ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY"

Transkript

1 ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY

2 Na přípravě skript se podíleli: Ing. Petr Borkovec - kap. 3, 4, 6 Ing. Roman Ptáček - kap. 1, 2, 5, 9 Ing. Petr Toman - kap. 7, 8 Technická úprava: Ing. Petr Borkovec Ing. Petr Borkovec, Ing. Roman Ptáček, Ing. Petr Toman, 2001 Lektor Ing. Radek Schmied, Ph.D. ISBN - 2 -

3 OBSAH: 1. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ A DISKONTOVÁNÍ ZÁKLADNÍ POJMY ZÁKLADNÍ ROVNICE PRO JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI JEDNODUCHÉM ÚROČENÍ DISKONTOVÁNÍ SROVNÁNÍ PŘEDLHŮTNÍHO A POLHŮTNÍHO ÚROČENÍ SLOŽENÉ ÚROČENÍ ZÁKLADNÍ ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI SLOŽENÉM ÚROČENÍ VÝPOČTY ODVOZENÉ Z ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ KOMBINACE SLOŽENÉHO A JEDNODUCHÉHO ÚROČENÍ ÚROKOVÉ SAZBY SPOŘENÍ KRÁTKODOBÉ SPOŘENÍ DLOUHODOBÉ SPOŘENÍ KOMBINACE KRÁTKODOBÉHO A DLOUHODOBÉHO SPOŘENÍ DŮCHODY DŮCHOD BEZPROSTŘEDNÍ DŮCHOD ODLOŽENÝ DŮCHOD VĚČNÝ UMOŘOVÁNÍ DLUHU UMOŘOVÁNÍ DLUHU NESTEJNÝMI SPLÁTKAMI UMOŘOVÁNÍ DLUHU STEJNÝMI SPLÁTKAMI (ANUITAMI) KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY SMĚNKA OSTATNÍ KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY SKONTO OBLIGACE ZÁKLADNÍ POJMY CENA OBLIGACE VÝNOSNOST OBLIGACÍ BĚŽNÝ VÝNOS EFEKTIVNÍ VÝNOS VÝNOS DO DOBY SPLATNOSTI OBLIGACE MEZI KUPÓNOVÝMI PLATBAMI VÝNOSOVÉ KŘIVKY DURACE AKCIE ZÁKLADNÍ POJMY DRUHY AKCIÍ CENA AKCIE VÝNOSNOST AKCIÍ ŠTĚPENÍ AKCIÍ ODEBÍRACÍ PRÁVA MĚNOVÉ KURZY PROMPTNÍ MĚNOVÉ KURZY KŘÍŽOVÉ KURZY FORWARDOVÉ MĚNOVÉ KURZY POUŽITÁ LITERATURA

4 Úvod Matematické operace ve finanční sféře nazýváme finanční matematikou. Ve starší literatuře najdeme také název politická aritmetika. Je však poplatný anglické literatuře starší doby a dnes se nepoužívá. Porozumění základním finančním a matematickým vztahům souvisejících s finančním trhem se dnes pomalu, ale jistě stává nutností nejen pro pracovníky bank, pojišťoven a makléřských společností. Odpovědi na otázky typu jak nejlépe uložit peníze, do čeho investovat, případně jak zhodnotit své finanční prostředky musí v současné době hledat téměř každý z nás. Najít správné odpovědi lze mimo jiné také pomocí finanční matematiky - matematika aplikovaná v oblasti financí, tj. v oblasti finančního trhu, jeho subjektů a nástrojů. Studia finanční matematiky se není zapotřebí obávat, základy finanční matematiky lze zvládnout se znalostí středoškolské matematiky, většina z nás však vystačí pouze s jednoduchými matematickými operacemi jako jsou sčítání, násobení a umocňování a k tomuto účelu může posloužit i tato publikace. Je sice určena především pro studenty všech oborů na PEF MZLU v Brně, ale využít ji může kdokoliv jiný z odborné i laické veřejnosti. Naší snahou bylo postupovat od věcí jednoduchých ke složitějším při zachování jednotlivých návazností. Proto je text rozčleněn do kapitol pojednávajících o úročení, spoření, důchodech, umořování dluhu a o některých cenných papírech, především o výpočtech jejich teoretických cen a výnosností. Důraz je kladen na jednotlivé vzorce potřebné pro zvládnutí základních výpočtů a na uvedení řešených příkladů vztahujících se k jednotlivým tématům. U vzorců, ve kterých je použita operace násobení, jsou oproti ustáleným zvyklostem pro přehlednost uvedeny všechny operátory krát (. ). Řešené příklady se vztahují vždy k předchozím vzorcům. Za každou kapitolou jsou pak další příklady k procvičení získaných poznatků

5 1. Jednoduché úročení a diskontování 1.1 Základní pojmy Každá hospodářská činnost si vyžaduje určitý kapitál. Podnikatelský subjekt (a vlastně nejenom on) používá svůj vlastní kapitál - vlastní zdroje, nebo kapitál získaný ze svého okolí - cizí zdroje. Většinou jej subjekt získává od finančních institucí jako půjčku, ale ovšem za úplatu. Touto úplatou je právě úrok. Čili úrok obecně představuje cenu za zapůjčení peněz. Z pohledu dlužníka představuje cenu za získání půjčky, případně úvěru a z pohledu věřitele představuje odměnu za dočasné poskytnutí peněz. Výše úroku závisí na úrokové sazbě. V ekonomice však existují tisíce různých úrokových sazeb, které je vždy potřeba definovat a použít jednu konkrétní úrokovou sazbu vhodnou pro náš případ. Úrokové sazby jsou v ekonomice velmi důležité, protože plní důležité funkce: 1. napomáhá garantovat tok běžných úspor do investic a tím podporuje ekonomický růst 2. zaručuje rozdělení zápůjčního kapitálu tak, že všeobecně směřuje disponibilní prostředky do investic s nejvyšší očekávanou návratností 3. uvádí do rovnováhy nabídku a poptávku po penězích. 4. je to důležitý nástroj politiky státu Při zkoumání principů, které vedou k určení úrokových sazeb, vzniklo několik vědeckých teorií, na kterých pracovalo mnoho předních světových ekonomů: 1. klasická teorie úrokových sazeb 2. úroková teorie preference likvidity 3. úroková teorie zápůjčního kapitálu 4. úroková teorie racionálního očekávání To jsou čtyři nejčastěji uváděné teorie úrokových sazeb. O žádné z nich se nedá říct, že je za všech okolností správná nebo naopak špatná. My se však nebudeme zaobírat teoriemi, ale konkrétními výpočty. Pokud známe částku, ze které počítáme úrok a známe i dobu úročení a úrokovou sazbu, úrok vypočítáme snadno podle vzorce: [1.1] U K r t K zapůjčený kapitál r výši úrokové míry t období, po které je kapitál úročen

