Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných"

Transkript

1 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou formu studia

2 OBSAH Obsah I Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 Definiční obor funkce dvou proměnných 3 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů 7 3 Limita a spojitost 4 Parciální a směrové derivace, gradient 4 5 Diferenciál a Taylorův polynom 7 6 Lokální extrémy 7 Vázané a globální extrémy 5 8 Implicitní funkce 3 II Integrální počet funkcí více proměnných 33 9 Dvojný integrál - Fubiniho věta 33 Trojný integrál - Fubiniho věta 37 Dvojný integrál - Transformace integrálů 4 Trojný integrál - Transformace integrálů 48 3 Aplikace vícerozměrných integrálů 54 RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

3 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 3 Část I Diferenciální počet funkcí více proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému O, x, y zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných:. Příklad fx, y = 4 x + y 9. Řešení 4 x y 9 x 4 y 9 x y 3 x, y, 3 3,. Tedy Df =,, 3 3,. Viz Obr... Příklad fx, y = ln xln y x. Řešení xln y x > x > ln y x > x < ln y x < x > y x > x < < y x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x + x < y < x + y > x}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

4 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 4 3. Příklad fx, y = x sin y. Řešení x sin y x sin y x sin y. Tedy Df = {[x, y] R R : x y k= kπ, k + π x y k= k π, kπ }. Viz Obr Příklad fx, y = ln yln x. Řešení ln yln x ln y ln x ln y ln x ln y x ln y > x. Tedy Df = {[x, y] R R : < y e x y e x < }. Viz Obr Příklad fx, y = ln x y + x y + 4. Řešení x y > x y + 4 y < x y x +. Tedy Df = {[x, y] R R : y < x y x + }. Viz Obr. 5. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

5 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 5 6. Příklad fx, y = ln x + y x. Řešení x + y x > x +y x > x + y > x > x + y < x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x x < y < x }. Viz Obr Příklad fx, y = x + y. Řešení x +y x +y x +y x +y x y x +y x + y x + y x + y x y x. Tedy Df = {[x, y] R R : x y x }. Viz Obr Příklad fx, y = sin πx + y. Řešení sin πx + y kπ πx + y k + π, k Z k x + y k +, kde k Z. Tedy Df = k= {[x, y] R R : k x + y k + }. Viz Obr. 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

6 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 6 9. Příklad fx, y = arcsin y + x. Řešení y + x y + x y +x. Tedy Df = {[x, y] R R : y +x }. Po vyšetření průběhu funkce +x již snadno nakreslíme definiční obor. Viz Obr. 9.. Příklad fx, y = ln + x y 9 + arctg 5 x y x. Řešení + x y 9 > 5 x y x x y 9 x + y + x 5. Tedy Df = {[x, y] R R : x y 9 x + + y 6}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí:. Příklad fx, y = x ln 3x y rovinou z =. y Řešení Předně vyšetříme definiční obor. Platí [x, y] Df y 3x y > y y < 3 x. Odtud plyne, že Df = {[x, y]; y < 3 x y }. Viz Obrázek. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici x y ln 3x y =. Platí x y ln 3x y = x = 3x y = x = y = 3 x. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz Obrázek. Obrázek :. Příklad fx, y = x 3 + x y rovinou z =. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x 3 + x y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici x 3 + x y =. Platí y = x 3 + x a odtud y = ± x 3 + x. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy x. Vyšetříme průběh funkce gx = ± x 3 + x. Předně x Dg x x + x. Tedy Dg =,. Určíme první derivaci g x = 3x +x = x3x+ x 3 +x. x 3 +x Definiční obor derivace g je Dg =, {}. Jediný nulový bod je x = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na, 3 je g kladná, na 3, záporná a na, kladná. Odtud plyne, že funkce g je na, 3 rostoucí, na 3, klesající a na, rostoucí. V bodě x = 3 je maximum g 3 = a v bodě x = je minimum g =. Druhá derivace po úpravě vychází g x = x3x+4 4. Odtud plyne, že na intervalu, je funkce g konkávní x+ x x+ a na, konvexní. Bod x = není inflexní bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

8 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 8 Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. Příklad fx, y = x + y. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x + y je celá rovina R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > kružnice x + y = c, pro z = bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Po umocnění dostáváme z x = c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z = x. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz Obrázek 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obrázek 3: 4. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±x ± c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Viz Obrázek 4. Obrázek 4: 5. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že [x, y] Df x + y y x. Tedy Df = {[x, y], y x}. Zřejmě Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = x c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru x = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na Obrázku 5. Obrázek 5: RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

