Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)

Transkript

1 Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk

2 Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů tké krátce zopkovt vybrné prtie středoškolské mtemtiky. Tto kpitol má pouze informtivní chrkter, proto nebudeme postupovt přísně xiomticky.. Množiny číselné množiny Množinou budeme rozumět soubor určitých objektů, kterým budeme říkt prvky. Množin je svými prvky určen jednoznčně. Poznmenejme, že se nejedná o přesnou definici pojmu množin, le jen o její intuitivní vymezení. Jestliže x je prvkem množiny M (píšeme x M). Jestliže x není prvkem množiny M (píšeme x / M). Množinu můžeme určit buď výčtem jejích prvků nebo obecným zápisem pomocí její chrkteristické vlstnosti. Příkld.. M = {,, 3, 7, 8, 9} nebo N = {x M; x < 5} = {,, 3} Množin se nzývá konečná, jestliže má konečný počet prvků. V opčném přípdě se nzývá nekonečná. Množin neobshující žádný prvek se nzývá prázdná znčí se. Množin A se nzývá podmnožin množiny B, když kždý prvek množiny A ptří i do množiny B (píšeme A B). Rovnost množin (píšeme A = B) nstává, když A B zároveň B A. Sjednocením množin A, B se rozumí množin C = {x; x A nebo x B} (píšeme C = A B). Průnikem množin A, B se rozumí množin D = {x; x A x B} (píšeme D = A B). Rozdílem množin A, B se rozumí množin E = {x; x A x / B} (píšeme E = A B). Číselné množiny přirozená čísl N, celá čísl Z,

3 rcionální čísl Q, reálná čísl R, komplexní čísl C. Mezi číselnými množinmi pltí následující vzthy: N Z Q R C. Nyní tyto číselné množiny popíšeme podrobněji. Přirozená čísl: N = {,, 3, 4, 5,...}. Celá čísl: Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Rcionální čísl Q dostneme rozšířením oboru celých čísel o zlomky, tj. o čísl ve tvru p q, kde p, g jsou celá čísl q 0. Přitom p q = p právě tehdy, je-li pq = p q. g Reálná čísl R: Uspořádání rcionálních čísel je husté (tj. mezi kždými dvěm různými rcionálními čísly leží nekonečně mnoho rcionálních čísel), le má mezery (npř. π nejsou rcionální čísl, le tzv. ircionální čísl.) Vyplněním těchto mezer novými (ircionálními) čísly rozšiřujeme obor rcionálních čísel dostáváme tk čísl reálná. Rozšíření množiny reálných čísel o plus nekonečno mínus nekonečno, pro které pltí: < x < pro x R budeme nzývt rozšířenou reálnou osou. Tuto novou množinu budeme oznčovt R = R { } { }. Algebrické operce s nekonečny budeme definovt následujícím způsobem: ± + x = ± pro x R, ± =, + = ( = ), ( ) ± x ± = ± x = ± x ± = ( ± x = 0 pro x R. ± x ) = pro x > 0, x R, pro x < 0, x R, Připomeňme, že dělení libovolného čísl (včetně ± ) nulou není definovná operce. Kromě toho nelze definovt následující operce s nekonečny:, 3

4 0 0,,,,. Ze střední školy známe zobrzování reálných čísel n číselné ose. Kždému reálnému číslu odpovídá právě jeden bod číselné osy nopk, kždému bodu číselné osy odpovídá právě jedno reálné číslo. Pro jednoduchost vyjdřování se čsto nerozlišuje mezi číslem jeho obrzem n číselné ose. Intervl je podmnožin množiny reálných čísel, která se n číselné ose zobrzí jko úsečk, polopřímk nebo přímk. Nechť, b R potom rozlišujeme následující typy intervlů omezené (znázorněné úsečkmi) uzvřené [, b] = {x R, x b}, polouzvřené (, b] = {x R, < x b} nebo [, b) = {x R, x < b}, otevřené (, b) = {x R, < x < b}, neomezené (znázorněné polopřímkmi nebo přímkmi) polouzvřené npř. (, b] = {x R; x b}, otevřené npř. (, ) = {x R; < x}, (, ) = {x R}. Příkld.. Je-li A podmnožin množiny reálných čísel, pro niž 0 x 0 (tj. A je intervl [0, 0]) je-li podobně B = [5, 5] C = [, 4]. Pk A B = [0, 5], A B = [5, 0], A B = [0, 5), B A = (0, 5], C A B C =. Kždé dv prvky z množiny reálných čísel lze porovnt podle jejich velikosti příslušný vzth zpst jko rovnost nebo nerovnost. Uspořádání n množině reálných čísel lze zvést pomocí těchto xiómů: U: Pro kždou dvojici čísel, b pltí právě jeden ze vzthů: > b, < b, = b. U: Když < b b < c, pk < c. U3: Když < b, pk + c < b + c pro libovolné reálné číslo c. U4: Když < b 0 < c, pk c < bc. 4

5 Reálná čísl větší než nul nzýváme kldnými čísly, reálná čísl menší než nul nzýváme zápornými čísly. Reálná čísl, která jsou větší nebo rovn nule (píšeme ) nzýváme nezápornými čísly konečně reálná čísl, která jsou menší nebo rovn nule (píšeme ) nzýváme nekldnými čísly. Příkld.3. V množině reálných čísel řešme nerovnici (x + )(x 5)(x 4) 0. Levá strn nerovnice je součin tří činitelů. Má-li být tento součin nezáporný musí být buď všichni činitelé nezápornými čísly, nebo jeden z nich nezáporným číslem zbylé dv nekldnými čísly. Nejprve njdeme nulové body jednotlivých činitelů: x = ;, 5; 4. Je-li x 4 jsou všichni tři činitelé nezáporní je-li x, 5, je první činitel nezáporný zbylé dv nekldné. Řešení dné nerovnice tedy tvoří všechn reálná čísl x [ ;, 5] [4; ). Absolutní hodnot reálného čísl je definován tkto: = pro 0, = pro < 0. To je ve shodě s geometrickou interpretcí totiž že bsolutní hodnot čísl je rovn jeho vzdálenosti od počátku číselné osy (od nuly). Nechť x, y R pk x y bude předstvovt vzdálenost dvou reálných čísel. Příkld.4. N množině reálných čísel řešme nerovnici x ε (ε > 0;, ε R.) V přípdě, že x, máme podle definice bsolutní hodnoty x ε, nebo-li x +ε. Je-li nopk x <, je x < 0 tedy podle definice bsolutní hodnoty x = x+ ε. Po vynásobení nerovnosti mínus jedničkou dostneme x ε, nebo-li ε x. Celkem tedy máme x ε ε x + ε. Číselná množin se nzývá shor omezená, jestliže existuje tkové číslo h R, že pro x M pltí x h. Číslo h nzýváme horní mez (závor) množiny M. Číselná množin se nzývá zdol omezená, jestliže existuje tkové číslo d R, že pro x M pltí x d. Číslo d nzýváme dolní mez (závor) množiny M. Číselná množin M se nzývá omezená, když je omezená shor i zdol. Číslo s R nzýváme supremum množiny M, jestliže s je nejmenší horní mez množiny M, píšeme s = sup M. Číslo i R nzýváme infimum množiny M, jestliže i je největší dolní mez množiny M, píšeme i = inf M. V přípdě, že supremum s (infimum i) nvíc ptří do množiny M, pk ho nzýváme mximum (minimum) množiny M píšeme s = mx M (i = min M.) 5

6 Příkld.5. Je-li A podmnožin množiny reálných čísel, pro niž 0 x < 0 je-li podobně B = (5, 5]. Pk sup A = 0, inf A = 0, min A = 0 mximum množiny A neexistuje. Podobně pro množinu B : sup B = 5, inf B = 5, mx B = 5 minimum množiny B neexistuje. Příkld.6. Rozmyslete si, že inf N = min N =, sup N = (v R ), mx N neexistuje. Zbývá zodpovědět otázku, kdy supremum (resp. infimum) množiny čísel existuje: Vět.7. ( O supremu infimu.) Pro kždou neprázdnou shor omezenou množinu reálných čísel existuje její supremum s R. Pro kždou neprázdnou zdol omezenou množinu reálných čísel existuje její infimum i R. A nkonec pro kždou množinu reálných čísel existuje její supremum s R infimum i R. Podsttná je okolnost, že předpokldy i tvrzení věty se týkjí množiny reálných čísel. Npř. pro rcionální čísl tto vět nepltí! Poznámk.8. Nechť M R. Potom pltí: Jestliže existuje mx M, potom sup M = mx M. Jestliže existuje min M, potom inf M = min M. Komplexní čísl C jsou čísl ve (tzv. krtézském) tvru z = + ib, kde, b jsou reálná čísl, i je imginární jednotk (i = ). Číslo se nzývá reálná část číslo b imginární část komplexního čísl z. Komplexní číslo z = + ib, nzýváme reálným, jestliže b = 0, imginárním, jestliže b 0, ryze imginárním, jestliže = 0, b 0. Komplexní čísl můžeme geometricky znázorňovt jko body euklidovské roviny to tk, že komplexnímu číslu z = + ib přiřdíme bod [, b]. Euklidovskou rovinu v tomto přípdě nzýváme Gussovou rovinou. Pomocí polárních souřdnic bodu [, b] dostneme komplexní číslo z = + ib v goniometrickém (polárním) tvru: z = + ib = z z + i z b z = z (cos ϕ + i sin ϕ), kde z = + b je bsolutní hodnot komplexního čísl z ϕ [0, π) splňující cos ϕ = z, sin ϕ = b je rgument komplexního čísl z znčí se rg z. Argument z budeme většinou udávt v obloukové míře. Zápis komplexního čísl z v goniometrickém tvru je zvlášť výhodný, chceme-li vypočítt číslo z n (n N) nebo chceme-li nlézt všechn komplexní čísl x, pro která pltí x n = z (n N). V těchto přípdech použijeme tzv. Moivreovu větu. 6

7 Vět.9. (Moivreov.) Pro z C n N pltí z n = z n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)), n ( z = n z cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ) pro k 0,,..., n. n n Je zřejmé, že všechny n-té odmocniny mjí stejnou bsolutní hodnotu n z jejich rgumenty se liší o násobek čísl kπ tedy n-té odmocniny jsou vrcholy n-úhelník vepsného n do kružnice se středem v počátku poloměrem n z. Příkld.0. Vypočtěme: Postupně spočteme 4 + i. z = + =, cos ϕ = =, sin ϕ = 4 ( 8 + i = cos π + 8kπ + i sin π + 8kπ ) 6 6, ϕ = rg z = π 4 pro k 0,,, 3.. Mtemtická logik Kždá vědní disciplín si v návznosti n živý jzyk vytváří svůj specifický jzyk speciální symboly, pojmy neužívné živým jzykem, zvláštní prvidl pro tvorbu vět. Tké mtemtik si vytváří vlstní mtemtický jzyk. K nejdůležitějším zvláštnostem význmového chrkteru ptří vytváření výroků rozlišení symbolů n konstnty proměnné. Výrokem nzýváme jkékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že je prvdivé, nebo že je neprvdivé. Negcí výroku A A nzýváme výrok definovný tkto: Výrok A je prvdivý, je-li výrok A neprvdivý, nopk. Příkld.. A : 5 3 A je neprvdivý výrok. Jeho negce je: A : 5 > 3. Jsou-li A, B výroky, potom z nich můžeme vytvářet nové výroky. Ukžme nejprve implikci A B. Jestliže z prvdivosti výroku A plyne prvdivost výroku B, můžeme říci buď výrok A implikuje výrok B, nebo z A plyne B, 7

8 nebo pltí-li A, pk pltí B, nebo B je nutná podmínk pro A, nebo A je postčující podmínk pro B. Je-li výrok A neprvdivý, pk implikci A B pokládáme z prvdivou, ť je výrok B prvdivý nebo neprvdivý. V implikci A B se A nzývá předpokld B závěr. Příkld.. Posuďte prvdivost následujících implikcí: Je-li číslo 7 dělitelné, pk je sudé. je prvdivý výrok (nepltí předpokld). Je-li číslo 6 dělitelné, pk je sudé. je prvdivý výrok. Je-li číslo 7 dělitelné, pk je liché. je prvdivý výrok (nepltí předpokld). Je-li číslo 6 dělitelné, pk je liché. je neprvdivý výrok. Dlším složeným výrokem je ekvivlence A B. Jestliže výroky A B jsou buď zároveň prvdivé, nebo zároveň neprvdivé, můžeme říci buď výrok A je ekvivlentní s výrokem B, nebo A pltí tehdy jen tehdy, pltí-li B, nebo A pltí právě tehdy, pltí-li B, nebo A je nutná postčující podmínk pro B. Npř. Celé číslo x je dělitelné dvěm tehdy jen tehdy, je-li sudé. Poznámk.3. Ekvivlence A B je prvdivá právě tehdy, když zároveň pltí následující dvě implikce A B B A. Poznámk.4. Výrok A B je ekvivlentní s výrokem B A. Dlší výroky utvořené z výroků A, B jsou konjunkce disjunkce. Konjunkcí výroků (píšeme A B nebo A&B) rozumíme výrok, který je prvdivý, právě když ob výroky A, B jsou prvdivé. Disjunkce výroků A, B (píšeme A B) je výrok prvdivý právě tehdy, pltí-li lespoň jeden z výroků A, B. Příkld.5. Číslo 5 je dělitelné 3 číslo 5 je dělitelné 5. je konjunkce. Číslo 5 je dělitelné 3 nebo číslo 5 je dělitelné 4. je disjunkce. Jestliže prvdivému výroku přiřdíme číslo neprvdivému výroku číslo 0, potom negci, implikci, ekvivlenci, konjunkci disjunkci můžeme definovt tké pomocí tbulky prvdivostních hodnot (tbulk.). Symboly,,,, nzýváme logickými spojkmi. 8

9 Tbulk.: Tbulk prvdivostních hodnot p(a) p(b) p( A) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) Tbulk.: p(a) p(b) p(a B) p( (A B)) p( B) p(a B) p(c) Příkld.6. Dokžme následující ekvivlenci (A B) (A B). Nejprve vyplníme první dv sloupce tbulky prvdivostních hodnot čtyřmi možnými kombincemi prvdivostních hodnot výrokových proměnných. V dlším kroku z pomoci tbulky prvdivostních hodnot (tbulk.) postupně určíme prvdivostní hodnoty výrokových funkcí A B, (A B), B, A B nkonec (A B) (A B) (tu budeme krátce oznčovt C). Z posledního sloupce tbulky. plyne, že pro libovolnou kombinci prvdivostních hodnot výrokových proměnných, je ekvivlence (A B) (A B) prvdivý výrok (nebo-li tutologie). V mtemtice se čsto setkáváme s výrzy, které obshují proměnné, z něž můžeme doszovt prvky z dné množiny. Tuto množinu nzýváme oborem příslušných proměnných (npř. výrz x + x s oborem proměnné x R). Jestliže po doszení libovolných prvků z oboru proměnných z tyto proměnné vznikne vždy výrok, nzýváme tkové výrzy výrokovými formmi (též výrokovými funkcemi nebo formulemi). Je-li A(x) výroková form s proměnnou x M, pk její kvntifikcí vzniknou npříkld následující výroky: x M A(x), x M A(x). Čteme pro kždý prvek x z oboru proměnných M pltí A(x), resp. v oboru proměnné M existuje prvek x tkový, že pltí A(x). Symbol je obecný nebo-li velký kvntifikátor symbol je existenční nebo-li mlý kvntifikátor. Posledním kvntifikátorem je kvntifikátor jednoznčné existence! x... (čteme existuje právě jedno x... ). Poznámk.7. Je-li A(x, x ) výroková form, pk pltí ekvivlence: ( x, x (x M, x M ) A(x, x )) 9

10 x, x (x M, x M ) A(x, x ). Příkld.8. Pro výrokovou formu s oborem proměnných, tvořeným všemi reálnými čísly, je výrok x R x + x prvdivý, protože x x + = (x ) 0. A jeho negce je následující: x R x + < x..3 Logická výstvb mtemtiky - xiómy, definice, věty důkzy Jedním z hlvních rysů soudobé mtemtiky je xiomtická logická výstvb mtemtických teorií. Jejím zákldem jsou xiómy (postuláty) výchozí mtemtické výroky, které se prohlásí z prvdivé bez dokzování. Obshují zákldní (primitivní) pojmy, které se nedefinují, le pokládjí se z zvedené (plně chrkterizovné) právě soustvou xiómů. Tto soustv musí mít tyto vlstnosti: bezespornost - ze soustvy xiómů nelze odvodit výrok zároveň negci tohoto výroku, úplnost - ze soustvy xiómů je možné odvodit prvdivost, nebo neprvdivost libovolného výroku (který není xiómem) budovné teorie, nezávislost - libovolný xióm soustvy nelze odvodit z osttních xiómů. Dlší mtemtické pojmy se zvádějí pomocí definic. Definice stnoví název zváděného pojmu vymezí chrkteristické vlstnosti nového pojmu prostřednictvím pojmů primitivních nebo dříve definovných. Své výsledky formuluje mtemtická teorie ve větách. Mtemtická vět (poučk, teorém) je prvdivý mtemtický výrok, který lze odvodit pomocí logiky n zákldě xiómů, definic dříve dokázných vět. Pro pomocné věty se používá název lemm. Většin mtemtických vět má tvr obecného výroku x M V (x) (obecná vět), nebo existenčního výroku x M V (x) (existenční vět). Pro obecnou větu ve tvru implikce x M A(x) B(x) se výroková form A(x) nzývá předpokld věty výroková form B(x) závěr nebo tvrzení věty. Protože vět předstvuje pltný (prvdivý) výrok, tedy implikce A(x) B(x) musí pltit pro kždé x M, je pltnost předpokldu A(x) postčující podmínkou pro pltnost závěru B(x) pltnost závěru B(x) nutnou podmínkou pro pltnost předpokldu A(x) pro kždé x M. 0

11 Příkld.9. Z primitivní pojmy povžujeme bod, přímk vzthy bod leží n přímce, body jsou různé. Dále vybereme tyto xiómy: Axióm : Ke kždým dvěm různým bodům P, Q existuje právě jedn přímk tk, že P, Q n ní leží. Axióm : Existuje spoň jedn přímk. Axióm 3: Kždá přímk obshuje lespoň tři různé body. Axióm 4: Všechny body neleží n téže přímce. Nyní budeme definovt pojem kolineárnosti. Dále vyslovíme dokážeme větu, že ne všechny body jsou kolineární. Definice: Tři body se nzývjí kolineární, jestliže existuje tková přímk, že n ní leží všechny tři body. Vět: Existují tři body, které neleží n téže přímce. Důkz: Podle xiómu existuje lespoň jedn přímk p, podle xiómu 3 přímk obshuje tři různé body, npř. A, B, C, podle xiómu 4 existuje bod D, který neleží n přímce p. podle xiómu existuje právě jedn přímk q, n níž leží body A, D. Přímk q je všk různá od p, tedy body A, B, D neleží n téže přímce. Mtemtické věty se dokzují, tj. ověřuje se, že předstvují prvdivé výroky, nebo-li že vět pltí. Důkzem mtemtické věty nzýváme logický proces, kterým ověřujeme její pltnost pomocí xiómů, definic dříve dokázných vět n zákldě logických zákonitostí. Rozlišujeme tyto zákldní typy důkzů: Přímý důkz implikce p q spočívá v tom, že sestvíme řetězec prvdivých implikcí p p, p p,..., p n p n, p n q, z čehož plyne pltnost dokzovné implikce. Příkld.0. Dokžme větu: Jestliže celé číslo není dělitelné 3, pk číslo je dělitelné 3 (p q). Důkz: Ze tří po sobě jdoucích celých čísel,, + je vždy právě jedno dělitelné třemi. Podle předpokldu není celé číslo dělitelné 3. Tedy buď číslo nebo + je dělitelné 3 (p p ). Pk tké číslo = ( )( + ) je dělitelné třemi (p q).

