NMR spektroskopie vysokého rozlišení v kapalné a pevné fázi spinový hamiltonián, typy interakcí, projevy ve spektrech

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NMR spektroskopie vysokého rozlišení v kapalné a pevné fázi spinový hamiltonián, typy interakcí, projevy ve spektrech"

Transkript

1 NMR spektroskopie vysokého rozlišení v kapalné a pevné fázi spinový hamiltonián, typy interakcí, projevy ve spektrech Spinový hamiltonián Hamiltonián soustavy jader a elektronů v magnetickém poli lze zapsat ve tvaru = H L ( q)+ H L, σ (q, σ ), H () kde H L (q) je člen nezávislý na spinových proměnných (především coulombická interakce) a HL, σ ( q, σ ) obsahuje členy popisující vzájemné interakce magnetických momentů (spinů) s externím magnetickým polem a eventuálně jadernou kvadrupólovou interakci. Předpokládejme: HL, σ H L HL, σ = A j ( σ ) Y j (q) j n vlastní vektor H L (q) s vlastní hodnotou E (n ) (q) degenerace vůči spinovým proměnným: n m = n m, m vlastní stavy H L, σ Pak v. řádu poruchového počtu máme: () E n,m = n m H L, σ n m = n Y j n m A j m = Λ j, n m A j m, j () j kde Λ j,n n Y j n. Pro efektivní spinový hamiltonián v. řádu poruchového počtu pak dostáváme: () H S, n= Λ j, n A j, () j přičemž n obvykle značí základní stav. Podobně v. řádu poruchového počtu máme: ( ) H () S, n= H S,n + Λ i j,n Ai A j, (4) i,j kde Λ i j,n = n' n Y i n ' n ' Y j n E (n ) E (n ' ). Magnetická interakce jader a elektronů Interakce spinu jádra s elektronovým spinem a orbitálním momentem elektronů popisuje hamiltonián:

2 = ( p +e A) +V + H S O + μ B s rot A, H me (5) je kde V popisuje elektrostatickou interakci, H S O spin-orbitální interakci, s je spin elektronu a A vektorový potenciál magnetického pole vytvářeného jaderným magnetickým momentem. Pro jádro v počátku souřadnic máme: μ μ r, div A= A=, 4π r (6) kde r je polohový vektor elektronu a μ = γ I I je magnetický dipólový moment jádra. Hamiltonián (5) lze rozepsat: = p +V + e ( p A+ A p )+ e A + H S O+ μ B s rot A. H me me me Podívejme se nyní na člen (7) e A p) : ( p A+ me a p obecně nekomutují, ale platí: p A+ A p = A p +div A A ψ p ( A ψ) div ( A ψ )= A grad. neboť: p A ψ+ ψ div A Dále: e e μ ( μ r ) p e μ μ (r p ) e μ μ l μ μ B μ l μ γ e μ l A p = = = = = me me 4 π me 4 π me 4 π r π r π r r r μb e e, γe me me Tedy dostáváme že výše uvažovaný člen popisuje interakci jaderného momentu a orbitálního momentu elektronu. Odhadněme nyní působení elektronového orbitálního momentu: například pro fluor máme 8,9 =, kde a je Bohrův poloměr. Magnetické pole vytvořené elektronem na jádře r p a μ μb l má velikost cca 6 T. Ale v typických experimentech v pevných látkách a π r molekulách se obvykle nepozorují tak velká pole daná elektronovými orbitálními momenty. Příčinou jsou uzavřené slupky a elektrony zúčastňující se vazeb příspěvky se vzájemně kompenzují. Dále u paramagnetických iontů je příčinou tzv. zamrzání orbitálního momentu, tj. základní stav iontu v krystalovém poli (poli okolních nábojů) v prvním přiblížení již není vlastním stavem lz, ale jejich lineární kombinací, která má lz = (toto však neplatí pro ionty vzácných zemin částečně obsazená slupka 4f je odstíněná vnějšími elektrony okolí ji ovlivní méně). ( ) Dále se podívejme na člen μ B s rot A : Zdlouhavou úpravou při níž se použijí jednak identity pro pro diferenciální úpravy a jednak = 4 π δ (), dostaneme spolu s elektronové vlnové funkce atom ψ r l kolem : Δ r ()

3 orbitálním členem hamiltonián hyperjemné interakce: [ ( ] μ l r (s r ) 8 Hh f = γe γ I I + s + π s δ (r ). π r r r ) (8) Význam jednotlivých členů je: Orbitální člen + Dipól-dipólová interakce magnetických mo mentů (spin elektronu - jaderný spin) + Fermiho kontaktní interakce (pro elektrony s nenulovou pravděpodobností výskytu v místě jádra). Efektivní magnetické pole na jádře: [ ( ] μ l r ( s r ) 8 Bh f = γ e + s + π s δ (r ). π r r r ) (9) Možná zobecnění: ) více elektronů superpozice jednoelektronových příspěvků, vzájemná elektrostatická interakce ) jiné než atomové vlnové funkce - ψ( r ) pomocí rozvoje (kulové funkce centrované na daném jádře, oddělit nultý člen) Je-li výsledný (elektronový) orbitální moment atomu L z =, resp. L z =, pak Hh f = I A S, () kde S je spin atomu (elektronový) a A je tenzor hyperjemné interakce. Soustava elektronů a jader ve vnějším poli Uvažujme soustavu jader a elektronů. Jádra označme indexem k a elektrony indexem i. Oproti předchozímu případu dostáváme následující změny: Zeemanovská interakce jaderných magnetických momentů v externím poli: Z I = γ k I k B μk B k () k Vektorový potenciál pro i-tý elektron: Ai = Ai + Aik, () r( i) kde Ai =B je dán vnějším polem a představuje působení vnějšího pole na i-tý elektron. A μ μ k r (ik) (ik ) představuje působení mezi k-tým jaderným momentem a i.tým elektronem a r Aik = (ik ) 4 π (r ) je poloha elektronu vůči jádru. Hamiltonián je potom tedy roven:

