1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti"

Transkript

1 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je většna výsledů lascé fyzy ( výpočet hmotnost, rychlost, teploty ), cheme( stavové rovnce). Přesto se v procesu vývoje ldsé společnost postupně objevovaly jevy, jejchž přesný výslede nebylo možno určt jao první jsou uváděny lascé hazardní hry jž v raném středověu ( vrhcáby nebol hod ostou nebo ostam, aretní hry ). Taovýchto případů stále přbývalo doonce v exatních vědách. Začalo mít proto smysl se jm důladněj zabývat. Matematcou nterpretací taovýchto jevů se zabývá obor teore pravděpodobnost. Jedním ze záladních pojmů teore pravděpodobnost je náhodný pous. Je to děj, terý je možno lbovolněrát opaovat ( alespoň hypotetcy ), přčemž výsledy taovýchto dějů nejsou jednoznačně určeny vstupním podmínam. Podle taovéhoto popsu jsou dříve uvedené přílady hodu ostou, hraní aret jednoduchým případy náhodných pousů. Nás nebude zajímat vlastní provádění náhodných pousů, ale především výsledy taovýchto dějů. To nás samozřejmě vede pojmu náhodného jevu. Náhodným jevem budeme rozumět lbovolný výro (tvrzení )o výsledu náhodného pousu, o terém lze po provedení náhodného pousu prohlást za je č není pravdvé. V tomto textu budeme náhodné jevy označovat zásadně velým písmeny abecedy. y taovýchto náhodných jevů může být padnutí čísla 3 př hodu ostou, vylosování čísle př tahu sporty, pohlaví narozeného dítěte, přítomnost elementární částce na daném místě, odpověď na otázu v dotazníu atd. Všechny možné výsledy náhodného pousu ( např. hodu ostou ) budeme dále označovat symbolem Ω a nazývat záladní množnou. Jestlže provádíme hod ostou je záladní množnou Ω ={1,2,3,4,5,6}. V případě, že množna Ω je onečná nebo spočetná mluvíme o tzv. lascé teor pravděpodobnost ( podrobnost jsou uvedeny v poznámce I. a II. na onc této aptoly ).. Představme s, že budeme postupně zoumat produc určtého výrobu přímo na onc výrobní lny. Symbolem A označíme náhodný jev výrobe je valtní, symbolem A výrobe je nevaltní. Budeme s delší časovou perspetvou zaznamenávat postupně náhodné jevy A a A ta ja budou výroby vyráběny. O povaze náhodného jevu A nebude vypovídat počet realzací A, ale bude mít smysl zjšťovat jaý je podíl valtních výrobů na celé výrobě. Celový objem valtních výrobů označujeme v teor pravděpodobnost a statstce jao absolutní četnost valtních výrobů a podíl valtních výrobů na celovém množství výrobů jao relatvní četnost valtních výrobů V dále uvedeném grafu můžeme pozorovat přblžování hodnoty relatvní četnost náhodného jevu A př zvětšování počtu náhodných pousů určtému číslu. Toto číslo můžeme za daných podmíne sutečně tomuto jevu jednoznačně přřadt a nazýváme ho pravděpodobností náhodného jevu A. Způsob zavedení pojmu pravděpodobnost je v tomto případě netradční jde o tzv. statstcý přístup. Na záladě obrázu 1.1 provedeme tedy onstruc pravděpodobnost náhodného jevu A ( dále A) ), zároveň uveďme jaé jsou záladní vlastnost taovéhoto pojmu pravděpodobnost : 1. Pravděpodobnost A) nabývá hodnot mez 0 a 1. Náhodný jev, pro terý je A) = 0 nazýváme jev nemožný ; jestlže A) = 1 nazýváme náhodný jev jao jev jstý.

