1)x 2 dt π δ π 2 2 n + 1)x 2 δ f π fx) ). k= n fx + t) + fx t) 2fx) t 2 Tento člen jde pro n k nule, tedy lim n σ n f, x) = fx). Nakonec pomocí Lemmatu 2.1.2), vlastnosti i): K n x) = 1 n 1 k ) e ikx, 2 n + 1 tedy σ n f, x) = 1 π = 1 π = = = 2π 2π n k= n n k= n n k= n ft)k n x t) dt ft) 1 2 n k= n 1 k n + 1 ) e ikx t) dt 1 2π ft) 1 k ) e ikx e ikt dt 2π n k ) 1 2π ft)e ikt dt e ikx n + 1 2π ) ˆfk)e ikx. 1 k n + 1 dt

13 2.1 Trigonometrické polynomy 8 Lemma Nechť f C 2π R). Pak pro všechna h R platí R n [f h ] = lim m 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh. 5) Suma s hvězdičkou značí takový součet, ve kterém vynecháme sčítanec odpovídající indexu rovnému. Dále standardně x značí zaokrouhlení na celá čísla dolů. Důkaz. Dle předchozího lemmatu je f h x) = fx + h) = lim pro všechna x, h R. Tedy R n [f h ] = lim m k= m = lim m m k= m m 1 + k ) m + 1 [ 2π e ik x+h) dx 2π n m 1 + k ) m m + 1 k= m [ 2π e ik x+h) dx 2π n 1 + k ) m + 1 ˆfk) ˆfk)e ikx+h) ] n e ik h+2πν/n) = ν=1 ˆfk) ] n e ik h e ik 2πν/n. Pro k = je 2π e ikx+h) dx = 2π, v ostatních případech. Dále pro ta k, která nejsou násobkem n, je 1 n n ν=1 eik2πν/n =, v ostatních případech 1. Suma přes k má tedy nenulové sčítance jen pro k = jn, j N a platí 5). ν=1 Nyní již můžeme přistoupit k hlavnímu výsledku, týkajícího se trigonometrických polynomů. Věta Nechť f C 2π R). Pak f T k tehdy a jen tedy, pokud R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/n.

14 2.1 Trigonometrické polynomy 9 Důkaz. První implikace: pokud f T k, pak f h T k pro všechna h R a tedy R n [f h ] = pro všechna n > k, viz Lemma Druhá implikace: předpokládejme, že R n [f h ] = pro všechna n > k a h π/2. Pak pro dané ε > a n > k existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π 1 jn ) ˆfjn)e ijnh < ε m + 1 j m/n pro všechna m m a h π/2. Tedy pro trigonometrický polynom tθ) := 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijθ 6) platí tθ) ε pro všchna θ R, pokud m m. Především tedy 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 < ε pro m m, n > k, z čehož plyne f T k.

15 2.2 Funkce z B 2 2π,d Funkce z B 2 2π,d množinu všech 2π-periodických funkcí f, holo- Definice. Označme B2π,d 2 morfních v které splňují S d := {z C : Iz < d}, 1 2π 1/2 f := sup fx + iy) dx) 2 < +. 7) y <d 2π Dále označme l 2 Hilbertův prostor posloupností a n ) n N, splňujících a n 2 <. n N Lemma Funkce f C 2π R) je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d tehdy a jen tehdy, pokud ˆfn) = a n e n d kde a ±n ) n N l 2. Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Pak definujme α n y) := 1 2π fx + iy)e inx dx pro n Z. 2π Když zintegrujeme funkci fz)e inz podél obdélníku s vrcholy, 2π, iy a 2π + iy, kde y < d a ny <, dostaneme Cauchyova věta), z čehož plyne, že ˆfn) = 1 2π fx)e inx dx 2π = 1 2π fx + iy)e inx+iy) dx = e ny α n y), 2π neboť hodnoty integrálů podél svislých přímek se navzájem vynulují jako důsledek předpokládané 2π-periodicity). Použijme nyní 7) a Besselovu nerovnost: ˆfn) 2 e 2 ny = α n y) 2 f 2 pro y d, d). n Z n Z