4 = ( p i +e A i )+V + H S O + μ B si rot A i μk B. H me i i k () Sledujme nyní členy popisující magnetické interakce a obsahující operátory jaderných magnetických momentů (jaderných spinů): Elektronové a jaderné magnetické momenty v externím poli zeemanovské členy: Z I = μk B jaderný magnetický moment v externím poli (4) Z S = μ B si B elektronový spin (5) e Z l = p i A i=μ B B li elektronový orbitální moment me i i (6) k i V případě diamagnetických látek se členy Z S a Z l v. řádu poruchového počtu neuplatní v základním stavu je výsledný elektronový spin i orbitální moment nulový. (Podobně i v případě zamrzlého orbitálního momentu u paramagnetik se Z l v. řádu neuplatní.) Příspěvek e A : me i Tento příspěvek je kvadratický v B a pro NMR je nevýznamný nezávisí na spinových operátorech. Magnetická interakce jader a elektronů hyperjemná μ μ μ l O = μ B p i Aik= B k(ik ) ik, 4 π k i (r ) k i (7) (ik ) kde lik = r p i. μ B μ ( si r( ik) )( μk r( ik) ) S = si μ k (ik ) 4 π k i (r (ik )) (r ) ( ) μ 6 π μ B S = si μ k δ (r (ik) ) 4π k i (8) (9) ( μ B= γ e, μ k= γ k Ik ). Pro diamagnetické látky se tyto členy v. řádu poruchového počtu opět neuplatní. Nové členy (které se v. řádu uplatní): interakce jaderného magnetického momentu a elektronových magnetických momentů vyvolaná působením externího magnetického pole a pole jiných magnetických momentů (např. ostatních jader) na elektronový systém (polarizace elektronového systému) 4

5 dva bilineární členy: člen bilineární ve složkách μ k, B, tj. Ik, B : (i ) (ik) B r μ μk r e e O = Ai Aik =. me k i me k i 4 π ( r (ik )) () Tento člen představuje interakci mezi jadernými magnetickými momenty a magnetickým polem proudů (el.) vyvolaných Larmorovou precesí elektronů ve vnějším magnetickém poli. Dochází k posunu rezonanční frekvence z hodnoty γ k B (stínění, chemický posuv). člen bilineární ve složkách μ k, μk ', tj. Ik, Ik ' μk rik μk ' r ik ' e e μ. O = A A = ik ik ' me i k k ' me 4 π i k k ' r ik r ik ' () Tento člen představuje vazbu mezi dvěma jadernými magnetickými momenty μ k, μk ' zprostředkovanou elektrony (nepřímá interakce mezi jadernými spiny), (nepřímá dipól-dipólová interakce, J-vazba). Chemický posun O pro jedno jádro (tedy) bez interakce přes k): μ e μ e γ (i ) ( i) O = ( B r ) ( μ r ) (i) = ( B r( i) ) ( I r ( i) ) (i) = 4 π me i (r ) 4 π me i (r ). μ e γ (i ) (i ) (i ) (i ) = ( B r )( r I )+( B I )( r r )) (i) ( 4 π me i (r ) () Definujme tenzor σ d, tak aby ψ O ψ =B σ dμ, () kde ψ je elektronová vlnová funkce v základním stavu. Tedy σ d je symetrický a má složky: ( σ d ) jl = ψ μ e x(i) x (il ) ( r (i) ) δ jl ) ψ. (i) ( j 4 π me i (r ) (4) Tenzor σ d nazýváme tenzorem diamagnetického stínění. Sdružení s Z I dostaneme v hamiltoniánu Z I γ I ( σ d ) B. (5) 5

