1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti"

Transkript

1 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je většna výsledů lascé fyzy ( výpočet hmotnost, rychlost, teploty ), cheme( stavové rovnce). Přesto se v procesu vývoje ldsé společnost postupně objevovaly jevy, jejchž přesný výslede nebylo možno určt jao první jsou uváděny lascé hazardní hry jž v raném středověu ( vrhcáby nebol hod ostou nebo ostam, aretní hry ). Taovýchto případů stále přbývalo doonce v exatních vědách. Začalo mít proto smysl se jm důladněj zabývat. Matematcou nterpretací taovýchto jevů se zabývá obor teore pravděpodobnost. Jedním ze záladních pojmů teore pravděpodobnost je náhodný pous. Je to děj, terý je možno lbovolněrát opaovat ( alespoň hypotetcy ), přčemž výsledy taovýchto dějů nejsou jednoznačně určeny vstupním podmínam. Podle taovéhoto popsu jsou dříve uvedené přílady hodu ostou, hraní aret jednoduchým případy náhodných pousů. Nás nebude zajímat vlastní provádění náhodných pousů, ale především výsledy taovýchto dějů. To nás samozřejmě vede pojmu náhodného jevu. Náhodným jevem budeme rozumět lbovolný výro (tvrzení )o výsledu náhodného pousu, o terém lze po provedení náhodného pousu prohlást za je č není pravdvé. V tomto textu budeme náhodné jevy označovat zásadně velým písmeny abecedy. y taovýchto náhodných jevů může být padnutí čísla 3 př hodu ostou, vylosování čísle př tahu sporty, pohlaví narozeného dítěte, přítomnost elementární částce na daném místě, odpověď na otázu v dotazníu atd. Všechny možné výsledy náhodného pousu ( např. hodu ostou ) budeme dále označovat symbolem Ω a nazývat záladní množnou. Jestlže provádíme hod ostou je záladní množnou Ω ={1,2,3,4,5,6}. V případě, že množna Ω je onečná nebo spočetná mluvíme o tzv. lascé teor pravděpodobnost ( podrobnost jsou uvedeny v poznámce I. a II. na onc této aptoly ).. Představme s, že budeme postupně zoumat produc určtého výrobu přímo na onc výrobní lny. Symbolem A označíme náhodný jev výrobe je valtní, symbolem A výrobe je nevaltní. Budeme s delší časovou perspetvou zaznamenávat postupně náhodné jevy A a A ta ja budou výroby vyráběny. O povaze náhodného jevu A nebude vypovídat počet realzací A, ale bude mít smysl zjšťovat jaý je podíl valtních výrobů na celé výrobě. Celový objem valtních výrobů označujeme v teor pravděpodobnost a statstce jao absolutní četnost valtních výrobů a podíl valtních výrobů na celovém množství výrobů jao relatvní četnost valtních výrobů V dále uvedeném grafu můžeme pozorovat přblžování hodnoty relatvní četnost náhodného jevu A př zvětšování počtu náhodných pousů určtému číslu. Toto číslo můžeme za daných podmíne sutečně tomuto jevu jednoznačně přřadt a nazýváme ho pravděpodobností náhodného jevu A. Způsob zavedení pojmu pravděpodobnost je v tomto případě netradční jde o tzv. statstcý přístup. Na záladě obrázu 1.1 provedeme tedy onstruc pravděpodobnost náhodného jevu A ( dále A) ), zároveň uveďme jaé jsou záladní vlastnost taovéhoto pojmu pravděpodobnost : 1. Pravděpodobnost A) nabývá hodnot mez 0 a 1. Náhodný jev, pro terý je A) = 0 nazýváme jev nemožný ; jestlže A) = 1 nazýváme náhodný jev jao jev jstý.