16 2.2 Funkce z B 2 2π,d 11 Tedy, volbou a n := ˆfn)e n d, dostáváme a n 2 e 2 n d y ) f 2 pro y d, d), n Z což implikuje z Z a n 2 f 2. Nyní naopak nechť ˆfn) = a n e n d, kde a ±n ) n N l 2. Pak funkce f má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a lze ji rozšířit do S d holomorfní funkcí fx + iy) := ˆfn)e inx+iy), která splňuje Parsevalovu rovnost: 1 2π fx + iy) 2 dx = 2π n= n= ˆfn)e ny 2 n= pro všechna y d, d). Tedy f < a f B 2 2π,d. a n 2 e 2 n d y ) Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B 2 2π,d, ii) R n [f h ] b n e nd b n ) n N l 2. pro všchna n N a h π/n, kde d je kladné a Důkaz. Nejprve nechť f B2π,d 2. Dle Lemmatu je ˆf = a n e n d, a n ) n N l 2. Tedy s pomocí Lemmatu dostáváme pro všechna n N a h R: R n [f h ] 2π a jn e n j d =: b n e nd. Chceme ukázat, že b n l 2. Je b n = 2π j Z a jn e nd j 1) = 2π j Z [ ajn e nd j 1)/2 e nd j 1)/2], j Z

17 2.2 Funkce z B 2 2π,d 12 dle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti platí [ ] [ ] b n 2 4π 2 a jn 2 e nd j 1) e nd j 1) j Z j Z [ ] 4π 2 a jn 2 e [2 ) ] nd j 1) e d nj j Z j= 8π 2 a 1 e d jn 2 e nd j 1), j Z kde součet j= e d ) nj jsme odhadli součtem celé řady 1 1 e d, a tedy pro všechna N N: N b n 2 n=1 8π 2 1 e d 8π 2 m Z 1 e d ) 2 m 1 a m 2 ν= a m 2, m Z e νd tedy i) implikuje ii). Předpokládejme nyní naopak, že ii) platí. Nechť n je libovolné pevně zvolené přirozené číslo; dle Lemmatu existuje m N takové, že pro všechna m m platí 2π j m/n 1 jn ) m + 1 ˆfjn)e ijnh b n + 1 ) e nd. n Pravá strana nerovnosti tak omezuje koeficienty trigonometrického polynomu 6); především 2π 1 n ) ˆf±n) m + 1 b n + 1 ) e nd n pro všechna m m, tedy ˆf±n) 1 2π b n + 1 ) e nd. n S pomocí Lemmatu konečně dostáváme, že f je restrikcí do R nějaké funkce z B 2 2π,d.

18 2.3 Sobolevovy prostory Sobolevovy prostory Definice. Označme W k L Sobolevův) prostor funkcí f : R C s periodou 2 2π, pro které existuje f k 1) a je absolutně spojitá a f k) L 2, 2π). Věta Nechť f C 2π R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: i) f W k L 2 pro nějaké přirozené k 2, ii) R n [f h ] b n n k pro všechna n N a h π/n, kde b n ) n N l 2 Důkaz. Dle [4, Věta 4.1.1] je tvrzení i) ekvivalentní tvrzení i*) ˆfn) = in) k c n pro všechna n Z, kde c ±n ) n N l 2. Tedy dle Lemmatu je R n [f h ] 2π j Z c jn jn k := b nn k pro všechna n N a h R. Pro k 2 a M k := j Nj k dostaneme z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti Tedy b n 2 8π 2 j k c jn 2 pro n N. j Z N m b n 2 8π 2 M k c m 2 j k 8π 2 Mk 2 c m 2 n=1 m Z a z toho plyne ii). Nyní nechť ii) platí. Ke každému n N existuje dle Lemmatu nějaké m N takové, že 2π j m/n 1 jn ) m + 1 j=1 ˆfjn)e ijnh m Z b n + 1 ) n k n pro všechna m > m a h π/2. Uvážíme-li opět, stejně jako v důkazu Věty 2.2.2, polynom 6), dospějeme k platnosti i*), což implikuje platnost i).

