3. Základní dynamické systémy 3.1. Základní spojité dynamické systémy. Čas ke studiu: 12 až 18 hodin. Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět

Transkript

1 3. Základní dynamické sysémy 3.. Základní spojié dynamické sysémy Čas ke sudiu: až 8 hodin Cíl Po prosudování ohoo odsavce budee umě Popsa proporcionální spojiý sysém a jeho realizaci Popsa inegrační spojiý sysém a jeho realizaci Popsa servačný sysém. řádu a jeho realizaci Popsa derivační spojiý sysém a jeho realizaci Popsa reálný derivační spojiý sysém a jeho vlasnosi Popsa saický sysém. řádu a jeho vlasnosi podle velikosi koeficienu lumení Popsa sysém s dopravním zpožděním Výklad Věšinu spojiých lineárních sysémů (mimo dopravní zpoždění) lze namodelova pomocí sousavy složené ze ří ypů prvků: inegráorů, sumáorů a zesilovačů, jak bude dále ukázáno při popisu jednolivých sysémů. Pro snadnější analýzu spojiých dynamických sysému bude ukázán popis základních dynamických sysémů, keré mají ypické vlasnosi: proporcionální sysém inegrační sysém sysém se servačnosí prvého řádu derivační sysém saický sysém druhého řádu dopravní zpoždění Znalos vlasnosí uvedených základních sysémů umožní snadnou analýzu složiějších sysémů, keré můžeme nahradi několika základními sysémy ak, aby vlasnosi byly shodné. q Proporcionální sysém Proporcionální sysém bude popsán všemi dříve uvedenými způsoby popisu pro lineární spojié sysémy. Popis diferenciální rovnicí 0.řádu lze zapsa v následujícím varu y () = K u () Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice 63

2 kde K je zesílení proporcionálního sysému. Y() s Gs () = = K, U() s Popis frekvenčním přenosem po dosazení za s = jω bude následující Y(j ω) G(j ω) = = K U (j ω) Frekvenční charakerisika proporcionálního sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3., reálná složka frekvenčního přenosu je rovna zesílení K. Logarimická ampliudová a fázová charakerisika proporcionálního sysému je znázorněna na obr.3. a je určena následujícími vzahy: G(j ω) = 0 log K db ϕ(j ω) = 0 Obr. 3.: Frekvenční charakerisika proporcionálního sysému v komplexní rovině 64

3 Obr. 3.: Frekvenční charakerisika proporcionálního sysému v logarimických souřadnicích Odezva proporcionálního sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněn na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce g Gs K () L = { ()} = L { } Obr. 3.3: Odezva proporcionálního sysému na jednokový impuls Odezva proporcionálního sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr Je o rovnoběžná přímka s osou ve vzdálenosi K. Funkci popisující průběh přechodové charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce h () = L{ K} = K s 65

4 Obr. 3.4: Odezva proporcionálního sysému na jednokový skok Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině není proporcionální sysém charakerizován žádnou nulou a pólem. Pro sesavení savových diagramů složiějších sysémů, keré lze využí pro jejich modelování a simulační výpočy, je pořeba sesavi savový diagram. Savový diagram proporcionálního sysému je znázorněn na obr Obr. 3.5: Savový diagram (pro vniřní popis) proporcionálního sysému Proporcionální vlasnos u reálných dynamických sysémů lze definova pouze v určiém pracovním pásmu, například elekronické zesilovače lze považova jako proporcionální pouze v pásmu pracovních frekvencí 3 0 ω 0 / rad s. Jako reálné proporcionální sysémy lze vždy s určiou aproximací nebo pracovním pásmu považova elekronické zesilovače, mechanické převody, poenciomery, někeré převodníky fyzikálních veličin, aj.. q Inegrační sysém Inegrační sysém bude popsán všemi dříve uvedenými způsoby pro lineární spojié sysémy. Popis diferenciální rovnicí. řádu lze zapsa v následujícím varu d y () = ki u () d Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice sy () s = k U() s Y() s ki Gs () = = = U() s s s kde k i je zesílení sysému a i je časová konsana inegračního sysému. Popis frekvenčním přenosem po dosazení za s = jω bude následující Y (j ω) ki ki G(j ω) = = = j U (j ω) jω ω Frekvenční charakerisika inegračního sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3., frekvenční přenos je imaginární a charakerisiku voří záporná imaginární osa. Logarimická ampliudová a fázová charakerisika inegračního sysému je znázorněna na obr.3.3 a je určena následujícími vzahy: G(j ω) = 0log G(j ω) = 0logk i 0logω db i i 66

5 Ampliudovou charakerisiku určuje rovnice přímky se sklonem 0dB/dek. Bod, kerým přímka se skonem 0dB/dek prochází, lze získa dosazenímω = do výše uvedené rovnice, ampliuda v bodě ω = pak bude G( jω ) = 0log k db i. Fázová charakerisika bude přímka rovnoběžná s osou ω v bodě -90 (-π/). Obr. 3.: Frekvenční charakerisika inegračního sysému v komplexní rovině Obr. 3.3: Frekvenční charakerisika inegračního sysému v logarimických souřadnicích Odezva inegračního sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je skoková funkce s hodnoou k i, kerá je znázorněna na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce g Gs k u () = L { ()} = i 0() 67

6 Obr. 3.4: Odezva inegračního sysému na jednokový impuls Odezva inegračního sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je polopřímka s počákem v čase nula a se směrnicí k i, kerá je znázorněna na obr Funkci přechodové charakerisiky lze opě získa zpěnou Laplaceovou ransformací kde směrnice polopřímky je určena vzahem h () = L { Gs () } = ki = s anα = ki = i i Obr. 3.5: Odezva inegračního sysému na jednokový skok Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je inegrační sysém charakerizován nulovým pólem v počáku. Savový diagram inegračního sysému je znázorněn na obr

7 Obr. 3.6: Savový diagram (pro vniřní popis) inegračního sysému Obr. 3.7: Realizace inegračního sysému Reálný inegrační sysém lze realizova operačním zesilovačem s kapaciní vazbou (obr. 3.7), další reálné inegrační sysémy jsou pneumaické a mechanické reguláory. q Sysém se servačnosí prvního řádu Sysém se servačnosí prvního řádu bude popsán všemi dříve uvedenými způsoby pro lineární spojié sysémy. Popis diferenciální rovnicí. řádu lze zapsa v následujícím varu d y () a + a0 y () = b0 u (), d nebo po vydělení rovnice koeficienem a 0 ve varu se zesílením a časovou konsanou d y () + y () = K u (), d kde K je zesílení sysému a je časová konsana sysému se servačnosí. řádu, pro keré plaí následující vzahy a a = ; K = b a Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice s Y() s + Y() s = K U() s Y() s K, Gs () = = U() s s + Frekvenčním přenos se získá po dosazení za s = jω a bude následující 69

