1.3.8 Množiny - shrnutí

Transkript

1 1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky (snžím se, by se psly n logicky uzvřené celky přibližně jednou z dv týdny nebo trochu řidčeji), kde je většinou nutné lámt stereotypy stejně jko v jiných oblstech. Typická česká písemk "n pokrytí" (známk v podsttě odpovídá poměru plochy poznámek v sešitě plochy poznámek v písemce bez ohledu n logickou ucelenost důležitost nebo plikci fktů) vede k tomu, že žáci se učí všechno nzpměť (včetně příkldů) čsto se ni nesnží logicky interpretovt. Následující hodin ( její ekvivlenty v dlších kpitolách) proto slouží k nácviku příprvy n písemku. Pokud vidíme smysl výuky v probrání mximálního možného počtu pozntků, je smozřejmě zbytečná (protože nic nového se žáci nedozvědí), podle mých zkušeností je jednou z hodin, které rozhodují o postoji žáků k mtemtice. "Nučit se něco" má jen málo společného s tím "zpmtovt si něco nzpměť". Jk se nučit množiny? V první fázi si musíme projít probrnou látku soustředit se n tři věci: důležité definice, znčení, prvidl, která potřebujeme k tom, bychom mohli vůbec něco řešit nebo počítt, zádrhele, chyby, které jsme dělli, když se látk probírl, míst, kde jsme měli tendenci pokrčovt šptným směrem, dobré rdy, postupy, které nám ulehčovly práci, snižovly prvděpodobnost, že se spleteme. Shrnutí množin Důležité znlosti Množinu zdáváme výčtem nebo chrkteristickou vlstností. Rovnost množiny (kždý prvek kždé množiny je prvkem i druhé množiny). Doplněk množiny A v množině tvoří prvky množiny, které nejsou v A. Průnik množin A,, tvoří prvky, které náleží oběm množinám typické "méně prvků". Sjednocení množin A,, tvoří prvky, které náleží lespoň jedné z nich typické "více prvků". Rozdíl množin A \ je množin prvků množiny A, které neptří do množiny. 1

2 A b c h d e f g Vennův digrm. Slovní úlohy ve třech fázích (množiny, sestvení rovnic, vyřešení soustvy zkreslení do digrmu). Intervly jsou speciální podmnožiny R. ( ; b do intervlu neptří, b ptří. Zádrhele Prázdná množin je podmnožin kždé množiny. Mezi ty, kteří vlstní uto nebo chtu, ptří i Ti, kteří mjí uto chtu njednou. Dobré rdy Překontrolovt zpětně výčet nebo chrkteristickou vlstnost. složitějších digrmů postupně šrfovt. Rovnice psát ihned vedle vět, nejdříve npst množství pk si rozmyslet, které je větší. Nkreslit intervly. Pedgogická poznámk: vedené shrnutí množin je mým pohledem, ve kterém částečně zohledňuji své zkušenosti s žáky (jejich chyby). Shrnutí by mělo být individuální, pokud možno stručné, nemělo by obshovt věci, které jsou zcel jsné. Největší smysl má, pokud ho žáci sestvují smosttně dom, ve škole se jenom rychle seství "společný kompromis" (s tím, že pro kždého je důležitější vlstní výtvor než stv n tbuli). Pokud chcete, by ho žáci dooprvdy udělli, nezbývá než ho dát povinně nesplnění úkolu trestt. V druhé fázi se pokusíme shrnutí zpmtovt (ne nzpměť, le podle smyslu). Ve třetí fázi potom testujeme své znlosti řešením příkldů. Pokud někde neuspějeme, musíme njít místo, kde se stl chyb (nepmtovl jsem si prvidlo, přehlédl jsem se, šptně jsem si to npsl,...), chybu vyřešit. Př. 1: rči průnik sjednocení intervlů ( ;2) 5 2;

3 5 7 ( ;2) 2; = ( ;2) 5 5 ;2 2; = 2; 7 7 ( ) Př. 2: rči výpisem doplněk množiny kluků ve třídě v množině žáků sedících v oddělení u okn. Doplněk množiny A v množině tvoří prvky množiny, které nejsou v A hledáme žáky, kteří sedí u okn nejsou kluci hledáme holky, které sedí u okn. Sumi, Sylv, Ktk, Ev Helen. Př. 3: Vypiš všechny podmnožiny množiny A { 0; π; 7} { 0; π ; 7} { 0;π }, { 0; 7 }, { π ; 7} { 0 }, { } π, { 7 } =. Př. 4: Njdi pomocí Vennov digrmu jiné vyjádření množiny ( A ) ( ). Postupně kreslíme. A A ( ) A ( ) ( A ) ( ) 3

