1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti"

Transkript

1 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je většna výsledů lascé fyzy ( výpočet hmotnost, rychlost, teploty ), cheme( stavové rovnce). Přesto se v procesu vývoje ldsé společnost postupně objevovaly jevy, jejchž přesný výslede nebylo možno určt jao první jsou uváděny lascé hazardní hry jž v raném středověu ( vrhcáby nebol hod ostou nebo ostam, aretní hry ). Taovýchto případů stále přbývalo doonce v exatních vědách. Začalo mít proto smysl se jm důladněj zabývat. Matematcou nterpretací taovýchto jevů se zabývá obor teore pravděpodobnost. Jedním ze záladních pojmů teore pravděpodobnost je náhodný pous. Je to děj, terý je možno lbovolněrát opaovat ( alespoň hypotetcy ), přčemž výsledy taovýchto dějů nejsou jednoznačně určeny vstupním podmínam. Podle taovéhoto popsu jsou dříve uvedené přílady hodu ostou, hraní aret jednoduchým případy náhodných pousů. Nás nebude zajímat vlastní provádění náhodných pousů, ale především výsledy taovýchto dějů. To nás samozřejmě vede pojmu náhodného jevu. Náhodným jevem budeme rozumět lbovolný výro (tvrzení )o výsledu náhodného pousu, o terém lze po provedení náhodného pousu prohlást za je č není pravdvé. V tomto textu budeme náhodné jevy označovat zásadně velým písmeny abecedy. y taovýchto náhodných jevů může být padnutí čísla 3 př hodu ostou, vylosování čísle př tahu sporty, pohlaví narozeného dítěte, přítomnost elementární částce na daném místě, odpověď na otázu v dotazníu atd. Všechny možné výsledy náhodného pousu ( např. hodu ostou ) budeme dále označovat symbolem Ω a nazývat záladní množnou. Jestlže provádíme hod ostou je záladní množnou Ω ={1,2,3,4,5,6}. V případě, že množna Ω je onečná nebo spočetná mluvíme o tzv. lascé teor pravděpodobnost ( podrobnost jsou uvedeny v poznámce I. a II. na onc této aptoly ).. Představme s, že budeme postupně zoumat produc určtého výrobu přímo na onc výrobní lny. Symbolem A označíme náhodný jev výrobe je valtní, symbolem A výrobe je nevaltní. Budeme s delší časovou perspetvou zaznamenávat postupně náhodné jevy A a A ta ja budou výroby vyráběny. O povaze náhodného jevu A nebude vypovídat počet realzací A, ale bude mít smysl zjšťovat jaý je podíl valtních výrobů na celé výrobě. Celový objem valtních výrobů označujeme v teor pravděpodobnost a statstce jao absolutní četnost valtních výrobů a podíl valtních výrobů na celovém množství výrobů jao relatvní četnost valtních výrobů V dále uvedeném grafu můžeme pozorovat přblžování hodnoty relatvní četnost náhodného jevu A př zvětšování počtu náhodných pousů určtému číslu. Toto číslo můžeme za daných podmíne sutečně tomuto jevu jednoznačně přřadt a nazýváme ho pravděpodobností náhodného jevu A. Způsob zavedení pojmu pravděpodobnost je v tomto případě netradční jde o tzv. statstcý přístup. Na záladě obrázu 1.1 provedeme tedy onstruc pravděpodobnost náhodného jevu A ( dále A) ), zároveň uveďme jaé jsou záladní vlastnost taovéhoto pojmu pravděpodobnost : 1. Pravděpodobnost A) nabývá hodnot mez 0 a 1. Náhodný jev, pro terý je A) = 0 nazýváme jev nemožný ; jestlže A) = 1 nazýváme náhodný jev jao jev jstý.