6 V kapalinách se projeví rychlé izotropní rotace molekul. Nediagonální členy σ d jsou antisymetrické v souřadnicích a jejich časové středování dá. Dále při rotaci souřadného systému se obecně σd. zachovává stopa, neboť stopa je invariant tenzoru a diagonální členy se tedy středují k / Tr Dosazením dostaneme: Tr σd= μ e. 4 π me i r (i ) (6) Definujme skalární veličinu σ d : μ e. σ d = Tr σd= π me i r (i) (7) Sdružením s Z I pak máme Z I γ I ( σ d ) B. (8) Vidíme, že skutečně jde o efekt stínění vnějšího magnetického pole, neboť σ >, tedy ( σ d ) B <B. Vedle tohoto diamagnetického stínění (daného O ) dostaneme bilineární formu v μ, B také v. řádu poruchové teorie. Odtud dostaneme tzv. paramagnetické stínění popsané tenzorem σ p, resp v kapalinách,po časovém středování vlivem rychlých rotací molekul, skalární veličinou σ p σ p= Tr σ p. (9) Součtem diamagnetického a paramagnetického příspěvku dostaneme tenzor chemického posuvu (stínění) σ = σ d +σ p. () A ve spinovém hamiltoniánu se objeví člen γ I ( σ ) B. Pro kapaliny dostaneme chemický posuv (konstantu stínění): σ =σ d +σ p. () A ve spinovém hamiltoniánu se objeví člen γ I ( σ ) B. Rezonanční frekvence jsou posunuty. Speciálně v kapalinách na hodnotu γ ( σ ) B. Frekvenční posuv je úměrný externímu poli B. Hodnoty chemických posuvů jsou citlivé na chemické vazby v okolí atomu s rezonujícím jádrem, závisí na teplotě, ph, rozpouštědle. Chemický posuv v monokrystalech Tenzor σ je symetrický a tedy ho lze diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru i σ, j σ, k σ jsou definované vzhledem ke krystalu. Hlavní hodnoty tenzoru označme σ x x, σ y y, σ z z. Je třeba si uvědomit, že 6

7 pole B nemusí ležet v hlavní ose tenzoru σ. Proto vektorem k označíme směr pole B : B= B k, dále zavedeme φ, θ jako souřadnice k v systému hlavních os σ a označíme: α x =k i σ =sin θ cos φ α y =k j σ =sin θ sin φ. α z =k k σ =cos θ () Spinový hamiltonián: H S = γ B I z+ γ B k σ I. () Platí, že Zeemanovská interakce chemický posuv. Proto budeme postupovat poruchovým počtem s použitím aproximace energetických hladin v. řádu uvážíme pouze část poruchy komutující s hamiltoniánem Zeemanovské interakce (pro. řád je důležitá jen komutující část): H S = γ B I z+ γ B Iz ( αx σ x x +α y σ y y +α z σ z z ) (4) ω= ω+ ωa sin θ cos θ+ ωb sin θ sin φ+ω c cos θ, (5) kde ωa = γ B σ x x, podobně ωb, ωc. Předpokládejme, že σ z z je výrazně odlišný od σ x x σ y y. cos φ = (+cos φ ), sin φ= ( cos φ) dostaneme: Úpravou pomocí vztahů [ H S = γ B Iz ( σ x x +σ y y +σ z z ) ( σ z z σ x x σ y y ) ( cos θ ) (σ x x σ y y )sin θ cos φ (6) Označme: σ LOngitudal ( σ z z σ x x σ y y ), σtransversal ( σ x x σ y y ) (7) pak: [ ] H S = γ B I z Tr σ +σ LO ( cos θ ) σtr sin θ cos φ. (8) Chemický posuv v polykrystalech Je potřeba provést superpozici všech možných orientací hlavních os σ vzhledem k B a uvážit relativní četnosti 7 ]

8 θ... π, P ( θ )= sin θ φ... π, P ( φ )=. π Chemický posuv v kapalinách Rychlé rotace molekul. Izotropní geometrické členy u σ LO i σtr se středují k, zbývá člen s Tr σ σ, a tedy H S = γ I z B ( σ ). (9) Nepřímá interakce mezi jadernými magnetickými momenty Podobně jako u chemického posuvu z O pro dvojici jader k, k ' dostaneme bilineární formu ve složkách Ik, Ik '. A spolu s opravami vyšších řádů lze dospět k tenzoru nepřímé dipól-dipólové h (spin-spinové) interakce J a ve spinovém hamiltoniánu dostat člen h Ik J Ik ', který je nezávislý na vnějším poli. Z tenzoru je možno oddělit část s nulovou stopou: J =J ' +J ' ' J ' ' = Tr J E, J ' =J Tr J E (4) kde J ' je tzv. pseudodipólová interakce a J ' ' je tzv. pseudovýměnná interakce (skalární). Speciálně v kapalinách díky rychlým molekulárním pohybům zbyde jen skalární interakce (J-vazba) a ve spinovém hamiltoniánu příspěvek h Ik J Ik '. Spektroskopie NMR vysokého rozlišení v kapalinách Pro NMR v kapalinách je důležitý rychlý, izotropní pohyb molekul, který vede k časovému středování interakcí. Po tomto středování zbyde jen stopa tenzoru popisujícího danou interakci. Ta σ a pro neje pro přímou dipól-dipólovou interakci nulová, pro chemický posuv označíme σ Tr přímou dipól-dipólovou interakci (J-vazbu) zavedeme označení J Tr J. s. Lze dosáhnout relativního rozlišení ve T (nutná homogenita a stabilita pole téhož řádu). Vlastní šířka jednoduché rezonanční křivky spektru až Spinový hamiltonián HHR = γ k B ( σk ) Ikz + h J k,k ' Ik I k ', k k<k ' 8 (4)