9 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 9 6. Příklad fx, y = e x y. Řešení Pro fx, y = e x y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = ln c. Pro z = je řez bod [, ] a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = e x c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e x okolo osy z. Viz Obrázek 6. Obrázek 6: 7. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x +y je Df = R {[, ]} a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = c. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = x okolo osy z. Viz Obrázek 7. Obrázek 7: Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému O, x, y, z zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. Příklad fx, y, z = x + y z + x + y + z Řešení Pro fx, y, z = x + y z + x + y + z platí [x, y, z] Df x + y z x + y + z z x + y z x + y. Df = {[x, y, z] : x, x y x, x + y z ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz Obrázek 8. x + y }. Definiční obor je těleso RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

10 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady Obrázek 8: 9. Příklad fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z. Řešení Pro fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z platí [x, y, z] Df z x + y 6 x + y + z z x + y z 6 x + y. Df = {[x, y, z], x, 4 x y 4 x, x + y z 6 x + y }. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice x + y = 4. Viz Obrázek 9. Obrázek 9:. Příklad fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z. Řešení Pro fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z platí [x, y, z] Df x + y + z 7 5 x + z x + y + z z 7 5 x. Definiční obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

11 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Limita a spojitost x y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] 3x + y. Řešení K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí x y L = lim lim x y 3x + y = lim x x 3x = lim x 3 = 3. x y L = lim lim y x 3x + y = lim y = lim =. y y x Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x + y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x y. Řešení K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí x + y L = lim lim x y x y = lim x x x = lim =. x x + y L = lim lim y x x y = lim y y y = lim x =. Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x 3 y 3. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y 4. Řešení Platí L = Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. lim x,y=kx x 3 y x 4 + y 4 = lim x x 3 kx x 4 + k 4 x 4 = lim x kx 4 x 4 k 4 + = lim x k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. x y 4. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y. Řešení Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim x,y=kx x y x 4 + y = lim x x kx x 4 + k x 4 = lim x k k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. xy 5. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x + y. Řešení L = K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí lim ϱ,x=ϱ cos ϕ,y=ϱ sin ϕ xy x + y = lim ϱ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, ] limitu. ϱ cos ϕϱ sin ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ. ϱ RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

12 Limita a spojitost - řešené příklady x y 6. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x + y pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ]. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí Přitom Tedy funkce lim [x,y] [,] x y x + y = xy lim x =. Ukažme nyní že funkce [x,y] [,] lim x [x,y] [,] x +y lim [x,y] [,] xy x + y. je ohraničená. Platí x y x xy + y xy x + y xy x + y xy x +y je ohraničená. x 4 y 7. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x 8 + y 4 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] xy x + y. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = x 4 y lim x,y=kx x 8 + y 4 = lim x x 4 kx x 8 + kx 4 = lim x k x 8 + k 4 x 8 = k + k 4. Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, ] nespojitá. 8. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + x + y. Řešení Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. x + y lim + x [x,y] [,] x + y = lim + y + x + y + + [x,y] [,] x + y = x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + x + y x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + + =. x 3 y 3 9. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x 4 y 4. Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. x 3 y 3 lim [x,y] [,] x 4 y 4 = lim [x,y] [,] x yx + xy + y x yx + yx + y = lim [x,y] [,] x + xy + y x + yx + y = = x + y 3. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + 4. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

13 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [x,y] [,] 3x + y x + y + 4 = lim [x,y] [,] 3x + y x + y x + y + 4 x + y = 3x + y x = lim + y [x,y] [,] x + y = lim x + y = 3 + =. [x,y] [,] RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

14 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 4 4 Parciální a směrové derivace, gradient 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. a fx, y = x y + y 4 ; b fx, y = e x y + x y ; c fx, y, z = y z x. Řešení a f x = 4x y + y 3 xy = 8xy 4 x + 3, f y = 4x y + y 3 x = 4y 3 x + 4. b f x = e x y y + yxy, f y = e x y x y + ln x x y. c f x = y z x ln y z, f y = z x xy x = x y y z x, f z = y x xz x = x z y z x. 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. a fx, y = ln x + x + y, A = [, ]. b fx, y = + log y x 3, A = [e, e]. c fx, y, z = arctg x y + z z, A = [,, ]. Řešení a f x = + x x+ x +y = x +y +x =, f x +y x+ x +y x +y x xa = +y f y = x+ x +y y = y x +y x +y +x x +y, f ya = b Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y x = ln x ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar fx, y = + log y x 3 = + ln x ln y 3. Odtud f x = 3 + log y x xln y, f xa = 3 + log e e eln e = e ; f y = 3 + log y x ln x yln y, c f x = f y = +x y +x y x y yx y, f xa = 4 ; x y x y ln x, f ya = ; f ya = 3 + log e e ln e eln e = e. f z = zz z + ln z z z = z z ln z +, f za = 4 + ln 6. 5 ; 33. Příklad Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. a fx, y = e y sin x, A = [, ]; b fx, y = arctg x y x+y, A = [3, ]; c fx, y = e xey, A = [, ]. Řešení a f x = e y cos x, f y = e y sin x, f xx = e y sin x, f xxa =, f yy = 4e y sin x, f yya =, f xy = e y cos x, f xya =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

