Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Transkript

1 Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n internet. Tk tu tedy je doufám, že spoň někomu pomůže.a pokud to bude jen trošku možné, omluvte přípdné nedosttky (formální chyby, šptné definice, úprv,...), které se zde zjisté vyskytnou. Pokud by to někomu nedlo spát, dejte mi vědět n dresu jitk.kuhnov@emil.cz já se vynsnžím s tím něco provést:o) (smozřejmě mi můžete dát vědět, i kdyby jste s tím byli spokojeni;o)) Přeji Vám mnoho úspěchů v mtice. 1

2 Kpitol 1 Zákldní pozntky z mtemtiky 1.1 Zákldní vzthy Definice je vymezení mtemtického pojmu pomocí pojmů zákldních nebo pojmů definovných dříve. Mtemtická vět je tvrzení, jehož prvdivost má být dokázán. Při jejím důkzu se vychází z vět dokázných již dříve, popř. z xiómů, což jsou tvrzení, která se přijímjí z prvdivá bez důkzů Číselné obory N - nturální - přirozená {1; ; 3;... } - zákld elementrání mtemtiky Z - celá {... ; -3; -; -1; 0; 1; ; 3;... } Q - rcionální npř. 1 ; -5,5; 0; 3,6; - 1 ; 5; 1,1633 R - reálná npř. ; -5; 0,4; π; sin 60 R Q N Z Q R Z N Dále můžeme stávjící množiny rozšiřovt či omezovt, npř. N 0 znčí množinu přirozených čísel rozšířených o nulu; R + množinu reálných kldných čísel nebo R + 0 množinu nezáporných reálných Obor přirozených čísel Věty o uzvřenosti: Součtem i součinem přirozených čísel dostneme opět přirozené číslo. + b N b N Věty o komuttivnosti: + b = b + b = b Věty o socitivnosti: + (b + c) = ( + b) + c (b c) = ( b) c Vět o distributivnosti: (b + c) = b + c (U) (K) (A) (D)

3 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY 3 Vět o neutrálnosti: 1 = (N) Podobné vlstnosti má i obor celých, rcionálních reálných čísel. Nvíc ještě pltí u vět o neutrálnosti: + 0 = Zákldní vlstnosti rcionálních čísel Pltí věty (A), (K), (D), (N) u (U) nvíc b Q; b 0. zlomek v zákldním tvru - p q p; q - nesoudělná Když chceme porovnt rcionální čísl vyjádřen zlomky, musíme je nejprve převést n společného jmenovtele poté porovnáme čittele. Rcionální čísl můžeme zpisovt ve tvru: zlomku desetinného čísl (tj. číslo s konečným desetinným rozvojem ve tvru 10 n ) nekonečného periodického desetinného rozvoje s vyznčenou periodou ryze periodické 0, 3; neryze periodické s předperiodou 3, Množiny Množin je souhrn prvků. Určujeme ji výčtem všech jejích prvků nebo chrkteristickými vlstnostmi A = {x Z + 0 ; x 7} = {0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7} Def.: Nechť A; B jsou množiny. Řekneme, že A je podmnožinou B právě tehdy, když pltí, že kždý prvek množiny A je zároveň prvkem B. Znčíme A B. Pozn.: Podmnožin = Inkluze Vět: Má-li množin n-prvků, pk počet jejích podmnožin je dán číslem n. Def.: Množiny A, B se rovnjí právě tehdy, když pltí A B B A. Symbolem U oznčujeme obvykle zákldní množinu, symbolem oznčujeme prázdnou množinu. Operce s množinmi Def.: Nechť A, B jsou množiny. Sjednocením množin A B nzveme množinu těch prvků, které ptří lespoň do jedné z těchto dvou množin. A B = {x U; x A x B} Def.: Nechť A, B jsou množiny. Průnikem množin A B nzveme množinu těch prvků, které ptří součsně do obou množin. A B = {x U; x A x B} Def.: Pokud A B =, pk řekneme, že množiny A B jsou disjunktní.

4 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY 4 Def.: Nechť A B. Doplňkem množiny A, vzhledem k množině B (A B ) je množin všech těch prvků B, které neptří do A. A B = {x U; x B x A} Def.: Nechť A, B jsou množiny. Rozdílem A B nzveme množinu všech těch prvků, které ptří do množiny A neptří do množiny B. A B = {x A x B} Vět: Pro kždé dvě množiny pltí: } (A B) = A B (A B) = A B De Morgnov prvidl Vennovy digrmy A B. A B A B A B 4. A B 8. A 1. A B C 5. A B C A B C 6. A B C 6. B 3. A B C 7. A B C C A B C 8. A B C Průnik sjednocení: komuttivnost - A B = B A A B = B A socitivnost - (A B) C = A (B C) = A B C (A B) C = A (B C) = A B C neutrlit - A = A = A A U = U A = A distributivnost - A (B C) = (A B) (A C) Zákldy výrokové logiky Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázk, zd je či není prvdivé. Negcí výroku A rozumíme výrok: Není prvd, že pltí A. Znčíme ji A (nebo A ; A). Jednoduché výroky: výrok negce spoň nejvýše 1 nejvýš spoň + 1 právě nejvýše 1 nebo spoň + 1

5 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY 5 Kvntifikátory 1. obecný (velký) kvntifikátor - symbolem obecnosti; znčíme ( x R;... pro všechn reálná čísl pltí... ). Existenční (mlý) kvntifikátor - znčíme ( x R;... existuje lespoň jedno x, pro které pltí... ) Jestliže je výrok prvdivý, přiřzujeme mu výrokový znk 1; jestliže je neprvdivý, přiřzujeme mu znk 0. Npř.: x R; x x 0 x Z; x x 1 Složené výroky 1. Konjunkce... spojk (ve smyslu zároveň) A B - konjunkce výroku je prvdivá jen v přípdě, že jsou prvdivé ob výroky. Disjunkce... spojk nebo A B - disjunkce výroku je prvdivá, je-li prvdivý spoň jeden z výroků 3. Implikce... spojk jestliže, pk A B - implikce výroku je prvdivá, jen tehdy, je-li prvdivý výrok A i B nebo je-li výrok A neprvdivý. Implikce je nekomuttivní 4. Ekvivlence... spojk tehdy jen tehdy; právě tehdy, když... A B - ekvivlence výroku je prvdivá, jenom v přípdě, že ob výroky mjí stejnou hodnotu prvdivosti A B A B A B A B Negování složených výroků (A B) A B (A B) A B } De Morgnov prvidl (A B) A B (A B) A B

6 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY 6 Negce implikce: (A B) A B Implikce vět obrácená - A B B A - nemjí stejnou prvdivostní hodnotu. Stejnou prvdivostní hodnotu implikce A B má její obměn B A. N důkzu této obměny je zložen nepřímý důkz. Důkz sporem - Větu dokážeme sporem, odvodíme-li z její negce nějký neprvdivý výsledek. Chceme dolázt, že prvdivostní hodnot výroku (A B) A B je Elementární teorie čísel - týká se pouze N resp. N 0 Def.: Přirozené číslo p > 1 se nzývá prvočíslo, jestliže nemá jiné přirozené dělitele než 1 p. Def.: Přirozené číslo n > 1, které není prvočíslo, se nzývá složené číslo. Vět: Kždé složené číslo n je dělitelné spoň jedním prvočíslem p, pro které pltí p n. Zjistíme-li, že číslo n není dělitelné žádným prvočíslem p, pro které pltí p n, pk je n prvočíslo. Zákldní vět ritmetiky Kždé přirozené číslo n > 1 lze zpst jediným způsobem ve tvru n = p r 1 1 pr... pr k k, kde p 1 < p <... < p k jsou prvočísl r 1, r,..., r k jsou přirozená čísl Výrokové formy; rovnice Výrokové formy - zápis obshující proměnou (ne všk kvntifikátor). Po doszení z proměnou se z výrokové formy stává výrok. Rovnice - výroková form ve tvru rovnosti (rovnost = relce = vzth) Vlstnosti rovnosti - R; = - reflexivnost, b R; = b b = - symetrie, b, c R; = b b = c = c - trnzitivit Ekvivlentní úprvy - přičítání nebo odečítání jkéhokoli čísl nebo výrzu, který je definován v oboru rovnice K 1 = K =... = K n Důsledkové úprvy - úprvy, ponichž se množin kořenů rozšiřuje K 1 K K n Ekvivlentní úprvou nemusí být násobení dělení výrzem nebo umocnění obou strn Relce Uspořádná dvojice - dvojice, ve které záleží n pořdí