9 zahrnuje Zeemanovskou interakci, chemický posuv a J-vazbu. indexy k, k ' značí jádra. Chemický posuv Závisí na rozložení elektronové hustoty kolem jádra. Pro jádra izotopů s větším počtem elektronů jr větší interval možných chemických posunů. Udává se vzhledem ke zvolenému standardu pro daný izotop jako hodnota δ (toto se dělá proto, že σ je malé oproti jedničce a neznáme dostatečně přesně hodnotu B ): ω ω σ σ δ= ω standardu 6= standardu 6. standardu σ (4) standardu Protože σ standardu,je δ=( σ standardu σ ) 6. (4) δ se udává v bezrozměrných jednotkách ppm. Standard: rozpustný v běžně používaných rozpouštědlech stálý nesmí interagovat malá závislost jeho chemického posuvu na teplotě, koncentraci, jeho čára ve spektru je singlet nepřekrývá rezonanční křivky měřených látek Obvyklý standard je tetrametylsilan (TMS) Si(CH)4, je použitelný pro spektra jader H, C, 9Si. Používají se i jiné standardy. Orientačně lze využít například známé polohy čar rozpouštědla (pro H je rozpouštědlo často deuterované, ale bývá přítomný zbytkový signál H), nebo lze škálu odvodit z rezonance D (lock) v závislosti na chemikálii obsahující tento izotop a rozpouštědle. Poznámka: Ve spektroskopii NMR vysokého rozlišení je zvykem frekvenční osu spekter škálovat buď v δ (ppm), nebo ve frekvenčních rozdílech (Hz) mezi rezonancí studované čáry a standardu. V obojím případě bývá orientace této osy taková, že vynášené hodnoty rostou směrem doleva. To vzniklo zřejmě historicky, aby spektra nebyla na pohled pravolevě převrácena oproti spektrům v minulosti měřeným kontinuální metodou při pevné frekvenci a proměnném vnějším poli, kdy na vodorovné ose bylo vynášeno magnetické pole zleva doprava od menších hodnot k větším. Tedy více vpravo jsou rezonanční čáry více stíněných jader (dříve při pevné frekvenci bylo na jejich rezonanci potřeba větší pole, dnes při konstantním vnějším poli rezonují na menší frekvenci). V jiných oborech spektroskopie NMR, méně spjatých s chemií a biologií taková konvence není. Chemické posuvy experimentální data 9

10

11

12 J-vazba Konstanty J jsou nezávislé na vnějším poli. Uvádějí se v jednotkách frekvence (Hz). Dosah interakce i přes několik chemických vazeb. Označení: indexy vlevo nahoře počet vazeb indexy vlevo dole jádra mezi kterými daná interakce nastává J-vazba experimentální data

13

14 4

15 Poznámky: Standardně měřené H spektrum = FID. Standardní C spektrum je tzv. dekaplované spektrum viz otázka o dekaplingu.díky tomuto postupu spektrum obsahuje jednoduché (nerozštěpené) čáry pro každou hodnotu chemického posuvu. Obecně ovšem jsou zkresleny intenzity čar, takže neodpovídají relativní četnosti jader. Spektra C měřená bez dekaplingu obsahují kromě jednoduchých čar (např. pro kvartérní uhlíky) i čáry rozštěpené do multipletů a mohou být proto napohled nepřehledná. Navíc mají vzhledem ke slabé intenzitě rezonance C, relativně dlouhým relaxačním dobám T a rozdělení intenzity čáry do multipletů horší poměr signál / šum. Projevy chemického posuvu a J-vazby ve spektrech NMR kapalin Spinový hamiltonián: k k k ' HHR = γ k B ( σk ) I z + h J k,k ' I I. k (4) k<k ' Speciálně: jádra, jaderné spiny I, S = : HHR = ω I Iz ω S S z +h J I S = ω I I z ω S S z +h J ( I S + I S + Iz S z ), kde ω I = γ I B ( σ I ), ω S = γs B ( σ S ) posuv). (44) (tj. zahrnují Zeemanovskou interakci + chemický a) Stejná jádra, stejný chemický posuv (ekvivalentní jádra) ω I =ωs = ωσ Vlastní vektory H z ( + H σ ) Vlastní hodnoty H z + H σ + +, + -, - + 4, - -, ωσ ωσ Řešení diagonalizací maticové reprezentace HHR v bázi vlastních vektorů H z : 5

16 Vlastní vektory HHR Vlastní hodnoty HHR ωσ + π J π J ' ( ) π J ω σ+ π J ' ( ) Pravděpodobnosti přechodů: i Ix + S x j = ( i I+ + S+ j + i I- + S - j ). (45) Závěry: J-vazba způsobí stejný posuv energetických hladin u, ',4. Posuv hladiny ' je sice jiný, ale pravděpodobnost přechodu z ' nebo na ' je nulová. => J-vazba mezi dvěma ekvivalentními jádry nevyvolá štěpení ve spektru (rezonanční frekvence zůstane ωσ ). To platí obecně i pro vyšší počet jader než dvě. b) případ ω I ωs Tento případ splňují například jádra dvou různých izotopů s nenulovým spinem, ale i stejný izotop, avšak různé chemické posuvy. Předpokládejme ω I <ωs. Vlastní vektory H z ( + H σ ) Vlastní hodnoty H z + H σ + + ( ω I + ωs ) + - ( ω I ωs ) - + ( ω ω S ) I ( ω +ω S ) I HHR zapíšeme v maticové reprezentaci vlastních stavů H z : 6