8 K G(j ω) = jω +. Pro určení modulu frekvenčního přenosu je pořeba urči reálnou a imaginární složku frekvenčního přenosu K Re[ G(j ω)] = ω + ωk Im[ G(j ω)] = ω + Po úpravě je pak výsledný var modulu frekvenčního přenosu následující K G( jω) = ω +. Pro kladné frekvence lze počáeční a koncová hodnoa ampliudy urči následovně lim ( ) lim K, lim ( ) lim K G jω = = K G jω = = 0, ω 0 ω 0 ω ω ω + ω + z reálné a imaginární složky přenosu lze urči rovněž funkci fáze frekvenčního přenosu Im[ G(j ω)] ϕω ( ) = arcan = arcan( ω) = arcan( ω). Re[ G(j ω)] Pro kladné frekvence lze urči počáeční a koncovou hodnou fáze následovně π lim( arcan( ω)) = 0 lim( arcan( ω )) =, ω 0 ω 0 ω je 0 ϕ 90. Pro další bod charakerisiky, kdy úhlová frekvence je rovna převrácené hodnoě časové konsany sousavy plaí ω = je ϕ = 45 Obr. 3.8: Frekvenční charakerisika servačného sysému v komplexní rovině 70

9 Frekvenční charakerisika servačného sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr Frekvenční charakerisiku předsavuje půlkružnice ve čvrém kvadranu, kerá vychází z bodu K, ve kerém je fáze rovna nule, a končí v bodě 0, kde fáze je rovna -90. Logarimická ampliudová a fázová charakerisika servačného sysému je znázorněna na obr.3.9 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G = G = K +. (j ω) 0log (j ω) 0log 0log ω db Obr. 3.9: Frekvenční charakerisika sysému v logarimických souřadnicích Pro vynesení grafu v logarimických souřadnicích je vhodné nejprve urči asympoy éo charakerisiky. Uvedený vah pro LAFFCH lze zjednoduši na výraz pro nízké frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě časové konsany následovně pro ω << ω << G(j ω ) =& 0log K, naopak pro vysoké frekvence bude plai následující vzah db pro ω >> ω >> G(j ω) = & 0logK 0logω. db ako se získaly rovnice dvou aproximačních polopřímek, asympo, jejichž společný bod je v bodě zlomu frekvenční charakerisiky ω =, ve kerém je nejvěší odchylka (nejvěší chyba) od skuečné hodnoy frekvenční charakerisiky. Velikos chyby lze získa z následujících vzahů: pro ω < 7

10 pro = + + = + ω > (j ω) 0logK 0log ω 0logK 0log ω (j ) 0log 0log ω = ω + ω pro ω =, bod zlomu, po dosazení do předcházejících rovnic se vypoče velikos chyby, kerá je 3 db Odezva servačného sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je exponenciální funkce z počáeční hodnoou K/ a konečnou hodnoou rovnou nule a je znázorněna na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce K s+ K () = L = e g Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující K K lim g () = g(0) = lim e = 0 0 K lim g () = g( ) = lim e = 0 Obr. 3.0: Odezva servačného sysému na jednokový impuls Je-li sesrojena ečna v počáečním bodě odezvy, pak ao ečna prone časovou osu v bodě odpovídajícím časové konsaně, co lze odvodi z následujícího vzahu pro derivaci odezvy v čase = 0. dg() K K g () K / = e = = d = 0 Odezva servačného sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je charakerizována exponenciálním průběhem s počáeční hodnoou nula a s konečnou hodnoou K a je znázorněna na obr. 3.. Funkci přechodové charakerisiky lze opě získa zpěnou Laplaceovou ransformací 7

11 K h L Gs L K s s ( s + ) () = () = = ( e ) Obr. 3.: Odezva servačného sysému na jednokový skok Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující lim h () = h(0) = lim K ( e ) = lim h () = h( ) = lim K ( e ) = K Je-li sesrojena ečna v počáečním bodě odezvy, pak ao ečna prone pořadnici odpovídající usálené hodnoě h( ) v čase odpovídajícím časové konsaně, co lze odvodi z následujícího vzahu pro derivaci odezvy v čase = 0. dh() K K h () K = e = = d Dalším charakerisickým bodem přechodové charakerisiky sysému prvého řádu je její hodnoa pro čas = 0 h K K ( ) = ( e ) = 0,63 Obr. 3.: Rozložení nul a pólu servačného sysému se zesílením a časovou konsanou 73

12 Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je servačný sysém charakerizován jedním pólem na záporné reálné poloose ve vzdálenosi od počáku (obr.3.). Pro znázornění savového diagramu lze diferenciální rovnici upravi následovně a savový diagram je pak znázorněn na obr dy () = K u () y () d Obr. 3.3: Savový diagram servačného sysému se zesílením a časovou konsanou Pro znázornění savového diagramu lze diferenciální rovnici se základními koeficieny upravi následovně a savový diagram je pak znázorněn na obr. 3.4: dy() b0 a0 = u () y () d a a Obr. 3.4: Savový diagram servačného sysému se základními koeficieny diferenciální rovnice Reálný servačný sysém lze realizova pomocí RC (obr. 3.5) nebo RL obvodu (obr. 3.6), součásí věšiny reálný sysémů je právě servačný sysém. Přenosová funkce RC sysému bude následující: Gs () = RC s+ Obr. 3.5: Realizace servačného sysému pomocí rezisoru a kapaciy Přenosová funkce RL sysému bude následující: h 74

13 Gs () = L s + R Příklad 3.. Zadání: Obr. 3.6: Realizace servačného sysému pomocí rezisoru a indukčnosi Řešený příklad Je zadán dolnopropusný RC filr podle obr.3.5 jehož odpor R = 500 kω a kapacia C=0,6 μf. Určee časovou konsanu a znázorněe jeho impulsní a přechodovou charakerisiku pomocí Malabu a Simulinku. Řešení: Časová konsana se určí následovně Přenos ohoo filru bude = R C = = ,60 0,3 Gs () = 0,3 s + Obr. 3.7: Model filru v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku Počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky znázorněné na obr. 3.8 modře budou následující K g(0) = = = 0,033 g( ) = 0. 0,3 Počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky znázorněné na obr. 3.9 červeně budou následující h(0) = 0 h( ) = K = 75

14 Obr. 3.8: Odezva RC filru na jednokový impuls Konec příkladu. Obr. 3.8: Odezva RC filru na jednokový skok Příklad 3.. Zadání: Řešený příklad Je zadán dolnopropusný RL filr podle obr.3.6 jehož odpor R =0, Ω a indukčnos L=0,8 mh. Určee frekvenční charakerisiku filru v komplexní rovině a ampliudovou a fázovou charakerisiku v logarimických souřadnicích pomocí Malabu. Řešení: 76

15 Časová konsana se určí následovně 3 L 0,8 0 = = = 0,004 R 0, Přenos ohoo filru bude Gs () = 0,004 s + Pomocí následující posloupnosi příkazů v Malabu se získají frekvenční charakerisiky na obrázku 3.9 a 3.30: b=[] a=[0.004 ] g=f(b,a) nyquis(g) bodemag(g) bode(g) Obr. 3.9: Frekvenční charakerisika filru a) 77