2 2. Př provádění náhodného pousu mnohorát ( 1000x, 10000x atd. ) je určté, že relatvní četnost výsytu náhodného jevu se nemusí rovnat ( a většnou taé nerovná ) hodnotě A), bude se od ní vša jen nepatrně lšt. 3. Jestlže tedy budeme chtít ověřt, zda náhodný jev je č není jstý je možné opaovat mnohorát náhodný pous, poud je výslede jen nepatrně odlšný od jedné ( menší než jedna ) je pratcy zřejmé, že př jedném náhodném pousu náhodný jev nastane. Podobné tvrzení lze uvést o jevu nemožném. 4. Taovýto přístup tvorbě pravděpodobnost je možný jen tam, de můžeme sutečně reálně opaovat náhodné pousy a výsledy nterpretovat jao pravděpodobnost, selže tam, de by opaování bylo možné, ale z určtých důvodů nemožné. Proto se teore pravděpodobnost většnou jao matematcá teore buduje axomatcy vz [1] nebo poznáma I. na onc této aptoly. Relatvní četnost valtních výrobů 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0, počet výrobů Poud bychom se zabýval naším onrétním případem dále a prováděl šetření něol dní mohl bychom zísat napřílad výslede uvedený v tabulce 1.1. Údaje, teré jsou v tabulce uvedeny podporují grafcé výsledy, lze z nch tedy usuzovat, že pravděpodobnost vyrobeného výrobu se nemění a je rovna přblžně 0,957. Den Počet vyrobených výrobů Relatvní četnost valtních výrobů , , , , , , ,951

3 ,957 Celem , Záony pro prác s náhodným jevy a pravděpodobnostm Př pratcé prác se většnou setáváme s úoly, teré závsí často na více než na jednom náhodném jevu. Napřílad př určté odpověd v dotazníu sledujete zároveň tuto odpověď, ale zároveň j onfrontujete s fatem pohlaví respondenta. Proto je důležté se zabývat artmetou záonů teore pravděpodobnost. Budeme tedy dále uvádět jsté defnce záladních pojmů. Jev opačný náhodnému jevu A je náhodný jev B taový, že nastává právě tehdy, dyž náhodný jev A nenastává. : A př hodu ostou padne 6; jev B př hodu ostou padnou buď 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5. Jevy A a B se nazývají neslučtelné, jestlže nemohou oba nastat součastně. Bude l náhodným jevem A např. padnutí 6, B může být např. náhodný jev padnutí lchého čísla. Důležté je, že pro dva náhodné jevy A a B platí, že sjednocení ( sečtení ) náhodných jevů A a B je taé náhodný jev C = A U B. Tento náhodný jev tedy nastává právě tehdy, dyž nastává aspoň jeden z náhodných jevů A, B. Podle poznámy I. na onc této aptoly je náhodným jevem doonce lbovolné onečné nebo spočetné sjednocení náhodných jevů. Podobně pro dva náhodné jevy A a B platí, že průn náhodných jevů A,B je opět náhodný jev C = A B.Tento náhodný jev nastává právě tehdy, dyž nastávají oba náhodné jevy A, B součastně. Podobně jao u předchozího případu platí, že onečné nebo spočetné průny náhodných jevů jsou opět náhodné jevy : Náhodný jev A nastává př hodu ostou, jestlže padne 3 nebo 6. Náhodný jev B nastane, jestlže padne sudé číslo. Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A B = {6}. Pro vlastní výpočty pravděpodobností jstých stuací je důležté se naučt pracovat s hodnotou pravděpodobnost náhodného jevu jao s určtou mírou, terá má jsté vlastnost : A. I. Vlastnost doplňu. Nechť A je náhodný jev a B je jev opačný náhodnému jevu Potom platí B ) = 1 A ) (1.1) II. Vlastnost sjednocování. Jestlže náhodné jevy A, B jsou neslučtelné, potom platí A U B ) = A ) + B ) (1.2) Přesné nformace nalezne čtenář buď v poznámce I. na onc této aptoly nebo v [1]. Z těchto vlastností můžeme odvodt jednu velm důležtou nformac o obecné hodnotě pravděpodobnost sjednocení č průnu dvou náhodných velčn. Tvrzení Nechť A, B jsou náhodné jevy potom platí A U B ) = A ) + B ) A B ) (1.3) Důaz: Provedeme obrázem 1.2

