Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
|
|
- Eliška Kadlecová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt, jsou podobné jko při výpočtu neurčitých integrálů v kp... Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte princip substituční metody víte, pro které typy integrálů je tto metod vhodná. Předpokládá se znlost pojmu určitý integrál dovednost počítt určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule. Výkld Jk již bylo uvedeno v předcházející kpitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovt v zásdě dvěm způsoby: Oddělíme fázi nlezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu. Nejprve si nevšímáme mezí počítáme pouze neurčitý integrál. Po vypočítání vybereme jednu z nlezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrční konstntu Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez. C = ) podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu. U substituční metody kromě zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné. První způsob nebude čtenáři ptrně dělt problémy. Proto se v dlším změříme n druhou možnost výpočtu, která je krtší elegntnější. Vzorce pro integrci substituční metodou v určitém integrálu připomínjí vzthy uvedené ve větách..... Vět... (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť funkce f ( u ) je spojitá n intervlu < α, β >. Nechť funkce u = ϕ( ) má spojitou derivci ϕ ( ) n intervlu < b, > nechť pro kždé < b, > pltí α ϕ( ) β, α = ϕ( ), β = ϕ( b) (tedy funkce ϕ zobrzuje intervl < b, > n intervl < α, β >). Potom pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u) du. α - -
2 Důkz:.. Substituční metod pro určité integrály Z předpokldů věty vyplývá, že eistují integrály n levé i prvé strně tvrzení věty... Z toho plyne, že eistuje primitivní funkce Fu ( ) k funkci f ( u ) n intervlu < α, β >. Podle věty.. je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ). Proto podle Newtonovy Leibnizovy formule (vět..) pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ( b)) F( ϕ( )) = F( β) F( α) = f ( u) du. Poznámky. Při výpočtu určitého integrálu zvedeme vhodnou substituci u = ϕ( ) vypočteme diferenciál du = ϕ ( ) d jko u neurčitého integrálu. Nvíc musíme ještě určit nové meze. Stré meze, b jsou pro původní proměnnou. Nová proměnná u bude mít meze α = ϕ( ), β = ϕ( b).. V řešených příkldech vyznčíme změnu mezí tkto: ϕ( ) (stré dolní mezi odpovídá nová dolní mez ϕ ( ) ), resp. b ϕ( b) (stré horní mezi b odpovídá nová horní mez ϕ ( b) ).. V konkrétním přípdě se může stát, že ϕ( ) > ϕ( b) (nová dolní mez je větší než mez horní). Podle definice.. můžeme meze změnit znménko integrálu se změní n opčné. Pokud dostneme ϕ( ) = ϕ( b), je podle poznámky k definici.. integrál roven nule nemusíme dále počítt. α Řešené úlohy Příkld... Vypočtěte integrál 5+ d. ) Bylo by možno nejprve vypočítt neurčitý integrál (nlézt primitivní funkci) jko v příkldu... u 5+ d= 5+ = u = 5+ d= udu = + C = u + C d = du = - -
3 .. Substituční metod pro určité integrály ( ) = C. Použijeme primitivní funkci pro z Newtonovy Leibnizovy věty dostáváme: C = (jiné C se stejně odečte): F( ) ( 5 ) [ ] ( ) ( ) ( ) 5 + d= F( ) = 5+ = = = + b) Prktičtější je počítt podle věty.. (při substituci určit nové meze). Použijeme substituci 5 + = u. Nová dolní mez bude u = 5+ = 9. Celý výpočet bude vypdt tkto: u = 5+ = 5 nová horní mez je u u + = 5+ d= 5+ d= = udu = = u d = du 5, = = Příkld... Vypočtěte integrál e ln d. Použijeme substituci ln = u. Funkce ϕ ( ) = ln je spojitá n intervlu <,e > má n něm spojitou derivci. Pro <, e > bude ln. e ln = u ln u d = = u du = d = du =., e Poznámk Při výpočtu musíme dávt pozor, zd jsou splněny podmínky věty... U neurčitých integrálů se můžeme po výpočtu dodtečně derivováním přesvědčit, zd jsme postupovli správně. U určitých integrálů tuto možnost zkoušky nemáme
