Reprezentace problému rozvrhování zakázkové výroby disjunktivním grafem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Reprezentace problému rozvrhování zakázkové výroby disjunktivním grafem"

Transkript

1 XXVI. ASR '00 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 6-7, 00 Paper 39 Reprezentace problému rozvrhování zaázové výroby disjuntivním grafem MAJER, Petr Ing., ÚAI FSI VUT, Technicá, 6669 Brno, Abstrat: Práce se zabývá problémem rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling). Problém rozvrhování je složitý ombinatoricý problém, jehož řešení se používají především heuristicé metody, onrétně simulované žíhání, tabu search a geneticé algoritmy. Při použití heuristicých metod je důležitá volba reprezentace dat. V tomto příspěvu je detailně popsána reprezentace dat pomocí disjuntivního grafu a její použití ve spojení s výše uvedenými metodami. Na záladě naměřených hodnot na vzorových příladech je porovnána reprezentace pomocí disjuntivního grafu s reprezentací pomocí preferenčního seznamu. Klíčová slova: rozvrhování zaázové výroby, disjuntivní graf, heuristicé metody, job shop scheduling Úvod Jednou z nezbytných podmíne zvyšování efetivnosti výroby je využívání matematicých modelů a metod pro podporu řízení, a to zvláště na operativní úrovni. Na této úrovni je důležitým problémem zejména tvorba výrobních rozvrhů. Problém rozvrhování je dán onečnou množinou výrobů, teré je potřeba vyrobit, a omezeným počtem výrobních strojů, teré jsou dispozici. Výroba aždého výrobu se sládá z operací a aždé operaci je přidělen určitý stroj. Pořadí provádění operací u aždého výrobu je dáno technologicým postupem a není možné jej měnit. Poud pořadí strojů smí být pro aždý výrobe různé, mluvíme o rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling). Ve speciálním případě, dy je pořadí strojů u všech výrobů stejné, mluvíme o rozvrhování proudové výroby (flow shop scheduling). Úolem je najít optimální rozvrh, to jest optimální pořadí výrobů na jednotlivých strojích. Jao riteria vality rozvrhu je možné použít celovou dobu trvání výroby, délu prostojů strojů, ztráty spojené s nesplněním prací v požadovaných termínech, stupeň rozpracovanosti apod. Obecně patří problémy rozvrhování mezi NP-složité problémy. To znamená, že lasicými exatními algoritmy je možné řešit pouze úlohy malého rozsahu a rozsáhlejší úlohy musejí být řešeny pomocí heuristicých metod. Často se používají stochasticé heuristicé metody založené na principech geneticých algoritmů (genetic algorithms), simulovaného žíhání (simulated annealing) a zaázaného prohledávání (tabu search). Obecně jsou tyto metody popsány napřílad ve [Kvasniča 997, Reeves 993] a na deterministicý problém rozvrhování výroby jsou apliovány např. ve [Krishna 995, Nowici 996, Yamada 995]. Rozvrhování zaázové výroby Nyní se zaměříme na problém rozvrhování zaázové výroby. V lasicé obecné podobě byl tento problém popsán ve [Blazewicz 996]. Máme dánu množinu prací (jobů) J = { J,..., J n } a množinu strojů (machines) M = { M,..., M m }. Je potřeba vyonat všech n jobů. Každý job se sládá z určitého, obecně nestejného, počtu operací. Doby trvání operací u různých dvou - -

