vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.

Transkript

1 POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou používány ikony brevné odlišení, jejichž význm nyní objsníme Průvodce studiem vás stručně seznámí s obshem dné kpitoly s její motivcí Slouží tké k instrukci, jk pokrčovt dál po vyřešení kontrolních otázek nebo kontrolních tetů Cíle vás seznámí s učivem, které v dné kpitole poznáte které byste po jejím prostudování měli umět Předpokládné znlosti shrnují stručně učivo, které byste měli znát ještě dříve než kpitolu zčnete studovt Jsou nezbytným předpokldem pro úspěšné zvládnutí následující kpitoly Výkld oznčuje smotný výkld učiv dné kpitoly, který je členěn způsobem obvyklým v mtemtice n definice, věty, přípdně důkzy Definice Zvádí zákldní pojmy v dné kpitole Vět Uvádí zákldní vlstnosti pojmů zvedených v dné kpitole Důkz: Vychází z předpokldů věty dokzuje tvrzení uvedené ve větě - 6 -

2 Pokyny ke studiu Poznámk neformálně komentuje vykládnou látku Řešené úlohy oznčují vzorové příkldy, které ilustrují probrné učivo Příkld Uvádí zdání příkldu Řešení: Uvádí podrobné řešení zdného příkldu Úlohy k smosttnému řešení obshují zdání příkldů k procvičení probrného učiv Úlohy oznčené ptří k obtížnějším jsou určeny zájemcům o hlubší pochopení témtu Výsledky úloh k smosttnému řešení obshují správné výsledky předchozích příkldů, slouží ke kontrole správnosti řešení Kontrolní otázky obshují soubor otázek k probrnému učivu včetně několik odpovědí, z nichž je vždy lespoň jedn správná Odpovědi n kontrolní otázky uvádějí správné odpovědi n kontrolní otázky - 7 -

3 Pokyny ke studiu Kontrolní test obshuje soubor příkldů k probrnému učivu Výsledky testu uvádějí správné odpovědi n příkldy kontrolního testu Litertur obshuje seznm knih, které byly použity při tvorbě příslušného tetu n které byly přípdně uvedeny odkzy k hlubšímu prostudování témtu Piktogrm, který upozorňuje n důležité vzthy nebo vlstnosti, které je nezbytné si zpmtovt - 8 -

4 INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kpitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivce elementárních funkcí prvidl pro derivování, jste schopni derivovt libovolnou funkci Možná Vás npdne, zd je možno z derivovné funkce nějkým způsobem získt původní funkci Opčnou opercí k derivování je integrce (nglické tety používjí termín ntiderivce) V této kpitole se seznámíte s pojmem primitivní funkce Množinu všech primitivních funkcí k dné funkci nzveme neurčitým integrálem Seznámíte se zákldními metodmi integrce (substituční metod metod per prtes) V závěru se budeme věnovt způsobům integrce některých vybrných druhů funkcí Primitivní funkce neurčitý integrál Cíle Seznámíte se s pojmem primitivní funkce neurčitý integrál funkce jedné proměnné Předpokládné znlosti Předpokládáme, že umíte dobře derivovt funkce jedné proměnné, že znáte tbulku derivcí elementárních funkcí Předpokládá se i zákldní znlost pojmu diferenciál funkce Výkld V kpitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Pro dnou funkci f ( ) dovedeme nlézt její derivci f ( ) = g( ) Věnujme se nyní opčné úloze Hledáme tkovou funkci F( ), by dná funkce f ( ) byl její derivcí, tj by pltilo F ( ) = f ( ) Tto funkce, pokud ovšem eistuje, se nejen v mtemtice hledá velmi čsto jmenuje se primitivní funkce Postup hledání primitivní funkce se nzývá integrování (opčná operce k derivování) Příkld Pro funkci derivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opčná úloh integrování F( ) f( ) = =, protože pltí F ( ) = = = f( ) - 9 -

5 Primitivní funkce neurčitý integrál Definice Říkáme, že funkce F( ) je v intervlu ( b, ) primitivní funkcí k funkci f ( ), pltí-li pro všechn ( b, ) vzth F ( ) = f ( ) Řešené úlohy Příkld Njděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervlu (,) Řešení: Hledáme funkci F( ), jejíž derivce se n intervlu (,) rovná Je zřejmé, že to bude nějký násobek funkce Po krátkém eperimentování zjistíme, že je to funkce F( ) =, neboť F ( ) = = = = ( ) se liší konstntou, primitivní k dné funkci Příkld Njděte primitivní funkci k funkci f ( ) f Podle věty budou i funkce, které = v intervlu (, ) Řešení: Jelikož všechny úvhy v řešení příkldu pltí pro libovolné reálné (, ), je řešením stejná funkce F( ) = Příkld Njděte primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intervlu (, ) n Řešení: Podobnými úvhmi dojdeme k tomu, že primitivní funkce má tvr F( ) n+ =, n + n pro všechn ) (,, protože Příkld 5 Njděte primitivní funkci k funkci Řešení: n+ n ( n+ ) n F ( ) = = = = f( ) n+ n+ f( ) = v intervlu (, ) Vidíme, že vzth uvedený v příkldu nelze použít pro n = Snžíme se njít funkci, jejíž derivcí je f( ) = = Z přehledu derivcí elementárních funkcí víme, - -

6 že touto funkcí je funkce F( ) ln, neboť = [ ] Příkld 6 Njděte primitivní funkci k funkci Primitivní funkce neurčitý integrál F ( ) = ln = = f( ) pro (, ) f( ) = v intervlu (,) Řešení: Podobnými úvhmi jko v předcházející části zjistíme, že primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,) je funkce F ( ) = ln = ln( ) Funkce F ( ) = ln je primitivní funkcí k funkci Avšk tké funkce f( ) = pro (,) (, ) F ( ) = ln + 5 bude primitivní funkcí k dné funkci, neboť pltí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protože derivce konstnty je rovn nule Je zřejmé, že tvrzení pltí nejen pro konstntu 5, le i pro libovolnou jinou konstntu C Vět Je-li F( ) primitivní funkce k funkci f ( ) v intervlu ( b, ), pk tké funkce F( ) + C, kde C je libovolná reálná konstnt, je primitivní funkcí k funkci f ( ) v intervlu ( b), ( b, ) ( ) ( ) ( ) Důkz: Jelikož n intervlu pltí [ F + C] = F = f dostneme podle definice uvedené tvrzení Poznámk K dné funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstntou Definice Množin všech primitivních funkcí k funkci f ( ) n intervlu ( b, ) se nzývá neurčitý integrál této funkce Píšeme: f ( d ) = F ( ) + C Poznámk - se nzývá integrční znk, - f ( ) je integrovná funkce (integrnd), - d je diferenciál integrční proměnné, - C je integrční konstnt - -

7 funkci Zákldní neurčité integrály Příkldy 5 6 bychom mohli v souldu s definicí formulovt: Integrujte f( ) = n dném intervlu Zápis: d Výsledek, který jsme získli (množin všech primitivních funkcí F ( ) = ln + C ), zpíšeme: d = ln + C Tento vzth pltí pro všechn, pro něž jsou příslušné funkce ( ln ) definovny, tj pro všechn V tkových přípdech čsto vynecháváme intervl, ve kterém prcujeme Zákldní neurčité integrály Operce integrování (tj operce určování primitivní funkce) derivování jsou nvzájem inverzní Z tbulky derivcí elementárních funkcí hned dostneme tbulku neurčitých integrálů (tb ) O správnosti uvedených vzthů se podle definice sndno přesvědčíme derivováním Tbulk Tbulk zákldních integrálů [] d = C [] d = + C n+ n [] d = + C n + [] d = ln + C [5] sin d = cos + C [6] cos d = sin + C [7] d = tg + C cos [8] d = cotg + C sin [9] pro >, n pro pro (k + ), k Z pro k, k Z d = rcsin + C pro (, ) [] d = rctg + C + [] d = + C ln pro >, - -

8 Zákldní neurčité integrály [] e d = e + C [] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [] = rctg + C + d [5] = rcsin + C pro > [6] f ( + b) d = F( + b) + C pro pro (, ), > Poznámk Eistují rozsáhlé tbulky, ve kterých lze nlézt množství dlších neurčitých integrálů K výsledkům můžeme dospět použitím prvidel metod integrce, které budou uvedeny v následující části Dnes všk tyto tbulky ztrácejí význm, neboť jsou dostupné mtemtické progrmy, které zvládnou integrci složitých funkcí (npř Derive, Mple, Mthemtic) N Internetu lze nlézt řdu online klkulátorů (npř dlší) Po zdání integrovné funkce je nlezen primitivní funkce Neurčité integrály z dlších funkcí lze získt různými integrčními metodmi Z prvidel pro derivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst z vlstnosti primitivní funkce okmžitě plyne: Vět Mjí-li funkce f ( ) g( ) n intervlu ( b, ) primitivní funkce, pk pltí: ( f ( ) ± g( )) d= f( d ) ± g( d ) cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst f ( d ) = f( ) + C Řešené úlohy (úprvou integrndu) Příkld Vypočtěte integrál + + d - -

9 Zákldní neurčité integrály Řešení: + + d = d+ d + d = + + ln C + Příkld Vypočtěte integrál ( ) d Řešení: ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C = + + C Příkld Vypočtěte integrál tg d Řešení: sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos + Příkld Vypočtěte integrál cotg d Řešení: ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin + (Použili jsme vzth [] z tbulky ) Příkld 5 Vypočtěte integrál Řešení: e + d e + e + ( e + )( e e + ) d = d = ( e e + ) d = e e C e + e Při úprvě čittele zlomku jsme použili vzth + b = ( + b)( b+ b ) Příkld 6 Vypočtěte integrál d

10 Řešení: d d d d = = = (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ) Zákldní neurčité integrály = d + rcsin = + C Použili jsme vzth [6] z tbulky + Poznámk I když všechny primitivní funkce k funkci f ( ) mjí ž n konstntu stejný tvr, může se stát, že při použití různých integrčních metod dostneme pokždé trochu jiný výsledek V tomto přípdě je vždy možno převést jeden tvr výsledku n druhý Npříkld první metodou dostneme tg d = + C Jinou metodou nám vyjde cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, neboť + tg = + = = cos cos cos Ob výsledky Kontrolní otázky Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci e Ke které funkci je funkce F( ) = (ln ) primitivní? Je funkce sin sin primitivní funkce k funkci Je funkce + primitivní funkce k funkci rctg?? Uveďte některé z nich cos? 5 Lze při výpočtu následujícího integrálu použít nznčený postup? + ( + ) d = d + d 6 Pltí e sin d = e d sin d? Úlohy k smosttnému řešení ) d) d b) d e) ( ) d c) + 8 d f) + d + d

11 ) ) ( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d e) d) ) 5 ) d + 9 b) d + + e) d b) ln d) sin + e d c) d c) cotg d f) d c) + d f) d c) rccos e) tg d f) 5 + 5cos + + d b) + d d) + + d Výsledky úloh k smosttnému řešení e) Zákldní neurčité integrály d sin cos cos d cos d + 7 d d + e d e + + ( + ) d cotg d cos 5 ) 5 + C; b) C; c) + C ; d) C; e) b) f) d) + +C f) rctg C + sin + C; c) tg cotg + C; d) tg+ C ) rctg + C ; b) + + ) + + C ; ln ln cos + C ; e) cotg + C; rctg + C ; c) rctg + C ; + + rctg + C ; e) rcsin + C ; f) rcsin + C ) ln ln + C ; 6 + ; c) ln ( ) b) ln rccos C + + C ; d) cos + e + C ; e) ln cos + C ; - 6 -

12 Zákldní neurčité integrály ( ) f) ln e + +C 5 ) c) rcsin + C ; d) 7 + 5sin + rctg + C; b) ln 7 + rctg + C ; e) tg 5+ C + rctg + C ; Kontrolní test Ke které funkci je funkce ) + rctg + + ( + ) = + + primitivní? F( ) rctg ln( ) 6 6, b) rctg, c) rctg +, d) ( + ) ( + ) Ke které funkci je funkce = primitivní? F( ) rcsine e ) e e e, b) e + e e e, c) e ( + e ), d) e Ke které funkci je funkce + e e F( ) ( ) ), b) = primitivní? ( + ), c), d) ( ) (+ ) Vypočtěte neurčitý integrál + d ) C + +, b) C, c) 9 + C, d) C - 7 -

13 Zákldní neurčité integrály 5 Vypočtěte neurčitý integrál ) ( ) d 6 ( ) + ( ) + C, b) ( ) ln + ( ) ln + C, c) + C, d) + + C ln ln ln ln 6 Vypočtěte neurčitý integrál ) + + d ln + C, b) 5 C 5 +, 5 c) ln + C, d) ln 6 + cos 7 Vypočtěte neurčitý integrál d + cos ) c) cotg C + +, b) + cotg + C, d) tg 8 Vypočtěte neurčitý integrál cotg d + C + tg + C, + + C ) cotg + C, b) tg + C, c) cotg + C, d) 9 Vypočtěte neurčitý integrál ) 8 d C, b) c) 8ln + C, d) + C sin C, + C - 8 -

14 Vypočtěte neurčitý integrál d 5 + ) rccos + C, b) rcsin + C, + c) rcsin + C, d) rccos + C Zákldní neurčité integrály Výsledky testu b); c); b); ); 5 c); 6 ); 7 b); 8 c); 9 d); c) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly znovu Shrnutí lekce V prvých dvou kpitolách jste se seznámili s pojmy primitivní funkce neurčitý integrál Operce integrování (tj operce určování primitivní funkce) derivování jsou nvzájem inverzní Tbulk obshuje přehled zákldních integrálů Doporučujeme vytisknout si tuto tbulku, neboť bude využíván v dlších kpitolách při integrci složitějších funkcí Všechny příkldy cvičení v kpitole vyřešíme tk, že integrovnou funkci uprvujeme, ž dostneme zákldní integrály uvedené v tbulce - 9 -

15 Integrce metodou per prtes Integrce metodou per prtes Průvodce studiem V předcházející kpitole jsme poznli, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých sčítnců (vět ) Součin funkcí už obvykle nelze integrovt jednoduše Problém je v tom, že neeistuje univerzální lgoritmus pro integrování součinu funkcí (to je podsttný rozdíl proti derivování součinu funkcí!) V některých přípdech lze integrovt součin funkcí metodou per prtes (čili po částech) Cíle Seznámíte se s principem integrce metodou per prtes se zákldními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dné funkci, znáte zákldní integrály uvedené v tbulce umíte vypočítt jednoduché integrály úprvou integrovné funkce (integrndu) Výkld Pro integrování součinu dvou funkcí f ( ) g( ) f ( ) g ( d ) = f ( d ) g ( d ) obecně nepltí!!! Avšk ze vzthu pro derivování součinu dvou funkcí ( u v) = u v+ u v dostneme u v = ( u v) u v odtud integrováním u v d = [ ( u v) u v ] d = u v u v d Vět (Integrování per prtes, čili po částech) Mjí-li funkce u ( ) v ( ) v intervlu ( b, ) spojitou derivci, pk v ( b, ) pltí u ( ) v ( ) d= u ( ) v ( ) u ( ) v ( d ) Poznámk Integrční metod se nzývá per prtes (po částech), neboť se integrál z funkce f ( ) = u ( ) v( ) vypočte jen zčásti Zbývá totiž vypočíst dlší integrál z funkce - -

16 Integrce metodou per prtes g ( ) = u ( ) v ( ) Integrování metodou per prtes vyžduje určitou prozírvost, bychom, pokud možno, volili funkce u ( ) v ( ) tk, by byl integrál g( ) d = u( ) v ( ) d jednodušší Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál ( + )cos d Řešení: Použijeme metodu per prtes, přičemž položíme u = cos, v = +, tkže u = sin, v = + Proto je ( + )cos d = ( + )sin ( + )sin d K výpočtu posledního integrálu opět použijeme metody per prtes, přičemž položíme u = sin, v= +, tkže u= cos, v = Dostneme ( + )sin d = ( + )cos + cos d = ( + )cos + sin + C Je tedy ( + )cos d = ( + )sin + ( + )cos sin + C Kdybychom v dném integrálu zvolili u = +, v= cos, bylo by u = + v = sin dný integrál bychom dostli ve tvru ( + ) cos d = + cos + + sin d, což je integrál složitější než původní Příkld Vypočtěte integrál ln d Pokud bychom stejně jko v úloze ) volili u = ln nás v tomto okmžiku obtížný Proto volíme, u =, v= ln, v =, dostneme u = ln d Tento integrál je všk pro - -

17 Integrce metodou per prtes tkže u =, v = ln d= ln d= ln + C 9 Pro jednoduché typy integrálů postupujeme podle následujícího schémtu: Jednoduché typy integrálů řešitelných metodou per prtes Je-li P ( ) polynom stupně n, pk u integrálů typu: P ( )sind, P ( )cosd, Ped ( ), P ( ) d položíme v = P( ), tkže v = P ( ), kdežto u integrálů typu: položíme P ( )ln d, P ( )rctgd, P ( )rccotgd, P ( )rcsin d, P ( ) rccos d u = P( ), tkže u = P( ) d, kde P ( ) je polynom stupně n (tedy i konstnt) Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál rctg d Řešení: Integrovnou funkci můžeme výhodně zpst ve tvru rctg = rctg u = v= rctg rctg d = = rctg d = rctg d u = v = = - -

18 = rctg ln( + ) + C Integrce metodou per prtes Při výpočtu druhého integrálu jsme použili vzth [] z tbulky Příkld Vypočtěte integrál e d Řešení: = = u e v e d= = e + e d= u = e v = u = e v= = = e e + e d e e e = u = e v = + C Příkld 5 Vypočtěte integrál n ln d Řešení: n u = v= ln n+ n n ln d= n+ = ln d u = v = n+ n+ n+ = n+ n+ n+ = ln + C = ln n + C + ( n + ) n+ n+ Speciálně pro n = dostáváme ln d = (ln ) + C Příkld 6 Vypočtěte integrál e cos( ) d Řešení: V tomto přípdě lze volit u = e K cíli všk povede i volb u = cos( ) u = e v= cos( ) e cos( ) d= = e cos( ) e sin( ) d = u = e v = sin( ) u = e v= sin( ) = = e cos( ) e sin( ) + e cos( ) d = u = e v = cos( ) - -

19 Integrce metodou per prtes e cos( ) + e sin( ) e cos( ) d Jestliže hledný integrál oznčíme symbolem I = e cos( ) d, dostáváme rovnici I = e cos( ) + e sin( ) I Z této rovnice vypočteme neznámou I 5I = e cos( ) + e sin( ), e I = e cos( ) + e sin( ) = [ sin( ) cos( ) ] + C 5 5 Poznámk Stejně jko v příkldu 6 se někdy stává, že při použití metody per prtes dostneme násobek hledného integrálu: f ( d ) = F( ) + k f( d ) (k je konstnt) Je-li k, lze hledný integrál vypočítt převedením integrálů n stejnou strnu rovnice Tedy ( k) f( ) d= F( ), odkud f ( d ) = F( ) + C k Kontrolní otázky Proč se integrční metod nzýván per prtes? Lze integrál e e d = e d e d rovná tento integrál? Jk by se podle věty vypočítl integrál typu u ( ) v ( ) d? počítt nznčeným způsobem? Čemu se Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu sin d? 5 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu 6 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu 7 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu ln d? ln d? 8 Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = výsledný integrál je e sin d? ln I = + C - -

20 9 Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = sin výsledný integrál je I = cos+ sin +C 9 Integrce metodou per prtes Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = výsledný integrál je I = ln ln + + C ) Úlohy k smosttnému řešení d) ) d) sin d b) ( + ) cosd c) cos d e d e) ( + ) e d f) ln d b) rctgd c) ln d ln d e) ln d f) rctgd ) ln d b) ln d c) rctg d d) rccotg d e) rcsin d f) rccos d ) e cos d b) e sin d c) cos d d) cos( ln ) d e) sin ( ln ) d f) e sin d 5 ) d) d b) sin ln ( cos ) d c) r ctg ( + ) cos rcsin d e) ln d f) e d ( + ) d d Výsledky úloh k smosttnému řešení ) ( ) cos+ sin+ C ; b) + sin + cos + C ; c) 6 sin + cos + C ; d) f) ln + + ln ) ln e + C ln + C ; e) ( ) ; b) ( ) e + + C; + rctg + C; c) ln + C; d) ln + + C ; e) ln ln + + C ; - 5 -

21 rctg + + C ) ln f) ( ) C c) rctg ln ( + ) +C; d) rccotg ln ( ) f) rccos Integrce metodou per prtes + ; b) ( ln ln ) + + C; C; e) rcsin + + C ; +C ) e ( sin cos ) b) e ( cos+ sin ) C + +C ; + ln cos ln sin + C ln + ; c) ( ) d) (cos( ln ) + sin ( ln ) ) + C; e) ( ( ) cos ( ln )) f) + sin ln + C; e sin + cos + C 5 ) ln sin cotg+ C ; 5 ( ) tg ln cos b) ( ) d) rcsin + +C; c) rctg ( ) ln ( ) +C ; e) ( ln ln 6ln 6) Kontrolní test C ; + + C ; f) e + C + ; Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = výsledný integrál je ) v ( ) = sin, b) v ( )= sincos, I = cos + sin + C 8 c) v ( ) = sin, d) v ( ) = sin Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = výsledný integrál je I = ln ln + + C ) v ( ) = ln, b) v ( )= ln, c) v ( ) = ln, d) v ( ) = ln Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu ) u =, v = rctg, b) u = rctg, v =, c) u =, v = rctg d) u = rctg, v = Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu, ) u = v= e, b) rctg d? d e?, u = v= e, c), u = v=, d) e u, v e = = - 6 -

22 5 Vypočtěte neurčitý integrál d cos ) cotg ln sin +C, b) tg + ln cos + C, c) tg ln cos 6 Vypočtěte neurčitý integrál + C, d) cotg + ln sin + C ln cos d sin ) cotg ln cos + C, b) cotg ln cos + + C, c) cotg ln cos + C, d) cotg ln cos + + C 7 Vypočtěte neurčitý integrál ) b) c) d) ( )sind ( + )cos ( )sin+ cos+c, ( )cos ( )sin+ cos+ C, ( + )cos + ( )sin cos+ C, ( + )cos + ( )sin+ cos+c 8 Čemu se rovná neurčitý integrál d? ) ln ln + C, b) ( ) + C, ln ln c) ln+ C, d) + + C ln ln 9 Čemu se rovná neurčitý integrál ln( d )? ) c) Integrce metodou per prtes ln( ) ( + ) +C, b) ln( ) + ( + ) + C, ln( ) + ( ) + C, d) + ln( ) + C - 7 -

23 Integrce metodou per prtes Čemu se rovná neurčitý integrál e sin d? ) c) e (sin + cos ) +C, b) 5 e (sin cos ) +C, d) e (sin cos ) + C, 5 e (cos + sin ) + C 5 Výsledky testu b); d); ); c); 5b); 6 ); 7 d); 8 b); 9 ); b) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu propočítt dlší úlohy k smosttnému řešení Shrnutí lekce Pro integrci součinu dvou funkcí f ( ) g( ) nelze nlézt obecnou formuli (n rozdíl od derivování součinu funkcí) Při integrci součinu funkce derivce jiné funkce lze čsto užít metodu per prtes (po částech) Nejčstěji je tto metod využíván při výpočtu integrálů typu P ( ) f( d ), kde P ( ) je polynomická funkce (může být i P ( ) = ) f ( ) je trigonometrická, eponenciální, logritmická nebo cyklometrická funkce Metod bude úspěšná, pokud zbývjící integrál bude jednodušší než integrál původní - 8 -

24 Integrce substitucí Integrce substitucí Průvodce studiem Integrály, které nelze řešit pomocí zákldních vzorců, lze velmi čsto řešit substituční metodou Vzorce pro derivce elementárních funkcí věty o derivci součtu součinu funkcí nám v kpitolách umožnily nlézt vzorce, resp metody pro výpočet některých neurčitých integrálů V této kpitole pro výpočet využijeme větu o derivci složené funkce Pomocí ní získáme větu, která nám poskytne jednu z nejdůležitějších nejčstěji používných metod integrování substituční metodu Připomínáme, že neeistuje univerzální návod, kdy substituční metodu použít, ni jkou substituci zvolit Doporučujeme pečlivě prostudovt tuto kpitolu propočítt si řešené úlohy Důležité je získt zkušenosti se substituční metodou smosttným řešením většího množství příkldů Cíle Seznámíte se s principem integrce substituční metodou se zákldními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dné funkci, znáte zákldní integrály uvedené v tbulce umíte vypočítt jednoduché integrály úprvou integrovné funkce (integrndu) Bude užíváno prvidlo pro výpočet derivce složené funkce, diferenciálu funkce jedné proměnné inverzní funkce Výkld Velmi čsto se vyskytují integrály typu ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d nebo integrály, které se djí n tento tvr uprvit Tento tvr má npříkld integrál sin( + ) d V tomto přípdě je f( u) = sinu, = ϕ( ) = +, tedy u = ϕ ( ) = u Všimněte si, že integrovná funkce má tyto vlstnosti: - Je součinem dvou funkcí f ( ( ) ) ϕ ϕ ( ) - 9 -

25 Integrce substitucí - První z nich je složená funkce s vnější funkcí f vnitřní funkcí ϕ Druhá je derivcí vnitřní funkce Předpokládejme, že funkce f( u ) je spojitá n intervlu ( α, β ) funkce u = ϕ( ) má derivci ϕ ( ) n intervlu ( b, ), nechť pro kždé ( b, ) pltí ϕ( ) ( α, β) (funkce ϕ ( ) zobrzuje intervl ( b, ) do intervlu ( α, β )) Protože funkce f( u ) je spojitá n intervlu ( α, β ), má n něm spojitou primitivní funkci Fu ( ), tkže pltí f ( u) = F ( u) Funkce Fu ( ) je n uvedeném intervlu složenou funkcí F( ϕ ), [ ] tedy pro derivci složené funkce pltí: F( ϕ( )) = F ( u) ϕ ( ) = f( u) ϕ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) To znmená (podle definice ), že funkce F( ϕ ( )) je primitivní funkcí k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ) n intervlu ( b, ) tedy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d= F( ϕ ( )) = F( u) = f( u) du Získný výsledek zformulujeme ve větě: Vět (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť Fu ( ) je primitivní funkce ke spojité funkci f( u ) n intervlu ( α, β ) Nechť má funkce u = ϕ( ) derivci ϕ ( ) n intervlu ( b, ) nechť pro kždé ( b, ) pltí ϕ( ) ( α, β) Potom je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ) n intervlu ( b, ) Tedy pltí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du Poznámk Vzorec ve větě si zpmtujeme velmi sndno V integrálu f ( ϕ( )) ϕ ( ) d položíme u = ϕ( ) (provedeme substituci) Diferencováním dostneme du = ϕ ( ) d Tkže z výrz ϕ ( ) d v dném integrálu můžeme formálně dosdit du - -

26 Tvrzení věty můžeme přehledně shrnout: Integrce substitucí Substituce typu ϕ ( ) = u f ϕ( ) ϕ ( ) d Máme vypočítt integrál typu ( ) Jsou-li splněny předpokldy věty, položíme (provedeme substituci) ϕ ( ) = u Diferencováním této rovnice dostneme ϕ ( ) d = du Dný integrál tedy převedeme n tvr f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du Postup bude úspěšný, pokud umíme vypočítt integrál f ( u) du Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál sin( + ) d Řešení: Je zřejmé, že pro všechn (, ) je d diferenciál funkce + Proto položíme u = + = ϕ( ), tedy du = d = ϕ ( ) d Funkce f( u) = sinu je spojitá pro všechn u (, ) má n tomto intervlu primitivní funkci Fu ( ) = cosu Jsou splněny předpokldy věty, proto pltí: sin( + ) d = sin udu = cos u + C = cos( + ) + C Příkld Vypočtěte integrál sin cos d Řešení: Je zřejmé, že pro všechn ) (, je cos d diferenciál funkce sin Proto položíme u = sin, potom du = cos d substituce: u sin sin cos d= u= sin = u du= + C = + C du = cos d Příkld Vypočtěte integrál f ( + b) d pro, (vzorec [6] v tbulce ) - -