7 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY 7 Krtézský součin Def.: Nechť A B jsou množiny. Krtézským součinem nzveme množinu všech uspořádných dvojic [x; y], pro které pltí x A; y B A B = {[x; y]; x A, y B} Pozn.: Krtézský součin není komuttivní operce. Binární relce Def.: Binární relce z množiny A do množiny B se nzývá kždá podmnožin krtézského součinu A B. Je-li A = B, pk mluvíme o binární relci v množině A. Vlstnosti relcí: Nechť U je binární relce v A. Relce U se nzývá 1. reflexivní právě, když pro všechny prvky pltí, že prvek je v relci se sebou smým x A; [x; x] U. ntireflexivní právě, když pltí x A; [x; x] U 3. symetrická právě, když pltí x, y A; [x; y] U [y; x] U 4. ntisymetrická právě, když pltí x, y A; [x; y] U x y [y; x] U 5. symetrická právě, když pltí x, y A; [x; y] U [y; x] U 6. trnsitivní právě, když pltí x, y, z A; [x; y] U [y; z] U [x; z] U Ekvivlence je binární relce, která je reflexivní, symetrická, trnzitivní součsně.

8 Kpitol Funkce.1 Zákldní vzthy Def.: Nechť existují libovolné množiny A, B. Zobrzení množiny A do množiny B je předpis, který kždému prvku A jednoznčně přiřdí nejvýše jeden prvek b B. Def.: Nechť existují libovolné množiny A, B R. Funkcí se nzývá kždé zobrzení f množiny A do množiny B. Množinu A nzýváme definiční obor fce znčíme ji D(f). Zápis fce: n N x, y R + 0 f : f(x) = y = n x f : [x, y] R + 0 R+ 0 ; y = n x f : x n x x R Grf fce: Grfem fce f ve zvolené soustvě souřdnic 0xy v rovině se nzývá množin všech bodů M, které budou mít souřdnice M[x; f(x)], kde x D(f). Dný grf fce může být dán několik způsoby. y 0 = f(x) y = f(bx + c) + d - nfukuje grf fce krát b - udává, kolikrát se smrskne nebo ntáhne c - posouvá po ose x do bodu c b d - posouvá po ose y Obor hodnot fce: Je dán fce f; množin všech y z možiny B ke kterým existuje lespoň jedno x z množiny A tk, že [x; y] f se nzývá obor hodnot fce f. Sudá fce: grf fce souměrný podle osy y f se nzývá sudá, právě když pltí 1. x D(f); x D(f). x D(f); f(x) = f( x) Lichá fce: grf fce je středově souměrný podle středu souřdnic f se nzývá lichá, právě když pltí 1. x D(f); x D(f). x D(f); f( x) = f(x)

9 KAPITOLA. FUNKCE 9 Rovnost fcí: Fce f g se rovnjí, právě když 1. D(f) = D(g). x D(f); f(x) = g(x) Fce prostá: Nechť x D(f). Fce f se nzývá prostá, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 x f(x 1 ) f(x ) Rostoucí fce: Nechť x D(f). Fce f se nzývá rostoucí, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) Klesjící fce: Nechť x D(f). Fce f se nzývá klesjící, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) Konstntní fce: Nechť x D(f). Fce f se nzývá konstntní, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 x f(x 1 ) = f(x ) Neklesjící fce: Nechť x D(f). Fce f se nzývá neklesjící, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 < x f(x 1 ) f(x ) Nerostoucí fce: Nechť x D(f). Fce f se nzývá nerostoucí, právě když pro kždé dv prvky x 1, x pltí x 1 < x f(x 1 ) f(x ) Klesjící rostoucí jsou ryze monotónní fce, nerostoucí neklesjící jsou monotónní fce..1.1 Rcionální fce Fce dná rcí: y = mx m + m 1 x m x + 0 b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0, pro b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 0 Lineární fce Def.: Lineární fce je kždá fce n množině R dná tvrem y = x + b, kde, b R, 0 je lineární člen udává sklon grfu, b je bsolutní člen posouvá grf po ose y. Grfem je přímk Pltí: = tg α = f(x ) f(x 1 ) x x 1

10 KAPITOLA. FUNKCE 10 Kvdrtická fce Def.: Kvdrtická je kždá fce n množině R dná tvrem y = x + bx + c, kde 0;, b, c R Grfem je prbol Vět: Pro průsečíky grfu x 1, x s osou x (tj. pro kořeny rovnice ve tvru x + bx + c = 0) pltí tzv. V iètovy vzorce x 1 + x = b x 1 x = c Vět: Kždou kvdrtickou fci můžeme npst ve tvru y = (x x v ) + y v, kde V [x v ; y v ] je vrchol prboly. x v = b y v = c b 4 Lineární lomená fce Def.: Fce f určená rcí y = x + b cx + d, kde c 0 d b c se nzývá lineární lomená fce. - Grfem je hyperbol se středem v bodě S[ d c ; c ] s symptotmi se souřdnicovými osmi. S d c y c x Zvláštním připdem lomené fce je nepřímá úměr Def.: Fce f určená rcí y = k ; k R {0} se nzývá nepřímá x úměr..1. Mocninná fce y = x n 1. n N () pro n sudé fce sudá, grf podobný prbole (b) pro n liché fce lichá. n Z D(f) = R {0} () pro n liché fce lichá, grf podobný grfu lineárně lomené fce (b) pro n sudé fce sudá Inverzní fce Def.: Nechť fce f je prostá. Fce f 1 se nzývá inverzní fce k fci f, když pltí D(f) = H(f 1 ) D(f 1 ) = H(f) Vět: Ke kždému nezápornému číslu existuje jednoznčně určená jeho druhá odmocnin. Vět: Ke kždému přirozenému číslu n ke kždému nezápornému reálnému číslu existuje právě jedno tkové nezáporné reálné číslo b, že pltí b n =. Def.: Toto číslo b se nzývá n-tá odmocnin z čísl zpisujeme n = b. Pozn.: Pro n lichá bereme celou množinu R.

11 KAPITOLA. FUNKCE 11 Věty: n n b = n b, b R + 0 n N n n = n R b b + 0 b R + n N ( n ) s = n s R + 0 s Z n N m n = m n R + 0 m, n N 1 n = n R + 0 n N np mp = n m R + 0 m, n, p N.1.3 Exponenciální fce Def.: Exponenciální fce o zákldu je fce n množině R vyjádřená ve tvru kde je kldné reálné číslo různé od 1. D(f)=R H(f)=R + > 1... rostoucí 0 < < 1... klesjící y = x,.1.4 Logritmická fce Def.: Logritmická fce o zákldu je fce, která je inverzní k exponenciální fci y = x ; je libovolné kldné reálné číslo různé od jedné. Zpisujeme y = log x D(f)=R + H(f)=R > 1... rostoucí 0 < < 1... klesjící Logritmus Def.: Logritmem kldného reálného čísl x při zákldu, kdy je kldné reálné číslo různé od 1, nzveme tkové reálné číslo y, kde y = log x tk, že pltí y = x x R R + {1}; Věty o logritmech:, c R + {1} r, s, b R + log r s = log r + log s log r s = log r log s log r s = s log r Přirozený logritmus y = loge x = ln x e = Eulerovo číslo log = 1 log 1 = 0 x = log x log s r = 1 s log r log b = log c b log c log b = 1 log b

12 KAPITOLA. FUNKCE Složená fce Def.: Fce h je fce složená z fcí f g, právě když pltí D(h) = {x D(f); f(x) D(g)} x D(h); h(x) = g(f(x)) h = g f

13 Kpitol 3 Goniometrické funkce 3.1 Zákldní vzthy orientovný úhel α - uspořádná dvojce polopřímek VA, VB se společným počátkem V znčíme ho AV B zákldní velikost: úhel, který leží v intervlu 0 ; 360 ) = 0; π) ω = α + k π cotg x M (0 ) π (30 ) π (60 6 ) π (90 3 ) π (45 ) π sin 0 1 tg x x sin x 3 1 cos 1 0 cos x 3 tg cotg y Funkce sinus cosinus Def.: Fce sinus je fce n množině reálných čísel, která kždému x R přiřdí číslo y M. (viz. obr. jednotkové kružnice) Fce cosinus je fce n množině reálných čísel, která kždému x R přiřdí číslo x M. y sin x cos x x x