12 Nepřímý důkz implikce p q spočívá v přímém důkzu její obměny q p, která je s ní ekvivlentní (viz. poznámk.4). Příkld.. Dokžme tvrzení: n N : n je sudé n je sudé. Nepřímý důkz provedeme jko přímý důkz obměny dokzovného tvrzení: nebo-li n N : (n je sudé) (n je sudé) n N : n je liché n je liché. Dále postupujeme nlogicky jko v předchozím příkldu sestvením řetězce obecných vět ve tvru implikcí n N pltí: n je liché k N : n = k + n = 4k + 4k + n je liché. Důkz sporem výroku v vychází z předpokldu pltnosti jeho negce v. Dále sestvíme řetězec prvdivých implikcí v v, v v,..., v n v n, v n z, kde výrok z nepltí (říkáme, že jsme dospěli ke sporu), odtud vyplývá, že nepltí výrok v, tedy pltí dokzovný výrok v. Příkld.. Dokžme sporem tvrzení: n N : n je sudé n je sudé. Důkz sporem provedeme tk, že předpokládáme pltnost jeho negce. Podle příkldu.6 je negce implikce: n N : n je liché n je sudé. Z posledního tvrzení všk postupně plyne tento řetězec implikcí: n je liché k N : n = k + n = 4k + 4k + n je liché. Tento závěr je všk ve sporu s předpokldem, že n je sudé. Odtud plyne, že nepltí negce dokzovné věty, tedy pltí vět sm. Důkz mtemtickou indukcí se užívá pro obecné věty typu n N, n n 0 : V (n), kde V (n) je výroková form proměnné n N, n 0 je dné přirozené číslo (pokud větu dokzujeme pro všechn přirozená n je n 0 = ). Metod důkzu mtemtickou indukcí spočívá ve dvou krocích: Nejprve dokážeme, že vět pltí pro n = n 0, (tj. pltí V (n 0 )).

13 A potom dokážeme pro kždé přirozené číslo k n 0 : Jestliže pltí V (k), pk pltí tké V (k + ) (tj. pltí implikce V (k) V (k + )). Tomuto kroku se říká indukční krok V (k) se nzývá indukční předpokld. Příkld.3. Dokžme mtemtickou indukcí: n N : n = n(n + ). Důkz: Oznčíme-li s n = n, potom chceme indukcí dokázt, že pro všechn n(n + ) přirozená n pltí výrok V (n) : s n =.. krok pro n = rovnost pltí, neboť s = = ( + ). krok důkz pltnosti implikce V (n) V (n + ) pro n N: Předpokládejme pltnost předpokldu V (k) pro nějké k N, tedy s k = k = =. k(k + ). (.) Nyní dokážeme pltnost V (k + ) tím, že k rovnici (.) přičteme k + s k+ = s k + (k + ) = k + (k + ) k(k + ) = + (k + ) = (k + ) k + (k + )(k + ) =. Tím jsme dokázli i druhý indukční krok tedy pltnost celé věty. Poznámk.4. Existenční vět x M V (x) se dokzuje buď přímým důkzem (buď se přímo zkonstruuje objekt x nebo se existence objektu x dokáže bez jeho určení) nebo sporem. Důkzy vět o existenci jednoznčnosti (!x M V (x)) se provádíme tk, že nejprve dokážeme existenci potom obvykle sporem jednoznčnost (z předpokldu existence dvou různých x, x M, pro která pltí V (x ), V (x ), se odvodí spor)..4 Relce zobrzení Uspořádnou dvojici (, b) prvků, b M zvádíme tk, že (, b) (b, ) pro b. Uspořádná dvojice je tedy množin prvků, u níž záleží n pořdí prvků. Krtézský součin A B množin A B je množin všech uspořádných dvojic (, b) tkových, že A b B. 3

14 Příkld.5. Máme-li množiny A = {; ; 3} B = {; b; c; d}, potom krtézský součin množin A B je {(, ), (, b), (, c), (, d), (, ), (, b), (, c), (, d), (3, ), (3, b), (3, c), (3, d)}. Kždá podmnožin R krtézského součinu A B se nzývá binární relce mezi množinmi A B (v tomto pořdí). V přípdě, že (x, y) R, říkáme, že prvek x je v binární relci s prvkem y píšeme xry (tedy relce R přiřzuje prvku x prvek y). Příkld.6. Je-li A = {; ; 3} B = {; b; c; d}, potom příkldem relce mezi množinmi A B je: f = {(, ), (, b), (, d), (, )(, c), (, d), (3, b), (3, c)} A B. Relce f mezi množinmi A B, která má tu vlstnost, že uspořádné dvojice (x, y ) (x, y ) ptří do relce f, právě když y = y, se nzývá zobrzení f z množiny A do množiny B. Místo (x, y) f, píšeme y = f(x) říkáme, že zobrzení f přiřzuje prvku x prvek y. Prvek y = f(x) B nzýváme hodnotou zobrzení f v bodě x nebo obrzem prvku x v zobrzení f. Prvek x nzýváme vzorem prvku y v zobrzení f. Má-li prvek y právě jeden vzor, pk tento vzor oznčujeme f (y). Množinu všech prvků y B, k nimž lze njít lespoň jeden vzor x A tk, že (x, y) f, nzýváme oborem hodnot zobrzení f znčíme ho R(f). Množinu všech prvků x A, k nimž lze njít lespoň jeden obrz y B tk, že (x, y) f, nzýváme definičním oborem zobrzení f znčíme ho D(f). Příkld.7. Vezmeme-li opět množiny A = {; ; 3} B = {; b; c; d}, potom g definovné předpisem g = {(, b), (, c), (3, b)} je zobrzení z množiny A do množiny B. Potom D(g) = {; ; 3}, R(g) = {b; c}. Rozlišujeme následující typy zobrzení: Jestliže kždý prvek x A je prvkem některé uspořádné dvojice (x, y) f, pk se zobrzení f nzývá zobrzení množiny A do množiny B. Jestliže kždý prvek y B je prvkem některé uspořádné dvojice (x, y) f, pk se zobrzení f nzývá zobrzení z množiny A n množinu B (surjektivní zobrzení). Zobrzení množiny A do množiny B se nzývá prosté (injektivní) zobrzení množiny A do množiny B, právě když pro kždé dv různé prvky x, x A pltí f(x ) f(x ). Prosté zobrzení množiny A n množinu B se nzývá vzájemně jednoznčné (bijektivní) zobrzení mezi množinmi A B. 4

15 Je-li f prosté zobrzení množiny A do množiny B, pk prosté zobrzení f množiny R(f) B n množinu A tkové, že pro kždý prvek (x, y) f pltí (y, x) f nzýváme inverzním zobrzením k zobrzení f. Příkld.8. Vezmeme množiny A = {; ; 3; 4; 5} B = {; b; c; d} ukážeme si postupně příkldy některých zobrzení. g = {(, b), (, c), (3, b)} je zobrzení z množiny A do množiny B. g = {(, b), (, c), (3, b), (4, ), (5, c)} je zobrzení množiny A do množiny B. g = {(, b), (, c), (3, d), (4, )} je zobrzení z množiny A n množinu B. Vezmeme-li množiny C = {; ; 3; 4; 5} D = {; b; c; d; e; f}, potom g = {(, b), (, c), (3, d), (4, ), (5, f)} je prosté zobrzení množiny C do množiny D g = {(, 4), (b, ), (c, ), (d, 3), (f, 5)} je inverzní zobrzení k zobrzení g. Vezmeme-li množiny E = {; ; 3; 4; 5} F = {; b; c; d; e} potom g = {(, b), (, c), (3, d), (4, ), (5, e)} je vzájemně jednoznčné zobrzení mezi množinmi A B g = {(, 4), (b, ), (c, ), (d, 3), (e, 5)} je inverzní zobrzení k zobrzení g. Především nás bude zjímt zobrzení množiny A do množiny B, kde A R n, B R n N. V tomto přípdě hovoříme o reálné funkci n reálných proměnných nebo krátce o funkci n proměnných. V příštích kpitolách se převážně budeme věnovt studiu reálné funkce jedné reálné proměnné (tedy přípdu n = ). 5

16 Kpitol Funkce jedné proměnné. Zákldní pojmy Definice.. Říkáme, že n neprázdné množině M R je definován reálná funkce, je-li dán předpis, podle kterého je kždému x M přiřzeno právě jedno reálné číslo y. x nzýváme nezávisle proměnnou (rgumentem), y závisle proměnnou. Množinu M nzýváme definiční obor funkce. Množinu R všech čísel y, která dostneme pro všechn x M, nzýváme oborem hodnot dné funkce. Příkld.. Obsh y čtverce je funkcí délky x jeho strny, y = x. Definiční obor je intervl (0, ), neboť délk strny čtverce je vždy kldné číslo. Obor hodnot je zde rovněž intervl (0, ). Funkce zprvidl znčíme písmeny f, g,.... Funkční hodnotu y v libovolném bodě x M znčíme f(x), g(x),.... Ve smyslu předchozí kpitoly je funkce zobrzení množiny M R do množiny reálných čísel, resp. množin všech uspořádných dvojic [x, f(x)], kde x M f(x) je reálné číslo, jednoznčně přiřzené číslu x. Funkční předpis nemusí být vždy dán vzorcem pro výpočet hodnot závislé proměnné, jko tomu bylo v příkldu.. V plikcích bývá funkce čsto dán grfem nebo npříkld při provádění měření získáme dt pouze ve stnovených čsových okmžicích potom je funkce dán tbulkou nměřených hodnot. Někdy může být funkce zdán tké vzthem mezi závislou nezávislou proměnnou (implicitně), ze kterého je teprve třeb zjistit jednoznčné přiřzení funkční hodnoty y hodnotě závislé proměnné x. Příkld.3. Z funkce zdné implicitně rovnicí (x ) + (y ) = sndno vyjádříme y. Potom pro y [, ] máme funkci dnou předpisem y = f (x) = (x ) + pro y [0, ] máme funkci dnou předpisem y = f (x) = (x ) + (viz. obrázek.). Je-li funkční předpis dán nlyticky, tj. rovnicí y = f(x), pk nejprve hledáme, pro která x má tto rovnice smysl v oboru reálných čísel. Množinu těchto x pk prohlásíme z definiční obor funkce. 6

17 Příkld.4. Definiční obor funkce dné předpisem y = (x ) + je intervl [0, ], protože pro x mimo tento intervl není (x ) reálné číslo. A budeme psát D(f) = {x R : 0 x }. Definice.5. Řekneme, že funkce f se rovná funkci g, jestliže D(f) = D(g) (mjí stejný definiční obor) f(x) = g(x) pro x D(f). Někdy tké říkáme, že funkce f g jsou totožné. Definice.6. Grfem funkce y = f(x) rozumíme množinu všech tkových bodů [x, y] v rovině xy, že x D(f) y = f(x). Definice.7. Nechť funkce y = f(x) je definován v intervlu M. Říkáme, že funkce f zobrzí intervl M do intervlu M, jestliže pro kždé x M je y M. Jestliže nvíc ke kždému y M lze njít lespoň jedno x M tkové, že y = f(x). Pk říkáme, že funkce f zobrzí intervl M n intervl M. Příkld.8. Funkce y = x zobrzí intervl [, ] n intervl [0, ]. Nkreslete si grf. Definice.9. Nechť funkce z = f(x) zobrzí intervl M do intervlu M, n němž je definován funkce y = g(z). Funkce y = g(f(x)) se nzývá složená funkce (z funkcí y = g(z) z = f(x)). Příkld.0. Funkci y = sin x můžeme rozložit n funkce y = z z = sin x. Z M můžeme vzít mximální možný intervl, tedy (, ), neboť funkce z = sin x zobrzí intervl (, ) n intervl [0, ], n němž je definován funkce y = z. Obrázek.: (x ) + (y ) = 7

18 Definice.. Nechť je funkce f definován v intervlu J. Jestliže pro kždá dvě čísl x, x z intervlu J splňující nerovnost x < x, pltí nerovnost f(x ) < f(x ), říkáme, že funkce f je rostoucí v intervlu J. Jestliže nopk pro kždá dvě čísl x, x z intervlu J splňující nerovnost x < x, pltí nerovnost f(x ) > f(x ), říkáme, že funkce f je klesjící v intervlu J. Smysl této definice je jsný: u funkce rostoucí v J se hodnot funkce zvětší, zvětšíme-li x u funkce klesjící v J se hodnot funkce zmenší, zvětšíme-li x. Příkld.. Funkce y = x je klesjící v intervlu (, 0] rostoucí v intervlu [0, ). Důkz: jestliže x, x (, 0] x < x 0, potom x je v bsolutní hodnotě větší než x tedy i x > x funkce je klesjící. Jestliže x, x [0, ) 0 x < x, potom x je v bsolutní hodnotě větší než x tedy i x > x funkce je rostoucí. Viz. grf. Definice.3. Nechť je funkce f definován v intervlu J. Jestliže pro kždá dvě čísl x, x z intervlu J, splňující nerovnost x < x, pltí nerovnost f(x ) f(x ), říkáme, že funkce f je neklesjící v intervlu J. Jestliže nopk pro kždá dvě čísl x, x z intervlu J, splňující nerovnost x < x, pltí nerovnost f(x ) f(x ), říkáme, že funkce f je nerostoucí v intervlu J. Funkce rostoucí, nerostoucí, klesjící neklesjící v intervlu J zhrnujeme společným názvem funkce monotónní v J. Kždá funkce rostoucí v J je neklesjící v J, le ne nopk (obdobně kždá funkce klesjící v J je nerostoucí v J). Funkcím rostoucím klesjícím říkáme funkce ryze monotónní v J. Upozorněme, že funkce, která není v J rostoucí, nemusí být nerostoucí v J. Npříkld funkce y = x není v intervlu [, ] ni rostoucí, ni klesjící, ni nerostoucí ni neklesjící. Viz. příkld.. Definice.4. Nechť funkce y = f(x) zobrzuje intervl M do intervlu M. Potom řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro kždé dv různé prvky x, x M pltí f(x ) f(x ). Definice.5. Nechť f je prostá funkce, která zobrzuje intervl M n intervl M. To znmená, že nejen kždému x M je přiřzeno právě jedno y M, le tké kždému y M je přiřzeno právě jedno x M tkové, že y = f(x). Tím, že kždému y M je přiřzeno právě jedno x M, je n intervlu M definován funkce, kterou oznčíme x = f (y). Tto funkce se nzývá inverzní funkce k funkci f. Nopk, funkce f je inverzní k funkci f. Poznámk.6. Z definice složené funkce ihned plyne, že složením funkce z = f(x) funkce k ní inverzní y = f (z) (nebo nopk) dostneme tzv. identickou funkci y = f (z) = f (f(x)) = x. Dále se blíže podívejme n grf funkce f grf funkce f k ní inverzní. Je zřejmé, že [x, y] ptří do grfu funkce f, právě když [y, x] ptří do grfu funkce f. Tedy grfy funkcí f f jsou symetrické podle přímky y = x. Viz. npříkld situce n obrázku.. 8

19 Příkld.7. Hledejme inverzní funkci k funkci y = x. Nejprve si uvědomme, že nlézt inverzní funkci znmená nlézt předpis pro x z rovnice y = x. V tomto přípdě to jde sndno, stčí odmocnit původní předpis dostneme y = x = x. Tedy n intervlu (, 0] je k funkci y = f (x) = x inverzní funkce x = f (y) = y n intervlu [0, ) je k funkci y = f (x) = x inverzní funkce x = f (y) = y. Při popisu funkční závislosti není podsttné, jkým písmem se znčí nezávisle proměnná jkým závisle proměnná. Nicméně bývá zvykem oznčovt symbolem x nezávisle proměnnou symbolem y závisle proměnnou. Potom můžeme náš výsledek přepst následovně: n intervlu (, 0] je k funkci y = f (x) = x inverzní funkce y = f (x) = x n intervlu [0, ) je k funkci y = f (x) = x inverzní funkce y = f (x) = x. Viz. obrázek.. Pro ryze monotónní funkce pltí následující vět: Vět.8. (O existenci jednoznčnosti inverzní funkce.) Nechť funkce f je ryze monotónní (tedy buď rostoucí nebo klesjící) n intervlu I nechť zobrzuje intervl I n intervl J. Potom k funkci f existuje právě jedn inverzní funkce f zobrzující intervl J n intervl I. Nvíc je-li funkce f rostoucí, je rostoucí i funkce f je-li funkce f klesjící, je klesjící i funkce f. Důkz. Je-li funkce f ryze monotónní, nemůže pro dvě různá čísl z intervlu I nbývt stejné funkční hodnoty. Je tedy prostá existuje k ní inverzní funkce f zobrzující intervl J n intervl I. Funkce f je podle definice inverzní funkce určen jednoznčně (pokud by existovly dvě tkové funkce musely by mít stejný definiční obor n tomto definičním oboru stejné funkční hodnoty byly by tedy totožné.) Je-li funkce f rostoucí, potom pro kždá dvě čísl x, x z intervlu I splňující nerovnost x < x, pltí nerovnost f(x ) < f(x ). Nyní f(x ), f(x ) J f (f(x )) = x < x = f (f(x )). Tedy funkce f je tké rostoucí. Obdobně bychom mohli tvrzení věty dokázt i pro klesjící funkci. Definice.9. Nechť je funkce f definován v neprázdné množině M. Funkce f zobrzuje množinu M n jistou množinu N. Množin N je množin všech hodnot f(x) pro všechn x M. Je-li množin N shor omezená (tj. existuje číslo K tk, že pro všechn x M je Obrázek.: y = x, y = f (x) = x, y = f (x) = x y = x 9

20 f(x) K), říkáme, že funkce f(x) je shor omezená v množině M. Číslu sup N říkáme supremum funkce f v množině M znčíme je sup f(x). x M Definice.0. Podobně: Je-li množin N zdol omezená (tj. existuje číslo K tk, že pro všechn x M. je f(x) K), říkáme, že funkce f(x) je zdol omezená v množině M. Číslu inf N říkáme infimum funkce f v množině M znčíme je inf x M f(x). Definice.. Je-li f zdol i shor omezená v množině M, říkáme, že f je omezená (ohrničená) v M. Příkld.. Podle příkldu. je funkce f(x) = x klesjící v intervlu (, 0] rostoucí v intervlu [0, ). Potom je funkce f omezená n intervlu [, ], protože nejprve klesá z bodu (f( ) = 4) do bodu 0 (f(0) = 0) potom roste do bodu (f() = 4). Tedy n intervlu [, ] pltí nerovnost 0 x 4 funkce f je zdol omezená 0 shor omezená 4. Definice.3. Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro kždé x D(f) pltí tké x D(f) dále pro kždé x D(f) pltí f( x) = f(x). Příkld.4. Funkce f(x) = x je definován n celé reálné ose pltí f( x) = ( x) = x = f(x). Funkce f je tedy sudá. Definice.5. Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro kždé x D(f) pltí tké x D(f) dále pro kždé x D(f) pltí f( x) = f(x). Příkld.6. Funkce f(x) = x je definován n celé reálné ose pltí f( x) = ( x) = (x) = f(x). Funkce f je tedy lichá. Definice.7. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p R (p 0), jestliže pro kždé x D(f) pltí tké x±p D(f) dále pro kždé x D(f) pltí f(x±p) = f(x). 0

21 Obrázek.3: Obrázek.4: f(x) = x + b, f (x) = x b, y = x. > 0 < 0. Elementární funkce Konstntní funkce: f : y = b b R, D(f) = R, R(f) = b. Konstntní funkce je omezená, nerostoucí neklesjící, není prostá, tkže k ní neexistuje inverzní funkce. Lineární funkce: f : y = x + b, b R, D(f) = R, R(f) = R. Lineární funkce není ni shor, ni zdol omezená, pro 0 je prostá tedy k ní existuje inverzní funkce. Pro > 0 je rostoucí pro < 0 je klesjící. Kvdrtická funkce: f : y = x + bx + c, b, c R, 0, D(f) = R.