4 A Získnou množinu můžeme zpst různými způsoby, npříkld pomocí sjednocení rozdělíme množinu n dvě části, které už zpíšeme. A A \. Jde o množinu ( ) ( ) Př. 5: rči průnik sjednocení intervlů ( 2; ), 9 1; 4 ( ; ; 1; ;2 = R 4 ( ) ( 9 2; 1; ;2 = 1;2 4 ( ) ( Př. 6: příslušníků mlého slovnského primitivního kmene ošol se vyskytují tři zjímvé ntomické znky: špičté uši, šestý prst n prvé ruce zelené rty. Zpiš pomocí rovnic písmenek z Vennov digrmu následující věty: ) špičté uši jsou u ošolů třikrát čstější než šestý prst, b) počet ošolů, kteří mjí pouze šestý prvý prst je o deset menší než počet těch kteří mjí pouze zelené rty, c) počet ošolů se zelenými rty nebo šestým prstem je o 3 větší než počet bošolů se 4

5 špičtým ušim, d) pouze desetin ošolů nemá žádný speciální ntomický znk. uši b c h d e f g prst rty ) špičté uši jsou u ošolů třikrát čstější než šestý prst + b + d + e = b + c + e + f 3( ) b) počet ošolů, kteří mjí pouze šestý prvý prst je o deset menší než počet těch kteří mjí pouze zelené rty c + 10 = g c) počet ošolů se zelenými rty nebo šestým prstem je o 3 větší než počet ošolů se špičtým ušim b + c + d + e + f + g = + b + d + e + 3 d) pouze desetin ošolů nemá žádný speciální ntomický znk. 10h = + b + c + d + e + f + g + h 5

6 Př. 7: čitel mtemtiky v 1. ročníku právě rozdl oprvenou písemku. Je to mskr. Z 24 studentů, kteří písemku psli 12 v duchu ndává n učitele kvůli příliš těžkému zdání, 13 studentů si vyčítá, že se n to před písemkou nepodívli. 8 studentů kromě vyčítání ještě přemýšlí o tom, jk známku dom vysvětlí rodičům. Studentů, kteří si vyčítjí znedbání příprvy při tom ndávjí n učitele, je 6. Ti, kteří vidí chybu jen v učiteli přemýšlí, co budou říkt dom, jsou dv. 18 studentů si vyčítá lenost nebo přemýšlí o výmluvách. Těch, kteří se zbývjí pouze tím, jk známku vysvětlí dom, je o jednoho méně než těch, kteří vidí pouze chybu v sobě situce dom je netrápí. Kolik studentů je spokojeno se svou známkou? Kolik jich jenom ndává n učitele? Kolik studentů reguje n známku právě dvěm způsoby? ndává b c h d e f g vyčítá si dom Z 24 studentů, kteří písemku psli + b + c + d + e + f + g + h = v duchu ndává n učitele + b + d + e = studentů si vyčítá, že se n to nepodívli b + c + e + f = studentů kromě vyčítání ještě přemýšlí o tom, jk známku dom vysvětlí rodičům e + f = 8. Studentů, kteří si vyčítjí znedbání příprvy při tom ndávjí n učitele, je 6 b + e = 6. Ti, kteří vidí chybu jen v učiteli přemýšlí, co budou říkt dom, jsou dv d = studentů si vyčítá lenost nebo přemýšlí o výmluvách b + c + d + e + f + g = 18. Těch, kteří se zbývjí pouze tím, jk známku vysvětlí dom, je o jednoho méně než těch, kteří vidí pouze chybu v sobě situce dom je netrápí g + 1 = c. Soustv rovnic. + b + c + d + e + f + g + h = 24 + b + d + e = 12 b + c + e + f = 13 e + f = 8 b + e = 6 d = 2 b + c + d + e + f + g = 18 g + 1 = c Zjednodušování rovnic. Dosdíme sedmou rovnici: h = 24 + h = 6. Dosdíme pátou rovnici: + d + 6 = 12 + d = 6. 6

7 Dosdíme čtvrtou rovnici: b + c + 8 = 13 b + c = 5. e + f = 8 b + e = 6 d = 2 Dosdíme třetí rovnici: d + g + 13 = 18 d + g = 5. g + 1 = c Do sedmé rovnice dosdíme d = 2 : 2 + g = 5 g = 3. Do osmé rovnice dosdíme g = 3: = c c = 4. Do čtvrté rovnice dosdíme c = 4 : b + 4 = 5 b = 1. Do šesté rovnice dosdíme b = 1: 1+ e = 6 e = 5. Do páté rovnice dosdíme e = 5: 5 + f = 8 f = 3. Do třetí rovnice dosdíme d = 2 : + 2 = 6 = 4. Do druhé rovnice dosdíme = 4 : 4 + h = 6 h = 2. Doplníme hodnoty do digrmu, ndává =4 b=1 c=4 h=2 d=2 e=5 f=3 g=3 vyčítá si dom Se svou známkou jsou spokojení 2 studenti. 4 studenti jenom ndávjí n učitele? Právě dvěm způsoby reguje 6 studentů. Shrnutí: čit se všechno nzpměť je nesmysl. 7