16 b) Obr. 3.30: Logarimická ampliudová (a) a fázová (b) frekvenční charakerisika filru Frekvence zlomu logarimické ampliudové frekvenční charakerisiky se určí následovně Konec příkladu. q Derivační sysém ω = 50 [rad/s] = 0,004 = Derivační sysém bude popsán všemi dříve uvedenými způsoby pro lineární spojié sysémy. Popis diferenciální rovnicí. řádu lze zapsa v následujícím varu kde k d je zesílení sysému. d u () y () = kd, d Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice Y() s = k su () s d Y() s Gs () = = kd s U() s Obr. 3.3: Frekvenční charakerisika derivačního sysému v komplexní rovině Frekvenční přenos se získá dosazením za s = jω a bude následující 78

17 Y (j ω) G(j ω) = = jω k U (j ω) Modul frekvenčního přenosu je určen pouze imaginární složku frekvenčního přenosu. Výsledný var modulu frekvenčního přenosu následující G( jω) = ω kd, Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa ampliudy následující lim G( jω) = limω k = 0, lim G( jω) = lim ω k = d ω 0 ω 0 ω ω Proože přenos má pouze imaginární složku funkce fáze frekvenčního přenosu bude konsanní Im[ G(j ω)] ωk (j ) arcan arcan( d π ϕ ω = = ) arcan( ) =. Re[ G(j ω)] 0 Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa fáze shodná 0 ω je ϕ = 90. Frekvenční charakerisika derivačního sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.3, frekvenční přenos je imaginární a charakerisiku voří kladná imaginární osa. Logarimická ampliudová a fázová charakerisika derivačního sysému je znázorněna na obr.3.3 a je určena následujícími vzahy: G(j ω) = 0log G(j ω) = 0logk + 0logω db ϕ(j ω) = 90 d d d Obr. 3.3: Frekvenční charakerisika derivačního sysému v logarimických souřadnicích Ampliudovou charakerisiku určuje rovnice přímky se sklonem + 0dB/dek. Bod, kerým přímka se skonem + 0dB/dek prochází, lze získa dosazenímω = do výše uvedené rovnice, ampliuda v bodě ω = pak bude G( jω ) = 0logk db d. Fázová charakerisika bude přímka rovnoběžná s osou ω v bodě +90 (π/). 79

18 Odezva inegračního sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je funkce Diracova impulzu. řádu, kerá je znázorněna na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce g Gs ks () L = { ()} = L { d } Obr. 3.33: Odezva derivačního sysému na jednokový impuls Odezva derivačního sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je Diracův impuls o ploše k d, kerý není pořeba znovu znázorňova neboť je znázorněn na obr..6. Funkci přechodové charakerisiky lze opě získa zpěnou Laplaceovou ransformací funkce kde originál Diracův impuls o ploše k d. H() s = ks d = kd, s Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je derivační sysém charakerizován nulou v počáku. Savový diagram derivačního sysému nelze urči. Obr. 3.34: Realizace derivačního sysému Reálný derivační sysém lze realizova operačním zesilovačem s kapaciou na vsupu (obr. 3.34). Každý akový sysém je ovšem zaížen určiou servačnosí. Příkladem reálného derivačního sysému je achodynamo, keré se svými vlasnosmi blíží ideálnímu derivačnímu sysému. 80

19 Příklad 3..3 Zadání: Řešení: kde Řešený příklad Popiše rovnicemi dynamické vlasnosi derivačního achodynama. Pro derivační achodynamo plaí rovnice ϕ () je úhlové naočení ω () je rychlos oáčení u () = k ω() r d ϕ() = ω() d Uvedený popis plaí jesliže se zanedbá malá nenulová časová konsana achodynama, zn. že se zanedbá jeho servačnos. Konec příkladu q Reálný derivační sysém Reálný derivační sysém je realizován již spojením dvou základních sysémů a o derivačního a servačného sysému. Přenosovou funkcí reálného derivačního sysému lze získa sériovým spojením přenosu derivačního a servačného sysému, kde k d je zesílení sysému a ε je časová konsana sysému: kd s Gs () =. ε s + Pro určení modulu frekvenčního přenosu lze použí vzahu, že výsledný modul je roven součinu modulů prvků, ze kerých je sysém sesaven. Výsledný var modulu frekvenčního přenosu je následující kdω G( jω) = k dω =, ω ε + ω ε + Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa ampliudy následující kdω kdω kd lim G( jω) = lim = 0, lim G( jω) = lim = ω 0 ω 0 ω ω ω ε + ω ε + ε Pro určení funkce fáze frekvenčního přenosu lze použí vzahu, že výsledná fáze je rovna souču fází členů ze kerých je sysém sesaven. Výsledný var funkce fáze je následující π ϕω ( ) = arcan( ω ε ) +. 8

20 Obr. 3.35: Frekvenční charakerisika reálného derivačního sysému v komplexní rovině Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa fáze následující π π π lim( arcan( ω ε ) + ) = lim( arcan( ω ε ) + ) = 0 ω 0 ω 0 ω je 90 ϕ 0, pro bod charakerisiky, kdy úhlová frekvence je rovna převrácené hodnoě časové konsany sousavy plaí ω ε= je ϕ = 45 Frekvenční charakerisika reálného derivačního sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.35, frekvenční charakerisiku předsavuje půlkružnice v prvním kvadranu, kerá vychází z bodu 0 a fáze je rovna 90 a končí v bodě k d / ε, kdy fáze je 0, což vyplývá s předcházejících vzahů pro počáeční a koncovou hodnou funkce. Obr. 3.36: Frekvenční charakerisika reálného derivačního sysému v logarimických souřadnicích 8

21 Logarimická ampliudová a fázová charakerisika reálného derivačního sysému je znázorněna na obr.3.36 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G = G = k + ε +. (j ω) 0log (j ω) 0log d 0logω 0log ω db Fázovou charakerisiku lze získa jako souče fázových charakerisik derivačního a servačného sysému ϕ(j ω) =π/ arcan( ω ε). Odezva reálného derivačního sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr Funkci přechodové charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací z obrazu přechodové charakerisiky kd s kd H() s = =, ε s+ s ε s+ k ε s+ k ε d d ε () = L = e h Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující k d kd lim h () = h(0) = lim e ε = 0 0 ε ε k d lim h () = h( ) = lim e ε = 0 ε Obr. 3.37: Odezva reálného derivačního sysému na jednokový skok Odezva reálného derivačního sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr Časový průběh impulsní charakerisiky lze získa na základě převodních vzahů derivací přechodové charakerisiky k d g () = h &() = e ε ε 83

22 Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující d k d k lim g () = g(0) = lim e ε = 0 0 ε ε k d lim g () = g( ) = lim e ε = 0 ε Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je derivační sysém charakerizován nulou v počáku a jedním pólem na záporné reálné poloose ve vzdálenosi /ε od počáku. Obr. 3.38: Odezva reálného derivačního sysému na jednokový impuls Savový diagram lze odvodi z rovnic popisující reálný derivační sysém a je znázorněn na obr x() = x() + u () ε k k y () = x() + u () ε ε Obr. 3.39: Savový diagram (vniřní popis) reálného derivačního sysému Obr. 3.40: Realizace reálného derivačního členu pomocí rezisoru a indukčnosi 84