2 jobů mohou být různě dlouhé a doba trvání něteré operace může být i nulová. Pořadí operací u aždého jobu je dáno technologicým postupem a nelze jej měnit. Množina všech operací všech jobů je O = { O,..., O o }. Doba trvání -té operace je p. Pro provedení aždé operace je zapotřebí jednoznačně přiřazený stroj z množiny M. Na jednom stroji lze současně provádět nejvýše jednu operaci jednoho jobu a provádění operace nelze přerušit. Vyonání aždého jobu tedy znamená provedení všech jeho operací v zadaném pořadí na daných strojích. Přiřazení jaýcholiv proveditelných pořadí π operacím na všech strojích z M se nazývá rozvrh (schedule). Uáza taového rozvrhu pro n = 3 joby a m = 3 stroje je na obrázu. Obráze Rozvrh pro pro n = 3 joby a m = 3 stroje Úolem rozvrhování je optimalizovat rozvrh π tj. nalézt nejvhodnější pořadí úloh na daných strojích. Jao riterium vality rozvrhu se nejčastěji volí čas doončení všech úloh (maespan). Označme symbolem r nejdříve možný termín začátu operace -té operace a c termín doončení -té operace. Platí: c r + p () Úolem je potom minimalizovat největší z těchto hodnot: Minimalizovat Cmax ( π ) = max{ c}. () o Často je pro aždý job zadán termín jejího doončení T i. V taovém případě je naším úolem nalezení rozvrhu, terý minimalizuje ztráty spojené s nedodržením termínů, teré mohou být vyjádřeny napřílad tato: n Minimalizovat [ zi 0, clast( i) Ti} ] i= max{, (3) de Last (i) je funce, terá vrací index poslední operace v i-tém jobu a z i je oeficient ztráty spojené s opožděným doončením i-tého jobu. V případě systému výroby JIT (just in time) nám vadí též případné předčasné doončení jobů, teré je napřílad spojeno se ztrátami spojenými s nutností sladování předčasně doončených výrobů: n Minimalizovat [ zi 0, clast( i) Ti} + si max{0, Ti clast( i) }] i= max{, (4) - -

3 de s i je oeficient ztráty spojené s předčasným doončením i-tého jobu. Pro optimalizaci se používají heuristicé metody ve spojitosti s vhodnou reprezentací dat. 3 Reprezentace problému rozvrhování Pod pojmem reprezentace dat rozumíme vytvoření určitého způsobu zápisu posloupnosti operací na strojích do určitého druhu seznamu, terý nám umožní provádění výpočtů na počítačích a optimalizaci řešení pomocí heuristicých metod. V průběhu posledních něolia let bylo navrženo něoli způsobů reprezentace problému rozvrhování zaázové výroby [Cheng 996, Šeda 999]. Nejpoužívanější jsou reprezentace pomocí disjuntivního grafu a reprezentace pomocí preferenčního seznamu. Preferenční seznam je seznam, terý se sládá z m řetězců. Každý řetězec přísluší jednomu stroji a obsahuje čísla operací, prováděná na tom stroji. Tyto řetězce nepopisují pořadí operací na strojích, ale jsou to pouze preference operací. Sutečný rozvrh je pa odvozen z preferenčního seznamu prostřednictvím simulace, terá analyzuje stavy operací čeajících ve frontách na své stroje. Poud je nutné rozhodnout o přednosti operací na něterém stroji, vybere se nejdříve ta operace, terá je v preferenčním seznamu první na řadě. Výhodnější než reprezentace preferenčním seznamem se vša z hledisa použití heuristicých metod jeví reprezentace pomocí disjuntivního grafu, proto zde bude popsána podrobněji. Disjuntivní graf G je definován množinou uzlů V, množinou onjuntivních hran C a množinou disjuntivních hran D, G = ( V, C D). Uzly reprezentují operace všech jobů. Množina uzlů V obsahuje navíc dva speciální uzly, počáteční 0 a oncový uzel *. Tyto speciální uzly jsou ohodnoceny nulami, ostatní uzly jsou ohodnoceny dobami trvání odpovídajících operací. Orientované onjuntivní hrany vyjadřují zadané pořadí operací v rámci jednotlivých jobů. Dále jsou zde hrany vycházející z počátečního uzlu 0 a směřující do uzlů příslušných prvým operacím jobů a hrany vycházející z posledních operací jobů a směřující do oncového uzlu *. Disjuntivní hrany vyjadřují vzájemné pořadí operací, teré musejí být provedeny na stejném stroji. Na začátu algoritmu jsou disjuntivní hrany neorientované. Množina disjuntivních hran tvoří m ompletních podgrafů, z nichž aždý přísluší jednomu stroji, de m je počet strojů. Přílad reprezentace problému se třemi joby a třemi stroji disjuntivním grafem představuje obráze. Obráze Disjuntivní graf Stanovit výrobní rozvrh znamená rozhodnout o pořadí operací na jednotlivých strojích, tedy stanovit orientaci disjuntivních hran. Množina S všech orientovaných disjuntivních hran se nazývá úplná selece. Úplná selece určuje přípustný rozvrh π pouze v případě, že výsledný graf G( π ) = ( V, C S) je acylicý. V tom případě se S nazývá acylicá úplná selece. Celová doba zpracování všech úloh je pa dána délou nejdelší cesty z počátečního uzlu do oncového uzlu grafu. Tuto cestu nazýváme riticou cestou u (π )