6 Př. S jakým úrokem můžeme počítat v případě pětileté investice ve výši Kč při úrokové míře 15% p. a.? U , Odpověď : Můžeme počítat s úrokem ve výši Kč. Kč Úročení představuje způsob započítávání úroků k zápůjčnímu kapitálu. Úroková míra (úroková sazba) je úrok vyjádřený v procentech ze zápůjčního kapitálu. Úrokovací období je období, po které je kapitál úročen. Při stanovení úrokovací období se využívá standardů. Nejčastěji používané standardy jsou: 30E/360 (německá či obchodní metoda), ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) a ACT/365 (anglická metoda). Čísla ve zlomcích představují počty dní, např. 30E/360 počítá s 30 dny v měsíci a 360 dny v roce, ACT/365 počítá se skutečným počtem dní v měsíci a se skutečným počtem dní v roce. Úrokovou míru uvádíme, pokud není uvedeno jinak, za rok. Pokud chceme tuto skutečnost zdůraznit, přidáváme zkratku p. a. (latinsky per annum ). Je pochopitelné, že se v praxi mohou vyskytnout i kratší období pro úročení než roční, můžeme se setkat např. s pololetní úrokovou sazbou - p. s. ( per semestre ), s čtvrtletní - p. q. ( per quartale ), s měsíční - p. m. ( per mensem ), s denní - p. d. ( per diem ). Typy úročení si můžeme rozdělit podle dvou základních hledisek - podle (ne)úročení úroků a podle doby, kdy dochází k placení úroků: Pokud se vyplácené úroky nepřipočítávají k vloženému kapitálu a dále se neúročí (úroky se počítají stále z původního kapitálu), mluvíme o jednoduchém úročení; jestliže se úroky připisují k vloženému kapitálu a spolu s ním se dále úročí ( úroky z úroků ), mluvíme o složeném úročení. Úroky z vložené (půjčené) částky se mohou vyplácet na konci úrokového období - úročení polhůtní neboli dekursivní, nebo na začátku úrokového období - úročení předlhůtní neboli anticipativní. Při výpočtech se používá, pokud není uvedeno jinak, úroková míra v číselném vyjádření (v setinách), nikoliv v procentickém. Stejně platí, že pokud není uvedeno jinak, používá se úročení polhůtní. Denní obchodní provoz může denně měnit výši úročeného kapitálu díky přicházejícím a odcházejícím platbám. K propočtu úrokového výnosu se proto v obchodní praxi, jako formální nástroj systematického přístupu k jednoduchému úročení, používá postup propočtu s úrokovými čísly a úrokovým dělitelem. Při každé změně se propočítává úrokové číslo za dobu, v jejímž průběhu zůstává vložený kapitál konstantní. Úrokové číslo se potom vypočítá: [1.2] UC K d 100 UC úrokové číslo K výše kapitálu d počet dní, po které byl kapitál ve výši K úročen

7 [1.3] UD 360 p UD úrokový dělitel p úroková míra vyjádřená v procentech ročně. Úrok se pak vypočítá jako podíl sumy úrokových čísel a úrokového dělitele: n 1 [1.4] U UCi UD i 1 Př. Jaký byl na konci roku 1998 připsán jednoduchý úrok, pokud běžný účet byl úročen úrokovou mírou 4% p. a.? Stav na běžném účtu se během roku 1998 vyvíjel podle následující tabulky: Zůstatek účtu Počet dní Úrokové číslo Součet U , 44 Kč Odpověď : Na konci roku 1998 byl k zůstatku na běžném účtu připsán úrok v celkové výši 6214,44 Kč. 1.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení Hlavní znak jednoduchého úročení spočívá ve způsobu připisování úroků - úroky jsou připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se neúročí. Prakticky si můžeme jednoduché úročení představit tak, že na jednom účtu vedeme jistinu (vložený kapitál) a na jiném účtu úroky, přičemž úroky nepřevádíme na účet jistiny. A úroky počítáme pořád ze stejného základu - z jistiny. Rovnici pro jednoduché úročení používáme při výpočtech, kdy úrokovací období nepřesahuje jeden rok

8 [1.5] FV PV ( 1 + r t) FV výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r úroková míra t úrokovací období Př. Jaká bude výše vkladu ve výši Kč po šesti měsících při úrokové sazbě 12% p.a.? FV , Kč 12 Odpověď : Výše vkladu po šesti měsících bude Kč. 1.3 Současná a budoucí hodnota při jednoduchém úročení Úroková míra a úrokovací období musí být odpovídající, např. pokud známe roční úrokovou sazbu, musíme počítat s úrokovacím obdobím v letech, pokud máme úrokovací období zadáno ve dnech, musíme ho přepočítat na roky (můžeme též přepočítat roční úrokovou sazbu na denní úrokovou sazbu). Budoucí hodnota při jednoduchém úročení je dána základní rovnicí pro jednoduché úročení. Současnou hodnotu při jednoduchém úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu v čase nula (PV) z téže rovnice. [1.6] PV FV 1+ r t Př. Jaký počáteční vklad musíme uložit v případě, že náš vklad je úročen úrokovou sazbou 11% p. a. a za tři měsíce budeme potřebovat kapitál ve výši Kč? PV , , 36 Kč Odpověď : Abychom za tři měsíce při úrokové sazbě 11% dostali částku Kč, musíme uložit 9 732,36 Kč. 1.4 Diskontování S diskontováním se setkáváme především u obchodů s krátkodobými cennými papíry, především u eskontu směnek (podrobněji v kapitole Krátkodobé cenné papíry). Princip diskontování spočívá ve stanovení úroku (tj. diskontu) z konečné výše kapitálu v čase t (FV) 1, jedná se o tzv. obchodní diskont. To znamená, že pokud subjekt (např. banka) 1 Na rozdíl od úročení, kdy výpočet úroku je založen na současné hodnotě (počáteční hodnotě kapitálu) PV. Důvod je - 6 -

9 převezme (odkoupí) danou pohledávku (např. směnku) před její dobou splatnosti, nevyplatí prodávajícímu celou výši pohledávky, ale jistou část (diskont) si ponechá jako náhradu předem. Diskont je vlastně odměna ode dne výplaty (nákupu pohledávky) do dne její splatnosti. Pro výpočet se používá vzorec pro jednoduché úročení z nominální (jmenovité) hodnoty pohledávky a na základě příslušné diskontní sazby. Při takovém postupu výpočtu se jedná o tzv. obchodní diskont. Obchodní diskont vypočítáme podle vzorce: [1.7] D FV r t D obchodní diskont FV budoucí hodnota (výše kapitálu v čase t) r diskontní míra t doba do data splatnosti Př. Jaká bude výše obchodního diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datumem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.? D , Kč 12 Odpověď : Diskont bude Kč. Obdrženou částku (Kob - kapitál obdržený) vypočítáme jako: [1.8] Kob FV D Po jednoduché matematické úpravě dostaneme výraz: [1.9] Kob FV ( 1 r t) Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? Kob , Kč 12 Odpověď : Obdržíme částku Kč. Když se zamyslíme nad postupem těchto výpočtů, zjistíme, že princip diskontu je shodný s placením úroku na počátku období, jedná se vlastně o předlhůtní úročení. K vyjádření základní rovnice pro předlhůtní úročení a srovnání s polhůtním se dostaneme v kapitole Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení. zřejmý, u úročení známe počáteční hodnotu, kterou chceme úročit (PV) a při operacích s krátkodobými cennými papíry, kdy využíváme diskontování, známe jejich nominální hodnotu, která je rovna budoucí hodnotě kapitálu (jelikož ji obdržíme až k datu splatnosti)