23 Obr. 3.4: Realizace reálného derivačního členu pomocí rezisoru a kapaciy Reálný derivační sysém lze realizova pomocí RC (obr. 3.40) nebo RL obvodu (obr. 3.4) obdobně jako servačný sysém, kerý je jeho součásí. Příklad 3..4 Řešený příklad Zadání: Je zadán RC filr podle obr.3.4 jehož odpor R = 500 kω a kapacia C=0,0 μf. Určee časovou konsanu a znázorněe jeho impulsní a přechodovou charakerisiku pomocí Malabu a Simulinku. Řešení: Časová konsana se určí následovně = R C = = ,0 0 0,0 Přenos zadaného filru bude mí následující var Gs () U () s R RC s 0,0 s. U () s + R + RC s 0,0 s+ C s = = = = Uvedený přenos se namodeluje v Simulinku (obr.3.4) a přivede se na jeho vsup jednak jednokový impuls a jednak jednokový skok. Obr. 3.4: Model filru v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku Odezva na reálný jednokový impuls je znázorněna na obrázku 3.43, ze kerého je zřejmá konečná ampliuda a šířka impulsu. Neboť pro ideální jednokový impuls lze urči počáeční a koncovou hodnou impulsní charakerisiky následovně kd 0,0 lim g () = g(0) = = = 00, g( ) = 0, 0 ε 0,0 čím více se bude zmenšova šířka vsupního impulsu a zároveň zvěšova jeho ampliuda ím více lze se přiblíži ideální impulsní charakerisice, viz obr Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující kd 0,0 lim h () = h(0) = = =, h( ) = 0 0 ε 0,0 85

24 Obr. 3.43: Odezva zadaného RC filru na reálný jednokový impuls Obr. 3.44: Odezva zadaného RC filru na jednokový skok Počáeční i koncová hodnoa odezvy na ideální jednokový skok odpovídá počáeční a koncové hodnoě získané přechodové charakerisice na obrázku Konec příkladu. q Saický sysém druhého řádu Saický sysém druhého řádu bude popsán všemi dříve uvedenými způsoby pro lineární spojié sysémy. Popis diferenciální rovnicí. řádu lze zapsa v následujícím varu pro případ, že b 0 = d y () d y () = 0 a a ay () bu () d d Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice 86

25 kde K b a 0 = je zesílení 0 asy() s + asy() s + ay() s = bu() s 0 0 Y() s b Gs () = = U() s as as a Gs () = s K + ξs+ a a = je časová konsana 0 ξ = je poměrné lumení a aa 0 Je-li velikos poměrného lumení ξ 0 pak mohou bý póly přenosu: záporné reálné různé záporné reálné sejné komplexně sdružené se zápornou reálnou čásí komplexně sdružené ryze imaginární Podle velikosi poměrného lumeníξ pak lze saické sysémy druhého řádu rozděli na q přelumený sysém sysém na mezi aperiodiciy kmiavý sysém lumený kmiavý sysém s harmonickými kmiy Přelumený saický sysém druhého řádu Pro přelumený sysém druhého řádu plaí, že poměrné lumení jeξ > a póly jsou různé reálné záporné podle následujícího vzahu p, ( ξ ξ ) = ± = Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice a po dosazení za kořeny a úpravě do varu s časovými konsanami bude plai K Gs () = ( s+ )( s+ ) Frekvenční přenosová funkce po dosazení za s = jω bude následující 87

26 K G(j ω) = ( jω+ )( jω+ ) Z přenosové funkce je zřejmé, že přelumený sysém voří dva sériově spojené servačné sysémy prvého řádu. Na základě oho lze jednoduše urči modul - ampliudu přenosu přelumeného sysému jako součin dvou modulů servačných sysémů, z nichž jeden má zesílení K a druhý má zesílení rovno jedné G(j ω) K = ω + ω + Fázi přenosu přelumeného sysému lze urči jako souče fází obou servačných sysémů ϕ(j ω) = ϕ (j ω) ϕ (j ω) = arcan ω arcan ω. Obr. 3.45: Frekvenční charakerisika přelumeného sysému v komplexní rovině Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa ampliudy následující K K lim G( jω) = lim = K, lim G( jω) = lim = 0 ω + ω + ω + ω + ω 0 ω 0 ω ω Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa fáze následující lim( arcan ω arcan ω) = 0 lim( arcan ω arcan ω ) = π ω 0 ω 0 ω je 0 ϕ 80. Frekvenční charakerisika přelumeného sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.45, frekvenční charakerisiku předsavuje křivka v řeím a čvrém kvadranu, kerá vychází z bodu K a fáze je rovna 0 a končí v bodě 0, kdy fáze je Logarimická ampliudová a fázová charakerisika přelumeného sysému je znázorněna na obr.3.46 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G( jω) = 0logK 0log ω + 0log ω + db 88

27 Obr. 3.46: Frekvenční charakerisika přelumeného sysému v logarimických souřadnicích Pro vynesení frekvenční charakerisiky v logarimických souřadnicích je opě vhodné nejprve urči asympoy éo charakerisiky. Uvedený vah lze zjednoduši pro malé frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě věší časové konsany, dále pro velké frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě menší časové konsany a pro frekvence mezi ěmio dvěma hodnoami. ako se vyvoří na ose frekvencí ři oblasi. yo ři oblasi lze získa rovněž součem asympo dvou servačných sysémů: 0 < ω < G( jω ) = 0log K db < ω < G(j ω) = & 0logK 0log db ω < < G(j ) = 0logK 0log db ω 0log ω ω & ω ako lze získa ři aproximační přímky, asympoy, jejichž průsečíky jsou v bodech zlomu frekvenční charakerisiky ω = a ω =, ve kerých je nejvěší odchylka (nejvěší chyba) od skuečné hodnoy frekvenční charakerisiky. Velikos chyby lze vypočía obdobně jako pro servačný sysém, chyba v obou bodech zlomu je 3 db. Odezva přelumeného sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce K K () = L = e e ( s + )( s + ) g Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující K lim g () = g(0) = lim e e =

28 K lim g () = g( ) = lim e e = 0 Obr. 3.47: Odezva přelumeného sysému na jednokový impuls Odezva přelumeného sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr Funkci přechodové charakerisiky lze opě získa zpěnou Laplaceovou ransformací funkce K h () = L = K e e. ss ( + )( s + ) Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující lim h () = h(0) = limk e e = lim h () = h( ) = limk e e = K Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je přelumený sysém charakerizován dvěma póly na záporné reálné poloose ve vzdálenosi / a / od počáku. Pro znázornění savového diagramu lze upravi dříve uvedenou diferenciální rovnici a následovně sesavi savový diagram pro obecný sysém druhého řádu, kerý je znázorněn na obr Pro přelumený sysém lze použí spojení savových diagramů dvou servačných sysémů, kerý je znázorněn na obr Reálný přelumený sysém lze jednoduše realizova pomocí dvou RC nebo RL obvodů. Vlasnosi věšiny reálných sysémů lze v praxi právě popsa vlasnosmi přelumeného sysému druhého řádu. 90