2 2. Př provádění náhodného pousu mnohorát ( 1000x, 10000x atd. ) je určté, že relatvní četnost výsytu náhodného jevu se nemusí rovnat ( a většnou taé nerovná ) hodnotě A), bude se od ní vša jen nepatrně lšt. 3. Jestlže tedy budeme chtít ověřt, zda náhodný jev je č není jstý je možné opaovat mnohorát náhodný pous, poud je výslede jen nepatrně odlšný od jedné ( menší než jedna ) je pratcy zřejmé, že př jedném náhodném pousu náhodný jev nastane. Podobné tvrzení lze uvést o jevu nemožném. 4. Taovýto přístup tvorbě pravděpodobnost je možný jen tam, de můžeme sutečně reálně opaovat náhodné pousy a výsledy nterpretovat jao pravděpodobnost, selže tam, de by opaování bylo možné, ale z určtých důvodů nemožné. Proto se teore pravděpodobnost většnou jao matematcá teore buduje axomatcy vz [1] nebo poznáma I. na onc této aptoly. Relatvní četnost valtních výrobů 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0, počet výrobů Poud bychom se zabýval naším onrétním případem dále a prováděl šetření něol dní mohl bychom zísat napřílad výslede uvedený v tabulce 1.1. Údaje, teré jsou v tabulce uvedeny podporují grafcé výsledy, lze z nch tedy usuzovat, že pravděpodobnost vyrobeného výrobu se nemění a je rovna přblžně 0,957. Den Počet vyrobených výrobů Relatvní četnost valtních výrobů , , , , , , ,951

3 ,957 Celem , Záony pro prác s náhodným jevy a pravděpodobnostm Př pratcé prác se většnou setáváme s úoly, teré závsí často na více než na jednom náhodném jevu. Napřílad př určté odpověd v dotazníu sledujete zároveň tuto odpověď, ale zároveň j onfrontujete s fatem pohlaví respondenta. Proto je důležté se zabývat artmetou záonů teore pravděpodobnost. Budeme tedy dále uvádět jsté defnce záladních pojmů. Jev opačný náhodnému jevu A je náhodný jev B taový, že nastává právě tehdy, dyž náhodný jev A nenastává. : A př hodu ostou padne 6; jev B př hodu ostou padnou buď 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5. Jevy A a B se nazývají neslučtelné, jestlže nemohou oba nastat součastně. Bude l náhodným jevem A např. padnutí 6, B může být např. náhodný jev padnutí lchého čísla. Důležté je, že pro dva náhodné jevy A a B platí, že sjednocení ( sečtení ) náhodných jevů A a B je taé náhodný jev C = A U B. Tento náhodný jev tedy nastává právě tehdy, dyž nastává aspoň jeden z náhodných jevů A, B. Podle poznámy I. na onc této aptoly je náhodným jevem doonce lbovolné onečné nebo spočetné sjednocení náhodných jevů. Podobně pro dva náhodné jevy A a B platí, že průn náhodných jevů A,B je opět náhodný jev C = A B.Tento náhodný jev nastává právě tehdy, dyž nastávají oba náhodné jevy A, B součastně. Podobně jao u předchozího případu platí, že onečné nebo spočetné průny náhodných jevů jsou opět náhodné jevy : Náhodný jev A nastává př hodu ostou, jestlže padne 3 nebo 6. Náhodný jev B nastane, jestlže padne sudé číslo. Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A B = {6}. Pro vlastní výpočty pravděpodobností jstých stuací je důležté se naučt pracovat s hodnotou pravděpodobnost náhodného jevu jao s určtou mírou, terá má jsté vlastnost : A. I. Vlastnost doplňu. Nechť A je náhodný jev a B je jev opačný náhodnému jevu Potom platí B ) = 1 A ) (1.1) II. Vlastnost sjednocování. Jestlže náhodné jevy A, B jsou neslučtelné, potom platí A U B ) = A ) + B ) (1.2) Přesné nformace nalezne čtenář buď v poznámce I. na onc této aptoly nebo v [1]. Z těchto vlastností můžeme odvodt jednu velm důležtou nformac o obecné hodnotě pravděpodobnost sjednocení č průnu dvou náhodných velčn. Tvrzení Nechť A, B jsou náhodné jevy potom platí A U B ) = A ) + B ) A B ) (1.3) Důaz: Provedeme obrázem 1.2