10 Diskont lze počítat též ze současné hodnoty pohledávky. Tímto způsobem vypočtený diskont se označuje jako diskont matematický a v praxi se většinou nepoužívá Matematický diskont (Dmat)vypočítáme podle vzorce: [1.10] Dmat PV r t Tento vztah můžeme přepsat následujícím způsobem: [1.11] Dmat FV r t 1+ r t Dmat matematický diskont PV současná hodnota (výše kapitálu v čase 0) r diskontní míra t doba do data splatnosti Př. Jaká bude výše matematického diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.? Dmat , , , 33 Kč Odpověď : Matematický diskont bude ,33 Kč. Obdrženou částku (Kob) vypočítáme jako: [1.12] Kob FV PV r t Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? Kob Kč , , 8 12, 12 Odpověď : Obdržíme částku ,8 Kč. Jednoduchým důkazem můžeme doložit následující vztah: [1.13] Dobch Dmat ( 1 + r t) 1.5 Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení Doposud jsme pojednávali o tzv. jednoduchém úročení polhůtním, což znamená, že úroky jsou připisovány na konci úrokovacího období. V praxi se však vyjímečně můžeme setkat i - 8 -

11 s tzv. jednoduchých úročením předlhůtním. Při jednoduchém úročení předlhůtním jsou úroky vypláceny na začátku úrokovacího období. V minulé kapitole jsme si uváděli, že používání obchodního diskontu je vlastně předlhůtní úročení. Základní rovnici pro předlhůtní úročení si můžeme odvodit na příkladu půjčky, která je úročena předlhůtně: Nechť je doba splatnosti 1 rok, nechť FV 1 kapitál, o který žádá klient v Kč, nechť PV kapitál, který klient dostane vyplacenu na ruku v Kč, nechť ra anticipativní (předlhůtní) úroková sazba v setinách. Pak platí, že od nominální částky odečteme anticipativní úrok a dostaneme vyplacenou částku, tedy: PV FV 1 u, kde u FV 1 ra t ( a ) PV FV 1 FV 1 r t, kde t 1 rok, tzn. PV FV 1 ( 1 ra). Pro zúročený dluh tedy platí: FV PV u (anticipativní úrok), tzn. FV 1 PV ( FV 1 ra t) [ ] Po dosazení předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme FV FV 1+ ra ( t 1 ), což nám vyjádří velikost zúročeného kapitálu (dluhu) pomocí částky, o kterou klient banku požádal. Tento zúročený kapitál lze při anticipativním úrokování též vyjádřit pomocí částky, PV kterou klient obdržel od banky na ruku. Pokud víme, že FV 1, tak po dosazení do 1 ra předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme základní rovnici pro předlhůtní jednoduché úročení: [1.14] FV r PV + a t r 1 1 a Př. Banka poskytuje roční půjčky úročené předlhůtně. Výše půjčky je Kč a úroková sazba je 15% p. a. Kolik dostane vyplaceno klient, který o takovou půjčku požádá na začátku roku a jaká je skutečná výše úrokové sazby (čili v polhůtním vyjádření)? PV Kč 0, , , 15 r 0, , 15 Odpověď : Klient dostane vyplaceno Kč a skutečná, čili polhůtní úroková míra bude rovna 17,65% p. a. ra Nahradíme-li v rovnici [1.14] člen úrokovou sazbou polhůtní r, dostaneme 1 ra základní rovnici pro zúročený kapitál při jednoduchém polhůtním úrokování. Když si obě dvě základní rovnice porovnáme, můžeme polhůtní úrokovou sazbu vyjádřit pomocí - 9 -

12 ra předlhůtní: r a taky naopak, úrokovou sazbu předlhůtní můžeme vyjádřit pomocí 1 ra r úrokové sazby polhůtní: ra. 1 + r CVIČENÍ: 1. Banka nabízí klientovi úvěr. Klient si může vybrat, zda nechá svůj dluh úročit 10% p. a. polhůtně nebo stejnou úrokovou sazbou předlhůtně při jednoduchém úročení. Co je pro klienta výhodnější? 2. Podnikatel požádal banku o kapitál a banka mu vyplatila na ruku 80 tis. Kč na dobu jednoho roku při 20% p. a. při anticipativním jednoduchém úročení. Podnikatel však tento dluh po domluvě s bankou splatil už za šest měsíců. O jakou částku žádal a jakou částku po půl roce podnikatel vracel? 3. Banka přebírá pohledávku v nominální hodnotě 500 tis. Kč, splatnou za 1,5 roku. Kolik Kč za ni vyplatí, určí-li si diskontní sazbu odpovídající 12% p. a.? 4. Určete matematický diskont, který si banka strhne, vyplatí-li pohledávku v nominální hodnotě 15 tis. Kč o 35 dnů dříve, při diskontní sazbě odpovídající 7,5% p. a. a porovnejte jej s obchodním diskontem. 5. Jak vysokou částku banka vyplatí, převzala-li pohledávku splatnou za 200 dnů ve výši 600 tis. Kč při diskontní sazbě odpovídající 9,3% p. a. a navíc si strhává 0,5% z nominální hodnoty jako manipulační poplatek? 6. Klient zažádal banku o úvěr na dobu jednoho roku. Banka mu nabízí jednoduché úročení buď 6,4% p. a. dekursivně, nebo 6% p. a. anticipativně. Co je pro klienta výhodnější? 7. Jakou částku si musíte dnes uložit, abyste při úrokové sazbě 11,5% p. a. a jednoduchém úročení měli za 14 měsíců k dispozici 155 tis. Kč?

13 2. Složené úročení 2.1 Základní rovnice složeného úročení Při složeném úročení jsou úroky připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se úročí. Složené úročení používáme při výpočtech spojených s kapitálovými investicemi a pokud úrokovací období je delší než jeden rok. Základní rovnici můžeme psát ve tvaru: [2.1] FV PV ( 1 + r) t FV výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r úroková míra t délka úrokovacího období Př. Jaká bude budoucí hodnota kapitálu ve výši Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je roční a úroková sazba 12% p.a.? FV ( ) , , 28 Kč 3 Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu ,28 Kč. V případě, že úročíme m-krát ročně (např. měsíčně), vzorec pro složené úročení přechází do tvaru: r [2.2] FV PV 1 + m Tento typ úročení je označován jako úročení področní. m t Př. Jaká bude hodnota kapitálu ve výši Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je půlroční a úroková sazba 12% p.a.? FV , , 19 Kč 2 Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu ,19 Kč

14 2.2 Současná a budoucí hodnota při složeném úročení Současná hodnota při složeném úročení je dána základní rovnicí složeného úročení. Budoucí hodnotu při složeném úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu (v čase nula) PV z téže rovnice. [2.3] PV FV ( 1+ ) t t Př. Kolik musíme uložit na termínový vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno Kč při složeném úročení 15% roční úrokovou sazbou? PV ( 1+ 0, 15) , 77 Kč Odpověď : Musíme uložit 4 971,77 Kč. Pokud úročíme m-krát ročně, současnou hodnotu si vyjádříme analogicky s použitím vzorce [2.2]. 2.3 Výpočty odvozené z rovnice složeného úročení Výpočet doby splatnosti Dobu splatnosti vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.4] je určen pro případ úročení m-krát do roka): [2.3] t ln FV ln PV ln ( 1+ r) [2.4] t ln FV ln PV r m ln 1+ m Př. Určete dobu uložení kapitálu Kč, pokud víte, že úroková míra 25% p.a. ho při ročním složeném úročení zúročila na koncovou hodnotu Kč. t ln ln ln 1, 25 Odpověď : Kapitál byl úročen po dobu dvou let Výpočet úrokové sazby Úrokovou sazbu vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.6] je určen pro úročení m-krát ročně) : [2.5] r FV FV t 1 [2.6] r t m PV PV 1 m