29 Obr. 3.48: Odezva přelumeného sysému na jednokový skok Obr. 3.49: Savový diagram (pro vniřní popis) sysému druhého řádu Obr. 3.50: Savový diagram (pro vniřní popis) přelumeného sysému druhého řádu Příklad 3..5 Zadání: Řešený příklad Je zadán dvojiý RC filr znázorněný na obr.3.5 jehož odpor R = MΩ a kapacia C =0,5 μf a R = 500 kω a kapacia C =0,3 μf. Určee časové konsany a znázorněe jeho frekvenční, impulsní a přechodovou charakerisiku pomocí Malabu a Simulinku. 9

30 Řešení: Obr. 3.5: Dvojiý RC filr jako přelumený sysém druhého řádu Časové konsany se určí následovně = R C = = ,50 0,5 = R C = = 6 6 0,50 0,30 0,5 Přenos zadaného filru bude mí následující var Gs () U () s U () s RC s+ RC s+ (0,5 s+ )(0,5 s+ ). = = = Na základě zadání následujících příkazů v Malabu b=[] a=[ ] g=f(b,a) nyquis(g) bode(g) lze získa frekvenční charakerisiku v komplexní rovině (obr. 3.5) a LAF charakerisiku (obr. 3.53), kde frekvence zlomu jsou ω = a ω = 6,66. Obr. 3.5: Frekvenční charakerisika dvojiého RC filru, přelumeného sysému druhého řádu 9

31 Obr. 3.53: Logarimická ampliudová a fázová frekvenční charakerisika dvojiého RC filru, přelumeného sysému druhého řádu Pro získání impulsní a přechodové charakerisiky se uvedený přenos namodeluje v Simulinku (obr.3.54) a přivede se na jeho vsup jednak jednokový impuls a jednak jednokový skok. Obr. 3.54: Model dvou filrů v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku g() Obr. 3.55: Odezva zadaného dvojiého RC filru na reálný jednokový impuls 93

32 Odezva na reálný jednokový impuls je znázorněna na obrázku Počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky bude nulová, jak bylo odvozeno v popisu přelumeného sysému g(0) = 0, g( ) = 0, h() Obr. 3.56: Odezva zadaného dvojiého RC filru na jednokový skok Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující h(0) = 0, h( ) = K = Počáeční i koncová hodnoa odezvy na jednokový skok odpovídá počáeční a koncové hodnoě získané přechodové charakerisice na obrázku Konec příkladu. q Sysém na mezi aperiodiciy Pro sysém druhého řádu na mezi aperiodiciy plaí, že poměrné lumení je rovno jedné, ξ =, a póly jsou reálné záporné shodné, neboli polynom ve jmenovaeli má dvojnásobný kořen p, = Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice druhého řádu a po dosazení za kořeny a úpravě do varu s časovými konsanami bude plai K K Gs () = = s + s+ ( s + ) Frekvenční přenos lze získa po dosazení za s = jω a bude následující K Gs () =. ( jω+ ) 94

33 Z přenosové funkce je zřejmé, že aperiodický sysém voří dva sériově spojené shodné servačné sysémy prvého řádu. Na základě oho lze urči modul - ampliudu přenosu přelumeného sysému jako součin dvou modulů shodných servačných sysémů, z nichž jeden má zesílení K a druhý má zesílení rovno jedné K K G(j ω) = = ω + ω + ω + Fázi přenosu aperiodického sysému lze urči jako souče fází obou shodných servačných sysémů ϕ(j ω) = ϕ(j ω) ϕ(j ω) = arcan ω arcan ω = arcan ω. Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa ampliudy a fáze shodné s přelumeným sysémem druhého řádu. Frekvenční charakerisika aperiodického sysému v komplexní rovině je obdobná jako u přelumeného sysému a je znázorněna na obr. 3.57, frekvenční charakerisiku předsavuje křivka v řeím a čvrém kvadranu, kerá vychází z bodu K a fáze je rovna 0 a končí v bodě 0, kdy fáze je -80. var bude odlišný poněvadž pro ω = / bude plai, ϕω ( ) = 90 0 G(j ω) = 0,5K což je bod na záporné imaginární ose. Na obrázku 3.57 je zobrazena frekvenční charakerisika aperiodického sysému s časovou konsanou rovnou jedné, =, a zesílením K=. Imaginární osu edy proíná frekveční charakerisika v bodě -0,5 j. Logarimická ampliudová a fázová charakerisika aperiodického sysému je znázorněna na obr.3.58 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G j = K + + = K +. ( ω) 0log 0log ω 0log ω 0log 40log ω db Pro vynesení frekvenční charakerisiky v logarimických souřadnicích je opě vhodné nejprve urči asympoy éo charakerisiky. Uvedený vah lze zjednoduši pro malé frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě časové konsany, dále pro velké frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě časové konsany. ako se vyvoří na ose frekvencí dvě oblasi. 0 Obr. 3.57: Frekvenční charakerisika aperiodického sysému v komplexní rovině 95

34 yo dvě oblasi lze získa rovněž součem asympo dvou shodných servačných sysémů a proporcionálního sysému se zesílením K: 0 < ω < G(j ω) = 0log K db < ω < G(j ω) db= 0logK 40logω Obr. 3.58: Frekvenční charakerisika aperiodického sysému v logarimických souřadnicích ako lze získa dvě aproximační přímky, asympoy, jejichž průsečík je v bodě zlomu frekvenční charakerisiky ω=/, ve kerém je nejvěší odchylka (nejvěší chyba) od skuečné hodnoy frekvenční charakerisiky. Velikos chyby lze vypočía obdobně jako pro servačný sysém, chyba v bodě zlomu je součem chyb obou servačných sysémů se shodným bodem zlomu a je o 6 db. Odezva aperiodického sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce K K g L ( s+ ) () = = e Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující K lim g () = g(0) = lim e = K lim g () = g( ) = lim e = 0 Odezva aperiodického sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr Funkci přechodové charakerisiky lze opě získa zpěnou Laplaceovou ransformací funkce K h L K ss ( + ) () = = ( e e ) 96

35 Obr. 3.59: Odezva aperiodického sysému na jednokový impuls Obr. 3.60: Odezva aperiodického sysému na jednokový skok Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující lim h () = h(0) = lim K( e e ) = lim h () = h( ) = lim K( e e ) = K Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je aperiodický sysém charakerizován dvojnásobným pólem na záporné reálné poloose ve vzdálenosi / od počáku. Pro znázornění savového diagramu lze použí savový diagram pro obecný sysém druhého řádu, kde ξ= a kerý je znázorněn na obr Pro aperiodický sysém lze použí spojení savových diagramů dvou servačných sysémů, kerý je znázorněn na obr Reálný aperiodický sysém lze realizova pomocí dvou shodných RC nebo RL obvodů. 97