22 > 0 < 0 ) ] R(f) = [c b 4, R(f) = (, c b 4 Je zdol omezená, Je shor omezená, není shor omezená, není zdol omezená, ( klesjící v, b ] (, rostoucí v, b ], [ rostoucí v b ) [,. klesjící v b ),. Obrázek.5: f(x) = x + bx + c. > 0 < 0 Mocninná funkce s přirozeným mocnitelem: n je liché f : y = x n n N, D(f) = R. n je sudé R(f) = R R(f) = [0, ) Není zdol omezená, ni shor omezená, Je zdol omezená, není shor omezená, rostoucí v (, ), klesjící v (, 0], f : y = n x. rostoucí v [0, ). Speciálně, je-li n =, je to lineární funkce, pro n = kvdrtická funkce pro n = 3 kubická funkce.

23 Obrázek.6: f(x) = x n, f (x) = n x, y = x. n je liché n je sudé Mocninná funkce se záporným celým mocnitelem: f : y = x n n N, D(f) = R {0}. n je liché n je sudé R(f) = R {0} R(f) = (0, ) Není zdol omezená, Je zdol omezená, ni shor omezená, není shor omezená, klesjící v (, 0) (0, ), rostoucí v (, 0], f : y = n x. klesjící v [0, ). Obrázek.7: f(x) = x n, f (x) = n x, y = x. n je liché n je sudé 3

24 Exponenciální funkce o zákldu : f : y = x R, > 0,, D(f) = R, R(f) = (0, ). Je zdol omezená není shor omezená. Pro > je rostoucí tedy prostá pro 0 < < je klesjící tedy prostá. V obou přípdech tedy existuje inverzní funkce f : y = log x. Exponenciální funkce o zákldu e =, (Eulerovo číslo) se nzývá (přirozená) exponenciální funkce. Exponenciální funkce y = x y = ( x ) jsou souměrné podle osy y. N závěr ještě připomeňme, že pltí vzth x+y = x y. Obrázek.8: f(x) = x, f (x) = log x, y = x. > 0 < < Logritmus o zákldu : f : y = log x R, > 0,, D(f) = (0, ), R(f) = R. Logritmus je inverzní funkce k exponenciální funkci z vlstností inverzní funkce ihned plynou následující vlstnosti. Logritmus není zdol ni shor omezená. Pro > je rostoucí tedy prostá pro 0 < < je klesjící tedy prostá. V obou přípdech tedy existuje inverzní funkce f : y = x. Logritmus o zákldu e se nzývá (přirozený) logritmus místo log e x píšeme ln x. 4

25 Vět.8. (Vlstnosti logritmů.) Nechť je, b, r, x, y R, > 0,, b > 0, b, x > 0 y > 0. Potom pltí: log =, log = 0, log x = x, log (x y) = log x + log y, log x y = log x log y, log x r = r log x, log b x = log x log b. Funkce sinus kosinus: Úhly budeme uvádět v obloukové míře. Potom pro libovolné reálné x je cos x sin x definováno jko první, respektive druhá souřdnice průsečíku jednotkové kružnice se středem v počátku koncovým rmenem orientovného úhlu o velikosti x, jehož počátečním rmenem je kldná část osy x. Tedy pro kždé reálné číslo x je přiřzeno právě jedno reálné číslo sin x právě jedno reálné číslo cos x (viz. obrázek.9). Obrázek.9: Z definice funkcí sinus kosinus plyne, že obě funkce mjí stejný definiční obor D(f) = (, ) obor hodnot R(f) = [, ]. Ještě připomeňme, že funkce sinus je rostoucí n intervlech [ π + kπ, π ] [ π + kπ, klesjící n intervlech + kπ, 3π ] + kπ funkce kosinus je rostoucí n intervlech [ π + kπ, kπ], klesjící n intervlech [kπ, π + kπ], kde k Z. Nejdůležitější vzthy mezi goniometrickými funkcemi shrneme do následující věty: Vět.9. Vlstnosti funkcí sinus kosinus. Pro všechn reálná čísl x, y pltí: sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, sin x + cos x =, sin(x + kπ) = sin x, cos(x + kπ) = cos x, ( sin x + π ) = cos x, sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin y sin x, sin x + sin y = sin x + y cos x y, cos x + cos y = cos x + y cos x y, cos x cos y = sin x + y 5 sin x y.

26 Obrázek.0: sin x, cos x. Dlší vzorce, npříkld pro sinus kosinus dvojnásobného polovičního úhlu, z nich můžeme sndno odvodit. Funkce tngens kotngens: tg x := sin x cos x D(f) = R k Z { (k + )π }, R(f) = (, ). cotg x := cos x sin x D(f) = R k Z {kπ}, R(f) = (, ). Obě funkce jsou liché, periodické s periodou π nejsou ni shor ni zdol omezené. Funkce tg x je rostoucí (n intervlech ( π + kπ, π + kπ) ) funkce cotg x je klesjící (n intervlech (kπ, π + kπ)). Obrázek.: tg x, cotg x. Cyklometrické funkce: Budeme-li chtít nlézt inverzní funkce ke goniometrickým funkcím, nrzíme n problém, že tyto funkce jsou periodické tedy nejsou n celém definičním oboru prosté. Nicméně pokud se omezíme n vhodný intervl, kde jsou tyto funkce ryze monotónní, potom podle[ věty.8 příslušná inverzní funkce existuje. Inverzní funkci k funkci sin x n intervlu π, π ] oznčme symbolem rcsin x (čteme ( rkus sinus)). Inverzní funkci k funkci cos x n [ intervlu [0, π] oznčme symbolem rccos x. Inverzní funkci k funkci tg x n intervlu π, π ] oznčme symbolem rctg x. A konečně inverzní funkci k funkci cotg x n intervlu [0, π] oznčme symbolem rccotg x. 6

27 Obrázek.: sin x, rcsin x, cos x, rccos x. Obrázek.3: tg x, rctg x, cotg x, rccotg x. [ 5π Příkld.30. Spočtěme inverzní funkci k funkci f(x) = sin x n intervlu, 7π ]. Funkce sin je n tomto intervlu klesjící tedy prostá, tkže příslušná inverzní funkce existuje. Abychom mohli využít[ funkci rcsin x potřebujeme nejprve zdný intervl trnsformovt n zákldní intervl π, π ]. Pouhé posunutí nestčí, protože n zdném intervlu je funkce sin x klesjící ztímco n zákldním intervlu je rostoucí - je tedy třeb převést počáteční bod zdného intervlu n koncový bod zákldního intervlu nopk koncový bod zdného intervlu n počáteční bod zákldního intervlu. Tímto způsobem se klesjící funkce změní n rostoucí. Dostneme tedy soustvu rovnic: + 7π b = π + 5π b = π. [ 5π Řešením je b =, = 3π. Nyní funkce z = (3π x) zobrzuje intervl, 7π ] n [ intervl π, π ] tedy n rovnici y = sin z můžeme plikovt inverzní funkci dostneme rcsin y = z, po doszení rcsin y = 3π x 7

28 nebo-li x = 3π rcsin y. Tedy f (x) = 3π rcsin x (viz. obrázek). [ 5π Obrázek.4: f(x) = sin x n int., 7π ], f (x) = 3π rcsin x. Signum: pro x > 0, f : y = sgn x = pro x < 0, 0 pro x = 0. D(f) = R, R(f) = {, 0, }. Funkce signum je lichá shor i zdol omezená. Obrázek.5: sgn x. Absolutní hodnot: f : y = x = { x pro x 0, x pro x < 0. D(f) = R, R(f) = (0, ). Funkce bsolutní hodnot je sudá, zdol omezená shor neomezená. Celá část: f : y = [x] D(f) = R, R(f) = Z. [x] definujeme jko největší celé číslo n tkové, že n x (viz. obrázek). Funkce celá část není ni shor ni zdol omezená. Dlší funkce můžeme získt sčítáním, odčítáním, násobením, dělením skládáním elementárních funkcí. 8

29 Obrázek.6: x. Obrázek.7: [x]. 9

30 .3 Rovinné křivky Rovinnou křivkou budeme rozumět množinu bodů v rovině nebo-li relci mezi souřdnicemi. Rovinné křivky obvykle zdáváme explicitně - tedy pomocí grfu nějké funkce y = f(x). To se týká npříkld všech probrných elementárních funkcí. implicitně - tedy zdné pomocí rovnice F (x, y) = 0, kde F je funkce dvou proměnných. Křivk je pk množinou bodů, které splňují rovnici F (x, y) = 0. Kždou křivku zdnou explicitně můžeme vyjádřit též implicitně rovnicí f(x) y = 0. Otázk ohledně vyjádření implicitně zdné křivky explicitně je podsttně složitější budeme se jí věnovt později. Viz. příkld.3. prmetrickými rovnicemi x = p(t), y = q(t), kde p, q jsou funkce reálné proměnné se společným definičním oborem M. Proměnnou t nzýváme prmetr křivk je tvořen všemi uspořádnými dvojicemi [p(t), q(t)], t M. V přípdě, že n definičním oboru M existuje k funkci p inverzní funkce, potom lze zdnou křivku vyjádřit explicitně, pltí totiž t = p (x) y = q(t) = q(p (x)). vzthem mezi polárními souřdnicemi - polohu kždého bodu B v rovině můžeme popst buď pomocí krtézských souřdnic [x, y] nebo pomocí jeho vzdálenosti od počátku souřdnic úhlem, o který musíme pootočit kldnou část osy x (ve směru kldné části osy y) tk, by splynul s polopřímkou vycházející z počátku procházející bodem B. Úhel ϕ vzdálenost r nzýváme polárními souřdnicemi. Vzth mezi polárními souřdnicemi bývá nejčstěji vyjádřen rovnicí ve tvru r = f(ϕ), kde f je funkce reálné proměnné. Křivk je pk tvořen body, jejichž polární souřdnice jsou (ϕ, f(ϕ)) (úhel,vzdálenost). Z definice funkcí sinus kosinus je zřejmé (viz. obrázek.9), že mezi krtézskými polárními souřdnicemi pltí vzth x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (.) (Npříkld pokud je poloměr konstntní pro libovolný úhel - tedy r = c, kde c R, c > 0, potom dostneme popis kružnice.) Křivku, kterou máme popsánu vzthem mezi polárními souřdnicemi r = f(ϕ), můžeme sndno zpst prmetrickými rovnicemi. Dosdíme-li totiž z rovnice r = f(ϕ) do trnsformčních rovnic (.), dostneme prmetrické rovnice křivky: x = f(ϕ) cos ϕ, y = f(ϕ) sin ϕ. 30

31 Příkld.3. Nechť R, > 0, potom lemniskátu můžeme popst implicitně pomocí rovnice (x + y ) = (x y ). Trnsformcí do polárních souřdnic dostneme (r cos ϕ + r sin ϕ) = (r cos ϕ r sin ϕ). Tedy r 4 = r cos(ϕ) vydělíme-li tuto rovnici r dostneme tento vzth mezi polárními souřdnicemi r = cos(ϕ). Obrázek.8: Lemniskát. Příkld.3. Nechť, b R, > 0, b > 0, b, potom elipsu můžeme popst implicitně pomocí rovnice x + y = (je-li = b dostneme kružnici). b Obrázek.9: Elips. Příkld.33. Archimedovu spirálu můžeme popst vzthem mezi polárními souřdnicemi rovnicí r = ϕ, R, > 0, ϕ > 0. Dosdíme-li nyní rovnici r = ϕ do trnsformčních rovnic (.), dostneme prmetrické rovnice Archimedovy spirály: x = ϕ cos ϕ, y = ϕ sin ϕ. Příkld.34. Logistiku můžeme popst vzthem mezi polárními souřdnicemi rovnicí r = b cϕ,, b, c R, > 0, b > 0, ϕ 0. 3

32 Obrázek.0: Archimedov spirál. Obrázek.: Logistik. Obrázek.: V polárních souřdnicích: r = sin(4ϕ). 3

33 Kpitol 3 Limit posloupnosti 3. Zákldní pojmy Touto kpitolou zčínáme studium mtemtické nlýzy. Postupně probereme limitu posloupnosti, spojitost, limitu funkce derivci tyto pojmy ( jejich vlstnosti) později využijeme při vyšetřování průběhu funkce. Mtemtická nlýz je zložen n pojmu limity, proto studium nlýzy zčneme právě tímto pojmem. Nejprve zvedeme zákldní pojmy. Definice 3.. Posloupnost (reálných čísel) je zobrzení z množiny N všech přirozených čísel do R. Posloupnost, která kždému n N přiřzuje číslo n R, budeme zpisovt,,..., n,... nebo stručně { n } n=. Číslo n budeme nzývt n-tým členem této posloupnosti Poznmenejme, že není nutné, by indexy členů posloupnosti tvořily posloupnost,, 3,.... Definice 3.. Posloupnost { n } n= nzýváme: rostoucí, jestliže n N : n < n+, klesjící, jestliže n N : n > n+, neklesjící, jestliže n N : n n+, nerostoucí, jestliže n N : n n+. Všechny tyto přípdy shrnujeme pod jediný název: monotónní posloupnost. V přípdech, kdy je posloupnost rostoucí nebo klesjící, tk říkáme, že { n } n= je ryze monotónní. Příkld 3.3. Uveďme několik příkldů posloupností: {n} n= = {,, 3, 4, 5,...} je rostoucí. { } { = n,, 3, 4, } 5,... je klesjící. n= 33

34 { n } n= = {, 4, 8, 6, 3,...} je rostoucí. {p n : p n = n-té prvočíslo} n= = {, 3, 5, 7,,...} je rostoucí. {} n= = {,,,,,...} je neklesjící i nerostoucí. {( ) n } n= = {,,,,,...} není monotónní. =, n+ = + n = {,, 5, 6, 677,... } je rostoucí. Definice 3.4. Nechť je dán posloupnost { n } n= rostoucí posloupnost přirozených čísel {k n } n=. Potom posloupnost { kn } n= nzýváme vybrnou posloupností z posloupnosti { n } n=. Vybrnou posloupnost tedy získáme tk, že z původní posloupnosti vyškrtáme konečně nebo nekonečně mnoho členů tk, by jich ještě nekonečně mnoho zůstlo. Příkld 3.5. Pokud z posloupnosti {( ) n } n= vybereme pouze sudé členy, dostneme vybrnou posloupnost:,,,,,... nebo-li {( ) n } n= = {} n=. Definice 3.6. O posloupnosti { n } n= řekneme, že má (vlstní) limitu R, jestliže pro ε > 0 (ε R) n 0 N tk, že n > n 0 pltí n < ε. Jestliže posloupnost { n } n= má limitu, říkáme tké, že posloupnost konverguje píšeme, lim n n =. 34

35 { } Příkld 3.7. Hledejme limitu posloupnosti. Vidíme, že s rostoucím n se členy n n= posloupnosti blíží k nule. Zkusme tedy podle definice limity dokázt, že limit této posloupnosti je nul. Vezmeme libovolné ε > 0. Potom n = n 0 = můžeme tedy n volit = ε, nebo-li n 0 = n 0 ε. Potom pro n > n 0 je n > ε, nebo-li < ε. A protože ε bylo n libovolné, je lim n n = Věty o limitách Definice limity nás vede k domněnce, že dvě různá čísl nemohou být zároveň limitmi stejné posloupnosti. Jk uvidíme v následující větě, tto domněnk je správná. Vět 3.8. (O jednoznčnosti limity posloupnosti.) Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkz. Dokážeme sporem. Nechť posloupnost { n } n= má dvě různé limity < b,, b R. Zvolme ε = (b ). A protože číslo je limitou posloupnosti { n} n= n N tk, že n n pltí n < ε. (3.) Zároveň i číslo b je limitou posloupnosti { n } n= - tedy podle definice limity n N tk, že n n pltí n b < ε. (3.) Zvolme dále n 0 = mx{n, n }, potom pltí (3.) i (3.), tkže b ε < n < + ε b ε < + ε, tkže b < ε, což je spor s předpokldem ε = (b ). Lemm 3.9. Jsou-li všechny členy posloupnosti { n } n= od jistého indexu n rovny témuž číslu (tj. je-li n = pro všechn n n ), je lim n n =. Lemm 3.0. Jestliže posloupnost { n } n= má limitu R, potom kždá vybrná posloupnost má limitu. Důkzy předchozích dvou lemmt jsou jednoduché proto je ponecháme jko cvičení. 35