17 ( ω I +ω S )+ π J ( ω I ω S ) π J π J. HHR = π J ( ω I ω S ) π J ( ω I +ω S )+ π J ( ) (46) Řešení: nalezení vlastních hodnot a vektorů: Vektory + + a zůstávají vlastními vektory i pro HHR, s vlastními hodnotami uvedenými na diagonále. Nutno diagonalizovat submatici. Tím dostaneme vlastní hodnoty a nové lineární kombinace z vektorů + - a - +. Poznámka (trik): Normalizace a kolmost vlastních vektorů pro výpočet je výhodné hledat nové vlastní vektory ve tvaru ' =cos φ + - +sin φ - +, ' = sin φ + - +cos φ - + (47) kde φ je neznámá z intervalu ( 9, 9 ). Výsledek: Vlastní vektory HHR Vlastní hodnoty HHR + + ( ω I + ωs )+ π J ' =cos φ + - +sin φ - + ' = sin φ + - +cos φ - + (ω I ωs )+4 π J π J ( ω I +ω S )+ π J ( ω I ω S )+4 π J π J kde ω I ω S ( ω I ω S ) +4 π J π J. tg φ = = π J ω I ω S + ( ω I ω S )+4 π J (48) Pravděpodobnosti přechodů indukovaných rf polem: P =P 4 (cos φ+sin φ), (49) P =P 4 (cos φ sin φ). (5) V dalším budeme diskutovat dva případy: 7

18 A. ω S ω I π J B. ω S ω I π J (dominantní chemický posuv) (chemický posuv a J-vazba jsou srovnatelné) Ad. A: Schéma energetických hladin pro ω S ω I π J : (Předp. ω I >ωs, J > ) φ= vypnutá J-vazba zapnutá J-vazba Frekvence přechodů: ω ω() S = ωs π J () ω4 ωs =ω S +π J. ω ω() I =ω I π J ω4 ω(i )=ω I +π J (5) Pravděpodobnosti přechodů jsou stejné. Spektrum: Původní čáry jsou rozštěpeny na dublety. 8

19 Ad. B: Dostaneme štěpení čar ve spektru a intenzity v závislosti na J ωs ω I. Zvolme pevně ω S ω I = Hz, pak spektrum vypadá následovně: π Štěpení (v Hz) je stále rovno J, jsou zde dvě různé pravděpodobnosti přechodů => intenzity čar. Případ více spinů. Bázi tvořili součiny jednočásticových vlastních vek torů. Dimenze báze byla 4. Diagonalizace maticové reprezentace vedla na subdeterminanty: Dosud jsme řešili případ dvou spinů I, S = Zobecnění pro N spinů I : (k ) ( N I +) možností pro m =M ( N I +) subdeterminantů. Řád subdeterminantu je dám počtem kombinací, jak složit dané M obecně může být vysoké číslo. Možno využít případnou symetrii molekuly některé z hodnot σ k, J k,k ' mohou být stejné ekvivalentní jádra. Rozlišujeme dva druhy ekvivalence dvou jader. Jednak ekvivalenci chemickou, kdy dvě jádra jsou chemicky ekvivalentní pokud je možné je zaměnit operací symetrie (tj. mají 9

20 stejné chemické okolí, stejnou rezonanční frekvenci). A jednak ekvivalenci magnetickou, přičemž magnetická ekvivalence představuje silnější požadavek než ekvivalence chemická: dvě jádra jsou magneticky ekvivalentní, jestliže jsou chemicky ekvivalentní a mají identické interakční konstanty se všemi dalšími jádry v molekule (nebo v molekule nejsou žádná další magneticky aktivní jádra). Mezi magneticky ekvivalentními jádry pak nedochází k štěpení vlivem J-vazby. Hamiltonián: ) ) (G (G HHR = ωg I (G I ' ). z + h J G, G' I G (5) G <G' Kde indexy G,G ' označují skupiny ekvivalentních jader (uvnitř skupiny jsou posuvy stejné, tudíž se můžeme zabývat jen interakcemi mezi jednotlivými skupinami). A I (G) = I ( k) (5) k je součet ve skupině ekvivalentních jader (vazba mezi ekvivalentními jádry nevyvolá štěpení čar). Omezíme se na na slabou J-vazbu (ve srovnání s chemickým posuvem, spektra. řádu ). Zavedeme následující značení: skupinu ekvivalentních jader označíme velkým písmenem a počet jader ve skupině označíme indexem: A, B,....Rozdíl v chemických posuvech jednotlivých skupin vyjádříme vzdáleností písmen v abecedě A X.... Př.: pro dvě skupiny ekvivalentních jader: A, B stejný izotop, různé chemické posuvy A, X buď různé izotopy, nebo stejný izotop, ale velmi různé chemické posuvy. ) (X ) (A) (X ) HHR = ω A I (A I. z ω X I z +h J A X I (54) Bez J-vazby degenerované hladiny ( ) EM A M X = ω A M A ω X M X. (55) J-vazba oprava v. přiblížení ( A) (X ) M A M X h J A X I I M A M X =M A M X h J A X nesnímá degeneraci. (56)