4 Máme-li vytvořen acylicý orientovaný graf, můžeme určit riticou cestu. Než tomu přistoupíme, můžeme ještě graf zjednodušit. Všimněme si, aždý uzel grafu G (π ), s výjimou uzlů 0 a *, má nejvýše dva bezprostřední následníy a nejvýše dva bezprostřední předchůdce. Důležité je, že libovolná operace má na stejném stroji nejvýše jednu bezprostředně předcházející operaci a nejvýše jednu bezprostředně následující operaci. Protože platí trojúhelníová nerovnost, můžeme z grafu vypustit ty disjuntivní hrany, teré nespojují bezprostředně po sobě následující operace (viz obráze 3). Obráze 3 Zjednodušený orientovaný disjuntivní graf Kostra algoritmu nalezení riticé cesty vypadá tato:. Položíme r = 0 0 a přečíslujeme všechny uzly v grafu ta, že poud existuje přímá cesta z uzlu i do uzlu j, pa i < j. Metoda pro přečíslování uzlů je popsána v [Klapa 996].. Uzly procházíme vzestupně podle indexů a počítáme nejdříve možné termíny začátů operací. Nejdříve možný termín začátu j-té operace je roven r = max{ r + p }, de j P( j) P ( j) je množina uzlů, z nichž do uzlu j vstupují orientované hrany. 3. Déla riticé cesty C ( π ) je rovna termínu nejdříve možného začátu posledního uzlu max r *. Termín nejpozději možného once posledního uzlu je * r* d =, protože p = * Nyní procházíme uzly sestupně podle indexů a počítáme nejpozději možné termíny uončení operací. Nejpozději možný onec j-té operace je roven d = min { d p }, de j N ( j) N ( j) je množina uzlů, do terých z uzlu j vstupují orientované hrany. 5. Prodlevy na aždém uzlu vypočítáme w = d ( r + p ). Uzly, pro teré je w = 0, leží na riticé cestě. 4 Metody řešení založené na ódování disjuntivním grafem Množina všech operací O může být přirozeně rozdělena do m podmnožin O, m, de aždá z nich odpovídá množině operací prováděných na -tém stroji. Pořadí operací na -tém stroji může být definováno jao permutace π, terá se vytvoří pouze z operací příslušné množiny O. Výrobní rozvrh π je tedy definován taé jao množina permutací π = { π {,..., m}} operací na strojích,..., m, pro terou je disjuntivní graf acylicý. Problém rozvrhování zaázové výroby můžeme znovu formulovat jao hledání proveditelného výrobního rozvrhu π, terý minimalizuje účelovou funci. Obvyle se používá účelová funce (). Hodnota této funce se rovná délce riticé cesty v grafu G (π ). Víme, že riticá cesta u (π ) v grafu G (π ) je posloupnost riticých operací u ( π ) = ( u,..., uv ), de v je počet operací na riticé cestě. Kriticá cesta je rozdělena do podsevencí nazývaných riticé bloy B h. Kriticé bloy jsou maximální podsupiny operací riticé cesty, teré obsahují operace prováděné na stejném stroji. Kriticá cesta u(π ) je tedy posloupnost riticých bloů u( π ) = ( Bh h (,..., g)), de g je počet riticých