4 .. Substituční metod pro určité integrály Příkld... Vypočtěte integrál cos d 5+ sin. Použijeme substituci sin = u. Pro novou dolní mez dostneme sin( ) = pro horní mez vyjde sin =. Podle poznámky k definici.. bude výpočet integrálu krátký: cos sin = u d = = 5+ sin 5+, cos d = du u du =. Příkld... Vypočtěte integrál tg d. Provedeme jednoduchou úprvu, bychom nlezli vhodnou substituci: sin ( cos )sin tg d = d = d cos cos. Je zřejmé, že vhodná substituce je cos = u, neboť sin d = du. Pro novou dolní mez vyjde cos = pro horní mez dostneme cos =, tkže nová dolní mez je větší než nová horní mez. Podle definice.. obrátíme meze změníme znménko integrálu: cos = u (cos ) sin u u d = sin d = du = du = du = du u = u, cos u u ln u ln ln ln ln ln = + + = + + = u ( )
5 .. Substituční metod pro určité integrály Výkld Větu... můžeme použít i v opčném směru (zprv dolev). V běžných úlohách nebývá integrční proměnnou u, le obvykle běžně používáme proměnnou, což je jen jiné písmenko ve vztzích. To odpovídá substituci typu = ϕ() t v neurčitém integrálu, která je popsán ve větě... V určitém integrálu budeme muset po uvedené substituci změnit meze. V tomto přípdě vlstně známe hodnoty ϕ ( ) ϕ () b. Musíme nlézt hodnoty b, by byly splněny předpokldy věty... V pri obvykle bývá funkce = ϕ() t tková, že lze zvolit intervl < b, > tk, by n něm byl funkce ϕ () t ryze monotonní, tj. by jej prostě zobrzil n zdný integrční obor < ϕ( ), ϕ( b) >. Příkld..5. Vypočtěte integrál d. Integrovná funkce je spojitá pro <, >, tkže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = sin t, tkže d = costdt. Trnsformujme meze integrálu: Pro = je = sint, tkže t =. Pro = je = sint, tkže t =. Protože n intervlu <, > je funkce = sin t monotonně rostoucí tento intervl se uvedenou funkcí zobrzí n intervl <, >, lze psát = sin t d= d = costdt = sin t sin t costdt =, = sin t cos t cost dt = sin t cost cost dt = sin t cos t dt = sin ( t) dt. V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je co st, tedy cost = cost. Po užití známého vzthu sin t = sin tcost dostáváme integrál typu - 7 -
6 .. Substituční metod pro určité integrály m n sin cos d (viz kpitol.6). sint sin tdt= ( cos t) dt= t 8 8 = 8. Příkld..6. Vypočtěte integrál + d. Integrovná funkce je spojitá pro kždé reálné, tkže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = tgt, tkže d = dt. (Je možno použít i substituci = cotgt ). Trnsformujme cos t meze integrálu: Pro = je = tgt, tkže t =. Pro = je = tgt, tkže t =. Protože n intervlu <, > je funkce = tgt monotonně rostoucí tento intervl <, >se funkcí = ϕ( t) = tgt zobrzí n intervl <, >, lze psát = tgt cos t+ sin t + d = d = dt = tg + t dt = dt = cos t cos t cos t cos t, dt dt = = = t t t t dt. cos cos cost cos cos V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je cost >, tedy m n cost = cost. Dostáváme integrál typu sin cos d. Jelikož n = je liché, řešíme integrál opět substitucí, to sin t = v(viz kpitol.6). Bylo by možno použít rovněž univerzální substituci tg t = v
