Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných"

Transkript

1 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou formu studia

2 OBSAH Obsah I Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 Definiční obor funkce dvou proměnných 3 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů 7 3 Limita a spojitost 4 Parciální a směrové derivace, gradient 4 5 Diferenciál a Taylorův polynom 7 6 Lokální extrémy 7 Vázané a globální extrémy 5 8 Implicitní funkce 3 II Integrální počet funkcí více proměnných 33 9 Dvojný integrál - Fubiniho věta 33 Trojný integrál - Fubiniho věta 37 Dvojný integrál - Transformace integrálů 4 Trojný integrál - Transformace integrálů 48 3 Aplikace vícerozměrných integrálů 54 RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

3 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 3 Část I Diferenciální počet funkcí více proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému O, x, y zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných:. Příklad fx, y = 4 x + y 9. Řešení 4 x y 9 x 4 y 9 x y 3 x, y, 3 3,. Tedy Df =,, 3 3,. Viz Obr... Příklad fx, y = ln xln y x. Řešení xln y x > x > ln y x > x < ln y x < x > y x > x < < y x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x + x < y < x + y > x}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

4 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 4 3. Příklad fx, y = x sin y. Řešení x sin y x sin y x sin y. Tedy Df = {[x, y] R R : x y k= kπ, k + π x y k= k π, kπ }. Viz Obr Příklad fx, y = ln yln x. Řešení ln yln x ln y ln x ln y ln x ln y x ln y > x. Tedy Df = {[x, y] R R : < y e x y e x < }. Viz Obr Příklad fx, y = ln x y + x y + 4. Řešení x y > x y + 4 y < x y x +. Tedy Df = {[x, y] R R : y < x y x + }. Viz Obr. 5. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

5 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 5 6. Příklad fx, y = ln x + y x. Řešení x + y x > x +y x > x + y > x > x + y < x <. Tedy Df = {[x, y] R R : x > y > x x < y < x }. Viz Obr Příklad fx, y = x + y. Řešení x +y x +y x +y x +y x y x +y x + y x + y x + y x y x. Tedy Df = {[x, y] R R : x y x }. Viz Obr Příklad fx, y = sin πx + y. Řešení sin πx + y kπ πx + y k + π, k Z k x + y k +, kde k Z. Tedy Df = k= {[x, y] R R : k x + y k + }. Viz Obr. 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

6 Definiční obor funkce dvou proměnných - řešené příklady 6 9. Příklad fx, y = arcsin y + x. Řešení y + x y + x y +x. Tedy Df = {[x, y] R R : y +x }. Po vyšetření průběhu funkce +x již snadno nakreslíme definiční obor. Viz Obr. 9.. Příklad fx, y = ln + x y 9 + arctg 5 x y x. Řešení + x y 9 > 5 x y x x y 9 x + y + x 5. Tedy Df = {[x, y] R R : x y 9 x + + y 6}. Viz Obr.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 7 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí:. Příklad fx, y = x ln 3x y rovinou z =. y Řešení Předně vyšetříme definiční obor. Platí [x, y] Df y 3x y > y y < 3 x. Odtud plyne, že Df = {[x, y]; y < 3 x y }. Viz Obrázek. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici x y ln 3x y =. Platí x y ln 3x y = x = 3x y = x = y = 3 x. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz Obrázek. Obrázek :. Příklad fx, y = x 3 + x y rovinou z =. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x 3 + x y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici x 3 + x y =. Platí y = x 3 + x a odtud y = ± x 3 + x. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy x. Vyšetříme průběh funkce gx = ± x 3 + x. Předně x Dg x x + x. Tedy Dg =,. Určíme první derivaci g x = 3x +x = x3x+ x 3 +x. x 3 +x Definiční obor derivace g je Dg =, {}. Jediný nulový bod je x = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na, 3 je g kladná, na 3, záporná a na, kladná. Odtud plyne, že funkce g je na, 3 rostoucí, na 3, klesající a na, rostoucí. V bodě x = 3 je maximum g 3 = a v bodě x = je minimum g =. Druhá derivace po úpravě vychází g x = x3x+4 4. Odtud plyne, že na intervalu, je funkce g konkávní x+ x x+ a na, konvexní. Bod x = není inflexní bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