2 2. Př provádění náhodného pousu mnohorát ( 1000x, 10000x atd. ) je určté, že relatvní četnost výsytu náhodného jevu se nemusí rovnat ( a většnou taé nerovná ) hodnotě A), bude se od ní vša jen nepatrně lšt. 3. Jestlže tedy budeme chtít ověřt, zda náhodný jev je č není jstý je možné opaovat mnohorát náhodný pous, poud je výslede jen nepatrně odlšný od jedné ( menší než jedna ) je pratcy zřejmé, že př jedném náhodném pousu náhodný jev nastane. Podobné tvrzení lze uvést o jevu nemožném. 4. Taovýto přístup tvorbě pravděpodobnost je možný jen tam, de můžeme sutečně reálně opaovat náhodné pousy a výsledy nterpretovat jao pravděpodobnost, selže tam, de by opaování bylo možné, ale z určtých důvodů nemožné. Proto se teore pravděpodobnost většnou jao matematcá teore buduje axomatcy vz [1] nebo poznáma I. na onc této aptoly. Relatvní četnost valtních výrobů 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0, počet výrobů Poud bychom se zabýval naším onrétním případem dále a prováděl šetření něol dní mohl bychom zísat napřílad výslede uvedený v tabulce 1.1. Údaje, teré jsou v tabulce uvedeny podporují grafcé výsledy, lze z nch tedy usuzovat, že pravděpodobnost vyrobeného výrobu se nemění a je rovna přblžně 0,957. Den Počet vyrobených výrobů Relatvní četnost valtních výrobů , , , , , , ,951

3 ,957 Celem , Záony pro prác s náhodným jevy a pravděpodobnostm Př pratcé prác se většnou setáváme s úoly, teré závsí často na více než na jednom náhodném jevu. Napřílad př určté odpověd v dotazníu sledujete zároveň tuto odpověď, ale zároveň j onfrontujete s fatem pohlaví respondenta. Proto je důležté se zabývat artmetou záonů teore pravděpodobnost. Budeme tedy dále uvádět jsté defnce záladních pojmů. Jev opačný náhodnému jevu A je náhodný jev B taový, že nastává právě tehdy, dyž náhodný jev A nenastává. : A př hodu ostou padne 6; jev B př hodu ostou padnou buď 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5. Jevy A a B se nazývají neslučtelné, jestlže nemohou oba nastat součastně. Bude l náhodným jevem A např. padnutí 6, B může být např. náhodný jev padnutí lchého čísla. Důležté je, že pro dva náhodné jevy A a B platí, že sjednocení ( sečtení ) náhodných jevů A a B je taé náhodný jev C = A U B. Tento náhodný jev tedy nastává právě tehdy, dyž nastává aspoň jeden z náhodných jevů A, B. Podle poznámy I. na onc této aptoly je náhodným jevem doonce lbovolné onečné nebo spočetné sjednocení náhodných jevů. Podobně pro dva náhodné jevy A a B platí, že průn náhodných jevů A,B je opět náhodný jev C = A B.Tento náhodný jev nastává právě tehdy, dyž nastávají oba náhodné jevy A, B součastně. Podobně jao u předchozího případu platí, že onečné nebo spočetné průny náhodných jevů jsou opět náhodné jevy : Náhodný jev A nastává př hodu ostou, jestlže padne 3 nebo 6. Náhodný jev B nastane, jestlže padne sudé číslo. Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A B = {6}. Pro vlastní výpočty pravděpodobností jstých stuací je důležté se naučt pracovat s hodnotou pravděpodobnost náhodného jevu jao s určtou mírou, terá má jsté vlastnost : A. I. Vlastnost doplňu. Nechť A je náhodný jev a B je jev opačný náhodnému jevu Potom platí B ) = 1 A ) (1.1) II. Vlastnost sjednocování. Jestlže náhodné jevy A, B jsou neslučtelné, potom platí A U B ) = A ) + B ) (1.2) Přesné nformace nalezne čtenář buď v poznámce I. na onc této aptoly nebo v [1]. Z těchto vlastností můžeme odvodt jednu velm důležtou nformac o obecné hodnotě pravděpodobnost sjednocení č průnu dvou náhodných velčn. Tvrzení Nechť A, B jsou náhodné jevy potom platí A U B ) = A ) + B ) A B ) (1.3) Důaz: Provedeme obrázem 1.2