19 2.4 Odhady založené na řádu a typu Odhady založené na řádu a typu V této části budou odvozeny některé odhady zbytku lichoběžníkového pravidla, závisející na řádu a typu funkce. Těchto nerovností lze prakticky využít, jak je v závěru části ukázáno. Funkce, které jsou holomorfní v celé komplexní rovině, nazýváme celistvé. Celistvé funkce bývá ve zvyku charakterizovat pomocí jejich řádu a typu; definujeme je stejně jako v [5]) následujícím způsobem. Označme Pak M f r) := max z =r fz). ρ := lim sup r log log M f r) log r nazýváme řádem funkce f. Pro funkci řádu ρ, ) definujeme její typ jako T := lim sup r log M f r) r ρ. Pro některé následující odhady je užitečné definovat také s-řád a s-typ. Předpokládejme, že celistvá funkce f je omezená v pásu Iz η pro < η <. Označme Pak M f η) := sup fx + iy). y η ρ s := lim sup η log log M f η) η nazýváme s-řádem funkce f. Pro funkci s-řádu ρ s, ) definujeme její s-typ jako log M f η) T s := lim sup. η e ηρ s Funkce řádu ρ < 1 a funkce řádu ρ = 1 typu T < tvoří třídu celistvých funkcí exponenciálního typu.

20 2.4 Odhady založené na řádu a typu 15 Příklady. Funkce f 1 := e 3x nabývá hodnoty M f1 r) na reálné ose. Je tedy a f 1 je řádu 1 typu 3. Funkce f 2 := e x2 splňuje ρ[f 1 ] = lim sup r T [f 1 ] = lim sup r ρ[f 2 ] = lim sup r T [f 2 ] = lim sup r log3r) = 1, log r 3r r = 3 2 logr) = 2, log r r 2 r = 1 2 a je řádu 2 typu 1. Funkce f 3 := e 2 sin x roste po imaginární ose rychleji než libovolná mocnina exponenciály; je proto f 3 xi) lim x e xi = a f 3 je řádu. Zajímavější je v tomto případě s-řád a s-typ: platí tedy Z toho plyne, že f 3 x + iy) = e 2 sin x = e 2sin x cosh y i cos x sinh y), M f3 η) = sup e 2sin x cosh y i cos x sinh y) = e 2 cosh η. y η ρ s [f 3 ] = lim sup η T s [f 3 ] = lim sup η loge η + e η ) η e η + e η = 1 e η = 1, a f 3 je s-řádu 1 s-typu 1. Nakonec mějme f 4 := e cos2 x. Tato funkce je opět řádu ; tentokrát M f4 η) = sup e cos x cosh y i sin x sinh y)2 = e cosh 2 η, y η

21 2.4 Odhady založené na řádu a typu 16 a tedy a f 4 je s-řádu 2 s-typu 1/2. ρ s [f 4 ] = lim sup η T s [f 4 ] = lim sup η 2 log eη +e η 2 ) η e η + e η )/2) 2 = 2, e 2η = 1 2 Označme C 2π R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R R. Pro Fourierovy koeficienty funkcí z C 2π R) platí ˆf n) = ˆfn) pro n N. Fourierova řada ˆfn)e n= inz pak definuje celistvou funkci tehdy a jen tehdy, pokud lim ˆfn) 1/n =. 8) n Řád i typ celistvé funkce jsou jednoznačně určeny hodnotami ˆfn), n N. Pro následující odhady definujme ještě R n[f] := Lemma viz [7], Lemma III). Řada fz) = n= sup R n [f h ]. h π/n a n e inz a n = a n, n N) 9) definuje celistvou funkci konečného řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud lim sup n log n log log a n = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve předpokládejme, že fx) je celistvá funkce řádu ρ. Pak pro dané ε > a dostatečně velké x platí fx) < e x ρ+ε. 1) Hodnotu a n můžeme periodičnost, Cauchyův vzorec) počítat takto:

22 2.4 Odhady založené na řádu a typu 17 a n = 1 2π ir 2π = 1 2π ir 2π = 1 2π e nr fx)e inx dx ft ir)e int ir) dt 2π ft ir)e int dt, a n e r+π)ρ+ε nr, 11) využíváme 1). Pro dané n teď zvolíme r tak, abychom minimalizovali pravou stranu 11). Výpočtem dospějeme k tomu, že lim sup n Naopak, předpokládejme, že lim sup n log n log log a n ρ 1. 1 ρ log n log log a n 1 = k >. Pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n > n platí a n e inx < e nk+ε +n x. Z toho dostáváme, že tedy Lemma platí. ρ k k 1, Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu ρ 1 tehdy a jen tehdy, pokud λ := lim sup n log n log logrn[f]) = ρ 1. 1 ρ Důkaz. Nejprve nechť f je celistvá funkce řádu ρ 1. Této funkci přísluší Fourierova řada fz) = a n e inz kde a n = a n, n N. n=

23 2.4 Odhady založené na řádu a typu 18 Pro dané ε > plyne z Lemmatu 2.4.1, že a n < exp n ρ/ρ 1+ερ)) pro n n. Jestliže nyní použijeme Lemma 2.1.4, dostaneme Rn[f] 4π a jn 4π exp jn) ρ/ρ 1+ρε)). j=1 Pro dostatečně velká n můžeme součet odhadnout dvojnásobkem jeho prvního členu: R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)). Upravujme dále tuto nerovnost: tedy j=1 R n[f] 8π exp n ρ/ρ 1+ρε)) log Rn[f]) 1 n ρ/ρ 1+ρε) log8π) log n log R n [f] 1 + C ) ρ ρ 1 + ρε log n log log R n[f] 1 + C) λ := lim sup n ρ 1 ρ + ε, log n log logrn[f]) 1 ) ρ 1. 12) ρ Naopak, nechť λ je definováno jako v 12). Pak pro ε > můžeme odhadnout R n[f] < exp n 1/λ+ε)) pro n n. Z Lemmatu nyní pro každé n n existuje m N takové, že pro všechna m m a h π/n platí 2π 1 jn ) a jn e ijnh m + 1 < exp n ) 1/λ+ε). j m/n Uvažme opět polynom 6), omezený hodnotou exp n 1/λ+ε)). Pro koeficient příslušný ke členu j = 1 máme 2π 1 n ) a n < exp n 1/λ+ε)), m + 1

24 2.4 Odhady založené na řádu a typu 19 z tohoto dostáváme lim sup n log n log log a n 1 λ. Dle Lemmatu má tedy f rozšíření do celistvé funkce řádu ρ, kde ρ 1 ρ λ. 13) Z nerovností 12) a 13) plyne platnost Věty Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád ρ 1, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1+ερ)). Lemma Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce řádu ρ > 1. Pak f je typu T tehdy a jen tehdy, pokud β := lim sup n Důkaz. Definujme nejprve pomocnou funkci Pro y > je dále pak M f y) max π x π ) ρ ) ρ 1 n ρ 1 = T. ρ log a n 1 gz) := a 2 + a n z n. n=1 a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) + M g 1), 14) M f y 2 + π 2 ) max π x π a 2 + a n e inx+iy) + a 2 + a n e inx+iy) n=1 n=1 M g e y ) M g 1). 15)