15 Př. Jakou úrokovou sazbou byl úročen počáteční vklad ve výši Kč, pokud za pět let vzrostl při ročním složeném úročení na Kč? r 5 1 0, Odpověď : Vklad byl úročen úrokovou mírou ve výši 10% p.a Výpočet úroku Úrok u složeného úročení můžeme vyjádřit jako rozdíl budoucí a současné hodnoty kapitálu: U FV PV [2.7] PV + U PV ( 1 + r) t Př. Jaký bude celkový úrok, pokud počáteční kapitál ve výši Kč bude úročen o dobu čtyř let úrokovou sazbou 8% p.a. při ročním složeném úročení? U ( ) , , 25 Kč Odpověď : Celkový úrok za čtyři roky bude ,25 Kč. 2.4 Kombinace složeného a jednoduchého úročení V případě, že pro úrokovací období t platí: t n + l n počet úrokovacích období l necelá část úrokovacího období (např. pokud t 3,6 let, pak n 3 a l 0,6) pro výpočet úroku potom používáme kombinaci jednoduchého a složeného úročení (vzorec [2.9] je určen pro případ, že se úroky připisují vícekrát do roka: [2.8] FV PV ( 1+ r) n ( 1 + r l) r m [2.9] FV PV 1+ ( 1 + r l) n

16 Př. Jaká bude výše počátečního kapitálu 1000 Kč po třech letech a dvěstěšestnácti dnech, pokud počáteční vklad je úročen úrokovou sazbou 15% p.a. složeně za každý ukončený rok a jednoduše za zbývající část roku? FV ( 1+ 0, 15) 1+ 0, , 75 Kč 360 Odpověď : Po třech letech bude výše kapitálu 1 657,75 Kč. 2.5 Úrokové sazby Nominální úroková míra Doposud jsme počítali pouze s nominálními úrokovými měrami. Nominální úrokové míry můžeme rozdělit na hrubé nominální úrokové míry a čisté nominální úrokové míry. Rozdíl mezi hrubou a čistou nominální mírou představuje příslušná daňová sazba. Potom musí platit vztah: [2.10] rc rh ( 1 rdp) r c čistá nominální úroková míra, r h hrubá nominální úroková míra r dp sazba daně z příjmů. Př. Banka vám nabídla na termínovaný účet úrokovou míru 12,8% p.a. Jaká je skutečná míra zisku z této investice, pokud víte, že výnos na termínovaném účtu je zatížen daňovou sazbou 15%? ( ) rc 0, , 15 0, 1088 Odpověď : Skutečná míra zisku je 10,88% Efektivní úroková míra Efektivní úroková míra se používá k porovnání různých nominálních úrokových měr. Efektivní úroková míra je roční úroková míra odpovídající takové nominální úrokové sazbě, která nám dá za jeden rok stejnou výši kapitálu, i když s ní úročíme m-krát do roka. Tedy musí platit: [2.11] r m t r PV ( re) t 1+ PV 1 +, proto m e m r 1+ 1 m

17 Př. Kterou z možných variant zhodnocení peněz zvolíte: a) termínový vklad úročený pololetně úrokovou sazbou 13,1% nebo b) termínový vklad úročený měsíčně úrokovou sazbou 12,8%? rea 1+ 0, , rea 1+ 0, , Odpověď : Zvolíme variantu b), protože efektivní úroková sazba je vyšší Reálná úroková míra Reálná úroková míra je nominální úroková míra očištěná o míru inflace. Vypočítá se podle vzorce: [2.12] r r rn ri 1+ ri r r reálná úroková míra, r n nominální úroková míra r i míra inflace. Př. Jaká je reálná úroková míra, pokud nominální roční úroková míra je 12% a roční míra inflace se předpokládá na úrovni 10%? rr 0, 12 0, 1 0, , 1 Odpověď : Reálná úroková míra je asi 1,8% p.a.. Pro velmi malé míry inflace můžeme použít odhad reálné úrokové míry jako rozdíl nominální úrokové míry a míry inflace Úroková intenzita a spojité úročení Úroková intenzita odpovídá takové úrokové míře, kdy počet úrokovacích období m se blíží k nekonečnu, m (úročí se v každém okamžiku) a délka úrokovacího období t se blíží k nule, t 0. Na stejném principu je založeno tzv. spojité úročení. Praktický význam spojitého úročení však spočívá v oblasti ohodnocení cenných papírů a kapitálových investic, neboť umožňuje použít složitější matematické nástroje. Vzorec pro spojité úročení zapisujeme ve tvaru:

18 [2.13] FV PV e r t e Eulerova konstanta, neboli základ přirozených logaritmů. Př. Akcie má kurz Kč, jaký bude její kurz za sedm let pokud předpokládáme, že průměrná míra růstu jejího kurzu bude odpovídat úrokové intenzitě 8% p.a.? 0, 08 FV e Kč Odpověď : Kurz za sedm let by měl být přibližně Kč. Důležitý poznatek pro vztah efektivní úrokové míry a úrokové intenzity: 1 + re e r CVIČENÍ: 1. Jak vzroste uložená částka 150 tis. Kč po 6 letech a 4 měsících, byla-li úročena složeným způsobem při úrokové sazbě 4% p. m.? 2. Pan Černý si dnes z banky vyzvedl ,5 Kč, když původně uložil jen 25 tis. Kč. Jak dlouho měl své peníze uloženy v bance, jestliže se mu úročili 4% p. a. a banka používala složené úročení? 3. Máte možnost koupit si ojetý automobil. Je pro vás výhodnější zaplatit hotově 150 tis. Kč nebo zvolit druhou možnost a po okamžité záloze 90 tis. Kč doplatit 70 tis. Kč až po roce a půl, když máte možnost peníze si uložit při čtvrtletním složeném úročení ve výši 5,9% p. a.? 4. Jaká je současná hodnota čtvrt miliónu, který dostanete vyplacen za 30 měsíců, pokud uvažujeme složené roční úročení ve výši 12,5% p. a.? 5. Jaká byla úroková sazba, jestliže částka 20 tis. Kč vzrostla za čtyři roky na Kč? Ročně připisované úroky byly ponechány na účtu a dále úročeny. 6. Účastníte se spoření, kde se vaše úspory úročí 10,3% p. a. Daň z příjmů činí 15% a je předpokládána roční míra inflace 9,5%. Jaký je váš reálný výnos? 7. Zúčastníte se investiční akce, která za 60 měsíců zhodnotí váš vklad 1 mil. Kč na 1,9 mil. Kč, když víte, že existuje termínovaný vklad na stejně dlouhou dobu s 12% p. a. při čtvrtletním připisováním úroků?

19 3. Spoření Spořením rozumíme ukládání stejných částek v pravidelných časových intervalech. Naším úkolem bude zjistit kolik finančních prostředků, včetně úroků, naspoříme za určité období. Jednotlivé typy spoření lze rozdělit: 1) podle délky spoření krátkodobé - spoříme po dobu jednoho úrokového období (období, za které je připisován úrok, zpravidla 1 rok), dlouhodobé - spoříme po dobu delší než jedno úrokové období 2) podle okamžiku uložení spořené částky předlhůtní - spořená částka je ukládána na začátku úrokového období polhůtní - spořená částka je ukládána na konci úrokového období 3.1 Krátkodobé spoření Výchozí podmínky pro krátkodobé spoření: Spoříme jedno úrokové období (předpokládejme jeden rok) a méně. Spoříme m-krát ročně (či m-krát za úrokové období) částku K. Podle toho, zda ukládáme na začátku m-tiny roku nebo na konci m-tiny roku, budeme rozlišovat spoření předlhůtní a polhůtní. Hodláme naspořit cílovou částku Kc. Jednotlivé úložky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení a úroky jsou připisovány na konci doby spoření (na konci úrokového období) Spoření předlhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého předlhůtního ukládáme částku vždy na začátku určitého období (m-tiny úrokového období či roku, na začátku měsíce, čtvrtletí apod.). [3.1] Kc m K m + 1 +m r 1 2 Kc cílová částka K výše úložky. m počet úložek za úrokové období r úroková sazba. Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li počátkem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K 1000, m 12, r 0,11 a Kc?