14 KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 14 y = f(x) y = f(bx + c) + d... H (f) = ; sin xy b... mění periodu π b sin x x c... posune ve směru osy x do bodu c b d... posune ve směru osy y do bodu d 3.1. Fce tg cotg Def.: Fce tngens se nzývá fce dná vzthem y = sin x = tg x. cos x Fce kotngens se nzývá fce dná vzthem y = cos x sin x Fce sekns: y = 1 cos x Fce kosekns: y = 1 sin x Vlstnosti goniometrických fcí: - Fce sin, tg, cotg jsou liché. Fce cos je sudá = cotg x. - D(sinx), D(cosx)=R, H(sinx), H(cosx)= 1; 1 D(tgx)= ( π + kπ; π ) + kπ, D(cotgx)= (kπ; (k + 1)π) k Z k Z H(tgx), H(cotgx)=R - Fce sin, cos jsou periodické s periodou π fce tg, cotg jsou periodické s periodou π Cyklometrické fce rcsin inverzní k fci sin rccos inverzní k fci cos rctg inverzní k fci tg rccotg inverzní k fci cotg Součtové vzorce x, y R I. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y II. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tg x ± tg y III. tg(x ± y) = 1 tg x tg y Součty goniometrických fcí I. sin x ± sin y = sin( x ± y II. cos x + cos y = cos( x + y III. cos x cos y = sin( x + y ) cos( x y ) ) cos( x y ) ) sin( x y ) Vzthy pro dvojnásobný rgument I. sin(x) = sin x cos x II. cos(x) = cos x sin x III. tg(x) = tg x 1 tg x Vzthy pro poloviční rgument I. sin x 1 cos x = II. cos x 1 + cos x = III. tg x 1 cos x = 1 + cos x

15 KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE Trigonometrie I. tg x = sin x cos x x R {(k + 1) π } II. sin(x + kπ) = sin x x 0; π) k Z III. cos(x + kπ) = sin x x 0; π) k Z IV. sin( x) = sin x x R V. cos( x) = cos x x R VI. sin(π x) = sin x x R VII. cos(π x) = cos x x R VIII. cos( π x) = sin x x R IX. sin( π + x) = cos x x R X. tg( x) = tg x x D(tg) XI. tg(x + kπ) = tg x x D(tg) XII. sin x + cos x = 1 x R Sinov vět: v kždém pltí sin α = b sin β = c sin γ Užití: V dném je možno sinovu větu použít známe-li úhly 1 strnu, nebo strny úhel proti jedné z nich. vzth pro poloměr kružnice opsné: r = sin α = b sin β = c sin γ Kosinov vět: ABC; = b + c bc cos α (+ cyklická záměn) Užití: Pokud známe dvě strny úhel, jimi svírný, nebo 3 strny. Věty o obshu : 1. ABC; S = 1 b sin γ + CZ. Heronův vzorec: S = s(s )(s b)(s c) s= +b+c 3. S = s ϱ ϱ poloměr kružnice vepsné 4. S = bc 4r r poloměr kružnice opsné Mollweidovy vzorce: 1. + b c = cos α β sin γ. b c = sin α β cos γ cotg γ = b c sin α cotg α Tngentov vět: α β tg b + b = tg α + β tg α + β = cotg γ + CZ

16 Kpitol 4 Stereometrie 4.1 Zákldní vzthy 1. Trnzitivní vlstnost : Je-li bod prvkem přímky přímk je incidentní s rovinou, pk i bod náleží rovině.. Bod leží v rovině, jestliže leží n některé přímce této roviny. 3. Přímk leží v rovině, jestliže dv její různé body leží v rovině. 4. Kždými dvěm různými body je určen právě jedn přímk. 5. Kždá rovin je určen () 3 body neležícími v přímce (b) přímkou bodem nenáležícím v té přímce (c) dvěm různoběžnými přímkmi (d) dvěm různými rovnoběžkmi 6. Dným bodem lze vést k dné přímce pouze jednu rovnoběžku. 7. Jestliže máme vést přímku rovnoběžnou s dnou rovinou, musí dná rovin obshovt přímku rovnoběžnou s dnou přímkou ( musí být lespoň 1). 8. Je-li přímk rovnoběžná s dvěm různoběžnými rovinmi, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí. 9. Dným bodem lze vést k dné rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou. Konstrukce řezu V1 - Leží-li dv různé body v rovině, pk přímk jimi určená tké leží v této rovině. Pokud je jednou rovinou rovin řezu druhou stěn těles průsečnice je hrnou řezu. V - Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovin ve dvou rovnoběžných přímkách. V3 - Jsou-li kždé dvě ze tří rovin různoběžné mjí-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice. Odchylk přímek 1. různoběžných velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. rovnoběžných je rovn 0 3. mimoběžných odchylk různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s dnými mimoběžkmi.

17 KAPITOLA 4. STEREOMETRIE 17 Kolmost přímek rovin - Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylk je 90 - Přímk rovin jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímk kolmá ke všem přímkám roviny. Je-li přímk kolmá ke dvěm různoběžkám roviny, pk je k rovině kolmá = kritérium kolmosti přímky roviny - Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedn z nich obshuje přímku kolmou k té druhé rovině. Odchylk přímek rovin - Odchylk dvou rovin je odchylk jejich průsečnic s rovinou, která je k oběm rovinám kolmá - Odchylk přímky roviny je velikost nejmenší z odchylek přímky libovolné přímky té roviny. Není-li přímk kolmá k rovině, je odchylk přímky roviny rovn odchylce přímky jejího prvoúhlého průmětu do té roviny. Vzdálenost bodu od přímky od roviny - Vzdálenost bodů A, B je délk úsečky AB. - Vzdálenost bodu od přímky můžeme určit jko vzdálenost bodu od přímky v rovině, neboť bod přímk v prostoru určují rovinu. - Vzdálenost bodu A od roviny ϱ je vzdálenost bodu A jeho prvoúhlého průmětu A do roviny ϱ. Kritérium rovnoběžnosti Přímk p je rovnoběžná s rovinou ϱ, jestliže lze n přímce p njít dv různé body ležící v témže poloprostoru ohrničeném rovinou ϱ, které mjí od roviny ϱ stejnou vzdálenost. Dvě roviny ϱ, σ jsou rovnoběžné, jestliže lze v rovině σ njít 3 různé body, které neleží v téže přímce, le leží v témže poloprostoru s hrniční rovinou ϱ, které mjí od roviny ϱ stejnou vzdálenost. Vzdálenost přímek rovin - Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé. Vzdálenost rovnoběžných přímek můžeme určit jko jejich vzdálenost v rovině jimi určené nebo pomocí roviny kolmé k oběm přímkám. - Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé. - Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny. - Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délk úsečky P Q, kde body P, Q jsou po řdě průsečíky mimoběžek p, q s osou mimoběžek.

18 Kpitol 5 Kombintorik 5.1 Zákldní vzthy Kombintorické prvidlo součinu: Počet všech uspořádných k tic, jejichž první člen lze vybrt n 1 způsoby, druhý n způsoby (po výběru prvního),... ž k tý člen n k způsoby, je roven součinu n 1 n... n k. Kombintorické prvidlo součtu: Jsou-li A 1 ; A ;... A n konečné množiny, které mjí po řdě p 1 ; p ;... p n prvků jsou-li kždé dvě disjunktní, pk počet prvků množiny sjednocené (A 1 A A 3... A n ) je roven p 1 + p + p p n Vrice Def.: k členná vrice z n prvků je uspořádná k tice z těchto prvků tk, že se kždý v ní vyskytuje nejvýše jednou. Vět: Počet V (k, n) všech k-členných vricí z n prvků je 5.1. Permutce V (k, n) = n(n 1)(n )... (n k + 1) = n! (n k)! - zvláštní přípd vricí Def.: Permutce z n prvků je kždá n-členná vrice z těchto prvků neboli uspořádná n-tice sestvená z těchto prvků tk, že kždý se v ní vyskytuje právě jednou. 0! = 1 definováno!! Kombince P (n) = n(n 1)(n )... 1 = n! Def.: k-členná kombince z n prvků je neuspořádná k-tice sestvená z těchto prvků tk, že se kždý vyskytuje nejvýše jednou. ( ) n! n K(k, n) = k!(n k)! = k Vlstnosti kombinčních čísel: 1. ( n) ( k = n ) n k n, k N; k n. ( n) ( k + n ) ( k+1 = n+1 ) k+1