5 bloů na riticé cestě u (π ). Definice riticých bloů je důležitá, protože pomocí ní se lze definovat operátory heuristicých metod. Při nasazení heuristicých metod v problémech rozvrhování musíme řešit následující otázy:. ja nalézt počáteční proveditelný rozvrh,. ja definovat vztah sousedství, 3. ja nalézt proveditelný rozvrh s co nejlepším ohodnocením. První a druhý úol je společný pro mnoho heuristicých metod. Třetí úol závisí na algoritmu onrétní heuristicé metody. Pro počáteční rozvržení disjuntivních hran v grafu lze použít tento algoritmus: Delarace : Nechť Q 0 je množina všech již rozvržených operací. Nechť Q je množina všech rozvrhovaných operací. Nechť Q je množina všech nerozvržených operací. Množiny Q 0, Q a Q jsou disjuntní a jejich sjednocením zísáme množinu všech operací O. Účelem algoritmu je nalezení počátečních rozvržení posloupností operací π = { π,..., π m }. Inicializace : Posloupnosti π,...,π m jsou na počátu algoritmu prázdné. Množina Q 0 je prázdná. Množina Q obsahuje první operace všech jobů. Množina Q obsahuje všechny ostatní operace. Nejdříve možný termín zahájení je pro všechny operace r = 0, pro o. Doud Q ) není prázdné, opauj ( Q {. V množině Q najdeme operaci c = min{ c O Q c = r + p }. Nechť ' O ', jejíž termín doončení c ' je nejmenší O' ' M je stroj, na terém je operace prováděna. Posloupnost z množiny π přiřazenou stroji M ' označme π '.. Zavedeme množinu K (onflitní množina). Nechť množina K obsahuje všechny operace z Q, teré se provádějí na stroji M ' a jejichž nejdříve možný termín zahájení je menší než nejdříve možný termín doončení operace O '. Konflitní množina K = { O stroj( O ) = M ' r < c'}. 3. Náhodně vybereme operaci O '' z množiny K a rozvrhneme ji. Rozvržení operace O' ' v tomto případě znamená přiřazení jejího indexu na onec posloupnosti operací π '. 4. Operaci O '' vypustíme z množiny Q a zařadíme ji do množiny Q Pro všechny operace z množin Q Q, teré jsou prováděny na stroji M ' přepočítáme nejdříve možné termíny zahájení r = c' '. 6. Do množiny Q přemístíme z Q následující operaci v rámci jobu právě rozvržené operace O ''. } Sousedství lze definovat jao množinu rozvrhů, teré lze zísat apliováním operátoru přechodu do jiného rozvrhu. Bylo popsáno mnoho způsobů [Blazewicz 996], ja měnit orientace disjuntivních hran v grafu, aby se co nejefetivněji prohledal prostor řešení. Pro metody, de se v aždém rou prohledává celé sousedství (metoda loálního hledání, tabu search), je výhodné použití sousedství S : vzájemná výměna blízo hranice bloů na jediné riticé cestě [Nowici 996]. Uvažujeme jedinou libovolně zvolenou riticou cestu

6 u (π ) v grafu G (π ), terá se sládá z riticých bloů B,..., Bg. Sousední rozvrhy zísáme, poud vyměníme první dvě (a poslední dvě) operace v aždém blou B,..., B g a to v aždém blou, terý se sládá nejméně ze dvou operací. V prvním blou vyměníme poslední dvě operace a analogicy v posledním blou vyměníme pouze první dvě. Pro metody, de se v aždém rou neprohledává celé sousedství atuálního řešení, je výhodné sousedství definovat šířeji než u předchozích metod. Důsledem toho je důladnější prohledání prostoru řešení. Pro metodu simulované žíhání a mutaci u geneticého algoritmu se osvědčil způsob volby sousedství S : posun náhodného riticého uzlu na riticé cestě na úplný začáte nebo onec v riticém blou [Blazewicz 996]. Pro tato definované operátory přechodu do jiného rozvrhu S, S bylo doázáno, že poud výchozí graf je acylicý, potom taé aždý vznilý graf je acylicý, tedy jemu odpovídající rozvrh je proveditelný. Při použití heuristicých metod (simulovaného žíhání, zaázaného prohledávání a geneticých algoritmů) je řešením, teré v tomto problému optimalizujeme (u GA chromozómem) samotný disjuntivní graf. Sousedství atuálního řešení může být definováno jedním ze způsobů uvedených výše a účelovou funcí (u GA fitness) je napřílad podle () déla riticé cesty v grafu. Vlastní principy použitelných heuristicých metod jsou shodné s metodami, teré se používají i pro jiné ombinatoricé problémy a jsou popsány např. v [Reeves 993]. 5 Výsledy experimentů Na záladě počítačového programu bylo provedeno srovnání reprezentací pomocí disjuntivního grafu (DG) a preferenčního seznamu (PS). Testy byly provedeny na vzorových příladech [Beasley 996] se známou minimální délou rozvrhu. V tabulce jsou zaznamenány průměrné a nejlepší dosažené hodnoty účelové funce () z 0-ti spuštění algoritmů při použití optimalizačních metod: SA - simulované žíhání, TS - tabu search, GA - geneticý algoritmus. Tabula : Srovnání ódování disjuntivním grafem (DG) a preferenčním seznamem (PS). přílad metoda ódování nejlepší Průměr Fischer a Thomson 6x6 SA PS soubor: ft06.prb TS PS rozsah: 6 jobů, 6 strojů SA DG optimální hodnota: 55 TS DG doba optimalizace: 60s GA DG Lawrence 0x5 SA PS soubor: la03.prb TS PS rozsah: 0 jobů 5 strojů SA DG optimální hodnota: 597 TS DG doba optimalizace: 0s GA DG Adams, Balas a Zawac 0x0 SA PS soubor: abz5.prb TS PS rozsah: 0 jobů 0 strojů SA DG optimální hodnota: 34 TS DG doba optimalizace: 300s GA DG

