Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných"

Transkript

1 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou formu studia

2 OBSAH Obsah I Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 Definiční obor funkce dvou proměnných 3 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů 7 3 Limita a spojitost 4 Parciální a směrové derivace, gradient 4 5 Diferenciál a Taylorův polynom 7 6 Lokální extrémy 7 Vázané a globální extrémy 5 8 Implicitní funkce 3 II Integrální počet funkcí více proměnných 33 9 Dvojný integrál - Fubiniho věta 33 Trojný integrál - Fubiniho věta 37 Dvojný integrál - Transformace integrálů 4 Trojný integrál - Transformace integrálů 48 3 Aplikace vícerozměrných integrálů 54 RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

3 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 3 Část I Diferenciální počet funkcí více proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému O, x, y zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných:. Příklad fx, y = 4 x + y 9. Řešení 4 x y 9 x 4 y 9 x y 3 x, y, 3 3,. Tedy Df =,, 3 3,. Viz Obr... Příklad fx, y = ln xln y x. Řešení xln y x > x > ln y x > x < ln y x < x > y x > x < < y x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x + x < y < x + y > x}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

4 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 4 3. Příklad fx, y = x sin y. Řešení x sin y x sin y x sin y. Tedy Df = {[x, y] R R : x y k= kπ, k + π x y k= k π, kπ }. Viz Obr Příklad fx, y = ln yln x. Řešení ln yln x ln y ln x ln y ln x ln y x ln y > x. Tedy Df = {[x, y] R R : < y e x y e x < }. Viz Obr Příklad fx, y = ln x y + x y + 4. Řešení x y > x y + 4 y < x y x +. Tedy Df = {[x, y] R R : y < x y x + }. Viz Obr. 5. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

5 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 5 6. Příklad fx, y = ln x + y x. Řešení x + y x > x +y x > x + y > x > x + y < x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x x < y < x }. Viz Obr Příklad fx, y = x + y. Řešení x +y x +y x +y x +y x y x +y x + y x + y x + y x y x. Tedy Df = {[x, y] R R : x y x }. Viz Obr Příklad fx, y = sin πx + y. Řešení sin πx + y kπ πx + y k + π, k Z k x + y k +, kde k Z. Tedy Df = k= {[x, y] R R : k x + y k + }. Viz Obr. 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

6 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 6 9. Příklad fx, y = arcsin y + x. Řešení y + x y + x y +x. Tedy Df = {[x, y] R R : y +x }. Po vyšetření průběhu funkce +x již snadno nakreslíme definiční obor. Viz Obr. 9.. Příklad fx, y = ln + x y 9 + arctg 5 x y x. Řešení + x y 9 > 5 x y x x y 9 x + y + x 5. Tedy Df = {[x, y] R R : x y 9 x + + y 6}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí:. Příklad fx, y = x ln 3x y rovinou z =. y Řešení Předně vyšetříme definiční obor. Platí [x, y] Df y 3x y > y y < 3 x. Odtud plyne, že Df = {[x, y]; y < 3 x y }. Viz Obrázek. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici x y ln 3x y =. Platí x y ln 3x y = x = 3x y = x = y = 3 x. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz Obrázek. Obrázek :. Příklad fx, y = x 3 + x y rovinou z =. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x 3 + x y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici x 3 + x y =. Platí y = x 3 + x a odtud y = ± x 3 + x. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy x. Vyšetříme průběh funkce gx = ± x 3 + x. Předně x Dg x x + x. Tedy Dg =,. Určíme první derivaci g x = 3x +x = x3x+ x 3 +x. x 3 +x Definiční obor derivace g je Dg =, {}. Jediný nulový bod je x = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na, 3 je g kladná, na 3, záporná a na, kladná. Odtud plyne, že funkce g je na, 3 rostoucí, na 3, klesající a na, rostoucí. V bodě x = 3 je maximum g 3 = a v bodě x = je minimum g =. Druhá derivace po úpravě vychází g x = x3x+4 4. Odtud plyne, že na intervalu, je funkce g konkávní x+ x x+ a na, konvexní. Bod x = není inflexní bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

8 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 8 Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. Příklad fx, y = x + y. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x + y je celá rovina R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > kružnice x + y = c, pro z = bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Po umocnění dostáváme z x = c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z = x. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz Obrázek 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obrázek 3: 4. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±x ± c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Viz Obrázek 4. Obrázek 4: 5. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že [x, y] Df x + y y x. Tedy Df = {[x, y], y x}. Zřejmě Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = x c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru x = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na Obrázku 5. Obrázek 5: RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