4 A U B A A» B B Z obrázu je zřejmé, že sjednocení náhodných jevů A a B je možno upravt na sjednocení tří neslučtelných náhodných jevů. Poud tedy sečteme pravděpodobnost náhodných jevů A a B je výslede nutně větší o pravděpodobnost průnu těchto náhodných jevů, neboť ten se vysytuje v obou náhodných jevech součastně, počítal bychom ho tedy dvarát poračování Počítáme pravděpodobnost nyní nol pomocí statstcé defnce pravděpodobnost, ale pomocí defnc uvedených v poznámce I. na onc této aptoly. A ) = 2 / 6 = 0,33 ; B ) = 3 / 6 = 0,5. A B ) = 1 / 6 = 0,167 ; A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 nebo podle (1.3) A U B ) = 0,33 + 0,5-0,167 = 0,67 Př řešení něterých onrétních stuací nás nezajímá přímo otáza pravděpodobnost určtého náhodného jevu A, ale řešíme stuac výsytu náhodného jevu A za podmíny, že zároveň nastal určtý náhodný jev B ( předpoládáme, že jev B není nemožný ). Napřílad nás mohou zajímat odpověd na určtou otázu v dotazníu za předpoladu, že respondent byl muž. Pro řešení taovýchto stuací byl vymyšlen celý matematcý aparát tzv. podmíněných pravděpodobností. Prncpální myšlenou je zahrnout do výpočtu pravděpodobnost ( podmíněné ) jevu A jen tu část, terá je společná oběma náhodným jevům. Proto nás nepřevapí následující defnce podmíněné pravděpodobnost jevu A vzhledem náhodnému jevu B( opět ne nemožnému ) jao A = (1.4). Z výrazu (1.4) můžeme odvodt pravděpodobnost průnu dvou náhodných jevů A a B pomocí podmíněné pravděpodobnost jao P ( A =. (1.5) PA ( = PB ( / APA ). ( ) (1.5 ) Zjstěte hodnotu podmíněné pravděpodobnost náhodného jevu A vzhledem náhodnému jevu B z příladu Hodnotu podmíněné pravděpodobnost zjstíme pomocí výsledů příladu Tedy A 0,167 = = = 0,33. 0,5 Toto číslo vyjadřuje relatvní četnost náhodného jevu A mez případy, dy zároveň nastal náhodný jev B. Pro vlastní prác s pojmem pravděpodobnost náhodného jevu je velm důležtý pojem nezávslost náhodných jevů ( dvojce náhodných jevů ). Intutvně cítíme, že jevy A a B

5 jsou nezávslé, jestlže výsyt jednoho náhodného jevu neovlvňuje výsyt druhého náhodného jevu. Bude tedy podstatné pro zoumání této vlastnost chování pravděpodobnost průnu náhodných jevů A a B. Matematcým vyjádřením této myšleny je to, že hodnota podmíněné pravděpodobnost jednoho náhodného jevu vůč druhému musí být rovna nepodmíněné pravděpodobnost. Tedy A / B ) = A ) nebo velm podobně B / A ) = B ). Odsud můžeme odvodt jný způsob defnce nezávslost náhodných jevů A a B : Defnce 1.1 Náhodné jevy A, B ( an jeden není nemožný ) nazveme nezávslé právě tehdy, dyž P ( A = A). (1.6) Defnc 1.1 o nezávslost náhodných jevů lze rozšířt na lbovolný počet nezávslých jevů A 1, A 2,,A. Označíme-l C jev, terý spočívá v současném výsytu těchto jevů, tj. C= A 1 A 2, A, potom pravdlo o násobení pravděpodobností má tvar C ) = A 1 A 2, A ) = A 1 ) A ) (1.7) V daném ročníu na gymnázu, terý má 240 žáů bylo hodnoceno v matematcé ompozc známou výborně 30 žáů, v ompozc z česého jazya celem 40 žáů. 5 žáů bylo hodnoceno známou výborně z obou ompozc. Zjstěte, zda náhodný jev být výborný z matematy je nezávslý na výborném hodnocení z česého jazya. Podle vzorce (1.6) nejdříve zjstíme příslušné odhady pravděpodobností jednotlvých náhodných jevů. Pravděpodobnost být výborný v matematce je tedy rovna 30 / 240 = 0,125 ; pravděpodobnost být výborný v česém jazyce je rovna 40 / 240 = 0,167; podle uvedených údajů je pravděpodobnost být zároveň výborný v obou předmětech rovno 5 / 240 = 0,021. Zjstíme, zda platí vztah (1.6): 0,125. 0,167 = 0,021. Oba náhodné jsou tedy nezávslé Po provedení průzumu názorů občanů ve vzoru 1500 ldí odpovědělo 820 respondentů ladně na otázu zda se jejch celová stuace zlepšla. Celový počet mužů ve vzoru byl 710. Na otázu záporně odpovědělo 600 ldí, z toho 300 mužů. Nechť A je náhodný jev celová stuace se zlepšla, B je náhodný jev celová stuace se nezlepšla, C je náhodný jev respondent je muž, D je náhodný jev respondent je žena. Určete odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) a B / D ). Abychom zísal odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) je nutné podle vzorce (1.4) postupně zjst hodnoty A C) a C).Náhodný jev A C obsahuje muže,u nchž se stuace zlepšla. Celový počet taovýchto mužů podle zadání je roven 410, celový počet mužů je roven 710, proto A C) = 410 / 1500 = 0,273; C).= 710 / 1500 = 0,473. Použjeme l vzorec (1.4) je C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Poud budeme počítat přímo, ta počet mužů splňující naše podmíny je roven 410 a celový počet mužů je 710, tedy počítejme ještě jednou podmíněná pravděpodobnost A C) = 410 / 710 = 0,577. Obdobně budeme postupovat v případě výpočtu B / D ). Nejdříve určíme počet prvů množny D ( žen ) ten je roven = 790 žen. Pro výpočet je podstatné zjštění počtu prvů B D tedy žen,teré nejsou spoojeny. Tento počet je roven 300. Tedy počítejme B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523, pro je B/D) = 0,2 / 0,523 = 0,382. Budeme l počítat přímo zísáme tuto hodnotu jao podíl 300 a 790.