4 A U B A A» B B Z obrázu je zřejmé, že sjednocení náhodných jevů A a B je možno upravt na sjednocení tří neslučtelných náhodných jevů. Poud tedy sečteme pravděpodobnost náhodných jevů A a B je výslede nutně větší o pravděpodobnost průnu těchto náhodných jevů, neboť ten se vysytuje v obou náhodných jevech součastně, počítal bychom ho tedy dvarát poračování Počítáme pravděpodobnost nyní nol pomocí statstcé defnce pravděpodobnost, ale pomocí defnc uvedených v poznámce I. na onc této aptoly. A ) = 2 / 6 = 0,33 ; B ) = 3 / 6 = 0,5. A B ) = 1 / 6 = 0,167 ; A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 nebo podle (1.3) A U B ) = 0,33 + 0,5-0,167 = 0,67 Př řešení něterých onrétních stuací nás nezajímá přímo otáza pravděpodobnost určtého náhodného jevu A, ale řešíme stuac výsytu náhodného jevu A za podmíny, že zároveň nastal určtý náhodný jev B ( předpoládáme, že jev B není nemožný ). Napřílad nás mohou zajímat odpověd na určtou otázu v dotazníu za předpoladu, že respondent byl muž. Pro řešení taovýchto stuací byl vymyšlen celý matematcý aparát tzv. podmíněných pravděpodobností. Prncpální myšlenou je zahrnout do výpočtu pravděpodobnost ( podmíněné ) jevu A jen tu část, terá je společná oběma náhodným jevům. Proto nás nepřevapí následující defnce podmíněné pravděpodobnost jevu A vzhledem náhodnému jevu B( opět ne nemožnému ) jao A = (1.4). Z výrazu (1.4) můžeme odvodt pravděpodobnost průnu dvou náhodných jevů A a B pomocí podmíněné pravděpodobnost jao P ( A =. (1.5) PA ( = PB ( / APA ). ( ) (1.5 ) Zjstěte hodnotu podmíněné pravděpodobnost náhodného jevu A vzhledem náhodnému jevu B z příladu Hodnotu podmíněné pravděpodobnost zjstíme pomocí výsledů příladu Tedy A 0,167 = = = 0,33. 0,5 Toto číslo vyjadřuje relatvní četnost náhodného jevu A mez případy, dy zároveň nastal náhodný jev B. Pro vlastní prác s pojmem pravděpodobnost náhodného jevu je velm důležtý pojem nezávslost náhodných jevů ( dvojce náhodných jevů ). Intutvně cítíme, že jevy A a B

5 jsou nezávslé, jestlže výsyt jednoho náhodného jevu neovlvňuje výsyt druhého náhodného jevu. Bude tedy podstatné pro zoumání této vlastnost chování pravděpodobnost průnu náhodných jevů A a B. Matematcým vyjádřením této myšleny je to, že hodnota podmíněné pravděpodobnost jednoho náhodného jevu vůč druhému musí být rovna nepodmíněné pravděpodobnost. Tedy A / B ) = A ) nebo velm podobně B / A ) = B ). Odsud můžeme odvodt jný způsob defnce nezávslost náhodných jevů A a B : Defnce 1.1 Náhodné jevy A, B ( an jeden není nemožný ) nazveme nezávslé právě tehdy, dyž P ( A = A). (1.6) Defnc 1.1 o nezávslost náhodných jevů lze rozšířt na lbovolný počet nezávslých jevů A 1, A 2,,A. Označíme-l C jev, terý spočívá v současném výsytu těchto jevů, tj. C= A 1 A 2, A, potom pravdlo o násobení pravděpodobností má tvar C ) = A 1 A 2, A ) = A 1 ) A ) (1.7) V daném ročníu na gymnázu, terý má 240 žáů bylo hodnoceno v matematcé ompozc známou výborně 30 žáů, v ompozc z česého jazya celem 40 žáů. 5 žáů bylo hodnoceno známou výborně z obou ompozc. Zjstěte, zda náhodný jev být výborný z matematy je nezávslý na výborném hodnocení z česého jazya. Podle vzorce (1.6) nejdříve zjstíme příslušné odhady pravděpodobností jednotlvých náhodných jevů. Pravděpodobnost být výborný v matematce je tedy rovna 30 / 240 = 0,125 ; pravděpodobnost být výborný v česém jazyce je rovna 40 / 240 = 0,167; podle uvedených údajů je pravděpodobnost být zároveň výborný v obou předmětech rovno 5 / 240 = 0,021. Zjstíme, zda platí vztah (1.6): 0,125. 0,167 = 0,021. Oba náhodné jsou tedy nezávslé Po provedení průzumu názorů občanů ve vzoru 1500 ldí odpovědělo 820 respondentů ladně na otázu zda se jejch celová stuace zlepšla. Celový počet mužů ve vzoru byl 710. Na otázu záporně odpovědělo 600 ldí, z toho 300 mužů. Nechť A je náhodný jev celová stuace se zlepšla, B je náhodný jev celová stuace se nezlepšla, C je náhodný jev respondent je muž, D je náhodný jev respondent je žena. Určete odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) a B / D ). Abychom zísal odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) je nutné podle vzorce (1.4) postupně zjst hodnoty A C) a C).Náhodný jev A C obsahuje muže,u nchž se stuace zlepšla. Celový počet taovýchto mužů podle zadání je roven 410, celový počet mužů je roven 710, proto A C) = 410 / 1500 = 0,273; C).= 710 / 1500 = 0,473. Použjeme l vzorec (1.4) je C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Poud budeme počítat přímo, ta počet mužů splňující naše podmíny je roven 410 a celový počet mužů je 710, tedy počítejme ještě jednou podmíněná pravděpodobnost A C) = 410 / 710 = 0,577. Obdobně budeme postupovat v případě výpočtu B / D ). Nejdříve určíme počet prvů množny D ( žen ) ten je roven = 790 žen. Pro výpočet je podstatné zjštění počtu prvů B D tedy žen,teré nejsou spoojeny. Tento počet je roven 300. Tedy počítejme B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523, pro je B/D) = 0,2 / 0,523 = 0,382. Budeme l počítat přímo zísáme tuto hodnotu jao podíl 300 a 790.