19 KAPITOLA 5. KOMBINATORIKA Psclův trojúhelník ( 0 0) ( 1 ) ( 1 ( 0 1) ) ( ) ( 0 1 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ( 0 1 3) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ( ) 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) n-tý řádek: ( n n n ) ( 0)( 1)(... n n n 1)( n) má (n + 1) prvků.. Počet podmnožin n členné množiny je součet n-tého řádku Psclov ten je roven n = (1+1) n = ( n 0) 1n ( n) 1 1 n ( n ) 11 1 n 1 + ( n) 10 1 n n 1 Binomická vět ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n (+b) n = n b n 0 + n 1 b n 1 + n b n b n n b n = 0 1 n 1 n Vrice s opkováním n n k=0 ( ) n n k b k k Def.: k-členná vrice s opkováním z n prvků je uspořádná k-tice ustvená z těchto prvků tk, že kždý se v ní vyskytuje nejvýše k krát Permutce s opkováním V (k, n) = n k Def.: Permutce s opkováním z n prvků je uspořádná k-tice ustvená z těchto prvků tk, že kždý se v ní vyskytuje lespoň jednou. Pozn.: Oznčme k 1, k,... k n kolikrát se kždý z dných prvků opkuje. P (k 1, k,... k n ) = (k 1 + k k n )! k 1! k!... k n! P (k; n k) = n! k!(n k)! = ( ) n k

20 KAPITOLA 5. KOMBINATORIKA Kombince s opkováním Def.: k-člená kombince s opkováním z n prvků je neuspořádná k-tice sestvená z těchto prvků tk, že kždý se v ní vyskytuje nejvýše k krát. ( ) n + k 1 K (k, n) = = K(k, n + k 1) k

21 Kpitol 6 Prvděpodobnost 6.1 Zákldní vzthy Pokus(náhodný) ω... výsledek pokusu Ω... množin všech možných výsledků pokusu (př. 3 mince... Ω = 3 ) jev... množin výsledků pokusu podmnožin Ω jev jistý... musí vždy tkto nstt jev nemožný... nemůže nikdy nstt - ω A; výsledek ω je příznivý jevu A - A B; jev A je podjevem jevu B - Jev A B, který nstává právě tehdy, nstne-li spoň jeden z jevů A B, nzýváme sjednocením jevů A B. - Jev A B, který nstává právě tehdy, nstnou-li ob jevy A B, nzýváme průnikem jevů A B. - Je-li A B=, říkáme, že jevy A B se nvzájem vylučují. - Jev A nstává právě tehdy, když jev A nenstává, nzýváme jevem opčným k jevu A Prvděpodobnost četnost... kolikrát dostneme jeden dný výsledek pokusu... n(ω) reltivní četnost... četnost vztžená n počet pokusů... n(ω) n Má-li náhodný pokus m možných výsledků jsou-li tyto výsledky stejně možné (prvděpodobné), pk o kždém z nich říkáme, že má prvděpodobnost 1 m 6.1. Prvděpodobnost jevů Prvděpodobnost jevu A, oznčme ji P (A), se definuje jko součet prvděpodobností výsledků příznivých jevu A P (A) = ω A p(ω). V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně prvděpodobné, je prvděpodobnost jevu rovn P (A) = m(a) m, kde m(a) je počet příznivých výsledků m je počet všech výsledků. 0 P (A) 1, P ( ) = 0... jev nemožný, P (Ω) = 1... jev jistý

22 KAPITOLA 6. PRAVDĚPODOBNOST Sčítání prvděpodobností 1. Jsou-li jevy A B disjunktní (nvzájem se vylučují) pltí P (A B) = P (A) + P (B) P (A 1 A... A n ) = P (A 1 ) + P (A ) P (A n ). Jevy nejsou disjunktní Ω P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A B Jestliže B = A P (A) = 1 P (A ) Je-li B A Ω A P (A B ) = P (A) P (B) B P (B) P (A) Ω A C B P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Nezávislé jevy Řekneme, že jevy A B jsou nezávislé, pltí-li P (A B) = P (A) P (B) Jevy A, B C jsou nezávislé, pltí-li P (A B C) = P (A) P (B) P (C) P (A B) = P (A) P (B) P (A C) = P (A) P (C) P (B C) = P (B) P (C) Jsou-li jevy A B nezávislé A B; A B ; A B jsou nezávislé Nezávislé pokusy Def.: Řekneme, že dílčí pokusy jsou nezávislé, jestliže pro všechny možné výsledky (ω 1, ω ) pltí, p(ω 1, ω ) = p(ω 1 ) p(ω ) Binomické rozdělení (Bernoulliovo schém) Mějme n nezávislých pokusů, z nichž kždý končí buď zdrem s prvděpodobností p, nebo nezdrem s prvděpodobností q. Potom prvděpodobnost jevu A k, že právě k pokusů bude zdřilých, je ( ) n P (A k ) = p k q n k, k kde k = 0, 1,,..., n p + q = 1

23 KAPITOLA 6. PRAVDĚPODOBNOST 3 Ověřování hypotéz učebnice str Podmíněné prvděpodobnosti Prvděpodobnost je podmíněn jevem B (neboli z podmínky B pltí... ), znčí se p(ω B) pltí p(ω B) = p(ω) P (B). P (A B) P (A B) = P (A B) = P (B) P (A B) + CZ P (B) vzorec pro násobení prvděpodobností Jde-li o pokus se stejně prvděpodobnými výsledky, pltí m(a B) P (A B) = m(b) P (A) = P (A B1) + P (A B) A P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B ) P (A B ) B vzorec pro celkovou prvděpodobnost 1 A B A B B 1

24 Kpitol 7 Sttistik 7.1 Zákldní vzthy Termíny Sttistický soubor - události, věci, lidé, čsy,... Sttistická jednotk - prvek souboru Sttistický znk - hodnot té jednotky. Může být kvlittivní nebo kvntittivní sttistické jednotky - 1,,... n hodnoty stt. znku: x 1, x,... x n x 1, x,... x r Četnost hodnoty x j... n j Reltivní četnost... ν j = n j n n n j = n j=1 Sttistický soubor můžeme popst pomocí digrmu: 1. spojitého. sloupcového (histogrm) 3. kruhového Chrkteristik polohy vribility n x i i=1 Aritmetický průměr x = n n x j n j j=1 Vážený průměr x = n r ν j = 1 j=1 slučujeme do r tříd: Pokud hodnoty x, n spolu souvisí vzthem x = n + b, pk stejný vzth pltí i pro ritmetické průměry: x = n + b Průměrný přírůstek y = x n x 0 n xn Průměrné tempo přírůstku z = n x 0 n Geometrický průměr z = n z 1 z... z n = n x i = x G i=1

25 KAPITOLA 7. STATISTIKA 5 Kvdrtický průměr x K = Hrmonický průměr x H = n x i i=1 n n n 1 i=1 x i Cuchiho vět: x i x k (i, k = 1,... n); mmx > x K > x A > x G > x H > x min Pokud nstne možnost x i = x k, pk dostneme x A x G Modus stt. souboru... Mod(x) - hodnot znku. který se vyskytuje s největší četností Medián... Med(x) - prostřední hodnot znku, seředíme-li je podle velikosti pro n liché Med(x) = x n+1 pro n sudé Med(x) = 1 ( ) x n + x n +1 Rozptyl s x = 1 n (x n i x) i=1 s x = 1 n (x n j x) n j j=1 Směrodtná odchylk s Vriční koeficient v x = s x x 100% Mezikvrtilová odchylk Q(x) = 1 (Q 3 Q 1 )

26 Kpitol 8 Posloupnosti řdy 8.1 Zákldní vzthy posloupnost - Posloupnost je reálná funkce jejímž definičním oborem je podmnožin množiny přirozených čísel, píšeme npř. ( n ) n=1, kde n je n-tý člen posloupnosti vyjdřuje posloupnostní hodnotu n-tého prvku. Zápis posloupnosti: 1. pomocí n-tého členu. výpisem prvků 3. rekurentní zápis - zápis pomocí předchozího prvku 54; 18; 6; ; 3 ; 3 ;... n+1 = n ( 1 3), 1 =54 n+1 =54( 1 3 )n n =54( 1 3 )n Vlstnosti posloupností Def.: Posloupnost je rostoucí: r, s N; r < s r < s klesjíci: r, s N; r < s r > s nerostoucí: r, s N; r < s r s neklesjíci: r, s N; r < s r s Pokud jedn z těchto dvou podmínek pltí posloupnost monotónní Vět: Dná posloupnost je rostoucí, jestliže pltí: n N; n+1 > n klesjící, jestliže pltí: n N; n+1 < n Posloupnost omezená zdol: n N; d R; n d shor: n N; d R; n d Posloupnost je omezená právě, když je omezená shor i zdol lternující posloupnost: střídá se +