15 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 5 b f x = + x y f xx = x+y xy x+y x y x+y = y x +y, f y = x+y x y + x y x+y x+y = x x +y, xxa = 6 x +y, f, f yy = xy x +y, f yya = 6, f xy = x y x +y, f xya = 8. c f x = e xey e y, f y = e xey xe y, f xx = e xey e y, f xxa =, f yy = e xey xe y + e xey xe y = e xey xe y xe y +, f yya =, f xy = e xey xe y e y + e xey e y = e xey e y xe y +, f xya =. 34. Příklad fx, y = xln xy. Spočtěte f xxy. Řešení fx, y = xln xy, f x = ln xy + x xy y = ln xy +, f xx = xy y = x, f xxy = Příklad fx, y = ln + x + y. Spočtěte 79 x 57 y. Řešení Funkce fx, y = ln + x + y je symetrická vzhledem k proměnným x a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 36. x Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f x = + x + y, f xx = + x + y, f xxx = Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že + x + y 3, f xxxx = k fx, y x k = k+ k! + x + y k. 6 + x + y 4, f 5 xxxxx = Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 35! x 36 = + x + y x + y Příklad Určete bod, ve kterém je gradient funkce fx, y = ln x + y roven vektoru, 6 9. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = ln x + y. Pro parciální derivace prvního řádu platí y xy+, f x = x + y = y xy +, f y = x + y y = xy + y. Odtud gradf = xy +y. Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem, 6 9. Platí y xy+, xy +y =, 6 y 9. Z rovnosti složek vektorů získáme systém rovnic xy+ =, xy +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme x. Pro y = 3 4 je x = 3, pro y = 3 4 je x = 7 3. Gradient zadané funkce je roven vektoru, 6 9 v bodech [ 3, 3 4 ], [ 7 3, 3 4 ]. 37. Příklad Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 rovná. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = x + y 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f x = 3 x + y x = 3x x + y, f y = 3 x + y y = 3y x + y. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

16 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 6 Odtud gradf = 3x x + y, 3y x + y. Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = f x + f y = 9x x + y + 9yx + y = 9x + y = 3x + y. Dostáváme rovnici 3x + y =. Velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 ležících na kružnici x + y = 3. se rovná v bodech 38. Příklad Spočtěte derivaci fx, y = x y x v bodě A = [, ] ve směru vektoru u =,. + y Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = x y x +y v bodě A = [, ].. f x = xx + y x y x 4xy x + y = x + y, f xa = f y = yx + y x y y x + y = 4x y x + y, f ya =. Odtud plyne, že gradfa =,. Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f ua = gradfa u =,, = =. 39. Příklad Zjistěte, zda je funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3, rostoucí. Řešení Spočítáme derivaci funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3,. Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f x = 3x x 3 + y, f xa = 3 3, f y = x 3 + y, f ya = 3. Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 3 f ua = gradfa u = 3, 3, = = 4. 3 Protože je derivace f ua záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající. 4. Příklad Spočtěte derivaci funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ] ležícím na parabole y = 4x ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. f x = x + y, f xa = 3, f y = x + y, f ya = 3 Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Spočteme rovnici tečny k parabole x = 4 y. Platí x x = = x y y y, kde x =, y =, x =. Rovnice tečny je tvaru x y + = a tečna má směrový vektor v =,. Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u =,. Spočítáme derivaci ve směru. f ua = gradfa u = 3,, = = 3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