6 1.2.5 Zjstěte za předchozích podmíne, zda náhodné jevy A a C resp.b a D jsou nezávslé. Použjeme rovnost (1.6) pro nezávslé náhodné jevy A a C platí A C) = A). C). V našem případě je A C) = 410 / 710 = 0,577, A) = 820 / 1500 = 0,547; C) = 710/1500 = 0,473. Poud by měl být náhodné jevy nezávslé musí platt (1.6), ale A).C) = 0,259. Náhodné jevy A a C nejsou tedy nezávslé. Postupujme obdobně u náhodných jevů B a D. B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523 ; = 680 / 1500 = 0,453. Zjstěme tedy hodnotu. D) = 0,523. 0,453 =0,237. Náhodné jevy B a D nejsou nezávslé. 1.3 Věta o úplné pravděpodobnost a Bayesův vzorec Vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost sam o sobě nemají velý význam, jejch využtí př výpočtech je velm důležté právě pro exstenc tvrzení typu Bayesova vzorce resp. Věty o úplné pravděpodobnost. Věta o úplné pravděpodobnost Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A.Potom Důaz: n = 1 B =1 A) = B ). ) (1.8) n B =1 B Protože platí A, platí tato nluze A ( A B ) A. = 1 Pravděpodobnost je podle poznámy II. na onc této aptoly monotóní tedy platí n A) = A B ) = B ). B ). = 1 = 1 Q.E.D. n Pro platnost tohoto tvrzení je podstatné, že systém náhodných jevů B je vzhledem náhodnému jevu A úplný tj. aždý prve množny A se nachází v právě jedné množně B. Nechť A je náhodný jev nutnost jsté opravy určtého typu automoblu. Pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu do dvou let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1; pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu od 2 do 7 let ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,5; v ostatních případech ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,75. Pravděpodobnost, že automobl tohoto typu bude patřt do těchto supn jsou B 1 ) = 0,3 ; B 2 ) = 0,5 ; B 3 ) = 0,2. Zjstěte pravděpodobnost této opravy tohoto typu automoblu. Náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Pro využtí předchozího tvrzení je ještě třeba znát podmíněné pravděpodobnost oprav v jednotlvých ategorích stáří automoblu, protože je ale známe můžeme přímo dosazovat do vzorce (1.8) A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,3 + 0,5. 0,5 + 0,75. 0,2 = 0,43 n

7 Pravděpodobnost opravy je tedy 43 %. V průzumovém dotazníu byla položena jstá otáza a zoumala se ladná odpověď na n ( náhodný jev A ). Pravděpodobnost ladné odpověd u respondenta ve věu maxmálně do 18 let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1 ; pravděpodobnost ladné odpověd u osoby v reprodučním věu ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,3 ; pravděpodobnost u osoby v postreprodučním věu ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,4. Pravděpodobnost jednotlvých náhodných jevů B jsou rovny B 1 ) = 0,25 ; B 2 ) = 0,60 ;B 3 ) = 0,15. Zjstěte pravděpodobnost ladné odpověd v dané společnost. Podobně jao v předchozím případě ověříme, že náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Použjeme opět vztah (1.8). A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,25 + 0,3. 0,6 + 0,4. 0,15 = 0,265 Pravděpodobnost ladné odpověd v celé společnost je 26,5%. Druhým velm významným tvrzením je Bayesova věta, terá určuje jaým způsobem lze počítat tzv. podmíněné pravděpodobnost B / A) náhodného jevu B za podmíny, že nastal náhodný jev A, jestlže známe aprorní pravděpodobnost B ) a podmíněné pravděpodobnost A / B ). Přesněj Bayesova věta Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A, A) > 0. Potom = 1 B =1 B j ). B j ) B j / A) = n (1.9). B ). B ) Důaz: Podle podmíne tvrzení má B j / A ) smysl. Využjeme vztahy (1.4) a (1.8.). Čtatel ve zlomu (1.4) je roven B j A), což je podle (1.5) rovno právě A / B j ). B j ). Jmenovatel ve zlomu (1.9) zjstíme přesně podle tvrzení Q.E.D. Pravděpodobnost hypotéz před provedením náhodného pousu B j ) se nazývají pravděpodobnost a pror a pravděpodobnost hypotéz po provedení náhodného pousu B j / A) se nazývají pravděpodobnost a posteror. Jeden ze tří střelců vystřelí a zasáhne cíl. Pravděpodobnost zásahu př jednom výstřelu je pro prvého střelce 0,3, pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete pravděpodobnost, že střílel druhý střelec. Označíme postupně A 1 náhodný jev zasáhl 1. střelec; A 2 náhodný jev zasáhl 2. střelec; A 3 náhodný jev zasáhl 3. střelec. Označme dále jao náhodný jev A cíl byl