9 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 9 6. Příklad fx, y = e x y. Řešení Pro fx, y = e x y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = ln c. Pro z = je řez bod [, ] a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = e x c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e x okolo osy z. Viz Obrázek 6. Obrázek 6: 7. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x +y je Df = R {[, ]} a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = c. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = x okolo osy z. Viz Obrázek 7. Obrázek 7: Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému O, x, y, z zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. Příklad fx, y, z = x + y z + x + y + z Řešení Pro fx, y, z = x + y z + x + y + z platí [x, y, z] Df x + y z x + y + z z x + y z x + y. Df = {[x, y, z] : x, x y x, x + y z ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz Obrázek 8. x + y }. Definiční obor je těleso RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

10 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady Obrázek 8: 9. Příklad fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z. Řešení Pro fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z platí [x, y, z] Df z x + y 6 x + y + z z x + y z 6 x + y. Df = {[x, y, z], x, 4 x y 4 x, x + y z 6 x + y }. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice x + y = 4. Viz Obrázek 9. Obrázek 9:. Příklad fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z. Řešení Pro fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z platí [x, y, z] Df x + y + z 7 5 x + z x + y + z z 7 5 x. Definiční obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

11 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Limita a spojitost x y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] 3x + y. Řešení K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí x y L = lim lim x y 3x + y = lim x x 3x = lim x 3 = 3. x y L = lim lim y x 3x + y = lim y = lim =. y y x Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x + y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x y. Řešení K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí x + y L = lim lim x y x y = lim x x x = lim =. x x + y L = lim lim y x x y = lim y y y = lim x =. Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x 3 y 3. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y 4. Řešení Platí L = Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. lim x,y=kx x 3 y x 4 + y 4 = lim x x 3 kx x 4 + k 4 x 4 = lim x kx 4 x 4 k 4 + = lim x k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. x y 4. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y. Řešení Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim x,y=kx x y x 4 + y = lim x x kx x 4 + k x 4 = lim x k k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. xy 5. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x + y. Řešení L = K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí lim ϱ,x=ϱ cos ϕ,y=ϱ sin ϕ xy x + y = lim ϱ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, ] limitu. ϱ cos ϕϱ sin ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ. ϱ RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

12 Limita a spojitost - řešené příklady x y 6. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x + y pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ]. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí Přitom Tedy funkce lim [x,y] [,] x y x + y = xy lim x =. Ukažme nyní že funkce [x,y] [,] lim x [x,y] [,] x +y lim [x,y] [,] xy x + y. je ohraničená. Platí x y x xy + y xy x + y xy x + y xy x +y je ohraničená. x 4 y 7. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x 8 + y 4 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] xy x + y. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = x 4 y lim x,y=kx x 8 + y 4 = lim x x 4 kx x 8 + kx 4 = lim x k x 8 + k 4 x 8 = k + k 4. Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, ] nespojitá. 8. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + x + y. Řešení Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. x + y lim + x [x,y] [,] x + y = lim + y + x + y + + [x,y] [,] x + y = x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + x + y x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + + =. x 3 y 3 9. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x 4 y 4. Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. x 3 y 3 lim [x,y] [,] x 4 y 4 = lim [x,y] [,] x yx + xy + y x yx + yx + y = lim [x,y] [,] x + xy + y x + yx + y = = x + y 3. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + 4. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

13 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [x,y] [,] 3x + y x + y + 4 = lim [x,y] [,] 3x + y x + y x + y + 4 x + y = 3x + y x = lim + y [x,y] [,] x + y = lim x + y = 3 + =. [x,y] [,] RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

14 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 4 4 Parciální a směrové derivace, gradient 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. a fx, y = x y + y 4 ; b fx, y = e x y + x y ; c fx, y, z = y z x. Řešení a f x = 4x y + y 3 xy = 8xy 4 x + 3, f y = 4x y + y 3 x = 4y 3 x + 4. b f x = e x y y + yxy, f y = e x y x y + ln x x y. c f x = y z x ln y z, f y = z x xy x = x y y z x, f z = y x xz x = x z y z x. 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. a fx, y = ln x + x + y, A = [, ]. b fx, y = + log y x 3, A = [e, e]. c fx, y, z = arctg x y + z z, A = [,, ]. Řešení a f x = + x x+ x +y = x +y +x =, f x +y x+ x +y x +y x xa = +y f y = x+ x +y y = y x +y x +y +x x +y, f ya = b Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y x = ln x ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar fx, y = + log y x 3 = + ln x ln y 3. Odtud f x = 3 + log y x xln y, f xa = 3 + log e e eln e = e ; f y = 3 + log y x ln x yln y, c f x = f y = +x y +x y x y yx y, f xa = 4 ; x y x y ln x, f ya = ; f ya = 3 + log e e ln e eln e = e. f z = zz z + ln z z z = z z ln z +, f za = 4 + ln 6. 5 ; 33. Příklad Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. a fx, y = e y sin x, A = [, ]; b fx, y = arctg x y x+y, A = [3, ]; c fx, y = e xey, A = [, ]. Řešení a f x = e y cos x, f y = e y sin x, f xx = e y sin x, f xxa =, f yy = 4e y sin x, f yya =, f xy = e y cos x, f xya =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