4 A U B A A» B B Z obrázu je zřejmé, že sjednocení náhodných jevů A a B je možno upravt na sjednocení tří neslučtelných náhodných jevů. Poud tedy sečteme pravděpodobnost náhodných jevů A a B je výslede nutně větší o pravděpodobnost průnu těchto náhodných jevů, neboť ten se vysytuje v obou náhodných jevech součastně, počítal bychom ho tedy dvarát poračování Počítáme pravděpodobnost nyní nol pomocí statstcé defnce pravděpodobnost, ale pomocí defnc uvedených v poznámce I. na onc této aptoly. A ) = 2 / 6 = 0,33 ; B ) = 3 / 6 = 0,5. A B ) = 1 / 6 = 0,167 ; A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 nebo podle (1.3) A U B ) = 0,33 + 0,5-0,167 = 0,67 Př řešení něterých onrétních stuací nás nezajímá přímo otáza pravděpodobnost určtého náhodného jevu A, ale řešíme stuac výsytu náhodného jevu A za podmíny, že zároveň nastal určtý náhodný jev B ( předpoládáme, že jev B není nemožný ). Napřílad nás mohou zajímat odpověd na určtou otázu v dotazníu za předpoladu, že respondent byl muž. Pro řešení taovýchto stuací byl vymyšlen celý matematcý aparát tzv. podmíněných pravděpodobností. Prncpální myšlenou je zahrnout do výpočtu pravděpodobnost ( podmíněné ) jevu A jen tu část, terá je společná oběma náhodným jevům. Proto nás nepřevapí následující defnce podmíněné pravděpodobnost jevu A vzhledem náhodnému jevu B( opět ne nemožnému ) jao A = (1.4). Z výrazu (1.4) můžeme odvodt pravděpodobnost průnu dvou náhodných jevů A a B pomocí podmíněné pravděpodobnost jao P ( A =. (1.5) PA ( = PB ( / APA ). ( ) (1.5 ) Zjstěte hodnotu podmíněné pravděpodobnost náhodného jevu A vzhledem náhodnému jevu B z příladu Hodnotu podmíněné pravděpodobnost zjstíme pomocí výsledů příladu Tedy A 0,167 = = = 0,33. 0,5 Toto číslo vyjadřuje relatvní četnost náhodného jevu A mez případy, dy zároveň nastal náhodný jev B. Pro vlastní prác s pojmem pravděpodobnost náhodného jevu je velm důležtý pojem nezávslost náhodných jevů ( dvojce náhodných jevů ). Intutvně cítíme, že jevy A a B