7 .. Substituční metod pro určité integrály sin t = v cost cost d dt = dt = dt = costdt cos cos ( sin ) = v dv = ( ), t t t v = = dv ( v) ( + v). Dostáváme integrál z rcionální funkce, kdy polynom ve jmenovteli má reálné násobné kořeny. Je nutno provést rozkld rcionální funkce n součet prciálních zlomků (viz kpitol.5). A A B B ( v) ( + v) = v + ( v) + + v + ( + v) Nlezneme konstnty rozkldu A, A, B, B. Rovnici vynásobíme polynomem Q () v = ( v )( + v ). Dostneme rovnost dvou polynomů: = A( v)( + v) + A( + v) + B( v) ( + v) + B( v) Pro Pro v = dostneme = A+ A + B+ B. Tedy A =. v = dostneme = A+ A + B+ B. Tedy B =. Pro výpočet zbývjících koeficientů můžeme použít srovnávcí metodu (viz příkld.5.5): Koeficienty u : Koeficienty u : v = A+ B v = A + A + B + B Řešením této soustvy rovnic dostneme A =, B =. Integrujeme získné prciální zlomky: dv = = ( v) ( + v) v ( v) + v ( + v) dv = v + v = ln ln ln v v = v v + v v + = - 9 -
8 .. Substituční metod pro určité integrály ( ) = + ln = + ln = ln + = = ln( ) + +. Poznámky. Úlohu lze rovněž řešit substitucí k příkldu = t. Postup výpočtu je popsný v poznámce. Tento příkld nám ukzuje, že výpočet určitého integrálu i zdánlivě jednoduché funkce může být prcný zdlouhvý. Je věcí cviku zvolit co nejúspornější postup. U tkových příkldů nám mohou hodně pomoci vhodné počítčové progrmy.. Pokud zdáme integrál nějkému mtemtickému progrmu (npř. Derive, Mple, Mthemtic), získáme výsledek ln( ). N první pohled se zdá, že se jedná o úplně jinou funkci. Sndno se všk přesvědčíme, že ln( ) = ln(+ ) tedy ln( ) = ln( + ). Integrce sudých nebo lichých funkcí Výkld Výpočet určitého integrálu je jednodušší, pokud je integrovná funkce sudá nebo lichá n intervlu <, >. Připomeňme si definici.. z část Mtemtik I. Funkce f se nzývá sudá, jestliže Df : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle osy y). Funkce f se nzývá lichá, jestliže Df : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle počátku). - -
9 .. Substituční metod pro určité integrály Vět... (Integrál sudé, popř. liché funkce) Nechť je funkce f ( ) integrovtelná n intervlu <, >. Je-li f ( ) n intervlu f ( d ) = f( d ), Je-li f ( ) n intervlu f( ) d=. <, > <, > Důkz: Je-li f ( ) n intervlu sudá, pk lichá, pk zpst jko součet integrálů (vět..): <, > sudá, pk pltí f ( ) = f( ). Integrál můžeme f ( d ) = f( d ) + f( d ) = f( d ) + f( d ). První integrál řešíme substitucí = t, z níž plyne d = dt, meze,. Dostneme f ( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( d ). Druhou část věty o integrci liché funkce dokážeme nlogicky. f ( ) = f( ) f ( ) = f( ) Obr.... Integrál ze sudé z liché funkce - -
10 .. Substituční metod pro určité integrály Příkld..7. Vypočtěte integrál d. Tuto úlohu jsme již řešili v příkldu..5. Integrovná funkce je sudá pro kždé R, protože f ( ) = ( ) ( ) = = f( ). Podle věty.. můžeme výpočet poněkud zjednodušit, neboť stčí počítt integrál n intervlu <, >, kdy máme jednodušší dolní mez. sint d= d=... = sin t dt =... = t = 8. Příkld..8. Vypočtěte integrál sin cos d. Jelikož sin( ) = sin cos( ) = cos sndno ukážeme, že integrovná funkce je lichá: f ( ) = sin ( )cos( ) = sin cos =f( ). Podle věty.. není nutno integrál vůbec počítt, neboť sin cos d=. Ověřte výpočtem pltnost uvedeného výsledku! Kontrolní otázky. Uveďte princip substituční metody při výpočtu určitého integrálu.. Čím se při výpočtu odlišuje substituční metod pro určitý integrál od substituční metody pro integrál neurčitý? - -
11 .. Substituční metod pro určité integrály. Ukžte, že f( ) d= pro lichou funkci f(). b b. Ukžte, že pltí f ( d ) = f( + bd ). 5. Ukžte, že pltí f ( d ) = f( d ) 6. Zdůvodněte, proč jsou všechny následující integrály rovny nule. sin cos5d, d, sin cos + d, ln e + e d. ln 7. Ukžte, že cos m cos n d = pro m n cos m cos n d = pro m= n. = + +β. Návod: Užijte vzth cosα cos β [ cos( α β) cos( α )] Úlohy k smosttnému řešení. ) ( ) d) d b) d c) 5 d e) ( ) sin d f) + 9d d + ln. ) cos e sin d b) d) + d e) e d + e c) tg d cos f) e e 6 d ln tg d - -