8 zasažen. Jstě platí B /A 1 ) = B /A 2 ) = B /A 3 ) = 1. Chceme vypočítat B 2 / A ), tedy podle (1.9) je 1.0,5 0,5 P ( B 2 / A) = = = 0, , , ,8 1,6 Výrobce barometrů zjstl testováním velm jednoduchého modelu, že občas uazuje nepřesně. Za deštvého počasí uazuje v 10% jasno a za jasného počasí uazuje déšť ve 30% případů. V září je u nás zhruba 40% dní deštvých. Předpoládejme, že barometr uazuje dne na deštvo. Jaá je pravděpodobnost, že bude sutečně pršet? Pousíme se provést řešení této úlohy pomocí grafcé metody, znázorníme všechny možnost do tzv. Vennova dagramu. Obráze 1.3 Na barometru jasno Na barometru deštvo 60% 42% 18% Sutečně jasno 40% 4% 36% Sutečně deštvo Budeme l tedy vycházet z obrázu 1.3 bude pravděpodobnost, že sutečně prší za předpoladu, barometr uazuje déšť rovna podílu 0,36 / 0,4 = 0,9. Odpověď: Hledaná pravděpodobnost je rovna 90%. 1.4 Záladní pojmy ombnatory V této část budeme předpoládat, že vešeré množny, s terým budeme pracovat jsou onečné. Pojem 1 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden právě jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací ( nebo počtem permutací bez opaování ) množny A. Tento počet n) = n! ( součn všech přrozených čísel od 1 do čísla n ). Ve supně 6 studentů chceme zjstt počet všech možných pořadí přhlášení na zoušu. Student se na zoušu hlásí 1x tedy hledáme počet permutací tedy 6) = 6! = 120. Student se můžou přhlást celem 120 možným způsoby. Pojem 3

9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací s opaováním nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání se aždý prve může opaovat 0 až n rát. Celový počet prvů taovéhoto uspořádání je roven n. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací s opaováním množny A. Tento počet P (n) = n n. Podržme zadání stejné jao v předchozím případu. Zjstěme jaý počet různých uspořádání je možné nalézt za těchto podmíne. Řešení : Podle předchozího je tento počet roven P (6) = 6 6 = V tomto případě se student mohou přhlást celem způsoby. Pojem 5 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání záleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n! V n = = n.( n 1)...( n + 1) ( n )! Určete počet všech přrozených čísel menších než 500, v jejchž zápsu jsou pouze číslce 4, 5, 6, 7, a to aždá nejvýše jednou. Počet jednomístných přrozených čísel je roven počtu varací první třídy ze čtyř prvů; pro dvojmístná přrozená čísla je počet roven varacím druhé třídy ze čtyř a onečně jedná trojmístná přrozená čísla, terá splňují zadání jsou čísla začínající 4, jejch počet je tedy roven počtu varací bez opaování druhé třídy ze čtyř prvů. Celově tedy bude ! 4! 3! x = V1 + V2 + V2 = + + = = 22. (4 1)! (4 2)! (3 2)! Podmíny splňuje 22 přrozených čísel. Pojem 7 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy s opaování nazveme lbovolné členné uspořádání prvů množny A taové, že v tomto uspořádání záleží na pořadí prvů a aždý prve uveden nejvýše jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven ' n V = n Předpoládejme, že první dva znay SPZ automoblu v naší republce se sládají ze dvou znaů abecedy, a zbylých pět členů ombnace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ. První část se sládá z dvojce písmen ( je jch 26 ), terá mohou lbovolně opaovat, přčemž záleží na pořadí ( jde o uspořádanou dvojc ). Celově jch je tedy jao počet varací s opaováním druhé třídy z 26 prvů. Druhá část SPZ je tvořena uspořádanou pětcí čísel, jejch počet je roven počtu varací s opaováním 5 třídy z 10 prvů. Celový počet znače je proto roven : x = V ' 2. V ' 5 = =