21 Pro dané M A, M X : EM A MX = ω A M A ω X M X +M A M X h J A B. (57) Přechody pro Δ (M A+M X )=±. Spektrum X (přechody se změnou M X ) Pro dané M A a změna Δ M X =±. Frekvence přechodu: ω X +M A π J A X. Multiplet ve spektru X, celkem I (k ) N A + ekvidistantních čar vzdálených o π J A X. Spektrum A (přechody se změnou M A ) Pro dané M X a změna Δ M A =±. Frekvence přechodu: ω A+M X π J A X. Multiplet ve spektru X, celkem I (k ) N X + ekvidistantních čar vzdálených o π J A X. Těžiště multipletu zůstává na místě daném chemickým posuvem, tj. ω A pro spektrum A, ω X pro spektrum X. Vzdálenost těžišť je tedy ω A ω X. Př.: Systém AX, oba spiny / : multiplet A += čáry multiplet X += čáry tj. dublety. Př.: Systém AX, oba spiny / : multiplet A +=4 čáry kvartet multiplet X += čáry triplet Intenzity čar v multipletu A, resp. X jsou úměrné počtu různých kombinací pro složení M X,resp. MA: Spektrum A: MX počet kombinací / / / /

22 Spektrum X: MX počet kombinací - (Pascalův trojúhelník) máme větší počet různých M A a tedy více čar ve spektru X, obecně větší po čet kombinací pro stejné M A. Pozn.: Pro spiny A> Z obrázku výše je vidět výhoda velkých polí - J A B nezávisí na Bext, ale ω I ω S π Bext.

23

24 Složitější molekuly Více skupin vzájemně interagujících J-vazbou => složitá multipletní struktura, překryvy čar ve spektru. Jak zjednodušit spektra (zbavit se multipletní struktury)? Izotopová záměna selektivně. Dekapling (viz. otázka věnovaná dekaplingu). 4

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli: Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly

Více

OPVK CZ.1.07/2.2.00/

OPVK CZ.1.07/2.2.00/ 18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti

Více

Skoro každý prvek má nějaký stabilní isotop s nenulovým spinem. (Výjimky: Ar, Tc, Ce, Pm)

Skoro každý prvek má nějaký stabilní isotop s nenulovým spinem. (Výjimky: Ar, Tc, Ce, Pm) Gyromagnetická částice, jev magnetické rezonance Pojmy s kterýma se můžete setkat: u elektronů lze Bohrův magneton Zkoumat NMR lze jen ty jádra, které mají nenulový jaderný spin: Několik systematických

Více

Spektra 1 H NMR. Velmi zjednodušeně! Bohumil Dolenský

Spektra 1 H NMR. Velmi zjednodušeně! Bohumil Dolenský Spektra 1 MR Velmi zjednodušeně! Bohumil Dolenský Spektra 1 MR... Počet signálů C 17 18 2 O 2 MeO Počet signálů = počet neekvivalentních skupin OMe = informace o symetrii molekuly Spektrum 1 MR... Počet

Více

NMR spektroskopie. Úvod

NMR spektroskopie. Úvod NMR spektroskopie Úvod Zkratka NMR znamená Nukleární Magnetická Rezonance. Jde o analytickou metodu, která na základě absorpce radiofrekvenčního záření vzorkem umístěným v silném magnetickém poli poskytuje

Více

Úvod do strukturní analýzy farmaceutických látek

Úvod do strukturní analýzy farmaceutických látek Úvod do strukturní analýzy farmaceutických látek Garant předmětu: doc. Ing. Bohumil Dolenský, Ph.D. A28, linka 40, dolenskb@vscht.cz Nukleární Magnetická Rezonance I. Příprava předmětu byla podpořena projektem

Více

NMR spektroskopie rádiové frekvence jádra spinovou rezonancí jader spinový moment lichý počet

NMR spektroskopie rádiové frekvence jádra spinovou rezonancí jader spinový moment lichý počet NMR spektroskopie NMR spektroskopie Nukleární Magnetická Resonance - spektroskopická metoda založená na měření absorpce elektromagnetického záření (rádiové frekvence asi od 4 do 900 MHz). Na rozdíl od

Více

Nukleární magnetická rezonance (NMR)

Nukleární magnetická rezonance (NMR) Nukleární magnetická rezonance (NMR) Nukleární magnetické rezonance (NMR) princip ZDROJ E = h. elektro-magnetické záření E energie záření h Plankova konstanta frekvence záření VZOREK E E 1 E 0 DETEKTOR

Více

Orbitaly, VSEPR 1 / 18

Orbitaly, VSEPR 1 / 18 rbitaly, VSEPR Rezonanční struktury, atomové a molekulové orbitaly, hybridizace, určování tvaru molekuly pomocí teorie VSEPR, úvod do symetrie molekul, dipólový moment 1 / 18 Formální náboj Rozdíl mezi

Více

Nukleární Overhauserův efekt (NOE)

Nukleární Overhauserův efekt (NOE) Nukleární Overhauserův efekt (NOE) NOE je důsledek dipolární interakce mezi dvěma jádry. Vzniká přímou interakcí volně přes prostor, tudíž není ovlivněn chemickými vazbami jako nepřímá spin-spinová interakce.