8 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 8 Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. Příklad fx, y = x + y. Řešení Definiční obor funkce fx, y = x + y je celá rovina R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > kružnice x + y = c, pro z = bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Po umocnění dostáváme z x = c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z = x. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz Obrázek 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obrázek 3: 4. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±x ± c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, ] a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x + c. Viz Obrázek 4. Obrázek 4: 5. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x + y platí, že [x, y] Df x + y y x. Tedy Df = {[x, y], y x}. Zřejmě Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = x c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru x = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na Obrázku 5. Obrázek 5: RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

9 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady 9 6. Příklad fx, y = e x y. Řešení Pro fx, y = e x y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = ln c. Pro z = je řez bod [, ] a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = e x c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e x okolo osy z. Viz Obrázek 6. Obrázek 6: 7. Příklad fx, y = x + y. Řešení Pro fx, y = x +y je Df = R {[, ]} a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi x + y = c. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = x +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = x okolo osy z. Viz Obrázek 7. Obrázek 7: Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému O, x, y, z zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. Příklad fx, y, z = x + y z + x + y + z Řešení Pro fx, y, z = x + y z + x + y + z platí [x, y, z] Df x + y z x + y + z z x + y z x + y. Df = {[x, y, z] : x, x y x, x + y z ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz Obrázek 8. x + y }. Definiční obor je těleso RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

10 Grafy funkce dvou proměnných metoda řezů - řešené příklady Obrázek 8: 9. Příklad fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z. Řešení Pro fx, y, z = z x + y + 6 x + y + z platí [x, y, z] Df z x + y 6 x + y + z z x + y z 6 x + y. Df = {[x, y, z], x, 4 x y 4 x, x + y z 6 x + y }. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice x + y = 4. Viz Obrázek 9. Obrázek 9:. Příklad fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z. Řešení Pro fx, y, z = x + y + z + 7/5 x + z platí [x, y, z] Df x + y + z 7 5 x + z x + y + z z 7 5 x. Definiční obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz Obrázek. Obrázek : RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

11 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Limita a spojitost x y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] 3x + y. Řešení K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí x y L = lim lim x y 3x + y = lim x x 3x = lim x 3 = 3. x y L = lim lim y x 3x + y = lim y = lim =. y y x Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x + y. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x y. Řešení K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí x + y L = lim lim x y x y = lim x x x = lim =. x x + y L = lim lim y x x y = lim y y y = lim x =. Obě postupné limity L, L existují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neexistuje. x 3 y 3. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y 4. Řešení Platí L = Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. lim x,y=kx x 3 y x 4 + y 4 = lim x x 3 kx x 4 + k 4 x 4 = lim x kx 4 x 4 k 4 + = lim x k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. x y 4. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x 4 + y. Řešení Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim x,y=kx x y x 4 + y = lim x x kx x 4 + k x 4 = lim x k k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, ] nemá limitu. xy 5. Příklad Vyšetřete limitu lim [x,y] [,] x + y. Řešení L = K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí lim ϱ,x=ϱ cos ϕ,y=ϱ sin ϕ xy x + y = lim ϱ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, ] limitu. ϱ cos ϕϱ sin ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ. ϱ RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

12 Limita a spojitost - řešené příklady x y 6. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x + y pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ]. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí Přitom Tedy funkce lim [x,y] [,] x y x + y = xy lim x =. Ukažme nyní že funkce [x,y] [,] lim x [x,y] [,] x +y lim [x,y] [,] xy x + y. je ohraničená. Platí x y x xy + y xy x + y xy x + y xy x +y je ohraničená. x 4 y 7. Příklad Vyšetřete, zda je funkce fx, y = x 8 + y 4 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] xy x + y. spojitá v bodě [, ]. Řešení Aby byla funkce f spojitá v bodě [, ], musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = x 4 y lim x,y=kx x 8 + y 4 = lim x x 4 kx x 8 + kx 4 = lim x k x 8 + k 4 x 8 = k + k 4. Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, ] nespojitá. 8. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + x + y. Řešení Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. x + y lim + x [x,y] [,] x + y = lim + y + x + y + + [x,y] [,] x + y = x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + x + y x + y + + = lim [x,y] [,] x + y + + =. x 3 y 3 9. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x 4 y 4. Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. x 3 y 3 lim [x,y] [,] x 4 y 4 = lim [x,y] [,] x yx + xy + y x yx + yx + y = lim [x,y] [,] x + xy + y x + yx + y = = x + y 3. Příklad Spočtěte limitu lim [x,y] [,] x + y + 4. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