27 Řešení: Integrce substitucí O pltnosti vzorce [6] v tbulce jsme se mohli sndno přesvědčit derivováním Ke stejnému výsledku můžeme dospět substitucí Je-li funkce ( α, β ), má n něm spojitou primitivní funkci n intervlu f( u) spojitá n intervlu Fu ( ) Vnitřní funkce u = ϕ( ) = + b má (, ) nenulovou derivci ϕ ( ) = pro, proto substituce: f ( + b) d = f ( + b) d = u = + b = f ( u) du = F( u) + C = F( + b) + C du = d Podle tohoto vzthu dostáváme: d = ln C ( + b = + 7= u ( ) 5 f( u) = ), u ( ) d = + C = ( ) + C ( + b = + = u 5 e d= e + C ( + b = = u f ( u) = e ) u f ( u) = u ), Příkld Vypočtěte integrál 5+ d Řešení: substituce: u = 5+ d= u = 5+ = 5+ d= udu = + C = u + C du = d ( ) = C Příkld 5 Vypočtěte integrál cotg d Řešení: substituce: substituce: cotg cotg cosu d = u = = d = cotgu du = du = t = sinu = sin u dt = cosudu du = d = dt = ln t + C = ln sinu + C = ln sin + C t - -

28 Integrce substitucí Místo druhé substituce bylo možno přímo použít vzorec [] v tbulce Příkld 6 Vypočtěte integrál sin d Řešení: Při výpočtu integrálu sin d se musíme omezit n nějký intervl, v němž se sin nikdy nerovná nule (pro jednoduchost npř n použijeme vzth sin α = sinα cosα (, )) Pro úprvu integrndu substituce: d = d = u = = du = du sin sin cos sin u sin cos u u cos u cosu du = d = = du pro u (, ) tgucos u Jelikož Dostneme cos u je derivce funkce tg u, provedeme substituci t = tgu (tedy t > ) substituce: d = du = t = tg u = dt = ln t + C = ln t + C = ln tg u C sin tgucos u t du dt = cos u + = = ln tg + C Výkld Podle věty jsme integrál ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d substitucí ϕ ( ) = u převedli n integrál f ( u) du V některých přípdech je vhodné zvolit opčný postup Máme vypočítt integrál f ( ) d Substitucí = ϕ() t (tedy d = ϕ () t dt ) se snžíme tento integrál převést n integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt, který může být jednodušší Otázkou - -

29 Integrce substitucí je, zd po nlezení primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) dovedeme njít primitivní funkci k funkci f( ) Je to možné, pokud vedle předpokldů věty ještě pltí: - funkce ϕ () t je n intervlu ( α, β ) ryze monotónní, - pro kždé t ( α, β ) je ϕ () t Z uvedených předpokldů k funkci = ϕ() t, t ( α, β ) eistuje inverzní funkce t = ϕ ( ) = ψ( ) pro ( b, ) tto inverzní funkce má derivci ψ ( ) = ϕ () t Je-li Gt () primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) n intervlu ( α, β ), pk pltí G () t = f ( ϕ()) t ϕ () t Složená funkce F( ) = G( ψ ( )) definovná n intervlu ( b), je n tomto intervlu primitivní funkcí k funkci f( ), protože podle věty o derivci složené funkce pltí: F ( ) = G () t ψ ( ) = f( ϕ()) t ϕ () t = f( ϕ()) t = f( ) ϕ () t Získný výsledek zformulujeme ve větě: Vět (Integrování substituční metodou = ϕ() t ) Nechť funkce = ϕ() t zobrzující intervl ( α, β ) n intervl ( b), je rostoucí, popř klesjící, n intervlu ( α, β ) má tm spojitou derivci ϕ () t nechť funkce t = ψ ( ) je inverzní funkce k funkci = ϕ() t n intervlu ( b, ) Je-li f( ) spojitá funkce n intervlu ( b, ) je-li Gt () primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) n intervlu ( α, β ), potom pro všechn ( b, ) pltí f ( d ) = f( ϕ()) t ϕ () t dt= Gt () + C= G( ψ( )) + C Tvrzení věty můžeme přehledně shrnout: Substituce typu = ϕ() t d Máme vypočítt integrál typu f ( ) Jsou-li splněny předpokldy věty, položíme (provedeme substituci) = ϕ() t Diferencováním této rovnice dostneme d = ϕ () t dt Dný integrál tedy převedeme n tvr - -

30 Integrce substitucí f ( d ) = f( ϕ ( t)) ϕ ( t) dt Postup bude úspěšný, pokud umíme vypočítt integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt Poznámk Při výpočtu integrálů substituční metodou obvykle počítáme podle vzorce z věty nebo, dokud nenlezneme primitivní funkci Obvykle teprve potom zkontrolujeme, zd jsou splněny předpokldy použité věty O správnosti výsledku se můžeme sndno přesvědčit derivováním nlezené primitivní funkce Řešené úlohy Příkld 7 Vypočtěte integrál d Řešení: Funkce = je spojitá pro (,) Zvedeme substituci = sint, f ( ) d = cost dt Je všk nutno omezit proměnnou tk, by bylo možno nlézt funkci inverzní t = rcsin Pro t (, ) bude (,) funkce ϕ () t = sint bude mít rostoucí nenulovou derivci ϕ () t = cost Dostneme substituce: d = = sin t = sin t cost dt = sin t cost dt = d = cost dt + cost = cos tdt= dt= (+ cos t) dt = sin t = t+ + C = t+ sintcost+ C = t+ sint sin t + C = = rcsin + + C = rcsin + + C Při výpočtu jsme použili vzorce α + cosα cos = sin α = sinα cosα Anlogický výsledek bychom dostli pro t (,), kdy (,) - 5 -

31 Integrce substitucí Příkld 8 Vypočtěte integrál sin d Řešení: Integrovná funkce je definován pro <, ) Provedeme substituci = t, bychom odstrnili odmocninu v integrndu Ze substituce vyplývá, že t = nebo t = Zvolímet =, tkže t je z intervlu (, ) Dostneme substituce: sin d = = t = t sin t dt d = t dt Získný integrál řešíme metodu per prtes podobně jko příkld : u = sin t v= t tsin tdt = = ( tcost+ cos tdt) = ( tcost+ sin t) C u = cost v = + = = (sin cos ) + C Smi vyzkoušejte, že pro volbu t = tj t (,) dostneme stejný výsledek Příkld 9 Vypočtěte integrál d + Řešení: Funkce + je spojitá pro (, ) Položíme t (, ) klesjící zobrzuje tento intervl n intervl (, ) = cotgt Funkce cotg t je pro substituce: d = = cotg t = dt = = cotg sin + t sin cos sin t + t t+ t d = dt sin t sin t dt sin t = dt = dt sin t sin t, neboť pro t (, ) je sin t > Dostli jsme integrál, který jsme řešili v příkldu 6 t dt = ln tg + C = ln tg rccotg C sin t + Poznámk Pokud zdáme integrál nějkému mtemtickému progrmu (npř Derive, Mple, - 6 -

32 Mthemtic), získáme výsledek Integrce substitucí + + N první pohled se zdá, že se jedná o úplně ln( ) jinou funkci Derivováním se všk sndno přesvědčíme, že výsledek je správný Znmená to, že progrmy použily jinou metodu výpočtu, než jsme uvedli my V litertuře [9] lze nlézt postup, jk převést jeden výsledek n druhý Druhé řešení můžeme dostt následujícím postupem: Provedeme substituci + = t t Po umocnění uvedené rovnice sndno vypočteme = tedy t Doszením do integrálu dostneme: d ( t + ) = dt = dt = ln t + C = ln + C t t t t t t + d = dt t Jelikož je výsledek + + >, dostneme + + = + +, což je hledný ln ln( ) Poznámk Použitá substituce ptří mezi Eulerovy substituce použitelné při výpočtu složitějších integrálů z rcionální funkce, která nvíc obshuje výrz typu nleznete v litertuře [6], [9], [], [7] + b + c Podrobnější informce Příkld Vypočtěte integrál d + Řešení: Funkce + je definován pro <, ) Ve funkci se vyskytují mocniny, Zvedeme substituci k = t tk, bychom odstrnili všechny odmocniny ve výrzu V nšem přípdě bude k nejmenší společný násobek čísel Pro 6 = t bude = t = t Anlogicky jko v příkldu 8 budeme volit t = 6 pro t <, ) - 7 -

33 Integrce substitucí substituce: 8 6 t 5 t 8 d = = t = 6t dt = 6 dt = 6 ( t :( t + ) ) dt = t + t d = 6t dt t t t = 6 t t + t + dt = 6 + t+ rctgt + C = + t = rctg 6 + C 7 5 Kontrolní otázky Uveďte princip substituční metody Kdy z jkých podmínek použijeme substituci typu ϕ ( ) = u? Kdy z jkých podmínek použijeme substituci typu = ϕ() t? sin Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? cos 5 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu cos sin d? 6 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 7 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? d? ) Úlohy k smosttnému řešení d) + d b) d e) d c) ( + ) 6 d + 5 d f) 7 d ) ln d b) cos sin d c) d) cos sin e sin d e) d + cos f) tg d cos ln d ln - 8 -

34 Integrce substitucí ) d) tg d b) rctg d e) + e d c) e rctg e d + e f) sin d sin + sin cos d sin + cos ) d) + 9 d b) d e) ln ln d c) rccos d f) ( tg ) ln d sin cos rctg d 9+ 5 ) d) d 6 b) d e) d c) + cos d f) ( ) d d d 9 + Výsledky úloh k smosttnému řešení C ) ( ) + + ; b) ( ) C 9 8 C + C ; ; c) ( ) + + ; d) ( ) e) c) ln 5 + C ; f) ( ) 7 + C ) ln 5 + C ; b) tg cos + C ; d) e +C ; e) + cos + C ; f) ) ln cos + C ; b) ( ) ln + rctg + C ; e) d) ( ) ) rctg ln e) rccos cos + C ; ln ln + C e + C; c) ln ( sin + ) + C ; rctg + C ; b) ( ln ) C + C; f) b) ln( ) e + ; c) ( ) rctg + C; f) ( ) cos + sin + C ln tg + +C; c) + C ; d) ln rcsin + C ; C 5 ) 6 + ln( + ) + C; + rctg + C ; - 9 -

35 Integrce substitucí d) 9 9 rcsin + + C ; e) ( sin cos sin ) + + C; f) ln tg rccotg + C Kontrolní test Jkou substituci použijete při výpočtu integrálu d? ln ) = t, b) ln t =, c) ln = t, d) ln = t Jkou substituci použijete při výpočtu integrálu ) cos = t, b) sin = t, c) cos = t, d) sin = t Jkou substituci použijete při výpočtu integrálu ) = t, b) t =, c) t =, d) = t Jkou substituci použijete při výpočtu integrálu ) e = t, b) e = t, sin cos d? d +? e e +? c) e = t, d) e + = t 5 Vypočtěte neurčitý integrál ( + ) e d C ) ) e, b) ( + e e + C, c) e C, d) e 5 C

36 Integrce substitucí 6 Vypočtěte neurčitý integrál d 9 ) rcsi n + C, b) ln rcsin + C, c) rcsin + C, d) 9 ln 7 Vypočtěte neurčitý integrál d cos tg ) tg + C, b) tg + tg + C, c) ln tg + C, d) tg + C 8 Čemu se rovná neurčitý integrál d? + ) ( ) C + +, b) ( ) C, c) ( ) ln C + + +, d) 9 Čemu se rovná neurčitý integrál ) sin sin + C, b) ( ) C cos d? sin + sin + C, c) sin + C, d) sin + + C Čemu se rovná neurčitý integrál e ) l n( e + ) +C, b) rctg e d? e + e e c) e rctg + C, d) rctg + C, + C Výsledky testu b); ); d); b); 5 d); 6 c); 7 ); 8 b); 9 ); d) - -

37 Integrce substitucí Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu propočítt dlší úlohy k smosttnému řešení Shrnutí lekce Při výpočtu integrálů je čsto používán substituční metod Substituční metodou lze řešit dv typy úloh V prvním typu integrálů se snžíme integrnd uprvit n dv činitele, z nichž jeden je složenou funkcí proměnné s vnitřní funkcí ϕ ( ) druhý je derivcí této funkce ϕ ( ) Tedy se snžíme integrál uprvit n tvr f( ϕ( )) ϕ ( ) d Jestliže nyní položíme ϕ ( ) = u, je ϕ ( ) d = du dný integrál převedeme n integrál f ( u) du Méně čsto používáme druhý typ substituce Integrál f ( ) d lze někdy substitucí = ϕ() t, tedy d = ϕ () t dt, převést n jednodušší integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt Uvedené metody budou úspěšné, pokud umíme vypočítt nové integrály Tento postup lze relizovt, pokud jsou splněny podmínky uvedené ve větách v této kpitole Při výpočtu integrálů substituční metodou obvykle počítáme formálně podle uvedených vzthů, dokud nenlezneme primitivní funkci Obvykle teprve potom zkontrolujeme, zd jsou splněny předpokldy použité věty O správnosti výsledku se můžeme sndno přesvědčit derivováním nlezené primitivní funkce Úspěch při integrování substituční metodou závisí n obrtnosti zkušenosti, bychom dopředu viděli, n jký integrál určitou substitucí uprvíme původní integrál, přípdně jk integrál uprvit, bychom v integrovné funkci viděli tvr f( ϕ( t)) ϕ ( t) V některých přípdech můžeme integrál řešit pomocí různých substitucí - -

38 5 Integrce rcionálních funkcí 5 Integrce rcionálních funkcí Průvodce studiem V předcházejících kpitolách jsme se nučili počítt neurčité integrály úprvou n zákldní integrály, metodou per prtes substituční metodou V této kpitole se budeme podrobněji zbývt integrováním rcionálních funkcí Uvedeme podrobný postup rozkldu rcionálních funkcí n součet prciálních zlomků integrci těchto prciálních zlomků Podle uvedeného postupu můžeme integrovt libovolnou rcionální funkci Rcionální funkce můžeme dostt i po některých substitucích Nejprve zopkujeme polynomické rcionální funkce, uvedeme některé zákldní vlstnosti těchto funkcí Cíle Seznámíte se s postupem integrce rcionálních funkcí se zákldními integrály, které dostneme po rozložení rcionální funkce n součet prciálních zlomků Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dné funkci, znáte zákldní integrály uvedené v tbulce, umíte vypočítt jednoduché integrály úprvou integrovné funkce (integrndu) substituční metodou V této kpitole se vyskytne jen několik málo typů integrálů Výkld Polynomy jejich vlstnosti funkce S polynomy jste se seznámili již v Mtemtice Připomeňme definici polynomické Definice 5 Polynomem Pm ( ) stupně m nzýváme funkci m Pm( ) = m m Reálná čísl funkcí,,, m, jsou koeficienty polynomu Polynom je funkce, která vznikne konečným počtem opercí součet, rozdíl součin y = konst y = - -

39 5 Integrce rcionálních funkcí Stručně můžeme polynom zpst P ( ) =, m m j= Číslo m nzýváme stupněm polynomu P ( ) m Pro polynom stupně (tj polynom tvru y = + b, ) se používá tké termín j j n lineární polynom pro polynom stupně (tj polynom tvru y = + b+ c, ) se používá tké termín kvdrtický polynom Integrce polynomické funkce je velmi sndná, neboť vystčíme se zákldními prvidly pro integrci (vět ) s integrcí mocninné funkce (vzorec [] v tbulce ) Řešené úlohy Příkld 5 Vypočtěte integrál 5 ( ) d Řešení: 5 5 ( ) d = d d + d + 6 d d = 6 6 = C = C 6 Výkld Polynomy hrjí v mtemtické nlýze velmi důležitou roli Polynomy jsou spojité funkce definovné pro všechn reálná Jestliže dv polynomy spolu sečteme, odečteme nebo vynásobíme, dostneme opět polynom Polynomy můžeme tké mezi sebou dělit V tomto přípdě všk obecně výsledkem nebude polynom, le funkce, kterou nzýváme rcionální (rcionální lomená): P ( ) ( ) m R = Qn ( ) Je-li Qn ( ) polynom n-tého stupně, nzývá se rovnice Qn ( ) = lgebrická rovnice n-tého stupně Definice 5 Číslo α, pro které pltí Qn ( α ) =, se nzývá kořen polynomu Q výrz α se nzývá kořenový činitel polynomu Q - -

40 5 Integrce rcionálních funkcí Dovedete nlézt kořeny rovnice Qn ( ) = pro polynomy stupně Pro polynomy vyšších stupňů se jedná o složitější úlohu, kterou dovedeme vyřešit v některých speciálních přípdech Velmi čsto je pro nlezení kořenů nutno použít numerických metod, o nichž se dozvíte více ve speciálním předmětu Numerické metody V lgebře se dokzuje, že kždý polynom kompleních čísel n kořenů Qn ( ), který není konstnt, má v oboru Vět 5 n Kždý polynom Q ( ) = stupně n lze rozložit n součin kořenových činitelů n Qn n α α αn ( ) = ( )( ) ( ), n kde α, α,, α n jsou konstnty (obecně komplení) Poznámk Čísl α, α,, α n nemusí být nvzájem různá Tedy rovnice může mít vícenásobné kořeny Pokud kořen α je r-násobný, můžeme místo r součinů ( α )( α ) ( α ) j j j j psát ( α ) r j Kořeny α, α,, α n mohou být reálné nebo komplení Vět 5 Pokud má polynom r-násobný komplení kořen α = c+ di (c,d jsou reálná čísl), pk tké kompleně sdružené číslo α = c di je r-násobným kořenem tohoto polynomu Řešené úlohy Příkld 5 Rozložte n součin kořenových činitelů Q5 ( ) = Řešení: 5 Řešíme rovnici + 7= Rovnici uprvíme vytknutím Dostneme ( + 8 9) = Jedno řešení je = Dlší kořeny získáme řešením rovnice + 8 9= Po zvedení pomocné proměnné t = dostneme kvdrtickou rovnici t + 8t 9=, která má kořeny t = t = 9, čili = = 9-5 -

41 5 Integrce rcionálních funkcí Odtud =, =, = i, 5 = i Jelikož je koeficient u nejvyšší mocniny roven, můžeme polynom zpst ve tvru: 5 5 Q ( ) = + 7 = ( )( + )( i )( + i ) Výkld Je nepříjemné, že se ve výsledném rozkldu v příkldu 5 objevují imginární čísl + i i Pokud vynásobíme odpovídjící kořenové činitele, dostneme kvdrtický polynom ( i)( + i) = +9 Rozkld polynomu z příkldu 5 bude mít tvr Q 5 5 ( ) = + 7 = ( )( + )( + 9) Tento postup můžeme zobecnit Má-li polynom kořen α = c+ di má podle věty 5 tké kompleně sdružený kořen α = c di Pokud vynásobíme odpovídjící kořenové činitele, dostneme kvdrtický polynom, který nemá imginární koeficienty: ( α)( α) = ( ( c+ di))( ( c di)) = c+ c + d = + p+ q, kde p = c q = c + d Uvědomme si, že diskriminnt D= p q je záporný, neboť D= p q= c c d = d < Je-li kompleně sdružený kořen c± d i s násobný, dostneme s s s ( α) ( α) = ( + p+q ) Pokud tuto úvhu zobecníme, dostneme důležitou větu o rozkldu polynomu n zákldní součin v reálném oboru: Vět 5 n Kždý polynom Q ( ) = stupně n lze jednoznčně zpst ve tvru: n n r r ( ) ( ) ( ) u s s Qn = n α αu ( + p+ q) ( + pv+ qv) se vzájemně různými reálnými kořeny α i, i =,, u vzájemně různými v kvdrtickými polynomy + p + q, j =,, v, které nemjí reálné kořeny j j Poznámk Stručně lze říci, že kždý polynom s reálnými koeficienty stupně n lze rozložit n součin polynomů prvního druhého stupně, přičemž polynomy druhého stupně se dále nedjí rozložit n součin polynomů prvního stupně - 6 -

42 5 Integrce rcionálních funkcí Je zřejmé, že pltí n= r + r + + r + ( s + s + + s ) u Vět 5 nám sice zručuje možnost rozkldu polynomu n zákldní součin, všk prktické provedení nemusí být jednoduché V mnoh přípdech potřebujeme provést rozkld polynomu Q, který je již částečně rozložen Řešené úlohy Příkld 5 Rozložte n zákldní součin polynom Q ( ) = ( )( + )( ) v 5 5 Řešení: Je zřejmé, že polynom Q() je stupně Polynom Q() není rozložen n zákldní součin, neboť se v něm vyskytují polynomy vyššího než stupně Proto jednotlivé činitele dále rozložíme: 5 ( ) = ( ) = ( )( + +), 5 ( + ) = ( + ) = ( + )( + ), ( ) = ( ) = ( )( + )( + ) Tkže Q( ) = ( )( + + ) ( + )( + )( )( )( + )( + ) = = ( ) ( + ) ( + + )( + )( + ) Uvědomte si, že = ( ), tedy se jedná o polynom stupně, který přísluší čtyřnásobnému kořenu = Koeficient = n Výkld Rozkld rcionální funkce n součet prciálních zlomků Definice 5 Rcionální funkcí R() nzveme funkci, která je podílem dvou polynomů P ( ) Q ( ) : P ( ) ( ) m R = Qn ( ), Qn ( ) m n Poznámky Definičním oborem rcionální funkce R() je množin všech reálných čísel, které nejsou reálnými kořeny rovnice Qn ( ) = - 7 -

43 5 Integrce rcionálních funkcí Definice 5 Rcionální funkce menší než stupeň n polynomu neryze lomená rcionální funkce P ( ) ( ) m R = Qn ( ) se nzývá ryze lomená, je-li stupeň m polynomu Pm ( ) Qn ( ), tj m< n Je-li m n, pk se funkce R() nzývá Jestliže je funkce R() neryze lomená rcionální funkce, pk můžeme polynom v čitteli dělit polynomem Qn ( ) ve jmenovteli Podílem bude polynom Pm ( ) zbytek dělení bude polynom Pm ( ), jehož stupeň je nižší než n, tj větou Vět 5 m m Pm ( ) < n To můžeme vyjádřit Kždou neryze lomenou rcionální funkci můžeme vyjádřit jko součet polynomu ryze P ( ) ( ) lomené rcionální funkce, tj ( ) m Pm R = = Pm ( ) +, kde m Q ( ) < n Q ( ) n n Řešené úlohy Příkld 5 Vyjádřete rcionální funkci R ( ) = jko součet polynomu ryze lomené rcionální funkce Řešení: Polynom P ( ) = + + v čitteli rcionální funkce je stupně polynom Q ( ) = + ve jmenovteli má stupeň Polynomy můžeme vydělit ( + + ) : ( + ) = + ( + ) ( + ) zbytek Dnou rcionální funkci proto můžeme zpst ve tvru + + =

44 5 Integrce rcionálních funkcí Průvodce studiem Hlvním výsledkem předcházející části je vět 5 Je-li dán neryze lomená rcionální funkce, provedeme dělení polynomu Pm ( ) v čitteli polynomem Qn ( ) ve jmenovteli rcionální funkce Dostneme polynom ryze lomenou rcionální funkci Stčí tedy, když se P ( ) v dlším omezíme n tkové rcionální funkce m, v nichž má čittel nižší stupeň než Qn ( ) jmenovtel (ryze lomené rcionální funkce) V dlší části si ukážeme, jk lze ryze lomené rcionální funkce rozložit n součet několik jednodušších zlomků, které bychom již uměli integrovt Výkld Ve větě 5 jsme ukázli, že kždý polynom s reálnými koeficienty stupně n lze rozložit n součin polynomů prvního druhého stupně, přičemž polynomy druhého stupně se již nedjí rozložit n součin polynomů prvního stupně s reálnými kořeny (mjí kompleně sdružené kořeny) Budeme se snžit rcionální funkci rozložit n součet jednoduchých rcionálních funkcí, které mjí ve jmenovteli mocniny kořenových činitelů ( α ) kvdrtických polynomů ( + p + q) Definice 55 Částečnými (prciálními) zlomky nzýváme rcionální funkce tvru A ( α) k nebo M + N ( + + ) k p q, kde A, M, N, p, q jsou reálná čísl,, k jsou přirozená čísl polynom reálné kořeny ( D= p q< ) k + p + q nemá Poznámky Prciální zlomky prvního typu odpovídjí reálným kořenům jmenovtele prciální zlomky druhého typu odpovídjí dvojicím kompleně sdružených kořenů Ryze lomenou rcionální funkci R() lze vyjádřit ve tvru R( ) = R ( ) + R ( ) + + R ( ), kde R ( ), R ( ), R ( ) jsou prciální zlomky Pro s integrci ryze lomené rcionální funkce stčí umět integrovt tyto prciální zlomky s - 9 -

45 5 Integrce rcionálních funkcí Pro snzší pochopení jednoduchost uvedeme tvr rozkldu rcionální funkce n součet prciálních zlomků podle toho, jké kořeny má polynom Qn ( ) funkce Postupně se budeme zbývt čtyřmi zákldními přípdy A Rozkld pro reálné různé kořeny polynomu Q ( ) n ve jmenovteli rcionální Jestliže polynom Qn ( ) má k ( k n) reálných různých kořenů α, α,, α k (jednoduché kořeny), pk lze ryze lomenou rcionální funkci P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit n P součet prciálních zlomků: m( ) A A A = k + Rk + ( ), Q ( ) α α α kde A, A,, Ak Nlezneme konstnty n jsou reálné konstnty k tk, bychom po sečtení všech prciálních zlomků dostli dnou rcionální funkci R() Jednotlivé prciální zlomky pk můžeme sndno integrovt Poznámk Polynom Qn ( ) kořeny kompleně sdružené A, A,, Ak může mít vedle k reálných různých kořenů ještě reálné násobné kořeny nebo Řešené úlohy Příkld 55 Vypočtěte integrál 8+ d + Řešení: Výpočet můžeme rozdělit do pěti kroků: Polynom v čitteli je stupně m = polynom ve jmenovteli rcionální funkce má stupeň n = Jelikož je m < n, je dná funkce ryze lomená rcionální funkce (není nutno dělit polynomy) Polynom ve jmenovteli Q ( ) = + rozložíme n zákldní součin podle věty 5 Dostneme Q ( ) = ( + ) = ( )( ) To znmená, že polynom ve jmenovteli má reálné jednoduché kořeny =, =, = Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků: - 5 -