25 2.4 Odhady založené na řádu a typu 2 Nahradíme-li e y za r, vidíme z 14) a 15), že řád i typ funkce f můžeme zjistit pomocí M g r) takto: Dle [6, Věta 2] je ρ := lim sup y T := lim sup y log log M f y) log y log M f y) y ρ = lim sup r = lim sup r log log M g r) log log r log M g r) log r) ρ. lim sup r log M g r) log r) ρ tedy Lemma platí. = lim sup n ) ρ 1 1 ρ 1 ρ ρ nρ, log a n 1 Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu > ρ > 1 a typu T tehdy a jen tehdy, pokud T := lim sup n ) ρ n ρ ρ 1 logr n[f]) 1 ) ρ 1. Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má řád > ρ > 1 a typ T, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] exp n ρ/ρ 1) ρ 1 ) ρt + ε)) 1/ρ 1). ρ Lemma viz [5], Věta 2.2.2, s. 9). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu ρ s tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n log a n 1. Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce konečného s-řádu > ρ s > tehdy a jen tehdy, pokud ρ s = lim sup n n log n logr n[f]) 1.

26 2.4 Odhady založené na řádu a typu 21 Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád ρ s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí R n [f] n n/ρ s+ε). Lemma viz [5], Věta 2.2.1, s. 11). Nechť f, definována v 9), je celistvá funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup n a n ρs/n. n Věta Funkce f C 2π R) je restrikcí do R celistvé funkce s-řádu > ρ s > a s-typu T s tehdy a jen tehdy, pokud eρ s T s = lim sup nrn[f]) ρs/n. n Důkaz. Důkaz Věty je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu použijeme Lemma Důsledek praktický). Pokud f C 2π R) má s-řád > ρ s > a s-typ T s, pak pro dané ε > existuje n N tak, že pro všechna n n platí ) n/ρs eρs T s + ε R n [f]. n

27 2.4 Odhady založené na řádu a typu 22 Příklad. Uvažme funkci f 3, definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). S použitím výše uvedených vět dostáváme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O2 Věta 2.4.4) - nelze aplikovat, protože ρ[f 3 ] = O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/1+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 3 x) dx je , Tabulka 1 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = 2,..., 15 a jejich odchylku od přesného řešení. n 2π n n η=1 f 3 2πη ) n R n [f 3 ] E E E E E E E E E E E E E E 32 Tabulka 1: Lichoběžníkové pravidlo pro f 3 V Tabulce 2 je vidět jednotlivé odhady chyb. Tyto výsledky jsou spočítány pro ε =.5. Odhady O3 a O4 jsou výrazně přesnější, než odhad O1. Hodnoty jsou též vykresleny na Obrázku 2; černá čára představuje skutečnou chybu, červená, modrá a zelená jsou odhady O1, O3 a O4.

28 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5 n R n [f 3 ] O1 O3 O E E E 3 2.1E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 11 Tabulka 2: Odhady chyb pro f 3, ε =.5

29 2.4 Odhady založené na řádu a typu 24 n 2π m n η=1 f 4 2πη ) n R n [f 4 ] E E E E E E E E E E E E E E 15 Tabulka 3: lichoběžníkové pravidlo pro f 4 Příklad. Nyní uvažme funkci f 4, též definovanou výše. Její restrikce do R patří do C 2π R). Opět máme tyto odhady: O1 Věta 2.4.2) - R n [f 3 ] exp n 1/1+ε))) O3 Věta 2.4.6) - R n [f 3 ] n n/2+ε) O4 Věta 2.4.8) - R n [f 3 ] e+ε n ) n Přesná hodnota integrálu 2π f 4 x) dx je , Tabulka 3 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = a jejich odchylku od přesného řešení. Tabulka 4 opět zobrazuje odhady chyb, viz Obrázek 3. Použito bylo ε =.5.