13 Limita a spojitost - řešené příklady 3 Řešení Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [x,y] [,] 3x + y x + y + 4 = lim [x,y] [,] 3x + y x + y x + y + 4 x + y = 3x + y x = lim + y [x,y] [,] x + y = lim x + y = 3 + =. [x,y] [,] RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

14 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 4 4 Parciální a směrové derivace, gradient 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. a fx, y = x y + y 4 ; b fx, y = e x y + x y ; c fx, y, z = y z x. Řešení a f x = 4x y + y 3 xy = 8xy 4 x + 3, f y = 4x y + y 3 x = 4y 3 x + 4. b f x = e x y y + yxy, f y = e x y x y + ln x x y. c f x = y z x ln y z, f y = z x xy x = x y y z x, f z = y x xz x = x z y z x. 3. Příklad Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. a fx, y = ln x + x + y, A = [, ]. b fx, y = + log y x 3, A = [e, e]. c fx, y, z = arctg x y + z z, A = [,, ]. Řešení a f x = + x x+ x +y = x +y +x =, f x +y x+ x +y x +y x xa = +y f y = x+ x +y y = y x +y x +y +x x +y, f ya = b Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y x = ln x ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar fx, y = + log y x 3 = + ln x ln y 3. Odtud f x = 3 + log y x xln y, f xa = 3 + log e e eln e = e ; f y = 3 + log y x ln x yln y, c f x = f y = +x y +x y x y yx y, f xa = 4 ; x y x y ln x, f ya = ; f ya = 3 + log e e ln e eln e = e. f z = zz z + ln z z z = z z ln z +, f za = 4 + ln 6. 5 ; 33. Příklad Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. a fx, y = e y sin x, A = [, ]; b fx, y = arctg x y x+y, A = [3, ]; c fx, y = e xey, A = [, ]. Řešení a f x = e y cos x, f y = e y sin x, f xx = e y sin x, f xxa =, f yy = 4e y sin x, f yya =, f xy = e y cos x, f xya =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

15 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 5 b f x = + x y f xx = x+y xy x+y x y x+y = y x +y, f y = x+y x y + x y x+y x+y = x x +y, xxa = 6 x +y, f, f yy = xy x +y, f yya = 6, f xy = x y x +y, f xya = 8. c f x = e xey e y, f y = e xey xe y, f xx = e xey e y, f xxa =, f yy = e xey xe y + e xey xe y = e xey xe y xe y +, f yya =, f xy = e xey xe y e y + e xey e y = e xey e y xe y +, f xya =. 34. Příklad fx, y = xln xy. Spočtěte f xxy. Řešení fx, y = xln xy, f x = ln xy + x xy y = ln xy +, f xx = xy y = x, f xxy = Příklad fx, y = ln + x + y. Spočtěte 79 x 57 y. Řešení Funkce fx, y = ln + x + y je symetrická vzhledem k proměnným x a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 36. x Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f x = + x + y, f xx = + x + y, f xxx = Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že + x + y 3, f xxxx = k fx, y x k = k+ k! + x + y k. 6 + x + y 4, f 5 xxxxx = Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 fx, y 79 x 57 y = 36 fx, y 35! x 36 = + x + y x + y Příklad Určete bod, ve kterém je gradient funkce fx, y = ln x + y roven vektoru, 6 9. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = ln x + y. Pro parciální derivace prvního řádu platí y xy+, f x = x + y = y xy +, f y = x + y y = xy + y. Odtud gradf = xy +y. Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem, 6 9. Platí y xy+, xy +y =, 6 y 9. Z rovnosti složek vektorů získáme systém rovnic xy+ =, xy +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme x. Pro y = 3 4 je x = 3, pro y = 3 4 je x = 7 3. Gradient zadané funkce je roven vektoru, 6 9 v bodech [ 3, 3 4 ], [ 7 3, 3 4 ]. 37. Příklad Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 rovná. Řešení Spočítáme gradient funkce fx, y = x + y 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f x = 3 x + y x = 3x x + y, f y = 3 x + y y = 3y x + y. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