46 5 Integrce rcionálních funkcí 8+ A A A = Nlezneme konstnty rozkldu A, A, A Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = + Dostneme rovnost dvou polynomů: 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) Tuto rovnici lze řešit několik způsoby: ) Doszovcí metod Ob polynomy se musí rovnt pro libovolné hodnoty Dosdíme-li obecně tři různé hodnoty, dostneme tři rovnice pro tři neznámé koeficienty A, A, A Tuto soustvu sndno vyřešíme Pokud má polynom Q() reálné kořeny, je výhodné dosdit právě tyto kořeny Pro = dostneme: = A+ A + A Tedy A = Pro = dostneme: = A A + A Tedy A = Pro = dostneme: = A+ A + 6A Tedy A = b) Srovnávcí metod Rovnice předstvuje rovnost dvou polynomů Rovnost nstne, jestliže se budou rovnt koeficienty polynomu n levé strně odpovídjící koeficienty polynomu n prvé strně rovnice 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) 8+ = A( + ) + A( ) + A( ) 8+ = ( A+ A + A) + ( A A A) + A Koeficienty u Koeficienty u Koeficienty u : = A + A + A : 8 : = A = A A A Řešením této soustvy rovnic dostneme A =, A =, A = Metody můžeme kombinovt c) Kombince metod ), b) Metodou ) získáme několik rovnic, zbývjící rovnice doplníme metodou b) Tento postup budeme používt v některých dlších příkldech 5 Integrujeme získné prciální zlomky: - 5 -

47 5 Integrce rcionálních funkcí 8+ A A A d = d d + + = + + = + = d d d ln ln ln C + = + + = ( ) = ln + C ( ) V přípdě reálných jednoduchých kořenů polynom Q n( ) dostneme pouze integrály prciálních zlomků typu A d = A ln α + C α Poznámk Předcházející integrál jsme vypočetli podle vzorce [] nebo [6] z tbulky Můžeme použít substituci α = t B Rozkld pro reálné násobné kořeny polynomu Q n( ) Jestliže polynom Q n( ) má r-násobný ( r funkci n P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit n součet prciálních zlomků: Pm ( ) B B B = r + R r ( ) Q ( ) r + +, α ( α) ( α) kde B, B,, B r jsou reálné konstnty n ) kořen α, pk lze ryze lomenou rcionální Řešené úlohy Příkld 56 Vypočtěte integrál + + d + Řešení: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polynom v čitteli je stupně m = polynom ve jmenovteli rcionální funkce má tké stupeň n = Jelikož není m< n, je dná funkce neryze lomená rcionální funkce musíme polynomy vydělit ( + + ):( + ) = - 5 -

48 5 Integrce rcionálních funkcí ( + ) + Dnou rcionální funkci proto můžeme podle věty 5 zpst ve tvru = Konstnt je zvláštní přípd polynomu nultého stupně zbývjící rcionální funkce je již ryze lomená Tuto rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků Polynom ve jmenovteli Q ( ) = + rozložíme n zákldní součin podle věty 5 Dostneme ve jmenovteli má jednoduchý reálný kořen Q ( ) = ( + ) = ( ) To znmená, že polynom = trojnásobný reálný kořen,, = Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků (přípd A pro = B pro,, = ): + A B B B = ( ) ( ) ( ) Nlezneme konstnty rozkldu AB,, B, B Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = ( ) Dostneme rovnost dvou polynomů: + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B Pro nlezení neznámých koeficientů použijeme nejprve doszovcí metodu (viz příkld 55) Do získné rovnice dosdíme reálné kořeny polynomu ve jmenovteli rcionální funkce: Pro = dostneme: = A+ B+ B + B Tedy A = Pro = dostneme: = A+ B+ B + B Tedy B = Jelikož již nemáme dlší kořeny, můžeme dosdit dvě jiná reálná čísl dostneme dvě rovnice pro dosud neznámé koeficienty BB B B Pro výpočet zbývjících koeficientů můžeme tké použít srovnávcí metodu (viz příkld 55): + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B + = A ( + ) + B( + ) + B( ) + B + = ( A+ B) + ( A B+ B) + ( A+ B B + B) A - 5 -

49 5 Integrce rcionálních funkcí Koeficienty u Koeficienty u : = A+ B : = A B+ B Řešením této soustvy rovnic dostneme B =, B = 5 Integrujeme získné prciální zlomky: d = ( + ) d + + = A B B B = = ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) = ln + ln = + ln + C ( ) ( ) V přípdě reálných násobných kořenů polynomu zlomků typu B d = B d = B ln α C + α α Qn ( ) Bk k B d = B ( ) k k k α d = + C, pro k k ( α) ( k)( α) d = dostneme integrály prciálních Poznámk Předcházející integrál jsme vypočetli podle vzorce [6] z tbulky Použili jsme substituci α = t : k Bk α = t + dt k t d = = B k k dt = B k k t dt = Bk + C ( ) d = dt t k + = α B B = + = ( kt ) ( k)( α) k C k k k + C, pro k - 5 -

50 5 Integrce rcionálních funkcí C Rozkld pro kompleně sdružené kořeny polynomu Q ( ) Z věty 5 o rozkldu polynomu n zákldní součin již víme, že pokud má polynom komplení kořen α = c+ di, má tké kompleně sdružený kořen α = c di z polynomu n Qn ( ) můžeme vytknout kvdrtický polynom + p + q, kde diskriminnt D= p q< V tomto přípdě můžeme polynom Q ( ) zpst ve tvru Q ( ) = ( + p+ q) Q ( ) n Jestliže polynom n Qn ( ) lomenou rcionální funkci n m n má kompleně sdružené kořeny (jednoduché), pk lze ryze Pm( ) P ( ) M + N = = +, Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q kde M, N jsou reálné konstnty P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit n součet prciálních zlomků: n Řešené úlohy Příkld 57 Vypočtěte integrál d + Řešení: Jko v předcházejících příkldech rozdělíme výpočet do pěti kroků: Polynom v čitteli je stupně m = 5 polynom ve jmenovteli rcionální funkce má stupeň n = Jelikož není m< n, je dná funkce neryze lomená rcionální funkce musíme polynomy vydělit 5 ( ):( + ) = + 5 ( + ) + ( + ) Dnou rcionální funkci proto můžeme podle věty 5 zpst ve tvru =

51 Rcionální funkci + rozložíme n součet prciálních zlomků 5 Integrce rcionálních funkcí Polynom ve jmenovteli Q ( ) = + rozložíme n zákldní součin podle věty 5 Dostneme Q ( ) = ( + )( + ) (Pro rozkld jsme použili vzorec + b = ( + b)( b+ b )) To znmená, že polynom ve jmenovteli má reálný jednoduchý kořen = kompleně sdružené kořeny, protože diskriminnt kvdrtické rovnice + = je záporný: D = ( ) = < Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků (přípd A pro = C pro trojčlen + ): A M+ N = = + + ( + )( + ) + + Nlezneme konstnty rozkldu A, M, N Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = + Dostneme rovnost dvou polynomů: = A ( + ) + ( M+ N)( + ) Pro nlezení neznámých koeficientů použijeme nejprve doszovcí metodu (viz příkld 55) Do získné rovnice dosdíme reálný kořen polynomu ve jmenovteli rcionální funkce: Pro = dostneme = A(+ + ) + Tedy A = Pro výpočet zbývjících koeficientů použijeme srovnávcí metodu (viz příkld 55): Koeficienty u Koeficienty u : = A+ M : = A+ N Řešením této soustvy rovnic dostneme M =, N = 5 Integrujeme získné prciální zlomky (nezpomeňme n polynom získný dělením v kroku ): d ( ) d = + + = + + d První integrál je sndný, známe jej z přípdu A:

52 5 Integrce rcionálních funkcí ln + + d = d = + + C Druhý integrál se budeme snžit uprvit tk, bychom v čitteli zlomku získli derivci jmenovtele + d = d = d = d d Dostneme dv integrály První integrujeme pomocí vzorce [] z tbulky (fkticky použijeme substituci + = t): ln ln( ) 6 d = + + C = + + C Doplněním n čtverec uprvíme druhý integrál tk, by bylo možno použít vzorec [] z tbulky : d = d = d = d = = rctg = rctg + C Sečtením integrálů, které jsme postupně vypočítli, dostneme výsledek: d = + + ln + ln( + ) + rctg + C + 6 Poznámk Při výpočtu integrálu z prciálního zlomku M + N d jsme integrnd uprvovli tk, + bychom dostli zlomek, který bude mít v čitteli derivci jmenovtele zlomek s konstntou v čitteli: M + N K( ) L d = d Pro méně zdtné počtáře bude proto výhodnější ve kroku rozložit tuto rcionální funkci n dv zlomky s konstntmi K L

53 5 Integrce rcionálních funkcí Postup můžeme zobecnit modifikovt rozkld pro přípd kompleně sdružených kořenů: Jestliže polynom Qn ( ) lomenou rcionální funkci má kompleně sdružené kořeny (jednoduché), pk lze ryze P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit n součet prciálních zlomků: Pm( ) P ( ) K( + p) L = = + Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q + p+ q +, n m n kde K, L jsou reálné konstnty Řešené úlohy Příkld 58 Vypočtěte integrál d + Řešení: Kroky jsou stejné jko v příkldu 57 V kroku budeme postupovt podle návodu uvedeného v předcházející poznámce Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků (přípd A pro = C pro trojčlen + ): A K( ) L = = ( + )( + ) Nlezneme konstnty rozkldu A,K,L Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = + Dostneme rovnost dvou polynomů: = A ( + ) + K( )( + ) + L ( + ) Jko v příkldu 57 dostneme A = Pro výpočet zbývjících koeficientů použijeme srovnávcí metodu (viz příkld 55): Koeficienty u : = A+ K Koeficienty u : = A K + L Řešením této soustvy rovnic dostneme K =, 6 L = 5 Výpočet integrálů je již uveden v kroku 5 příkldu

54 5 Integrce rcionálních funkcí Jestliže má polynom Qn ( ) integrály prciálních zlomků typu K( + p) d = K ln + p + q C + + p+ q p + L d = L rctg + C + p+ q p p q q kompleně sdružené kořeny (jednoduché), dostneme Poznámk První integrál jsme vypočetli podle vzorce [] z tbulky Prkticky používáme substituci + p + q = t Druhý integrál p + L d = L d = L rctg C + p+ q p p q p p + + q q + Tento vzorec si jistě nebudeme pmtovt Podsttné je, že uvedený integrál uprvíme n typ + t p dt, kde t = + výsledkem bude funkce rctg( ) podle vzorce [] z tbulky D Rozkld pro násobné kompleně sdružené kořeny polynomu Q ( ) Tento přípd uvádíme pro úplnost, bychom vyčerpli všechny možnosti Zákldní princip rozkldu je jednoduchý pečlivý čtenář jistě rcionální funkci sndno rozloží n prciální zlomky Výpočet je všk prcnější, neboť budeme počítt minimálně koeficienty i při vlstní integrci rcionálních funkcí budeme řešit obtížnější integrál Z věty 5 o rozkldu polynomu n zákldní součin již víme, že pokud má polynom k- násobný komplení kořen α = c+ di, má tké k-násobný kompleně sdružený kořen α = c di z polynomu n ( ) k Q můžeme vytknout kvdrtický polynom ( + p + q), kde diskriminnt D= p q< V tomto přípdě můžeme polynom Q ( ) zpst ve tvru k Qn( ) = ( + p+ q) Qn k( ) Rozkld n prciální zlomky je již zřejmý z přípdů B C n n

55 5 Integrce rcionálních funkcí Jestliže polynom rcionální funkci Qn ( ) má k-násobné kompleně sdružené kořeny, pk lze ryze lomenou P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit n součet prciálních zlomků: P ( ) P ( ) M+ N M + N M + Nk Q ( ) ( + p + q) Q ( ) + p + q ( + p + q) ( + p + q) m = m = k k n n k kde M, N,, Mk, N k jsou reálné konstnty k, Poznámk Podobně, jk bylo uvedeno v poznámce u přípdu C, je výhodnější provést rozkld n prciální zlomky tk, bychom měli v čitteli násobek derivce jmenovtele konstntu M + N K ( + p) + L j j j j = j j ( + p+ q) ( + p+ q), j =,,, k Zjednoduší nám to dlší úprvy Řešené úlohy Příkld 59 Vypočtěte integrál + 5 d ( + ) Řešení: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polynom v čitteli je stupně m = polynom ve jmenovteli rcionální funkce má stupeň n = Dná funkce je ryze lomená rcionální funkce Polynom ve jmenovteli Q ( ) = ( + ) má dvojnásobné kompleně sdružené kořeny =± i je již rozložen n zákldní součin Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků: + 5 K( ) L K( ) L = ( + ) + + ( + ) ( + ) Nlezneme konstnty rozkldu K, L, K, L Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = ( + ) Dostneme rovnost dvou polynomů: + 5= ( + ) K+ ( + ) L+ K +L Pro výpočet neznámých koeficientů použijeme srovnávcí metodu dostneme: K =, L =, K =, L = - 6 -

56 5 Integrujeme získné prciální zlomky: 5 Integrce rcionálních funkcí + 5 ( ) d = + + ( + ) + ( + ) ( + ) d = = rctg ( + ) d První integrál jsme vypočítli podle vzorce [] z tbulky, druhý sndno vypočteme substitucí + = t Zbývjící integrál vypočteme metodou per prtes: ( + ) d u = v= + d = = + + u = v = + ( + ) ( + ) d = + = + d = + d d + ( + ) + + ( + ) Dostáváme rovnici d d d, ( + ) = + ze které vypočítáme hledný integrál: d = rctg + d = + ( + ) Sečtením s již vypočtenými integrály dostneme + 5 d = rctg + + rctg C + + ( + ) + + = = rctg + + C 8 ( + ) - 6 -

57 5 Integrce rcionálních funkcí Jestliže má polynom Qn ( ) prciálních zlomků uvedené ve vrintě C dále pro kompleně sdružené násobné kořeny, dostneme integrály k K( + p) K d = C k k ( p q) ( k)( p q) + integrál typu integrály L substituce p t = + L L d d d = = k = k ( p q) dt = d k + + p p ( ) ( t q ) p = q Poznámk První integrál jsme sndno vypočetli substitucí + p + q = t Druhý integrál můžeme po substituci vypočítt metodou per prtes stejně jko jsme to udělli v příkldu 59 Pohodlnější je použít rekurentní formuli k dt = + ( k ) ( k t + (k ) t + (k ) ) ( t + ) k metodou per prtes (odvození njdete npř v [6], [9], [], [7] ) dt, kterou lze odvodit Kontrolní otázky Jký tvr má polynomická funkce? Popište rozkld polynomu n kořenové činitele Co rozumíme rozkldem polynomu n zákldní součin? Jký tvr má rcionální funkce? Jký má definiční obor? 5 Kdy je rcionální funkce ryze lomená? 6 Vyjádřete rcionální funkci rcionální funkce 7 Co jsou to prciální zlomky? 6 + R ( ) = + jko součet polynomu ryze lomené 8 Uveďte rozkld n prciální zlomky pro reálné různé kořeny jmenovtele rcionální funkce - 6 -

58 5 Integrce rcionálních funkcí 9 Uveďte rozkld n prciální zlomky pro reálné násobné kořeny jmenovtele rcionální funkce Uveďte rozkld n prciální zlomky pro kompleně sdružené kořeny jmenovtele rcionální funkce Jk můžeme nlézt koeficienty rozkldu n prciální zlomky? Uveďte kroky, kterými postupujeme při integrci rcionální funkce A Jké integrály dostneme při integrci prciálního zlomku ( ) k? α M + N Jké integrály dostneme při integrci prciálního zlomku ( + p+ q) k? 5 Je možné, bychom jko výsledek integrce rcionální funkce dostli rcionální funkci? Úlohy k smosttnému řešení ) d) ) d) f) ) d) f) d b) + 5 d c) d 5+ 6 e) d b) ( ) ( + + )( + 5) + d f) d c) ( + )( + ) d e) d d b) d + + e) d d c) d + d d d ( + ) + + d + d

59 5 Integrce rcionálních funkcí ) d) f) + d b) 6 + d e) 7 ( + )( + + 5) d c) 8 d d + 8 d + 8 Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 5 ln 5 ln +C ; b) 7 ln ln + + C; 5 5 c) e) ) c) 7 ln ln + + C; d) ln + ln + ln + C; ln ln + + +C ; f) ln ln + + ln 6 + C ln ln + + C ; b) ( ) ln + ln + + C; + ln ln + C ; d) ln + + ln C ; e) 5ln ln + C + ; f) ) c) e) ln ln + + C ( ) rctg + C ; b) ln rctg ( + ) + C ; 7 + ln 6+ + rctg + C; d) ln rctg + C; ) c) 5 ln + + rctg + C; f) + + ln + + rctg + C 7 7 ln ln + rctg + C ; b) ln + ln + 9 rctg + C; ln + ln + rctg + C; d) + ln ln + + rctg + C; - 6 -

60 e) + + ln + ln + + rctg +C ; + f) + ln ln rctg + C 5 Integrce rcionálních funkcí Kontrolní test Rozložte n zákldní součin polynom ( + )( )( 5 ) ) ( )( + )( ) ( + )( + + ), b) ( + ) ( ) ( + + )( + ), c) ( + ) ( ) ( + )( + + ), d) ( + ) ( ) ( + + ) Určete kořeny polynomu + ) -,, -, b),, -, c), -,, d) -,, Určete kořeny polynomu 9+ 7 ) 9,, -, b) -9,, -, c)-7,, -9, d) -,, Kolik konstnt je třeb určit při rozkldu funkce zlomky? ), b), c), d) 5 5 Vypočtěte neurčitý integrál d + ) ln ln + ln + +C, b) c) ln + ln ln + + C, d) 6 Vypočtěte neurčitý integrál d ( + )( ) + R ( ) = + + ln ln + + ln + C, ln ln + ln + + C n prciální ) ( ) ln C, 5 ( ) b) ( ) ln + + C, 5 ( + ) c) 5 ( ) ln C, ( + ) d) ( ) ln C 5 ( + )

61 7 Rozložte funkci R ( ) = n prciální zlomky ( ) 5 Integrce rcionálních funkcí ) + ( ) ( ), b) + ( ) ( ), c) + + ( ) ( ) ( ) d), + ( ) ( ) ( ) 8 Vypočtěte neurčitý integrál ( )( ) d ) c) l n + + C, b) ( ) l n + + C, d) ( ) 5 ln + + C, ( ) 5 ln + C ( ) 9 Vypočtěte neurčitý integrál d ) + ln rctg + C, b) ln + rctg + C, + c) + ln + rctg + C, d) ln rctg + C + Vypočtěte neurčitý integrál + 5 d + 5 ) ln + rctg + C, b) ln + ln( + 5) + rctg + C, c) ln ln( + 5) rctg( ) + C, d) ln + ln( + 5) + rctg + C Výsledky testu c); ); d); b); 5 d); 6 c); 7 ); 8 b); 9 ); d)

62 5 Integrce rcionálních funkcí Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu 5 znovu Shrnutí lekce V této kpitole jsme se podrobněji zbývli integrováním rcionálních funkcí Rcionální funkce můžeme dostt i po některých substitucích, jk uvidíme v dlší kpitole Integrce rcionální funkce sestává z pěti kroků: Pokud rcionální funkce není ryze lomená, nejprve vydělíme polynom v čitteli polynomem ve jmenovteli rcionální funkce dostneme polynom ryze lomenou rcionální funkci Nlezneme kořeny polynomu ve jmenovteli rcionální funkce tento polynom rozložíme n zákldní součin Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků Nlezneme koeficienty tohoto rozkldu 5 Integrujeme získné prciální zlomky Rozkld n prciální zlomky závisí n tom, zd polynom ve jmenovteli má jednoduché reálné kořeny, násobné reálné kořeny, komplení kořeny nebo násobné komplení kořeny Pokud jsou kořeny reálné nebo jednoduché komplení, je vlstní integrce sndná Princip rozkldu n prciální zlomky je jednoduchý, le vlstní relizce může být čsově náročná v závislosti n tom, kolik koeficientů musíme počítt Pokud se nejedná o jednoduché školské úlohy, bude nejobtížnější druhý krok, neboť dovedeme dobře řešit kvdrtické rovnice, pro polynomy stupně eistují poměrně složité vzorce, le řešení rovnic vyšších stupňů je obecně problém Při integrci prciálních zlomků můžeme dostt pouze tyto funkce: Polynomy Násobky ryze lomených rcionálních funkcí typu ( α) j ( + p + q) j Násobky logritmů ln α ln + p + q Funkce rcustngens

63 5 Integrce rcionálních funkcí Některé dlší integrály (npř integrály z ircionálních funkcí, goniometrických funkcí) můžeme vhodnou substitucí převést n integrály z rcionálních funkcí V dlší kpitole se proto budeme podrobněji zbývt integrováním goniometrických funkcí

64 6 Integrce goniometrických funkcí 6 Integrce goniometrických funkcí Průvodce studiem V této kpitole se budeme podrobněji zbývt integrcí funkcí, které jsou složené z goniometrických funkcí Tkové integrály se čsto vyskytují v prktických plikcích Budeme se s nimi setkávt hlvně při výpočtu vícenásobných integrálů v Mtemtice III Při výpočtu integrálů tohoto typu je obvykle používán substituční metod Některé integrály se tké djí vypočítt metodou per prtes Vhodnou substitucí lze dné integrály čsto převést n integrály z rcionálních funkcí, které jsme se nučili integrovt v předcházející kpitole Pro jednotlivé typy integrálů přehledně uvedeme vhodnou metodu výpočtu Cíle Seznámíte se s postupy, které jsou vhodné při integrci funkcí složených z goniometrických funkcí Uvedeme zákldní typy těchto integrálů nejvhodnější metody integrce těchto funkcí Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte zákldní integrály uvedené v tbulce umíte vypočítt integrály substituční metodou, metodou per prtes umíte integrovt rcionální funkce Předpokládáme, že znáte zákldní vlstnosti goniometrických funkcí důležité vzthy, které pro ně pltí m Integrály typu sin cos Výkld n d Nejprve se budeme zbývt integrály typu sin m cos n d, kde m, n jsou celá čísl Jeden tkový integrál jsme již počítli, viz příkld Integrály tohoto typu budeme velmi čsto dostávt při výpočtu dvojných trojných integrálů v předmětu Mtemtik III Postup výpočtu závisí n tom, zd jsou čísl m, n sudá nebo lichá Nejprve uvedeme přehledně postup pro jednotlivé možnosti pk pro kždou možnost vypočítáme příkld, n kterém postup objsníme

65 6 Integrce goniometrických funkcí Výpočet integrálů typu sin cos d, kde m, n Z : m ) m je liché substituce cos = t, b) n je liché substituce sin = t, c) m i n sudé, lespoň jedno záporné substituce tg = t, n d) m i n sudé nezáporné použijeme vzorce pro dvojnásobný úhel cos sin =, + cos cos = Řešené úlohy Příkld 5 Vypočtěte integrál 5 sin cos d Řešení: V tomto přípdě je m = 5, n =, tkže budeme volit substituci cos = t Pro diferenciál dostáváme sin d = dt Z integrovné funkce si tedy vypůjčíme jeden sinus pro diferenciál zbývjící siny sndno převedeme n funkci kosinus pomocí známého vzthu sin cos + = Dostneme: ( ) 5 sin cos d= sin cos sin d= sin cos sin d= substituce: ( cos ) cos sin cos ( ) = = d= = t = t t dt sin d = dt t t t 7 5 ( t t t ) dt C cos cos cos C = + = + + = Poznámky Jsou-li lichá m i n, můžeme si vybrt, jkou substituci použijeme, zd ) nebo b) Tkovou úlohu jsme již řešili v příkldu Obecně si stčí pmtovt, že v přípdě liché mocniny použijeme jednu funkci sinus (resp kosinus) pro diferenciál zbývjící mocninu (bude sudá) převedeme n druhou funkci (kosinus, resp sinus) tu tké položíme rovnu nové proměnné - 7 -

66 6 Integrce goniometrických funkcí Příkld 5 Vypočtěte integrál sin d 8 cos Řešení: V tomto přípdě je m =, n = 8 Jelikož je n<, budeme volit substituci tg = t pro (, ) Pro hodnoty z uvedeného intervlu je = rctgt, tedy diferenciál dt d = Pro výpočet integrálu ještě potřebujeme vyjádřit funkce sin + t pomocí funkce cos tg Potřebné vzthy sndno odvodíme z prvoúhlého trojúhelník, jehož jeden úhel má velikost Jestliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mít protilehlá odvěsn velikost tg = t Z Pythgorovy věty vypočteme velikost přepony + t Z definic + t tg = t funkcí sinus kosinus (poměr velikostí protilehlé, resp přilehlé odvěsny ku přeponě) dostneme: sin = t t + cos = + t t substituce t sin t dt t tg t dt = = = 8 = = 8 ( t ) ( t ) d t dt = cos t t dt d = + t ( + t + t ) ( ) ( ) ( ) t t t = = t + t dt = t + t + t dt = t + t + t dt = C = tg + tg + tg +C 5 7 Příkld 5 Vypočtěte integrál Řešení: Máme sin d m = n = Jelikož je m> je sudé, snížíme mocninu použitím vzorce pro poloviční úhel - 7 -

67 ( ) cos 6 Integrce goniometrických funkcí = sin d = sin d = d = ( cos + cos ) d + cos sin sin ( cos ) = + d = C = sin = sin C Poznámk Integrál z funkcí cos cos jsme vypočetli podle vzorce [6] z tbulky Prkticky používáme substituci = t, resp = t Integrály typu R(sin,cos ) d Výkld V dlší části se budeme zbývt integrály rcionálních funkcí, které dostneme z funkcí sin, cos reálných čísel pomocí konečného počtu ritmetických opercí (sčítání, odčítání, násobení dělení) Čsto jsou tyto integrály znčeny jko integrály typu R(sin,cos ) d, kde R( uv, ) předstvuje rcionální funkci dvou proměnných v= cos Jedná se npříkld o integrály funkcí: sin R(sin,cos ) =, cos R(sin,cos ) =, sin + sin + cos R(sin,cos ) = sin cos u = sin Poznámk Pokud bychom mezi výchozí funkce přidli ještě funkce tg cotg, nedostneme nic sin nového, neboť tg = cos vytvořenou ze sinů kosinů cos cotg = Po úprvě dostneme opět rcionální funkci sin - 7 -

68 6 Integrce goniometrických funkcí Univerzální substituce Ukážeme, že integrál typu R(sin,cos ) d můžeme substitucí tg = t, (, ) převést n integrál rcionální lomené funkce K tomu musíme nejprve funkce sin cos vyjádřit pomocí tg Anlogicky jko v příkldu 5 sndno odvodíme potřebné vzthy pro poloviční úhel z prvoúhlého trojúhelník Jestliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mít protilehlá odvěsn velikost tg = t t + tg = t Z Pythgorovy věty vypočteme velikost přepony + t Z definic funkcí sinus kosinus (poměr velikostí protilehlé resp přilehlé odvěsny ku přeponě) dostneme: sin = t + t cos = + t S použitím vzorců pro dvojnásobný úhel ( sin α = sinαcosα, cos cos sin α = α α ) získáme t t sin = sin cos = = + t + t + t, t t cos = cos sin = = + t + t + t Podsttné je, že po substituci dostáváme místo funkcí sinus kosinus rcionální funkce Ze vzthu tg = t pro (, ) dostáváme = rctg t, = rctgt, tedy d = dt Po doszení dostáváme integrál rcionální funkce + t - 7 -

69 6 Integrce goniometrických funkcí t t R(sin,cos ) d= R, d t t t t Shrnutí: Integrály typu R(sin, cos ) d můžeme řešit substitucí tg = t, (, ) Pk vyjádříme t sin =, + t t cos =, + t d = dt + t Řešené úlohy Příkld 5 Vypočtěte integrál sin d, (, ) Řešení: Uvedený integrál jsme již jednou řešili substitucí (příkld 6) Z výše odvozených vzthů sndno dostneme: d = dt = dt = ln t + C = ln tg C sin t + t t + t + Příkld 55 Vypočtěte integrál Řešení: Použijeme substituci tg cos sin + d = t Z výše odvozených vzthů sndno dostneme: d = dt = dt = cos sin + t t + t t t+ + t + + t + t = dt = dt = dt = dt = t t+ t t+ t t+ + + ( t ) = rctg( t ) + C = rctg(tg ) +C - 7 -