36 Poznámk 3.. Hledejme limitu posloupnosti: {( ) n } n=. Pokud vybereme sudé členy této posloupnosti, dostneme vybrnou posloupnost:,,,,,.... Tkto vybrná posloupnost je konvergentní její limit je. Pokud vybereme liché členy z původní posloupnosti, dostneme vybrnou posloupnost:,,,,,.... Tkto vybrná posloupnost je opět konvergentní její limit je. Máme tedy dvě vybrné posloupnosti s různými limitmi z negce předchozího lemmtu plyne, že zdná posloupnost nemá limitu. Chceme-li dokázt, že posloupnost nemá limitu, stčí njít dvě vybrné posloupnosti, které mjí různé limity! Jestliže posloupnost { n } n= nemá vlstní limitu, říkáme, že je divergentní. Definice 3.. Posloupnost { n } n= se nzývá omezená (ohrničená), resp. shor omezená (ohrničená), resp. zdol omezená (ohrničená), jestliže množin jejích členů A = { n R : n N} R je omezená, resp. shor omezená, resp. zdol omezená. Vět 3.3. (O omezenosti konvergentní posloupnosti.) Kždá konvergentní posloupnost je omezená. Důkz. Podle definice limity existuje k číslu ε = přirozené číslo n 0 tk, že pro n > n 0 je n <. Položme K = mx{,,..., n0, + }, k = min{,,..., n0, }. Je-li n > n 0, je < n < + tedy k < n < K. Je-li n n 0, je zřejmě rovněž k < n < K. Zde je třeb upozornit, že omezená posloupnost nemusí být konvergentní (viz. poznámk 3.). Vět 3.4. (O ritmetice limit posloupností.) Je-li potom pltí: lim n =, n lim b n = b, n lim ( n + b n ) = + b, n lim ( n b n ) = b, n lim ( n b n ) = b. n Je-li nvíc b 0, potom pltí n lim = n b n b. Důkz.. Máme dokázt, že posloupnost, jejíž n-tý člen je n + b n, má limitu + b. Pltí ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. (3.3) Podle definice limity k číslu ε > 0 existují n, n N tk, že pro n > n je n < ε, (3.4) 36

37 pro n > n je b n b < ε. (3.5) Zvolíme-li n 0 = mx{n, n }, pltí zároveň rovnice (3.3), (3.4), (3.5) tedy ( n + b n ) ( + b) n + b n b < ε + ε = ε. Protože ε bylo libovolné, dokázli jsme, že pltí lim n ( n + b n ) = + b. 3. Dále máme dokázt, že posloupnost, jejíž n-tý člen je n b n, má limitu b. Pltí n b n b = n b n b n + b n b = b n ( n ) + (b n b), n b n b b n ( n ) + (b n b) = b n n + b n b. (3.6) Podle věty o omezenosti konvergentní posloupnosti k > 0 tk, že b n < k. Zvolme K = mx{k, }, potom podle definice limity k číslu ε K > 0 existují přirozená čísl n n tk, že je n < ε K pro n > n, b n b < ε K pro n > n. (3.7) Zvolíme-li n 0 = mx{n, n }, pltí zároveň rovnice (3.6), (3.7) tedy n b n b b n n + b n b < K n + K b n b < K ε K + K ε K = ε. Protože ε bylo libovolné, dokázli jsme, že pltí lim ( n b n ) = b. n. Je-li speciálně c n = pro všechn n N, potom podle dříve dokázného tvrzení o limitě součinu máme lim (c n b n ) = lim ( b n ) = b. A podle dříve dokázného tvrzení o n n limitě součtu dostneme lim ( n b n ) = lim ( n + ( b n )) = lim n + lim ( b n ) = b. n n n n 4. Je-li b 0, dokážeme nejprve, že pltí lim = n b n b. Podle definice limity k číslu b > 0 existuje n N tk, že pro n > n je Potom pro n > n pltí: b n b < b. b n = b (b b n ) b b b n > b b = b, b n b = b b n b n b = b b n b b n b n b b b = b b n. (3.8) b 37

38 Dále podle definice limity k číslu b ε > 0 n N tk, že pro n > n je b n b < b ε. (3.9) Zvolíme-li n 0 = mx{n, n }, pltí zároveň rovnice (3.8), (3.9) tedy b n b < b ε b = ε. Protože ε bylo libovolné, dokázli jsme, že lim tvrzení o limitě součinu: n n lim = lim n = lim n lim = n b n n b n n n b n b. =. Nkonec použijeme dříve dokázné b n b n + 3 Příkld 3.5. Spočítejme lim n n n + 3. Čittel ni jmenovtel nejsou shor omezené tedy nekonvergují. Rozšiřme proto zlomek výrzem n : n + 3 n n + 3 = + 3 n n + 3 n. Postupně spočteme lim = lim = podle lemmtu 3.9. Podle příkldu 3.7 je n n lim = 0 dále podle věty o ritmetice limit obdržíme: n n lim n lim n lim n ( + 3 n ) ( n + 3 n ) n = lim n n lim n n = 0 0 = 0, = lim n + lim 3 n n = + 0 =, = lim lim n n n + 3 lim n n = =. Všechny limity tedy existují limit jmenovtele je různá od nuly, proto pltí ( ) n + 3 lim n n n 3 = lim + 3 lim n n + 3 n 3 = ( n n n lim n + 3 ) n n = lim n + 3 lim n n lim n lim n n + 3 lim n n = =. 38

39 Lemm 3.6. Nechť existuje lim n n =, potom existuje i lim n n =. Lemm 3.7. Rovnice lim n n = 0 pltí právě tehdy, pltí-li lim n n = 0. Lemm 3.8. Nechť lim n n = 0 nechť existuje číslo n N tk, že pro n > n je b n n. Potom je též lim n b n = 0. Důkzy předchozích tří lemmt jsou jednoduché, tkže je ponecháme jko cvičení. Příkld 3.9. Dokžme, že pro < pltí lim n n = 0.. Pro = 0 je n = 0 (pro n > 0) tedy lim n 0 = 0.. Je-li 0 < <, potom číslo můžeme psát ve tvru =, kde h je kldné + h reálné číslo. Potom pro n > 0 (n N) pltí ( ) n n = = + h ( + h) = n + nh + ( ) n h ( ) n < n h n nh lim n nh = h lim n n = 0. Vzhledem k tomu, že 0 < <, pltí n < nh podle lemmtu 3.8 je lim n = 0. n 3. Je-li < < 0 tedy 0 < <. Podle přípdu je lim n = lim n = 0 n n následně podle lemmtu 3.7 je lim n = 0. n Vět 3.0. (O limitě sevřené posloupnosti.) Nechť pro posloupnosti { n } n=, {b n } n=, {c n } n= pltí: lim n = lim c n =, R. Dále předpokládejme, že existuje číslo n tk, n n že pro kždé n > n, n N je n b n c n. Potom pltí, že lim b n =. n Důkz. Nechť ε > 0. Potom podle definice limity existují čísl n, n 3 tk, že ε < n < + ε pro n > n, ε < c n < + ε pro n > n 3. Položíme-li n 0 = mx{n, n, n 3 }, potom pro všechn n > n 0 pltí: ε < n b n c n < + ε nebo-li b n < ε tedy lim n b n =, protože ε bylo libovolné. 39

40 Příkld 3.. Dokžme, že pro x > 0 pltí lim n x =. n. Pro x = je n x = (pro n > 0) tedy lim =. n. Je-li x >, potom číslo n x můžeme psát ve tvru n x = + h n, kde h n je kldné reálné číslo. Potom pro n > 0 (n N) pltí tedy 0 < h n < x n lim x n x = ( + h n ) n = + nh n + n = x lim n lim h n = 0, tedy lim n x = lim ( + h n ) =. n n n 3. Je-li 0 < x <, položme y = x n ( ) n h n ( ) n h n n > nh n n = 0. Potom podle věty o limitě sevřené funkce je tedy y >. Potom n x n y = n xy = n x n = n = nebo-li n x =. x y n Podle přípdu podle věty o ritmetice limit obdržíme: lim n n x = lim n n = lim n y lim n n y = =. Vět 3.. Nechť existují lim n =, lim b n = b, (, b R) nechť existuje číslo n n n tk, že pro kždé n > n, n N je n b n. Potom je b. Důkz. Větu dokážeme sporem. Nechť nopk > b. Zvolme ε = b, tedy ε > 0 ε + b = ε. Podle definice limity existují čísl n, n 3 tk, že ε < n < + ε pro n > n, b ε < b n < b + ε pro n > n 3. Položíme-li n 0 = mx{n, n, n 3 }, potom pro všechn n > n 0 pltí: b n < ε + b = ε < n, to je ve sporu s předpokldem, že pro všechn n > n je n b n. Poznámk 3.3. Existují-li lim n n =, lim n b n = b, (, b R) pro všechn n > n je n < b n. Potom je podle předchozí věty b. Nemusí všk pltit < b. Npříkld n < n, le lim n n = lim = 0. Nerovnost tedy může v limitě přejít v rovnost! n n 40

41 3.3 Monotónní posloupnosti Všimněme si vlstností některých divergentních posloupností - npříkld { n } n= = {, 4, 8, 6, 3, 64, 8,...}. Vidíme, že členy této posloupnosti s rostoucím indexem n rostou nd kždou mez. To nás přivádí k následujícím dvěm definicím. Definice 3.4. Nechť ke kždému číslu A existuje n 0 tk, že pro kždé n > n 0 (n, n 0 N) je n > A. Potom říkáme, že posloupnost { n } n= má nevlstní limitu píšeme lim n n =. Definice 3.5. Nechť ke kždému číslu A existuje n 0 tk, že pro kždé n > n 0 (n, n 0 N) je A > n. Potom říkáme, že posloupnost { n } n= má nevlstní limitu píšeme lim n =. n Poznámk 3.6. Většin dříve dokázných vět týkjících se vlstních limit lze rozšířit i n nevlstní limity. Bez omezení lze pro nevlstní limity vyslovit větu o jednoznčnosti limity, lemm 3.0 (o limitě vybrné posloupnosti) větu o limitě sevřené posloupnosti. Pouze v přípdě věty o ritmetice limit je třeb doplnit předpokld pokud prvá strn existuje, bychom se vyvrovli přípdů, kdy některá operce s nekonečny není definován. Poznámk 3.7. Máme-li zdánu posloupnost { n } n=, potom může nstt právě jeden z následujících přípdů: (viz. předchozí poznámk) existuje vlstní limit, existuje nevlstní limit, existuje nevlstní limit, neexistuje ni vlstní ni nevlstní limit. Příkld 3.8. Spočtěme ještě lim n pro. n. Je-li =, je lim n = lim =. n n. Je-li >, můžeme číslo psát ve tvru = + h, kde h > 0. Potom ( ) ( ) n n n = ( + h) n = + nh + h h n > nh. n Je-li A libovolné reálné číslo zvolíme-li n 0 = A h obdržíme pro n > n 0 4

42 n > nh > n 0 h = A h h = A. Připomeneme-li si definici nevlstní limity, zjistíme, že lim n =. n 3. Je-li <, vezmeme dvě vybrné posloupnosti. První bude obshovt sudé členy tto posloupnost je zároveň vybrnou posloupností z předchozího přípdu tedy lim n = n. Druhá vybrná posloupnost bude obshovt liché členy tedy lim n+ = lim n = n n =, protože je záporné. Máme tedy dvě vybrné posloupnosti s různými limitmi proto podle lemmtu 3.0 limit neexistuje. 4. Stejnou rgumentci jko v předchozím přípdu můžeme použít i pro =. Tedy ni v tomto přípdě limit neexistuje. Shrneme-li i výsledky z příkldu 3.9 máme: pro neexistuje ni vlstní ni nevlstní limit. lim n n = 0 pro < <, lim n n = pro =, lim n n = pro >. N závěr této kpitoly dokážeme několik důležitých vět pro monotónní posloupnosti. Vět 3.9. Nechť { n } n= je neklesjící posloupnost. Není-li shor omezená, je lim n n =. Je-li shor omezená, má vlstní limitu lim n = sup n. n Důkz. Není-li posloupnost { n } n= shor omezená, existuje ke kždému A přirozené číslo n 0 tk, že n0 > A. Protože je posloupnost neklesjící, pltí pro n > n 0 nerovnost n n0 > A, což odpovídá definici nevlstní limity. Tedy lim n =. n Je-li shor omezená, oznčme S = sup { n ; n N}. Potom S n pro všechn n je-li ε > 0, existuje v posloupnosti lespoň jeden člen větší než S ε, to znmená, že existuje přirozené číslo n 0 tk, že n0 > S ε. Vzhledem k tomu, že posloupnost je neklesjící, pro všechn přirozená n > n 0 pltí n n0 tedy S ε < n S < S +ε nebo-li n S < ε, což odpovídá definici limity. Tedy lim n = sup n. n n N Vět Nechť { n } n= je nerostoucí posloupnost. Není-li zdol omezená, je lim n n =. Je-li zdol omezená, má vlstní limitu n N lim n = inf n. n n N 4

43 Důkz této věty je obdobný důkzu věty 3.9, tkže ho ponecháme jko cvičení. Výsledky vět shrneme do následující věty. Vět 3.3. (O existenci limity monotónní posloupnosti.) Monotónní posloupnost je konvergentní tehdy jen tehdy, je-li omezená. Příkld 3.3. Podle příkldu.6 je sup N =. Dále je posloupnost {n} n= neklesjící tedy podle věty 3.9 dostneme lim n = sup N =. n Příkld Z věty o ritmetice limit z předchozího příkldu obdržíme: lim n n = lim n lim n n lim n n =. Nkonec podle prvidel o počítání s nekonečny dostneme lim n n = =. 3.4 Zvedení Eulerov čísl Budeme vyšetřovt lim n ( + n) n. Dokážeme-li, že {( + ) n } n n= je rostoucí omezená posloupnost, budeme moci využít větu o existenci limity monotónní posloupnosti, ze které plyne existence příslušné limity. {( Lemm Posloupnost + ) n } je rostoucí. n n= ( Důkz. Oznčíme-li n = + n) n, dostneme užitím binomického rozvoje: ( n = + n) n ( ) ( ) ( ) n n n = + n + n n = + + ( ) + ( ) ( ) +...! n 3! n n + ( ) ( ) ( n ) n! n n n n n (3.0) 43

44 podobně ( n+ = + ) n+ ( ) ( ) n + n + = + n + n n + (n + ) (n+) = + + ( ) + ( ) ( ) +...! n + 3! n + n + + ( ) ( ) ( n ). (3.) (n + )! n + n + n + Nyní pro k =,,..., n pltí nerovnost k n < k. Potom porovnáním n + činitelů u čísel ve výrzech (3.0) (3.) pro i =, 3,..., n zjistíme, že kždý součin i! ve výrzu (3.) je vždy větší než příslušný součin ve výrzu (3.0). Dále výrz (3.) obshuje nvíc poslední člen, který je kldný. Proto pltí n < n+ pro všechn přirozená n. {( Lemm Posloupnost + ) n } je omezená. n n= Důkz. Posloupnost je rostoucí, stčí tedy ukázt, že je shor omezená. Nhrdíme-li ve výrzu (3.0) všechn čísl ve tvru k jedničkou pro k =,,..., n, zvětšíme tím n celý výrz. Dále pro i =, 3,..., n je i! = i < } {{ } (i )-krát = i. Využijeme-li vzth (3.0) obě dříve zmíněné úprvy, dostneme n = + + ( ) + ( ) ( ) +...! n 3! n n + ( ) ( ) ( n ) n! n n n < + +! + 3! n! < n N prvé strně poslední nerovnosti je geometrická řd s kvocientem q = + q + q q n = qn. Celkem tedy máme q n < n = + ( )n posloupnost je tedy shor omezená. ( = + ( ) n ) < 3 víme, že 44

45 {( Dokázli jsme, že posloupnost + ) n } je rostoucí (lemm 3.34) omezená n n= (lemm 3.35) tedy z věty o existenci limity monotónní posloupnosti plyne následující vět: {( Vět Posloupnost + ) n } má limitu. n n= {( Vzhledem k tomu, že limit posloupnosti + ) n } existuje, můžeme definovt: n n= ( Definice Předpis e := lim + n definuje tzv. Eulerovo číslo. n n) 45

46 Kpitol 4 Spojitost limit funkce 4. Spojitost Ze střední školy možná znáte následující geometrickou definici spojitosti funkce v bodě. Spojitost funkce f v bodě R, v jehož okolí je funkce f definován, znmená, že její grf je pro hodnotu rgumentu x = nepřetržený, tj. můžeme ho nkreslit jednou črou, niž bychom museli přerušit kreslení pokrčovt n jiném místě. Npříkld lineární funkce je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru (tj. pro x R, viz. příkld 4.4), ztímco funkce celá část je spojitá v kždém neceločíselném bodě (tj. je spojitá pro x R zároveň x / Z). Tuto neurčitou předstvu musíme nhrdit přesně definovným pojmem, bychom mohli odvodit dokázt obecné věty o spojitých funkcích. To nám mimo jiné umožní sndno poznt, zd-li je funkce spojitá nebo není. Spojitostí v bodě x = c bude znment, že vyjdeme-li z bodu c změníme-li málo hodnotu x, změní se málo i hodnot f(x) (nebude se tedy příliš lišit od hodnoty f(c)). Tuto intuitivní definici nyní nhrdíme definicí rigorózní. Definice 4.. O funkci f řekneme, že je spojitá v bodě c, jestliže ke kždému kldnému číslu ε existuje kldné číslo δ tk, že je splněn pro všechny hodnoty x, pro něž je f(x) f(c) < ε (4.) x c < δ. (4.) Příkld 4.. Zvolíme-li ε > 0 chceme njít příslušné δ > 0 z definice spojitosti. Nejprve njdu čísl, b tk, by pro x (, b) pltil nerovnost f(c) ε < f(x) < f(c) + ε. Potom stčí zvolit δ = min{c, b c} protože (c δ, c + δ) (, b), pltí i nerovnost (4.). Viz. obrázek 4.. Poznámk 4.3. Pokud je funkce f spojitá v bodě c, potom podle definice spojitosti můžeme zvolit kldné ε njít k němu příslušné δ. Pk pro všechn x z intervlu (c δ, c + δ) pltí 46

47 Obrázek 4.: Zobrzená funkce není spojitá v bodě c, protože jsme nlezli ε > 0, k němuž neexistuje δ > 0 tk, by nerovnost f(x) f(c) < ε byl splněn pro x (c δ, c + δ). Obrázek 4.: nerovnost (4.). Aby tto nerovnost pltil musí mít symbol f(x) smysl pro všechn x z intervlu (c δ, c + δ)! Tkže je-li funkce f spojitá v bodě c, je jistě definován v jistém otevřeném intervlu, obshujícím bod c. Příkld 4.4. Funkce f(x) = x je spojitá pro všechn x R. Důkz: Nechť c je libovolné číslo. Máme dokázt, že ke kždému kldnému číslu ε existuje kldné číslo δ tk, že nerovnost x c < ε je splněn pro všechny hodnoty x, pro něž je x c < δ. Vidíme, že v tomto přípdě stčí zvolit δ = ε. Tím jsme dokázli, že lineární funkce je spojitá pro všechn x R. V tomto přípdě nebyl důkz příliš obtížný, nicméně v obecném přípdě je třeb složitě hledt příslušné δ v závislosti n ε. Proto uvedeme několik jednoduchých obecných vět, které nám vyšetřování spojitosti velmi usndní. 47