6 1.2.5 Zjstěte za předchozích podmíne, zda náhodné jevy A a C resp.b a D jsou nezávslé. Použjeme rovnost (1.6) pro nezávslé náhodné jevy A a C platí A C) = A). C). V našem případě je A C) = 410 / 710 = 0,577, A) = 820 / 1500 = 0,547; C) = 710/1500 = 0,473. Poud by měl být náhodné jevy nezávslé musí platt (1.6), ale A).C) = 0,259. Náhodné jevy A a C nejsou tedy nezávslé. Postupujme obdobně u náhodných jevů B a D. B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523 ; = 680 / 1500 = 0,453. Zjstěme tedy hodnotu. D) = 0,523. 0,453 =0,237. Náhodné jevy B a D nejsou nezávslé. 1.3 Věta o úplné pravděpodobnost a Bayesův vzorec Vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost sam o sobě nemají velý význam, jejch využtí př výpočtech je velm důležté právě pro exstenc tvrzení typu Bayesova vzorce resp. Věty o úplné pravděpodobnost. Věta o úplné pravděpodobnost Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A.Potom Důaz: n = 1 B =1 A) = B ). ) (1.8) n B =1 B Protože platí A, platí tato nluze A ( A B ) A. = 1 Pravděpodobnost je podle poznámy II. na onc této aptoly monotóní tedy platí n A) = A B ) = B ). B ). = 1 = 1 Q.E.D. n Pro platnost tohoto tvrzení je podstatné, že systém náhodných jevů B je vzhledem náhodnému jevu A úplný tj. aždý prve množny A se nachází v právě jedné množně B. Nechť A je náhodný jev nutnost jsté opravy určtého typu automoblu. Pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu do dvou let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1; pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu od 2 do 7 let ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,5; v ostatních případech ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,75. Pravděpodobnost, že automobl tohoto typu bude patřt do těchto supn jsou B 1 ) = 0,3 ; B 2 ) = 0,5 ; B 3 ) = 0,2. Zjstěte pravděpodobnost této opravy tohoto typu automoblu. Náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Pro využtí předchozího tvrzení je ještě třeba znát podmíněné pravděpodobnost oprav v jednotlvých ategorích stáří automoblu, protože je ale známe můžeme přímo dosazovat do vzorce (1.8) A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,3 + 0,5. 0,5 + 0,75. 0,2 = 0,43 n