15 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 5 b f x = + x y f xx = x+y xy x+y x y x+y = y x +y, f y = x+y x y + x y x+y x+y = x x +y, xxa = 6 x +y, f, f yy = xy x +y, f yya = 6, f xy = x y x +y, f xya = 8. c f x = e xey e y, f y = e xey xe y, f xx = e xey e y, f xxa =, f yy = e xey xe y + e xey xe y = e xey xe y xe y +, f yya =, f xy = e xey xe y e y + e xey e y = e xey e y xe y +, f xya =. 34. Příklad fx, y = xln xy. Spočtěte f xxy. Řešení fx, y = xln xy, f x = ln xy + x xy y = ln xy +, f xx = xy y = x, f xxy = Příklad fx, y = ln + x + y. Spočtěte 79 x 57 y. Řešení Funkce fx, y = ln + x + y je symetrická vzhledem k proměnným x a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 36. x Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f x = + x + y, f xx = + x + y, f xxx = Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že + x + y 3, f xxxx = k fx, y x k = k+ k! + x + y k. 6 + x + y 4, f 5 xxxxx = Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 35! x 36 = + x + y x + y Příklad Určete bod, ve kterém je gradient funkce fx, y = ln x + y roven vektoru, 6 9. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = ln x + y. Pro parciální derivace prvního řádu platí y xy+, f x = x + y = y xy +, f y = x + y y = xy + y. Odtud gradf = xy +y. Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem, 6 9. Platí y xy+, xy +y =, 6 y 9. Z rovnosti složek vektorů získáme systém rovnic xy+ =, xy +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme x. Pro y = 3 4 je x = 3, pro y = 3 4 je x = 7 3. Gradient zadané funkce je roven vektoru, 6 9 v bodech [ 3, 3 4 ], [ 7 3, 3 4 ]. 37. Příklad Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 rovná. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = x + y 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f x = 3 x + y x = 3x x + y, f y = 3 x + y y = 3y x + y. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

16 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 6 Odtud gradf = 3x x + y, 3y x + y. Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = f x + f y = 9x x + y + 9yx + y = 9x + y = 3x + y. Dostáváme rovnici 3x + y =. Velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 ležících na kružnici x + y = 3. se rovná v bodech 38. Příklad Spočtěte derivaci fx, y = x y x v bodě A = [, ] ve směru vektoru u =,. + y Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = x y x +y v bodě A = [, ].. f x = xx + y x y x 4xy x + y = x + y, f xa = f y = yx + y x y y x + y = 4x y x + y, f ya =. Odtud plyne, že gradfa =,. Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f ua = gradfa u =,, = =. 39. Příklad Zjistěte, zda je funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3, rostoucí. Řešení Spočítáme derivaci funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3,. Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f x = 3x x 3 + y, f xa = 3 3, f y = x 3 + y, f ya = 3. Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 3 f ua = gradfa u = 3, 3, = = 4. 3 Protože je derivace f ua záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající. 4. Příklad Spočtěte derivaci funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ] ležícím na parabole y = 4x ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. f x = x + y, f xa = 3, f y = x + y, f ya = 3 Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Spočteme rovnici tečny k parabole x = 4 y. Platí x x = = x y y y, kde x =, y =, x =. Rovnice tečny je tvaru x y + = a tečna má směrový vektor v =,. Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u =,. Spočítáme derivaci ve směru. f ua = gradfa u = 3,, = = 3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