48 Vět 4.5. (O spojitosti bsolutní hodnoty, součtu, rozdílu, součinu podílu.) Předpokládejme, že funkce f, g jsou spojité v bodě c. Potom tké funkce f, f + g, f g, fg jsou spojité v bodě c. Je-li nvíc g(c) 0, pk je v bodě c spojitá i funkce f g. Důkz. Důkz provedeme pouze pro spojitost bsolutní hodnoty, součtu rozdílu, protože důkz této věty je tkřk totožný s důkzem věty o ritmetice limit posloupností.. Nechť ε > 0, potom z definice spojitosti existuje δ > 0 tk, že pltí f(x) f(c) < ε, je-li x c < δ. Vzhledem k tomu, že pltí nerovnost f(x) f(c) < f(x) f(c), kombincí předchozích dvou nerovností dostneme f(x) f(c) < ε, je-li x c < δ. Tto nerovnost podle definice spojitosti znmená, že bsolutní hodnot funkce spojité v bodě c, je tké spojitá funkce v bodě c.., 3. Nechť ε > 0, potom z definice spojitosti existují δ, δ > 0 tk, že pltí f(x) f(c) < ε, je-li x c < δ, (4.3) g(x) g(c) < ε, je-li x c < δ. (4.4) Položíme-li δ = min(δ, δ ), pltí zároveň (4.3) (4.4). Potom pro x splňující nerovnost x c < δ pltí f(x) + g(x) (f(c) + g(c)) f(x) f(c) + g(x) g(c) < ε + ε = ε, f(x) g(x) (f(c) g(c)) = f(x) f(c) + (g(c) g(x)) f(x) f(c) + g(c) g(x) < ε + ε = ε. První nerovnost podle definice spojitosti znmená, že součet dvou funkcí spojitých v bodě c, je tké spojitá funkce v bodě c. Druhá nerovnost podle definice spojitosti znmená, že rozdíl dvou funkcí spojitých v bodě c, je tké spojitá funkce v bodě c. Příkld 4.6. Nechť k, l Z, k 0, l 0; i, b j R pro všechn i, j Z, 0 i k, 0 j k, k 0 b l 0. Potom je rcionální lomená funkce f(x) = k x k + k x k spojitá v kždém bodě, v němž je jmenovtel různý od b l x l + b l x l b 0 nuly. Důkz: Nejprve dokážeme, že konstnt je spojitá funkce v kždém bodě. Pro všechn x R libovolné ε > 0 totiž pltí nerovnost f(x) f(c) = = 0 < ε. 48

49 Tedy δ > 0 mohu dokonce volit libovolně konstnt je spojitá funkce. V příkldu 4.4 jsme dokázli, že lineární funkce je spojitá pro všechn x R. Potom podle věty o spojitosti součinu jsou funkce x = x x, x 3 = x x,... spojité pro všechn x R podle věty o spojitosti součtu jsou i funkce k x k + k x k , b l x l + b l x l b 0 spojité pro všechn x R. Nkonec podle věty o spojitosti podílu je funkce f(x) = k x k + k x k spojitá v kždém bodě, v němž je jmenovtel různý od nuly. b l x l + b l x l b 0 x Npříkld funkce je spojitá pro všechn x R, protože jmenovtel je kldný x + (x + > 0) pro všechn x R. Příkld 4.7. Je-li > 0,, je funkce log x spojitá v kždém bodě x > 0. Důkz:. Z druhé kpitoly víme, že log x je pro > rostoucí funkce v intervlu (0, ). Tvrzení nejprve dokážeme pro ln x to je rostoucí funkce, protože e =, >. Nechť c > 0, ε > 0 zvolme v, v tk, že ln v = ln c ε, ln v = ln c + ε, tj. v = ce ε, v = ce ε. Tedy v < c < v. Nyní zvolme δ > 0 tk, by (c δ, c + δ) (v, v ). Potom pro všechn x (c δ, c + δ) je v < x < v protože ln x je rostoucí, pltí ln c ε = ln v < ln x < ln v = ln c + ε, nebo-li ln x ln c < ε tedy ln x je spojitá v kždém bodě x > 0.. Je-li nyní libovolné ( > 0,, e, ) potom z věty o vlstnostech logritmů víme, že log x = ln x, kde ln 0. ln O funkci ln x již víme, že je spojitá v kždém bodě x > 0 funkce ln je konstnt t je podle příkldu 4.6 spojitá v kždém bodě x R je různá od nuly. Můžeme tedy použít větu o spojitosti podílu funkce log x je spojitá v kždém bodě x > 0. Již známe větu o spojitostí součtu, rozdílu, součinu podílu nyní se budeme zbývt spojitostí složené funkce spojitostí inverzní funkce. Vět 4.8. (O spojitosti složené funkce.) Předpokládejme, že funkce g je spojitá v bodě c funkce h je spojitá v bodě d = g(c). Potom i složená funkce h(g) je spojitá v bodě c. Důkz. Nechť ε > 0. Potřebujeme njít δ > 0 tk, že x, pro něž je x c < δ pltí h(g(x)) h(g(c)) < ε. 49

50 Oznčíme-li y = g(x), potom poslední nerovnost můžeme psát ve tvru h(y) h(d) < ε. Ale funkce h je podle předpokldu věty spojitá v bodě d = g(c), existuje tedy δ > 0 tk, že y, pro něž je y d < δ pltí h(g(x)) h(g(c)) = h(y) h(d) < ε. (4.5) Oznčili jsme y = g(x), d = g(c), le funkce g je podle předpokldu věty spojitá v bodě c, existuje tedy δ > 0 tk, že x, pro něž je x c < δ pltí g(x) g(c) = y d < δ. (4.6) Je-li nyní x libovolné číslo, pro něž pltí nerovnost x c < δ, potom podle nerovnosti (4.6) pltí g(x) g(c) = y d < δ z nerovnosti (4.5) plyne, že h(g(x)) h(g(c)) = h(y) h(d) < ε. Tedy složená funkce h(g) je spojitá v bodě c. Příkld 4.9. Dokžme, že funkce ln(x + ) je spojitá x R. Položme h(y) = ln y y = g(x) = x +. Podle příkldu 4.6 je funkce g spojitá x R. Dále y = g(x) = x + > 0, tkže podle příkldu 4.7 je funkce h spojitá v bodě y = x +. Tedy podle věty o spojitosti složené funkce je funkce h(g(x)) = ln(x + ) spojitá x R. V přípdě, že máme funkci f definovnou n uzvřeném intervlu [, b], potom podle nší definice spojitosti nemůžeme v krjních bodech tohoto intervlu vyšetřovt spojitost, protože ε > 0 by mělo existovt δ > 0 tk, že nerovnost f(x) f() < ε pltí pro všechny hodnoty x, pro něž je δ < x < + δ. Vzhledem k tomu, že funkce f není definován nlevo od bodu, muselo by být δ = 0, le v definici spojitosti poždujeme δ > 0. To nás přivádí k následujícím definicím. Definice 4.0. Řekneme, že funkce f je spojitá zprv v bodě c, jestliže ε > 0 δ > 0 tk, že x [c, c + δ) pltí f(x) f(c) < ε. Definice 4.. Řekneme, že funkce f je spojitá zlev v bodě c, jestliže ε > 0 δ > 0 tk, že x (c δ, c] pltí f(x) f(c) < ε. Vidíme, že definice spojitosti zprv definice spojitosti zlev se podobjí definici spojitosti. Pltí následující vět: Vět 4.. Funkce f je spojitá v bodě c, právě když je v bodě c spojitá zlev i zprv. Důkz. Porovnáním definic spojitosti, spojitosti zprv spojitosti zlev zjistíme, že je-li funkce spojitá v bodě c, pk je v bodě c spojitá zlev i zprv. Je-li nopk funkce spojitá v bodě c zlev i zprv, potom podle definice spojitosti zprv spojitosti zlev existují dvě čísl δ > 0, δ > 0 tk, že nerovnost f(x) f(c) < ε 50

51 pltí jednk pro všechn x, pro něž je c x < c + δ jednk pro všechn x, pro něž je c δ x < c. Zvolíme-li nyní δ = min{δ, δ }, pltí nerovnost f(x) f(c) < ε pro všechn x z intervlu c δ < x < c + δ. Tedy funkce f je spojitá v bodě c. Vnitřním bodem intervlu J nzveme kždý bod intervlu J, který není jeho krjním bodem. Potom otevřený intervl (, b) se skládá pouze z vnitřních bodů nebo npříkld polouzvřený intervl (, b] se skládá z vnitřních bodů z bodu b. Definice 4.3. Nechť funkce f je definován v intervlu J. Řekneme, že funkce f je spojitá v intervlu J, jestliže má tyto vlstnosti: Je spojitá v kždém vnitřním bodě intervlu J. Ptří-li počáteční bod intervlu J k intervlu J, je funkce f spojitá v tomto bodě zprv. Ptří-li koncový bod intervlu J k intervlu J, je funkce f spojitá v tomto bodě zlev. Poznámk 4.4. Vět o spojitosti bsolutní hodnoty, součtu, rozdílu, součinu podílu pltí i v přípdě, že v ní nhrdíme slovo spojitá všude slovy spojitá zprv nebo všude slovy spojitá zlev. Ale vět o spojitosti složené funkce nepltí, nhrdíme-li v ní slovo spojitá všude slovy spojitá zprv nebo všude slovy spojitá zlev. Pltí všk následující tvrzení: Je-li funkce g spojitá zprv (zlev) v bodě c funkce h spojitá v bodě g(c), potom je v bodě c spojitá zprv (zlev) i složená funkce f = h(g). Nyní můžeme konečně přistoupit k vyslovení důkzu věty o spojitosti inverzní funkce. Vět 4.5. (O spojitosti inverzní funkce.) Nechť f je ryze monotónní funkce, která je spojitá v intervlu J. Dále nechť funkce f zobrzuje intervl J n intervl J. Potom inverzní funkce f k funkci f je spojitá v intervlu J. Důkz. Především podle věty o existenci jednoznčnosti inverzní funkce inverzní funkce f existuje zobrzuje intervl J n intervl J. Potřebujeme dokázt, že funkce f je spojitá zprv v kždém bodě intervlu J, jenž není jeho koncovým bodem že funkce f je spojitá zlev v kždém bodě intervlu J, jenž není jeho počátečním bodem. Dokážeme pouze první část tohoto tvrzení. Druhá část by se dokzovl podobně. Nechť c J není koncovým bodem, položme d = f (c). Nechť ε > 0, chceme dokázt, že existuje δ > 0 tk, že pro všechn y z intervlu (c, c + δ) pltí f (y) f (c) < ε. Důkz první části můžeme ještě dále rozdělit n dv přípdy.. Nejprve předpokládejme, že funkce f je rostoucí, potom je rostoucí i funkce f. Bod d není koncovým bodem intervlu J, existuje tedy bod d J tk, že d < d d + ε. Položme c = f(d ), tkže d = f (c ). Poslední nerovnost můžeme přepst do tvru f (c) < f (c ) f (c) + ε. 5

52 Protože funkce f je rostoucí, pltí c < c. Položíme-li δ = c c, je δ > 0. Leží-li nyní y v intervlu (c, c + δ) (tj. v intervlu (c, c )), pltí f (c) < f (y) < f (c ) f (c) + ε. Tedy f (y) f (c) < ε funkce f je spojitá zprv v bodě d.. Nyní předpokládejme, že funkce f je klesjící, potom je klesjící i funkce f. Bod d není počátečním bodem intervlu J, existuje tedy bod d J tk, že d > d d ε. Položme c = f(d ), tkže d = f (c ). Poslední nerovnost můžeme přepst do tvru f (c) > f (c ) f (c) ε. Protože funkce f je klesjící, pltí c < c. Položíme-li δ = c c, je δ > 0. Leží-li nyní y v intervlu (c, c + δ) (tj. v intervlu (c, c )), pltí f (c) > f (y) > f (c ) f (c) ε. Tedy f (y) f (c) < ε funkce f je spojitá zprv v bodě d. Příkld 4.6. Funkce x je spojitá v intervlu [0, ). Inverzní funkce k funkci x n intervlu [0, ) je funkce x n intervlu [0, ) (viz. příkld.7). Z příkldu 4.6 víme, že funkce x je spojitá n intervlu (, ) tedy je spojitá i n intervlu [0, ). Nkonec podle věty o spojitosti inverzní funkce je spojitá i funkce x v kždém bodě x 0, x R. Příkld 4.7. Je-li > 0,, je funkce x spojitá v intervlu (, ). Funkce x je n intervlu (, ) inverzní k funkci log x tto funkce je podle příkldu 4.7 spojitá n intervlu (0, ). Potom podle věty o spojitosti inverzní funkce je funkce x spojitá v kždém bodě x R. Příkld 4.8. Je-li n R, je funkce x n spojitá v intervlu (0, ). Položíme-li z = e y, y = n ln x, potom z = e n ln x = x n. Podle příkldu 4.7 je funkce ln x spojitá n intervlu (0, ), podle předchozího příkldu je spojitá i funkce e y n intervlu (, ). Potom podle věty o spojitosti složené funkce je n intervlu (0, ) spojitá i funkce e n ln x = x n. 4. Limit funkce Budeme-li vyšetřovt funkci f(x) = sin(x), zjistíme, že je definován v kždém bodě x různém od nuly. Proto nás bude průběh funkce f v okolí bodu 0 zjímt. Budeme-li do funkce f doszovt z x hodnoty blízké nule, zjistíme, že hodnot funkce f se málo liší od jedničky budeme říkt, že funkce f má v bodě x = 0 limitu (v příkldu 4.33 tuto limitu spočítáme). Tím se dostáváme k definici limity funkce. 5

53 Definice 4.9. Říkáme, že funkce f má v bodě c (vlstní) limitu A R, jestliže ε > 0 δ > 0 tk, že nerovnost f(x) A < ε je splněn pro všechny hodnoty x, pro něž je 0 < x c < δ. Existuje-li limit funkce f v bodě c, budeme ji znčit symbolem lim x c f(x) = A. Připomeňme, že nerovnosti 0 < x c < δ jsou splněny pro x z intervlu (c δ, c + δ), jež jsou různá od c. Zhrub řečeno definice limity říká, že pro hodnoty x blízké hodnotě c (le různé od c) je hodnot f(x) blízko hodnotě A. V definice limity se vůbec nehovoří o hodnotě f(c). Funkce f nemusí být v bodě c vůbec definován umožňuje tedy vyšetřování průběhu funkce v okolí (problemtického) bodu c. Podobně jko u spojitosti zvedeme tké limitu zprv (při níž se stráme pouze o hodnoty x vprvo od c) limitu zlev (při níž se stráme pouze o hodnoty x vlevo od c): Definice 4.0. Říkáme, že funkce f má v bodě c (vlstní) limitu zprv A R, jestliže ε > 0 δ > 0 tk, že f(x) A < ε je splněn pro všechn x z intervlu (c, c + δ). Existuje-li limit zprv funkce f v bodě c, budeme ji znčit symbolem lim f(x) = A. x c + Definice 4.. Říkáme, že funkce f má v bodě c (vlstní) limitu zlev A R, jestliže ε > 0 δ > 0 tk, že f(x) A < ε je splněn pro všechn x z intervlu (c δ, c). Existuje-li limit zlev funkce f v bodě c, budeme ji znčit symbolem lim f(x) = A. x c Podobně jko u limit posloupností můžeme i pro funkce zvést pojem nevlstní limity. Definice 4.. Říkáme, že funkce f má v bodě c nevlstní limitu, jestliže K R δ > 0 tk, že nerovnost f(x) > K je splněn pro všechn x, pro něž je 0 < x c < δ. Tuto nevlstní limitu budeme znčit symbolem lim x c f(x) =. Definice 4.3. Říkáme, že funkce f má v bodě c nevlstní limitu, jestliže K R δ > 0 tk, že nerovnost f(x) < K je splněn pro všechn x, pro něž je 0 < x c < δ. Tuto nevlstní limitu budeme znčit symbolem lim f(x) =. x c Obdobně jko pro vlstní limity bychom mohli zvést i jednostrnné nevlstní limity. Limit funkce f v bodě c popisuje průběh funkce f v okolí bodu c. Pro poznání průběhu funkce je všk tké důležité zjistit, co se s funkcí f děje, když buď x vzrůstá nde všechny meze, nebo x klesá pod všechny meze (tedy když se x n číselné ose vzdluje od počátku buď směrem doprv nebo směrem dolev). Z tohoto důvodu zvádíme ještě následující dv pojmy. 53

54 Definice 4.4. Budeme říkt, že lim x f(x) = A, je-li lim y 0 + f ( ) = A y budeme říkt, že lim x f(x) = A, je-li lim y 0 f ( ) = A. y Pro limitu funkce můžeme odvodit dokázt obdobné věty jko pro limitu posloupnosti. Vět 4.5. (O jednoznčnosti limity funkce.) Funkce f má v bodě c nejvýše jednu limitu (vlstní nebo nevlstní), rovněž nejvýše jednu limitu zprv nejvýše jednu limitu zlev. Důkz této věty lze v přípdě vlstní limity provést obdobně jko důkz věty o jednoznčnosti limity posloupnosti. Dále z definice vlstní limity plyne, že jestliže má funkce f v bodě c vlstní limitu, musí být v okolí bodu c omezená tedy nemůže mít zároveň nevlstní limitu. Jestliže má funkce f v bodě c nevlstní limitu, není podle definice v okolí bodu c shor omezená tedy podle definice nemůže mít zároveň nevlstní limitu. Poznámk 4.6. Vyšetřujeme-li limitu (popřípdě limitu zprv nebo zlev) funkce f v bodě c potom může nstt právě jeden z následujících přípdů: existuje vlstní limit, existuje nevlstní limit, existuje nevlstní limit, neexistuje ni vlstní ni nevlstní limit. V přípdě spojitosti jsme dokázli větu, že funkce f je spojitá v bodě c, právě když je spojitá v bodě c zprv i zlev. Stejnou větu dokážeme i pro limity. Důkz této věty bychom mohli provést tkřk totožně jko u podobné věty pro spojitost. Z tohoto důvodu ho nebudeme uvádět. Vět 4.7. (Nutná postčující podmínk existence limity.) Rovnice lim x c f(x) = A R pltí tehdy jen tehdy, je-li lim x c + f(x) = lim f(x) = A. x c 54