7 Pravděpodobnost opravy je tedy 43 %. V průzumovém dotazníu byla položena jstá otáza a zoumala se ladná odpověď na n ( náhodný jev A ). Pravděpodobnost ladné odpověd u respondenta ve věu maxmálně do 18 let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1 ; pravděpodobnost ladné odpověd u osoby v reprodučním věu ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,3 ; pravděpodobnost u osoby v postreprodučním věu ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,4. Pravděpodobnost jednotlvých náhodných jevů B jsou rovny B 1 ) = 0,25 ; B 2 ) = 0,60 ;B 3 ) = 0,15. Zjstěte pravděpodobnost ladné odpověd v dané společnost. Podobně jao v předchozím případě ověříme, že náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Použjeme opět vztah (1.8). A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,25 + 0,3. 0,6 + 0,4. 0,15 = 0,265 Pravděpodobnost ladné odpověd v celé společnost je 26,5%. Druhým velm významným tvrzením je Bayesova věta, terá určuje jaým způsobem lze počítat tzv. podmíněné pravděpodobnost B / A) náhodného jevu B za podmíny, že nastal náhodný jev A, jestlže známe aprorní pravděpodobnost B ) a podmíněné pravděpodobnost A / B ). Přesněj Bayesova věta Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A, A) > 0. Potom = 1 B =1 B j ). B j ) B j / A) = n (1.9). B ). B ) Důaz: Podle podmíne tvrzení má B j / A ) smysl. Využjeme vztahy (1.4) a (1.8.). Čtatel ve zlomu (1.4) je roven B j A), což je podle (1.5) rovno právě A / B j ). B j ). Jmenovatel ve zlomu (1.9) zjstíme přesně podle tvrzení Q.E.D. Pravděpodobnost hypotéz před provedením náhodného pousu B j ) se nazývají pravděpodobnost a pror a pravděpodobnost hypotéz po provedení náhodného pousu B j / A) se nazývají pravděpodobnost a posteror. Jeden ze tří střelců vystřelí a zasáhne cíl. Pravděpodobnost zásahu př jednom výstřelu je pro prvého střelce 0,3, pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete pravděpodobnost, že střílel druhý střelec. Označíme postupně A 1 náhodný jev zasáhl 1. střelec; A 2 náhodný jev zasáhl 2. střelec; A 3 náhodný jev zasáhl 3. střelec. Označme dále jao náhodný jev A cíl byl

8 zasažen. Jstě platí B /A 1 ) = B /A 2 ) = B /A 3 ) = 1. Chceme vypočítat B 2 / A ), tedy podle (1.9) je 1.0,5 0,5 P ( B 2 / A) = = = 0, , , ,8 1,6 Výrobce barometrů zjstl testováním velm jednoduchého modelu, že občas uazuje nepřesně. Za deštvého počasí uazuje v 10% jasno a za jasného počasí uazuje déšť ve 30% případů. V září je u nás zhruba 40% dní deštvých. Předpoládejme, že barometr uazuje dne na deštvo. Jaá je pravděpodobnost, že bude sutečně pršet? Pousíme se provést řešení této úlohy pomocí grafcé metody, znázorníme všechny možnost do tzv. Vennova dagramu. Obráze 1.3 Na barometru jasno Na barometru deštvo 60% 42% 18% Sutečně jasno 40% 4% 36% Sutečně deštvo Budeme l tedy vycházet z obrázu 1.3 bude pravděpodobnost, že sutečně prší za předpoladu, barometr uazuje déšť rovna podílu 0,36 / 0,4 = 0,9. Odpověď: Hledaná pravděpodobnost je rovna 90%. 1.4 Záladní pojmy ombnatory V této část budeme předpoládat, že vešeré množny, s terým budeme pracovat jsou onečné. Pojem 1 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden právě jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací ( nebo počtem permutací bez opaování ) množny A. Tento počet n) = n! ( součn všech přrozených čísel od 1 do čísla n ). Ve supně 6 studentů chceme zjstt počet všech možných pořadí přhlášení na zoušu. Student se na zoušu hlásí 1x tedy hledáme počet permutací tedy 6) = 6! = 120. Student se můžou přhlást celem 120 možným způsoby. Pojem 3