17 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 7 5 Diferenciál a Taylorův polynom 4. Příklad Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. a fx, y = x y xy, A = [3, ]. b fx, y = arctg x y, A = [, ]. c fx, y, z = x y z, A = [,, 4]. Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x y = x +y x y, f xa = 3 8, f ya = yxy x y x x y = x +y d h fa = f xadx + f yady. Dosadíme. Platí d h fa = 3 8 xy v bodě A = [3, ]. Platí f x = xxy x y y x y = xy, f ya = 3. Diferenciál je tvaru 3 dx dy. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = arctg x y v bodě A = [, ]. Platí f x = + x y y = = y x +y, f xa = 5, f ya = + x x y y = x x +y, f ya = 5. Diferenciál je tvaru d hfa = = f xadx + f yady. Provedeme dosazení. Platí d h fa = 5 dx 5 dy. c Spočteme parciální derivace funkce fx, y, z = x y z v bodě A = [,, 4]. Platí f x = z, f xa = =, f ya = z, f ya =, f z = x y, f z za = 3 6. Diferenciál je tvaru d hfa = f xadx + + f yady + f zadz. Provedeme dosazení. Platí d h fa = dx dy + 6 dz. 4. Příklad Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. a fx, y = e x y. b fx, y = x y x+y. c fx, y = xln y x. Řešení a Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = e x y. Platí f x = e x y, f y = ye x y, f xx = = e x y, f xy = ye x y, f yy = e x y y y + e x y = 4y e x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = dx ex y 4ye x y dxdy + 4y e x y dy. b Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = x y x+y. Platí f x = y x+y, f y = x x+y, f xx = = 4y x+y, f 3 xy = x y x+y, f 3 yy = 4x x+y. Druhý diferenciál je tvaru d 3 h f = f xxdx +f xydxdy +f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y x+y dx + 4x y 3 x+y dxdy + 4x 3 x+y dy. 3 c Spočteme druhé parciální derivace fx, y = xln y x. Platí f x = ln yx + x y y x x = ln y x, f y = x y x x = x y, f xx = y y x x = x, f xy = y x x = y, f yy = x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = x dx + y dxdy x y dy. 43. Příklad Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. a fx, y = x 4 + x y xy + x, A = [, ]. b fx, y = ln x + y, A = [, ]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

18 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 8 Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x 4 + x y xy + x v bodě A = [, ]. Platí f x = 4x xy y +, f xa = 5, f ya = x x, f ya =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f xx, y x x + f yx, y y y, kde A = [x, y ]. Provedeme dosazení. Platí z = 5x + y. Odtud plyne 5x + y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru y y x x f x x,y = z z f y x,y =. Po dosazení dostáváme x 5 = y = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5x + y z 3 = napíšeme normálový vektor n = 5,,. Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, ] je tvaru [x, y, z] = [,, ] + t5,,, t R. Tedyparametrické rovnice jsou x = + 5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah x 5 = y = z. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. Platí f x = x x +y, f xa = 4 5, f ya = y x +y, f ya = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 x + 5 y. Odtud plyne 4x + y = 5z 5 ln 5 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Platí 5x 4 = 5y = z ln Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Platí f x = 7 7x 3y, f xa = 7, f y = 3 7x 3y, f ya = 3. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h fa = f xadx+f yady = 7dx 3dy = 7x 3y = = 7x 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = ln =. Odtud T x, y = 7x 3y. 45. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ] a s jeho pomocí určete e + sin. Řešení Spočteme parciální derivace funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ]. Platí f x = e x, f ex +sin y xa =, f y = cos y, f ex +sin y ya =. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h fa = f xadx + f yady = dx + dy = x + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = e + sin =. Odtud T x, y = + x + y. Nyní zřejmě e + sin = f, T, = = Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Platí f x = yx y, f xa =, f y = ln x x y, f ya = ; f xx = yy x y, f xxa =, f xy = x y + yln x x y, f xya =, f yy = ln x x y, f yya =. Dále dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ + f yady = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x y. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa +! d hfa a upravíme. Platí T x, y = xy y +. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

19 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4] a s jeho pomocí určete Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4]. f x x =, f x +y xa = 3 5, f y y =, f x +y ya = 4 5, f xx y =, f x +y xxa = 6 3 5, f xy xy =, x +y 3 f xya = 5, f yy x =, f x +y yya = Dále platí dx = x 3 a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = = 3 5 x y 4, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = 6 5 x x 3x y 4. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa + +! d h fa. Dostáváme T x, y = x y x x 3x y 4. Dále T.98, 4.5 = = Hodnota z kalkulačky je přibližně Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x+y. v bodě A = [, ]. Řešení Parciální derivace funkce fx, y = e x+y potřebné k určení diferenciálů nalezneme snadno. Platí f = f x = f y = f xx = f xy = f yy = f xxx = f xxy = f xyy = f yyy = e x+y. fa = f xa = f ya = = f xxa = f xya = f yya = f xxxa = f xxya = f xyya = f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y +, d hfa = f xxadx + +f xyadxdy+f yyady = x +x y++y+, d 3 hfa = f xxxadx 3 +3f xxyadx dy+ + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Odtud T 3x, y = + x + x + + [x + x y + + y + + ] + 6 [x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3 ]. 49. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. f x = cos x cos y, f xa =, f y = sin x sin y, f ya =, f xx = sin x cos y; f xxa =, f xy = cos x sin y, f xya =, f yy = sin x cos y, f yya = ; f xxx = cos x cos y, f xxxa =, f xxy = sin x sin y, f xxya =, f xyy = cos x cos y, f xyya =, f yyy = sin x sin y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x + xy + y =, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + y 3 = x 3 3xy. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = x 6 x3 xy. 5. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. f x = e x sin y, f xa =, f y = e x cos y, f ya = ; f xx = e x sin y, f xxa =, f xy = e x cos y, f xya =, f yy = e x sin y, f yya = ; f xxx = e x sin y, f xxxa =, f xxy = e x cos y, f xxya =, f xyy = e x sin y, f xyya =, f yyy = = e x cos y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ +f yady = x+ y = y, d hfa = f xxadx +f xyadxdy+f yyady = x + xy+ y = xy, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + + y 3 = 3x y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = y + xy + 6 3x y y 3 = y + xy + x y 6 y3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