55 Nápdná podobnost definice spojitosti definice limity nás vede k domněnce, že mezi spojitostí limitou je úzký vzth. Nhrdíme-li v definici spojitosti nerovnost x c < δ nerovností 0 < x c < δ (což smíme, protože pro x = c je nerovnost (4.) z definice spojitosti stejně vždy splněn, neboť f(c) f(c) = 0 < ε), vidíme, že se obě definice vůbec neliší. Tím dostáváme větu: Vět 4.8. (O limitě spojité funkce.) Funkce f je v bodě c spojitá tehdy jen tehdy, je-li f(x) = f(c). lim x c Příkld 4.9. Funkce f(x) = x je podle příkldu 4.6 spojitá, tkže podle předchozí x + x věty můžeme doszením spočítt, že lim x 0 x + = 0. Příkld Nyní definujme funkci g zkoumejme její spojitost v bodě x = 0. x pro x 0 g(x) = x + pro x = 0. Opět máme lim x 0 g(x) = lim x 0 f(x) = lim x 0 le g(0) =. Funkce g tedy není spojitá v bodě x = 0. x x + = 0, Srovnáme-li definici spojitosti zprv s definicí limity zprv definici spojitosti zlev s definicí limity zlev obdržíme následující větu: Vět 4.3. Funkce f je v bodě c spojitá zprv (zlev) tehdy jen tehdy, je-li ( ) f(x) = f(c) f(x) = f(c). lim x c + lim x c Vzhledem k podobnosti definice limity funkce definice limity posloupnosti se dá předpokládt, že pro limity funkcí budou pltit obdobné věty k větám dokázným pro limity posloupností v předchozí kpitole. Nejdůležitější z nich si nyní připomeneme. Vět 4.3. (O limitě sevřené funkce.) Nechť lim f(x) = lim h(x) = A R, dále x c x c nechť existuje kldné číslo δ tk, že pro všechn x z intervlu (c δ, c + δ) pltí f g h. Potom pltí lim g(x) = A. (Vět pltí i pro limitu zlev limitu zprv.) x c Důkz je tkřk stejný jko u obdobné věty o limitě sevřené posloupnosti, proto ho nebudeme uvádět. 55

56 Příkld Ukážeme si, jk plikovt předchozí větu. Spočtěme lim x 0 x < π. Z obrázku plyne, že mezi obshem S 0AB = sin x výseče S 0AB = π x sin x x. Nechť 0 < trojúhelníku 0AB, obshem π = x (obsh jednotkové kruhu je π obshu výseče o velikosti úhlu x x odpovídá poměrná část π obshu kruhu) obshem S 0AC = tgx trojúhelníku 0AC pltí nerovnosti S 0AB < S 0AB < S 0AC. (4.7) Dosdíme-li do nerovností (4.7), dostneme sin x < x < tgx = sin x sin(x), nebo-li cos x < cos x x < (4.8) pro 0 < x < π sin x (předposlední nerovnost jsme vydělili kldným číslem poté jsme tyto nerovnosti přepsli pro převrácené hodnoty, čímž se obrátili nerovnosti). Z věty o vlstnostech funkcí sinus kosinus víme, že cos x = sin x. A podle (4.8) je sin(x) x <, nebo-li sin(x) < x, tedy tké sin x < x x < sin x = cos x < sin(x) x společně s nerovnostmi (4.8) máme < pro 0 < x < π. Nyní si uvědomme, že všechny funkce v předchozí nerovnosti jsou sudé tedy tto nerovnost pltí i pro π spojité funkce < x < 0. Ze spojitosti funkcí x v bodě 0 je podle věty o limitě lim x 0 x = lim x 0 + x =, lim x 0 = lim x 0 + =. 56

57 Tedy podle věty o limitě sevřené funkce je lim x 0 lim x 0 sin x x sin x x =. = lim x 0 + sin x x =. Celkem tedy máme Vět (O ritmetice limit funkcí.) Nechť lim x c Potom pltí lim x c Je-li nvíc B 0, pk je f(x) = A, lim (f(x) + g(x)) = A + B, x c lim (f(x) g(x)) = A B, lim x c lim x c f(x) = A R, lim x c g(x) = B R. (f(x)g(x)) = AB. x c f(x) g(x) = A B. Vět zůstne v pltnosti, nhrdíme-li v ní limity limitmi zprv nebo limitmi zlev. Důkz této věty je tkřk totožný s důkzy věty o spojitosti bsolutní hodnoty, součtu, rozdílu, součinu podílu věty o ritmetice limit posloupností, proto ho nebudeme provádět. Poznámk Většin dříve dokázných vět týkjících se vlstních limit lze stejným způsobem jko u limit posloupností rozšířit i n nevlstní limity. Bez omezení lze pro nevlstní limity vyslovit větu o jednoznčnosti limity funkce, nutnou postčující podmínku existence limity větu o limitě sevřené funkce. Pouze v přípdě věty o ritmetice limit je třeb doplnit předpokld pokud prvá strn existuje, bychom se vyvrovli přípdů, kdy některá operce s nekonečny není definován. Příkld Funkce sin cos jsou spojité v intervlu (, ). Důkz: Nechť x 0 je libovolný bod. Podle věty o limitě spojité funkce stčí dokázt lim sin(x 0 + h) = sin x 0, lim cos(x 0 + h) = cos x 0, nebo-li h 0 h 0 lim (sin(x 0 + h) sin x 0 ) = 0, lim (cos(x 0 + h) cos x 0 ) = 0. h 0 h 0 Z věty o vlstnostech funkcí sinus kosinus víme, že cos(x 0 + h) cos x 0 = sin x 0 + h sin h = sin h cos h sin x 0 sin h cos x 0 = sin h sin x 0 sin h cos x 0. Z příkldu 4.33 víme, že lim ( ) h 0 sin h h h sin h = lim h 0 h lim h 0 lim h 0 lim (cos(x 0 + h) cos x 0 ) = lim h 0 h 0 sin h. Potom podle věty o ritmetice limit funkcí máme h h = 0 = 0, tedy tké lim sin h = 0. Nkonec dostneme h 0 ( sin h sin x 0 sin h ) cos x 0 57

58 = sin x 0 lim sin h cos x 0 lim sin h h 0 h 0 = 0. Tím jsme dokázli, že funkce cos je spojitá v intervlu (, ). Využitím věty o vlstnostech funkcí sinus kosinus spojitosti funkce cos dostneme ( lim sin(x 0 + h) = lim cos x 0 + h π ) ( = cos x 0 π ) = sin x 0. h 0 h 0 Tedy i funkce sin je spojitá v intervlu (, ). Nkonec dokážeme větu podobnou větě o spojitosti složené funkce. Vět (O limitě složené funkce.) Nechť lim g(x) = d lim h(y) = k. Dále nechť x c y d existuje δ > 0 tk, že nerovnost g(x) d pltí pro všechn x, pro něž je 0 < x c < δ. Potom je lim h(g(x)) = k. x c Důkz. Nechť ε > 0. Potřebujeme njít δ 3 > 0 tk, že x, pro něž je 0 < x c < δ 3 pltí h(g(x)) k < ε. Oznčíme-li y = g(x), potom poslední nerovnost můžeme psát ve tvru h(y) k < ε. Ale lim y d h(y) = k, podle definice limity existuje δ > 0 tk, že y, pro něž je 0 < y d < δ pltí h(g(x)) k = h(y) k < ε. (4.9) Oznčili jsme y = g(x) lim x c g(x) = d, potom podle definice limity existuje δ > 0 tk, že x, pro něž je 0 < x c < δ pltí g(x) d = y d < δ. (4.0) Zvolíme-li δ 3 = min{δ, δ } je-li x libovolné číslo, pro něž pltí nerovnost 0 < x c < δ 3, potom je podle předpokldu věty g(x) d tedy v (4.0) je 0 < g(x) d = y d < δ podle (4.9) je h(g(x)) k < ε. 4.3 Technik počítání limit Příkld Vypočtěme lim x x 3 + x. Limitu nelze počítt přímo podle věty o ritmetice limit funkcí, neboť lim x (x ) = 0. Nicméně ze skutečnosti, že lim x (x3 + ) = 0 můžeme usoudit, že ob mnohočleny mjí společného dělitele tím je člen x+. Nejprve tedy vytkneme x+, poté tento člen zkrátíme nkonec použijeme větu o ritmetice limit funkcí. lim x x 3 + x = lim x (x + )(x x + ) (x + )(x ) = lim x (x x + ) lim x (x ) 58 = lim x = 3 = 3. x x + x

59 x Příkld Vypočtěme lim x x. Podobně jko v předchozím příkldu nelze přímo použít větu o ritmetice limit funkcí, neboť opět bychom dostli neurčitý výrz 0. V tomto přípdě nopk zlomek rozšíříme 0 výrzem x +, poté zkrátíme x nkonec opět použijeme větu o ritmetice limit funkcí. lim x x x = lim x = lim = x x + ( x )( x + ) (x )( x + ) = lim x x (x )( x + ) lim x lim x ( x + ) =. Příkld Vypočtěme lim x 0 x. 3. Nejprve dokážeme, že lim x 0 + x =. 3 Tento výsledek plyne z toho, že pro x nprvo od nuly je zlomek vždy kldný, dělíme x3 tedy jedničku čím dál menším kldným číslem výsledek tedy bude čím dál větší kldné číslo. Pokud bychom chtěli postupovt přesně (viz. definice nevlstní limity ), tk potřebujeme dokázt, že pro kždé K R existuje δ > 0, tk, že nerovnost > K pltí pro všechn x x3 z intervlu (0, δ). K nlezení příslušného δ použijeme následující řetězec implikcí. x > K 3 x > 3 K x < 3. K Tedy pro libovolné K R lze zvolit δ = 3 K nerovnost intervlu (0, δ). Tím jsme dokázli, že lim x 0 + x =. 3. Obdobně dokážeme, že lim x 0 x =. 3 x 3 > K pltí pro všechn x z Tento výsledek plyne z toho, že pro x nlevo od nuly je zlomek vždy záporný, dělíme x3 tedy jedničku čím dál menším záporným číslem výsledek tedy bude záporné číslo, které bude v bsolutní hodnotě čím dál tím větší. Přesně tedy (viz. definice nevlstní limity ) potřebujeme dokázt, že pro kždé K R existuje δ > 0, tk, že nerovnost x < K pltí 3 pro všechn x z intervlu ( δ, 0). K nlezení příslušného δ použijeme následující řetězec implikcí. x < K 3 x < 3 K x < 3. K 59

60 Tedy pro libovolné K R lze zvolit δ = 3 K nerovnost intervlu ( δ, 0). Tím jsme dokázli, že lim x =. 3 Vzhledem k tomu, že limit zprv limit zlev jsou různé, tk lim x 0 x 0 x 3 neexistuje! x 3 < K pltí pro všechn x z x Příkld 4.4. Vypočtěme lim. x 0 x V tomto přípdě můžeme rovnou použít větu o ritmetice limit funkcí. lim x 0 x 0 x x = lim x 0 (x ) lim x 0 = =. x Při výpočtu lim x můžeme postupovt stejně jko v předchozím příkldu. Funkce x není opět v okolí bodu 0 omezená, jediný rozdíl spočívá v tom, že tto funkce je sudá, tkže lim x 0 x = lim x 0 + x =. Příkld 4.4. Vypočtěme lim x x x +. Výpočet této limity můžeme převést trnsformcí x = y n: lim x x x + = lim y 0 + y + = lim y 0 y + y y +y y = lim y 0 + y + y = =. Příkld Ukážeme si ještě jednu plikci věty o limitě sevřené funkce. Spočtěme sin(x). Nejprve si uvědomme, že pro libovolné x R pltí následující nerovnosti: x lim x Dále lim x x funkce i lim x = lim y 0 + sin(x) x y = 0 lim x = 0. e x Příkld Spočtěme lim. x 0 x x sin(x) x x = lim y 0 + x. y = 0. Tedy podle věty o limitě sevřené 60

61 (. Nejprve dokážeme, že posloupnost, jejíž n-tý člen je n = + n) n+, je klesjící má limitu e. Pltí ( ) n+ ( ) ( ) n + n + + = + n(n + ) n(n + ) + n (n + ) +... ( ) ( ) n + n + + n + n n+ (n + ) > + n+ n(n + ) = + n (předchozí nerovnost pltí, protože n levé strně jsme vynechli všechny kldné členy ž n první dv) protože n(n + ) + = n + n + = (n + ), máme n + n ) n+ = + ( n < + n(n + ) ( ) (n + ) n+ ( ) n+ ( ) n+ n + n + = =, n(n + ) n n + nebo-li ( + ) n+ = n + ( ) n+ n + < n n + n + ( n + n ) n+ = ( + n) n+. Tedy posloupnost,,... je klesjící. Dále podle definice e je A tedy ( lim + n+ ( = lim + n n) n ( lim + n n) ) = e = e. n n ( + n) n+ > e pro n N. e x. Nyní spočteme lim. Nechť 0 < x < [ x 0 + x. Zvolíme-li n = x Z lemmtu 3.34 z. víme, že ], potom n x < n + n + < x n. (4.) ( + ) n+ ( < e < + ) n. n + n Zkombinujeme-li dohromdy předchozí nerovnosti s nerovnostmi (4.) dostneme + n + < n+ e < e x n e < + n. (4.) 6

62 Podle (4.) pltí n > x = x x n + x + = + x x Dosdíme-li tyto nerovnosti do (4.), obdržíme n < n + x x, x + x. + x + x + n + < ex < + n < + x x. (4.3) Odečteme-li jedničku vydělíme-li tyto nerovnosti kldným číslem x, pltí + x < ex < pro 0 < x < x x. (4.4) Ze spojitosti funkcí + x v bodě 0 je podle věty o limitě spojité funkce x lim x x = =, lim + 0 x 0 + x = 0 =. e x Tedy podle věty o limitě sevřené funkce je lim =. x 0 + x e x 3. Nkonec spočteme lim. Nechť < x < 0. Zvolíme-li y = x, potom podle x 0 x (4.3) pltí + y + y = + y + y < ey < + y y = y y. Nyní dosdíme zpět y = x zároveň přepíšeme poslední nerovnosti pro převrácené hodnoty, potom e y = ex obě nerovnosti se obrátí + x + x < ex < x pro x < x < 0. Odečteme-li jedničku vydělíme-li tyto nerovnosti záporným číslem x, pltí x + x < ex < x x x < ex x < + x pro < x < 0. Ze spojitosti funkcí + x v bodě 0 opět podle věty o limitě x spojité funkce máme lim x 0 + x = + 0 =, lim x 0 x = 0 =. e x Tedy podle věty o limitě sevřené funkce je lim =. x 0 x Celkem z. z 3. máme e x lim =. x 0 x 6

63 Příkld Spočtěme lim x e x x. e x lim x x = 0 podle příkldu 4.44 je lim. Abychom mohli využít větu o limitě x 0 x složené funkce, potřebujeme dokázt, že existuje δ > 0 tk, že nerovnost x 0 pltí pro všechn x, pro něž je 0 < x < δ. Ale vzhledem k tomu, že x = 0 pouze v bodech x = x =, stčí zvolit δ = x 0 pltí pro všechn x, pro něž je e x 0 < x <. A tedy lim x x =. 63

64 Kpitol 5 Derivce 5. Definice zákldní vlstnosti Nechť je dán funkce f zvolme bod [c, f(c)]. Nyní se pokusíme zvést pojem tečny ke křivce y = f(x) v bodě [c, f(c)]. Zvolíme-li n křivce y = f(x) dlší libovolný bod [c + h, f(c + h)], potom přímk procházející oběm body (sečn) má směrnici f(c + h) f(c) (c + h) c = f(c + h) f(c). h Blíží-li se nyní bod [c + h, f(c + h)] k bodu [c, f(c)], tedy blíží-li se h k nule, potom n obrázku vidíme, že příslušná sečn se blíží k červeně znázorněné limitě. Existuje-li vlstní limit k = lim h 0 f(c + h) f(c), h potom tečnou ke křivce y = f(x) v bodě [c, f(c)] budeme rozumět přímku určenou rovnicí y f(c) = k(x c) (tto přímk prochází bodem [c, f(c)] má směrnici k). f(c + h) f(c) Vzhledem k význmu, který má lim v mtemtice i fyzice, můžeme h 0 h po motivčních úvhách z předešlého odstvce přistoupit k definici derivce: Definice 5.. Nechť f je funkce x číslo. Limitu f(x + h) f(x) lim h 0 h nzveme derivcí funkce f má v bodě x oznčíme ji symbolem f (x). Obdobně nzýváme limitu ( ) f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) lim, resp. lim h 0 + h h 0 h derivcí zprv (zlev) funkce f v bodě x. Oznčovt je budeme symbolem f +(x), (resp. f (x)). Neexistuje-li první, (popř. druhá, popř. třetí) z těchto limit, říkáme, že 64

65 funkce f nemá v bodě x derivci, (popř. derivci zprv, popř. derivci zlev). Výše zmíněné limity mohou být vlstní nebo nevlstní, pk mluvíme o vlstní nebo nevlstní derivci. Definice 5.. Nechť f je funkce x číslo. Existuje-li (vlstní nebo nevlstní) limit f (x + h) f (x) lim h 0 h říkáme, že funkce f má v bodě x druhou (vlstní nebo nevlstní) derivci oznčíme ji f (x). Podobně se definují i derivce vyšších řádů. Znčíme je f (x), f (4) (x), f (5) (x),.... Stejným způsobem jko v definici derivce můžeme definovt druhou derivci zprv (zlev), eventuálně derivce vyšších řádů. Poznámk 5.3. Má-li funkce f vlstní derivci v bodě x, potom existuje číslo δ > 0 tk, že funkce f je definován v intervlu (x δ, x + δ). Poznámk 5.4. Dále upozorněme, že derivce funkce f v bodě x závisí n tom, jkou hodnotu x jsme zvolili. Derivce funkce f v bodě x je tedy funkcí proměnné x. Oznčíme-li y = f(x), můžeme tké psát dy dx místo f d y dx místo f. Definičním oborem funkce f je množin všech bodů, v nichž má funkce f vlstní derivci. Poznámk 5.5. Fyzikální význm derivce: Popisuje-li funkce f proměnné t polohu hmotného bodu n přímce v čse t, potom derivce f v bodě t předstvuje okmžitou rychlost v čse t. Druhá derivce f v bodě t předstvuje zrychlení v čse t. 65

66 Vět 5.6. (Nutná postčující podmínk existence derivce.) Rovnice f () = A pltí tehdy jen tehdy, je-li f +() = f () = A (pltí pro vlstní i nevlstní derivci). Důkz plyne z nutné postčující podmínky existence limity z poznámky Vět 5.7. Má-li funkce f v bodě vlstní derivci (resp. vlstní derivci zprv nebo vlstní derivci zlev), je funkce f v bodě spojitá (resp. spojitá zprv nebo spojitá zlev). Důkz. Existuje-li vlstní derivce f (), potom pltí f( + h) f() lim f( + h) f() = lim h = h 0 h 0 h f( + h) f() lim lim h = f () 0 = 0. h 0 h h 0 Tedy podle věty o limitě spojité funkce je funkce f v bodě spojitá. (U posledního rovnítk jsme využili předpokldu existence vlstní derivce. Pro nevlstní derivci by poslední krok nebylo možno provést, protože bychom dostli neurčitý výrz typu ± 0!) Poznámk 5.8. Opčná implikce nepltí spojitá funkce nemusí mít derivci! Podívejme se npř. n funkci f(x) = x, která je v počátku souřdnic spojitá, le nemá tm derivci, v bodě 0 má derivci zprv rovnou derivci zlev rovnou -. f +(0) = lim h 0 + f(0 + h) f(0) h h = lim h 0 + h = lim h h 0 + h =. f (0) f(0 + h) f(0) h = lim = lim h 0 h h 0 h = lim h h 0 h =. 5. Počítání derivcí Příkld 5.9. Spočtěme podle definice derivci konstntní lineární funkce pro x R. (c) = lim h 0 c c h (x) = lim h 0 x + h x h 0 = lim h 0 h = lim 0 = 0. h 0 h = lim h 0 h = lim =. h 0 Příkld 5.0. Spočtěme podle definice derivci funkce f(x) = e x pro x R. f (x) = lim h 0 e x+h e x h Poslední rovnost plyne z příkldu = lim h 0 e x (e h ) h 66 = e x lim h 0 e h h = e x.