17 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 7 5 Diferenciál a Taylorův polynom 4. Příklad Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. a fx, y = x y xy, A = [3, ]. b fx, y = arctg x y, A = [, ]. c fx, y, z = x y z, A = [,, 4]. Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x y = x +y x y, f xa = 3 8, f ya = yxy x y x x y = x +y d h fa = f xadx + f yady. Dosadíme. Platí d h fa = 3 8 xy v bodě A = [3, ]. Platí f x = xxy x y y x y = xy, f ya = 3. Diferenciál je tvaru 3 dx dy. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = arctg x y v bodě A = [, ]. Platí f x = + x y y = = y x +y, f xa = 5, f ya = + x x y y = x x +y, f ya = 5. Diferenciál je tvaru d hfa = = f xadx + f yady. Provedeme dosazení. Platí d h fa = 5 dx 5 dy. c Spočteme parciální derivace funkce fx, y, z = x y z v bodě A = [,, 4]. Platí f x = z, f xa = =, f ya = z, f ya =, f z = x y, f z za = 3 6. Diferenciál je tvaru d hfa = f xadx + + f yady + f zadz. Provedeme dosazení. Platí d h fa = dx dy + 6 dz. 4. Příklad Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. a fx, y = e x y. b fx, y = x y x+y. c fx, y = xln y x. Řešení a Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = e x y. Platí f x = e x y, f y = ye x y, f xx = = e x y, f xy = ye x y, f yy = e x y y y + e x y = 4y e x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = dx ex y 4ye x y dxdy + 4y e x y dy. b Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = x y x+y. Platí f x = y x+y, f y = x x+y, f xx = = 4y x+y, f 3 xy = x y x+y, f 3 yy = 4x x+y. Druhý diferenciál je tvaru d 3 h f = f xxdx +f xydxdy +f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y x+y dx + 4x y 3 x+y dxdy + 4x 3 x+y dy. 3 c Spočteme druhé parciální derivace fx, y = xln y x. Platí f x = ln yx + x y y x x = ln y x, f y = x y x x = x y, f xx = y y x x = x, f xy = y x x = y, f yy = x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = x dx + y dxdy x y dy. 43. Příklad Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. a fx, y = x 4 + x y xy + x, A = [, ]. b fx, y = ln x + y, A = [, ]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

18 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 8 Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x 4 + x y xy + x v bodě A = [, ]. Platí f x = 4x xy y +, f xa = 5, f ya = x x, f ya =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f xx, y x x + f yx, y y y, kde A = [x, y ]. Provedeme dosazení. Platí z = 5x + y. Odtud plyne 5x + y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru y y x x f x x,y = z z f y x,y =. Po dosazení dostáváme x 5 = y = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5x + y z 3 = napíšeme normálový vektor n = 5,,. Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, ] je tvaru [x, y, z] = [,, ] + t5,,, t R. Tedyparametrické rovnice jsou x = + 5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah x 5 = y = z. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. Platí f x = x x +y, f xa = 4 5, f ya = y x +y, f ya = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 x + 5 y. Odtud plyne 4x + y = 5z 5 ln 5 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Platí 5x 4 = 5y = z ln Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Platí f x = 7 7x 3y, f xa = 7, f y = 3 7x 3y, f ya = 3. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h fa = f xadx+f yady = 7dx 3dy = 7x 3y = = 7x 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = ln =. Odtud T x, y = 7x 3y. 45. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ] a s jeho pomocí určete e + sin. Řešení Spočteme parciální derivace funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ]. Platí f x = e x, f ex +sin y xa =, f y = cos y, f ex +sin y ya =. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h fa = f xadx + f yady = dx + dy = x + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = e + sin =. Odtud T x, y = + x + y. Nyní zřejmě e + sin = f, T, = = Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Platí f x = yx y, f xa =, f y = ln x x y, f ya = ; f xx = yy x y, f xxa =, f xy = x y + yln x x y, f xya =, f yy = ln x x y, f yya =. Dále dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ + f yady = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x y. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa +! d hfa a upravíme. Platí T x, y = xy y +. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

19 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4] a s jeho pomocí určete Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4]. f x x =, f x +y xa = 3 5, f y y =, f x +y ya = 4 5, f xx y =, f x +y xxa = 6 3 5, f xy xy =, x +y 3 f xya = 5, f yy x =, f x +y yya = Dále platí dx = x 3 a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = = 3 5 x y 4, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = 6 5 x x 3x y 4. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa + +! d h fa. Dostáváme T x, y = x y x x 3x y 4. Dále T.98, 4.5 = = Hodnota z kalkulačky je přibližně Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x+y. v bodě A = [, ]. Řešení Parciální derivace funkce fx, y = e x+y potřebné k určení diferenciálů nalezneme snadno. Platí f = f x = f y = f xx = f xy = f yy = f xxx = f xxy = f xyy = f yyy = e x+y. fa = f xa = f ya = = f xxa = f xya = f yya = f xxxa = f xxya = f xyya = f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y +, d hfa = f xxadx + +f xyadxdy+f yyady = x +x y++y+, d 3 hfa = f xxxadx 3 +3f xxyadx dy+ + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Odtud T 3x, y = + x + x + + [x + x y + + y + + ] + 6 [x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3 ]. 49. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. f x = cos x cos y, f xa =, f y = sin x sin y, f ya =, f xx = sin x cos y; f xxa =, f xy = cos x sin y, f xya =, f yy = sin x cos y, f yya = ; f xxx = cos x cos y, f xxxa =, f xxy = sin x sin y, f xxya =, f xyy = cos x cos y, f xyya =, f yyy = sin x sin y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x + xy + y =, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + y 3 = x 3 3xy. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = x 6 x3 xy. 5. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. f x = e x sin y, f xa =, f y = e x cos y, f ya = ; f xx = e x sin y, f xxa =, f xy = e x cos y, f xya =, f yy = e x sin y, f yya = ; f xxx = e x sin y, f xxxa =, f xxy = e x cos y, f xxya =, f xyy = e x sin y, f xyya =, f yyy = = e x cos y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ +f yady = x+ y = y, d hfa = f xxadx +f xyadxdy+f yyady = x + xy+ y = xy, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + + y 3 = 3x y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = y + xy + 6 3x y y 3 = y + xy + x y 6 y3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