16 Parciální a směrové derivace, gradient - řešené příklady 6 Odtud gradf = 3x x + y, 3y x + y. Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = f x + f y = 9x x + y + 9yx + y = 9x + y = 3x + y. Dostáváme rovnici 3x + y =. Velikost gradientu funkce fx, y = x + y 3 ležících na kružnici x + y = 3. se rovná v bodech 38. Příklad Spočtěte derivaci fx, y = x y x v bodě A = [, ] ve směru vektoru u =,. + y Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = x y x +y v bodě A = [, ].. f x = xx + y x y x 4xy x + y = x + y, f xa = f y = yx + y x y y x + y = 4x y x + y, f ya =. Odtud plyne, že gradfa =,. Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f ua = gradfa u =,, = =. 39. Příklad Zjistěte, zda je funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3, rostoucí. Řešení Spočítáme derivaci funkce fx, y = x 3 + y v bodě A = [, ] ve směru vektoru u = 3,. Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f x = 3x x 3 + y, f xa = 3 3, f y = x 3 + y, f ya = 3. Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 3 f ua = gradfa u = 3, 3, = = 4. 3 Protože je derivace f ua záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající. 4. Příklad Spočtěte derivaci funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ] ležícím na parabole y = 4x ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Řešení Nejprve určíme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. f x = x + y, f xa = 3, f y = x + y, f ya = 3 Odtud plyne, že gradfa = 3, 3. Spočteme rovnici tečny k parabole x = 4 y. Platí x x = = x y y y, kde x =, y =, x =. Rovnice tečny je tvaru x y + = a tečna má směrový vektor v =,. Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u =,. Spočítáme derivaci ve směru. f ua = gradfa u = 3,, = = 3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

17 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 7 5 Diferenciál a Taylorův polynom 4. Příklad Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. a fx, y = x y xy, A = [3, ]. b fx, y = arctg x y, A = [, ]. c fx, y, z = x y z, A = [,, 4]. Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x y = x +y x y, f xa = 3 8, f ya = yxy x y x x y = x +y d h fa = f xadx + f yady. Dosadíme. Platí d h fa = 3 8 xy v bodě A = [3, ]. Platí f x = xxy x y y x y = xy, f ya = 3. Diferenciál je tvaru 3 dx dy. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = arctg x y v bodě A = [, ]. Platí f x = + x y y = = y x +y, f xa = 5, f ya = + x x y y = x x +y, f ya = 5. Diferenciál je tvaru d hfa = = f xadx + f yady. Provedeme dosazení. Platí d h fa = 5 dx 5 dy. c Spočteme parciální derivace funkce fx, y, z = x y z v bodě A = [,, 4]. Platí f x = z, f xa = =, f ya = z, f ya =, f z = x y, f z za = 3 6. Diferenciál je tvaru d hfa = f xadx + + f yady + f zadz. Provedeme dosazení. Platí d h fa = dx dy + 6 dz. 4. Příklad Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. a fx, y = e x y. b fx, y = x y x+y. c fx, y = xln y x. Řešení a Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = e x y. Platí f x = e x y, f y = ye x y, f xx = = e x y, f xy = ye x y, f yy = e x y y y + e x y = 4y e x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = dx ex y 4ye x y dxdy + 4y e x y dy. b Spočteme druhé parciální derivace funkce fx, y = x y x+y. Platí f x = y x+y, f y = x x+y, f xx = = 4y x+y, f 3 xy = x y x+y, f 3 yy = 4x x+y. Druhý diferenciál je tvaru d 3 h f = f xxdx +f xydxdy +f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y x+y dx + 4x y 3 x+y dxdy + 4x 3 x+y dy. 3 c Spočteme druhé parciální derivace fx, y = xln y x. Platí f x = ln yx + x y y x x = ln y x, f y = x y x x = x y, f xx = y y x x = x, f xy = y x x = y, f yy = x y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f xxdx + f xydxdy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = x dx + y dxdy x y dy. 43. Příklad Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. a fx, y = x 4 + x y xy + x, A = [, ]. b fx, y = ln x + y, A = [, ]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