67 Příkld 5.. Spočtěme podle definice derivci funkcí sin cos pro x R. Z věty o vlstnostech funkcí sinus kosinus víme, že (sin x) = lim h 0 sin(x + h) sin x h sin h x+h cos = lim h 0 h = lim cos x + h sin h lim = cos x. h 0 h 0 h Protože ze spojitosti funkce cos plyne, že lim cos x + h = cos x z příkldu 4.33 víme, h 0 sin y h že lim =, dále lim y 0 y h 0 = 0 funkce h 0 dokonce pro všechn h různá od nuly, jsou tedy splněny předpokldy věty o limitě složené funkce pltí: sin h lim h 0 h = lim sin h h 0 h =. Podobně pro funkci cos, z věty o vlstnostech funkcí sinus kosinus víme, že (cos x) = lim h 0 cos(x + h) cos x h sin h = lim h 0 h = lim sin x + h sin h lim = sin x. h 0 h 0 h Protože ze spojitosti funkce sin plyne, že lim sin x + h = sin x. h 0 sin x+h Příkld 5.. Je-li n N, spočtěme podle definice derivci funkcí x n pro x R. x n + nx n h + = lim h 0 ( nx n + = lim h 0 (x n ) (x + h) n x n = lim h 0 h ( n ) x n h ( ) n n h n x n h ( ) n x n h ( ) n )h n = nx n, n protože pro h 0 mjí všechny členy, kromě prvního, limitu 0. Podle definice můžeme počítt derivci pouze pro jednoduché funkce. Abychom mohli počítt derivce efektivněji, odvodíme několik obecných vět. 67

68 Vět 5.3. (O derivci součtu, součinu podílu.) Nechť c, c jsou dvě konstnty f, g nechť jsou dvě funkce, které mjí vlstní derivci v bodě. Potom funkce c f + c g má v bodě derivci c f () + c g (), funkce fg má v bodě derivci f ()g() + f()g () je-li g() 0, má funkce f g v bodě derivci f ()g() f()g (). g () Důkz. Zvolme h 0 tk, by funkce f, g byly definovány n intervlu [ h, + h]. Nvíc v přípdě 3. tk, by g(x) 0 n intervlu [ h, + h]. Podle předpokldu věty mjí funkce f, g v bodě vlstní derivci tedy f f( + h) f() () = lim, g () = h 0 h g( + h) g() lim. Dále podle věty 5.7 jsou funkce f, g spojité v bodě, tedy lim f( + h 0 h h 0 h) = f(), lim g( + h) = g(). Nyní vyjádříme derivci součtu, součinu podílu pomocí h 0 výše zmíněných limit.. (c f + c g) () = lim h 0 c f( + h) + c g( + h) (c f() + c g()) h f( + h) f() g( + h) g() = c lim + c lim h 0 h h 0 h. (fg) () = lim h 0 f( + h)g( + h) f()g() h = c f () + c g (). 3. = lim h 0 f( + h)g( + h) f( + h)g() + f( + h)g() f()g() h f( + h)g( + h) f( + h)g() f( + h)g() f()g() = lim + lim h 0 h h 0 h g( + h) g() f( + h) f() = lim f( + h) lim + g() lim h 0 h 0 h h 0 h = f()g () + g()f (). ( f( + h) h g( + h) f() ) g() g()g( + h)h ( f( + h)g() f()g() + f()g() f()g( + h) ( ) f () = lim g h 0 = lim h 0 = h ( f( + h) f() g( + h) g() g() lim f() lim h 0 h h 0 h = f ()g() f()g (). g () = lim h 0 f( + h)g() f()g( + h) g()g( + h) ) g() lim h 0 ) g( + h) 68

69 Příkld 5.4. Podle věty o derivci podílu pomocí výsledků z příkldů 5., 5. spočteme: (tg x) = ( ) sin x = cos x cos x cos x sin x( sin x) cos x ( cos x ) (cotg x) sin x sin x cos x cos x = = sin x sin x Pro x 0 celé záporné n máme = cos x = sin x pokud cos x 0, pokud sin x 0. (x n ) = ( ) = 0 ( n)x n = nx n. x n x n Příkld 5.5. Jestliže umíme zderivovt některé funkce, potom můžeme podle věty o derivci součtu, součinu podílu zderivovt i všechny funkce, které dostneme konečným počtem sčítání, odčítání, násobení dělení těchto funkcí. Npříkld u následujícího příkldu postupně použijeme vzorec pro derivci podílu, rozdílu součinu. Nkonec použijeme zákldní vzorce odvozené v příkldech ( ) e x sin x cos x = (ex sin x cos x) x (e x sin x cos x)(x) x x = (ex sin x) x (cos x) x (e x sin x cos x)(x) x = xex (sin x) + x(e x ) sin x (cos x) x (e x sin x cos x)(x) x = xex cos x + xe x sin x + x sin x e x sin x + cos x x pro x R, x 0. Vět 5.6. (O derivci inverzní funkce.) Nechť x 0 je vnitřní bod intervlu I f nechť je spojitá funkce, která je v intervlu I buď rostoucí nebo klesjící. Dále nechť funkce f, inverzní k funkci f, má v bodě y 0 = f(x 0 ) vlstní derivci různou od nuly. Potom má funkce f v bodě x 0 derivci f (x 0 ) = (f ) (y 0 ). Důkz. Je y 0 = f(x 0 ) tedy pltí f (y 0 ) = f (f(x 0 )) = x 0. Obdobně pro x x 0, x I je y = f(x) tedy opět f (y) = f (f(x)) = x. Potom máme f(x) f(x 0 ) x x 0 = y y 0 f (y) f (y 0 ) = : f (y) f (y 0 ) y y 0 = : f (f(x)) f (f(x 0 )). f(x) f(x 0 ) 69

70 Nyní lim f(x) = f(x 0 ), funkce f je buď rostoucí nebo klesjící v intervlu I, tkže f(x) x x0 f (y) f (y 0 ) y 0 pro x x 0, x I lim = (f ) (y 0 ), můžeme tedy použít větu o y y0 y y 0 limitě složené funkce dostneme, že Celkem tedy máme f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 f (f(x)) f (f(x 0 )) lim x x 0 f(x) f(x 0 ) = (f ) (y 0 ). = : lim x x0 f (f(x)) f (f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) = (f ) (y 0 ). Příkld 5.7. Podle věty o derivci inverzní funkce pomocí výsledků z příkldů 5.0, 5., 5.4 spočteme:. V intervlu x (0, ) je ln x rostoucí spojitá funkce. K ní inverzní je funkce e y její derivce (e y ) = e y je různá od nuly pro y R, píšeme-li x = e y, je ln x = ln e y = y, můžeme tedy plikovt větu o derivci inverzní funkce (ln x) = (e y ) = e y = x.. V intervlu x( (, ) je rcsin x rostoucí spojitá funkce. K ní inverzní je funkce sin y n intervlu π, π ) její derivce (sin y) = cos y je n tomto intervlu různá od nuly. Píšeme-li x = sin y, je rcsin x = rcsin sin y = y, můžeme tedy plikovt větu o derivci inverzní funkce (rcsin x) = = (sin y) cos y = sin y =. x 3. V intervlu x (, ) je rccos x klesjící spojitá funkce. K ní inverzní je funkce cos y n intervlu (0, π) její derivce (cos y) = sin y je n tomto intervlu různá od nuly. Píšeme-li x = cos y, je rccos x = rccos cos y = y, můžeme tedy plikovt větu o derivci inverzní funkce (rccos x) = = (cos y) sin y = cos y =. x 4. V intervlu x (, ) je rctg x rostoucí spojitá funkce. K ní inverzní je funkce ( tg y n intervlu π, π ) její derivce (tg y) = je n tomto intervlu různá od cos y nuly. Píšeme-li x = tg y, je rctg x = rctg tg y = y, můžeme tedy plikovt větu o derivci inverzní funkce (rctg x) = (tg y) = cos y = cos y cos y + sin y = + tg y = + x. 70

71 5. V intervlu x (, ) je rccotg x klesjící spojitá funkce. K ní inverzní je funkce cotg y n intervlu (0, π) její derivce (cotg y) = sin je n tomto intervlu y různá od nuly. Píšeme-li x = cotg y, je rccotg x = rccotg cotg y = y, můžeme tedy plikovt větu o derivci inverzní funkce (rccotg x) = (cotg y) = sin y = sin y sin y + cos y = + cotg y = + x. Vět 5.8. (O derivci složené funkce.) Nechť funkce g má vlstní derivci v bodě x 0. Dále nechť funkce f má vlstní derivci v bodě y 0 = g(x 0 ). Potom má funkce f(g) v bodě x 0 derivci f (y 0 )g (x 0 ). Důkz. Definujme funkci α(h) = g(x 0 + h) g(x 0 ) (g(x 0 + h) = g(x 0 ) + α(h)). Podle předpokldu věty má funkce g má vlstní derivci v bodě x 0 je tedy podle věty 5.7 v tomto bodě spojitá. To znmená, že funkce α je spojitá v bodě nul. Potřebujeme spočítt limitu podílu f(g(x 0 + h)) f(g(x 0 )) h = f(g(x 0 + h)) f(g(x 0 )) g(x 0 + h) g(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) h = f(y 0 + α(h)) f(y 0 ) α(h) g(x 0 + h) g(x 0 ) h (5.) pro h 0. Podle předpokldu věty má funkce f vlstní derivci v bodě y 0, tkže je podle věty 5.7 v tomto bodě spojitá. Definujme funkci F tkto: F (k) = f(y 0 + k) f(y 0 ) pro k k 0 předpisem F (0) = f (x 0 ) pro k = 0. Tkto definovná funkce je spojitá v bodě nul. (Protože lim F (k) = f (x 0 ) je podle věty o limitě spojité funkce funkce F spojitá v k 0 bodě nul.) Tedy funkce F α jsou spojité v bodě nul, dále α(0) = g(x 0 + 0) g(x 0 ) = 0, tkže podle věty o spojitosti složené funkce je v bodě nul spojitá i funkce F (α). Potom podle věty o limitě spojité funkce je lim F (α(h)) = F (α(0)) = F (0) = f (y 0 ). h 0 Zkombinujeme-li to s rovnicí (5.) dostneme = lim h 0 f(g(x 0 + h)) f(g(x 0 )) lim h 0 h ( f(y0 + α(h)) f(y 0 ) α(h) = lim h 0 F (α(h)) lim h 0 g(x 0 + h) g(x 0 ) h ) g(x 0 + h) g(x 0 ) h = f (y 0 )g (x 0 ). 7

72 Poznámk 5.9. Jiná možnost zápisu tvrzení předchozí věty je následující: oznčíme-li z = f(y) y = g(x), potom z = f(g(x)) dz dx = dz dy dy dx. Příkld 5.0. Derivci funkce (x + x + ) 0 můžeme nlézt tk, že ji umocníme zderivujeme člen po členu. Jednodušší je všk postup podle věty o derivci složené funkce. Položíme-li z = f(y) = y 0 y = g(x) = x + x +, potom dz dy = 0y9 dy = x +. dx Dohromdy tedy ( (x + x + ) 0) dz = dx = dz dy dy dx = 0y9 (x + ) = 0(x + x + ) 9 (x + ). Poznámk 5.. Větu o derivci složené funkce můžeme využít i k výpočtu derivce funkce vícenásobně složené. Je-li npříkld z = f(g(h(x))), pk lze klást z = f(y), y = g(u) u = h(x). Má-li nyní h(x) vlstní derivci h (x) = du dx v jistém bodě x má-li g(u) vlstní derivci g (u) = dy dy v bodě u = h(x), je podle věty o derivci složené funkce du dx = dy du Má-li ještě funkce f(y) v bodě y = g(u) = h(g(x)) vlstní derivci dz o derivci složené funkce dz dx = dz dy dz celkem tedy dy dx dx = dz dy bychom mohli rozšířit i větu o derivci součtu součinu. dy du du dx. dy = f (y), je podle věty du. Podobným způsobem dx Příkld 5.. Spočtěme derivci funkce e x +. Nejprve položíme z = y, y = e u + u = x. Postupným derivováním dostneme dz dy =, y Potom podle předchozí poznámky pltí: dy du = eu, du dx = x. ( ) dz e x + = dx = dz dy du dy du dx = e u x = y xex e x +. Věty prvidl této kpitoly je třeb ovládt zcel mechnicky jko násobilku. Pro přehlednost shrneme nejdůležitější vzorce do následující věty. 7

73 Vět 5.3. (Zákldní vzorce.) (x n ) = nx n x > 0, n R, (x n ) = nx n, (c) = 0 pro x R, n N, (x n ) = nx n x 0, n celé záporné, ( x ) = x ln, (e x ) = e x pro > 0, x R, (log x) = x ln, (ln x) = x pro > 0,, x > 0, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x pro x R, (tg x) = cos x (cotg x) = sin x (rcsin x) = (k + )π pro x R, x, k Z, x, pro x R, x kπ, k Z, (rccos x) = x pro x <, (rctg x) = + x, (rccotg x) = + x pro x R. Důkz. Většinu derivcí jsme již spočítli v příkldech 5.9, 5.0, 5., 5., Nyní spočteme ještě zbývjící tři:. ( x ) = ( e x ln ) = e x ln ln = x ln pro > 0, x R.. (x n ) = ( e n ln x) = e n ln x n x = xn n x = nxn pro x > 0, n R. 3. Je-li, x R, > 0,, e, x > 0, víme z věty o vlstnostech logritmů, že log x = ln x ( ) ln x ln. Potom (log x) = = ln x ln. Příkld 5.4. Funkci f(x) g(x) nelze derivovt jko mocninu, protože mocnitel není konstntní, ni jko exponenciální funkci, protože zákld není konstntní. Nicméně v přípdě, že funkce f je kldná v bodě x existují-li v tomto bodě vlstní derivce f (x), g (x), lze následujícím způsobem použít větu o derivci složené funkce: ( f(x) g(x) ) = ( e g(x) ln f(x) ) = e g(x) ln f(x) (g(x) ln f(x)) ( = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) f ) (x). f(x) N závěr si tento postup ilustrujme n konkrétním příkldu: (x x ) = ( e x ln x) = e x ln x (x ln x) = x x (ln x + ) pro x > 0. 73

74 Vět 5.5. (Leibnizův vzorec.) Mjí-li funkce u, v v bodě x derivce do n-tého řádu, pk v tomto bodě pltí: ( ) ( ) ( ) n n n (uv) (n) = u (n) v + u (n ) v () + u (n ) v () + + uv (n). n Tuto větu lze sndno dokázt mtemtickou indukcí z věty o derivci součinu, tkže důkz ponecháme jko cvičení. Příkld 5.6. Leibnizův vzorec lze velmi efektivně využít při výpočtu derivcí vyšších řádů v přípdě, že od jisté derivce jsou všechny derivce vyššího řádu jednoho z činitelů rovny nule. Ilustrujme to n následujícím příkldu. ( ) n ((x + b)e x ) (n) = (x + b)e x + e x = (x + b + n)e x. Protože derivce vyššího než prvního řádu funkce x + b jsou rovny nule! Příkld 5.7. Nechť n, k N;, b R. Rozmyslete si, že pro x R pltí: ((x + b) n ) (k) = n(n )... (n k + ) k (x + b) n k, ( e x+b ) (k) = k e x+b. 5.3 Diferenciál funkce Definice 5.8. Říkáme, že f(x) má v bodě diferenciál, je-li možno její přírůstek vyjádřit ve tvru f(, h) = f( + h) f() = Ah + r(h)h, (5.) kde A je konstnt r je funkce splňující podminku: lim h 0 r(h) = 0. Vět 5.9. (Nutná postčující podmínk existence diferenciálu.) Funkce f(x) má v bodě diferenciál tehdy jen tehdy, má-li v bodě vlstní derivci. Konstnt A v rovnici (5.) je rovn hodnotě f (), čili f(, h) = f( + h) f() = f ()h + r(h)h. Důkz. Rovnice (5.) znmená totéž, co rovnice: f( + h) f() Ah lim h 0 h = f () A = lim h 0 r(h) = 0. Tedy existuje-li diferenciál, pk se musí rovnt derivci nopk. 74

75 Definice Výrzu f ()h říkáme diferenciál funkce f v bodě. Znčíme ho df(). V obecném přípdě píšeme df(x) (nebo tké dy). Geometrický význm diferenciálu je následující: Nhrdíme-li přírůstek f(, h) = f( + h) f() diferenciálem f ()h, znmená to, že místo přírůstku n křivce y = f(x) bereme jen přírůstek n tečně y = f() + f ()(x ). Tím se dopouštíme chyby, která je rovn funkci r(h)h. Přitom funkce r(h)h se pro mlá zmenšující se h blíží k nule rychleji než diferenciál (tedy pokud je různý od nuly). Tedy čím menší bude h, tím menší reltivní chyby se dopustíme, nhrdíme-li f diferenciálem df. Příkld 5.3. Diferenciálu čsto používáme k přibližnému určení chyby, které se dopustíme, počítáme-li hodnotu nějké veličiny z jiné veličiny, která byl změřen s určitou chybou. Nměříme-li npř. že poloměr koule je x = 4cm, víme-li, že chyb měření je mximálně h = 0, mm, pk mximální chyb při výpočtu objemu V (4) = 4π 3 43 = 56π 3 cm3 68cm 3 je přibližně dán diferenciálem V (4) 0, 0 = 4 π 4 0, 0 = 0, 64 πcm 3 cm 3. 75

76 Kpitol 6 Obecné věty o spojitosti derivci 6. Obecné věty o spojitých funkcí Nejprve si uvedeme několik názorných vět o vlstnostech spojitých funkcí n uzvřených intervlech. Vět 6.. (O omezenosti spojité funkce.) Funkce spojitá v uzvřeném intervlu je v tomto intervlu omezená. Důkz. Nechť funkce f je spojitá v [, b]. Protože funkce f je spojitá zprv v bodě, existuje δ (b δ > 0) tk, že nerovnost f() < f(x) < f()+ pltí pro x [, +δ). Tedy funkce f je v tomto intervlu omezená. Oznčme množinu M = {x [, b]; f je omezená v intervlu [, x)}. Tto množin je neprázdná shor omezená, tedy podle věty o supremu existuje c = sup M. Nyní sporem dokážeme, že c = b. Předpokládejme, že c < b, potom c (, b) podle předpokldu věty je funkce v tomto bodě spojitá, existuje δ (min{b c, c } > δ > 0) tk, že nerovnost f(c) < f(x) < f(c) + pltí pro x (c δ, c + δ ) (δ jsme volili tk, by (c δ, c + δ ) [, b]). Tedy funkce f je v tomto intervlu omezená, tkže je omezená i v intervlu [, c + δ ), což je ve sporu s tím, že c = sup M < b. Pltí tedy, že b = sup M funkce f je omezená v intervlu [, b). Zbývá vyšetřit bod b, le v tomto bodě je funkce f spojitá zlev, existuje tedy δ (b > δ > 0) tk, že nerovnost f(b) < f(x) < f(b) + pltí pro x (b δ, b]. Tedy funkce f je v tomto intervlu omezená. Celkem jsme dokázli, že funkce f je omezená v intervlech [, b) (b δ, b], tkže je omezená i v intervlu [, b]. Poznámk 6.. Pro neuzvřené intervly předchozí vět nepltí. Npř. funkce x v intervlu (0, ], le zřejmě v něm není shor omezená. je spojitá 76