7 U heuristicých metod byly použity následující specifiace parametrů: SA: počáteční teplota = 0000, součinitel snižování teploty = 0.9, způsob volby sousedství: S. TS: déla zaázaného seznamu = 7, způsob volby sousedství: S, strategie prohledávání sousedství: výběr nejlepšího řešení z celého sousedství. GA: veliost populace = 50, způsob selece: binární turnajová selece, způsob řížení: více-roové řížení [Yamada 995]. Z porovnání účinnosti způsobů ódování mezi disjuntivním grafem a preferenčním seznamem je patrné, že metody používající ódování disjuntivním grafem jsou ve všech případech účinnější. Metody založené na ódování preferenčním seznamem jsou sice schopny pro svou jednoduchost za stejnou dobu vyonat řádově více svých roů, ale nejsou schopny dosáhnout optima i u poměrně jednoduchých příladů. I přes svou časovou náročnost lze metody ódované disjuntivním grafem upřednostnit před metodami používajícími ódování preferenčním seznamem. Vzhledem současnému přeotnému vývoji výpočetních systémů lze metody založené na ódování disjuntivním grafem doporučit i pro řešení rozsáhlejších problémů rozvrhování zaázové výroby. 6 Závěr Tento příspěve se zaměřuje na řešení problému rozvrhování zaázové výroby (job shop scheduling) pomocí moderních heuristicých metod: simulovaného žíhání, zaázaného prohledávání a geneticého algoritmu. Detailně je zde popsán problém rozvrhování zaázové výroby a reprezentace jeho dat disjuntivním grafem. Jsou zde též popsány související algoritmy potřebné pro implementaci problému na počítači (algoritmus nalezení riticé cesty, algoritmus vytvoření počátečního proveditelného rozvrhu). Z porovnání metod používajících ódování disjuntivním grafem a jinými lasicými způsoby (např. preferenčním seznamem) vyplývá, že jasně výonnější jsou metody používající ódování disjuntivním grafem. Tato práce je taé východisem pro naši budoucí práci, terá se zaměří na studium neurčitostí, teré se často vysytují v praticých apliacích problému rozvrhování zaázové výroby. Jsou to neurčitosti v délách trvání operací a neurčitosti v termínech doončení jobů. Tyto neurčitosti lze modelovat pomocí teorie fuzzy množin. Pro implementování neurčitých veličin do disjuntivního grafu bude zřejmě nutné použít fuzzifiovanou metodu hledání riticé cesty a onstruovat vhodné účelové funce pro apliaci heuristicých metod. Poděování. Problém je řešen v rámci vědeco-výzumného záměru CEZ: J/98: Netradiční metody studia omplexních a neurčitých systémů. 7 Literatura BEASLEY, J. E. OR library. Technical report, The Management School Imperial College, London, BLAZEWICZ, J. et al. Scheduling Computer and Manufacturing Processes. Springer-Verlag, Berlin, p. CHENG, R., GEN M. & TSUJIMURA, Y. A Tutorial Survey of Job-Shop Scheduling Problems Using Genetic Algorithms - I. Reprezentation. Computers ind. Engng Vol.30, No 4, pp , 996. KLAPKA, J., DVOŘÁK, J. & POPELA, P. Metody operačního výzumu. VUT Brno, 996. KRISHNA, K., GANESHAN, K. & JANAKI R. D. Distributed Simulated Annealing Algorithms for Job Shop Scheduling. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 5. No. 7, 995. pp KVASNIČKA, V. a ol. Úvod do teórie neuronových sietí. Bratislava, IRIS