27 KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY Mtemtická indukce Důkz mtemtickou indukcí spočívá ve dvou krocích 1. Dné tvrzení pltí pro 1 (přípdně pro nejmenší možné přirozené číslo). Z předpokldu, že vzth pltí pro nějké číslo n, pk tento vzth pltí i pro n Aritmetická posloupnost Def.: Posloupnost ( n ) n=1 se nzývá ritmetická, právě když existuje tkové reálné číslo d, že pro kždé přirozené číslo n pltí n+1 = n + d Číslo d se nzývá diference ritmetické posloupnosti n = 1 + (n 1)d ( 1 + (n 1)d) n=1 Vět: V ritmetické posloupnosti ( n ) n=1 s diferencí d pltí pro všechn r, s N s = r + (s r)d Vět: Pro součet s n prvních n členů ritmetické posloupnosti ( n ) n=1 tj n, pltí s n = n ( 1 + n ) Geometrická posloupnost Def.: Posloupnost ( n ) n=1 se nzývá geometrická, právě když existuje tkové reálné číslo q, že pro kždé přirozené číslo n je n+1 = n q Číslo q se nzývá kvocient geometrické posloupnosti. Pokud n, 1, q 0 n+1 = q n Vět: V geometrické posloupnosti ( n ) n=1 s kvocientem q pltí n N n = 1 q n 1 Vět: V geometrické posloupnosti ( n ) n=1 s kvocientem q pltí r, s N s = r q s r Vět: Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti ( n ) n=1 s kvocientem q pltí 1. pro q = 1. pro q 1 s n = n 1 s n = 1 qn 1 q Finnční mtemtik jistin... vložená částk roční úroková mír... nvýšení v % z 1 rok úrokovcí období... čs, z který se připíší úroky

28 KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY 8 Jednoduché úrokování - jistin je stejná Složené úrokování - k jistině se přičtou úroky tím se vytvoří jistin nová J n = J 0 (1 + 0, 85 kde J 0 je počáteční vkld p je úrok v procentech Termíny: p..... úroková mír z rok p. s.... úroková mír z 1/ roku p. q.... úroková mír z 1/4 rok p. m.... úroková mír z měsíc p. k.... úroková mír z týden p. d.... úroková mír z den J n = J 0 (1 + p 100 0, 85)n = J 0 q n 1. stv kont n zčátku úrokovcího období J = J 1 + J + + J n = J 0 q + J 0 q + + J 0 q n. stv kont n konci úrokovcího období ) p n, 100 J = J 0 q qn 1 q 1 J = J 0 + J J n = J 0 + J 0 q + J 0 q + + J 0 q n J = J 0 qn+1 1 q Vlstnosti ritmetických geometrických posloupností Vět: Je-li d > 0 ritmetická posloupnost je rostoucí Je-li d < 0 ritmetická posloupnost je klesjící Je-li d = 0 ritmetická posloupnost je konstntní Geometrická posloupnost ( n ) n=1 s koeficientem q je 1. rostoucí, právě když 1 > 0, q > 1 nebo 1 < 0, q < 1;. klesjící, právě když 1 > 0, q < 1 nebo 1 < 0, q > 1. Geometrická posloupnost ( n ) n=1 s koeficientem q 1. je omezená, právě když q 1 nebo 1 = 0;. je zdol omezená, le není shor omezená, právě když 1 > 0, q > 1;

29 KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY 9 3. je shor omezená, le není zdol omezená, právě když 1 < 0, q > 1; 4. není zdol omezená,ni shor omezená, právě když 1 0, q < 1; Limit poloupnosti Def.: Číslo se nzývá limit posloupnosti ( n ) n=1, právě když ε > 0 n 0 n n 0 ; n < ε n ( ε;+ε) N tk, že n N; Posloupnost se nzývá konvergentní jestliže má limitu. Posloupnost, která není konvergentní, se nzývá divergentní Zápis limity: lim n n = Vět: Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu Vět: Kždá konvergentní posloupnost je omezená n min( ε; m) n mx( + ε; M) lim ( n + b n ) = lim n + lim b n = + b n n n Vět: Jestliže posloupnosti ( n ) n=1 ; (b n) n=1 jsou konvergentní při tom lim n =, n pk je konvergentní i posloupnost ( n + b n ) n=1 pltí ( n + b n ) = lim n n + lim n b n = + b lim b n = b, n Vět: Mějme posloupnosti ( n ) n=1 ; (b n) n=1, které jsou konvergentní nechť lim n =, lim b n = b, n n pk jsou konvergentní i posloupnosti ( n b n ) n=1, ( n b n ) n=1, (c n) n=1, kde c je libovolné reálné číslo, ( n bn ) n=1, kde b, b n 0 pro n N pltí lim n ( n b n ) = lim n n lim n b n = b lim n ( n b n ) = lim n n lim n b n = b lim n (c n) = c lim n n = c lim n = n b n lim n n lim n b n = b Vět: Geometrická posloupnost (q n ) n=1 je konvergentní právě když pltí q < 1. Vět: Pro kždé reálné číslo r existuje neklesjící posloupnost rcionálních čísel ( n ) n=1 nerostoucí posloupnost rcionálních čísel (b n ) n=1 tk, že pltí lim n n = lim n b n = r.

30 KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY Nevlstní limit Def.: Řekneme, že posloupnost ( n ) n=1 má nevlstní limitu +, právě když pro kždé číslo K R n 0 N tkové, že n N n 0; n > K. Def.: Řekneme, že posloupnost ( n ) n=1 má nevlstní limitu, právě když pro kždé číslo L R n 0 N tkové, že n N n 0; n < L Nekonečná řd Vět: Je-li ( n ) n=1 geometrická posloupnost q < 1, pk posloupnost (s n) n=1 (s n = n i ) je konvergentní její limit je lim n s n = 1 1 q i=1

31 Kpitol 9 b Komplexní čísl 9.1 Zákldní vzthy Imginární jednotk... i i = Algebrický tvr komlexního čísl: z = + bi z = + bi z 1 = + bi z = c + di } z 1 + z = ( + c) + (b + d)i z 1 z = (c bd) + (d + cb)i z 1 = z c + bd bc d c + d + c + d i, z 0 Pltí: b z, z 1, z C; m, n R z m z n = z m+n i 4k+1 = i z1 n zn = (z 1 z ) n i 4k+ = 1 (z m ) n = z m n i 4k 1 = i z n = (z ) n, z 0 i 4k = 1 Komplexně sdružené číslo - z z = + bi z = bi Pltí: z, z 1, z C ( ) z z = z, z 1 + z = z 1 + z, z 1 z = z 1 z, 1 z1 =, z z z 0, z... bsolutní hodnot komplexního čísl - vzdálenost od počátku = modul z z = + b = z z z R + 0 z z 1 z = z 1 z z 1 z = z 1 z z - převrácené číslo k číslu z z z = 1 z = bi + b ( ) 1 = 1 z z

32 KAPITOLA 9. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Goniometrický tvr komplexního čísl: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Zákldní operce: z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) 1. Sčítání/odčítání - převedeme n lgebrický tvr, sečteme/odečteme, převedeme zpět. Násobení z 1 z = z 1 z (cos(ϕ 1 + ϕ ) + i sin(ϕ 1 + ϕ )) 3. Dělení z 1 = z 1 z z (cos(ϕ 1 ϕ ) + i sin(ϕ 1 ϕ )) 1 z = 1 (cos ϕ i sin ϕ), z 0 z 4. Mocniny z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z 3 = z 3 (cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)). z n = z n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = z n (cos ϕ + i sin ϕ) n Moivreov vět Řešení nerovnic Absolutní hodnot rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gussově rovině. z ( + bi) r z ( + bi) z (c + di), b, r R Im Im os úsečky b b r c Re Re d Binomická rovnice x n = 0 x C, C 0, n N = (cos α + i sin α) ( x k = n cos α + kπ + i sin α + kπ ) k Z n n Různá řešení pouze pro k = 0; 1; ;... ; n 1 získáme n řešení, jejichž obrzy leží n kružnici se středem v počátku poloměrem n tvoří vrcholy prvidelného n-úhelník Kvdrtické rce s reálnými koeficienty pro D < 0. x + bx + c = 0 x 1, = b ± i D,