12 .. Substituční metod pro určité integrály. ) d). ) d) cos sin d b) cos d e) sin d + b) 7 d + e) d 5. ) ln ( + ) d) b) sin d e) tg d c) d + sin f) d + c) 5 d f) ln 5 e e d c) e + e + ln d f) cos d sin sin 6 sin d d + d rctg + sin d d Výsledky úloh k smosttnému řešení. ) b) rctg e ; b) ; c) 5 ; c) ; d) ( ) d) 9 ( 7 ) ; e) ; d) ; e) ( ) ; e) ln rctg ; f) 5 5 cos ; f) ln+.. ) ; f) ln.. ) 6 ln ; b) ( ).. ) ln( ) e ; e ; c) ( ) ; + ; b) rctg ; c) ln; d) 8 + ; e) ; f) ) 5 ln 5 ln ; b) ; c) ln ; d) ; e) ; f)
13 .. Substituční metod pro určité integrály Kontrolní test 9. Vypočtěte integrál d. ) 7 ln, b) 7+ ln, c) + ln, d) 5 + ln.. Vypočtěte integrál d. + + ( + ) ), b), c), d). 6. Vypočtěte integrál d. 6 ), b), c) 8 6, d).. Vypočtěte integrál ) l n, b) 5. Vypočtěte integrál cotg d. + ln, c) d +. ln, d) + ln. ) ln, b) + ln, c) ln, d). 6. Vypočtěte integrál 9 5 ( ) d +. ) 5, b) 8, c) 9, d). 7. Vypočtěte integrál 9 ( ) d. + ( ) ) 8 +, b) 8 +, c) 8 +, d)
14 .. Substituční metod pro určité integrály 8. Vypočtěte integrál ) Vypočtěte integrál 5 + d , b), c), d) ln 5 e e d. + e ) +, b), c) +, d).. Vypočtěte integrál cos cos d. ), b), c), d). Výsledky testu. b);. c);. );. c); 5. ); 6. d); 7. b); 8. c); 9. d);. ). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou. V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly.. znovu. Shrnutí lekce Substituční metod ptří k nejčstěji používným metodám výpočtu určitých integrálů. Jsou možné dv postupy výpočtu. V prvním přípdě vhodnou substitucí vypočteme neurčitý integrál (nlezneme primitivní funkci) teprve potom pomocí Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez. Výhodnější bývá druhá možnost, kdy vedle zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné
vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VícePři výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály.. Mtod pr prts pro určité intgrály Cíl Sznámít s s použitím mtody pr prts při výpočtu určitých intgrálů. Zákldní typy intgrálů, ktré lz touto mtodou vypočítt
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VícePrimitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Vícex 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VícePavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem
2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet. Substituce v určitém integrálu VY_32_INOVACE_M0311
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..7/.5./. Zlepšení podmínek pro výuku
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník
Víceodvodit vzorec pro integraci per partes integrovat sou in dvou funkcí pouºitím metody per partes Obsah 2. Odvození vzorce pro integraci per partes
Integrce per prtes Speciální metod, integrce per prtes (integrce po ástech), je pouºitelná p i integrování sou inu ou funkcí. Tento leták oozuje zmín nou meto ilustruje ji n d p íkld. Abychom zvládli tuto
VíceMasarykova univerzita
Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
Více4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
.. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α
VíceKapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku
x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceP2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách
P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..
Více