10 Pojem 9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n n n! C = ( ) =!.( n )! Zjstěte počet možností výběru správné šestce př hře sporta. Celový počet těchto šestc je roven počtu ombnací šesté třídy z 49 prvů. 49! 49! x = ( 49 6 ) = = = = = !.(49 6)! 6!.43! Pojem 11 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy s opaováním nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše rát a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven n+ 1 n+ 1 ( n + 1)! C' = =!.( n 1)! Hra domno představuje soubor oste, z nchž je aždá osta rozdělena na dvě polovny a aždá polovna je samostatně označena body 0 až 8. Každá osta se ve hře vysytuje pouze jednou. Určete počet oste jedné hry. Jde o ombnace druhé třídy s opaováním z devít prvů ( nezáleží nám na pořadí výběru dané dvojce, prvy se mohou opaovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše uvedeného vztahu je počet oste jedné hry roven ! C ' 2 = = = = !.8! 2

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

4. Třídění statistických dat pořádek v datech

4. Třídění statistických dat pořádek v datech 4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

15 Mletí. I Základní vztahy a definice. Oldřich Holeček (aktualizace v roce 2014 Michal Přibyl & Marek Schöngut)

15 Mletí. I Základní vztahy a definice. Oldřich Holeček (aktualizace v roce 2014 Michal Přibyl & Marek Schöngut) 15 Mletí Oldřch Holeče (atualzace v roce 2014 Mchal Přbyl & Mare Schöngut) I Záladní vztahy a defnce I.1 Úvod Rychlost mnoha chemcých a fyzálních procesů závsí na velost mezfázového povrchu. Je-l v nch

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Možnosti vyžití statistiky a teorie zpracování dat v práci učitele na 1. stupni ZŠ

Možnosti vyžití statistiky a teorie zpracování dat v práci učitele na 1. stupni ZŠ Možnot vyžtí tatty a teore zpracování dat v prác učtele na. tupn ZŠ Význam tatty je v oudobé polečnot všeobecně uznáván. Svědčí o tom člány v denním odborném tu, lýcháme o ní čato ve vytoupeních hopodářých

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY. Disertační práce. 2006 Ing. Jan Fábry

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY. Disertační práce. 2006 Ing. Jan Fábry VYSOKÁ ŠKOLA EKOOMICKÁ V PRAZE FAKULTA IFORMATIKY A STATISTIKY Dsertační práce 2006 Ing. Jan Fábry Vysoá šola eonomcá v Praze Faulta nformaty a statsty atedra eonometre Dynamcé oružní a rozvozní úlohy

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

HODNOCENÍ DODAVATELE SUPPLIER EVALUATION

HODNOCENÍ DODAVATELE SUPPLIER EVALUATION oční 6., Číslo IV., lstopad 20 HODNOCENÍ DODAVATELE SUPPLIE EVALUATION oman Hruša Anotace: Článe se zabývá hodnocením dodavatele pomocí scorng modelu, což znamená vanttatvní hodnocení dodavatele podle

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost

Více

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili

Více

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické 1 Šifrování Kryptografie Každý z nás si určitě umí představit situaci, dy je důležité utajit obsah posílané zprávy ta aby ho byl schopen přečíst jen ten omu je určená a nido nepovolaný nebyl schopen zjistit

Více

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B. Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza

Více

Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dotazníkové šetření. Gabriela Kreislová

Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dotazníkové šetření. Gabriela Kreislová Faulta aplovaných věd Katedra ateaty Baalářsá práce Dotazníové šetření Plzeň, 008 Gabrela Kreslová Dotazníové šetření Abstrat Tato baalářsá práce popsuje nejdůležtější aspety dotazníového šetření. Věnuje

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika 9 Kombatora, teore pravděpodobost a matematcá statsta Te, do argumetue průměrým platem, e s velou pravděpodobostí vysoce adprůměrý vůl s hluboce podprůměrým vzděláím (Mloslav Drucmüller) 9. Kombatora Kombatora

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více