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

NMR spektroskopie Instrumentální a strukturní analýza

NMR spektroskopie Instrumentální a strukturní analýza NMR spektroskopie Instrumentální a strukturní analýza prof. RNDr. Zdeněk Friedl, CSc. Použitá a doporučená literatura Solomons T.W.G., Fryhle C.B.: Organic Chemistry, 8th Ed., Wiley 2004. Günther H.: NMR

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Jiří Brus. (Verze 1.0.1-2005) (neupravená a neúplná)

Jiří Brus. (Verze 1.0.1-2005) (neupravená a neúplná) Jiří Brus (Verze 1.0.1-2005) (neupravená a neúplná) Ústav makromolekulární chemie AV ČR, Heyrovského nám. 2, Praha 6 - Petřiny 162 06 e-mail: brus@imc.cas.cz Transverzální magnetizace, která vykonává precesi

Více

doc. Ing. Richard Hrabal, CSc. Ing. Hana Dvořáková, CSc. RNDr. Jan Lang, PhD. Číslo dveří A 42, telefon 3805,

doc. Ing. Richard Hrabal, CSc. Ing. Hana Dvořáková, CSc. RNDr. Jan Lang, PhD. Číslo dveří A 42, telefon 3805, Vyučující: doc. Ing. Richard rabal, CSc. Ing. ana Dvořáková, CSc. RNDr. Jan Lang, PhD. Číslo dveří A 42, telefon 3805, e-mail hrabalr@vscht.cz Termín: každé pondělí od 8.30 do 11.30 Místo: posluchárna

Více

Strukturní analýza. NMR spektroskopie

Strukturní analýza. NMR spektroskopie Strukturní analýza NMR spektroskopie RNDr. Zdeněk Tošner, Ph.D. lavova 8, místnost 020 tel. 22195 1323 tosner@natur.cuni.cz www.natur.cuni.cz/nmr/vyuka.html Literatura Böhm, Smrčková-Voltrová: Strukturní

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Diskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.

Diskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1. S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního

Více

Kapitola 3. Magnetické vlastnosti látky. 3.1 Diamagnetismus

Kapitola 3. Magnetické vlastnosti látky. 3.1 Diamagnetismus Kapitola 3 Magnetické vlastnosti látky Velká část magnetických projevů je zejména u paramagnetických a feromagnetických látek způsobena především spinovým magnetickým momentem. Pokud se po sečtení všech

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Program. Materiály ke studiu NMR. Data, Soubory. Seminář z Analytické chemie B. \\PYR\SCRATCH\

Program. Materiály ke studiu NMR. Data, Soubory. Seminář z Analytické chemie B.  \\PYR\SCRATCH\ Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Seminář z Analytické chemie B Tento materiál vznikl za podpory projektu CHEMnote PPA CZ..7/../48 Inovace bakalářského studijního programu

Více

ESR, spinový hamiltonián a spektra

ESR, spinový hamiltonián a spektra ER, spnový hamltonán a spektra NMR k k získávání důležtých nformací o struktuře látky využívá gyromagnetckých vlastností atomových jader. Podobně ER (EPR) využívá k obdobným účelům gyromagnetckých vlastností

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR Geometrie molekul Lewisovy vzorce poskytují informaci o tom které atomy jsou spojeny vazbou a o jakou vazbu se jedná (topologie molekuly). Geometrické uspořádání molekuly je charakterizováno: Délkou vazeb

Více

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Kde se nacházíme? ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Mapování elektrického pole -jak? Detektorem.Intenzita

Více

Operátory a maticové elementy

Operátory a maticové elementy Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly

Více

Dekapling, koherentní transfer polarizace, nukleární Overhauserův jev

Dekapling, koherentní transfer polarizace, nukleární Overhauserův jev Dekapling Dekapling, koherentní transfer polarizace, nukleární Overhauserův jev Dekaplingem rozumíme odstranění vlivu J-vazby XA na na spektra jader A působením dalšího radiofrekvenčního pole ( ω X )na

Více

Spektrální metody NMR I. opakování

Spektrální metody NMR I. opakování Spektrální metody NMR I opakování Využití NMR určování chemické struktury přírodní látky, organická syntéza konstituce, konformace, konfigurace ověření čistoty studium dynamických procesů reakční kinetika

Více

Zeemanův jev. 1 Úvod (1)

Zeemanův jev. 1 Úvod (1) Zeemanův jev Tereza Gerguri (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Stanislav Marek (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Michal Schulz (Gymnázium Komenského, Havířov) Abstrakt Cílem našeho experimentu je dokázat

Více

Elektromagnetické záření. lineárně polarizované záření. Cirkulárně polarizované záření

Elektromagnetické záření. lineárně polarizované záření. Cirkulárně polarizované záření Elektromagnetické záření lineárně polarizované záření Cirkulárně polarizované záření Levotočivé Pravotočivé 1 Foton Jakékoli elektromagnetické vlnění je kvantováno na fotony, charakterizované: Vlnovou

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Překryv orbitalů. Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β

Překryv orbitalů. Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β Překryv orbitalů Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β Podmínky překryvu: Vhodná symetrie, znaménko vlnové funkce Vhodná energie, srovnatelná,

Více

Metody nelineární optiky v Ramanově spektroskopii

Metody nelineární optiky v Ramanově spektroskopii Metody nelineární optiky v Ramanově spektroskopii Využití optických nelinearit umožňuje přejít od tradičního studia rozptylu světla na fluktuacích, teplotních elementárních excitacích, ke studiu rozptylu

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Využití magneticko-rezonanční tomografie v měřicí technice. Ing. Jan Mikulka, Ph.D. Ing. Petr Marcoň

Využití magneticko-rezonanční tomografie v měřicí technice. Ing. Jan Mikulka, Ph.D. Ing. Petr Marcoň Využití magneticko-rezonanční tomografie v měřicí technice Ing. Jan Mikulka, Ph.D. Ing. Petr Marcoň Osnova Podstata nukleární magnetické rezonance (MR) Historie vývoje MR Spektroskopie MRS Tomografie MRI

Více

NUKLEÁRNÍ MAGNETICKÁ REZONANCE

NUKLEÁRNÍ MAGNETICKÁ REZONANCE NUKLEÁRNÍ MAGNETICKÁ REZONANCE NMR spektrometrie PRINCIP NMR Jsou-li atomová jádra některých prvků v externím magnetickém poli vystavena vysokofrekvenčnímu elmag. záření, mohou absorbovat záření určitých.