20 + Kc , Odpověď : Celkem na konci roku naspoříme Kč včetně úroků. Př. Jakou částku musíme uložit na začátku každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc 18000, m 4, r 0,11 a K?. K , , 5 Odpověď : Na začátku každého čtvrtletí musíme uložit 4 210,50Kč. Tohoto vzorce je možné využít například pro výpočet nejefektivnější měsíční úložky při spoření na stavebním spoření. Nejefektivnější měsíční úložka je taková, při které za rok naspoříme i s úroky Kč, čímž maximalizujeme státní podporu, která je 15 % z roční úložky i s připsanými úroky, maximálně však 3000 Kč (tedy 15 % z Kč). Pokud bychom naspořili více než Kč za rok, tak dostáváme stále pouze vrchní hranici státní podpory, což je zmiňovaných 3000 Kč za rok. Kolik tedy musíme na počátku každého měsíce spořit, abychom na konci prvního roku měli na účtě stavebního spoření Kč, pokud budeme abstrahovat od poplatků a budeme kalkulovat úročení 2 % p.a.? Dosadíme do vzorce: Kc 20000, m 12, r 0,02 a K?. K , ,8 Odpověď : Na začátku každého měsíce musíme uložit 1648,80 Kč Spoření polhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého polhůtního spoříme částku vždy na konci určitého období (mtiny úrokového období, roku, měsíce, čtvrtletí apod.). Oproti spoření předlhůtnímu je počet úrokových období o jedno období nižší. Poslední úložka není úročena a neplyne z ní tedy žádný úrok. První úložka u polhůtního spoření (uložena např. na konci ledna) je úročena stejně dlouho jako druhá úložka u předlhůtního spoření (uložena např. na počátku února). [3.2] Kc m K m + 1 m r

21 Kc cílová částka K výše úložky. m počet úložek za úrokovací období r úroková sazba. Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li koncem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K 1000, m 12, r 0,11 a Kc? Kc , Odpověď : Naspoříme Kč včetně úroků. Všimněme si vztahu mezi naspořenou částkou při polhůtním a předlhůtním úročení za jinak stejných podmínek. Při spoření polhůtním byla naspořena částka Kč a při předlhůtním bylo naspořeno za stejné časové období a při stejné úrokové sazbě o 110 Kč více, tedy Kč. Rozdíl mezi úsporami při předlhůtním a polhůtním spoření je v ročním úroku z jeden pravidelně ukládané částky: 1000 * 0, Kč. Př. Jakou částku musíme uložit na konci každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc 18000, m 4, r 0,11 a K?. K , , 73 Odpověď : Na konci každého čtvrtletí musíme uložit 4 321,73Kč. Vzorce 3.1 a 3.2 je možno rovněž využít při zjišťování úrokové míry, pokud známe velikost K a Kc. Je nutné si z uvedených vzorců vyjádřit r. [3.3] r Kc m K m K ( m ± 1) 2 m Př. Jaká je úroková sazba jestliže ukládáme koncem každého měsíce částku Kč a za jeden rok takto naspoříme Kč? Dosadíme do vzorce: Kc , K 10000, m 12, r?

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010 Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo FINANČNÍ MATEMATIKA ZS 2009/2010 Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Kontakt: e-mail: oldrich.soba@mendelu.cz ICQ: 293-727-477 GSM: +420 732 286 982 http://svse.sweb.cz web

Více

Téma: Jednoduché úročení

Téma: Jednoduché úročení Téma: Jednoduché úročení 1. Půjčili jste 10 000 Kč. Za 5 měsíců Vám vrátili 11 000 Kč. Jaká byla výnosnost této půjčky (při jaké úrokové sazbě jste ji poskytli)? [24 % p. a.] 2. Za kolik dnů vzroste vklad

Více

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY Úročení 2 1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou

Více

19.10.2015. Finanční matematika. Čas ve finanční matematice. Finanční matematika v osobních a rodinných financích

19.10.2015. Finanční matematika. Čas ve finanční matematice. Finanční matematika v osobních a rodinných financích Finanční matematika v osobních a rodinných financích Garant: Ing. Martin Širůček, Ph.D. Lektor: Ing. Martin Širůček, Ph.D. - doktorské studium oboru Finance na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity

Více

Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy. Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému.

Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy. Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Věřitel (ten, kdo půjčil) získává tedy úrok za to, že dočasně poskytl

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová FINANČNÍ MATEMATIKA PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová Radová Tel: 224 095 102 E-mail: radova@vse.cz Kontakt Jednoduché úročení Diskontování krátkodobé cenné papíry Složené úrokování Budoucí hodnota anuity spoření

Více

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ 9.. 0 Veronika Kajurová Katedra financí kancelář č. 0 vkajurova@mail.muni.cz PROGRAM DNEŠNÍHO TUTORIÁLU Část I. - Časová hodnota peněz Příklady - opakování Část II. - Podnikové

Více

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice Finanční matematika 1. přednáška Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Katedra matematických metod v ekonomice 17. 9. 2012 Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO)

Více

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky 1) Vybrané krátkodobé cenné papíry 2) Skonto není cenný papír, ale použito obdobných principů jako u krátkodobých cenných papírů Vybrané krátkodobé cenné

Více

Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek

Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek Časová hodnota peněz Petr Málek Časová hodnota peněz - úvod Finanční rozhodování je ovlivněno časem Současné peněžní prostředky peněžní prostředky v budoucnu Úrokové výnosy Jiné výnosy Úrokové míry v ekonomice

Více

Bankovnictví a pojišťovnictví 5

Bankovnictví a pojišťovnictví 5 Bankovnictví a pojišťovnictví 5 JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, Ph.D., vedoucí katedry financí VŠFS a externí odborný asistent katedry bankovnictví a pojišťovnictví VŠE Vkladové bankovní produkty Obsah:

Více

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky 1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky Umořovatel je párovým vzorcem k zásobiteli (viz kapitola č. 5), využívá se pro určení anuity, nebo-li pravidelné částky, kterou musím splácet bance, pokud si

Více

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok 7. Finanční matematika 7.. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok Základní pojmy : Dlužník osoba nebo instituce, které si peníze půjčuje. Věřitel osoba nebo instituce, která peníze půjčuje. Jistina

Více

Úroková sazba. Typy úrokových sazeb: pevné (fixní) pohyblivé

Úroková sazba. Typy úrokových sazeb: pevné (fixní) pohyblivé Úroky, úročení Úroková sazba Typy úrokových sazeb: pevné (fixní) pohyblivé Úrokové období roční p.a. (per annum), pololetní p.s. (per semestre), čtvrtletní p.q. (per quartale), měsíční p.m. (per mensem),

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 7 6 2 Edice Osobní a rodinné

Více

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty.