5 jsou nezávslé, jestlže výsyt jednoho náhodného jevu neovlvňuje výsyt druhého náhodného jevu. Bude tedy podstatné pro zoumání této vlastnost chování pravděpodobnost průnu náhodných jevů A a B. Matematcým vyjádřením této myšleny je to, že hodnota podmíněné pravděpodobnost jednoho náhodného jevu vůč druhému musí být rovna nepodmíněné pravděpodobnost. Tedy A / B ) = A ) nebo velm podobně B / A ) = B ). Odsud můžeme odvodt jný způsob defnce nezávslost náhodných jevů A a B : Defnce 1.1 Náhodné jevy A, B ( an jeden není nemožný ) nazveme nezávslé právě tehdy, dyž P ( A = A). (1.6) Defnc 1.1 o nezávslost náhodných jevů lze rozšířt na lbovolný počet nezávslých jevů A 1, A 2,,A. Označíme-l C jev, terý spočívá v současném výsytu těchto jevů, tj. C= A 1 A 2, A, potom pravdlo o násobení pravděpodobností má tvar C ) = A 1 A 2, A ) = A 1 ) A ) (1.7) V daném ročníu na gymnázu, terý má 240 žáů bylo hodnoceno v matematcé ompozc známou výborně 30 žáů, v ompozc z česého jazya celem 40 žáů. 5 žáů bylo hodnoceno známou výborně z obou ompozc. Zjstěte, zda náhodný jev být výborný z matematy je nezávslý na výborném hodnocení z česého jazya. Podle vzorce (1.6) nejdříve zjstíme příslušné odhady pravděpodobností jednotlvých náhodných jevů. Pravděpodobnost být výborný v matematce je tedy rovna 30 / 240 = 0,125 ; pravděpodobnost být výborný v česém jazyce je rovna 40 / 240 = 0,167; podle uvedených údajů je pravděpodobnost být zároveň výborný v obou předmětech rovno 5 / 240 = 0,021. Zjstíme, zda platí vztah (1.6): 0,125. 0,167 = 0,021. Oba náhodné jsou tedy nezávslé Po provedení průzumu názorů občanů ve vzoru 1500 ldí odpovědělo 820 respondentů ladně na otázu zda se jejch celová stuace zlepšla. Celový počet mužů ve vzoru byl 710. Na otázu záporně odpovědělo 600 ldí, z toho 300 mužů. Nechť A je náhodný jev celová stuace se zlepšla, B je náhodný jev celová stuace se nezlepšla, C je náhodný jev respondent je muž, D je náhodný jev respondent je žena. Určete odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) a B / D ). Abychom zísal odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) je nutné podle vzorce (1.4) postupně zjst hodnoty A C) a C).Náhodný jev A C obsahuje muže,u nchž se stuace zlepšla. Celový počet taovýchto mužů podle zadání je roven 410, celový počet mužů je roven 710, proto A C) = 410 / 1500 = 0,273; C).= 710 / 1500 = 0,473. Použjeme l vzorec (1.4) je C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Poud budeme počítat přímo, ta počet mužů splňující naše podmíny je roven 410 a celový počet mužů je 710, tedy počítejme ještě jednou podmíněná pravděpodobnost A C) = 410 / 710 = 0,577. Obdobně budeme postupovat v případě výpočtu B / D ). Nejdříve určíme počet prvů množny D ( žen ) ten je roven = 790 žen. Pro výpočet je podstatné zjštění počtu prvů B D tedy žen,teré nejsou spoojeny. Tento počet je roven 300. Tedy počítejme B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523, pro je B/D) = 0,2 / 0,523 = 0,382. Budeme l počítat přímo zísáme tuto hodnotu jao podíl 300 a 790.

6 1.2.5 Zjstěte za předchozích podmíne, zda náhodné jevy A a C resp.b a D jsou nezávslé. Použjeme rovnost (1.6) pro nezávslé náhodné jevy A a C platí A C) = A). C). V našem případě je A C) = 410 / 710 = 0,577, A) = 820 / 1500 = 0,547; C) = 710/1500 = 0,473. Poud by měl být náhodné jevy nezávslé musí platt (1.6), ale A).C) = 0,259. Náhodné jevy A a C nejsou tedy nezávslé. Postupujme obdobně u náhodných jevů B a D. B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523 ; = 680 / 1500 = 0,453. Zjstěme tedy hodnotu. D) = 0,523. 0,453 =0,237. Náhodné jevy B a D nejsou nezávslé. 1.3 Věta o úplné pravděpodobnost a Bayesův vzorec Vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost sam o sobě nemají velý význam, jejch využtí př výpočtech je velm důležté právě pro exstenc tvrzení typu Bayesova vzorce resp. Věty o úplné pravděpodobnost. Věta o úplné pravděpodobnost Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A.Potom Důaz: n = 1 B =1 A) = B ). ) (1.8) n B =1 B Protože platí A, platí tato nluze A ( A B ) A. = 1 Pravděpodobnost je podle poznámy II. na onc této aptoly monotóní tedy platí n A) = A B ) = B ). B ). = 1 = 1 Q.E.D. n Pro platnost tohoto tvrzení je podstatné, že systém náhodných jevů B je vzhledem náhodnému jevu A úplný tj. aždý prve množny A se nachází v právě jedné množně B. Nechť A je náhodný jev nutnost jsté opravy určtého typu automoblu. Pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu do dvou let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1; pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu od 2 do 7 let ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,5; v ostatních případech ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,75. Pravděpodobnost, že automobl tohoto typu bude patřt do těchto supn jsou B 1 ) = 0,3 ; B 2 ) = 0,5 ; B 3 ) = 0,2. Zjstěte pravděpodobnost této opravy tohoto typu automoblu. Náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Pro využtí předchozího tvrzení je ještě třeba znát podmíněné pravděpodobnost oprav v jednotlvých ategorích stáří automoblu, protože je ale známe můžeme přímo dosazovat do vzorce (1.8) A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,3 + 0,5. 0,5 + 0,75. 0,2 = 0,43 n