9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací s opaováním nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání se aždý prve může opaovat 0 až n rát. Celový počet prvů taovéhoto uspořádání je roven n. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací s opaováním množny A. Tento počet P (n) = n n. Podržme zadání stejné jao v předchozím případu. Zjstěme jaý počet různých uspořádání je možné nalézt za těchto podmíne. Řešení : Podle předchozího je tento počet roven P (6) = 6 6 = V tomto případě se student mohou přhlást celem způsoby. Pojem 5 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání záleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n! V n = = n.( n 1)...( n + 1) ( n )! Určete počet všech přrozených čísel menších než 500, v jejchž zápsu jsou pouze číslce 4, 5, 6, 7, a to aždá nejvýše jednou. Počet jednomístných přrozených čísel je roven počtu varací první třídy ze čtyř prvů; pro dvojmístná přrozená čísla je počet roven varacím druhé třídy ze čtyř a onečně jedná trojmístná přrozená čísla, terá splňují zadání jsou čísla začínající 4, jejch počet je tedy roven počtu varací bez opaování druhé třídy ze čtyř prvů. Celově tedy bude ! 4! 3! x = V1 + V2 + V2 = + + = = 22. (4 1)! (4 2)! (3 2)! Podmíny splňuje 22 přrozených čísel. Pojem 7 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy s opaování nazveme lbovolné členné uspořádání prvů množny A taové, že v tomto uspořádání záleží na pořadí prvů a aždý prve uveden nejvýše jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven ' n V = n Předpoládejme, že první dva znay SPZ automoblu v naší republce se sládají ze dvou znaů abecedy, a zbylých pět členů ombnace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ. První část se sládá z dvojce písmen ( je jch 26 ), terá mohou lbovolně opaovat, přčemž záleží na pořadí ( jde o uspořádanou dvojc ). Celově jch je tedy jao počet varací s opaováním druhé třídy z 26 prvů. Druhá část SPZ je tvořena uspořádanou pětcí čísel, jejch počet je roven počtu varací s opaováním 5 třídy z 10 prvů. Celový počet znače je proto roven : x = V ' 2. V ' 5 = =

10 Pojem 9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n n n! C = ( ) =!.( n )! Zjstěte počet možností výběru správné šestce př hře sporta. Celový počet těchto šestc je roven počtu ombnací šesté třídy z 49 prvů. 49! 49! x = ( 49 6 ) = = = = = !.(49 6)! 6!.43! Pojem 11 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy s opaováním nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše rát a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven n+ 1 n+ 1 ( n + 1)! C' = =!.( n 1)! Hra domno představuje soubor oste, z nchž je aždá osta rozdělena na dvě polovny a aždá polovna je samostatně označena body 0 až 8. Každá osta se ve hře vysytuje pouze jednou. Určete počet oste jedné hry. Jde o ombnace druhé třídy s opaováním z devít prvů ( nezáleží nám na pořadí výběru dané dvojce, prvy se mohou opaovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše uvedeného vztahu je počet oste jedné hry roven ! C ' 2 = = = = !.8! 2

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy Vysoorychlostní železnice úspěchy a výzvy Dr. Gunter Ellwanger, ředitel pro vysoorychlostní železnice, Mezinárodní železniční unie Vysoorychlostní vlay přiláaly na železnici nové cestující především na

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE Brno 2002 Igor Potúče PROHLÁŠENÍ: Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně pod vedením Ing. Martina

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ as e studiu apitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této apitoly budete umt použít záladní pojmy ombinatoriy vztahy pro výpoet ombinatoricých úloh - 6 - 0.1 Kombinatoria

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

2. STAVBA PARTPROGRAMU

2. STAVBA PARTPROGRAMU Stavba partprogramu 2 2. STAVBA PARTPROGRAMU 2.1 Slovo partprogramu 2.1.1 Stavba slova Elementárním stavebním prvem partprogramu je tzv. slovo (instruce programu). Každé slovo sestává z písmene adresy

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

3. SIMULTÁNNÍ REAKCE

3. SIMULTÁNNÍ REAKCE 3. IMULTÁNNÍ REKCE 3. Protsměrné (vratné) reae... 3.. Reae, obě ílčí reae prvého řáu... 3.. Reae D E, D, D E...4 3..3 Kneta & termoynama (vratné reae & hemá rovnováha)...4 Příla 3- Protsměrné reae...6

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

raději na přednáškách a cvičeních předkládal několik interpretací a ukazoval jsem, zda je změna interpretace podstatná.

raději na přednáškách a cvičeních předkládal několik interpretací a ukazoval jsem, zda je změna interpretace podstatná. ! " #%$&(' )+*,.-/-10 Tento učební text začal vzniat v létě rou 1994, dy jsem poprvé přednášel Složitost a NP-úplnost. Přednáša byla inspirována především nihou [1] Structural Complexity I. Značnou část

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost 6. Pravděpodobnost a statistika 6.1. Pravděpodobnost Pravděpodobnost (hovorově šance; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčíslující jistotu resp. nejistotu výskytu určité události. K pojmu