70 Příkld 56 Vypočtěte integrál + sin + cos d sin cos 6 Integrce goniometrických funkcí Řešení: Použijeme substituci tg = t Z výše odvozených vzthů dostneme: t t sin+ cos t t + t d = + + dt = dt sin cos t t + t t t + t + t + t = ( t+ ) ( t+ ) = dt = dt ( t t)( + t ) t( t )( + t ) Dostli jsme integrál z rcionální funkce ryze lomené Pro rozkld rcionální funkce n prciální zlomky použijeme postup uvedený v kpitole 5 Polynom ve jmenovteli má reálné kořeny t =, t = kompleně sdružené kořeny t, = ± i Rozkld n součet prciálních zlomků bude mít tvr: ( t+ ) A B Ct D = tt ( )( t ) t t t t Nlezneme neznámé koeficienty A, B, C, D rozkldu z rovnice ( t+ ) = A( t )( + t ) + Bt( + t ) + C t ( t ) + Dt( t ) Dostneme: A=, B =, C =, D = Integrujeme prciální zlomky: ( t + ) dt = ( + + ) dt = ln t + ln t rctg t + C tt ( )( + t ) t t + t = tg = ln tg + ln tg rctg tg + C = ln +C tg Poznámk Substitucí tg = t pro (, ) můžeme řešit kždý integrál typu R(sin,cos ) d Vzniklé rcionální funkce všk mohou být komplikovné integrce prcná V některých speciálních přípdech může k cíli rychleji vést substituce sin tg = t = t, cos = t, přípdně

71 6 Integrce goniometrických funkcí Kontrolní otázky Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, je-li m liché? Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, je-li n liché? Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, jsou-li m i n sudé? Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 5 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu m m m sin cos d? cos d? sin 6 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? sin 7 Jký postup zvolíte při výpočtu integrálu 8 Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 9 Jkou funkci předstvuje zápis R(sin,cos )? Kdy je vhodná univerzální substituce tg sin cos d? = t? cos d? sin Je vhodná univerzální substituce při výpočtu integrálu d? cos Při výpočtu integrálu sin d je vhodnější jiná než univerzální substituce Jká? cos n n n Úlohy k smosttnému řešení ) d) g) j) cos d b) sin cos d e) sin cos d h) cos d k) sin 5 sin d c) sin d f) 5 cos sin d i) sin d l) cos sin cos cos d sin cos sin d cos d d

72 6 Integrce goniometrických funkcí ) d) cos d sin + sin b) cos d + sin e) sin d c) cos + sin d cos f) sin + cos d sin cos 5 d ) d) sin d b) cos d sin + 5cos e) sin d c) 5 cos d sin cos f) d sin cos tg tg d tg + ) d) d b) cos d e) sin 7cos 7 sin d c) sin d cos f) sin d d + cos Výsledky úloh k smosttnému řešení ) sin sin + C ; b) d) g) 6 sin sin C 6 5 cos + cos cos +C; c) 5 5 cos + cos + C; 5 + ; e) sin + sin + C; f) + sin + sin + C ; 8 8 cos + + C ; h) sin cos + C sin sin + ; i) cos + j) cos + ln + C ; k) cos sin + sin + ln + C ; l) sin ln cos + + C ; cos sin +C 8 ) sin ln sin + + C ; b) ; c) rctg cos + C ; cos cos 6ln cos C d) f) sin rctg + C ; e) 8 sin sin + sin + C ) tg C 5 cos 5 cos + C; + ; b) tg + C ; c) ln tg + C ; d) rctg tg + C 5 5 ; e) tg + C ; f) ln tg + + C tg ) + tg ln tg + C ; b) ln tg + C ; c) C + ; d) ln tg 7 +C ; tg

73 6 Integrce goniometrických funkcí e) ln tg + tg + C ; f) rctg tg + C Kontrolní test Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu ) cos = t, b) sin = t, c) univerzální, d) tg = t sin d cos? Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu ) cos = t, b) sin = t, c) univerzální, d) tg = t Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu ) univerzální, b) sin = t, c) tg = t, d) cos = t Vypočtěte neurčitý integrál 5 cos d 7 sin d? sin d + 9cos 5 5 ) sin + sin sin +C, b) sin sin + sin + C, 5 5 c) 5 cos cos + cos + C, d) 5 5 Vypočtěte neurčitý integrál ) c) sin d cos C, sin + + sin b) C, cos + + cos d) 6 Vypočtěte neurčitý integrál ) c)? 5 cos + cos cos + C 5 cos cos + cos + cos + sin cos d ( sin + sin ) +C, b) 8 6 ( sin + sin ) + C, d) C, C ( sin + sin ) + C, 6 ( sin sin )

74 6 Integrce goniometrických funkcí 7 Vypočtěte neurčitý integrál d sin cos (lze i bez substituce) ) cotg + tg + tg +C, b) cotg tg C, tg c) cotg + tg + C, d) 8 Vypočtěte neurčitý integrál cos d sin tg + cotg + tg + C ) sin sin ln sin + C, b) sin + sin ln sin + C, c) sin sin + ln sin +C, d) d 9 Vypočtěte neurčitý integrál + sin + cos sin + sin + ln sin + C ) ln+ tg, b) ln + tg + C, c) ln + tg + C, d) ln+ tg + C Bez použití univerzální substituce vypočtěte neurčitý integrál ) tg + C, b) cos tg + C, c) cos cotg + C, d) cos sin d tg + + C cos Výsledky testu b); ); c); b); 5 b); 6 c); 7 ); 8 d); 9 c); d) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu 6 znovu propočítt dlší úlohy k smosttnému řešení Shrnutí lekce V prktických plikcích se velmi čsto vyskytují integrály, které obshují goniometrické funkce Při výpočtu integrálů tohoto typu je obvykle užíván substituční metod V této kpitole jsou přehledně uvedeny substituce používné pro zákldní typy integrálů, se kterými

75 6 Integrce goniometrických funkcí se čsto setkáváme Čsto se vyskytují integrály, které je možno řešit několik způsoby Je dobré zvolit tkovou metodu, která povede nejrychleji k cíli Obvykle postupujeme tkto: - Nejprve uvžíme, zd nelze použít substituci sin = t nebo cos = t, - pk zkoušíme, zd není vhodná substituce tg = t, - nkonec se pokusíme problém vyřešit univerzální substitucí tg = t - 8 -

76 7 Neelementární integrály 7 Neelementární integrály Výkld Kždá funkce f( ), která je spojitá n otevřeném intervlu I, má n tomto intervlu primitivní funkci V předcházejících kpitolách jsme se zbývli metodmi výpočtu primitivních funkcí Kždá primitivní funkce byl vyjádřen konečným výrzem obshujícím známé elementární funkce (npř, 5,, e, ln, sin, rctg, ) Eistují všk spojité funkce jedné proměnné, jejichž primitivní funkce nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí Tkovými funkcemi jsou npř funkce sin, cos, e, e, e, sin, cos, + K těmto funkcím sice primitivní funkce eistují, le nelze je vyjádřit elementárními funkcemi v konečném tvru V tomto přípdě integrál tkové funkce předstvuje neelementární funkci, kterou nzýváme vyšší trnscendentní funkce Obecně nelze říci, kdy se nám nedří nlézt primitivní funkci, protože jsme použili nevhodnou metodu kdy z toho důvodu, že ji nelze vyjádřit v konečném tvru (jde o vyšší trnscendentní funkci) Tuto otázku dovedeme odpovědět jen u některých integrálů, u nichž víme, že se jedná o vyšší trnscendentní funkce: e (integrální sinus), prvního druhu), d (Gussov funkce), cos d (integrální kosinus), sin d, e ln t d = dt (integrální logritmus), t cos d (Fresnelovy integrály) d, k < k sin sin d (eliptický integrál Integrály tohoto typu se vyskytují v řdě prktických plikcí npř v teorii chyb, prvděpodobnosti sttistice Jistou výhodou při počítání integrálů je fkt, že v přípdě pochybností můžeme správnost výpočtu ověřit zkouškou, neboť z definice primitivní funkce plyne funkci ( f d) ( ) = f( ) Pokud je náš výpočet správný, zderivováním výsledné funkce dostneme integrovnou - 8 -

77 URČITÝ INTEGRÁL Určitý integrál Průvodce studiem V předcházející kpitole jsme se seznámili s pojmem neurčitý integrál, který dné funkci přiřzovl opět funkci (přesněji množinu funkcí) V této kpitole se budeme věnovt určitému integrálu, který dné funkci přiřzuje číslo Určitý integrál má využití ve velkém množství plikcí Pomocí určitého integrálu můžeme počítt obshy ploch, délky křivek, objemy pláště rotčních těles, sttické momenty rovinných obrzců, křivek rotčních těles, souřdnice těžiště Velké množství plikcí nleznete ve fyzice (výpočet rychlosti, dráhy, práce, ) Dlší plikce nleznete v ekonomice, finncích, prvděpodobnosti sttistice v mnoh dlších oborech Eistuje několik přístupů, jk vybudovt pojem určitý integrál tomu odpovídá několik druhů určitých integrálů (Newtonův, Riemnnův, Lebesgueův) Podle způsobu zvedení se mění tříd integrovtelných funkcí Dnes bývá obvyklé používt definici, jk ji zvedl význmný německý mtemtik B Riemnn (86 866) Potřeb vybudování tohoto pojmu vychází z potřeb řešení geometrických problémů problémů klsické mechniky Množin funkcí, které jsou integrovtelné v Riemnnově smyslu je dosttečně široká pro inženýrskou pri Způsob zvedení je východiskem pro numerické výpočty určitých integrálů Pojem Riemnnov určitého integrálu Cíle Seznámíte se s pojmem Riemnnov integrálu funkce jedné proměnné geometrickým význmem tohoto integrálu Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce, neurčitý integrál jejich výpočet Výkld Historickou motivcí pro vznik určitého integrálu byl výpočet obshů ploch Tento problém řešili již stří Egypťné v souvislosti s určováním velikostí pozemků, jejichž velikost se měnil v důsledku záplv Nilu Problém řešili tk, že dnou plochu rozdělili n trojúhelníky, spočítli jejich obshy ty pk sečetli Tyto metody později rozvinuli stří Řekové V 6 7 století byl velká pozornost věnován studiu křivek, byl rozvíjen - 8 -

78 Pojem Riemnnov určitého integrálu klsická mechnik Vzniká otázk, jkým způsobem je vhodné definovt obsh obecných útvrů, které se nedjí rozložit n konečný počet trojúhelníků Motivce Zbývejme se následující úlohou: Mějme funkci ohrničený shor grfem funkce f( ), která je spojitá nezáporná n intervlu < b, > Geometrický útvr f( ), přímkmi =, = b osou (obr ) nzveme křivočrý lichoběžník Nším úkolem je vypočítt obsh tohoto útvru Obr Křivočrý lichoběžník Ze střední školy znáte vzthy pro výpočet obshu trojúhelník, obdélník, kruhu možná několik dlších jednoduchých obrzců Pro obecnou funkci y = f( ) všk ztím obsh obrzce n obr vypočítt nedovedeme Nvrhněme, jk vypočítt obsh tohoto útvru lespoň přibližně: Rozdělíme obrzec rovnoběžkmi s osou y n proužky (n ilustrčním obrázku jsou čtyři) Je zřejmé, že obsh obrzce dostneme jko součet obshů jednotlivých proužků V uvedeném přípdě P= P+ P + P+ P Obr Rozdělení n proužky" Vypočteme obsh jednotlivých proužků Jelikož shor jsou ohrničeny funkcí f( ), provedeme výpočet přibližně Funkci v dném pásku nhrdíme funkční hodnotou f ( ξ ) v nějkém bodě ξ, který jsme zvolili v zákldně tohoto proužku Dný proužek tedy - 8 -

79 Pojem Riemnnov určitého integrálu proimujeme obdélníčkem Tím se dopouštíme určité chyby, neboť někde obdélníček přeshuje funkci f( ) někde je zse nižší Obr Aproimce obrzce obdélníčky Obsh obrzce n obr bude přibližně roven součtu obshů jednotlivých obdélníčků: P= ( ) f( ξ ) + ( ) f( ξ ) + ( ) f( ξ ) + ( ) f ( ξ ) = = ( i i ) f( ξi) i= Dá se předpokládt, že pro rozumné funkce bude chyb tím menší, čím větší bude počet proužků, n které byl obrzec rozdělen (obr ) Obr Zvětšení počtu obdélníčků Budeme-li počet proužků neomezeně zvětšovt součsně je zužovt, měl by se přibližná hodnot dná součtem obdélníčků stále více přibližovt obshu P dného obrzce Tedy obsh P dostneme jko limitu pro nekonečný počet obdélníčků K podobnému problému dospějeme při řešení jednoduché úlohy z klsické mechniky Chceme vypočítt práci, která se vykoná při přímočrém pohybu, má-li síl směr dráhy Nechť n hmotný bod pohybující se po dráze < b, > působí síl f( ) Je-li tto síl konstntní, je vykonná práce rovn součinu síly dráhy Pokud se velikost síly mění (dán funkcí f( ) n intervlu < b, > ) můžeme postupovt tk, že dráhu rozdělíme n dílčí - 8 -

80 Pojem Riemnnov určitého integrálu intervly v kždém použijeme hodnotu síly f ( ξ i ) v nějkém bodě dílčího intervlu Tedy stejně jko v předcházející úloze je celková vykonná práce proimován součtem práce n dílčích intervlech Limitním přechodem, kdy zvyšujeme počet dělících bodů, přičemž se šířk dílčích intervlů blíží k nule, dostneme celkovou práci Anlogický postup použijeme při zvedení určitého integrálu Definice určitého integrálu Definice určitého integrálu je poměrně složitá K pojmu určitý integrál dospějeme následujícím způsobem Uvžujme funkci y = f( ), která je definován n uzvřeném intervlu < b, > je n tomto intervlu spojitá ohrničená Musejí tedy eistovt konstnty m M tkové, že pro všechn < b, > pltí m f ( ) M Obr 5 Ohrničená funkce n uzvřeném intervlu < b, > Výkld omezíme n funkce po částech spojité n intervlu < b, >, tj n funkce, které mjí n tomto intervlu konečný počet bodů nespojitosti (body nespojitosti druhu) S tkto definovným určitým integrálem vystčíme při běžných plikcích integrálního počtu v přírodních technických vědách Poznámk Předpokld ohrničené funkce n uzvřeném intervlu je podsttný Někdy lze pojem Riemnnov integrálu rozšířit i n přípdy, kdy funkce není ohrničená nebo intervl není uzvřený Pk mluvíme o nevlstních integrálech (kp 5) Definice Říkáme, že funkce f( ) je n intervlu < b, > integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá

81 Postup při zvedení pojmu určitý integrál: Pojem Riemnnov určitého integrálu Intervl < b, > rozdělíme n n dílčích intervlů Množinu dělících bodů {,,, } D n = n, kde = < < n < n = b, nzveme dělením intervlu < b, > n n intervlů < i, i >, i =,,, n Číslo ν ( Dn) = m ( i i ) budeme nzývt normou dělení Toto číslo nám i=,, n říká, jká je délk největšího intervlu v dném dělení Smozřejmě intervlů s touto mimální délkou může být více, přípdně mohou být intervly stejně dlouhé (ekvidistntní body) Norm dělení chrkterizuje, jk je dělení jemné V kždém dílčím intervlu dělení D n vybereme jeden bod ξ <, >, i=,,, n Množinu těchto bodů Rn = { ξ, ξ,, ξn} i i i nzývt výběrem reprezentntů příslušných k dělení D n Pro dné dělení D n intervlu < b, > výběr reprezentntů R n vytvoříme součet n D n budeme σ( f, D, R ) = f( ξ )( ) Tto sum se nzývá integrálním součtem funkce f n n i i i i= nebo tké Riemnnův součet (Georg Friedrich Bernhrd Riemnn, ) Geometrický význm tohoto součtu je znázorněn n obr 6 Jedná se vlstně o součet obshů obdélníků se zákldnmi zřejmé, že pro ( i i ) výškmi f ( ξ ), kde i =,,, n Je f ( ξ i ) < bude hodnot pro dný obdélník záporná Oznčení σ ( f, D, R ) znmená, že integrální součet závisí n funkci f, n konkrétním dělení n n n výběru reprezentntů R n Budeme vytvářet integrální součty pro stále jemnější dělení D intervlu < b, > při libovolných výběrech reprezentntů i n D n R n Pokud bude eistovt limit integrálních součtů σ ( f, D, R ) pro n normu dělení ν ( ) nezávisle n výběrech n n reprezentntů, nzveme ji určitý integrál funkce D n f( ) n intervlu < b, >

82 Pojem Riemnnov určitého integrálu Obr 6 Integrální součet funkce f Definice Nechť je funkce f( ) integrovtelná n intervlu < b, >, D je dělení intervlu < b, > R n výběr reprezentntů Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu < b, >, jestliže eistuje číslo I R s vlstností lim σ ( f, Dn, Rn) = I n pro libovolnou posloupnost dělení n D, pro kterou pltí lim ν ( D ) = při libovolné volbě n n reprezentntů R n Číslo I nzýváme určitý (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu b < b, > píšeme I = f( ) d Číslo nzýváme dolní mez, číslo b horní mez, intervl < b, > integrční obor funkci f integrnd n Geometrický význm určitého integrálu b Je-li f ( ) n intervlu < b, >, pk f ( d ) předstvuje obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f( ), přímkmi =, = b osou (obr ) Poznámky b Zápis neurčitého integrálu f ( d ) určitého integrálu f ( d ) je formálně velmi

83 Pojem Riemnnov určitého integrálu podobný U určitého integrálu jsou pouze nvíc integrční meze To má z následek, že je studenti povžují prkticky z stejné Určitý neurčitý integrál se všk zásdně liší! Výsledkem neurčitého integrálu je funkce (množin funkcí), výsledkem určitého integrálu je číslo Přestože se jedná o zcel odlišné pojmy, eistuje mezi nimi důležitá souvislost, jk uvidíme dále (vět ) Z konstrukce určitého integrálu je zřejmé, že výsledek nezávisí n tom, jk oznčíme b b b integrční proměnnou Tedy f ( d ) = f( tdt ) = f( udu ) Symbol integrálu vznikl protžením písmene S, které oznčovlo sumu Z definice určitého integrálu vidíme, o jkou sumu (integrální součet) se jedná Postup uvedený v předcházející části jsme mohli relizovt nejlépe s použitím počítče Dný intervl < b, > bychom rozdělili ekvidistntními body n dosttečný počet dílčích intervlů (třeb milion), jko reprezentnty bychom zvolili levé nebo prvé hrnice těchto dílčích intervlů Sndno nprogrmujeme výpočet integrálního součtu Pokud určitý integrál eistuje, bude tento integrální součet jistou proimcí určitého integrálu Uvedený postup je zákldem obdélníkové metody numerického výpočtu určitých integrálů Těmito postupy odhdem chyby se zbývá numerická mtemtik

84 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Výpočet vlstnosti určitého integrálu Cíle Zákldní vět integrálního počtu (Newton Leibnizov) nám umožní výpočet určitých integrálů Poznáte zákldní vlstnosti určitých integrálů Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte zvedení význm určitého integrálu, pojem primitivní funkce, neurčitý integrál jeho výpočet Výpočet určitého integrálu Výkld V předcházející kpitole jsme uvedli definici určitého integrálu Kromě konstntní funkce (určitý integrál je vlstně obsh obdélník) jsme dosud nebyli schopni žádný integrál spočítt Následující vět je pojmenován podle dvou mtemtiků, kteří se zsloužili o vybudování zákldů integrálního počtu funkce jedné proměnné Newton Leibnize (Isc Newton 6-77, Gottfried Wilhelm Leibniz 66-76) Vět (Newtonov Leibnizov formule) Nechť funkce f( ) je spojitá n intervlu < b, > F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervlu < b, >, pk Důkz: b f ( d ) = Fb ( ) F ( ) Ukážeme, že rozdíl Fb ( ) F ( ) je pro libovolné dělení D intervlu < b, > roven integrálnímu součtu σ ( f, D, R ) Zvolme libovolné dělení D {,,, } n n n n = n, kde = < < < n < n = b, intervlu < b, > Jelikož F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervlu < b, >, splňuje v kždém subintervlu <, >, i =,,, n předpokldy Lgrngeovy i i věty (vět 5, Mtemtik I, část II) To znmená, že eistují čísl ξ <, > i i i tková, že pltí F( i) F( i ) = F ( ξi)( i i ) Protože F ( ξi) = f( i), dostáváme F( ) F( ) = f( ξ )( ) i i i i i

85 Sečtením přes všechn i dostneme Výpočet vlstnosti určitého integrálu n f( ξi)( i i ) = F( ) F( ) + F( ) F( ) + + F( n) F( n ) = i= = F( ) F( ) = F( b) F( ) n Obdrželi jsme, že pro libovolné dělení σ ( f, D, R ) = F( b) F( ) n n D n je integrální součet Podle předpokldu je funkce f( ) integrovtelná, což znmená, že pro zjemňující se dělení s normou dělení ν ( D n ) bude integrální součet konvergovt k jisté konstntě I b (hodnotě integrálu f ( d ) ) Hodnot integrálního součtu je vždy rovn Fb ( ) F ( ) Tedy b lim σ ( f, Dn, Rn) = f( ) d= F( b) F( ) n Poznámky Pro rozdíl Fb ( ) F ( ) se vžil zápis [ F( )] b, tkže Newtonovu Leibnizovu formuli f ( d ) = F( ) = Fb ( ) F ( ) obvykle zpisujeme ve tvru [ ] b b Z věty víme, že k dné funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstntou Je otázkou, jký výsledek dostneme pro jinou primitivní funkci G ( ) F ( ) C G ( b) G ( ) = Fb ( ) + C F ( ) + C = Fb ( ) F ( ) = + Sndno zjistíme, že [ ] [ ] Tedy hodnot integrálu nezávisí n integrční konstntě C Proto v dlších příkldech integrční konstntu nebudeme používt Newtonov Leibnizov formule může být použit pro definování určitého integrálu historicky byl určitý integrál nejprve definován tímto způsobem Tento integrál je nzýván Newtonův určitý integrál funkce f( ) U funkcí spojitých n integrčním intervlu jsou si ob integrály (tj Newtonův Riemnnův) rovny Obecně tk tomu není Newtonovu - Leibnizovu formuli lze zobecnit i n ohrničené, po částech spojité funkce Výpočet všk vyžduje určité optrnosti, bychom vhodnou volbou integrční konstnty dostli funkci F( ) spojitou n < b, > - 9 -

86 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál d Řešení: Funkce f ( ) = je spojitá pro kždé R primitivní funkci k ní nlezneme pomocí vzorce v tb S využitím Newtonovy Leibnizovy formule dostneme 5 d= = = = Příkld Vypočtěte integrál d + Řešení: Funkce f( ) = + je spojitá pro kždé R + d = d = d = [ rctg ] = = ( rctg) ( rctg ) = Příkld Vypočtěte integrál sin d Řešení: Funkce f( ) = sin je spojitá pro kždé, pro nlezení primitivní funkce použijeme vzth [6] v tbulce zákldních integrálů (tb ) cos cos cos sin d = = + = + = - 9 -

87 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Příkld Vypočtěte integrál e + d e + Řešení: Funkce e + f( ) = e + v příkldu 5 je spojitá pro kždé R Primitivní funkci jsme již hledli e + ( e + )( e e + ) d ( ) d e e d e e e + e + = = + = + = = e e+ e e + = e e+ + = e e+ (Při úprvě čittele zlomku jsme použili vzth + b = ( + b)( b+ b )) Příkld 5 Vypočtěte integrál d (Výstržný) Řešení: Pokud budeme postupovt zcel mechnicky, dostneme: d = ln = ln ln = Avšk funkce V bodě = f( ) = není n intervlu <, > spojitá (lespoň po částech) má bod nespojitosti druhu, není tedy v okolí počátku ohrničená Vzhledem k tomu nelze použít Newtonovu Leibnizovu formuli (není n dném intervlu definován Newtonův integrál) Získný výsledek je nesprávný Správný výsledek si ukážeme později - 9 -

88 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Vlstnosti určitého integrálu Výkld V této části uvedeme zákldní vlstnosti určitého (Riemnnov) integrálu, které budeme v dlším běžně používt při prktických výpočtech Vět Nechť funkce f( ) g( ) jsou integrovtelné n intervlu < b, > c je libovolná konstnt Pk pltí b ) [ f ( ) ± g( ) ] d= f( ) d ± g( ) d, b b b) cf ( ) d = c f ( ) d b Důkz: Z definice Riemnnov integrálu pro normální posloupnost dělení dostáváme: b ) [ f ± g ] d= f ξi ± g ξi i i n ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]( ) = n n i = n = lim f ( ξ )( ) ± lim g( ξ )( ) = f( ) d ± g( ) d i i i i i i n i= n i= b b n n b b) cf( ) d= lim cf( ξi)( i i ) = c lim f( ξi)( i i ) = c f( ) d n i n = i= Poznámky První vlstnost se nzývá ditivit vzhledem k integrndu, druhá homogenit Podobné vlstnosti měl i neurčitý integrál (vět ) Vlstnost ditivity sndno rozšíříme n libovolný konečný počet sčítnců b b - 9 -

89 Příkld 6 Vypočtěte integrál Výpočet vlstnosti určitého integrálu + 5 d Řešení: Funkce f( ) = + 5 je spojitá pro, tedy n oboru integrce je spojitá Integrovnou funkci nejprve rozšíříme součtem odmocnin + 5+ d = d = = + + d = + + d ( + 5) ( ) 9 Použijeme větu integrál rozdělíme n součet dvou integrálů: + 5+ ( + 5) ( ) d = + 5d + d = = = = ( ) ( ) = ( ) = 6 = 6 = 7 7 Pro výpočet integrálů byl použit vzth [6] z tbulky zákldních integrálů (tb ) = Příkld 7 Vypočtěte integrál + d Řešení: Jmenovtel integrovné rcionální funkce se nesmí rovnt nule = ( ) Funkce + f( ) = má body nespojitosti = =, tedy n oboru integrce je spojitá Internd je rcionální funkce, musíme nejprve provést rozkld n součet prciálních zlomků (viz kp 5) Polynom v čitteli je stupně m = polynom ve jmenovteli rcionální funkce má tké stupeň n = Jelikož není m < n, je dná funkce neryze lomená rcionální funkce - 9 -

90 musíme polynomy vydělit Výpočet vlstnosti určitého integrálu ( + ):( ) = ( ) + Dnou rcionální funkci proto můžeme podle věty 5 zpst ve tvru + + = + Polynom ve jmenovteli Dostneme Q ( ) = ( ) Q ( ) Rcionální funkci rozložíme n součet prciálních zlomků: + A A B = + + ( ) = rozložíme n zákldní součin podle věty 5 Nlezneme konstnty rozkldu A, A,B (viz kp 5) Dostneme A =, A =, B = 5 Integrujeme získné prciální zlomky: + d = d d d d d = + = = [ ] ln + + ln = ( ) (ln ln ) + + (ln ln) = 7 9 = ln + ln + ln = + ln Definice Nechť je funkce f( ) integrovtelná n intervlu < b, > Pk b f ( d ) = f( d ) b Poznámky Pro spojité funkce (Newtonův integrál) je uvedená vlstnost triviální, neboť