20 Lokální extrémy - řešené příklady 6 Lokální extrémy Vyšetřete lokální extrémy následujících funkcí více proměnných: 5. Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = x + y + 5 =, f y = x + 6y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx =, f xy =, f yy = 6. f = f a = Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium viz učební text. Platí D a = > a D a = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4] lokální minimum funkce f.. 5. Příklad fx, y = xy 3x y + x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = y 6x + =, f y = x 4y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a = = [ 3, ] 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6, f xy =, f yy = = 4. f = f a = 6 4 Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 < a D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 funkce f.., 4 ] lokální maximum 53. Příklad fx, y = x 3 + xy + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x + y + x =, f y = xy + y =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

21 Lokální extrémy - řešené příklady Jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne yx + =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6x + x =, odkud x = x = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [ 5 3, ], a 3 = [, ], a 4 = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = x +, f xy = y, f yy = x +. f = x + y y x + Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = 4 3, f a 3 =. 4 4, f 4 a 4 = 4 Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = >, D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = <, D a = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 = <, D a 3 = 6 < a D a 4 = <, D a 4 = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální extrém funkce f. 54. Příklad fx, y = x 3 + xy xy 5x. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 3x + y y 5 =, f y = xy x =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne xy =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3x 6 =, odkud x = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [, ], a 3 = [, + 6], a 4 = [, 6]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f xy = y, f yy = x. f 6x y = y x Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 6 a = f 6 a 3 = 6, f a =., f a 4 = Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = 6 <, D a = 4 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 =, D a 3 = 4 < a D a 4 =, D a 4 = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním extrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f x, + 6 = x x x + 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, + 6 >, Je-li x <, pak f x, + 6 <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální extrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f x, 6 = x x x 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, 6 >, Je-li x <, pak f x, 6 <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální extrém.,.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

22 Lokální extrémy - řešené příklady 55. Příklad fx, y = x 3 3xy + y 3 +. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x 3y =, f y = 3x + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y = x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6x 3x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [, ], a = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí f xx = x, f xy = 3, f yy = y. Odtud plyne, že f x 3 = 3 y Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 3 a = 3., f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a =, D a = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává extrém funkce f. Dále D a = 6 >, D a = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou x, tj. přímkou y =. Zřejmě platí fx, = x 3 +. Je-li x >, pak fx, > = fa. Je-li x <, pak fx, < = fa. Odtud plyne, že v bodě a není lokální extrém. 56. Příklad fx, y, z = x 3 + y + z 3xz y + z. Řešení Sestavíme soustavu rovnic f x = 3x 3z =, f y = y =, f z = z 3x + =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3x. Dosazením do první rovnice dostáváme 3x 33x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení a = [,, ], a = [,, 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f yy =, f zz =, f xy =, f xz = 3, f yz =. f = 6x 3 3 Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = >, D 3 a = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální extrém funkce f. Dále D a = >, D a = 4 >, D 3 a = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

8. Slovní úlohy na extrémy

8. Slovní úlohy na extrémy 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Kapitola 10 Pouˇzit ı derivac ı (optimalizaˇcn ı ulohy) Motivace Pˇr ıklad 10.0.5. Pozn amky k postupu

Kapitola 10 Pouˇzit ı derivac ı (optimalizaˇcn ı ulohy) Motivace Pˇr ıklad 10.0.5. Pozn amky k postupu Kapitola 10 Pouˇzití derivací (optimalizační úlohy) Motivace Uˇzití diferenciálního počtu je velmi široké a zasahuje nejen do oblasti matematiky, ale také fyziky, chemie a dalších disciplín, kde je nutné

Více

Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy

Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více