33 KAPITOLA 9. KOMPLEXNÍ ČÍSLA 33 Vět: Pro lgebrickou rci s reálnými koeficienty n x n + n 1 x n x + 0 = 0 ( 0,... n R) pltí: Je-li x 1 = + bi (b 0) kořen této rce, pk tké x = bi je jejím kořenem Kvdrtické rce s komplexními koeficienty x + bx + c = 0 x,, b, c C x 1, = b ± D (cos α + i sin α ), kde D = D (cos α + i sin α). V některých přípdech je lepší předstvit si D jko komplexní číslo u + vi D nepřevádět n goniometrický tvr. Pk dostneme vzth npř i = u + vi po postupné úprvě můžeme dosdit do výše zmíněného vzthu jko x 1, = b ± (u + vi) Reciproké rovnice Def.: Rce n x n + n 1 x n x + 0 = 0 se nzývá reciproká, právě když i = 0, 1,... n pltí i = n i, tzv. kldně reciproká nebo i = n i, tzv. záporně reciproká. Vět: Rce n x n + n 1 x n x + 0 = 0 je reciproká, právě když pltí: c je kořen této rce 1 c je kořen této rce. Vět: 1. Kždá záporně reciproká rce má kořen +1.. Kždá záporně reciproká rce sudého kldně reciproká rce lichého stupně má kořen -1. Kždá reciproká rce se dá převést n kldně reciprokou rci sudého stupně, která se dále řeší: 0 x k + 1 x k k x k x + 0 = 0 0 x k + 1 x k k x k x k = 0 ( 0 x k + 1 ) ( x k + k 1 x + 1 ) + x k = 0 : x k Použitím Lgrngeovy substituce: x + 1 x = y x + 1 x = y x x = y 3 3y Exponenciální tvr komplexního čísl: z = z e iϕ cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ Eulerův vzth převedeme dnou rci n rci k-tého stupně, kterou dále řešíme.

34 Kpitol 10 Anlytická geometrie 10.1 Zákldní vzthy Souřdnice Krtézská soustv souřdnic přímk - 0x; rovin - 0xy; prostor - 0xyz x, y, z - souřdné osy 0 - počátek soustvy souřdnic A[ 1,, 3 ] Trnsformční rce posunutí: x = x m y = y n Vzdálenost bodů 1. v rovině: y b B AB = (b1 1 ) + (b ) A 1 b 1 x. v prostoru: AB = (b 1 1 ) + (b ) + (b 3 3 ) Střed úsečky: 1. n přímce: [ ] + b S. v rovině y b A S B S [ 1 + b 1 ; ] + b 1 b 1 x

35 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE v prostoru [ 1 + b S 1 ; + b ; ] 3 + b 3 S Vektory - orientovné úsečky dné velikostí směrem AB A... počáteční bod A B B... koncový bod nulový vektor AB = 0 Orientovné úsečky AB CD určují týž vektor právě tehdy, když AD BC mjí společný střed. B D A C Jestliže jsou dv vektory rovnoběžné, pk jsou kolineární (souhlsně/nesouhlsně) Polohový vektor počáteční bod v počátku soustvy souřdnic y b B u = (b1 1, b ) = (u1, u) u = B A A u 1 =b 1 1 u =b 1 b 1 x Sčítání vektorů u + v = C A u(u 1 ; u ; u 3 ) v(v 1 ; v ; v 3 ) u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ; u 3 + v 3 ) C u + v v A u B Rozdíl vektorů C v u u v A B u - v -v C Lineární kombince vektorů = (u1 v1; u v; u3 v3) Vět: Vektor u + bv + cw, kde, b, c R; se nzývá lineární kombincí vektorů u; v; w.

36 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 36 Sklární součin vektorů velikost vektoru: d(d 1 ; d ; d 3 ) d = d 1 + d + d 3 AB(b 1 1 ; b ; b 3 3 ) AB = (b 1 1 ) + (b ) + (b 3 3 ) jednotkový vektor d = 1 Sklární součin vektorů u(u 1 ; u ; u 3 ) v(v 1 ; v ; v 3 ) u = u u, v, w; Odchylk dvou vektorů u v u v = v u (c u)v = c(u v) w(u + v) = wu + wv cos ϕ =, pro u, v = 0 u v u v= u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 je to sklár (číslo) cosinov vět b = + b b cos ϕ Vektorový součin, b, c, d; ( + b)(c + d) =c + d + bc + bd ( ± b) = + b ± b (u v) = v u Pro u v = w pltí: u v = w u(u 1 ; u ; u 3 ) v(v 1 ; v ; v 3 ) w = ( u u 3 v v 3 1. w u, v ; u 1 u 3 v 1 v 3 ; u 1 u v 1 v ). u, v, w tvoří prvotočivou bázi 3. w = u v sin α Číselná hodnot u v odpovídá číselné hodnotě plochy rovnoběžník. Objem rovnoběžnostěnu určíme jko součin V = ( b) c, kde, b, c jsou velikosti strn. Tento součin nzýváme smíšený. Pltí cyklická záměn: V = ( b) c = (b c) = (c ) b (b + c) = b + c (mb) = (m) b = m( b)

37 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Geometrie v rovině Prmetrické vyjádření přímky y u A X = A + t u x = 1 + t u1 t R y = + t u X 1 x Těžiště : T = 1 (A + B + C) 3 t x = 1 3 ( x+b x +c x ) t y= 1 3 (y+by+cy) p q p = q u = k v u = k v p q Obecná rce přímky - pouze v rovině x + by + c = 0, kde lespoň jedno z čísel, b 0 se nzývá obecná rce přímky. Pltí: n(; b) normálový vektor n u (n u = 0) Směrnicový tvr přímky y = kx + q k = b... směrnice q = c... úsek n ose y b přímk tg ϕ = k kolmá y = 1 k x + d Úsekový tvr přímky x p + y q = 1 p = c... průsečík s osou x q = c... průsečík s osou y b Vzdálenost bodu od přímky d(p ; p) = p 1 + bp + c + b Odchylk přímek Os úhlu Směrnice osy úhlu je vektor w, kde pltí p(p ; u) q(q; v) ϕ 0; π u v cos ϕ = u v w = u + v normovný vektor - p = p p p = 1

38 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Geometrie v prostoru Prmetrické vyjádření přímky X = A + t u x = 1 + t u 1 t n R y = + t u z = 3 + t u 3 Prmetrické vyjádření roviny C v X = Y + s v Y = A + t u v u A B Y X = A + t u + s v X X=A+t(B A)+s(C A) Obecná rce roviny n XP = 0 n(; b; c) - normálový vektor roviny X[x; y; z] P [p 1 ; p ; p 3 ] X P x + by + cz + d = 0 d = (p 1 + bp + cp 3 ) Polohové úlohy v prostoru 1. Přímk rovin: - rovnoběžná n ϱ u p = 0 - ϱ p = - p ϱ - různoběžná n ϱ u p 0 - p ϱ = {A}. roviny: - rovnoběžné - různé - splívjící normálové vektory lineárně závislé ϱ σ = ϱ = σ - různoběžné - lineárně nezávislé ϱ σ = p průsečnice n ϱ n σ = u p 3. přímky: - rovnoběžné (různé, totožné) - různoběžné - mimoběžné Příčk mimoběžek 1. rovnoběžná s dným směrem 1. přímk + směr rovin rovin. přímk. procházející bodem

39 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE os mimoběžek o o b () w = u v (b) ϱ(; w) (c) A ϱ b Metrické úlohy Využívá se vzthů u v = u v cos ϕ n ϱ : x + by + cz + d = 0 v = p 1 + bp + cp 3 + d P [p 1 ; p ; p 3 ] + b + c Odchylk dvou přímek: u v cos ϕ = tg ϕ = k 1 k u v 1 + k 1 k, kde u, v jsou směrové vektory dných přímek k 1, k jejich směrnice. Odchylk přímky roviny: 1. p π σ p π σ ϕ(p; σ) = ϕ(p; p ) π ϕ σ. n; p cos ψ ψ = π ϕ p cos ψ = sin ϕ p Vzdálenost bodu od přímky: u v = u v sin ϕ Odchylk dvou rovin: - odchylk jejich normálových vektorů sin ϕ = n p n p Geometrie kuželoseček Vznik: Řez rovinou n kuželové ploše 1. rovin k ose kuželové plochy kružnice. rovin svírá s osou úhel ϕ, pro který pltí α < ϕ < 90, kde α je úhel, který svírá hrn kužele s osou elips 3. rovin svírá s osou úhel α prbol 4. rovin svírá s osou úhel ϕ < α hyperbol