91 Výpočet vlstnosti určitého integrálu b f ( d ) = F( b) F( ) = ( F( ) F( b)) = f( d ) Důsledkem této definice, je následující vlstnost pro kždou integrovtelnou funkci b f( ) d= Vět Nechť je funkce f( ) integrovtelná n intervlu < b, > c je libovolné reálné číslo < c< b Pk je f( ) integrovtelná n intervlech < c, > < cb, > pltí b c b f ( d ) = f( d ) + f( d ) c Poznámky Vlstnost se nzývá ditivit určitého integrálu vzhledem k mezím Větu lze zobecnit n libovolný konečný počet částečných intervlů tedy n konečný počet sčítnců Větu využíváme zejmén v přípdech, kdy integrnd nemá n intervlu < b, > jednotný nlytický předpis Příkld 8 Vypočtěte integrál d Řešení: Z definice bsolutní hodnoty pltí pro <, >, = pro <, >, viz obr

92 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Obr Grf funkce f ( ) =, <, > Funkce je integrovtelná, protože je n dném intervlu spojitá ohrničená Podle věty bude pltit d= d+ d= d+ d= + = 9 = ( ) + = Příkld 9 Vypočtěte integrál 5 f ( d ), kde pro <,>, f( ) = pro (,), pro <,5 > Řešení: Dná funkce je ohrničená má dv body nespojitosti = = (obr ) Podle věty bude pltit Obr Grf funkce z příkldu f ( d ) = f( d ) + f( d ) + f( d ) = d+ ( ) d+ d Všimněte si, že jsme u druhého integrálu mlčky změnili hodnoty funkce f() v krjních bodech n - To nemá vliv n hodnotu integrálu Dostneme

93 Výpočet vlstnosti určitého integrálu 5 5 f( ) d = [ ] [ ] + [ ] = ( ( )) ( ) + (5 ) = 5 Výsledek je dán součtem obshů dvou obdélníků čtverce Ploch druhého obdélník je všk brán záporně! Vět Nechť je funkce f( ) integrovtelná n intervlu < b, > pro všechn < b, > je b f ( ) Pk pltí f( ) d Důkz: Plyne přímo z definice Riemnnov integrálu (def ) Poznámk Uvedenou vlstnost můžeme čsto použít k jisté hrubé kontrole výsledku Je-li integrovná funkce nezáporná, nemůže vyjít záporná hodnot určitého integrálu Vět 5 Nechť jsou funkce f( ) g( ) integrovtelné n intervlu < b, > pro všechn b b < b, > je f( ) g( ) Pk pltí f ( d ) g( d ) Důkz: Podle předpokldu je g( ) f ( ) pro všechn < b, > Podle věty bude b ( f( ) g( )) d Odtud s použitím věty dostneme tvrzení Vět 6 (Vět o střední hodnotě integrálního počtu) Nechť je funkce f( ) spojitá n intervlu < b, > Pk eistuje číslo ξ < b, > tkové, že pltí f ( d ) = f( ξ )( b ) b Číslo c = f( ξ ) se nzývá střední hodnot funkce f( ) n intervlu < b, >

94 Důkz: Je-li funkce Výpočet vlstnosti určitého integrálu f( ) spojitá n intervlu < b, > F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervlu < b, >, tedy F ( ) = f ( ) Funkce F( ) je spojitá splňuje předpokldy Lgrngeovy věty (vět 5, Mtemtik, část II) To znmená, že eistuje číslo ξ < b, > tkové, že pltí Fb ( ) F ( ) = F ( ξ )( b ) = f( ξ )( b ) Odtud z věty b dostneme f ( d ) = f( ξ )( b ) Předcházející vět má názorný geometrický význm Pro jednoduchost předpokládejme, že funkce f( ) je spojitá nezáporná Z motivce n zčátku kpitoly víme, že b f ( d ) vyjdřuje obsh obrzce ohrničeného grfem funkce f( ), osou přímkmi =, = b Vět říká, že lze nd intervlem < b, > sestrojit obdélník se stejným obshem Výšk je b rovn funkční hodnotě ve vhodném bodě ξ < b, >, by c= f( ξ ) = f( ) d ( b ) Obr Geometrický význm věty o střední hodnotě Z obrázku je zřejmé, že bod ξ nemusí být určen jednoznčně (přímk funkce protnout několikrát) y = c může grf Příkld Vypočtěte střední hodnotu funkce f ( ) = n intervlu <, > Řešení: c= ( ) d= = + ( ) =

95 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Obsh obrzce pod prbolou lze vyjádřit jko obsh obdélník s jednou strnou <, > délky velikost druhé strny bude (obr ) Obr Střední hodnot funkce f ( ) = n intervlu <, > Určeme ještě, ve kterém bodě ξ <, > je střední hodnot rovn funkční hodnotě funkce f ( ) = Řešíme rovnici = dostneme ξ =± (dv body s touto vlstností) Příkld Rychlost určitého objektu vt () v metrech z sekundu se v průběhu prvních sekund pohybu měnil Od zčátku pohybu ( t = ) byl sekundy pohyb rovnoměrně zrychlený vt () =,5t, od do sekundy se pohybovl konstntní rychlostí vt () =, posledních sekund byl rychlost vt () =,8t 6 m/s Určete střední hodnotu rychlosti objektu (průměrnou rychlost) z sekund Ve kterém čsovém okmžiku jel touto rychlostí? Řešení: c= v() t dt =,5tdt+ dt+ (,8t 6) dt =,5t,8t 76 = + [ t] + 6t = [ + + 6] = =,8 m/s Jelikož je funkce vt () spojitá n intervlu <, >, určitě eistuje lespoň jeden čsový okmžik, kdy se objekt pohybovl právě touto rychlostí Z konstrukce grfu funkce je zřejmé, - -

96 Výpočet vlstnosti určitého integrálu že tento okmžik nstl mezi sekundou (průměrná rychlost je větší než ) n jeho určení je nutno řešit rovnici,8 =,8t 6 Dostneme ξ =,5 sekund Kontrolní otázky Které funkce jsou Riemnnovsky integrovtelné? Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet určitého integrálu Vysvětlete rozdíl mezi definicí Newtonov Riemnnov integrálu Uveďte vlstnost určitého integrálu 5 5 Jk vypočtete integrál + d? 7 6 Jk vypočtěte integrál cos d? 7 Ukžte, že pltí vzth sin n d =, kde n N 8 Jká je střední hodnot funkce f( ) = sin n intervlu <, >? Úlohy k smosttnému řešení ) d) ) d) d b) ( + 6 ) d c) ( ) 6 d e) + cos d b) sin sin cos d e) d f) + + d 7 d cos d c) cos d tg d f) d sin cos - -

97 ) d) ) d) 5 ) d) 6 e d b) 5 d c) e d e) e d 7 b) + 5 d e) 5 d b) d e) e ( ) d d f) ln e 5 d + d + 7 c) f) 8 d c) + d Výpočet vlstnosti určitého integrálu e 5 d d rcsin d d ( ) f) ( ) sin d d Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 6 ; b ) 76 ; c) 665 ; d) ln ; e) ln ; f) ) ; b ) ; c) ; d) ; e) ; f) ) ( 8 e ); b ) 8 ln 5 ln5 ln 5 + ; c) ( ) 5 e ; d) e + ln ; e) ln ; f) ln ) + ln ; b ) 5 ln 5 ; c) rctg rctg ; 7 6 d) ln ln + ln 6 ; e) f) 5 8 ; f) ln 5 ) 5 6 ; b )9 ; c) ; d) ln ; e) ; Kontrolní test Vypočtěte integrál 8 d 5 ), b), c), d) 8 - -

98 Výpočet vlstnosti určitého integrálu Vypočtěte integrál ln ( e e ) d ), b) 5, Vypočtěte integrál ) +, b) Vypočtěte integrál c), sin d) cos cos d, c), d) ( + cos ϕ) dϕ ) 8, b), c), d) 9 5 Čemu se rovná integrál ) 8ln + ln, 8 d +? b) + 8ln 8ln, 8 c) 8ln 5ln, 8 + d) 8ln 5ln Čemu se rovná integrál ) 8 ln, 5 7 Vypočtěte integrál d +? b) ln 8 ln 5, c) d ) 6, b) 8, c), d) 8 Vypočtěte integrál 5 f ( d ),kde f( ) = ln ln 5, d) ln 5 pro, pro, pro 5 ) 5, b), c) 89, d) - -

99 9 Vypočtěte střední hodnotu funkce Výpočet vlstnosti určitého integrálu f( ) = + n intervlu<,> ), b), 9 c), 9 Vypočtěte střední hodnotu funkce ) 6 ln, 5 b) 5 ln, 6 d) 9 c) ln+ ln, d) f( ) = n intervlu< ;,5> + 6 ln 5 Výsledky testu b); ); b); d); 5 c); 6 ); 7 c); 8 d); 9 b); d) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly znovu Shrnutí lekce Hlvním záměrem kpitol bylo zvést pojem určitého Riemnnov integrálu uvést zákldní vlstnosti tohoto integrálu, které jsou využívány při prktickém výpočtu Riemnnův integrál je pro spojité funkce totožný s integrálem Newtonovým Zjednodušeně řečeno - Riemnnův integrál můžeme vždy v konkrétních výpočtech počítt jko integrál Newtonův, tedy prostřednictvím primitivních funkcí A s těmi již v tuto chvíli máme dosttek zkušeností Definovt Riemnnův určitý integrál je bezesporu mnohem obtížnější, než zvést pojem určitého integrálu Newtonov Proč se tedy Riemnnovým integrálem v tomto úvodním kurzu zbýváme? Především pro jeho názornou geometrickou interpretci Pro spojitou nezápornou funkci odpovídá totiž její Riemnnův integrál n zdném uzvřeném intervlu plošnému obshu oblsti vymezené zdným intervlem grfem integrovné funkce O dlších užitečných plikcích Riemnnov integrálu se můžete dočíst v kpitole - -

100 Metod per prtes pro určité integrály Metod per prtes pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím metody per prtes při výpočtu určitých integrálů Zákldní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt jsou stejné, jko při výpočtu neurčitých integrálů v kp Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte princip metody per prtes víte, pro které typy integrálů je tto metod vhodná Předpokládá se znlost pojmu určitý integrál dovednost počítt určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule Výkld Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per prtes substituční metodu Při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí můžeme postupovt v zásdě dvěm způsoby: Oddělíme fázi nlezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu Nejprve si nevšímáme mezí počítáme pouze neurčitý integrál Po vypočítání vybereme jednu z nlezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrční konstntu Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez C = ) podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu U metody per prtes průběžně doszujeme meze do již vypočtené části primitivní funkce, u substituční metody změníme integrční meze, jk uvidíme v dlší kpitole V dlším se změříme n druhou možnost výpočtu Vět Mjí-li funkce u ( ) v ( ) v intervlu < b, > spojité derivce u ( ) v ( ), pk pltí b b u ( ) v ( ) d= [ u ( ) v ( )] u ( ) v( d ) Důkz: b Ze spojitosti derivcí u ( ) v ( ) plyne, že jsou spojité i funkce u ( ) v ( ) v intervlu < b, > Potom budou spojité tedy integrovtelné i součiny u ( ) v( ) u ( ) v ( ) - 5 -

101 Metod per prtes pro určité integrály Podle věty bude integrovtelná i funkce u ( ) v( ) + u( ) v ( ) K ní primitivní u ( ) v ( ) = u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) Podle Newtonovy funkce je u ( ) v ( ), protože [ ] b b Leibnizovy formule pltí [ u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) ] d= [ u ( ) v ( )] Pomocí věty dostneme věty b b u ( ) vd ( ) + u ( ) v ( d ) = u ( ) v ( ) [ ] b po úprvě obdržíme tvrzení Poznámk Prktické použití metody per prtes je zcel nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu (kp ) Zejmén pltí návody, pro které funkce je metod per prtes vhodná Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál sin d Řešení: Předvedeme první způsob výpočtu, kdy nejprve nlezneme primitivní funkci teprve potom dosdíme meze: u = sin v= sin d= = cos + cos d u = cos v = = u = cos v= = = cos + sin sin d= cos + sin + cos C u = sin v = + Použijeme jednu z primitivních funkcí pro C = dostneme sind cos sin cos = + + = ( ( ) + + ( )) (+ + ) = = Při druhém způsobu výpočtu použijeme větu : u = sin v= sin d= = cos + cos d u = cos v = = - 6 -

102 Metod per prtes pro určité integrály [ ] d [ ] u = cos v= = = ( ) + sin sin = + ( ) + cos u = sin v = = = + ( ) = Výhod druhého způsobu spočívá v tom, že meze průběžně doszujeme do částečně vypočtené primitivní funkce nemusíme ji neustále opisovt ž do konce výpočtu Výpočet se tím zkrátí zpřehlední V dlších příkldech budeme používt tento způsob výpočtu Příkld Vypočtěte integrál ( ed ) Řešení: = = u = e v = u e v ( e ) d= = ( e ) ( ) e d = u = e v= = = ( ) e ( ) e + e u = e v = d= ( ) = e e + e + e = e + e e = e Příkld Vypočtěte integrál Řešení: e u = v= ln e ln d e e ln d= = [ ln ] d ( eln e ln) = [ ] = u = v = = ( e ) ( e ) = e Příkld Vypočtěte integrál rctg d Řešení: u = v= rctg rctg d= = rctg d u = v = + + = - 7 -

103 Metod per prtes pro určité integrály + = ( ) = ( ) = rctg 8 8 d d [ ] = + + = ( ) = 8 Příkld 5 Nlezněte rekurentní formuli pro výpočet integrálu Sn = (sin ) n d, n =,,, Řešení: Pro n = je S = d= pro Pro n metodou per prtes dostneme: = sin = cos = n = je S d [ ] n n n n u = sin v= (sin ) Sn = (sin ) d= = cos (sin ) + u = cos v = ( n )(sin ) cos n n ( n )(sin ) cos d [ ] ( n )(sin ) ( sin ) d= + = + n n = ( n ) (sin ) d (sin ) d = ( n )( S n S n ) Z rovnice S = ( n )( S S sndno dostneme Sn n n Sn n n n ) = ( n ) Tto rekurentní formule nám umožní vypočítt uvedený integrál pro libovolnou mocninu S = (sin ) d= S = =, (sin ) n Npříkld: S = d= S = S = = 6-8 -

104 Metod per prtes pro určité integrály Kontrolní otázky Proč je integrční metod nzýván per prtes? Jk se liší výpočet určitého integrálu metodou per prtes od použití této metody v neurčitém integrálu Jk by se podle věty vypočítl integrál typu u ( ) v ( d )? b Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu 5 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu 6 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu sin d? e ln d? e ln d? e 7 Jk volit funkce u ( ) v ( ) při výpočtu integrálu e sin d? 8 Vypočtěte integrál 9 Vypočtěte integrál e d ( )sind Odvoďte rekurentní formuli pro výpočet integrálu L n = (ln ) n d e Úlohy k smosttnému řešení ) d) sin d b) ln e d c) sin d e d e) cos d f) ( + ) ed - 9 -

105 Metod per prtes pro určité integrály ) d) e ln d b) ( + ) rctgd e) lnd c) e ln d f) rctg d e ln d ) d) ) 5 ) e ln d b) rctg d c) rccos d e) ln ( + ) d f) e sin d b) cos( ln ) d c) e d) sin ( ln ) e e e ln d rctg d e sin d d e) e sin d f) e cos d d b) sin e ln d c) e ( + ) d Výsledky úloh k smosttnému řešení ) ; b ) ( ) 7 b) ln ; c) b) ln ; c) ; d) 9 e ; e) ; f) 7 6 ; d) ; e) ( e + ) ; f) ( ) ln ; c) e ; d) + ; e) ln ; f) 9 e ) ( ) 6 e + ; e ) e + ; ln ) 8 e + ; b) ( + ) ; c) ( e + ) ; d) ( + ) ; e) ( ) ; f) ( ) e e 5 ) + ln ; b) 6 e ; c) 5 e e 5 e e + e - -

106 Metod per prtes pro určité integrály Kontrolní test Vypočtěte integrál ), ( + )cos d b), c), d) Vypočtěte integrál e d ) + e, b) e, c) + e, d) - Vypočtěte integrál sin d ) ( ), b) ( ) +, c), d) Čemu se rovná integrál rctg d? ) ln, b) ln, 6 + c) + ln, d) 5 Čemu se rovná integrál 6 d? sin ) ln, b) + ln, c) + ln, d) Čemu se rovná integrál e ln( + ) d? ), b) e +, c) e, d) e + 7 Vypočtěte integrál ln( + ) d ), b) ln +, c) ln +, d) + ln 6 + ln 6 - -

107 Metod per prtes pro určité integrály 8 Vypočtěte integrál ), 9 Vypočtěte integrál rc cotg d b) ( + ), c) ( ), d) e e ln d ) ( 9 e ), b) ( ) e 9 e +, c) ( e 9 e ), d) e ( ) 9 e + e Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet integrálu n + ) S =, S =, Sn = Sn n c) n S =, S =, Sn = Sn n Výsledky testu Sn = n d n= cos,,,, pro n, n + b) S =, S =, Sn = Sn pro n pro n, d) S =, S =, S = S pron n b); c); b); ); 5 c); 6 ); 7 b); 8 c); 9 d); c) n, n n Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly znovu Shrnutí lekce Použití metody per prtes v určitém integrálu je zcel nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu Typy integrálů řešitelných metodou per prtes jsou uvedeny v kpitole Při výpočtu určitých integrálů metodou per prtes průběžně doszujeme meze do částečně vypočtené primitivní funkce nemusíme ji neustále opisovt ž do konce výpočtu Výpočet se tím zkrátí zpřehlední - -

108 Substituční metod pro určité integrály Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů Zákldní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt, jsou podobné jko při výpočtu neurčitých integrálů v kp Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte princip substituční metody víte, pro které typy integrálů je tto metod vhodná Předpokládá se znlost pojmu určitý integrál dovednost počítt určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule Výkld Jk již bylo uvedeno v předcházející kpitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovt v zásdě dvěm způsoby: Oddělíme fázi nlezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu Nejprve si nevšímáme mezí počítáme pouze neurčitý integrál Po vypočítání vybereme jednu z nlezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrční konstntu Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez C = ) podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu U substituční metody kromě zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné První způsob nebude čtenáři ptrně dělt problémy Proto se v dlším změříme n druhou možnost výpočtu, která je krtší elegntnější Vzorce pro integrci substituční metodou v určitém integrálu připomínjí vzthy uvedené ve větách Vět (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť funkce f( u ) je spojitá n intervlu < α, β > Nechť funkce u = ϕ( ) má spojitou derivci ϕ ( ) n intervlu < b, > nechť pro kždé < b, > pltí α ϕ( ) β, α = ϕ( ), β = ϕ( b) (tedy funkce ϕ zobrzuje intervl < b, > n intervl < α, β >) Potom pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u) du α - -

109 Důkz: Substituční metod pro určité integrály Z předpokldů věty vyplývá, že eistují integrály n levé i prvé strně tvrzení věty Z toho plyne, že eistuje primitivní funkce Fu ( ) k funkci f( u ) n intervlu < α, β > Podle věty je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ) Proto podle Newtonovy Leibnizovy formule (vět ) pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ( b)) F( ϕ( )) = F( β) F( α) = f ( u) du Poznámky Při výpočtu určitého integrálu zvedeme vhodnou substituci u = ϕ( ) vypočteme diferenciál du = ϕ ( ) d jko u neurčitého integrálu Nvíc musíme ještě určit nové meze Stré meze, b jsou pro původní proměnnou Nová proměnná u bude mít meze α = ϕ( ), β = ϕ( b) V řešených příkldech vyznčíme změnu mezí tkto: ϕ( ) (stré dolní mezi odpovídá nová dolní mez ϕ ( ) ), resp b ϕ( b) (stré horní mezi b odpovídá nová horní mez ϕ ( b) ) V konkrétním přípdě se může stát, že ϕ( ) > ϕ( b) (nová dolní mez je větší než mez horní) Podle definice můžeme meze změnit znménko integrálu se změní n opčné Pokud dostneme ϕ( ) = ϕ( b), je podle poznámky k definici integrál roven nule nemusíme dále počítt α Řešené úlohy Příkld Vypočtěte integrál 5+ d Řešení: ) Bylo by možno nejprve vypočítt neurčitý integrál (nlézt primitivní funkci) jko v příkldu substituce: u 5+ d= 5+ = u = 5+ d= udu = + C = u + C = d = du - -

110 Substituční metod pro určité integrály ( ) = C Použijeme primitivní funkci pro z Newtonovy Leibnizovy věty dostáváme: C = (jiné C se stejně odečte): ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) F( ) = d= F( ) = 5+ = = b) Prktičtější je počítt podle věty (při substituci určit nové meze) Použijeme substituci 5 + = u Nová dolní mez bude u = 5+ = 9 Celý výpočet bude vypdt tkto: u = 5+ = 5 nová horní mez je substituce: = u u 5 d 5 d u du u + = + = = = = = d = du 5 5 5, = Příkld Vypočtěte integrál e ln d Řešení: Použijeme substituci ln = u Funkce ϕ ( ) = ln je spojitá n intervlu <, e > má n něm spojitou derivci Pro substituce: <, e > bude ln e ln = u ln u d = = u du = d = du =, e Poznámk Při výpočtu musíme dávt pozor, zd jsou splněny podmínky věty U neurčitých integrálů se můžeme po výpočtu dodtečně derivováním přesvědčit, zd jsme postupovli správně U určitých integrálů tuto možnost zkoušky nemáme - 5 -

111 Substituční metod pro určité integrály Příkld Vypočtěte integrál cos d 5+ sin Řešení: Použijeme substituci sin = u Pro novou dolní mez dostneme sin( ) = pro horní mez vyjde sin = Podle poznámky k definici bude výpočet integrálu krátký: substituce: cos sin = u d = = 5+ sin 5+, cos d = du u du = Příkld Vypočtěte integrál tg d Řešení: Provedeme jednoduchou úprvu, bychom nlezli vhodnou substituci: tg = = cos cos sin ( cos ) sin d d d Je zřejmé, že vhodná substituce je cos = u, neboť sin d = du Pro novou dolní mez vyjde cos = pro horní mez dostneme cos =, tkže nová dolní mez je větší než nová horní mez Podle definice obrátíme meze změníme znménko integrálu: substituce: cos = u ( cos ) sin u u d = sin d = du = du = du = du u = u, cos u u ln u ln ln ln ln ln = + + = + + = u ( ) - 6 -

112 Substituční metod pro určité integrály Výkld Větu můžeme použít i v opčném směru (zprv dolev) V běžných úlohách nebývá integrční proměnnou u, le obvykle běžně používáme proměnnou, což je jen jiné písmenko ve vztzích To odpovídá substituci typu = ϕ() t v neurčitém integrálu, která je popsán ve větě V určitém integrálu budeme muset po uvedené substituci změnit meze V tomto přípdě vlstně známe hodnoty ϕ ( ) ϕ ( b) Musíme nlézt hodnoty b, by byly splněny předpokldy věty V pri obvykle bývá funkce = ϕ() t tková, že lze zvolit intervl < b, > tk, by n něm byl funkce ϕ () t ryze monotonní, tj by jej prostě zobrzil n zdný integrční obor < ϕ( ), ϕ( b) > Příkld 5 Vypočtěte integrál d Řešení: Integrovná funkce je spojitá pro <, >, tkže určitý integrál eistuje Použijeme substituci = sin t, tkže d = costdt Trnsformujme meze integrálu: Pro = je = sint, tkže t = Pro = je = sint, tkže t = Protože n intervlu <, > je funkce = sin t monotonně rostoucí tento intervl se uvedenou funkcí zobrzí n intervl <, >, lze psát = sin t substituce: d= d = costdt = sin t sin t costdt =, = sin t cos t cost dt = sin t cost cost dt = sin t cos t dt = sin ( t) dt V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je cos t, tedy cost = cos t Po užití známého vzthu sin t = sint cost dostáváme integrál typu - 7 -

113 Substituční metod pro určité integrály m n sin cos d (viz kpitol 6) sint sin tdt= ( cos t) dt= t 8 8 = 8 Příkld 6 Vypočtěte integrál + d Řešení: Integrovná funkce je spojitá pro kždé reálné, tkže určitý integrál eistuje Použijeme substituci = tgt, tkže d = dt (Je možno použít i substituci = cotgt ) Trnsformujme cos t meze integrálu: Pro = je = tgt, tkže t = Pro = je = tgt, tkže t = Protože n intervlu <, > je funkce = tgt monotonně rostoucí tento intervl <, >se funkcí = ϕ() t = tgt zobrzí n intervl <, >, lze psát substituce: = tgt t+ + = d = dt = tg + = cos t t t cos sin t d t dt dt = cos cos cos t, dt dt = = = t t t t dt cos cos cost cos cos V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je cost >, tedy m cost = cos t Dostáváme integrál typu sin cos d Jelikož n = je liché, řešíme integrál opět substitucí, to sin t = v(viz kpitol 6) Bylo by možno použít rovněž univerzální substituci tg t = v n - 8 -

114 Substituční metod pro určité integrály substituce: sin t = v cost cost d dt = dt = dt = costdt cos cos ( sin ) = v dv = ( ), t t t v = = dv ( v) ( + v) Dostáváme integrál z rcionální funkce, kdy polynom ve jmenovteli má reálné násobné kořeny Je nutno provést rozkld rcionální funkce n součet prciálních zlomků (viz kpitol 5) A A B B ( v) ( + v) = v + ( v) + + v + ( + v) Nlezneme konstnty rozkldu A, A, B, B Rovnici vynásobíme polynomem Q () v = ( v )( + v ) Dostneme rovnost dvou polynomů: = A( v)( + v) + A( + v) + B( v) ( + v) + B( v) Pro Pro v = dostneme = A+ A + B+ B Tedy A = v = dostneme = A+ A + B+ B Tedy B = Pro výpočet zbývjících koeficientů můžeme použít srovnávcí metodu (viz příkld 55): Koeficienty u : Koeficienty u : = A + B v = A + A + B + B v Řešením této soustvy rovnic dostneme A =, B = Integrujeme získné prciální zlomky: dv = = dv ( v) ( + v) v ( v) + v ( + v) = v + v v = ln ln ln v v = + v + v v = - 9 -

115 Substituční metod pro určité integrály ( ) = + ln = + ln = ln + = = ln( ) + + Poznámky Úlohu lze rovněž řešit substitucí k příkldu 8 + = t Postup výpočtu je popsný v poznámce Tento příkld nám ukzuje, že výpočet určitého integrálu i zdánlivě jednoduché funkce může být prcný zdlouhvý Je věcí cviku zvolit co nejúspornější postup U tkových příkldů nám mohou hodně pomoci vhodné počítčové progrmy Pokud zdáme integrál nějkému mtemtickému progrmu (npř Derive, Mple, Mthemtic), získáme výsledek ln( ) N první pohled se zdá, že se jedná o úplně jinou funkci Sndno se všk přesvědčíme, že ln( ) = ln(+ ) tedy ln( ) = ln( + ) Integrce sudých nebo lichých funkcí Výkld Výpočet určitého integrálu je jednodušší, pokud je integrovná funkce sudá nebo lichá n intervlu <, > Připomeňme si definici z část Mtemtik I Funkce f se nzývá sudá, jestliže D : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle osy y) Funkce f se nzývá lichá, jestliže D : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle počátku) f f - -

116 Substituční metod pro určité integrály Vět (Integrál sudé, popř liché funkce) Nechť je funkce f( ) integrovtelná n intervlu <, > Je-li f( ) n intervlu <, > sudá, pk f ( d ) = f( d ), Je-li f( ) n intervlu <, > lichá, pk f( ) d= Důkz: Je-li f( ) n intervlu <, > sudá, pk pltí f( ) = f( ) Integrál můžeme zpst jko součet integrálů (vět ): f ( d ) = f( d ) + f( d ) = f( d ) + f( d ) První integrál řešíme substitucí = t, z níž plyne d = dt, meze, Dostneme f ( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( d ) Druhou část věty o integrci liché funkce dokážeme nlogicky f( ) = f( ) f( ) = f( ) Obr Integrál ze sudé z liché funkce - -