7 Pravděpodobnost opravy je tedy 43 %. V průzumovém dotazníu byla položena jstá otáza a zoumala se ladná odpověď na n ( náhodný jev A ). Pravděpodobnost ladné odpověd u respondenta ve věu maxmálně do 18 let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1 ; pravděpodobnost ladné odpověd u osoby v reprodučním věu ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,3 ; pravděpodobnost u osoby v postreprodučním věu ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,4. Pravděpodobnost jednotlvých náhodných jevů B jsou rovny B 1 ) = 0,25 ; B 2 ) = 0,60 ;B 3 ) = 0,15. Zjstěte pravděpodobnost ladné odpověd v dané společnost. Podobně jao v předchozím případě ověříme, že náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Použjeme opět vztah (1.8). A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,25 + 0,3. 0,6 + 0,4. 0,15 = 0,265 Pravděpodobnost ladné odpověd v celé společnost je 26,5%. Druhým velm významným tvrzením je Bayesova věta, terá určuje jaým způsobem lze počítat tzv. podmíněné pravděpodobnost B / A) náhodného jevu B za podmíny, že nastal náhodný jev A, jestlže známe aprorní pravděpodobnost B ) a podmíněné pravděpodobnost A / B ). Přesněj Bayesova věta Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A, A) > 0. Potom = 1 B =1 B j ). B j ) B j / A) = n (1.9). B ). B ) Důaz: Podle podmíne tvrzení má B j / A ) smysl. Využjeme vztahy (1.4) a (1.8.). Čtatel ve zlomu (1.4) je roven B j A), což je podle (1.5) rovno právě A / B j ). B j ). Jmenovatel ve zlomu (1.9) zjstíme přesně podle tvrzení Q.E.D. Pravděpodobnost hypotéz před provedením náhodného pousu B j ) se nazývají pravděpodobnost a pror a pravděpodobnost hypotéz po provedení náhodného pousu B j / A) se nazývají pravděpodobnost a posteror. Jeden ze tří střelců vystřelí a zasáhne cíl. Pravděpodobnost zásahu př jednom výstřelu je pro prvého střelce 0,3, pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete pravděpodobnost, že střílel druhý střelec. Označíme postupně A 1 náhodný jev zasáhl 1. střelec; A 2 náhodný jev zasáhl 2. střelec; A 3 náhodný jev zasáhl 3. střelec. Označme dále jao náhodný jev A cíl byl