40 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 40 Prbol Def.: Množin všech bodů v rovině, které mjí od dného bodu F přímky d stejnou vzdálenost. (F d) Zouflý výkřik slovenského strojvedoucího. F ohnisko d řídící přímk p = F, d... poloprmetr p prmetr Vrcholová rce prboly 1. os s osou x: y = px - V [0; 0] (y n) = p(x m) - V [m; n]. os s osou y: x = py - V [0; 0] (x m) = p(y n) - V [m; n] Obecná rce prboly y + Ax + By + C = 0 x + Ay + Bx + C = 0 A 0 Prmetrické vyjádření x = t y = t pro > 0; t R = p; vrchol v počátku, os x Vzájemná poloh bodu prboly Vět: Má-li prbol, jejíž os je rovnoběžná s některou souřdnou osou, rci y + Ax + By + C = 0 nebo x + Ay + Bx + C = 0 oznčíme-li levou strnu této rce jko fci dvou proměnných f(x; y), pk pro souřdnice libovolného bodu L[x; y] pltí: 1. f(x; y) = 0... L prboly. f(x; y) > 0... L leží vně prboly 3. f(x; y) < 0... L leží uvnitř prboly Vzájemná poloh přímky prboly 1. nemjí společný žádný bod. mjí společný právě jeden bod () přímk s osou prboly (b) přímk je tečnou prboly - rce tečny: yy 1 = p(x + x 1 ) (y n)(y 1 n) = p(x + x 1 m), kde T [x 1 ; y 1 ] je bod dotyku 3. mjí právě společné body přímk je sečnou prboly

41 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 41 Kružnice Def.: Množin všech bodů v rovině, které mjí od dného bodu S stejnou vzdálenost. y y &Středová n S[m;n] x rce r x + y = r (x m) + (y n) = r m x Prmetrické vyjádření x = r cos ϕ y = r sin ϕ ϕ 0; π) r R + Obecná rce x + y + Ax + By + C = 0 Rce tečny: xx 1 + yy 1 = r (x m)(x 1 m) + (y n)(y 1 n) = r, kde T [x 1 ; y 1 ] je bod dotyku. Vzájemná poloh bodu kružnice Vět: Má-li kružnice rci x + y + Ax + By + C = 0 oznčíme-li levou strnu této rce jko fci dvou proměnných f(x; y), pk pro souřdnice libovolného bodu L[x; y] pltí: 1. f(x; y) = 0... L kružnice. f(x; y) > 0... L leží vně kružnice 3. f(x; y) < 0... L leží uvnitř kružnice Elips Def.: Množin všech bodů v rovině, které mjí od dvou dných bodů (ohnisek) stejný součet vzdáleností. E, F... ohnisk EF = e e... excentricit A, B... vrcholy hlvní osy = AS = BS... délk hlvní poloosy C, D... vrcholy vedlejší osy b = CS = DS b... délk vedlejší poloosy EC = = b + e Pro libovolný bod M elipsy nzveme úsečky ME, MF průvodiče. Z definice dostneme vzth Středová rce x + y b = 1 (x m) (y n) + b = 1 Prmetrické vyjádření x = cos ϕ, b R + y = b sin ϕ ϕ 0; π) ME + MF = = konst. Obecná rce x = m + cos ϕ S[m; n] y = n + b sin ϕ Ax + By + Cx + Dy + E = 0 A, B 0 A B Rce tečny: xx 1 + yy 1 b = 1 (x m)(x 1 m) + (y n)(y 1 n) b = 1, kde T [x 1 ; y 1 ] je bod dotyku.

42 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4 Vzájemná poloh bodu elipsy Vět: Má-li elips rci Ax + By + Cx + Dy + E = 0 oznčíme-li levou strnu této rce jko fci dvou proměnných f(x; y), pk pro souřdnice libovolného bodu L[x; y] pltí: 1. f(x; y) = 0... L elipsy. f(x; y) > 0... L leží vně elipsy 3. f(x; y) < 0... L leží uvnitř elipsy Průměr elipsy Mějme rovnoběžné sečny elipsy. Středy těchto sečen tvoří úsečku procházející středem elipsy. Tuto úsečku nzveme průměr. Hyperbol Def.: Množin všech bodů v rovině, které mjí od dvou dných bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností. r, s... symptoty + b = e r : y = b x s : y = b x Pro libovolný bod M hyperboly nzveme úsečky ME, MF průvodiče. Z definice dostneme vzth MF ME = = konst. Středová rce 1. Hlvní os s osou x x y b = 1 (x m) (y n) b = 1. Hlvní os s osou y x b + y = 1 (x m) (y n) b + = 1 prmetrické vyjádření x =, b R cos ϕ + { π y = b tg ϕ ϕ 0; π) ; 3 } π Obecná rce Ax By + Cx + Dy + E = 0 Ay Bx + Cx + Dy + E = 0 Rce tečny: xx 1 yy 1 b = 1 (x m)(x 1 m) (y n)(y 1 n) b = 1, kde T [x 1 ; y 1 ] je bod dotyku. A, B 0 Vzájemná poloh bodu hyperboly Vět: Má-li hyperbol rci Ax By + Cx + Dy + E = 0 nebo Ay Bx + Cx + Dy + E = 0 oznčíme-li levou strnu této rce jko fci dvou proměnných f(x; y), pk pro souřdnice libovolného bodu L[x; y] pltí: 1. f(x; y) = 0... L hyperboly. f(x; y) < 0... L leží vně hyperboly 3. f(x; y) > 0... L leží uvnitř hyperboly

43 KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 43 Rovnoosá hyperbol s symptotmi v osách x y (grf nepřímé úměrnosti) y = k, kde k = x tečn: y 1 x + x 1 y = k Součin vzdáleností bodu hyperboly od symptot je konstntní: b + b Rce kuželosečky - obecně: Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = Otočení soustvy souřdnic trnsformční rce: x = x cos α y sin α x = x sin α + y cos α tg α = C A B koeficienty z obecné rce kuželoseček Kulová ploch Def.: Množin všech bodů v prostoru, které mjí od dného bodu S stejnou vzdálenost. (x m) + (y n) + (z p) = r

44 Kpitol 11 Spojitost fce 11.1 Zákldní vzthy Okolí bodu: δ () ˆ= (, δ) δ... velikost o kolí... bod δ () = ( δ; + δ) x 1 δ () x δ () x < δ δ δ { { }} { }} { x 1 x x Prvé δ-okolí bodu... + δ = ; + δ) Levé δ-okolí bodu... δ = ( δ; Prstencové okolí... P δ () = ( δ; ) (; + δ) 0 < x < δ Přírůstek rgumentu x: Def.: Nechť je definováno δ (). Přírůstek rgumentu x je roven rozdílu x x... přírůstek rgumentu v bodě Přírůstek fce y: Def.: Fce je definovná n δ (). Rozdíl funkčních hodnot f(x) f() nyveme přírůstkem fce v bodě. y = f(x) f() = f( + x) f() x y x

45 KAPITOLA 11. SPOJITOST FCE 45 Spojitost fce v bodě : Def.: Nechť fce f je definován n množině J. Fce f je spojitá v intervlu J, právě když pltí kde ε R +, x R, x < δ, f(x) ε () ε > 0 δ > 0 x J; f(x) f() < ε, Vět: Jsou-li fce f g spojité v bodě, je spojitá i fce: f + g f g f g f g (g() 0) Spojitost fce v intervlu: Def.: Fce f je spojitá v bodě zprv resp. zlev, právě když ε > 0 δ > 0 x ± δ (); f(x) f() < ε Vět: Fce f je spojitá v bodě, právě když je spojitá v bodě zprv zárověň zlev. Vět: Fce f je spojitá v (;b) je-li spojitá v kždém bodě (;b). Vět: Fce f je spojitá v ; b je-li spojitá v kždém bodě (; b) zároveň zprv v zlev v b. Weirstrssov vět: Je-li fce f spojitá v uzvřeném intervlu ; b, pk x 1, x 1 ; b tk, že x ; b ; f(x 1 ) f(x) x, x ; b tk, že x ; b ; f(x ) f(x) Bod x 1 nzveme minimem bod x nzveme mximem fce f v intervlu ; b. Vět: Je-li fce f spojitá v ; b pltí f() f(b) < 0 pk c ; b ; f(c) = 0