18 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady 8 Řešení a Spočteme parciální derivace funkce fx, y = x 4 + x y xy + x v bodě A = [, ]. Platí f x = 4x xy y +, f xa = 5, f ya = x x, f ya =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f xx, y x x + f yx, y y y, kde A = [x, y ]. Provedeme dosazení. Platí z = 5x + y. Odtud plyne 5x + y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru y y x x f x x,y = z z f y x,y =. Po dosazení dostáváme x 5 = y = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5x + y z 3 = napíšeme normálový vektor n = 5,,. Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, ] je tvaru [x, y, z] = [,, ] + t5,,, t R. Tedyparametrické rovnice jsou x = + 5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah x 5 = y = z. b Spočteme parciální derivace funkce fx, y = ln x + y v bodě A = [, ]. Platí f x = x x +y, f xa = 4 5, f ya = y x +y, f ya = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = fa = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 x + 5 y. Odtud plyne 4x + y = 5z 5 ln 5 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Platí 5x 4 = 5y = z ln Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = ln 7x 3y v bodě A = [, ]. Platí f x = 7 7x 3y, f xa = 7, f y = 3 7x 3y, f ya = 3. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h fa = f xadx+f yady = 7dx 3dy = 7x 3y = = 7x 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = ln =. Odtud T x, y = 7x 3y. 45. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ] a s jeho pomocí určete e + sin. Řešení Spočteme parciální derivace funkce fx, y = e x + sin y v bodě A = [, ]. Platí f x = e x, f ex +sin y xa =, f y = cos y, f ex +sin y ya =. Dále dx = x a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h fa = f xadx + f yady = dx + dy = x + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa. Platí fa = e + sin =. Odtud T x, y = + x + y. Nyní zřejmě e + sin = f, T, = = Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x y v bodě A = [, ]. Platí f x = yx y, f xa =, f y = ln x x y, f ya = ; f xx = yy x y, f xxa =, f xy = x y + yln x x y, f xya =, f yy = ln x x y, f yya =. Dále dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ + f yady = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x y. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa +! d hfa a upravíme. Platí T x, y = xy y +. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

19 Diferenciál a Taylorův polynom - řešené příklady Příklad Spočtěte Taylorův polynom T x, y funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4] a s jeho pomocí určete Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = x + y v bodě A = [3, 4]. f x x =, f x +y xa = 3 5, f y y =, f x +y ya = 4 5, f xx y =, f x +y xxa = 6 3 5, f xy xy =, x +y 3 f xya = 5, f yy x =, f x +y yya = Dále platí dx = x 3 a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = = 3 5 x y 4, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = 6 5 x x 3x y 4. Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T x, y = fa +! d hfa + +! d h fa. Dostáváme T x, y = x y x x 3x y 4. Dále T.98, 4.5 = = Hodnota z kalkulačky je přibližně Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x+y. v bodě A = [, ]. Řešení Parciální derivace funkce fx, y = e x+y potřebné k určení diferenciálů nalezneme snadno. Platí f = f x = f y = f xx = f xy = f yy = f xxx = f xxy = f xyy = f yyy = e x+y. fa = f xa = f ya = = f xxa = f xya = f yya = f xxxa = f xxya = f xyya = f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y +, d hfa = f xxadx + +f xyadxdy+f yyady = x +x y++y+, d 3 hfa = f xxxadx 3 +3f xxyadx dy+ + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Odtud T 3x, y = + x + x + + [x + x y + + y + + ] + 6 [x 3 + 3x y + + 3x y + + y + 3 ]. 49. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = sin x cos y v bodě A = [, ]. f x = cos x cos y, f xa =, f y = sin x sin y, f ya =, f xx = sin x cos y; f xxa =, f xy = cos x sin y, f xya =, f yy = sin x cos y, f yya = ; f xxx = cos x cos y, f xxxa =, f xxy = sin x sin y, f xxya =, f xyy = cos x cos y, f xyya =, f yyy = sin x sin y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx + f yady = x + y = x, d hfa = f xxadx + f xyadxdy + f yyady = x + xy + y =, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + y 3 = x 3 3xy. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = x 6 x3 xy. 5. Příklad Spočtěte Taylorův polynom T 3 x, y funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. Řešení Určíme potřebné parciální derivace funkce fx, y = e x sin y v bodě A = [, ]. f x = e x sin y, f xa =, f y = e x cos y, f ya = ; f xx = e x sin y, f xxa =, f xy = e x cos y, f xya =, f yy = e x sin y, f yya = ; f xxx = e x sin y, f xxxa =, f xxy = e x cos y, f xxya =, f xyy = e x sin y, f xyya =, f yyy = = e x cos y, f yyya =. Dále platí dx = x a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h fa = f xadx+ +f yady = x+ y = y, d hfa = f xxadx +f xyadxdy+f yyady = x + xy+ y = xy, d 3 hfa = f xxxadx 3 + 3f xxyadx dy + 3f xyyadxdy + f yyyady 3 = x x y + 3 xy + + y 3 = 3x y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 x, y = fa +! d hfa + +! d h fa + 3! d3 h fa. Platí T 3 x, y = y + xy + 6 3x y y 3 = y + xy + x y 6 y3. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