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty. 5. Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty. PASIVNÍ BANKOVNÍ OBCHODY veškeré bankovní produkty, při kterých BANKA od svých klientů přijímá VKLAD DEPOZITUM v bankovní bilanci na straně PASIV

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od P do Z. www.zlinskedumy.cz

FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od P do Z. www.zlinskedumy.cz FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od P do Z www.zlinskedumy.cz plat - mzda, kterou dostávají státní zaměstnanci promile jedna tisícina ze základu pohledávka právo věřitele na plnění určitého dluhu dlužníkem

Více

Sbírka příkladů z finanční matematiky Michal Veselý 1

Sbírka příkladů z finanční matematiky Michal Veselý 1 Sbírka příkladů z finanční matematiky Michal Veselý 1 Jednoduché úročení Příklad 1.1. Do banky jste na běžný účet uložil(a) vklad ve výši 95 000 Kč dne 15. 8. 2013 a i s úroky jej vybral(a) dne 31. 12.

Více

1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota

1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota 1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota Stejné nominální částky mají v různých obdobích různou hodnotu tj. koruna dnes má jinou hodnotu, než koruna zítra.

Více

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM Edice Osobní a rodinné fi nance doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D. a kolektiv (doc. Mgr. Jiří Málek, PhD., Ing. Nadir Baigarin, Ing. Jiří Nakládal, Ing. Pavel Žilák) Finanční matematika pro každého příklady

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Krátkodobé

Více

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od A do O. www.zlinskedumy.cz

FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od A do O. www.zlinskedumy.cz FINANČNÍ MATEMATIKA Základní pojmy od A do O www.zlinskedumy.cz Finanční matematika = soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí např. poskytování krátkodobých a dlouhodobých úvěrů,

Více

Složené úročení. Škoda, že to neudělal

Složené úročení. Škoda, že to neudělal Složené úročení Charakteristika (rozdíl oproti jednoduchému) Kdy je obecně užíváno Využití v praxi Síla složeného úročení Albert Einstein: Je to další div světa Složené úročení Složené úročení Kdyby Karel

Více

Užití geometrických posloupností ve finanční matematice VY_32_INOVACE_M1.3.14 PaedDr. Hana Kůstová 1. pololetí školního roku 2013/2014

Užití geometrických posloupností ve finanční matematice VY_32_INOVACE_M1.3.14 PaedDr. Hana Kůstová 1. pololetí školního roku 2013/2014 Název vzdělávacího materiálu: Číslo vzdělávacího materiálu: Autor vzdělávací materiálu: Období, ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Tematická

Více

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor PV (1 + u) u (sazba) r (sazba p.a.) d (dní) (dní) Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Úroky lze vyplácet nebo

Více

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby Úrok a diskont Obsah: Jednoduché a složené úrokování. Úroková a diskontní míra, jednoduchá a složená. Vícenásobné úročení během období, nominální úroková míra, roční efektivní úroková míra, reálná úroková

Více

8.2.11 Příklady z finanční matematiky II

8.2.11 Příklady z finanční matematiky II 8.2. Příklady z finanční matematiky II Předpoklady: 82 Inflace Peníze nemají v dnešní době žádnou hodnotu samy o sobě, jejich používání reguluje stát, v případě zhroucení ekonomiky se může stát, že svou

Více

Ing. Barbora Chmelíková 1

Ing. Barbora Chmelíková 1 Numercká gramotnost 1 Obsah BUDOUCÍ A SOUČASNÁ HODNOTA TYPY ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ vs SLOŽENÉ ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ SLOŽENÉ ÚROČENÍ FREKVENCE ÚROČENÍ KOMBINOVANÉ ÚROČENÍ EFEKTIVNÍ ÚROKOVÁ MÍRA SPOJITÉ

Více

Příklady z FM. Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů.

Příklady z FM. Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů. I. PŘÍKLADY Z FINANČNÍ MATEMATIKY Rozšíření spektra příkladů ze skript Bezvoda, Blahuš. Verze 11.3 2009 Metodické poznámky k zadaným příkladům. Všude jsou výsledky, zhusta naznačen postup. Výpočty je nutno

Více

Pracovní list. Workshop: Finanční trh, finanční produkty

Pracovní list. Workshop: Finanční trh, finanční produkty Pracovní list Workshop: Finanční trh, finanční produkty Úkol č. 1 Osobní půjčka Doplňte v následující tabulce kolik zaplatíte za úvěr celkem (vč. úroků) při jednotlivých RPSN. Současně porovnejte, zda

Více

Úvěrový proces. Ing. Dagmar Novotná. Obchodní akademie, Lysá nad Labem, Komenského 1534

Úvěrový proces. Ing. Dagmar Novotná. Obchodní akademie, Lysá nad Labem, Komenského 1534 VY_32_INOVACE_BAN_113 Úvěrový proces Ing. Dagmar Novotná Obchodní akademie, Lysá nad Labem, Komenského 1534 Dostupné z www.oalysa.cz. Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR. Období vytvoření: 12/2012

Více

Finanční matematika I.

Finanční matematika I. Název vzdělávacího materiálu: Číslo vzdělávacího materiálu: Autor vzdělávací materiálu: Období, ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Tematická

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita VI.2 Vytváření podmínek pro rozvoj znalostí, schopností a dovedností v oblasti finanční gramotnosti Výukový materiál pro téma VI.2.1 Řemeslná

Více

1 Cash Flow. Zdroj: Vlastní. Obr. č. 1 Tok peněžních prostředků

1 Cash Flow. Zdroj: Vlastní. Obr. č. 1 Tok peněžních prostředků 1 Cash Flow Rozvaha a výkaz zisku a ztráty jsou postaveny na aktuálním principu, tj. zakládají se na vztahu nákladů a výnosů k časovému období a poskytují informace o finanční situaci a ziskovosti podniku.

Více

6. Přednáška Vkladové (depozitní) bankovní produkty

6. Přednáška Vkladové (depozitní) bankovní produkty 6. Přednáška Vkladové (depozitní) bankovní produkty VKLADOVÉ BANKOVNÍ PRODUKTY bankovní obchody, při kterých banka získává cizí peněžní prostředky formou vkladů nebo emisí dluhových cenných papírů. Mezi

Více

3 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota

3 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota 3 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota Stejné nominální částky mají v různých obdobích různou hodnotu tj. koruna dnes má jinou hodnotu, než koruna zítra.

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu CZ. 1.07/1.5.00/34.0996 Číslo materiálu Název školy Jméno autora Tématická oblast Předmět Ročník VY_32_INOVACE_EKO142

Více

SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ. částky naspořené po n letech při m úrokových obdobích za jeden rok platí formule

SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ. částky naspořené po n letech při m úrokových obdobích za jeden rok platí formule Klasický termínovaný vklad SLŽENÉ ÚRKVÁNÍ PŘÍKLAD: Podnikatel uložil na klasický termínovaný vklad částku 300 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 3 roky, jestliže úroková sazba činí 2% p.a. a je a) roční

Více

Finanční matematika. v praxi. Oldřich Šoba Martin Širůček Roman Ptáček

Finanční matematika. v praxi. Oldřich Šoba Martin Širůček Roman Ptáček Oldřich Šoba Martin Širůček Roman Ptáček Finanční matematika v praxi Spoření a pravidelné investice Investiční rozhodování Úvěry a půjčky Důchody a renty Cenné papíry a měnové kurzy Reálné příklady z praxe

Více

Klíčové kompetence do obcí obecné i odborné vzdělávání na dosah

Klíčové kompetence do obcí obecné i odborné vzdělávání na dosah Vítáme Vás na semináři organizovaném v rámci projektu Klíčové kompetence do obcí obecné i odborné vzdělávání na dosah Reg. číslo projektu: CZ.1.07/3.1.00/50.0015 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu.