8 NOWICKI, E. & SMUTNICKI, C. A Fast Taboo Search Algorithm for the Job Shop Problem. Management Science, Vol. 4, No. 6, 996. pp REEVES, C.R. (ed.). Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. Blacwell Scientific Publication, Oxford, 993. ŠEDA, M., DVOŘÁK, J. & BURDA, J.: Scheduling Job Shops Using Genetic Algorithms and Local Search Framewor, In Proceedings of the 6th International Conference on Soft Computing MENDEL '999, Brno, Czech Republic, 999, pp YAMADA, T. & NAKANO, R A Genetic Algorithm with Multi-Step Crossover for Job Shop Scheduling Problems. In: Proceedings of the International Conference GALESIA '95, Sheffield, pp

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

Rozvrhování výroby. František Koblasa Technická univerzita v Liberci. TU v Liberci

Rozvrhování výroby. František Koblasa Technická univerzita v Liberci. TU v Liberci Tento materiál vznikl jako součást projektu EduCom, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Rozvrhování výroby Technická univerzita v Liberci INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II

FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II FUZZY ANALYSIS OF COMPLEX VAGUE SYSTEMS - II Miroslav Poorný Moravsá vysoá šola Olomouc, o.p.s., Ústav informatiy, miroslav.poorny@mvso.cz Abstrat:. Příspěve

Více

Plánování úloh na jednom stroji

Plánování úloh na jednom stroji Plánování úloh na jednom stroji 15. dubna 2015 1 Úvod 2 Řídící pravidla 3 Metoda větví a mezí 4 Paprskové prohledávání Jeden stroj a paralelní stroj Dekompoziční problémy pro složité (flexible) job shop

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

Informační systémy plánování výroby - pokročilé rozvrhování

Informační systémy plánování výroby - pokročilé rozvrhování Tento materiál vznikl jako součást projektu EduCom, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Informační systémy plánování výroby - pokročilé rozvrhování Technická univerzita

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

SPECIFICKÝCH MIKROPROGRAMOVÝCH ARCHITEKTUR

SPECIFICKÝCH MIKROPROGRAMOVÝCH ARCHITEKTUR EVOLUČNÍ NÁVRH A OPTIMALIZACE APLIKAČNĚ SPECIFICKÝCH MIKROPROGRAMOVÝCH ARCHITEKTUR Miloš Minařík DVI4, 2. ročník, prezenční studium Školitel: Lukáš Sekanina Fakulta informačních technologií, Vysoké učení

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

2. STAVBA PARTPROGRAMU

2. STAVBA PARTPROGRAMU Stavba partprogramu 2 2. STAVBA PARTPROGRAMU 2.1 Slovo partprogramu 2.1.1 Stavba slova Elementárním stavebním prvem partprogramu je tzv. slovo (instruce programu). Každé slovo sestává z písmene adresy

Více

Genetické algoritmy. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví

Genetické algoritmy. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví Genetické algoritmy Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví Přehled přednášky Úvod Historie Základní pojmy Principy genetických algoritmů Možnosti použití Související metody AI Příklad problém

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28 Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo

Více

ÚVOD DO PROBLEMATIKY ORGANIZACE DOPRAVY PŘI AKCÍCH HROMADNÉHO CHARAKTERU

ÚVOD DO PROBLEMATIKY ORGANIZACE DOPRAVY PŘI AKCÍCH HROMADNÉHO CHARAKTERU ÚVOD DO PROBLEMATIKY ORGANIZACE DOPRAVY PŘI AKCÍCH HROMADNÉHO CHARAKTERU INTRODUCTION TO ISSUES OF TRANSPORT ORGANIZATION IN COLLECTIVE CHARACTER ACTIONS Jan Seduna 1 Anotace: Příspěve se zabývá úvodním

Více

OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY. Modelový příklad problém obchodního cestujícího:

OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY. Modelový příklad problém obchodního cestujícího: OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY Problém optimalizace v různých oblastech: - minimalizace času, materiálu, - maximalizace výkonu, zisku, - optimalizace umístění komponent, propojení,... Modelový příklad problém obchodního

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

F6180 Úvod do nelineární dynamiky. F6150 Pokročilé numerické metody FX003 Plánování a vyhodnocování experimentu. F7780 Nelineární vlny a solitony

F6180 Úvod do nelineární dynamiky. F6150 Pokročilé numerické metody FX003 Plánování a vyhodnocování experimentu. F7780 Nelineární vlny a solitony Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2015 přednáša: D. Hemzal cvičení: F. Münz F1400 Programování F5330 Záladní numericé metody F7270 Matematicé metody zpracování měření F6180 Úvod do nelineární dynamiy

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta strojního inženýrství Ing. Petr Palubjá VÍCEPRODUKTOVÉ TOKY V SÍTÍCH MULTICOMMODITY NETWORK FLOWS Zrácená verze Ph.D. Thesis Obor: Technicá ybernetia Šolitel: doc.

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. 9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010 SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů inové transformátory inové transformátory Při požadavu na transformaci impedancí v široém frevenčním pásmu, dy nelze obsáhnout požadovanou oblast mitočtů ani široopásmovými obvody, je třeba použít široopásmových

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT Řízení projektů Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT 1 Úvod základní pojmy Projekt souhrn činností, které musí být všechny realizovány, aby byl projekt dokončen Činnost

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PROGRAMOVÝ SYSTÉM PRO PLÁNOVÁNÍ A ROZVRHOVÁNÍ VÝROBY PROGRAM SYSTEM FOR PRODUCTION PLANNING AND SCHEDULING

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PROGRAMOVÝ SYSTÉM PRO PLÁNOVÁNÍ A ROZVRHOVÁNÍ VÝROBY PROGRAM SYSTEM FOR PRODUCTION PLANNING AND SCHEDULING VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE

Více

Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců

Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců Optimalizační algoritmy inspirované chováním mravenců Biologická analogie ACO metaheuristic Ant system a jeho modifikace Specifikace problémů Aplikace Motivace NP-hard problémy časová náročnost nalezení

Více

TGH12 - Problém za milion dolarů

TGH12 - Problém za milion dolarů TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná

Více

1. Úvod do genetických algoritmů (GA)

1. Úvod do genetických algoritmů (GA) Obsah 1. Úvod do genetických algoritmů (GA)... 2 1.1 Základní informace... 2 1.2 Výstupy z učení... 2 1.3 Základní pomy genetických algoritmů... 2 1.3.1 Úvod... 2 1.3.2 Základní pomy... 2 1.3.3 Operátor

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS Roman Bisup, Anna Čermáová Anotace: Příspěve se zabývá prezentací principů učení jednoho onrétního typu neuronových sítí. Cílem práce

Více

11. Tabu prohledávání

11. Tabu prohledávání Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

jednoduchá heuristika asymetrické okolí stavový prostor, kde nelze zabloudit připustit zhoršují cí tahy Pokročilé heuristiky

jednoduchá heuristika asymetrické okolí stavový prostor, kde nelze zabloudit připustit zhoršují cí tahy Pokročilé heuristiky Pokročilé heuristiky jednoduchá heuristika asymetrické stavový prostor, kde nelze zabloudit připustit zhoršují cí tahy pokročilá heuristika symetrické stavový prostor, který vyžaduje řízení 1 2 Paměť pouze

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je , kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE Brno 2002 Igor Potúče PROHLÁŠENÍ: Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně pod vedením Ing. Martina

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Teorie síťových modelů a síťové plánování

Teorie síťových modelů a síťové plánování KSI PEF ČZU Teorie síťových modelů a síťové plánování Část přednášky doc. Jaroslava Švasty z předmětu systémové analýzy a modelování. Zápis obsahuje základní vymezení projektu, časového plánování a popis

Více

Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D.

Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D. OPTIMALIZACE BRAMOVÉHO PLYNULÉHO ODLÉVÁNÍ OCELI ZA POMOCI NUMERICKÉHO MODELU TEPLOTNÍHO POLE Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D. Fakulta strojního inženýrství

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční

Více

- Pokud máme na množině V zvoleno pevné očíslování vrcholů, můžeme váhovou funkci jednoznačně popsat. Symbolem ( i)

- Pokud máme na množině V zvoleno pevné očíslování vrcholů, můžeme váhovou funkci jednoznačně popsat. Symbolem ( i) DSM2 C 8 Problém neratší cesty Ohodnocený orientoaný graf: - Definice: Ohodnoceným orientoaným grafem na množině rcholů V = { 1, 2,, n} nazýáme obet G = V, w, de zobrazení w : V V R { } se nazýá áhoá funce

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

Obsah. 16. dubna Přehled metodik. Terminologie. Vlastnosti stroje Omezení Optimalizace CVUT FEL, K Klasifikace rozvrhovacích problému

Obsah. 16. dubna Přehled metodik. Terminologie. Vlastnosti stroje Omezení Optimalizace CVUT FEL, K Klasifikace rozvrhovacích problému Rozvrhování Radek Mařík CVUT FEL, K13132 16. dubna 2014 Radek Mařík (marikr@fel.cvut.cz) Rozvrhování 16. dubna 2014 1 / 44 Obsah 1 Úvod do rozvrhování Přehled metodik Příklady reálných problémů Terminologie

Více

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014 Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je

Více

ANALYTICKÉ PROGRAMOVÁNÍ

ANALYTICKÉ PROGRAMOVÁNÍ ZVYŠOVÁNÍODBORNÝCH KOMPETENCÍAKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉUNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ ANALYTICKÉ PROGRAMOVÁNÍ Eva Volná Zuzana Komínková Oplatková Roman Šenkeřík OBSAH PRESENTACE

Více

SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE

SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE Series B The Jan Perner Transport Faculty 5 (1999) ANALÝZA FUNKCE STEJNOSMĚRNÉHO MOTORU NAPÁJENÉHO ZE STŘÍDAVÉ SÍTĚ SIMULACÍ POMOCÍ PROGRAMU SPICE Jiří

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 10 přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 10 přednáška Prvy betonových onstrucí BL0 0 přednáša ŠTÍHLÉ TLAČENÉ PRVKY chování štíhlých tlačených prutů chování štíhlých onstrucí metody vyšetřování účinů 2. řádu ŠTÍHLÉ TLAČENÉ PRVKY POJMY ztužující a ztužené prvy

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Metody analýzy kritické cesty

Metody analýzy kritické cesty UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Metody analýzy kritické cesty Vypracoval: Tomáš Talášek AME, I. ročník Obsah 1 Základní

Více

Plánování se zabývá především kauzálními vztahy mezi akcemi a otázkou. Rozvrhování se soustředí na alokaci naplánovaných akcí v čase a prostoru.

Plánování se zabývá především kauzálními vztahy mezi akcemi a otázkou. Rozvrhování se soustředí na alokaci naplánovaných akcí v čase a prostoru. Plánováníá a rozvrhování Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Od plánů k rozvrhům Plánování se zabývá především kauzálními vztahy mezi akcemi a otázkou výběru

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů

Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů Design and implementation of algorithms for adaptive control of stationary robots Marcel Vytečka 1, Karel Zídek 2 Abstrakt Článek

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKACE HUBŮ POMOCÍ GENETICKÉHO ALGORITMU SOLVING THE SINGLE ALLOCATION HUB LOCATION PROBLEM USING GENETIC ALGORITHM

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKACE HUBŮ POMOCÍ GENETICKÉHO ALGORITMU SOLVING THE SINGLE ALLOCATION HUB LOCATION PROBLEM USING GENETIC ALGORITHM ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKACE HUBŮ POMOCÍ GENETICKÉHO ALGORITMU SOLVING THE SINGLE ALLOCATION HUB LOCATION PROBLEM USING GENETIC ALGORITHM Miroslav Slivoně 1 Anotace: Článek je zaměřuje na problém lokace hubů

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Algoritmus Daniela Szturcová Tento

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Dokumentace programu piskvorek

Dokumentace programu piskvorek Dokumentace programu piskvorek Zápočtového programu z Programování II PRM045 Ondřej Vostal 20. září 2011, Letní semestr, 2010/2011 1 Stručné zadání Napsat textovou hru piškvorky se soupeřem s umělou inteligencí.

Více