36 Příklad 3..6 Obr. 3.6: Savový diagram (pro vniřní popis) aperiodického sysému Řešený příklad Zadání: Je zadán dvojiý RC filr znázorněný na obr.3.6 jehož odpory R = MΩ a kapacia C=0,5 μf. Určee časové konsany a znázorněe jeho frekvenční, impulsní a přechodovou charakerisiku pomocí Malabu a Simulinku. Řešení: Obr. 3.6: Dvojiý RC filr jako aperiodický sysém druhého řádu Časové konsany se určí následovně = R C = = ,50 0,5 Přenos zadaného filru bude mí následující var Gs () U () s = = = U() s ( RC s+ ) (0,5 s+ ) Na základě zadání následujících příkazů v Malabu b=[] a=[0.5 ] g=f(b,a) nyquis(g) bode(g) lze získa frekvenční charakerisiku v komplexní rovině (obr. 3.63) a LAF charakerisiku (obr. 3.64), kde frekvence zlomu je ω=.. 98

37 Obr. 3.63: Frekvenční charakerisika dvojiého RC filru, aperiodického sysému druhého řádu Obr. 3.64: Logarimická ampliudová a fázová frekvenční charakerisika dvojiého RC filru, aperiodického sysému druhého řádu Pro získání impulsní a přechodové charakerisiky se uvedený přenos namodeluje v Simulinku (obr.3.65) a přivede se na jeho vsup jednak jednokový impuls a jednak jednokový skok. Obr. 3.65: Model dvojiého filru v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku Odezva na reálný jednokový impuls je znázorněna na obrázku Počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky bude nulová, jak bylo odvozeno v popisu přelumeného sysému g(0) = 0, g( ) = 0. Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující h(0) = 0, h( ) = K = 99

38 8 x g() Obr. 3.66: Odezva zadaného dvojiého RC filru na reálný jednokový impuls h() Obr. 3.67: Odezva zadaného dvojiého RC filru na jednokový skok Počáeční i koncová hodnoa odezvy na jednokový skok odpovídá počáeční a koncové hodnoě získané přechodové charakerisice na obrázku Konec příkladu. q Kmiavý lumený sysém Pro kmiavý lumený sysém druhého řádu plaí, že poměrné lumení je v rozmezí 0< ξ< a póly jsou komplexně sdružené se zápornou reálnou složkou, ( j ) p = ξ ± ξ Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice a po dosazení za kořeny a úpravě do varu s časovou konsanou se získá následující výraz 00

39 K Gs () = [ s+ ( ξ + j ξ )][ s+ ( ξ j ξ )] Frekvenční přenos lze dosa po dosazení za s = jω a pak bude následující G(j ω) = K ω ( ) + j ξω Na základě výše uvedeného výrazu lze urči modul - ampliudu přenosu kmiavého lumeného sysému a nebo jako součin dvou modulů ekvivalenních dvěma sysémům prvého řádu, každý s jedním z komplexně sdružených kořenů, a proporcionálního sysému se zesílením K. Z výše uvedeného varu se dosane následující výraz pro modul G(j ω) = K. ( ω ) + 4ξ ω Fázi frekvenčního přenosu kmiavého lumeného sysému lze urči podle následujícího vzahu ξω ϕ(j ω) = arcg. ω Frekvenční charakerisika kmiavého lumeného sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.68, frekvenční charakerisiku předsavuje křivka probíhající v řeím a čvrém kvadranu, kerá vychází z bodu K kde fáze je rovna 0 a končí v bodě 0, kde fáze je rovna 80. Pro kladné frekvence lze počáeční a koncovou hodnou ampliudy urči následovně lim ( ) lim K, lim ( ) lim K G jω = = K G jω = = 0 ω 0 ω 0 ( ω ) + 4 ξ ω ω ω ( ω ) + 4ξ ω Pro kladné frekvence jsou počáeční a koncová hodnoa fáze následující ξω ξω lim( arcg ) = 0 lim( arcg ) = π ω 0 ω ω ω 0 ω je 0 ϕ 80. Charakerisické pro frekvenční charakerisiku kmiavého lumeného sysému je rezonanční navýšení ampliudy oproi hodnoě K v určiém rozsahu poměrného lumení 0<ξ<0,707, což je zřejmé z obr Maximální hodnoa ampliudy rose se zmenšujícím se poměrným lumením ξ a nejvěší je v bodě rezonančního kmioču, kerý je určen vzahem: ωr = ξ Logarimická ampliudová a fázová charakerisika kmiavého lumeného sysému je znázorněna na obr.3.70 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G( jω) = 0logK 0log ( ω ) + 4ξ ω db 0

40 Obr. 3.69: Frekvenční charakerisika kmiavého lumeného a přelumeného sysému v komplexní rovině pro různá ξ Pro vynesení frekvenční charakerisiky v logarimických souřadnicích je opě vhodné nejprve urči asympoy éo charakerisiky. Uvedený vah lze zjednoduši pro malé frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě časové konsany, dále pro velké frekvence vzhledem k frekvenci odpovídající převrácené hodnoě časové konsany, kde nejprve zanedbáme vzhledem k ω a pak 4ξ vzhledem k ω. ako se vyvoří na ose frekvencí dvě oblasi s asympoami danými následujícími rovnicemi: 0 < ω < G(j ω) = 0log K db < ω < G(j ω) db= 0logK 0log (4 ξ + ω ) ω = 0logK 40logω ako lze získa dvě aproximační přímky, asympoy, jejichž průsečík je v bodě zlomu frekvenční charakerisiky ω=/, ve kerém je enokrá odchylka od skuečné hodnoy frekvenční charakerisiky proměnná. Velikos chyby v bodě zlomu je závislá na velikosi ξ a závisí na velikosi rezonančního převýšení (obr. 3.70). Odezva kmiavého lumeného sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr. 3.7, kerá má var lumených kmiů. Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: g () L K ( s + ξ s + ) = ξ K e ξ g () = sin ξ 0

41 Obr. 3.70: Frekvenční charakerisika kmiavého lumeného a přelumeného sysému v logarimických souřadnicích pro různá ξ Obr. 3.7: Impulsní charakerisika kmiavého lumeného sysému Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující ξ K e ξ lim g () = g(0) = lim sin = ξ 03

42 ξ K e ξ lim g () = g( ) = lim sin = 0 ξ Obr. 3.7: Odezva kmiavého lumeného sysému na jednokový skok Odezva kmiavého lumeného sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr. 3.7 má var lumených kmiů. Funkci popisující průběh přechodové charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: h () L = - K s ( s + ξ s + ) ξ e h () K ξ = sin( + φ ) ξ φ = an ξ ξ Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky následující ξ e lim h () h(0) limk ξ = = sin( + φ) = ξ ξ e lim g () g( ) limk ξ = = sin( + φ) = K ξ Pro vyznačené veličiny, keré jsou charakerisické pro kmiavý lumený sysém a jsou vyznačeny v obr. 3.7, plaí následující vzahy: max = π doba odpovídající maximálnímu překmiu 04