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu. 1. Cena kapitálu Náklady kapitálu představují pro podnik výdaj, který musí zaplatit za získání různých forem kapitálu (tj. za získání např. různých forem dluhů, akciového kapitálu, nerozděleného zisku

Více

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové

Více

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET Excel Výpočty a vazby v tabulkách COUNTIF Sečte počet buněk v oblasti, které odpovídají zadaným kritériím. Funkce je zapisována ve tvaru: COUNTIF(Oblast;Kritérium) Oblast je oblast buněk, ve které mají

Více

Úkol: ve výši 11.000 Kč. zachovat? 1. zjistěte, jestli by paní Sirotková byla schopna splácet hypotéku

Úkol: ve výši 11.000 Kč. zachovat? 1. zjistěte, jestli by paní Sirotková byla schopna splácet hypotéku Mgr. Zuzana Válková Zadání: Paní Sirotková má měsíční příjem 27.890 Kč. Bydlí v městském bytě, kde platí měsíční nájem 8.500 Kč. Celkové měsíční výdaje (včetně nájmu) činí 21.600 Kč. Vlastní majetek v

Více

SPOŘENÍ KRÁTKODOBÉ. Finanční matematika 5

SPOŘENÍ KRÁTKODOBÉ. Finanční matematika 5 SPOŘENÍ KRÁTKODOBÉ Finanční matematika 5 Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_Něm05

Více

BANKOVNÍ SOUSTAVA VY_62_INOVACE_FGZSV_PN_4

BANKOVNÍ SOUSTAVA VY_62_INOVACE_FGZSV_PN_4 BANKOVNÍ SOUSTAVA VY_62_INOVACE_FGZSV_PN_4 Sada: Ekonomie Téma: Banky Autor: Mgr. Pavel Peňáz Předmět: Základy společenských věd Ročník: 3. ročník Využití: Prezentace určená pro výklad a opakování Anotace:

Více

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18)

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) Zkratkou RPSN se označuje takzvaná roční procentní sazba nákladů. Udává, kolik procent z původní dlužné částky musí spotřebitel za jeden rok zaplatit v

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA I

FINANČNÍ MATEMATIKA I UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Eva Bohanesová FINANČNÍ MATEMATIKA I Olomouc 2006 Oponenti: Ing. Jaroslava Kubátová, Ph.D. Mgr. RNDr. Ivo Müller, Ph.D. Studijní text vznikl jako

Více

Finanční trh. Bc. Alena Kozubová

Finanční trh. Bc. Alena Kozubová Finanční trh Bc. Alena Kozubová Finanční trh Finanční trh je místo, kde se obchoduje se všemi formami peněz. Je to největší trh v měřítku národní i světové ekonomiky. Je to trh velice citlivý na jakékoliv

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu)

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu) Využití poměrových ukazatelů pro fundamentální analýzu cenných papírů Principem této analýzy je stanovení, zda je cenný papír na kapitálovém trhu podhodnocen, správně oceněn, nebo nadhodnocen. Analýza

Více

Bankovnictví A - 3. JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, PhD.,

Bankovnictví A - 3. JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, PhD., Bankovnictví A - 3 JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, PhD., vedoucí katedry bankovnictví a pojišťovnictví VŠFS, externí odborný asistent katedry bankovnictví a pojišťovnictví VŠE Praha a předseda předsednictva

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy:

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy: HODNOCENÍ INVESTIC Podstatou hodnocení investic je porovnání vynaloženého kapitálu (nákladů na investici) s výnosy, které investice přinese. Jde o rozpočtování jednorázových (investičních) nákladů a ročních

Více

Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.

Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter. Sbírka příkladů Finanční matematika Carmen Simerská Ústav matematiky VŠCHT, Praha Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter. Sbírka příkladů Finanční

Více

I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní

I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní Náklady na kapitál I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní fond - statutární a ostatní fondy 4)

Více

KDE A JAK SI PENÍZE ULOŽIT A VYPŮJČIT

KDE A JAK SI PENÍZE ULOŽIT A VYPŮJČIT KDE A JAK SI PENÍZE ULOŽIT A VYPŮJČIT Mgr. Ing. Šárka Dytková Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním

Více

Finanční matematika pro každého

Finanční matematika pro každého Novinky nakladatelství GRADA Publishing Investice do akcií běh na dlouhou trat JEME AVU PŘIPR Jeremy Siegel výnosy finančních aktiv za posledních 2 let úspěšnost finančních strategií faktory ovlivňující

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Lesnická ekonomika Připravil: Ing. Tomáš Badal Lesnická ekonomika Financování podniku Finanční

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 7 6 1 Edice Osobní a rodinné

Více

Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0061 Označení materiálu

Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0061 Označení materiálu Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0061 Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno VY_61_INOVACE_FG.1.06 Integrovaná střední

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

FINANČNÍ MATEMATIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky FINANČNÍ MATEMATIKA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Seznam studijní literatury

Seznam studijní literatury Seznam studijní literatury Zákon o účetnictví, Vyhlášky 500 a 501/2002 České účetní standardy (o CP) Kovanicová, D.: Finanční účetnictví, Světový koncept, Polygon, Praha 2002 nebo později Standard č. 28,

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA Finanční produkty. www.zlinskedumy.cz

FINANČNÍ MATEMATIKA Finanční produkty. www.zlinskedumy.cz FINANČNÍ MATEMATIKA Finanční produkty www.zlinskedumy.cz Finanční produkty jsou půjčky, hypotéky, spoření, nejrozšířenější jsou produkty, jejichž hlavní zaměřením je: správa financí: běžné účty zhodnocení

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: VI/2 Sada: 1 Číslo

Více

8 Leasing. 1 Co je to leasing? [online]. [cit. 09/2008] Dostupné z:

8 Leasing. <http://www.sfinance.cz/firmy-a-podnikani/informace/pruvodce/rozdeleni/> 1 Co je to leasing? [online]. [cit. 09/2008] Dostupné z: 8 Leasing Slovo "leasing" bylo převzato do české terminologie z anglického slova, které v překladu znamená "pronájem". Jedná se o obchodní operaci leasingového pronajímatele (leasingová společnost) a leasingového

Více

Finanční matematika v českých učebnicích

Finanční matematika v českých učebnicích Finanční matematika v českých učebnicích 1 Teoretické minimum finanční matematiky In: Martin Melcer (author): Finanční matematika v českých učebnicích (Od Marchetovy reformy) (Czech) Praha: Matfyzpress

Více

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení Jednoduché úročení 1. Jednoduchý příklad na výpočet úrokové sazby ze základní rovnice jednoduchého úročení: FV=PV*(1+r*t). Aby úroková sazba vyšla v p.a., je nutno časovou proměnnou (t) uvažovat v letech

Více

1 Běžný účet, kontokorent

1 Běžný účet, kontokorent 1 Běžný účet, kontokorent Běžný účet je základním bankovním nástrojem pro správu klientových financí. Jeho primárním účelem je umožnit klientovi hospodařit s peněžní prostředky prostřednictvím některého

Více

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2 Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl

Více

Finanční řízení podniku. cv. 8

Finanční řízení podniku. cv. 8 Finanční řízení podniku cv. 8 Podstata finančního řízení podniku Věcná stránka tok statků (strojů, surovin, materiálu) lze rozdělit na 3 hlavní aktivity zásobování, výrobu a prodej. Finanční zdroje každá