Více

ZÁKLADNÍ EXPERIMENTÁLNÍ

ZÁKLADNÍ EXPERIMENTÁLNÍ Kurz praktické NMR spektroskopie 10. - 12. říjen 2011, Praha ZÁKLADNÍ EXPERIMENTÁLNÍ POSTUPY NMR ROZTOKŮ A KAPALIN Jana Svobodová Ústav Makromolekulární chemie AV ČR, v.v.i. Bruker 600 Avance III PŘÍSTROJOVÉ

Více

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

Skenovací tunelová mikroskopie a mikroskopie atomárních sil

Skenovací tunelová mikroskopie a mikroskopie atomárních sil Skenovací tunelová mikroskopie a mikroskopie atomárních sil M. Vůjtek Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzdělávání výzkumných

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o. . Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární

Více

Symetrie molekul a stereochemie

Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie l Symetrie molekul Operace symetrie Bodové grupy symetrie l Optická aktivita l Stereochemie izomerie Symetrie l výchozí bod rovnovážná konfigurace

Více

Kovy - model volných elektronů

Kovy - model volných elektronů Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf

Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf Letní semestr 2017 Motivace Studium jaderné struktury: - široká škála systémů

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Modelové výpočty na H 2 a HeH +

Modelové výpočty na H 2 a HeH + Modelové výpočty na H 2 a HeH + Minimální báze Všechny teoretické poznatky je užitečné ilustrovat modelovým výpočtem. Budeme aplikovat Hartree-Fockovy výpočty na uzavřených slupkách systémů H 2 a HeH +.

Více

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO

Více

Elektronová a absorpční spektroskopie, Vibrační spektroskopie (absorpční a Ramanova rozptylu)

Elektronová a absorpční spektroskopie, Vibrační spektroskopie (absorpční a Ramanova rozptylu) Elektronová a absorpční spektroskopie, Vibrační spektroskopie (absorpční a Ramanova rozptylu) Průchod optického záření absorbujícím prostředím V dipólové aproximaci platí Einsteinův vztah pro pravděpodobnost

Více

NMR SPEKTROSKOPIE PRO CHEMIKY

NMR SPEKTROSKOPIE PRO CHEMIKY NMR SPEKTROSKOPIE PRO CHEMIKY 1. Úvod 1.1 Historický úvod 1.2 Jazykové okénko 2. Principy NMR spektroskopie 2.1 Jaderný spin 2.2 Chemický posun 2.3 Snímání NMR signálu 2.4 Fourierova transformace 2.5 Magnetické

Více

Úvod do kvantového počítání

Úvod do kvantového počítání 2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

1. 4 V Í C E E L E K T R O N O V É A T O M Y

1. 4 V Í C E E L E K T R O N O V É A T O M Y 1. Atomová fyzika 79 1. 4 V Í C E E L E K T R O N O V É A T O M Y V této kapitole se dozvíte: jakými metodami je možné řešit SR pro víceelektronový atom; podle kterých pravidel se řídí výstavba elektronového

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A]

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A] Pracovní úkol 1. Proměřte závislost magnetické indukce na proudu magnetu. 2. Pomocí kamery změřte ve směru kolmém k magnetickému poli rozštěpení červené spektrální čáry kadmia pro 8-10 hodnot magnetické

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

2. Atomové jádro a jeho stabilita

2. Atomové jádro a jeho stabilita 2. Atomové jádro a jeho stabilita Atom je nejmenší hmotnou a chemicky nedělitelnou částicí. Je tvořen jádrem, které obsahuje protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elementární částice proton neutron

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Struktura elektronového obalu

Struktura elektronového obalu Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Struktura elektronového obalu Představy o modelu atomu se vyvíjely tak, jak se zdokonalovaly možnosti vědy

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Spektrometrické metody. Luminiscenční spektroskopie

Spektrometrické metody. Luminiscenční spektroskopie Spektrometrické metody Luminiscenční spektroskopie luminiscence molekul a pevných látek šířka spektrální čar a doba života luminiscence polarizace luminiscence korekce luminiscenčních spekter vliv aparatury

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Fyzika laserů. 7. března Katedra fyzikální elektroniky.

Fyzika laserů. 7. března Katedra fyzikální elektroniky. Fyzika laserů Poloklasický popis šíření elmg. záření v rezonančním prostředí. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 7. března 2013 Program přednášek

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Otázka: Základní chemické pojmy. Předmět: Chemie. Přidal(a): berushka. Základní chemické pojmy

Otázka: Základní chemické pojmy. Předmět: Chemie. Přidal(a): berushka. Základní chemické pojmy Otázka: Základní chemické pojmy Předmět: Chemie Přidal(a): berushka Základní chemické pojmy ATOM nejmenší částice běžné hmoty částice, kterou nemůžeme chemickými prostředky dále dělit (fyzickými ale ano

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více