30 2.4 Odhady založené na řádu a typu Obrázek 3: Odhady chyb pro f 4, ε =.5 n R n [f 4 ] O1 O3 O E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 6 Tabulka 4: odhady chyb pro f 4, ε =.5

31 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 26 3 Formule pro funkce exponenciálního typu 3.1 Integrace po kladné poloose Vyjděme z následujícího výsledku [2]): pokud f je celistvá funkce exponeciálního typu méně než 2π a f je integrovatelná na R, pak fx) dx = n= fn). 16) Příklad. Předpoklad na omezení typu funkce nelze zanedbat. Mějme { sin2πz) pro z, z fz) := 2π pro z =. f je řádu 1 typu 2π; dále fx) dx = π n= fn) = 2π. Vzniká otázka, existuje-li podobná formule i pro integraci pouze přes kladnou poloosu. Pro sudé funkce je 16) ekvivalentní s formulí fx) dx = 1 2 f) + fn), je tedy na místě zkoumat vztah mezi fx) dx a 1f) + 2 n=1 fn). Abel-Planova formule viz [9]) dává za předpokladu, že fx) dx = 1 2 f) + n=1 n=1 fiy) f iy) fn) i e 2πy 1 1. lim y fx ± iy) e 2πy = pro všecha x, dy, 17)

32 3.1 Integrace po kladné poloose fx ± iy) e 2πy dy existuje pro všecha x a dále lim x Vzorec 17) vyjadřuje rozdíl E := fx) dx fx ± iy) e 2πy dy =. 1 2 f) + n=1 fn) pomocí integrálu obsahujícího hodnoty f na imaginární ose. V této části práce bude odvozen jiný odhad E, který je výhodnější z numerického hlediska. V následujících lemmatech a větách označení B j určuje j-té Bernoulliho číslo, dále ζx) := n=1 n x značí Riemannovu zeta funkci. Lemma [11, Věta 7]). Nechť f je holomorfní funkce exponenciálního typu méně než 2π v pásu {z C : δ Rz N + δ}, kde δ > a N N. Pak ) kde N fx) dx = 1 N 1 2 f) + fn)) + L k z) := 1) k k j=1 n=1 fn) f 2j 1) N) f 2j 1) ) ) B 2j 2j)! + 18) +i 1) k L 2k t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dx, ν=1 e 2πνz, k N \ {1}, Rz. 19) 2πν) k Důkaz. Technický důkaz tohoto Lemmatu, formulovaného jako [11, Věta 7], tvoří většinu z téměř třicetistránkového článku [11]. V tomto případě se ovšem jedná jen o jednodušší verzi, totiž při zachování značení z [11])

33 3.1 Integrace po kladné poloose 28 a =, b = N, m =, tedy h = 1. Důkaz pak - velmi zhruba - postupuje následovně: Chceme dokázat, že v [11, Věta 3] je R 2,k,1,N [f] = i L 2,k,1 t)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)), 2) kde L 2,k,1 splývá s L k, definovaným v 19). Počítáme tedy E [, N, f], definované na straně 246, pomocí [11, Věta 1]: E [, N, f] = kde + i + k j=1 N T B 2j 2j)! f 2j 1) N) f 2j 1) )) 21) Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du Φ 2k it)f 2k N + it) f 2k N it) f 2k it) + f 2k it)) dt, Φ k z) := i k+1 ν=1 Ψ k z) := i k+1 1) ν e 2πiνz 2πν) k ν=1 e 2πiνz 2πν) k. Pro T druhý integrál v 21) konverguje k pravé straně 2), navíc N lim i Ψ 2k u it )f 2k u it ) + Ψ 2k u it )f 2k u + it )) du = T e 2πνT N = lim T 1)k+1 e 2πiνu f 2k u it ) e 2πiνu f 2k u + it )) du = 2πν) 2k tedy 2) platí. ν=1 =,

34 3.1 Integrace po kladné poloose 29 Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ. Pak pro dané z C a ε > existuje n N tak, že pro všechna n n je f n) z ) τ + ε) n. Důkaz. Tento výsledek plyne z 2.2.1) v [5]. Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak Navíc ještě lim f j) x) = pro všechna j. x lim N L k t)f k) N ± it) dt =. Důkaz. Nejprve nahlédneme [5, Věta 2.4.1]), že všechny derivace f jsou exponenciálního typu τ. Dále dle [5, Věta *]) platí, že pokud existuje fx) dx, pak lim f j) x) = pro všechna j, x a tedy f k) x) je omezená na [, + ). Jsou tedy splněny předpoklady [5, Věta 6.2.3] a je f k) x) Ce π+τ/2) y pro x [, + ), y R, C >. Tedy dle definice 19) je pro y > y L k t)f k) N ± it) dt = C y ν=1 y C 2π) k ζk) e 2πνt 2πν) k Ceπ+τ/2)t dt e 2πνt+πt+τt/2 dt 2πν) k ν=1 y e π τ/2)t dt C ζk) 2π) k π τ/2 e π τ/2)y.