Více

Majetek. MAJETEK členění v rozvaze. Dlouhodobý majetek

Majetek. MAJETEK členění v rozvaze. Dlouhodobý majetek Majetek Podnikání se bez majetku neobejde, různé druhy podnikání ovlivňují i skladbu a velikost majetku. Základem majetku jsou peníze, za které se nakupují potřebné majetkové části. Rozvaha (bilance) písemný

Více

SMĚNKY. Účel směnky. krátkodobý obchodovatelný cenný papír dlužnický papír. Její funkce

SMĚNKY. Účel směnky. krátkodobý obchodovatelný cenný papír dlužnický papír. Její funkce SMĚNKY - vznik 12. století, severní Itálie - velký rozmach v 18.století vznik celosvětového obchodního trhu - její právní úprava nebyla jednotná - 1930- v Ženevě mezinárodní konference o právu směnečném

Více

Investování volných finančních prostředků

Investování volných finančních prostředků Investování volných finančních prostředků Rizika investování Lidský faktor Politická rizika Hospodářská rizika Měnová rizika Riziko likvidity Inflace Riziko poškození majetku Univerzální optimální investiční

Více

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA 5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA Střadatel se používá pro výpočet úroku na konc období, kdy jste pravdelně ukládal stejnou částku, ve stejný okamžk, po určté

Více

Typy úvěrů. Bc. Alena Kozubová

Typy úvěrů. Bc. Alena Kozubová Typy úvěrů Bc. Alena Kozubová Typy úvěrů Kontokorentní úvěr s bankou uzavřeme smlouvu o čerpání úvěru z našeho běžného účtu. Ten může vykazovat i záporný zůstatek až do sjednané výše. Čerpání a splácení

Více

Základy účetnictví. 2. přednáška

Základy účetnictví. 2. přednáška Základy účetnictví 2. přednáška Formy sdělení účetních dat Účetnictví poskytuje informace v účetních výkazech: Bilance Výkaz zisku a ztráty (výsledovka) Výkaz cash-flow (o toku peněz) Výkaz o změnách ve

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0499

CZ.1.07/1.5.00/34.0499 Číslo projektu Název školy Název materiálu Autor Tematický okruh Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0499 Soukromá střední odborná škola Frýdek-Místek, s.r.o. VY_32_INOVACE_261_ESP_11 Marcela Kovářová Datum tvorby

Více

ZÁKLADNÍ POJMY FINANČNÍ MATEMATIKY. Finanční matematika 1

ZÁKLADNÍ POJMY FINANČNÍ MATEMATIKY. Finanční matematika 1 ZÁKLADNÍ POJMY FINANČNÍ MATEMATIKY Finanční matematika 1 Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky

CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky ÚROKOVÝ A RENTNÍ POČET 1. pracovní verze OBSAH 1. PŘÍKLADY ÚROKOVÉHO POČTU... 2 1.1 Jednoduché úročení... 2 1.2 Složené úročení... 3 2. PŘÍKLADY RENTNÍHO POČTU...

Více

http://www.zlinskedumy.cz

http://www.zlinskedumy.cz Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor Ročník 3., 4. Obor CZ.1.07/1.5.00/34.0514 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Peníze, mzdy daně, pojistné

Více

doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D., doc. Ing. Petr Dvořák, Ph.D., doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.

doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D., doc. Ing. Petr Dvořák, Ph.D., doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D. Edice Osobní a rodinné fi nance doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D., doc. Ing. Petr Dvořák, Ph.D., doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D. Finanční matematika pro každého 7. aktualizované vydání Vydala GRADA Publishing,

Více

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ INSTITUT SVAZU ÚČETNÍCH KOMORA CERTIFIKOVANÝCH ÚČETNÍCH CERTIFIKACE A VZDĚLÁVÁNÍ ÚČETNÍCH V ČR ZKOUŠKA ČÍSLO 8 MANAŽERSKÉ FINANCE PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ ÚVODNÍ INFORMACE Struktura zkouškového zadání:

Více

Stavební spoření. Bc. Alena Kozubová

Stavební spoření. Bc. Alena Kozubová Stavební spoření Bc. Alena Kozubová Právní norma Zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření Stavební spoření Stavební spoření je účelové spoření spočívající v přijímání vkladů od účastníků stavebního spoření,

Více

Stejně velké platby - anuita

Stejně velké platby - anuita Stejně velké platby - anuita Anuitní platby Existuje vzorec, pomocí kterého lze uspořádat splátky jistiny a platby úroků tak, že jejich součet v každém období (např. každý měsíc) je stejný. Běžný příklad:

Více

Manažerská ekonomika KM IT

Manažerská ekonomika KM IT KVANTITATIVNÍ METODY INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE (zkouška č. 3) Cíl předmětu Získat základní znalosti v oblasti práce s ekonomickými ukazateli a daty, osvojit si znalosti finanční a pojistné matematiky, zvládnout

Více

Alena Kopfová Katedra finančního práva a národního hospodářství, kanc. 122 Alena.Kopfova@law.muni.cz

Alena Kopfová Katedra finančního práva a národního hospodářství, kanc. 122 Alena.Kopfova@law.muni.cz FINANCOVÁNÍ OBCHODNÍCH SPOLEČNOSTÍ Alena Kopfová Katedra finančního práva a národního hospodářství, kanc. 122 Alena.Kopfova@law.muni.cz Majetková struktura (aktiva) 1. Pohledávky za upsaný základní kapitál

Více

Stavební spoření. HOR_62_INOVACE_8.ZSV.25.notebook. September 04, 2013

Stavební spoření. HOR_62_INOVACE_8.ZSV.25.notebook. September 04, 2013 Stavební spoření HOR_62_INOVACE_8.ZSV.25 Mgr. Jana Horná 8. ročník ( VI/2 EU OPVK) 3. 4. 2013 Základy společenský věd 8. ročník; Stavební spoření 1 Výukový materiál je připraven pro 8. ročník s využitím

Více

ÚcFi typové příklady. 1. Hotovostní a bezhotovostní operace

ÚcFi typové příklady. 1. Hotovostní a bezhotovostní operace ÚcFi typové příklady 1. Hotovostní a bezhotovostní operace 1. Přijat vklad na běžný účet klienta 10 000,- 2. Klient vybral z běžného účtu 25 000,- 3. Banka přijala v hot. vklad na termínovaný účet 50 000,-

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0499

CZ.1.07/1.5.00/34.0499 Číslo projektu Název školy Název materiálu Autor Tematický okruh Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0499 Soukromá střední odborná škola Frýdek-Místek,s.r.o. VY_32_INOVACE_251_ESP_06 Marcela Kovářová Datum tvorby

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu CZ. 1.07/1.5.00/34.0996 Číslo materiálu Název školy Jméno autora Tématická oblast Předmět Ročník VY_32_INOVACE_EKO154

Více

KAPITOLA 9: ZÁKLADNÍ DRUHY OPERACÍ - KOMERČNÍ BANKOVNICTVÍ

KAPITOLA 9: ZÁKLADNÍ DRUHY OPERACÍ - KOMERČNÍ BANKOVNICTVÍ KAPITOLA 9: ZÁKLADNÍ DRUHY OPERACÍ - KOMERČNÍ BANKOVNICTVÍ Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová PE 301 Podniková ekonomika 2 Eva Kislingerová Téma 2 obligací Hodnota kmenových akcií a Téma 2 2-2 Struktura přednášky Cenné papíry akcie, obligace Tržní míra kapitalizace (market capitalization rate)

Více