8 zasažen. Jstě platí B /A 1 ) = B /A 2 ) = B /A 3 ) = 1. Chceme vypočítat B 2 / A ), tedy podle (1.9) je 1.0,5 0,5 P ( B 2 / A) = = = 0, , , ,8 1,6 Výrobce barometrů zjstl testováním velm jednoduchého modelu, že občas uazuje nepřesně. Za deštvého počasí uazuje v 10% jasno a za jasného počasí uazuje déšť ve 30% případů. V září je u nás zhruba 40% dní deštvých. Předpoládejme, že barometr uazuje dne na deštvo. Jaá je pravděpodobnost, že bude sutečně pršet? Pousíme se provést řešení této úlohy pomocí grafcé metody, znázorníme všechny možnost do tzv. Vennova dagramu. Obráze 1.3 Na barometru jasno Na barometru deštvo 60% 42% 18% Sutečně jasno 40% 4% 36% Sutečně deštvo Budeme l tedy vycházet z obrázu 1.3 bude pravděpodobnost, že sutečně prší za předpoladu, barometr uazuje déšť rovna podílu 0,36 / 0,4 = 0,9. Odpověď: Hledaná pravděpodobnost je rovna 90%. 1.4 Záladní pojmy ombnatory V této část budeme předpoládat, že vešeré množny, s terým budeme pracovat jsou onečné. Pojem 1 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden právě jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací ( nebo počtem permutací bez opaování ) množny A. Tento počet n) = n! ( součn všech přrozených čísel od 1 do čísla n ). Ve supně 6 studentů chceme zjstt počet všech možných pořadí přhlášení na zoušu. Student se na zoušu hlásí 1x tedy hledáme počet permutací tedy 6) = 6! = 120. Student se můžou přhlást celem 120 možným způsoby. Pojem 3

9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací s opaováním nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání se aždý prve může opaovat 0 až n rát. Celový počet prvů taovéhoto uspořádání je roven n. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací s opaováním množny A. Tento počet P (n) = n n. Podržme zadání stejné jao v předchozím případu. Zjstěme jaý počet různých uspořádání je možné nalézt za těchto podmíne. Řešení : Podle předchozího je tento počet roven P (6) = 6 6 = V tomto případě se student mohou přhlást celem způsoby. Pojem 5 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání záleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n! V n = = n.( n 1)...( n + 1) ( n )! Určete počet všech přrozených čísel menších než 500, v jejchž zápsu jsou pouze číslce 4, 5, 6, 7, a to aždá nejvýše jednou. Počet jednomístných přrozených čísel je roven počtu varací první třídy ze čtyř prvů; pro dvojmístná přrozená čísla je počet roven varacím druhé třídy ze čtyř a onečně jedná trojmístná přrozená čísla, terá splňují zadání jsou čísla začínající 4, jejch počet je tedy roven počtu varací bez opaování druhé třídy ze čtyř prvů. Celově tedy bude ! 4! 3! x = V1 + V2 + V2 = + + = = 22. (4 1)! (4 2)! (3 2)! Podmíny splňuje 22 přrozených čísel. Pojem 7 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy s opaování nazveme lbovolné členné uspořádání prvů množny A taové, že v tomto uspořádání záleží na pořadí prvů a aždý prve uveden nejvýše jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven ' n V = n Předpoládejme, že první dva znay SPZ automoblu v naší republce se sládají ze dvou znaů abecedy, a zbylých pět členů ombnace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ. První část se sládá z dvojce písmen ( je jch 26 ), terá mohou lbovolně opaovat, přčemž záleží na pořadí ( jde o uspořádanou dvojc ). Celově jch je tedy jao počet varací s opaováním druhé třídy z 26 prvů. Druhá část SPZ je tvořena uspořádanou pětcí čísel, jejch počet je roven počtu varací s opaováním 5 třídy z 10 prvů. Celový počet znače je proto roven : x = V ' 2. V ' 5 = =

10 Pojem 9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n n n! C = ( ) =!.( n )! Zjstěte počet možností výběru správné šestce př hře sporta. Celový počet těchto šestc je roven počtu ombnací šesté třídy z 49 prvů. 49! 49! x = ( 49 6 ) = = = = = !.(49 6)! 6!.43! Pojem 11 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy s opaováním nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše rát a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven n+ 1 n+ 1 ( n + 1)! C' = =!.( n 1)! Hra domno představuje soubor oste, z nchž je aždá osta rozdělena na dvě polovny a aždá polovna je samostatně označena body 0 až 8. Každá osta se ve hře vysytuje pouze jednou. Určete počet oste jedné hry. Jde o ombnace druhé třídy s opaováním z devít prvů ( nezáleží nám na pořadí výběru dané dvojce, prvy se mohou opaovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše uvedeného vztahu je počet oste jedné hry roven ! C ' 2 = = = = !.8! 2