35 3.1 Integrace po kladné poloose 3 Tento člen se pro y + blíží nule. Aplikujme ještě [5, Věta 6.2.8] - dostáváme, že lim n + f k) x + iy) = pro všechna y >. Tedy platí zbývající rovnost pro všechna y >. y lim N L k t)f k) N ± it) dt = Lemma Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π. Pak lim k L k t)f k) t) dt =. Důkaz. Označme si integrály, jejichž limitu zkoumáme, jako posloupnost {I k }, I k := L k t)f k) t) dt. Vidíme, že I k existuje pro všechna k 2, protože všechny f k) jsou exponenciálního typu méně než 2π. Všimneme si ještě, že platí t L kt) = L k 1 t). Nyní můžeme integrovat per partes: I k = L k t)f k) t) dt = [L k+1 t)f k) t)] tedy pro všechna k > 2 platí = L k+1 )f k) ) I k+1, L k+1 t)f k+1) t) dt k 1 I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ) + 1) k I k. j=2 Pro platnost Lemmatu tak stačí ukázat, že I 2 = 1) j+1 L j+1 )f j) ). j=2

36 3.1 Integrace po kladné poloose 31 = lim T T L 2t)f 2) t) dt, přičemž uvá- K tomuto dospějeme takto: I 2 žíme, že Tedy T L 2 t)f 2) t) dt = f 2) t) = n= f n+2) ) n= Budeme opět integrovat po částech: dále T L 2 t)t n dt = n 1) n+1 L n+1 ) = n! f n+2) ) t n. n! T ) L 2 t)t n dt L 3 t)t n 1 dt = nn 1) T > ). 22) L 4 t)t n 2 dt =... = 1) n+1 n!l n+1 ), 23) 1 2πj) = 1 ζn + 3) ζ3) n+3 2π) n+3 j=1 Z odhadů 23) a 24) tak dostáváme f n+2) ) n! T L 2 t)t n dt f n+2) )L n+3 ) f n+2) ) 2π) n+2. 24) 2π) n+3 ζ3) 2π 25) pro všechna T >. Dle Lemmatu pro n pravá strana 25) konverguje k nule, a součet v 22) má konvergentní majorantu nezávislou na T. Dostáváme tedy takže což jsme měli dokázat. I 2 = = = L 2 t)f 2) t) dt 1) n+1 L n+3 )f n+2) ) n= 1) j+1 L j+1 )f j ), j=2 lim I k =, k

37 3.1 Integrace po kladné poloose 32 Věta Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a fx) dx existuje. Pak fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Důkaz. Vyjděme z Lemmatu Z 18) a Lemmatu plyne, že pro N je fx) dx = 1 2 f) + fn) + n=1 k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1) k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) dt. 26) Funkce fx), fi x) i f i x) jsou exponenciálního typu méně než 2π, tedy dle Lemmatu je lim k k j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)! i 1)k L 2k t)f 2k it) f 2k it)) = = j=1 f 2j 1) ) B 2j 2j)!. Věta Nechť platí předpoklady Věty a navíc f je omezená na reálné ose konstantou M. Pak pro všechna k 2 platí kde fx) dx = 1 2 f) + k 1 fn) + f 2j 1) ) B 2j 2j)! + R k[f], R k [f] Důkaz. Dle Věty je n=1 j=1 2M ζ2k) τ ) 2k 1 τ/2π) 2 )τ. 27) 2π R k [f] = j=k f 2j 1) ) B 2j 2j)!.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací), L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak 5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více