117 Substituční metod pro určité integrály Příkld 7 Vypočtěte integrál d Řešení: Tuto úlohu jsme již řešili v příkldu 5 Integrovná funkce je sudá pro kždé R, protože f ( ) = ( ) ( ) = = f( ) Podle věty můžeme výpočet poněkud zjednodušit, neboť stčí počítt integrál n intervlu <, >, kdy máme jednodušší dolní mez sint d= d= = sin t dt = = t = 8 Příkld 8 Vypočtěte integrál sin cos d Řešení: Jelikož sin( ) = sin cos( ) = cos sndno ukážeme, že integrovná funkce je lichá: f ( ) = sin ( )cos( ) = sin cos = f( ) Podle věty není nutno integrál vůbec počítt, neboť sin cos d= Ověřte výpočtem pltnost uvedeného výsledku! Kontrolní otázky Uveďte princip substituční metody při výpočtu určitého integrálu Čím se při výpočtu odlišuje substituční metod pro určitý integrál od substituční metody pro integrál neurčitý? - -

118 Substituční metod pro určité integrály Ukžte, že f( ) d= pro lichou funkci f() b b Ukžte, že pltí f ( d ) = f( + b d ) 5 Ukžte, že pltí f ( d ) = f( d ) 6 Zdůvodněte, proč jsou všechny následující integrály rovny nule sin cos5d, d, sin cos + d, ln e + e d ln 7 Ukžte, že cos m cos n d = pro m n cos m cos n d = pro m= n = + +β Návod: Užijte vzth cosα cos β [ cos( α β) cos( α )] Úlohy k smosttnému řešení ) ( ) d b) d c) 5 d) d e) sin ( ) d f) + 9d d + ln ) cos e sin d b) d) + d e) e d c) + e tg d f) cos e e 6 d ln tg d - -

119 Substituční metod pro určité integrály ) d) ) d) cos sin d b) cos d e) sin d + b) 7 d e) + d 5 ) ln ( + ) d) b) sin d e) tg d c) d + sin f) d c) + 5 d f) ln 5 e e d c) e + e + ln d f) cos d sin sin 6 sin d d + d rctg + sin d d Výsledky úloh k smosttnému řešení ) ; b) ; c) 5 b) rctg e ; c) ; d) ( ) d) 9 ( 7 ) ; e) ; d) ; e) ( ) ; e) ln rctg ; f) 5 5 cos ; f) ln+ ) ; f) ln ) 6 ; b) ln ( ) ) ln( ) e ; e ; c) ( ) ; + ; b) rctg ; c) ln ; d) 8 + ; e) ; f) + 5 ) 5 ln 5 ln ; b) ; c) ln ; d) ; e) ; f)

120 Substituční metod pro určité integrály Kontrolní test 9 Vypočtěte integrál d ) 7 ln, b) 7+ ln, c) + ln, d) 5 + ln Vypočtěte integrál d + + ( + ) ), b), c), d) 6 Vypočtěte integrál d 6 ), b), c) 8 6, d) Vypočtěte integrál ) l n, b) cotg d + ln, c) ln, d) + ln 5 Vypočtěte integrál d + ) ln, b) + ln, c) ln, d) 6 Vypočtěte integrál 9 d 5 ( + ) ) 5, b) 8, c) 9, d) 7 Vypočtěte integrál 9 ( ) d + ( ) ) 8 +, b) 8 +, c) 8 +, d)

121 Substituční metod pro určité integrály 8 Vypočtěte integrál ) Vypočtěte integrál 5 + d , b), c), d) ln 5 e e d + e ) +, b), c) +, d) Vypočtěte integrál cos cos d ), b), c), d) Výsledky testu b); c); ); c); 5 ); 6 d); 7 b); 8 c); 9 d); ) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly znovu Shrnutí lekce Substituční metod ptří k nejčstěji používným metodám výpočtu určitých integrálů Jsou možné dv postupy výpočtu V prvním přípdě vhodnou substitucí vypočteme neurčitý integrál (nlezneme primitivní funkci) teprve potom pomocí Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez Výhodnější bývá druhá možnost, kdy vedle zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné - 6 -

122 5 Nevlstní integrály 5 Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definici Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční obor neohrničený (tj (,b >, <, ), přípdně (, ) ) nebo je neohrničená integrovná funkce Tyto zobecněné určité integrály se nzývjí nevlstní Seznámíme se se dvěm typy nevlstních integrálů Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem určitý integrál, předpokldy eistence vlstnosti určitého integrálu, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Předpokládá se znlost pojmu limit funkce postupy výpočtu těchto limit (Mtemtik I, kpitoly ) Výkld b V definici Riemnnov určitého integrálu f ( d ) jsme vycházeli ze dvou předpokldů: Integrční obor je konečný uzvřený intervl < b, > Integrovná funkce f( ) je n tomto intervlu ohrničená (ohrničená zdol i shor viz obr 5) Integrály definovné z těchto předpokldů nzýváme vlstní integrály Jestliže se v určitém integrálu objeví neohrničený intervl nebo neohrničená funkce, hovoříme o nevlstních integrálech Rozeznáváme dv druhy nevlstních integrálů: Je-li intervl, n kterém integrujeme, neohrničený, hovoříme o nevlstním integrálu prvního druhu (nevlstní integrál n neohrničeném intervlu) Jde o integrály typu b f ( d ), f ( d ), f ( d ) Je-li integrovná funkce v intervlu < b, > neohrničená (tedy nespojitá), hovoříme o nevlstních integrálech druhého druhu e Může se vyskytnout i kombince uvedených dvou typů, npříkld integrál d - 7 -

123 5 Nevlstní integrály Nevlstní integrály druhu (integrály n neohrničeném intervlu) Uvžujme funkci f( ) definovnou n intervlu <, ), R Předpokládejme, že pro kždé c c <, ) eistuje určitý integrál f ( d ) Pk můžeme definovt funkci F vzthem c Fc () = f() d, c Nyní budeme neomezeně zvětšovt horní mez c budeme sledovt, jk se chová veličin Fc () Situce je znázorněn n obrázku 5 Obr 5 Definice nevlstního integrálu n neohrničeném intervlu <, ) c Zelená ploch předstvuje hodnotu integrálu f ( d ) Při posouvání c nás bude zjímt, zd se hodnot tohoto integrálu blíží k nějkému konečnému číslu L (tj zd eistuje konečná limit) nebo tto hodnot roste nde všecky meze (limit je hodnot neeistuje (hodnot osciluje) Definice 5 (Definice nevlstního integrálu druhu) Je-li funkce f( ) spojitá pro všechn čísl c, pk integrál tvru + f ( d ) + nebo ), přípdně nzýváme nevlstní integrál prvního druhu (n nekonečném intervlu) přiřzujeme mu hodnotu rovnou limitě + c f ( d ) = lim f( d ) = L c

124 5 Nevlstní integrály Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvžovný nevlstní integrál konverguje (je konvergentní) V opčném přípdě, tj když limit je nevlstní ( L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje (je divergentní) Řešené úlohy Příkld 5 Vypočtěte integrál d + Řešení: Budeme postupovt podle definice 5 Nejprve nlezneme pomocnou funkci horní meze c Fc () = f() d potom spočítáme její limitu L = lim Fc ( ) c + c c [ ], tkže + Fc ( ) = d= rctg = rctg c rctg = rctg c L= lim F( c) = lim rctg c= c + c + Integrál tedy konverguje pltí d = + Obr 5 Grf funkce f( ) = pro

125 5 Nevlstní integrály Příkld 5 Vypočtěte integrál d + Řešení: Postupujeme stejně jko v předcházejícím příkldu c c c + + +, tkže F() c = d = d = ln( + ) = ln( c ) L= lim F( c) = lim ln( + c ) =+ c + c + Integrál tedy diverguje Obr 5 Grf funkce f( ) = pro + Příkld 5 Vypočtěte integrál Řešení: V tomto přípdě je cos d c [ c ], tkže Fc () = cosd= sin = sinc L = lim Fc ( ) = lim sin cneeistuje (hodnoty funkce oscilují mezi - + c + c + Integrál tudíž rovněž diverguje - -

126 Příkld 5 Pro která p je nevlstní integrál p d, p > konvergentní? 5 Nevlstní integrály Řešení: Nejprve počítejme tento integrál pro p c p+ p p p ( ) Fc () = d= = c + p c p Musíme určit limitu lim c Jedná se o mocninnou funkci s eponentem s = p c + N obrázku 5 jsou grfy mocninné funkce s y =, > pro různá s (viz Mtemtik I, kpitol 5) Obr 5 Grf funkce y =, s R, > s Z grfu 5 vidíme, že pro s = p > (tedy pro p < ) je c + c + p ( ) L= lim F( c) = lim c =+, integrál diverguje p p lim c c + =+, proto Pro s = p< (tedy pro p > ) je p ( ) p lim c =, proto c + L= lim F( c) = lim c = =, integrál konverguje p p p c + c + Ještě musíme uvžovt možnost, že p = V tomto přípdě c c F( c) = d = [ ln ] = ln c ln = ln c, pk - -

127 5 Nevlstní integrály L= lim F( c) = lim ln c=+,, integrál diverguje c + c + Shrnutí: konverguje pro p > d p diverguje pro p Poznámky Hrnice mezi konvergencí divergencí je p = Stejný výsledek dostneme i pro přípdy, kdy dolní mez integrálu nebude, le libovolné číslo d > Výkld b Nprosto nlogicky definujeme nevlstní integrál f ( d ) n intervlu b (, b >, b R Předpokládejme, pro kždé c (, b> eistuje určitý integrál f ( d ) Pk můžeme definovt funkci G vzthem b Gc () = f() d, c b vyšetřujeme limitu L = lim Gc ( ) Terminologie je stejná jko v definici 5 c c c Obr 55 Definice nevlstního integrálu n neohrničeném intervlu (,b > Poznámk Je-li funkce f( ) spojitá n intervlu (, ) konvergují-li pro libovolné číslo ob - -

128 5 Nevlstní integrály + nevlstní integrály L = f( ) d, L = f( ) d, pk definujeme nevlstí integrál n + intervlu (, ) : f ( d ) = L+ L Příkld 55 Vypočtěte integrál e d Řešení: Funkce f ( ) = e je spojitá pro všechn reálná Nlezněme nejprve primitivní funkci k dné funkci: substituce: t t e d= = t = e dt = e = e + C d= dt c Gc () = e d= e = e c c, tkže c c L lim G( c) lim e = = = lim e = = c c c Integrál tedy konverguje pltí Příkld 56 Vypočtěte integrál e d= d + Řešení: Integrál rozdělíme n dv nevlstní integrály npř d = d + d Pro první integrál pltí c Gc () = d= d= rctg rctg = c c + c +, - -

129 5 Nevlstní integrály c L = lim G( c) = lim ( rctg ) = c c = (konverguje) Pro druhý integrál dostneme c c c c F( c) = d = d = rctg rctg = + + L, c = lim F( c) = lim ( rctg ) = = (konverguje) c c Tedy L = L (grf je souměrný podle osy y) To nás nepřekvpuje, protože integrovná funkce f( ) = je sudá + Obr 56 Grf funkce f( ) = + Proto d = L + L = + = (integrál konverguje) + Poznámk Pomocí nevlstního integrálu druhu definujeme pro > funkci Gm: + t Γ ( ) = e t dt, která má řdu zjímvých vlstností Npříkld pltí Γ () =, Γ ( n+ ) = n! pro n N - -

130 5 Nevlstní integrály Nevlstní integrály druhu (integrály z neohrničené funkce) Uvžujme funkci f( ) definovnou n intervlu < b, ), b, R, < b Předpokládejme, že je tto funkce spojitá n intervlu < c, ) pro kždé c <, b) (tedy eistuje určitý integrál vzthem c f ( d ) ), ztímco lim f( ) = Pk můžeme definovt funkci F b c Fc () = f() d, c< b Nyní budeme sledovt, jk se chová veličin b zlev Situce je znázorněn n obrázku 57 Fc (), když se horní mez c přibližuje k bodu Obr 57 Definice nevlstního integrálu z neohrničené funkce n intervlu < b, ) c Modrá ploch předstvuje hodnotu integrálu f ( d ) Při posouvání c b nás bude zjímt, zd se hodnot tohoto integrálu blíží k nějkému konečnému číslu L (tj zd eistuje konečná limit), nebo zd se tto hodnot nekonečně zvětšuje (limit je přípdně hodnot neeistuje (hodnot osciluje) Definice 5 (Definice nevlstního integrálu druhu) Je-li funkce b f ( d ) + nebo ), f( ) spojitá n intervlu < b, ), ztímco lim f( ) =, pk integrál tvru b nzýváme nevlstní integrál druhého druhu (neohrničené funkce) přiřzujeme mu hodnotu rovnou limitě - 5 -

131 5 Nevlstní integrály b f ( d ) = lim f( d ) = L c c b Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvžovný nevlstní integrál konverguje (je konvergentní) V opčném přípdě, tj když limit je nevlstní ( L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje (je divergentní) Řešené úlohy Příkld 57 Vypočtěte integrál d Řešení: Integrovná funkce je spojitá n intervlu < b, ) v bodě =není definován (obr 58) Protože pltí lim druhu (z neohrničené funkce) + = =+, jedná se o nevlstní integrál Obr 58 Grf funkce f( ) = c Nejprve nlezneme pomocnou funkci Fc () = f() d, c < potom spočítáme její limitu zlev L= lim F( c) c - 6 -

132 5 Nevlstní integrály substituce: c c = t c t Fc () = d= d= dt = dt t = = t d = dt, c c c = = c Vypočteme limitu pro c : L= lim F( c) = lim c = = c c Integrál je tedy konvergentní pltí: d = Výkld b Nprosto nlogicky definujeme nevlstní integrál f ( d ) n intervlu ( b, >, b, R, < b Předpokládejme, že je tto funkce spojitá n intervlu (, cb> pro kždé c (, b> (tedy eistuje určitý integrál f ( d ) ), ztímco lim f( ) = Pk + můžeme definovt funkci G vzthem b Gc () = f() d, < c b c Vyšetřujeme limitu pro c + Terminologie oznčení jsou stejné jko v definici 5 b c - 7 -

133 5 Nevlstní integrály Obr 59 Definice nevlstního integrálu z neohrničené funkce n intervlu ( b>, Poznámk Má-li integrovná funkce více bodů, v nichž je funkce neohrničená ( lim f( ) = ), rozdělíme intervl integrce n tolik dílčích intervlů, by v kždém z nich byl jediný bod v horní nebo v dolní mezi, ve kterém je limit nevlstní Konvergují-li nevlstní integrály ve všech těchto dílčích intervlech, pk z jeho hodnotu n celém intervlu povžujeme součet jeho hodnot n dílčích intervlech Je-li nevlstní integrál divergentní spoň n jednom dílčím intervlu, povžujeme jej z divergentní n celém intervlu Řešené úlohy Příkld 58 Vypočtěte integrál d Řešení: Integrovná funkce je spojitá n intervlu (, > v bodě = není definován Protože pltí lim = =+, jedná se o nevlstní integrál druhu (z neohrničené + + funkce) Grfem funkce je rovnoosá hyperbol s symptotmi = y = Nejprve vypočteme určitý integrál n intervlu (, c >, < c : Gc ( ) = d= [ ln ] = ln ln c c c Nyní vypočteme limitu pro c + : - 8 -

134 5 Nevlstní integrály + + c c ( ) L= lim G( c) = lim ln ln c = ln ( ) =+ Integrál je tedy divergentní Příkld 59 Vypočtěte integrál d Řešení: Studenti obvykle postupují následujícím způsobem: d = ( ) = + = Někteří studenti dvkrát podtrhnou výsledek jsou spokojeni, jk to lehce zvládli Přemýšlivé studenty výsledek zrzí Vždyť pro integrční obor <, > je integrnd vždy kldný ( >, viz obr 5), tedy hodnot integrálu musí být kldná (lze ji interpretovt jko obsh plochy pod dnou funkcí) Kde je chyb? Obr 5 Grf funkce f( ) = Je zřejmé, že dná funkce je n intervlu <, > neohrničená není definován v bodě = Rozdělíme tento intervl n dílčí intervly, by nevlstní limit byl vždy jen v jednom krjním bodě intervlu: d = d + d budeme počítt dv nevlstní integrály c c Fc () = d= = c L = lim F( c) = lim = = + c c c - 9 -

135 5 Nevlstní integrály Proto d diverguje Pro druhý integrál vypočteme (podle předcházející poznámky to není nutné): Gc () = d= = + c c c L = lim F( c) = lim c + c + + = + = + c + Proto tké d diverguje Shrnutí: Integrál d je divergentní Poznámk Nevlstní integrál prvního druhu (n neohrničeném intervlu) poznáte sndno, neboť v mezích figuruje symbol + nebo Problemtičtější je situce u nevlstních integrálů druhého druhu, neboť n první pohled nemusí být ptrné, že je integrnd neohrničená funkce, že se jedná o nevlstní integrál Pokud bude student postupovt, jko by se jednlo o obyčejný integrál, může dostt nesprávný výsledek To, že v některém bodě není integrovná funkce definován ještě neznmená, že musí jít o nevlstní integrál Npříkld funkce sin tedy funkce je ohrničená Proto integrál není definován pro =, le sin lim =, sin d není nevlstní, le jedná se o obyčejný integrál To, že nám bude výpočet tohoto integrálu dělt potíže (viz kpitol 7), je jiný problém Bude nutno použít nějkou numerickou metodu Kontrolní otázky Zpište definici nevlstního integrálu n intervlu (, b>, b R (nlogie definice 5) Kdy je nevlstní integrál konvergentní kdy je divergentní? Jký je rozdíl mezi nevlstními integrály prvního druhého druhu? - -

136 5 Nevlstní integrály Zpište definici nevlstního integrálu n intervlu ( b, >, b, R, < b, jestliže lim f( ) = (nlogie definice 5) + 5 Je nevlstní integrál 6 Jsou integrály d konvergentní? sin d ln d nevlstní? 7 Pro která p je integrál p d konvergentní? (Anlogie příkldu 5) ) d) g) Úlohy k smosttnému řešení + d b) d + e) + d h) + ) d b) d) + e d e) g) + rctg d h) + d c) d f) + d + + i) + ln d c) + rctg d + f) + d i) + + d d d + + e + ln e + e d d d ) d) d b) 5 7 d e) 8 d c) ln d d f) ( ) d - -

137 5 Nevlstní integrály ) d) d b) ln d e) d c) sin cos d f) rcsin d + tg d Výsledky úloh k smosttnému řešení ) diverguje; b) ; c) diverguje; d) ; e) ; f) 8 8 ; g) 5 5 ; h) ; i) ln ) ; b) diverguje; c) ; d) ; e) 8ln ; f) ; g) ; h) ; i) ) 5 8 e ; b) ; c) ; d) e) ln ; f) diverguje 5 ; e) diverguje; f) ) ; b) diverguje; c) diverguje; d) ; Kontrolní test Rozhodněte, zd nevlstní integrál d + je ) druhu rovná se, b) druhu diverguje, c) druhu rovná se, d) druhu diverguje Rozhodněte, zd nevlstní integrál + d je ) druhu rovná se, b) druhu rovná se, c) druhu diverguje, d) druhu diverguje Rozhodněte, zd nevlstní integrál d + + je ) druhu diverguje, b) druhu rovná se, c) druhu rovná se, d) druhu diverguje - -

138 5 Nevlstní integrály Rozhodněte, zd nevlstní integrál e d je ) druhu diverguje, b) druhu rovná se c) druhu diverguje, d) druhu rovná se 5 Vypočtěte nevlstní integrál ) d + 6, b) 6, c), 6 Vypočtěte nevlstní integrál ) d, e e, b) diverguje, c), d) 7 Vypočtěte nevlstní integrál e d ), b), c) diverguje, d) 8 Vypočtěte nevlstní integrál tg d d) diverguje ), b) ln, c) diverguje, d) ln 9 Vypočtěte nevlstní integrál e d ln ), b), c) diverguje, d) Vypočtěte nevlstní integrál 6 d ( ) ) 6, b) diverguje, c), d) 6 - -

139 5 Nevlstní integrály Výsledky testu b); c); b); d); 5 ); 6 ); 7 b); 8 c); 9 d); ) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu 5 znovu Shrnutí lekce Rozlišujeme dv druhy nevlstních integrálů Jednk může být integrál nevlstní kvůli tomu, že je integrční obor neohrničený (nevlstní integrály prvního druhu) nebo není n integrčním oboru ohrničená integrovná funkce (nevlstní integrály druhého druhu) Je-li funkce f( ) definován n intervlu < b, b R zprv otevřeném integrovtelná n kždém dílčím uzvřeném intervlu < c, >, c< b, pk definujeme nevlstní integrál + prvního druhu f ( d ) = lim f( d ) c n intervlu, ) b c + druhého druhu f ( d ) = lim f( d ) c c b <, resp nevlstní integrál pro funkci ( ) neohrničenou pro f b Anlogicky se zvedou nevlstní integrály n zlev otevřeném intervlu < b, R - -

140 APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeberné množství problémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsobem použít integrálního počtu V této kpitole uvádíme stručný přehled těch nejběžnějších plikcí určitých integrálů v geometrii ve fyzice Budeme se zbývt výpočtem délek, obshů objemů Během dosvdní školní docházky jste si vytvořili jistou intuitivní předstvu, co je to délk křivky, obsh nějkého geometrického obrzce či objem těles Seznámili jste se se vzorci pro výpočet délky úsečky nebo kružnice, dovedete vypočítt obsh trojúhelník, obdélník, čtverce, kruhu, objem krychle, kvádru, jehlnu, koule dlších obrzců či těles Jistě máte předstvu, že prvidelný pětiúhelník má určitý obsh, i když neznáte vzorec pro jeho výpočet Dovedete všk tento pětiúhelník rozložit n konečný počet trojúhelníků po určité námze byste vypočítli obsh pětiúhelník jko součet obshů těchto trojúhelníků Vzniká otázk, jk definovt obshy obecnějších obrzců, které nelze rozložit n konečný počet trojúhelníků Vzhledem k určení rozshu těchto studijních mteriálů není možné přesně zvést pojmy délk, obsh objem Precizním zvedením těchto pojmů se zbývá teorie míry, což je poměrně náročná mtemtická prtie Pro potřeby inženýrské pre vystčíme s jednoduchými objekty, kde je intuitivně jsné, že mjí určitou délku, obsh, resp objem Budeme se zbývt výpočtem těchto veličin Při řešení geometrických fyzikálních úloh postupujeme ve dvou krocích: Převedeme řešení úlohy n výpočet určitého integrálu Tento určitý integrál vypočítáme Obsh rovinné oblsti Cíle Seznámíte se se zákldní plikcí určitého integrálu výpočtem obshu křivočrého lichoběžník obshu složitějších rovinných oblstí - 5 -

141 Obsh rovinné oblsti Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ), kde je výpočet obshu křivočrého lichoběžník užitý jko motivce zvedení určitého integrálu Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Výkld Vět Nechť je funkce f ( ) integrovtelná n intervlu < b, > je n něm nezáporná Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f ( ), přímkmi Důkz: =, = b osou pltí b P= f( ) d Tvrzení plyne z definice Riemnnov určitého integrálu (definice ) Obr Obsh křivočrého lichoběžník pro nezápornou funkci ( f ( ) ) Uvedený vzth pro obsh křivočrého lichoběžník pltí pro nezápornou funkci f ( ) n intervlu < b, > Z definice určitého integrálu je zřejmé, že pro funkci f ( ), která je b nopk n intervlu < b>, nekldná ( f ( ) ), bude určitý integrál f( ) d, proto obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce = b osou bude P= f( ) d= f( ) d b b (obr ) f ( ), přímkmi =, - 6 -

142 Obsh rovinné oblsti Obr Obsh křivočrého lichoběžník pro nekldnou funkci ( f ( ) ) V obecném přípdě může funkce f ( ) libovolně měnit znménko Při výpočtu obshu plochy ohrničené grfem funkce f ( ) osou n intervlu < b, > je nutno brát části nd b osou kldně části pod osou záporně Pokud bychom vypočetli integrál f ( d ) n celém intervlu, odečítly by se kldné záporné části (obr ) g( ) Obr Obsh plochy mezi osou grfem funkce f ( ) se znménky Větu můžeme zobecnit n přípd, kdy je obrzec zdol ohrničen dlší funkcí Vět Nechť jsou funkce f ( ) g( ) integrovtelné pltí g( ) f( ) pro kždé < b, > Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce g( ), shor grfem funkce f ( ) přímkmi =, = b pltí b P= f( ) g( ) d ( ) - 7 -

143 Důkz: Jsou-li obě funkce f ( ) g( ) Obsh rovinné oblsti nezáporné, je obsh uvžovného křivočrého lichoběžník roven rozdílu obshu plochy pod grfem funkce f ( ) obshu plochy pod grfem funkce g( ), viz obr b b b P= f( ) d g( ) d= f( ) g( ) d ( ) Obr Obsh plochy mezi funkcemi g( ) f ( ) n intervlu < b, > Obecně by mohly funkce f ( ) g( ) protínt osu (část obrzce by ležel pod osou ) V tomto přípdě stčí k oběm funkcím přičíst vhodnou konstntu C, by byly obě funkce f ( ) nezmění + C g ( ) + C nezáporné Obsh uvžovného křivočrého lichoběžník se tím b b b b b b b P = f ( ) + C d g( ) + C d = f ( ) d + Cd g( ) d Cd = f ( ) g( ) d [ ] [ ] ( ) Poznámky Z důkzu věty vyplývá, že při výpočtu obshu křivočrého lichoběžník mezi grfy dvou funkcí g ( ) f( ) není důležité, zd tento obrzec nebo jeho část leží pod osou Vět je speciálním přípdem věty pro g( ) = Grfem funkce y = f( ) je křivk Tto funkce (křivk) může být dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t y = ψ () t pro t < α, β > Proměnnou t nzýváme prmetr (ve fyzice mívá obvykle význm čsu funkce ϕ () t ψ () t mohou udávt -ovou y-ovou souřdnici pohybujícího se bodu) Pro výpočet obshu křivočrého lichoběžník (obr ) - 8 -

144 Obsh rovinné oblsti ohrničeného funkcí dnou prmetrickými rovnicemi můžeme modifikovt větu následujícím způsobem: Vět Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t y = ψ () t, přičemž funkce ϕ () t ψ () t jsou spojité pro t < α, β > Je-li funkce ϕ () t ryze monotonní má spojitou Důkz: derivci n intervlu < α, β >, přičemž ϕ( α ) = ϕ( β ) = b, pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f, přímkmi β P = ψ() t ϕ () t dt α =, = b osou pltí Je-li funkce = ϕ() t ryze monotonní n intervlu < α, β >, pk k ní eistuje inverzní funkce t ϕ = ( ) Rovnici křivky můžeme proto psát ve tvru y = ψϕ ( ( )) = f( ) Uvžovná ploch bude mít obsh b b P = f( ) d = ψϕ ( ( )) d Odtud substitucí = ϕ() t, ze které plyne d = ϕ () t dt, dostneme β P = ψ() t ϕ () t dt α Řešené úlohy Příkld Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkou y = 6 osou Řešení: U příkldů tohoto typu je dobré si udělt náčrtek Je zdán kvdrtická funkce, tedy grfem bude prbol Nejprve uprvíme rovnici prboly, bychom nlezli její vrchol y = 6 = ( 6 ) = ( ) +9 Z rovnice y 9 = ( ) je zřejmé, že vrchol prboly je v bodě V = (,9) rmen prboly budou orientován směrem dolů - 9 -