20 Lokální extrémy - řešené příklady 6 Lokální extrémy Vyšetřete lokální extrémy následujících funkcí více proměnných: 5. Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = x + y + 5 =, f y = x + 6y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx =, f xy =, f yy = 6. f = f a = Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium viz učební text. Platí D a = > a D a = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4] lokální minimum funkce f.. 5. Příklad fx, y = xy 3x y + x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = y 6x + =, f y = x 4y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a = = [ 3, ] 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6, f xy =, f yy = = 4. f = f a = 6 4 Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 < a D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 funkce f.., 4 ] lokální maximum 53. Příklad fx, y = x 3 + xy + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x + y + x =, f y = xy + y =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

21 Lokální extrémy - řešené příklady Jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne yx + =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6x + x =, odkud x = x = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [ 5 3, ], a 3 = [, ], a 4 = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = x +, f xy = y, f yy = x +. f = x + y y x + Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = 4 3, f a 3 =. 4 4, f 4 a 4 = 4 Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = >, D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = <, D a = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 = <, D a 3 = 6 < a D a 4 = <, D a 4 = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální extrém funkce f. 54. Příklad fx, y = x 3 + xy xy 5x. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 3x + y y 5 =, f y = xy x =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne xy =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3x 6 =, odkud x = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [, ], a 3 = [, + 6], a 4 = [, 6]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f xy = y, f yy = x. f 6x y = y x Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 6 a = f 6 a 3 = 6, f a =., f a 4 = Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = 6 <, D a = 4 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 =, D a 3 = 4 < a D a 4 =, D a 4 = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním extrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f x, + 6 = x x x + 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, + 6 >, Je-li x <, pak f x, + 6 <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální extrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f x, 6 = x x x 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, 6 >, Je-li x <, pak f x, 6 <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální extrém.,.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

22 Lokální extrémy - řešené příklady 55. Příklad fx, y = x 3 3xy + y 3 +. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x 3y =, f y = 3x + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y = x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6x 3x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [, ], a = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí f xx = x, f xy = 3, f yy = y. Odtud plyne, že f x 3 = 3 y Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 3 a = 3., f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a =, D a = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává extrém funkce f. Dále D a = 6 >, D a = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou x, tj. přímkou y =. Zřejmě platí fx, = x 3 +. Je-li x >, pak fx, > = fa. Je-li x <, pak fx, < = fa. Odtud plyne, že v bodě a není lokální extrém. 56. Příklad fx, y, z = x 3 + y + z 3xz y + z. Řešení Sestavíme soustavu rovnic f x = 3x 3z =, f y = y =, f z = z 3x + =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3x. Dosazením do první rovnice dostáváme 3x 33x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení a = [,, ], a = [,, 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f yy =, f zz =, f xy =, f xz = 3, f yz =. f = 6x 3 3 Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = >, D 3 a = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální extrém funkce f. Dále D a = >, D a = 4 >, D 3 a = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP SKETCHUP SketchUp je program pro tvorbu trojrozměrných modelů. Je to jednoduchý, intuitivní a silný nástroj pro modelování. Není žádný problém

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace................................... 1. Moment síly k bodu a ose.............................. 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav........................ 1 TĚŽIŠTĚ

Více

Organic Search Traffic

Organic Search Traffic http://forum.matweb.cz http://forum.matweb.cz Matematické forum [DEFAULT] Organic Search Traffic Jan 1, 2012 Dec 31, 2012 % of visits: 86.15% Explorer Site Usage Visits 10,000 5,000 April 2012 July 2012

Více