46 Kpitol 1 Limity 1.1 Zákldní vzthy Def.: Fce f má v bodě limitu L jestliže k libovolně zvolenému bodu L existuje okolí bodu tk, že x z tohoto okolí náleží hodnoty f(x) zvoleném okolí bodu L. ε > 0 δ > 0 x P δ (); f(x) L < ε L = lim x f(x) Vět: Fce f má v bodě nejvýše jednu limitu. Vět: Fce f je v bodě spojitá lim x f(x) = f() Vět o limitě dvou fcí: Jestliže x P δ (); f(x) = g(x) lim x g(x) = L pk pltí lim f(x) = lim g() x x P (x) lim x Q(x) = lim x x x P1(x) Q 1 (x), kde P,P 1,Q Q 1 jsou polynomy. Vět o třech limitách: Nechť x P δ () f(x) < g(x) < h(x) lim f(x) = lim h(x) = L, pk x x existuje lim g(x) lim g(x) = L x sin x * lim = lim x 0 x x 0 lim x 0 lim x 0 sin(kx) kx sin(x) bx x sin x = 1 = 1 = b ln(1 + x) * lim = 1 x 0 x e * lim x 1 = 1 x 0 x ( * lim x = lim (1 + x) x x) 1 x x 0 ( * lim 1 + x n = e n n) x ( ) * lim n x 1 n 1 = ln x n = e Vět: Je-li lim x f(x) = A lim x g(x) = B, pk pltí lim x [f(x) + g(x)] = lim x f(x) + lim x g(x) = A + B lim x [f(x) g(x)] = lim x f(x) lim x g(x) = A B lim x [f(x) g(x)] = lim x f(x) lim x g(x) = A B lim x [ f(x) g(x) pro g(x), B 0 ] = lim f(x) x lim g(x) = A B, x

47 KAPITOLA 1. LIMITY 47 Jednostrnné limity Def.: Fce f má v bodě limitu L zlev/zprv jestliže ε > 0 δ > 0 x P ± δ (); f(x) L < ε Vět: Limit fce f v bodě existuje právě když existují limity zprv zlev jsou si rovny. Nevlstní limit v bodě K Fce f má Def.: v bodě nevlstní limitu +, jestliže ke kždému číslu K R δ > 0 x P δ (); f(x) > K Fce f má v bodě nevlstní limitu, jestliže ke kždému číslu K R δ > 0 x P δ (); f(x) < K Def.: Fce f má v bodě nevlstní limitu zprv/zlev +, jestliže ke kždému číslu K (; + δ)/( δ; ) δ > 0 x P δ (); f(x) > K Fce f má v bodě nevlstní limitu zprv/zlev, jestliže ke kždému číslu K (; + δ)/( δ; ) δ > 0 x P δ (); f(x) < K Vlstní limit v nevlstním bodě Def.: Fce f má v + lim = L, jestliže pltí ε > 0 x 0 D(f) x R; x > x 0 Fce f má v lim = L, jestliže pltí ε > 0 x 0 D(f) x R; x < x 0 f(x) L < ε f(x) L < ε Nevlstní limit v nevlstním bodě Def.: Fce f má v ± lim = ± ; K > 0 x 0 D(f) x > < x 0; f 0 (x) > < K Asymptot fce 1. se směrnicí: Přímk y = x + b se nzývá symptot se směrnicí grfu fce f, jestliže lim [f(x) (x + b)] = 0 x ± f(x) = lim x ± x b= lim x ± (f(x) x). bez směrnice: Přímk o rci = x ( - bod nespojitosti)

48 KAPITOLA 1. LIMITY 48 Tečn ke grfu fce t y 0 + y Směrnice tečny x k s = lim x 0 y y 0 x 0 x 0 + x Vět: Je-li křivk grfem fce y = f(x) existuje-li v bodě x 0 vlstní limit y k s = lim x 0 x = lim f(x 0 + x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) = lim x 0 x x x 0 x x 0 pk tečn křivky v dném bodě T [x 0 ; y 0 ] je přímk o rci y y 0 = k s (x x 0 ) Normál: y = 1 k s x + q y=k s x+q Při výpočtu limit jsou důležité tzv. neurčité výrzy. Celkem rozeznáváme neurčité výrzy typů 0 0,, 0,, 0, 0 0, 1. Tyto neurčité výrzy lze převést n tvr 0 0 popř. o limitě těchto dvou výrzů pltí prktické tzv. l Hospitlovo prvidlo. L Hospitlovo prvidlo Vět: Nechť existují derivce fce f g v bodě x 0, kde g f(x) (x 0 ) 0 f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, pk lim x x 0 g(x) f(x) pltí lim x x 0 g(x) = f (x) g (x). Vět: Jsou dány fce f g. Nechť pro x x 0 předstvuje podíl f(x) g(x) neurčitý výrz typu 0 0 popř.. f Existuje-li lim (x) f(x) x x 0 g = A (vlstní či nevlstní), pk existuje tké limit lim (x) x x 0 g(x) pltí lim x x 0 f(x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) = A

49 Kpitol 13 Derivce 13.1 Zákldní vzthy Def.: Nechť f je definován v okolí bodu x 0. Jestliže existuje limit lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), pk ji x nzýváme derivcí fce f v bodě x 0. Píšeme f (x 0 ). Vět: Fce f má v intervlu (; b) derivci, má-li derivci v kždém bodě tohoto intervlu. Vět: Jestliže má fce v bodě x 0 derivci, pk je v tomto bodě spojitá. Jednostrnná derivce: Def.: Nechť je fce f definován v okolí bodu x 0. Existuje-li lim f(x x x) f(x 0 ), pk tuto limitu nzveme derivcí f zlev/zprv v bodě x 0. Vět: Fce f má v intervlu ; b derivci, jestliže má derivci v kždém bodě x (; b) v bodě má derivci zprv v bodě b má derivci zlev Derivce elementárních fcí I. y = c y = 0 II. y = x n y = nx n 1 III. y = sin x y = cos x IV. y = cos x y = sin x V. y = tg x y = 1 cos x VI. y = cotg x y = 1 sin x VII. y = e x y = e x VIII. y = x y = x ln IX. y = ln x y = 1 x X. y = log x y = 1 x ln XI. y = rcsin x y 1 = 1 x XII. y = rccos x y 1 = 1 x XIII. y = rctg x y = x XIV. y = rccotg x y = x

50 KAPITOLA 13. DERIVACE Prvidl pro počítání s derivcemi Vět: Mjí-li fce u v v bodě x 0 derivci, má v bodě x 0 derivci i: u + v; u v; uv; pltí Derivce složené fce (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv ( u v ) = u v uv v (cu) = cu u v (v 0) Def.: Jestliže fce z = g(x) má derivci v bodě x 0 jestliže fce y = f(z) má derivci v bodě z 0 = g(x 0 ), má složená fce y = f(g(x)) derivciv bodě x 0 pltí [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) y = f(x) g(x) ( y = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) f ) (x) f(x) Průběh funkce Rolleov vět: Nechť fce f je spojitá v ; b, v kždém bodě tohoto intervlu má derivci f() = f(b), pk c (; b); f (c) = 0 tečn v bodě c x c b x Lgrengeov vět: Zobecnění Rolleovy věty Nechť fce f je spojitá v ; b má v kždém bodě tohoto intervlu derivci, pk c (; b); f (c) = f(b) f() b tečn se spojnicí b Vět: Je-li f (x) = 0 pro x (; b), pk je v (; b) f konstntní Je-li f (x) > 0 pro x (; b), pk je v (; b) f rostoucí Je-li f (x) < 0 pro x (; b), pk je v (; b) f klesjící Extrémy fce: Je-li f (c) = 0, dná fce je podezřelá, že má v bodě c extrém. Bod c se nzývá stcionární bod. Def.: Fce f má v bodě x 0 lokální minimum existuje-li něj. okolí bodu x 0, ve kterém pltí x x0 ; f(x) f(x 0 ) Fce f má v bodě x 0 lokální mximum existuje-li něj. okolí bodu x 0, ve kterém pltí x x0 ; f(x) f(x 0 )