145 Obsh rovinné oblsti (obr 5) Řešením rovnice = b = 6 6 = dostneme průsečíky dné prboly s osou : Obr 5 Grf funkce y = 6 Hledný obsh je 6 P= (6 ) d= = 8 6 = 6 6 Příkld Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkou y = sin, osou přímkmi =, = Řešení: N intervlu <, > je, všk funkce sin bude měnit znménko Proto bude sin pro <, >, sin pro <, > sin pro <, > (obr 6) Hledný obsh bude sestávt ze tří částí: Obr 6 Grf funkce y = sin - 5 -

146 Obsh rovinné oblsti P= sin d sin d+ sin d Potřebnou primitivní funkci k funkci y = sin nlezneme metodou per prtes: u = sin v= sin d= = cos + cos d= sin cos u = cos v = Dosdíme příslušné meze: P = [ sin cos ] [ sin cos ] [ sin cos ] + = [ ] [ ] [ ] = ( ) + + ( ) + ( ) + = = 9 Příkld Odvoďte vzorec pro výpočet obshu kruhu o poloměru R Řešení: Vzorec pro výpočet obshu kruhu jistě znáte už ze zákldní školy Dosud jste všk neměli dosttečné znlosti, byste mohli dokázt pltnost tohoto vzorce Střed kruhu umístíme do počátku, což nemá vliv n obsh kruhu Rovnice hrniční kružnice bude + y = R Pro jednoduchost vypočteme obsh jedné čtvrtiny kruhu ležící v prvním kvdrntu potom výsledek vynásobíme čtyřmi Pro <, R > z rovnice kružnice dostneme y = R Pro obsh celého kruhu bude pltit Obr 7 Obsh čtvrtiny kruhu R P= R počítli Podívejte se n příkld 7 Použijeme substituční metodu: d Podobný integrál jsme již - 5 -

147 Obsh rovinné oblsti substituce: = sin R R t P= R d= d = R cost dt = R R sin t Rcost dt =, R + cost = = R sin t costdt = R cos t dt = R dt = R ( + cos t) dt sin t = R t+ = R = R Poznámk Při úprvě (výpočet odmocniny sin t = cos t ) jsme využili toho, že pro <, > je cos Příkld Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi y = + y = Řešení: Je zřejmé, že funkce y = bude vždy kldná největší hodnoty nbude pro = + Grfem druhé funkce je prbol (obr 8) Obr 8 Obrzec ohrničený křivkmi y = + y = - 5 -

148 Nejprve musíme nlézt průsečíky dných křivek Řešíme rovnici Obsh rovinné oblsti + = Po úprvě dostneme + =, tedy ( )( + ) = Uvedená rovnice má dv reálné kořeny = = Podle věty je obsh oblsti ohrničené dnými křivkmi roven P= d= d= rctg = = Poznámk Využili jsme toho, že oblst je souměrná podle osy y (integrnd je sudá funkce) Příkld 5 Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou Řešení: jedním obloukem prostá cykloidy Prostá cykloid je křivk, kterou opisuje bod pevně spojený s kružnicí o poloměru při kotálení kružnice po přímce (obr 9) Tto cykloid má prmetrické rovnice: = t ( sin t), y = ( cos t), t R První oblouk cykloidy dostneme pro prmetr t <, > Obr 9 První oblouk cykloidy Protože d = ( cos t) dt, dostneme z věty = P= ( cos t) ( cos t) dt = ( cos t) dt = ( cos t+ cos t) dt - 5 -

149 Obsh rovinné oblsti + cost t sint [ ] = ( cos t+ ) dt = t sin t + + = + = Poznámk Body uvnitř kružnice by při kotálení kružnice po přímce opisovly zkrácenou cykloidu myšlené body vně tzv prodlouženou cykloidu Cykloid se v přírodě technice objevuje n nečekných místech v různých zjímvých souvislostech Npříkld vlny n vodě mjí tvr cykloidy, s oblibou se využívjí cykloidiální ozubená kol v převodovkách, cykloid snese největší ztížení, což má využití v mostních tunelových konstrukcích (nové tunely pržského metr, tunel Mrázovk), dále je užíván cykloidiální výřez n crvingových lyžích Kontrolní otázky Uveďte vzorec pro výpočet obshu obrzce ohrničeného osou grfem funkce y = f( ), která protíná osu ve dvou bodech Jk se liší vzthy pro výpočet obshu křivočrého lichoběžník ohrničeného grfem funkce f ( ), přímkmi =, = b osou pro nezápornou pro nekldnou funkci f ( )? Jk vypočítáme obsh rovinného obrzce ohrničeného dvěm funkcemi g ( ) f( )? Jk vypočítáme obsh rovinného obrzce ohrničeného dvěm funkcemi, pokud celá oblst leží pod osou (tj g ( ) f( ) < )? 5 Jk vypočítáte obsh obrzce ohrničeného funkcí y = sin osou pro <, > 6 Určete prmetr k tk, by obsh oblsti ohrničené prbolou y = přímkou y = k byl roven 9 7 Odvoďte vzorec pro výpočet obshu elipsy o poloosách b (Prmetrické rovnice této elipsy jsou = cost, y = bsin t, t <, >) Úlohy k smosttnému řešení Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi ) y = ; y = b) y = 6 ; y = - 5 -

150 Obsh rovinné oblsti c) e) y = ; y = d) y = ; y = f) y = + ; + y= y = ; = y g) y = 6; y = + 5+ h) y = ; y = i) y = ; + y = 5 j) y = tg ; y = ; = k) y = sin ; y = l) y = e ; y = e ; = ln Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi ) y = ln ; y = ln b) c) y = rcsin ; y = ; = ; = d) e) y = ; = ; = ; y = f) Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného y sin ; y cos ; = = = ; = 8 y = ; y = + y = ; y = ; y = ; ) prbolou = +, její tečnou v bodě (,5) souřdnicovými osmi y b) křivkou y = e, její tečnou v bodě (,) přímkou = c) grfem funkce y = + 6 pro osou d) prbolou y = 6+ 8 jejími tečnmi v bodech (, ) (,) Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou křivkou zdnou prmetrickými rovnicemi ) = t, y = t t ; t b) = sin t, y = cos t; t = sin t, y = cos t; t = t sin t, y= cos t ; t c) ( ) ( ) d) = sin t, y = cos t; t e) = t t, y = t t ; t

151 Obsh rovinné oblsti Výsledky úloh k smosttnému řešení ) k) ; l) ; b) 6; c) 6 ) e ; b) ; d) 9 ; e) 9 ; f) ; g) ; c) ; d) ; e) ; h) 8 5 ln ; i) 8ln ; j) ; ln ; f) ln + ) 8 ; b) e ; c) 86 ; d) 9 7 ) ; b) ; c) ; d) 7 7 ; e) Kontrolní test Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = 6 + y 7 = ) 5 6ln6, b) 5 6ln6 +, c) 5 ln 6, d) 5 ln 6 + Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = + + y 8 = + ), b) 7, c) 6, d) 8 Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = + y = ), b) 9, c) 8, d) 6 Vypočtěte obsh rovinné oblsti dné nerovnostmi + y 8 y ) +, b) +, c) 8 +, d) Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = tg, y = cos y = ) ln, b) ln, c) + ln, d) ln + 6 Vypočtěte obsh rovinné oblsti dné nerovnostmi y, ) 6, b), c), d) y y 7 Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = rctg, y = rccotg = ) ln, b) + ln, c), d) ln

152 8 Vypočtěte obsh rovinné oblsti ohrničené křivkmi k : = cos t, y = bsin t, k : = bcos t, y = bsin t, > b > konst, pro Obsh rovinné oblsti t <, > b ) b ( b), b) ( b), c) ( b), d) ( b ) 9 Vypočtěte obsh smyčky křivky = t, y = t t, t ) 6 5, b) 7 5, c) 6 5 Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi ) c) (ln + + ln ), b) ln ( + ln ), (ln ln ) +, d) 6 8 (ln + ln ) 6 8, d) 5 ln y = y = ln Výsledky testu ); b); d); b); 5 c); 6 d); 7 ); 8 c); 9 b); d) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu Shrnutí lekce b Z definice Riemnnov určitého integrálu vyplývá, že integrál f ( d ) pro nezápornou funkci f ( ) n intervlu grfem funkce < b, > dává obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor f ( ), přímkmi =, = b osou Jestliže funkce f ( ) n uvedeném intervlu protíná osu, je nutno rozdělit obrzec n části nd osou n části pod osou, kde jsou hodnoty určitého integrálu z dné funkce záporné Při výpočtu obshu rovinného obrzce ohrničeného zdol grfem funkce důležité, zd obrzec nebo jeho část leží pod osou g( ) shor grfem funkce f ( ) pro < b, > není

153 Délk oblouku křivky Délk oblouku křivky Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem délky křivky Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Budeme tké používt prmetrické rovnice křivky Výkld Mějme část rovinné křivky dné rovnicí y = f( ) pro b (obr ) Zjímá nás, jká je délk této křivky Předpokládejme, že jsou funkce f( ) její derivce f ( ) spojité n intervlu < b, > Budeme postupovt nlogicky jko při zvedení Riemnnov určitého integrálu (kp ) Křivku nhrdíme lomenou črou, která se bude skládt z n úseček (obr ) Z Pythgorovy věty bude délk i té úsečky rovn si ( i) ( yi) = + Norm dělení bude ν ( Dn) = m i i=,, n Délk celé křivky bude přibližně rovn součtu délek jednotlivých úseček: n s si i= Obr Aproimce křivky y = f( ) lomenou črou

154 Délk oblouku křivky Je zřejmé, že pro zvětšující se počet dílčích úseček budeme dostávt přesnější proimci délky oblouku křivky Pro délku uvžovné křivky dostneme: b ( ) ( ) s = d + dy n normu dělení ν ( ) bude d, y dy pro dy Jelikož f ( ) = (Mtemtik I, část II, kpitol 6), sndno vzth uprvíme n tvr d b b b b ( dy) dy s = d + dy = + d= + d= + f ( d) d ( ) ( ) [ ( )] d D n Vět Nechť je funkce f( ) definovná n intervlu < b, > má zde spojitou derivci Pk délk této křivky b [ ] s= + f ( ) d Křivk nemusí být vždy zdán eplicitní funkcí y = f( ), může být dán rovněž prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β > Křivku si můžeme předstvit jko trjektorii, kterou urzí bod, který se v čse spojitě pohybuje v rovině Spojité funkce ϕ () t ψ () t udávjí -ovou y-ovou souřdnici pohybujícího se bodu Délk tkové křivky je z fyzikálního hledisk vlstně dráh, kterou bod urzí od okmžiku α do okmžiku β Vět Nechť je křivk dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β > Pk je délk této křivky β [ ϕ ()] [ ψ ()] α s = t + t dt

155 Délk oblouku křivky Důkz: Funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β >, pk pltí d = ϕ () t dt dy = ψ () t dt Doszením do vzthu b β β s= d + dy = t dt + t dt = t + t ( ) ( ) [ ϕ () ] [ ψ () ] [ ϕ ()] [ ψ ()] dostneme tvrzení věty α α dt Poznámk Libovolnou funkci y = f( ), < b, > můžeme sndnou prmetrizovt, když položíme = t, y = f() t, t <, b> Jelikož ϕ () t =, vidíme, že tvrzení věty je speciálním přípdem věty Řešené úlohy Příkld Vypočtěte délku semikubické (Neilovy) prboly <, > y = n intervlu Řešení: Křivk se skládá ze dvou částí y = y = symetrických podle osy (obr) Obr Grf semikubické prboly y = pro <, > Délk bude rovn dvojnásobku délky části nd osou Použijeme vzth z věty, kde f ( ) = f ( ) = - 6 -

156 Délk oblouku křivky s = + d= 9 + = = Poznámk Integrál pro výpočet délky křivky obshuje odmocninu Proto se nám i pro jednoduché funkce stne, že neumíme příslušný integrál vypočítt V tkovém přípdě bude nutno použít nějkou numerickou metodu nebo některý mtemtický progrm (npř Derive, Mple, Mthemtic) Příkld Vypočtěte délku kružnice o poloměru r > Řešení: Bez újmy n obecnosti uvžujme kružnici se středem v počátku Rovnice této kružnice je + y = r Odtud y =± r, přičemž < rr, > Vezmeme rovnici horní půlkružnice y =+ r vypočítáme její derivci že derivce není definován pro splněny y = r Problém je v tom, = r = r Předpokldy věty nejsou tedy Sndno njdeme prmetrické rovnice kružnice Z definice funkcí sinus kosinus určíme polohu libovolného bodu A = ( y, ) ležícího n kružnici (obr ) Obr Odvození prmetrických rovnic kružnice Hledné prmetrické rovnice kružnice budou: = rcost, y = rsin t, t <, > Měníme-li úhel t od nuly do, oběhne bod A celou kružnici Pro výpočet délky kružnice použijeme větu Jelikož ϕ () t = ( rcos) t = rsint ψ () t = ( rsin t) = rcost, dostáváme - 6 -

157 Délk oblouku křivky [ sin ] [ cos ] (sin cos ) [] r s= r t + r t dt = r t+ t dt = r dt = r t = Příkld Vypočtěte délku steriody Řešení: Asteroid je zvláštním přípdem hypocykloidy Hypocykloid je cyklická křivk, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se vlí (kotálí) po vnitřní strně nehybné kružnice Asteroidu dostneme v přípdě, kdy se kružnice o poloměru červená) kotálí po vnitřní strně kružnice poloměru R= r = (n obr Prmetrické rovnice steroidy jsou Obr Asteroid cos t =, y = sin t, t <, > Protože steroid je symetrická podle obou souřdnicových os, stčí, určíme-li délku její jedné čtvrtiny v prvním kvdrntu, tj pro t <, > Tím se tké vyhneme problémům se znménky goniometrických funkcí sinus kosinus v dlších kvdrntech Vypočteme derivce prmetrických rovnic dosdíme do vzthu ve větě = cos t( sin t), y = sin tcost, s = cos tsin t sin tcost + dt = 9 (cos tsin t+ sin tcos t) dt = = sin tcos t(cos t+ sin t) dt = sin tcost dt = sin t dt = - 6 -

158 Délk oblouku křivky cost = (cos cos ) ( ) = = = Délk celé steroidy je tedy s = = 6 Poznámky Při integrci jsme použili známý vzth sin t = sintcost Vzth pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi lze sndno rozšířit i n prostorové křivky Přibude pouze třetí souřdnice bodu křivky Křivk bude mít prmetrické rovnice = ϕ() t, y = ψ () t, z = ζ () t, t < α, β > Pro její délku bude (z předpokldu spojitých derivcí ϕ () t, ψ () t, ζ () t ) pltit β s= [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] + [ ζ () t ] dt α Podrobnější informce nleznete v Mtemtice III v kpitole Křivkový integrál Příkld Vypočtěte délku elipsy Řešení: Vzorec pro výpočet obshu elipsy jste si již odvodili v kpitole (Kontrolní otázk) Elips s poloosmi, b ( předpokládejme < < b, obr 5) má prmetrické rovnice = cost, y = bsin t, t <, >, pokud vedlejší poloos leží v ose hlvní poloos v ose y Obr 5 Elips o poloosách, b - 6 -

159 Délk oblouku křivky Protože elips je symetrická podle obou souřdnicových os, stčí, určíme-li délku její jedné čtvrtiny v prvním kvdrntu, tj pro t <, > Vypočteme derivce prmetrických rovnic dosdíme do vzthu ve větě = sin t, y = bcost, s [ sin t] [ bcost] dt sin t b cos tdt = = + = + b = sin t + b ( sin t) dt = b ( b )sin tdt = b sin tdt b = = b k sin tdt, kde jsme oznčili b b = k Délk celé elipsy bude s = b k sin tdt Problém spočívá v tom, že primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí Podívejte se n kpitolu 7 Pro konkrétní hodnoty b bude nutno použít vhodnou numerickou metodu některého mtemtického progrmu (npř Derive, Mple, Mthemtic) Poznámk ϕ Integrál typu E( k, ϕ ) = k sin t dt je oznčován jko eliptický integrál druhého druhu, neboť je jím vyjádřen délk elipsy Kontrolní otázky Uveďte vzth pro výpočet délky křivky y = f( ) pro < b, > Uveďte vzth pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi - 6 -

160 Délk oblouku křivky Jká je délk řetězovky e + e y = pro <, >? S řetězovkou se můžeme setkt v rchitektuře Tvr této křivky mjí smonosné klenby strých stveb stejně jko některé moderní stvby Zdejte slovo řetězovk do Všeho vyhledávče (npř Google) Jk vypdá grf této křivky? 5 Jk vypočtete velikost dráhy, kterou urzí bod od t = do t = při pohybu po křivce dné prmetrickými rovnicemi = 5t, y= t? 6 Sestvte integrál pro výpočet délky prboly y=, Nvrhněte metodu řešení tohoto integrálu (Využijte příkldů 6 poznámky k příkldu 8) 7 Sestvte integrál pro výpočet délky kubické prboly y=, Zkuste integrál řešit pomocí některého mtemtického progrmu (npř Derive, Mple, Mthemtic) Úlohy k smosttnému řešení Vypočtěte délku křivky e + e ) y = ; b) y= rcsin + ; c) y = ln ; 8 d) y = ln(cos ) ; e) f) g} y = ; ; y > y = ln( ) ; ln y = ; e Vypočtěte délku křivky ) = cos t, y = sin t; t b) c) = cos t, y = sin t; t t = t, y = t ; t

161 Délk oblouku křivky d) = (t sin t), y = ( cos t) ; t e) = cost+ tsin t, y = sin t tcos t; t f) + y = Výsledky úloh k smosttnému řešení ) e ; b) ; c) e + ln ; d) ln tg 8 ; e) 9 7 ; f) ln ; g) e ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 8 Kontrolní test Vypočtěte délku oblouku křivky ) y = ln pro e ( e ), b) ( e + ), c) ( e ) +, d) e + Vypočtěte délku oblouku křivky y= rcsin + pro ), b) ( + ), c), d) + Vypočtěte délku oblouku křivky 6 + y = pro 8 ) 6, b), c), d) Vypočtěte obvod křivočrého trojúhelník, jehož strny tvoří oblouky křivek + y = 6 5 = y ) 6 + 6( rcsin ), b) ( + rcsin ), 7 6 c) 6 + 6( rcsin ), d) ( rcsin ) Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln( + e ) ln( e ) pro ln ln 5 ) l n+ ln5, b) 8ln ln5, c) 5 ln, d) 6 6 ln

162 6 Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln pro Délk oblouku křivky ) ln 9, b) + ln, c) ln, d) + l n 7) Vypočtěte délku smyčky křivky t, y t t = = pro t ), b), c), d) 8 8) Vypočtěte délku jednoho oblouku prosté cykloidy = t ( sin t), y= ( cos t), > konst, ( t ) ), b) 6, c), d) 8 9) Vypočtěte délku oblouku křivky v kvdrntu ) 6, b) 9, t y t = = mezi průsečíky s osmi souřdnic, c) 9, d) 8 t ) Vypočtěte délku oblouku křivky = cost+ lntg, y = sin t pro t 6 ) ln, b), c) ln, d) Výsledky testu b); c); ); c); 5 d); 6 ); 7 b); 8 d); 9 ); c) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu Shrnutí lekce Dlší možností použití určitého integrálu je výpočet délky křivky Z Pythgorovy věty odvodíme zákldní vzth pro výpočet délky křivky b s = ( d) + ( dy) Jednoduchou

163 úprvou dostneme vzorec s= + [ f ( ) ] b Délk oblouku křivky d pro výpočet délky křivky zdné eplicitní funkcí y = f( ), b, < > vzorec = [ ϕ ()] + [ ψ ()] β pro délku křivky, která je α s t t dt dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β > Problém je v tom, že velmi čsto neumíme integrál, který obshuje odmocninu, vypočítt pomocí elementárních funkcí V těchto přípdech nezbývá než použít nějkou přibližnou metodu Vzth pro výpočet délky křivky lze rozšířit i n křivky v prostoru Podrobnosti nleznete v tetu Mtemtik III, kpitol

164 Objem rotčního těles Objem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem objemu rotčního těles Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Výkld Uvžujme křivočrý lichoběžník ohrničený shor grfem nezáporné funkce f ( ), přímkmi =, = b osou Rotcí tohoto křivočrého lichoběžník kolem osy vznikne rotční těleso Nším cílem bude vypočítt objem tohoto těles Obr Rotce křivočrého lichoběžník Budeme postupovt nlogicky jko při zvedení Riemnnov určitého integrálu (kp ) Řezy kolmými n osu rozdělíme rotční těleso n n tenkých plátků tloušťky Δ (můžete si předstvit, že těleso krájíte n kráječi jko šunku) Obr Rozřezání těles n tenké plátky

165 Objem rotčního těles Kždý plátek můžeme proimovt válečkem, jehož podstvou je kruh o poloměru f ( ξ i ) s výškou Δ i (obr ) Objem i - tého válečku bude Δ Vi = f ( ξi ) Δ i Objem celého těles bude přibližně roven součtu objemů jednotlivých plátků (válečků): n n V Δ Vi = f ( ξi) Δ i= i= i Čím bude dělení intervlu <b, > jemnější, tím méně se bude součet objemů plátků n ΔVi i= lišit od objemu dného těles Proto objem definujeme jko limitu tohoto součtu pro n, když zároveň všechny délky Δ Kldeme b V = f ( ) d Vět i Nechť je funkce f ( ) spojitá nezáporná n intervlu < b, > Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník ohrničeného shor funkcí f ( ), osou přímkmi =, = b kolem osy, má objem b V = f ( ) d Grf nezáporné funkce y = f( ) může být popsán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β > Je-li funkce = ϕ() t ryze monotonní n intervlu < α, β >, pk k ní eistuje inverzní funkce t ϕ = ( ) Rovnici křivky můžeme proto psát ve tvru y = ψϕ ( ( )) = f( ) b b Uvžovné rotční těleso bude mít objem V = f ( ) d= ψ ( ϕ ( )) d Odtud substitucí = ϕ() t, ze které plyne d = ϕ () t dt, dostneme β V = ψ () t ϕ () t dt α - 7 -

166 Objem rotčního těles Vět Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ() t má spojitou derivci n intervlu < α, β > funkce ψ () t je spojitá nezáporná n intervlu < α, β > Pk pro objem rotčního těles, které vznikne rotcí elementární oblsti ϕ( α) ϕ( β ), y ψ ( t), kolem osy, pltí β V = ψ () t ϕ () t dt α Řešené úlohy Příkld Ověřte vzorec pro výpočet objemu kuželu s poloměrem podstvy r výškou v Řešení: Vrchol kuželu umístíme do počátku souřdné soustvy tk, by os kužele splývl r s osou Plášť kužele vznikne rotcí přímky y = kolem osy pro <, v > v (obr ) Obr Objem kužele Doszením do vzthu z věty dostneme v v v r r r v v v r v V = d= d= = což je vzth, který znáte z geometrie, - 7 -

167 Příkld Odvoďte vzth pro výpočet objemu koule o poloměru r > Objem rotčního těles Řešení: Rovnice kružnice se středem v počátku poloměrem r je + y = r Odtud y =± r, přičemž < rr, > Rotcí horní půlkružnice y =+ r dostneme plášť koule Obr Objem koule Pro její objem bude pltit r r r ( ) ( ) V = r d= r d= r d= r = r r = r = r Poznámk r ) Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že funkce ( r je sudá Podle věty bude r integrál s mezemi < rr>, roven dvojnásobku integrálu s mezemi <, r > Je to logické, neboť objem celé koule se rovná dvojnásobku objemu polokoule Pro výpočet objemu koule můžeme tké využít prmetrické rovnice horní půlkružnice: = rcost, y = rsin t, t <, > (viz příkld ) Jelikož ϕ () t = ( rcos) t = rsint, dostneme po doszení do vzthu z věty substituce cost u V = = r sin trsin tdt = r sin tdt = r ( cos t)sin tdt = sin tdt = du, = - 7 -

168 Objem rotčního těles u = r ( )( u ) du = r ( u ) du = r u = r Příkld Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi y = y = kolem osy Řešení: Oblst je ohrničená dvěm prbolmi, viz obr 5 Obr 5 Oblst z příkldu Křivky f ( ) = g ( ) = se protínjí v bodech = = Hledný objem dostneme, když od objemu těles, jehož plášť vznikne rotcí křivky f ( ) = kolem osy pro <, >, odečteme objem těles, které vznikne rotcí obrzce pod křivkou g ( ) = n stejném intervlu (obr 6) V = ( ) d - ( ) Obr 6 Odečtení objemů dvou těles d Pro objem rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi y = y = kolem osy, dostneme: - 7 -

169 Objem rotčního těles b b V= f ( d ) g ( d ) = ( ) d ( ) d= ( ) ( ) d = = ( + ) d = ( ) d = ( ) d = 8 ( ) d = 6 = 8 = 8 = Poznámk Upozornění! Pro výpočet objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi g( ) f( ) kolem osy pro < b, >, použijeme vzth b b b V= f ( d ) g ( d ) = f ( ) g ( ) d Čsto se setkáváme s chybou, kdy je umocněn rozdíl funkcí b [ Vzth V = f ( ) g( ) d je evidentně nesprávný! ] Příkld Vypočtěte objem rotčního nuloidu Řešení: Anuloid (torus), viz obr 7, je těleso vytvořené rotcí kruhu kolem přímky ležící v rovině tohoto kruhu neprotínjící kruh Obr 7 Anuloid - 7 -

170 Objem rotčního těles Střed kruhu o poloměru r umístíme n osu y do vzdálenosti R od počátku, kde r < R (obr 8) Tento kruh necháme rotovt kolem osy Obr 8 Vznik nuloidu rotcí kruhu kolem osy Hrnici rotujícího kruhu tvoří kružnice, která má rovnici + ( y R) = r Odtud y R=± r Podobně jko v předcházejícím příkldu je hrnice rotující oblsti tvořen dvěm křivkmi f ( ) = R+ r = pro < rr, > Objem nuloidu g ( ) R r dostneme jko rozdíl objemů dvou těles (obr 9): r r V = f ( ) g ( ) d== R+ r R r d r r = r substituce: r = rsin u = R r d= 8R r d= d = r cosudu = 8R r r sin u rcosudu= r, r + cosu = 8Rr sin u cosudu = 8Rr cos udu = 8Rr du =

171 Objem rotčního těles sin u = Rr u + = Rr = Rr V = r f ( ) d - r r g ( ) d r Obr 9 Výpočet objemu nuloidu Poznámk Při výpočtu integrálu byl použit substituční metod Podobné integrály jsme již několikrát počítli - viz příkldy 7 nebo 5 Příkld 5 Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí obrzce ohrničeného Řešení: osou jedním obloukem cykloidy kolem osy S cykloidou jsme se podrobněji seznámili v příkldu 5 Cykloid (obr 9) má prmetrické rovnice: = t ( sin t), y = ( cos t), >, t R První oblouk cykloidy dostneme pro prmetr t <, > Protože d = ( cos t) dt, dostneme z věty :

172 Objem rotčního těles t = V = ( cos t) ( cos t) dt = ( cos t) d = ( cost+ cos t cos t) dt = substituce: + cost sin t = u = [ t sint] + dt ( sin t)cos t dt = costdt= du, = sint t ( u ) du = + + = ( + = ) 5 Výkld V předcházející části byl plášť rotčního těles vytvořen rotcí spojité křivky y = f( ), kolem osy Zcel nlogicky můžeme určit objem rotčního těles, jehož plášť vznikl rotcí spojité křivky = hy ( ) pro y < c, d > kolem osy y (obr ) Obr Rotce křivočrého lichoběžník kolem osy y Objem vypočteme ze vzthu: d V = h ( y ) dy c