43 ξπ ξ hmax = K+ e velikos maximálního překmiu π ωv = = ξ v kmioče lumených kmiů v doba periody lumených kmiů s =4 v doba usálení lumených kmiů (chyba menší než %) Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je kmiavý lumený sysém charakerizován dvěma komplexně sdruženými póly v záporné polorovině. Pro znázornění savového diagramu lze použí savový diagram pro obecný sysém druhého řádu, kerý je znázorněn na obr Reálný kmiavý lumený sysém lze realizova pomocí RCL obvodu, kerý je znázorněn na obr Obr. 3.73: Realizace kmiavého lumeného sysému pomocí rezisoru, kapaciy a indukčnosi. Příklad 3..7 Řešený příklad Zadání: Je zadán sysém druhého řádu jehož časová konsana = a koeficien lumení ξ=0,5. Znázorněe frekvenční, impulsní a přechodovou charakerisiku zadaného sysému pomocí Malabu a Simulinku. Řešení: Přenos zadaného sysému bude mí následující var Gs () U () s = =. U() s 4 s + s + Na základě zadání následujících příkazů v Malabu b=[] a=[4 ] g=f(b,a) nyquis(g) bode(g) lze získa frekvenční charakerisiku v komplexní rovině (obr. 3.74) a LAF charakerisiku (obr. 3.75), kde frekvence zlomu je ω= 0,5. 05

44 Obr. 3.74: Frekvenční charakerisika lumeného kmiavého sysému druhého řádu Obr. 3.75: Logarimická ampliudová a fázová frekvenční charakerisika lumeného kmiavého sysému druhého řádu Resonanční kmioče se určí ze vzahu ωr = ξ = 0,5 = 0,875 0,47. Pro získání impulsní a přechodové charakerisiky se uvedený přenos namodeluje v Simulinku (obr.3.76) a přivede se na jeho vsup jednak jednokový impuls a jednak jednokový skok. Obr. 3.76: Model kmiavého lumeného sysému v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku 06

45 Obr. 3.77: Odezva zadaného lumeného kmiavého sysému na reálný jednokový impuls Odezva na reálný jednokový impuls je znázorněna na obrázku Počáeční a koncová hodnoa impulsní charakerisiky bude nulová, jak bylo odvozeno v popisu lumeného kmiavého sysému g(0) = 0, g( ) = 0, Odezva na jednokový skok je znázorněna na obrázku Pro čas 0 jsou počáeční a koncová hodnoa přechodové charakerisiky následující h(0) = 0, h( ) = K = Počáeční i koncová hodnoa odezvy na jednokový skok odpovídá počáeční a koncové hodnoě získané přechodové charakerisice na obrázku Obr. 3.78: Odezva zadaného lumeného kmiavého sysému na jednokový skok 07

46 Nyní se vypočou další charakerisické veličiny pro přechodovou charakerisiku kmiavého lumeného sysému: = π 6,8 h = + e = + e = + e,445 max max ξπ 0,5π ξ 0,9375 0,809 π π 6,8 ω = = = = = = v ξ 0,9375 0,484 v,97 s 4 v 5,89 v ωv 0,484 Vypočené veličiny odpovídají hodnoám na přechodové charakerisice znázorněné na obrázku Konec příkladu. q Kmiavý nelumený sysém Pro kmiavý nelumený sysém druhého řádu plaí, že poměrné lumení je nulové ξ= 0 a póly jsou komplexně sdružené ryze imaginární p, =± j Popis diferenciální rovnicí. řádu lze zapsa v následujícím varu, kde a = 0 d y () + 0 = 0 a ay () bu () d Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace diferenciální rovnice a b0 kde = ; K =. a a 0 0 Y() s b Gs () = = U() s as a K Gs () = s Frekvenční přenosem po dosazení za s = jω bude následující K G(j ω) = ω. Frekvenční charakerisika kmiavého nelumeného sysému v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.79, frekvenční charakerisiku předsavuje přímka, oožná s čási reálné osy, kerá vychází z bodu K kdy fáze je rovna 0, pokračuje přes liminí body a - a končí v bodě 0, kdy fáze je rovna Pro kladné frekvence lze počáeční a koncovou hodnou ampliudy urči následovně lim ( ) lim K, lim ( ) lim K G jω = = K G jω = = 0 ω 0 ω 0 ω ω ω ω Pro kladné frekvence jsou počáeční hodnoa fáze je rovna nule a koncová hodnoa fáze je rovna ϕ (0) = 0 ϕ ( ) = π 08

47 Logarimická ampliudová a fázová charakerisika kmiavého nelumeného sysému je znázorněna na obr.3.80 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku: G( jω) = 0logK 0log( ω ), db jsou zde definovány opě dvě asympoy, keré jsou shodné se sysémem kmiavým lumeným. Fázi přenosu kmiavého nelumeného sysému lze urči podle definice. Pro frekvence od 0 do / je fáze rovna nule 0 ω je ϕ = 0, pro frekvence od / do je hodnoa fáze rovna - 80, změna fáze z 0 na -80 je právě v bodě frekvence od / pro ampliudovou hodnou rovnou ±. ω je ϕ = 80. Obr. 3.79: Frekvenční charakerisika kmiavého nelumeného sysému v komplexní rovině Obr. 3.80: Frekvenční charakerisika kmiavého nelumeného sysému v logarimických souřadnicích 09

48 V logarimické fázové charakerisice se mění velikos fáze skokem v bodě zlomu logarimické frekvenční charakerisiky ω=/ z hodnoy 0 na -80. Odezva kmiavého nelumeného sysému na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr. 3.8 má var harmonických kmiů. Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: K K g () = L sin = ω0 s + Obr. 3.8: Odezva kmiavého nelumeného sysému na jednokový impuls Perioda kmiů je dána vzahem π v =, ω0 = ξ =. ω0 Maximální hodnoa ampliudy kmiů K hmax =. Odezva kmiavého nelumeného sysému na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr. 3.8 má var harmonických kmiů. Funkci popisující průběh přechodové charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: K h () = L = K( cosω0) s ( s + ) Perioda kmiů je dána vzahem π v =, ω0 = ξ =. ω0 Maximální hodnoa ampliudy kmiů h = K. max 0

49 Obr. 3.8: Odezva kmiavého nelumeného sysému na jednokový skok Podle rozložení nul a pólů v komplexní rovině je kmiavý nelumený sysém charakerizován dvěma póly na záporné imaginární ose. Pro znázornění savového diagramu kmiavého nelumeného sysému lze upravi savový diagram pro obecný sysém druhého řádu na sysém kde ξ=0, kerý je znázorněn na obr Obr. 3.83: Savový diagram (pro vniřní popis) kmiavého nelumeného sysému Sysémy druhého řádu kdy ξ < 0 jsou nesabilní a nepaří mezi základní sysémy. Pojem sabilia sysému bude vysvělen později, a proo yo sysémy nebudou dále popisovány. Například jsou-li póly přenosu komplexně sdružené s kladnou reálnou čásí ak ampliuda kmiů neusále narůsá. Sysémy s uvedenými vlasnosmi se v praxi vyskyují výjimečně a vyskyují se v elekroechnice. Příklad 3..8 Řešený příklad Zadání: Je zadán sysém druhého řádu jehož časová konsana = a koeficien lumení ξ=0. Znázorněe impulsní a přechodovou charakerisiku zadaného sysému pomocí Malabu a Simulinku. Řešení:

50 Přenos zadaného sysému bude mí následující var Gs () U () s = U() s = 4 s +. Pro získání impulsní a přechodové charakerisiky se uvedený přenos namodeluje v Simulinku (obr.3.84) a přivede se na jeho vsup jednak jednokový impuls a jednak jednokový skok. Obr. 3.84: Model sysému v Simulinku pro impulsní a přechodovou charakerisiku g() Obr. 3.85: Odezva zadaného nelumeného kmiavého sysému na reálný jednokový impuls h() Obr. 3.86: Odezva zadaného lumeného kmiavého sysému na jednokový skok Odezva na reálný jednokový impuls je znázorněna na obrázku Nyní se vypočou charakerisické veličiny pro impulsní charakerisiku kmiavého nelumeného sysému:

51 π π K = = = 4π,56 hmax = = ω 0,5 0 Odezva na jednokový skok je znázorněna na obrázku Nyní se vypočou charakerisické veličiny pro přechodovou charakerisiku kmiavého nelumeného sysému: π π = = = 4π,56 hmax = K = ω 0,5 0 Vypočené veličiny odpovídají hodnoám na impulsní a přechodové charakerisice znázorněné na obrázcích 3.85 a Konec příkladu. q Dopravní zpoždění Popis dopravního zpoždění rovnicí lze zapsa v následujícím varu y () = u ( ). Popis přenosovou funkcí sysému lze získa na základě Laplaceovy ransformace předcházející rovnice Y() s Gs () = = e U() s s Frekvenční přenos po dosazení za s = jω bude následující j G(j ω) = e ω Frekvenční charakerisika dopravního zpoždění v komplexní rovině je znázorněna na obr. 3.87, frekvenční charakerisiku předsavuje jednoková kružnice. Modul přenosu je dán vzahem a funkce fáze přenosu je následující G(j ω ) =, ϕ(j ω) = ω. Obr. 3.87: Frekvenční charakerisika dopravního zpoždění v komplexní rovině Logarimická ampliudová a fázová charakerisika dopravního zpoždění je znázorněna na obr.3.88 a je určena následujícím vzahem pro ampliudovou charakerisiku 3

52 kerá je oožná s osou 0 db. G( jω ) = 0, db Obr. 3.88: Frekvenční charakerisika dopravního zpoždění v logarimických souřadnicích Odezva dopravního zpoždění na jednokový impuls - impulsní charakerisika je znázorněna na obr a má var posunuého Diracova impulsu o čas τ. Funkci popisující průběh impulsní charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: g () = L e s { } Obr. 3.89: Odezva dopravního zpoždění na jednokový impuls Odezva dopravního zpoždění na jednokový skok - přechodová charakerisika je znázorněna na obr má var posunuého jednokového skoku o čas τ. Funkci popisující průběh přechodové charakerisiky lze získa zpěnou Laplaceovou ransformací přenosové funkce: s e h () = L s 4

53 Obr. 3.90: Odezva dopravního zpoždění na jednokový skok Shrnuí pojmů 3.. Věšinu spojiých lineárních sysémů (mimo dopravní zpoždění) lze namodelova pomocí sousavy složené ze ří ypů prvků: inegráorů, sumáorů a zesilovačů, jak bylo ukázáno při popisu jednolivých sysémů pomocí savových diagramů. Pro snadnější analýzu spojiých dynamických sysému byl ukázán popis základních dynamických sysémů, keré mají ypické vlasnosi: proporcionální sysém inegrační sysém sysém se servačnosí prvého řádu derivační sysém saický sysém druhého řádu dopravní zpoždění Znalos vlasnosí uvedených základních sysémů umožní snadnou analýzu složiějších sysémů, keré můžeme nahradi několika základními sysémy ak, aby vlasnosi byly shodné. Oázky k řešení 3... Jaký je přenos proporcionálního sysému a jak jej získáme?. Jaká je frekvenční charakerisika proporcionálního sysému? 3. Jaká je impulsní charakerisika proporcionálního sysému? 4. Jaká je přechodová charakerisika proporcionálního sysému? 5. Jaký je přenos inegračního sysému a jak jej získáme? 6. Jaká je frekvenční charakerisika inegračního sysému? 7. Jaká je impulsní charakerisika inegračního sysému? 8. Jaká je přechodová charakerisika inegračního sysému? 9. Jaký je přenos servačného sysému a jak jej získáme? 0. Jaká je frekvenční charakerisika servačného sysému?. Jaká je impulsní charakerisika servačného sysému?. Jaká je přechodová charakerisika servačného sysému? 3. Jaký je přenos derivačního sysému a jak jej získáme? 5

54 4. Jaká je frekvenční charakerisika derivačního sysému? 5. Jaká je impulsní charakerisika derivačního sysému? 6. Jaká je přechodová charakerisika derivačního sysému? 7. Jak rozdělujeme saické sysémy druhého řádu? 8. Jaký je přenos přelumeného sysému druhého řádu a jak jej získáme? 9. Jaká je frekvenční charakerisika přelumeného sysému druhého řádu? 0. Jaká je impulsní charakerisika přelumeného sysému druhého řádu?. Jaká je přechodová charakerisika přelumeného sysému druhého řádu?. Jaký je přenos aperiodického sysému druhého řádu a jak jej získáme? 3. Jaká je frekvenční charakerisika aperiodického sysému druhého řádu? 4. Jaká je impulsní charakerisika aperiodického sysému druhého řádu? 5. Jaká je přechodová charakerisika aperiodického sysému druhého řádu? 6. Jaký je přenos kmiavého lumeného sysému druhého řádu a jak jej získáme? 7. Jaká je frekvenční charakerisika kmiavého lumeného sysému druhého řádu? 8. Jaká je impulsní charakerisika kmiavého lumeného sysému druhého řádu? 9. Jaká je přechodová charakerisika kmiavého lumeného sysému druhého řádu? 30. Jaký je přenos kmiavého nelumeného sysému druhého řádu a jak jej získáme? 3. Jaká je frekvenční charakerisika kmiavého nelumeného sysému druhého řádu? 3. Jaká je impulsní charakerisika kmiavého nelumeného sysému druhého řádu? 33. Jaká je přechodová charakerisika kmiavého nelumeného sysému druhého řádu? 34. Jak určíme počáeční a koncovou hodnou příslušné charakerisiky? Úlohy k řešení 3.. Příklad 3..9 Zadání: Je zadán sysém druhého řádu jehož časová konsana = a koeficien lumení ξ=0,8. Znázorněe frekvenční impulsní a přechodovou charakerisiku zadaného sysému pomocí Malabu a Simulinku. Příklad 3..0 Zadání: Je zadán dolnopropusný RL filr podle obr.3.6 jehož odpor R =500 Ω a indukčnos L=600 mh. Určee frekvenční charakerisiku filru v komplexní rovině a ampliudovou a fázovou charakerisiku v logarimických souřadnicích pomocí Malabu a Simulinku. 6