Více

PENZIJNÍ PLÁN A STATUT. ČSOB Penzijního fondu Stabilita, a. s., člena skupiny ČSOB

PENZIJNÍ PLÁN A STATUT. ČSOB Penzijního fondu Stabilita, a. s., člena skupiny ČSOB PENZIJNÍ PLÁN A STATUT ČSOB Penzijního fondu Stabilita, a. s., člena supiny ČSOB ČSOB Penzijní fond Stabilita, a. s., člen supiny ČSOB STATUT Článe 1 Úvodní ustanovení 1. Obchodní fi rma: ČSOB Penzijní

Více

Ústřední komise Fyzikální olympiády, Univerzita Hradec Králové, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové

Ústřední komise Fyzikální olympiády, Univerzita Hradec Králové, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové č Čs čas fyz 6 () 67 Tepelné záření v teoreticých i experimentálních úlohách MEZINÁRODNÍ FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral Ústřední omise Fyziální olympiády, Univerzita Hradec Králové,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU ŘÍZENÍ OTÁČEK AYNCHONNÍHO MOTOU BEZ POUŽITÍ MECHANICKÉHO ČIDLA YCHLOTI Petr Kadaník ČVUT FEL Praha, Techncká 2, Praha 6 Katedra elektrckých pohonů a trakce e-mal: kadank@feld.cvut.cz ANOTACE V tomto příspěvku

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

PENZIJNÍ PLÁN A STATUT

PENZIJNÍ PLÁN A STATUT PENZIJNÍ PLÁN A STATUT ČSOB Penzijního fondu Progres, a. s., člena supiny ČSOB 7.PP ČSOB Penzijní fond Progres, a. s., člen supiny ČSOB STATUT Článe 1 Úvodní ustanovení 1. Obchodní fi rma: ČSOB Penzijní

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

APLIKACE NÁSTROJE PASW SPSS 18.0 BASE V TRŽNÍ

APLIKACE NÁSTROJE PASW SPSS 18.0 BASE V TRŽNÍ Úvod a záměr práce APLIKACE NÁSTROJE PASW SPSS 18.0 BASE V TRŽNÍ SEGMENTACI Autor: Mgr. Ing. David Vít Faulta eletrotechnicá ČVUT v Praze, atedra eonomiy, manažerství a humanitních věd 1. Úvod a záměr

Více

PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO

PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO 112 PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO Systém tísňových volání je v České republce propracovaný. Máme čtyř národní telefonní čísla tísňového volání na: 150 - Hasčský záchranný

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

DIFRAKCE SVTLA. Rozdlení ohybových jev. Ohybové jevy mžeme rozdlit na dv základní skupiny:

DIFRAKCE SVTLA. Rozdlení ohybových jev. Ohybové jevy mžeme rozdlit na dv základní skupiny: DIFRAKCE SVTLA V paprsové optice jsme se zabývali opticým zobrazováním (zrcadly, oami a jejich soustavami). Pedpoládali jsme, že se svtlo šíí pímoae podle záona pímoarého šíení svtla. Ve sutenosti je ale

Více

Bezporuchovost a pohotovost

Bezporuchovost a pohotovost Bezporuchovost a pohotovost Materály z 59. semnáře odborné skupny pro spolehlvost Konaného dne 24. 2. 205 Česká společnost pro jakost, ovotného lávka 5, 6 68 raha, www.csq.cz ČJ 205 Obsah: Ing. Jan Kamencký,

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Dekompoziční analýza příjmové nerovnosti v České republice

Dekompoziční analýza příjmové nerovnosti v České republice Deompoziční analýza příjmové nerovnosti v Česé republice Zdeňa MALÁ, Gabriela ČERVENÁ, Czech University of Life Sciences in Prague i Abstract The paper focuses on an analysis of income inequality of population

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

Schválení Vruty EASYfast 8-12 mm, technické schválení pro izolační systémy

Schválení Vruty EASYfast 8-12 mm, technické schválení pro izolační systémy Schválení Vruty EASYfast 8-1 mm, technicé schválení pro izolační systémy Jazyy / Languages: cs BERNER_78156.pdf 013-07-5 Z-9.1-619 pro tesařsé vruty EASYfast 8,0 1,0 mm Všeobecné stavebně technicé schválení

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2010 Mchal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví Katedra veřejných fnancí Studjní obor: Fnance Analýza

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více