20 Lokální extrémy - řešené příklady 6 Lokální extrémy Vyšetřete lokální extrémy následujících funkcí více proměnných: 5. Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = x + y + 5 =, f y = x + 6y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx =, f xy =, f yy = 6. f = f a = Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium viz učební text. Platí D a = > a D a = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4] lokální minimum funkce f.. 5. Příklad fx, y = xy 3x y + x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = y 6x + =, f y = x 4y + =. Parciální derivace existují pro každé [x, y] R a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a = = [ 3, ] 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6, f xy =, f yy = = 4. f = f a = 6 4 Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 < a D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 funkce f.., 4 ] lokální maximum 53. Příklad fx, y = x 3 + xy + 5x + y. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x + y + x =, f y = xy + y =. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

21 Lokální extrémy - řešené příklady Jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne yx + =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6x + x =, odkud x = x = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [ 5 3, ], a 3 = [, ], a 4 = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = x +, f xy = y, f yy = x +. f = x + y y x + Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = 4 3, f a 3 =. 4 4, f 4 a 4 = 4 Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = >, D a = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = <, D a = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 = <, D a 3 = 6 < a D a 4 = <, D a 4 = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální extrém funkce f. 54. Příklad fx, y = x 3 + xy xy 5x. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 3x + y y 5 =, f y = xy x =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne xy =. Odtud x = y =. Dosazením x = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3x 6 =, odkud x = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [, ], a = [, ], a 3 = [, + 6], a 4 = [, 6]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a i, i =,, 3, 4. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f xy = y, f yy = x. f 6x y = y x Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 6 a = f 6 a 3 = 6, f a =., f a 4 = Určíme hlavní minory matic f a i a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D a = 6 <, D a = 4 >. V bodě a nastává lokální maximum funkce f. Dále platí D a 3 =, D a 3 = 4 < a D a 4 =, D a 4 = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním extrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f x, + 6 = x x x + 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, + 6 >, Je-li x <, pak f x, + 6 <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální extrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f x, 6 = x x x 6 5x = x 3. Je-li x >, pak f x, 6 >, Je-li x <, pak f x, 6 <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální extrém.,.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

22 Lokální extrémy - řešené příklady 55. Příklad fx, y = x 3 3xy + y 3 +. Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f x = 6x 3y =, f y = 3x + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y = x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6x 3x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [, ], a = [, ]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí f xx = x, f xy = 3, f yy = y. Odtud plyne, že f x 3 = 3 y Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f 3 a = 3., f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a =, D a = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává extrém funkce f. Dále D a = 6 >, D a = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou x, tj. přímkou y =. Zřejmě platí fx, = x 3 +. Je-li x >, pak fx, > = fa. Je-li x <, pak fx, < = fa. Odtud plyne, že v bodě a není lokální extrém. 56. Příklad fx, y, z = x 3 + y + z 3xz y + z. Řešení Sestavíme soustavu rovnic f x = 3x 3z =, f y = y =, f z = z 3x + =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3x. Dosazením do první rovnice dostáváme 3x 33x =, odkud x = x =. Soustava má dvě řešení a = [,, ], a = [,, 4]. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a a f a. Platí Odtud plyne, že f xx = 6x, f yy =, f zz =, f xy =, f xz = 3, f yz =. f = 6x 3 3 Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f a =, f a = Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D a = 6 >, D a = >, D 3 a = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální extrém funkce f. Dále D a = >, D a = 4 >, D 3 a = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f.. RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně,

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Učební text předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

MATEMATIKA II. (Učební text pro kombinovanou formu studia) ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

MATEMATIKA II. (Učební text pro kombinovanou formu studia) ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA II (Učební text pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO 2002 PŘEDMLUVA Matematická analýza, která

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Lokální xtrémy - řšné příklady 1 Lokální xtrémy Vyštřt lokální xtrémy násldujících funkcí víc proměnných: 1 Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více