4. Třídění statistických dat pořádek v datech

4. Třídění statistických dat pořádek v datech 4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

15 Mletí. I Základní vztahy a definice. Oldřich Holeček (aktualizace v roce 2014 Michal Přibyl & Marek Schöngut)

15 Mletí. I Základní vztahy a definice. Oldřich Holeček (aktualizace v roce 2014 Michal Přibyl & Marek Schöngut) 15 Mletí Oldřch Holeče (atualzace v roce 2014 Mchal Přbyl & Mare Schöngut) I Záladní vztahy a defnce I.1 Úvod Rychlost mnoha chemcých a fyzálních procesů závsí na velost mezfázového povrchu. Je-l v nch

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY. Disertační práce. 2006 Ing. Jan Fábry

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY. Disertační práce. 2006 Ing. Jan Fábry VYSOKÁ ŠKOLA EKOOMICKÁ V PRAZE FAKULTA IFORMATIKY A STATISTIKY Dsertační práce 2006 Ing. Jan Fábry Vysoá šola eonomcá v Praze Faulta nformaty a statsty atedra eonometre Dynamcé oružní a rozvozní úlohy

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1 ? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B. Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza

Více

Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dotazníkové šetření. Gabriela Kreislová

Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dotazníkové šetření. Gabriela Kreislová Faulta aplovaných věd Katedra ateaty Baalářsá práce Dotazníové šetření Plzeň, 008 Gabrela Kreslová Dotazníové šetření Abstrat Tato baalářsá práce popsuje nejdůležtější aspety dotazníového šetření. Věnuje

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika 9 Kombatora, teore pravděpodobost a matematcá statsta Te, do argumetue průměrým platem, e s velou pravděpodobostí vysoce adprůměrý vůl s hluboce podprůměrým vzděláím (Mloslav Drucmüller) 9. Kombatora Kombatora

Více

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické 1 Šifrování Kryptografie Každý z nás si určitě umí představit situaci, dy je důležité utajit obsah posílané zprávy ta aby ho byl schopen přečíst jen ten omu je určená a nido nepovolaný nebyl schopen zjistit

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II) DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

Fyzikální korespondenční seminář KTF MFF UK ročník VIII série V

Fyzikální korespondenční seminář KTF MFF UK ročník VIII série V Zadání Úloha V. 1... vesmírná atastrofa Tř planety o stejné hmotnost M = 10 6 g jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelnía o straně l = 100 Gm [ggametry]. Nemajíce počáteční rychlost nezbývá

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD K O N S T R U K E L I H O B Ž N Í K U 2 HOINY Než istouíš samotným onstrucím, zoauj si nejdíve vše, co víš o lichobžnících co to vlastn lichobžní je, záladní druhy lichobžní a jejich vlastnosti. ále si

Více

Ing. Barbora Chmelíková 1

Ing. Barbora Chmelíková 1 Numercká gramotnost 1 Obsah BUDOUCÍ A SOUČASNÁ HODNOTA TYPY ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ vs SLOŽENÉ ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ SLOŽENÉ ÚROČENÍ FREKVENCE ÚROČENÍ KOMBINOVANÉ ÚROČENÍ EFEKTIVNÍ ÚROKOVÁ MÍRA SPOJITÉ

Více

pracovní verze pren 13474 "Glass in Building", v níž je uveden postup výpočtu

pracovní verze pren 13474 Glass in Building, v níž je uveden postup výpočtu POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU NOSNÉ KONSTRUKCE ZE SKLA Horčičová I., Netušil M., Eliášová M. Česé vysoé učení technicé v Praze, faulta stavební Anotace Slo se v moderní architetuře stále

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211 10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem. HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace

Více