173 Objem rotčního těles Příkld 6 Vypočtěte objem rotčního těles, jehož plášť vznikne rotcí křivky y = e pro <, > kolem osy y Řešení: Funkce y = e je prostá n definičním oboru inverzní funkce k ní bude = ln y, y > Pro <, > bude y <, e> (obr ) Obr Rotce křivky y = e kolem osy y Objem rotčního těles bude: e u = v= ln y e e V = ln ydy = = yln y ln ydy u = y v = (ln y) y = e u = v= ln y = = = + u = y v = y e [ e ] ln ydy e [ yln y] dy = e ( [ ] ) ( ) ( = e e+ y = e e+ e = e ) e Kontrolní otázky Uveďte vzth pro výpočet objemu těles, jehož plášť vznikne rotcí křivky y = f( ) kolem osy Uveďte vzth pro výpočet objemu těles při rotci kolem osy, je-li rotující křivk dán prmetrickými rovnicemi

174 Objem rotčního těles Jk bude vypdt vzth pro výpočet objemu těles, jestliže křivk dná prmetrickými rovnicemi bude rotovt kolem osy y? Jk vypočtete objem těles, jehož plášť vytvoří křivk y =,, při rotci kolem osy? Jký bude objem při rotci kolem osy y? 5 Jk vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří křivk y = +,, při rotci kolem osy Jké těleso vznikne? 6 Jk vypočtete objem rotčního elipsoidu, jehož plášť vytvoří elips + y = při rotci kolem osy (kolem osy y)? Úlohy k smosttnému řešení Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného zdnými křivkmi kolem osy : ) ; y = = y b) y = ; = y c) e) y = ; y = d) y = ; y = ; = y = ; y = f) y = tg ; y = ; = ; = g) y = rcsin ; y = ; = ; = h) y = ; y = ; = ; = i) y = ; y+ 5 = j) y = ; y = ; = k) + y = ; + y = l) y = sin ; y = ; = ; = Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného zdnými křivkmi kolem osy y : ) c) e) g) ; y = = y b) y + = ; = y = sin ; y = ; = d) y = e ; y = ; = ; = y = ; y = ; = f) y = ; y = = = y h) y = ln ; y = ; y = ; = y ;

175 Objem rotčního těles Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného osou dnou, prmetricky popsnou, křivkou při rotci kolem osy : ) t = t, y = t ; t b) = t sin t, y = cos t; t c) = sin t, y = cos t; t d) = sin t, y = cos t; t Výsledky úloh k smosttnému řešení ) ; b) ; c) ; d) 6 ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 7 ; j) (9 8ln ; k) ln ) 8 5 ; l) ) ; b) ; 5 c) + ; d) 7 6 b) 5 ; c) ; d) 6 5 e ; e) 96 ; f) ; g) ; h) 7 ( 5 e + ) ) ; - 8 -

176 Objem rotčního těles Kontrolní test Vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky y = tg pro rotcí kolem osy ) ( ), b) ( ) /, c) ( ) /, d) ( ) Vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky y = 6pro otáčením kolem osy ) 6, b),, c) 9,6, d) 5, Vypočtěte objem těles, které vytvoří rovinný obrzec ohrničený osmi, y obloukem křivky y = cos( ) otáčením kolem osy ) 5 8 +, b) 5 8, c) 5, d) 5 + Vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří oblouk řetězovky ( y = e + e ) pro ) c) ( 8 e e + + ), b) ( 8 ) e e +, ( 8 e e + ), d) ( 8 ) e e + 5 Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničené křivkmi 5 y = ( ) 5 y = kolem osy ) 8, b) 8 5, c) 6 5, d) 6 6 Vypočtěte objem úseče koule o poloměru r, je-li výšk úseče v < r ) c) v r v ( ), b) v r v ( ), d) v r v ( ), v r v ( ) - 8 -

177 Objem rotčního těles 7 Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = + y = 6v polorovině kolem osy ) 6, b), c), d) 8 Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí rovinné oblsti ohrničené křivkmi y = + y = 6v polorovině kolem osy y ), b), c), d) 9 Vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky = cos t, y = sint pro t otáčením kolem osy ) ( + 8), b) ( 5 + 8) c) (5 8), d) ( 5 + 8) t Vypočtěte objem těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky = cost+ lntg, y = sin t pro t otáčením kolem osy ), b), c), d) 6 Výsledky testu c); b); ); b); 5 d); 6 ); 7 c); 8 d); 9 d); b) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu Shrnutí lekce Objem rotčního těles, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník y f( ) pro b kolem osy, vypočteme ze vzthu V = f ( ) d Anlogicky pro objem rotčního těles, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník b hy ( ) pro c y d - 8 -

178 Objem rotčního těles kolem osy y, užijeme vzth d V = h ( y ) dy Jelikož se v integrndu vyskytuje druhá c mocnin, nečiní obvykle výpočet příslušného integrálu větší problémy Objemy obecnějších těles, která nejsou rotční, lze vypočítt pomocí dvojných nebo trojných integrálů Podrobnosti nleznete v tetu Mtemtik III - 8 -

179 Obsh pláště rotčního těles Obsh pláště rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem obshu pláště rotčního těles Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Budeme tké používt vzthy pro výpočet délky oblouku křivky (kpitol ) Výkld Uvžujme nezápornou funkci f( ) n intervlu < b, > Nším úkolem bude vypočítt obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí grfu této funkce kolem osy (obr) Obr Rotce křivky kolem osy Budeme postupovt nlogicky jko při výpočtu objemu rotčního těles (kp ) Řezy kolmými n osu rozdělíme rotční těleso n n tenkých plátků (Opět si můžete předstvit, že těleso krájíte n kráječi jko šunku Tentokrát nás zjímá slupk jednotlivých plátků) Obr Rozřezání těles n tenké plátky - 8 -

180 Obsh pláště rotčního těles Kždý plátek můžeme proimovt komolým kuželem, jehož plášť vytvoří úsečk rotující kolem osy (obr ) Plášť i - tého komolého kuželu bude Si f( ξi) si Obsh pláště celého těles bude přibližně roven součtu obshů plášťů jednotlivých plátků (komolých kuželů): n n S Si = f( ξi) s i= i= i si Čím bude dělení intervlu <b, > jemnější, tím méně se bude součet obshů plášťů plátků n Si i= tohoto součtu pro b S = f( ) ds lišit od obshu pláště dného těles Proto obsh pláště definujeme jko limitu n, když zároveň všechny délky Kldeme Z kpitoly víme, že pro element délky křivky pltí dy ds = d + dy = + d = + [ f ( ) ] d Doszením z ds dostneme: d b [ ] S = f( ) + f ( ) Vět Nechť je funkce derivci d f( ) spojitá nezáporná n intervlu < b, > má zde spojitou f ( ) Pk pro obsh rotční plochy vzniklé rotcí oblouku křivky y = kolem osy pltí b [ ] S = f( ) + f ( ) s i d f( )

181 Obsh pláště rotčního těles Poznámk Vzorec z věty můžeme zpst ve tvru b S = y ds= y + ( y ) b d Tento vzorec můžeme sndno použít i v přípdě, že je uvžovná křivk dán prmetrickými rovnicemi Je-li rotující křivk popsán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, pk pro ds pltí (vět ) [ ϕ ()] [ ψ ()] ds = t + t dt Pro výpočet obshu plochy, která byl vytvořen rotcí uvedené křivky kolem osy, dostáváme: b β S = y ds= ψ( t) ϕ ( t) + ψ ( t) dt Vět [ ] [ ] α Nechť je funkce f dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β > funkce ψ () t je nezáporná n intervlu < α, β > Pk pro obsh plochy, která vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy pltí β [ ] [ ] α S = ψ( t) ϕ ( t) + ψ ( t) dt Řešené úlohy Příkld Vypočtěte obsh pláště rotčního kužele, který je vytvořen úsečkou y = pro <, > rotující kolem osy Řešení: V příkldu jsme již počítli objem kuželu (obr ) Pro dnou úsečku y = pro <, > dostáváme

182 Obsh pláště rotčního těles ds = + ( y ) d = + d = d Obsh pláště rotčního kužele bude S = yds= d= = 9 Příkld Odvoďte vzth pro výpočet povrchu koule o poloměru r > Řešení: Rovnice kružnice se středem v počátku poloměrem r je + y = r Odtud y =± r, přičemž < rr, > Rotcí horní půlkružnice y =+ r dostneme plášť koule (viz obr ) Před dlším výpočtem si uprvíme výrz + ( y ) ( ) y = r ( ) = r + ( y ) = + = r r r Pro povrch koule bude z věty pltit r r r, r S = y + ( y ) d= r d= r d= r = r [ ] r r r r r r Dostli jsme známý vzth pro povrch koule Poznámk Musíme přiznt, že předcházející výpočet nebyl zcel korektní, protože derivce funkce y = r není definován pro = ± r Nejsou tedy splněny předpokldy věty Mohli bychom to nprvit tk, že bychom počítli integrál n intervlu < r+ ε, r ε >, kde ε > je mlé číslo (vlstně bychom z koule odřezli dv mlé vrchlíky) Plášť koule bez vrchlíků by byl S = r( r ε ) Pro ε dostneme očekávný výsledek Pro výpočet povrchu koule můžeme tké využít prmetrické rovnice horní půlkružnice: = rcost, y = rsin t, t <, > (viz příkld )

183 Po doszení do vzthu z věty dostneme S = ψ( t) ϕ ( t) + ψ ( t) dt = rsint rsint + rcost dt Obsh pláště rotčního těles [ ] [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] r = r sint sint + cost dt = r sin t dt = r cost = Příkld Vypočtěte obsh rotční plochy, která vznikne rotci steroidy kolem osy Řešení: Postup výpočtu bude nlogický jko v příkldu Vznik steroidy je objsněn n obrázku Prmetrické rovnice steroidy jsou = cos t, y = sin t, > Vzhledem k symetrii steroidy se můžeme omezit n t <, > Rotcí dostneme polovinu rotční plochy Pro její obsh pltí (srovnej s příkldem ): S = sin t cos tsin t + sin tcost dt = sin t(sin tcos t) dt = 5 sin t 6 = 6 sin tcos t dt = 6 5 = 5 Obsh celé rotční plochy bude dvojnásobný: 6 S = = 5 5 Příkld Vypočtěte povrch rotčního nuloidu Řešení: S nuloidem jsme se podrobně seznámili v příkldu Podívejte se n obrázky 7 8 Povrch nuloidu je složený ze dvou ploch

184 První vznikne rotcí křivky Obsh pláště rotčního těles = + (obr 9), druhá ploch vznikne f ( ) R r rotcí křivky = pro < rr, > kolem osy g ( ) R r Je zřejmé, že f ( ) = g ( ) proto + [ f ( ) ] = + [ g ( )] Povrch nuloidu bude r r S = S+ S = f( ) + [ f ( ) ] d+ g( ) + [ g ( ) ] d= r r r r = f ( ) + g( ) + f ( ) d= R + f ( ) d= [ ] [ ] [ ] r r r [ ] = R + f ( ) d= Rr = rr r Využili jsme toho, že [ ] poloviny kružnice o poloměru r Kontrolní otázky r + f ( ) d= r, neboť hodnot integrálu je rovn délce r Uveďte vzth pro výpočet obshu rotční plochy, která vznikne rotcí křivky y = f( ) kolem osy Uveďte vzth pro výpočet obshu rotční plochy, je-li rotující křivk dán prmetrickými rovnicemi rotuje kolem osy Jk bude vypdt vzth pro výpočet obshu rotční plochy, jestliže křivk dná prmetrickými rovnicemi bude rotovt kolem osy y? Odvoďte vzth pro výpočet obshu pláště rotčního kužele s poloměrem podstvy r výškou v (Viz příkld ) 5 Jk vypočtete obsh pláště rotčního komolého kužele, který vznikne rotcí křivky y = k, < b kolem osy? 6 Jk vypočtete obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky dné prmetrickými rovnicemi = t+, y = t pro t <, > kolem osy? Jké těleso vznikne?

185 Obsh pláště rotčního těles 7 Sestvte integrál pro výpočet obshu rotční plochy, která vznikne rotcí prboly pro y= kolem osy (kolem osy y) Zkuste integrál řešit pomocí některého mtemtického progrmu (npř Derive, Mple, Mthemtic) Úlohy k smosttnému řešení Vypočtěte obsh rotční plochy, která vznikne rotcí dné křivky kolem osy : ) y = ; b) y = e + e ; c) d) y = ; y = tg ; e) y = e + e ; f) y = sin ; Vypočtěte obsh rotční plochy, která vznikne rotcí dné křivky kolem osy : ) b) = cos t, y = sin t; t = cos t, y = sin t; t = t sin t, y= cos t ; t c) ( ) ( ) d) = sin t, y = sin t; t t t e) = e sin t, y = e cos t; t f) + y = 9-9 -

186 Obsh pláště rotčního těles Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 96 ; b) e 79 + e ; c) 56 e) ; d) ( 5 ) + ( 5 ) ln( + ) ; + e ; f) + ln( + ) ) 6 ; b) 8 5 ; c) 5 e e) ( e ) 5 ; f) ; d) ; Kontrolní test Vypočtěte povrch vrchlíku kulové plochy o poloměru r, jehož výšk je v < r ) rv, b) r( r+ v), c) rv, d) rr ( + v) Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk prboly y = pro 8 při otáčení kolem osy ) 76 5, b) 6, c), d) 5 Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky y = ( ) pro při otáčení kolem osy ), b), c), d) 8 Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk řetězovky y = ( e + e ),> konst pro rotcí kolem osy ) c) ( e + e +), b) ( + e e ), ( e e +), d) ( e + e ) - 9 -

187 Obsh pláště rotčního těles 5 Vypočtěte povrch těles, které vznikne rotcí rovinné oblsti dné nerovnostmi y, r + y r, + y r,, r > konst kolem osy ) r (+ ), b) 7 r ( ), c) + 5 r ( + ), d) 7 r ( + ) 6 Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk prboly pro při otáčení kolem osy y ) y = (7 7 + ), b) (7 7 ), c) (7 7 ), d) (7 7 + ) Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky pro t rotcí kolem osy t = t, y = t ), b) 9, c) 6, d) 8 Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky pro t = sin t, y = sin t ) 8, b) 6, c), d) 9 Vypočtěte obsh rotční plochy, kterou vytvoří oblouk křivky trktri t = cost+ lntg, y = sin t pro t při otáčení kolem osy 6 ), b) 8, c) 8 ( ), d) Vypočtěte povrch těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky = cost+, y = sint pro t otáčením kolem osy ) 8, b) 6, c) 6, d) 5 Výsledky testu ); c); d); c); 5 b); 6 b); 7 ); 8 d); 9 ); c) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitolu znovu - 9 -

188 Obsh pláště rotčního těles Shrnutí lekce Obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky y = f( ) pro b kolem osy, vypočteme podle vzthu b [ ] S = f( ) + f ( ) d Je-li křivk rotující kolem osy popsán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t pro t < α, β >, užijeme pro výpočet β S t t t dt Stejně jko u integrálů pro obshu rotční plochy vzth = ψ( ) [ ϕ ( )] + [ ψ ( )] α výpočet délky křivky se nám stne, že neumíme integrál, který obshuje odmocninu, vyjádřit pomocí elementárních funkcí V těchto přípdech nezbývá než použít nějkou přibližnou metodu Obshy obecnějších ploch, které nejsou rotční, lze vypočítt pomocí dvojných integrálů Podrobnosti nleznete v tetu Mtemtik III - 9 -

189 5 Fyzikální plikce 5 Fyzikální plikce Cíle Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, sttických momentů, souřdnic těžiště momentů setrvčnosti Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Výkld Jk již bylo uvedeno v úvodu kpitoly, eistuje nepřeberné množství problémů, při jejichž řešení je používán integrální počet V průběhu studi se seznámíte s použitím integrálů ve fyzice v dlších odborných předmětech V této kpitole se omezíme pouze n jednoduché plikce v mechnice Půjde o výpočet sttických momentů, souřdnic těžiště momentů setrvčnosti hmotných křivek rovinných oblstí V obecném přípdě, kdy veličiny závisí n dvou nebo třech proměnných se k výpočtu používjí dvojné nebo trojné integrály Podrobnosti nleznete v tetu Mtemtik III Těžiště moment setrvčnosti soustvy hmotných bodů Připomeňme si, jk je v mechnice definován sttický moment moment setrvčnosti Uvžujme v rovině jeden hmotný bod A = ( y, ) s hmotností m Obr 5 Hmotný bod A v rovině Sttický moment hmotného bodu k libovolné ose o je dán vzthem So = rm moment setrvčnosti uvedeného bodu při jeho rotci kolem osy o je - 9 -

190 5 Fyzikální plikce Io = r m, kde r je vzdálenost bodu od osy o (obr 5) Pokud je uvžovnou osou os, je r = y pro osu y je r = Mějme v rovině soustvu hmotných bodů Ai = ( i, yi) s hmotnostmi mi, i =,, n Celková hmotnost soustvy bude sttický moment k ose bude n m= mi, i= n S = yimi i=, sttický moment k ose y bude Sy n = im i i= momenty setrvčnosti budou n I yi mi i= =, n I y i m i i= = Těžiště T = ( ξ, η) je bod s touto vlstností: Kdyby do něj byl soustředěn všechn hmot soustvy, pk by tento bod měl stejné sttické momenty k souřdnicovým osám, jko dná soustv hmotných bodů Tedy pro těžiště pltí ξ m= S y η m= S Odtud dostáváme pro souřdnice těžiště vzthy ξ = S y m, S η = m Při výpočtu souřdnic těžiště hmotné křivky nebo rovinné oblsti budeme postupovt jko při zvedení určitého integrálu Křivku (oblst) rozdělíme n mlé elementy Sttické momenty (hmotnost) dostneme jko součet sttických momentů (hmotností) těchto elementů Limitním přechodem pro n přejdou sumy n integrály Těžiště moment setrvčnosti rovinné křivky Křivku v rovině si můžeme předstvit jko kus drátu z mteriálu, který má konstntní délkovou hustotu σ Chceme nlézt souřdnice těžiště této křivky (obr 5)

191 5 Fyzikální plikce Obr 5 Těžiště rovinné křivky Předpokládejme, že je křivk dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β > β α Její délk (vět ) je = [ ϕ ()] + [ ψ ()] s t t dt Hmotnost křivky dostneme jko součin délky hustoty: β [ ()] [ ()] α m= σs= σ ϕ t + ψ t dt Křivku můžeme proimovt lomenou čárou složenou z úseček s, i =,,, n Úsečky budou mít hmotnosti mi = σ si, i =,,, n V přípdě mlých elementů si můžeme předstvit, že hmotnost je soustředěn do jednoho bodu A = (, y ), který leží n dné úsečce s, i =,,, n Sttické momenty této lomené čáry budou i n n S = yimi = σ yi si i= i= n n Sy = imi = σ i s i i= i=, i i i Je zřejmé, že pro zvětšující se počet úseček budeme dostávt přesnější proimce sttických momentů Pro n dostneme (nlogicky jko v kp ) β () [ ()] [ ()], α S = σ ψ t ϕ t + ψ t dt y β () [ ()] [ ()] α S = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt i

192 5 Fyzikální plikce Podobně odvodíme vzthy pro momenty setrvčnosti při rotci kolem osy, resp y Vět 5 Nechť je křivk dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β > Je-li délková hustot σ křivky konstntní, pk má křivk hmotnost β [ ()] [ ()] α m= σ ϕ t + ψ t dt Pro sttické momenty pltí: β () [ ()] [ ()], α S = σ ψ t ϕ t + ψ t dt y β () [ ()] [ ()] α S = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: β () [ () ] [ () ], α I = σ ψ t ϕ t + ψ t dt y β () [ () ] [ () ] α I = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt S y S Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice ξ =, η = m m Je-li speciálně křivk grfem funkce y = f( ) s konstntní délkovou hustotou, pk je [ ] ds = + f ( ) d (vět ) Dostáváme následující modifikci věty 5 Vět 5 Nechť je hmotná křivk určená eplicitní rovnicí y = f( ) se spojitou derivci f ( ) n intervlu < b, > konstntní délkovou hustotou σ Pk má křivk hmotnost b [ ] m= σ + f ( ) Pro sttické momenty pltí: d

193 5 Fyzikální plikce b [ ] S = σ f( ) + f ( ) b [ ] S = σ + f ( ) y d d, Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: b [ ] I = σ f ( ) + f ( ) d, b [ ] I = σ + f ( ) y d S y Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice ξ = m, S η = m Těžiště moment setrvčnosti rovinné oblsti Uvžujme hmotnou rovinnou oblst ohrničenou zdol grfem funkce g( ), shor grfem funkce f( ), ( g ( ) f( ) ) pro < b, > Předpokládejme, že je plošná hustot σ v kždém bodě tohoto obrzce konstntní hustoty: Hmotnost rovinné oblsti dostneme jko součin obshu plochy oblsti (vět ) b ( ( ) ( )) m= σ f g d Anlogicky jko při zvedení určitého integrálu (kpitol ) rozdělíme obrzec rovnoběžkmi s osou y n n proužků (obr 5) Kždý proužek můžeme proimovt úzkým obdélníčkem šířky, i =,,, n, který je zdol ohrničený funkční hodnotou i g ( i ) shor funkční hodnotou f ( i ) Tento obdélníček nhrdíme těžištěm ležícím ve středu obdélníčku Pro obdélníček bude soustředíme hmotnost celého obdélníčku yi A = (, y ) i i i f ( i) + g( i ) = Do tohoto bodu

194 5 Fyzikální plikce Obr 5 Těžiště rovinné oblsti Hmotnost i - tého obdélníčku bude [ ( ) ( )] m σ f g i = i i i, i =,,, n Sttické momenty celé oblsti budou přibližně rovny n n n f( i) + g( ) S i = yimi = σ [ f( i) g( i) ] i = σ f ( i) g ( i) i i= i= i= n n Sy = imi = σ i[ f( i) g( i) ] i i= i= Je zřejmé, že pro zvětšující se počet obdélníčků budeme dostávt přesnější proimce sttických momentů Pro n dostneme limitním přechodem b S = σ f ( ) g ( ) d, y b [ ( ) ( )] S = σ f g d i Podobně odvodíme vzthy pro momenty setrvčnosti při rotci kolem osy, resp y, Vět 5 Nechť je hmotná rovinná oblst ohrničen křivkmi g( ) f( ), kde g( ) f( ) n intervlu < b, > Pk hmotnost této oblsti s konstntní plošnou hustotou σ je b [ ( ) ( )] m= σ f g d

195 Pro sttické momenty pltí: 5 Fyzikální plikce b S = σ f ( ) g ( ) d, y b [ ( ) ( )] S = σ f g d Momenty setrvčnosti této rovinné oblsti dostneme ze vzthů: b ( ) ( ), I = σ f g d y b [ ( ) ( )] I = σ f g d S y S Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice ξ =, η = m m Řešené úlohy Příkld 5 Vypočtěte souřdnice těžiště homogenní půlkružnice + y = r, y Řešení: Prmetrické rovnice půlkružnice jsou (viz příkld ): = rcost, y = rsin t, t <, > Obr 5 Souřdnice těžiště homogenní půlkružnice Je-li délková hustot σ konstntní, je hmotnost rovn součinu hustoty délky půlkružnice: m= σ s = σ r = σr - -

196 Sttické momenty jsou: 5 Fyzikální plikce = σψ [ ϕ ] + [ ψ ] = σ [ ] + [ ] = σ = σr [ cost] = σr, S () t () t () t dt r sint r sint r cos t dt r sint dt = β [ ] [ ] [ ] [ ] S = σ ϕ() t ϕ () t + ψ () t dt = σ r cost r sint + r cos t dt = σr cost dt = y α [ ] = σ r sin t = Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice S y S ξ = = σ r r η m = m = σr = r T = (, ) Poznámk Sttický moment S y jsme nemuseli počítt, protože je evidentní, že pro dnou půlkružnici musí těžiště ležet n ose y, tedy je S y = Příkld 5 Vypočtěte momenty setrvčnosti homogenní půlkružnice z příkldu 5 k souřdnicovým osám Řešení: Moment setrvčnosti půlkružnice k ose : β I = σ ψ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] sin [ sin ] [ cos ] = α cost σ r sint σr = σr sin tdt = σr dt = t = Moment setrvčnosti půlkružnice k ose y: β I = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt y () [ ()] [ ()] cos [ sin ] [ cos ] = α + cost σ r sint σr = σr cos tdt = σr dt = t + = - -

197 5 Fyzikální plikce Příkld 5 Vypočtěte souřdnice těžiště trojúhelník s vrcholy O = (,), A = (,) B = (,) Řešení: Strn AB dného trojúhelník leží n přímce y = ( ), tj y = Rovinná oblst je ohrničen shor grfem funkce ( ) f = zdol grfem funkce g( ) = obr 55 Obr 55 Těžiště trojúhelník Je-li plošná hustot σ konstntní, je hmotnost rovn součinu hustoty obshu trojúhelník: m= σ P = σ = σ Sttické momenty jsou (připomínáme, že g( ) = ): b S = σ f ( ) d= σ ( ) d= σ ( + ) d= = σ + = σ ( + ) = σ b Sy = σ f ( ) d = σ ( ) d = σ ( ) d σ = = 6 = σ = σ Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice S σ y σ S ξ = = = η = = = m σ m σ - -

198 T = (, ) Poznámk 5 Fyzikální plikce Těžiště trojúhelník leží v průsečíku těžnic (spojnic vrcholů středů strn) Těžiště rozděluje těžnici v poměru : Z podobných trojúhelníků je zřejmé, že ová souřdnice těžiště musí ležet v strny OB y ová souřdnice těžiště musí ležet v strny OA Proto ξ = = η = = Příkld 5 Vypočtěte momenty setrvčnosti homogenního trojúhelník z příkldu 5 při rotci kolem osy, resp y Řešení: Moment setrvčnosti trojúhelník k ose : b I = σ ( ) ( ) ( ) f d = σ d d = σ + = 8 = σ + = σ ( + ) = σ = σ 6 Moment setrvčnosti trojúhelník k ose y: b I y = σ f ( ) d = σ ( ) d = σ ( ) d σ = = 8 8 = σ = σ Příkld 55 Vypočtěte souřdnice těžiště rovinného obrzce ohrničeného křivkou y = 6 osou Řešení: Grfem prboly y = 6 protíná osu v bodech = = 6 jsme se podrobně zbývli v příkldu Prbol - -

199 Rovinná oblst je ohrničen shor křivkou 5 Fyzikální plikce = zdol křivkou g( ) = f ( ) 6 obr 56 Obr 56 Těžiště rovinného obrzce ohrničeného křivkou y = 6 osou Je-li plošná hustot σ konstntní, je hmotnost rovn součinu hustoty plochy oblsti ohrničené prbolou osou : 6 P= σ (6 ) d= σ = σ(8 6) = 6 σ Sttické momenty jsou (připomínáme, že g( ) = ): b S = σ f ( ) d σ (6 ) d σ (6 ) = = + d= = σ + = σ ( + ) = σ 6 ( 8 + ) = 6 68 = σ8 = σ, 5 5 b 6 6 Sy = σ f( ) d= σ(6 ) d= σ (6 ) d= σ = 6 = σ 6 = σ6 ( ) = 8σ Těžiště T = ( ξ, η) má souřdnice 68 S σ y 8σ S 8 ξ = = = η = = 5 = m 6σ m σ T = (, )