77 Vět 6.3. (O nbývání minim mxim.) Nechť funkce f je spojitá v intervlu [, b]. Potom existují v intervlu [, b] body x, x tk, že f(x ) = sup f(x) f(x ) = inf f(x). x [,b] x [,b] Tedy funkce f nbývá v bodě x svého mxim v bodě x svého minim. Nebo-li pro všechn x [, b] pltí: f(x ) f(x) f(x ). Důkz. Funkce f spojitá v [, b] je v tomto intervlu podle předchozí věty omezená. Podle věty o supremu existuje číslo G = sup x [,b] f(x) tk, že f(x) G. Chceme njít x [, b] tk, by f(x ) = G. Předpokládejme, že tkové x neexistuje, pltí tedy f(x) < G pro všechn x [, b] z toho odvodíme spor. Podle věty o spojitosti rozdílu podílu jsou funkce G f(x) G f(x) spojité v intervlu [, b]. Podle předchozí věty je funkce G f(x) omezená nvíc kldná. Existuje tedy číslo K tk, že G f(x) < K tedy G f(x) > K nebo-li f(x) < G K pro všechn x [, b]. Tkže číslo G je menší horní závor než G, což je spor s K předpokldem, že G je nejmenší horní závor (supremum). Existuje tedy x [, b] tk, že f(x ) = G. Zbývá dokázt, že funkce f nbývá i svého minim. Podle věty o spojitosti rozdílu je funkce f(x) spojitá v [, b] tedy existuje x [, b] tk, že f(x ) = sup f(x). Dále x [,b] zřejmě pltí inf x [,b] f(x) = sup x [,b] f(x), tkže celkem máme f(x ) = sup f(x) = inf f(x). x [,b] x [,b] Poznámk 6.4. Funkce může nbývt svého minim mxim i ve více bodech. Npříkld funkce y = sin x nbývá v intervlu [ π, π] mximální hodnoty v bodech 3π π, minimální hodnoty v bodech π 3π. Vět 6.5. (O nbývání hodnot.) Nechť funkce f je spojitá v intervlu [, b]. Potom funkce f nbývá v intervlu (, b) všech hodnot ležících mezi čísly i := f(x) s := sup x [,b] inf x [,b] f(x). (Tedy je-li d libovolné číslo ležící mezi čísly i s, potom existuje lespoň jedno číslo c tk, že < c < b f(c) = d.) 77

78 Důkz. Nechť pro číslo d pltí inf f(x) < d < sup f(x). (Je-li d = i nebo d = s, pk x [,b] x [,b] vět zřejmě pltí.) Podle věty o nbývání minim mxim existují čísl x, x tk, že f(x ) = sup x [,b] f(x) f(x ) = inf f(x). x [,b] Je-li x < x, oznčme množinu M = {x [x, x ]; f(x) < d}. Množin M je neprázdná (obshuje bod x ) zdol omezená, tedy podle věty o infimu existuje bod c = inf M. (c x, protože jink by pltilo f(x ) f(x) > f(x ) f(x) f(x ) d pro x (x, x + δ), což je ve sporu se spojitostí zprv v bodě x.) V bodě c je funkce f spojitá, tkže pro všechn ε > 0 existuje δ (min{x c, c x } > δ > 0) tk, že nerovnost f(x) ε < f(c) < f(x) + ε pltí pro x (c δ, c + δ). (6.) Nyní mohou nstt dvě vrinty buď x M, pk je f(x) < d podle (6.) je i f(c) < d+ε, nebo x / M, pk je f(x) d podle (6.) je i d ε < f(c). Dostneme tedy nerovnost f(c) d < ε pro libovolné ε > 0, tkže f(c) = d. Je-li x < x, oznčme množinu N = {x [x, x ]; f(x) < d}. Množin N je neprázdná (obshuje bod x ) shor omezená, tedy podle věty o supremu existuje bod c = sup N. (c x, protože jink by pltilo f(x ) f(x) > f(x ) f(x) f(x ) d pro x (x δ, x ), což je ve sporu se spojitostí zlev v bodě x.) V bodě c je funkce f spojitá, tkže pro všechn ε > 0 existuje δ (min{x c, c x } > δ > 0) tk, že nerovnost f(x) ε < f(c) < f(x) + ε pltí pro x (c δ, c + δ). (6.) Nyní mohou nstt dvě vrinty buď x N, pk je f(x) < d podle (6.) je i f(c) < d+ε, nebo x / M, pk je f(x) d podle (6.) je i d ε < f(c). Dostneme tedy nerovnost f(c) d < ε pro libovolné ε > 0, tkže opět f(c) = d. Poznámk 6.6. Předchozí vět opět nepltí v přípdě, že funkce není spojitá - viz. npříkld funkce f(x) = sgn x. Sndným důsledkem věty o nbývání hodnot je následující vět. Vět 6.7. Nechť je funkce f spojitá v intervlu J. Potom funkce f zobrzuje intervl J buď n jednobodovou množinu nebo n intervl. 78

79 Poznámk 6.8. Nechť funkce f je spojitá v intervlu J. Je-li J = [, b] uzvřený intervl, je množin N opět uzvřený intervl nebo jednobodová množin. Neboť podle věty o omezenosti spojité funkce je množin N omezená podle věty o nbývání minim mxim ptří krjní body intervlu N (tedy pokud N je intervl ne jednobodová množin), tj. čísl sup N = sup x [,b] f(x), inf N = inf x [,b] f(x) k intervlu N. V osttních přípdech nemusí druh intervlu zůstt zchován. Npříkld funkce x zobrzuje otevřený intervl (, ) n polouzvřený intervl [0, ). 6. Věty o střední hodnotě Definice 6.9. Nechť f je funkce x 0 číslo. Říkáme, že funkce f je rostoucí v bodě x 0, jestliže existuje číslo δ > 0 tkové, že pro x 0 < x < x 0 + δ je f(x) > f(x 0 ) pro x 0 δ < x < x 0 je f(x) < f(x 0 ). Říkáme, že funkce f je klesjící v bodě x 0, jestliže existuje číslo δ > 0 tkové, že pro x 0 < x < x 0 + δ je f(x) < f(x 0 ) pro x 0 δ < x < x 0 je f(x) > f(x 0 ). Vět 6.0. (Význm znménk první derivce.) Je-li f (x 0 ) > 0, potom je funkce f rostoucí v bodě x 0. Je-li f (x 0 ) < 0, potom je funkce f klesjící v bodě x 0. Důkz. V přípdě prvního tvrzení máme f(x) f(x 0 ) lim > 0. x x 0 x x 0 Tedy existuje δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ je f(x) f(x 0 ) x x 0 > 0, tkže čittel má totéž znménko jko jmenovtel. Pro x 0 < x < x 0 +δ je jmenovtel kldný, tedy i čittel je kldný, tkže f(x) > f(x 0 ). Pro x 0 δ < x < x 0 je jmenovtel záporný, tedy i čittel je záporný, tkže f(x) < f(x 0 ). Podobně můžeme dokázt i druhé tvrzení. K důkzu věty o střední hodnotě budeme potřebovt následující názornou větu Vět 6.. (Rolleov.) Nechť funkce f má tyto vlstnosti: Funkce f(x) je spojitá v intervlu [, b], funkce f(x) má derivci (vlstní nebo nevlstní) v kždém bodě otevřeného intervlu (, b), f() = f(b) = 0. 79

80 Potom existuje číslo c (, b) tk, že f (c) = 0. Důkz. Mohou nstt tři přípdy: Buď existuje lespoň jeden bod x (, b) tk, že f(x ) > 0, nebo existuje lespoň jeden bod x (, b) tk, že f(x ) < 0, nebo pltí f(x) = 0 v kždém bodě intervlu (, b). V posledním přípdě není již co dokzovt. Podívejme se podrobně n první přípd. Podle věty o nbývání mxim existuje číslo c, kde funkce f nbývá svého mxim. Dále pltí < c < b, protože podle předpokldu je f() = f(b) = 0 f(c) > 0. Podle věty o význmu znménk první derivce nemůže být derivce funkce f v bodě c kldná, protože pk by funkce f byl rostoucí, nemůže být ni záporná, protože pk by funkce f byl klesjící obojí je ve sporu s tím, že v bodě c nbývá funkce f svého mxim. Vzhledem k tomu, že v tomto bodě existuje dle předpokldů derivce, pltí f (c) = 0. Podobnou úvhou můžeme dokázt i druhý přípd (tm by se jednlo o minimum). Sndným zobecněním Rolleovy věty je následující vět, v níž je vynechán poždvek f() = f(b) = 0 Vět 6.. (O střední hodnotě.) Funkce f nechť je spojitá v intervlu [, b] má derivci (vlstní nebo nevlstní) v kždém bodě otevřeného intervlu (, b). Potom existuje v intervlu (, b) číslo c tk, že f (c) = Důkz. Definujme funkci g předpisem f(b) f(). b g(x) = f(x) f() x (f(b) f()). b Funkce g je spojitá v intervlu [, b] v kždém bodě intervlu (, b) má derivci g (x) = f (x) f(b) f(). b A konečně g() = g(b) = 0. Funkce g splňuje předpokldy Rolleovy věty, existuje tedy číslo c (, b) tk, že 0 = g (c) = f f(b) f() (c). b Větu o střední hodnotě lze ještě dále zobecnit. 80

81 Vět 6.3. (Zobecněná vět o střední hodnotě.) Nechť funkce f, g mjí tyto vlstnosti: Funkce f(x), g(x) jsou spojité v intervlu [, b], v kždém bodě otevřeného intervlu (, b) existuje derivce f (x) (vlstní nebo nevlstní) vlstní derivce g (x), v kždém bodě x intervlu (, b) je g (x) 0. Potom existuje v intervlu (, b) bod c tk, že Důkz. Definujme funkci F předpisem f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c). F (x) = (f(x) f())(g(b) g()) (g(x) g())(f(b) f()). Funkce F (x) je zřejmě spojitá v intervlu [, b]. Dále má tto funkce vlstní nebo nevlstní derivci v kždém bodě intervlu (, b). F (x) = f (x)(g(b) g()) g (x)(f(b) f()). A konečně F () = F (b) = 0. Funkce F (x) splňuje předpokldy Rolleovy věty tedy existuje v intervlu (, b) číslo c tk, že 0 = F (c) = f (c)(g(b) g()) g (c)(f(b) f()). (6.3) Dále podle věty o střední hodnotě existuje číslo c (, b) tk, že g g(b) g() (c ) =. b Podle předpokldu je g (c ) 0 tedy i g(b) g() 0. Proto můžeme rovnici (6.3) vydělit jk g (x) tk i výrzem g(b) g() dostneme tvrzení věty. 8

82 6.3 l Hospitlovo prvidlo Jednou z plikcí vět o střední hodnotě je vyšetřování limit typu 0 0. Vět 6.4. (l Hospitlovo prvidlo.) Nechť lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo lim g(x) = +. Potom pltí: existuje-li lim f (x) f(x) (vlstní nebo nevlstní), existuje i lim g (x) g(x) pltí lim f(x) g(x) = lim f (x). Přitom může mít symbol lim kterýkoliv z těchto pěti význmů: lim g (x), x c lim x c +, lim, lim x c x, lim. x Důkz. Dokážeme tuto větu pouze pro přípd lim x c +f(x) = lim x c +g(x) = 0. Osttní přípdy lze dokázt obdobně. Nejprve doplňme, popřípdě pozměňme definici funkcí f, g v bodě c tk, že položíme f(c) = g(c) = 0 (to můžeme provést, protože limity nezávisí n hodnotách funkcí f, g v bodě c). Potom existuje δ > 0 tk, že pro c < x < c + δ pltí z existence limit lim f(x) = 0 lim g(x) = 0 plyne, že funkce f g jsou spojité x c + x c + zprv v bodě c, f (x) z existence lim x c + g (x) plyne, že v intervlu (c, c + δ) má podíl f (x) smysl existují g (x) tedy vlstní derivce f (x), g (x) nvíc je g (x) 0. Máme tedy splněny předpokldy zobecněné věty o přírůstku funkce existuje tedy bod d tk, že f(x) g(x) A limitním přechodem dostneme tvrzení věty = f(x) f(c) g(x) g(c) = f (d) g (d), c < d < x. f(x) lim x c + g(x) = lim f(x) f(c) x c + g(x) g(c) = lim f (d) x c + g (d) = lim f (x) x c + g (x). = lim x 0 cos x =. Předpokldy l Hospitlov prvidl jsou tedy spl- sin x Příkld 6.5. Spočtěme lim. Nejprve máme lim x 0 x x 0 cos x, x cos x = lim x 0 něny máme sin x lim x 0 x = lim (sin x) x 0 x sin x = 0 lim x 0 x = 0. Dále (sin x) = = lim x 0 cos x =. 8

83 Příkld 6.6. Jestliže po první plikci l Hospitlov prvidl dostneme opět limitu typu 0 0 nebo cos x, je třeb tento postup opkovt. Ukžme si to n příkldu: lim. Nejprve x 0 x ověříme předpokldy: lim( cos x) = 0 lim x = 0. Dále ( cos x) = sin x, (x ) = x x 0 x 0 protože lim sin x = 0 lim x = 0 dostli jsme opět limitu typu 0 můžeme tedy opět zkusit x 0 x 0 0 sin x plikovt l Hospitlovo prvidlo. Ale z příkldu 6.5 víme, že lim x 0 = lim sin x x 0 x =. x Tkže limit podílu derivcí existuje tím máme splněny všechny předpokldy l Hospitlov prvidl. Pltí tedy cos x lim x 0 x Příkld 6.7. Spočtěme lim x π cos x (x π. Nejprve ověříme předpokldy l Hospitlov pr- ) ( x π ) ( ( = 0. Dále (cos x) = sin x x π ) ) = vidl: lim x π ( x π ) cos x = 0 lim x π ( cos x) sin x = lim = lim x 0 (x ) x 0 x = lim (sin x) x 0 x. Pokud jde o limitu lim x π = lim x 0 cos x =. = lim sin x x 0 x sin x (x π) je-li x blízko hodnoty π, je čittel blízko hodnoty jmenovtel je blízko nuly, to kldný pro x > π, záporný pro x < π. Tedy podobně jko v příkldu 4.40 dostneme lim x π sin x (x π) = lim x π + A podle l Hospitlov prvidl máme tké lim x π lim x π + (x π sin x (x π ) =. cos x sin x = lim ) x π (x π) =, cos x sin x = lim ) x π + (x π) =. (x π Limity zlev zprv jsou různé tedy limity lim x π cos x (x π ) lim x π sin x (x π ) neexistují. N limity typu 0 0, lze převést i některé dlší příkldy: 83

84 Příkld 6.8. Spočtěme lim x 0 + xα ln x pro α > 0. Nejprve převedeme součin n podíl typu pokud příslušná limit existuje, můžeme plikovt Hospitlovo prvidlo: ln x (ln x) lim xα ln x = lim = lim = lim x 0 + x 0 + x α x 0 + (x α ) = α lim x 0 + xα = 0. x 0 + x αx α Protože poslední limit existuje, jsou splněny předpokldy l Hospitlov prvidl všechn výše npsná rovnítk jsou npsán oprávněně. ( Příkld 6.9. Spočtěme lim x 0 x ). Nejprve převedeme rozdíl n společného jmenovtele tedy n limitu typu 0 ) ( sin x zkusíme plikovt l Hospitlovo prvidlo: 0 ( lim x 0 x ) sin x x = lim sin x x 0 x sin x = lim (sin x x) cos x = lim x 0 (x sin x) x 0 sin x + x cos x to je výrz typu 0, tkže zkusíme znovu plikovt l Hospitlovo prvidlo: 0 (cos x ) sin x = lim = lim x 0 (sin x + x cos x) x 0 cos x x sin x = 0 = 0. Protože poslední limit existuje, jsou splněny všechny předpokldy l Hospitlov prvidl všechn výše npsná rovnítk jsou npsán oprávněně. Tké lim x c f(x) g(x) lze uprvit tk, bychom mohli využít l Hospitlovo prvidlo. Především předpokládejme, že f(x) > 0 v okolí bodu c. Potom lim x c f(x)g(x) = lim e g(x) ln f(x) = e limx c(g(x) ln f(x)). x c Zde jsme využili vzthu x = e ln x tké spojitosti exponenciální funkce. Ilustrujme si tento postup n následujícím příkldu. Příkld 6.0. Spočtěme lim x 0 + xx. Pro x > 0 pltí: lim xx = lim ex ln x = e lim x 0 + (x ln x) = e 0 =. x 0 + x 0 + Využili jsme výsledek z příkldu 6.8 pro α = je lim x 0 +(x ln x) = 0. 84

85 6.4 Funkce monotónní, konvexní konkávní V této části budeme studovt význm znménk první druhé derivce pro průběh funkce. Zčneme význmem znménk první derivce. Vět 6.. Nechť funkce f je spojitá v intervlu I nechť má derivci v kždém vnitřním bodě intervlu I. Jestliže v kždém vnitřním bodě intervlu I pltí: f (x) > 0, potom je funkce f rostoucí v I. f (x) 0, potom je funkce f neklesjící v I. f (x) < 0, potom je funkce f klesjící v I. f (x) 0, potom je funkce f nerostoucí v I. f (x) = 0, potom je funkce f konstntní v I. Důkz. Nechť, b I, < b. Podle věty o střední hodnotě existuje číslo c ( < c < b) tk, že pltí f(b) f() = f (c)(b ). Potom npříkld pro první tvrzení máme f(b) f() > 0 pro, b I funkce f je tedy rostoucí. Obdobně můžeme dokázt i osttní tvrzení. Nyní již známe význm znménk první derivce pro průběh funkce můžeme se podívt n druhou derivci. Definice 6.. Nechť přímk p je dán rovnicí y = y 0 + k(x x 0 ). Jestliže souřdnice bodu P = [x, y] splňují nerovnost y > y 0 + k(x x 0 ), říkáme, že bod P = [x, y] leží nd přímkou p. Splňují-li nerovnost y < y 0 + k(x x 0 ), říkáme, že bod P = [x, y] leží pod přímkou p. Definice 6.3. Nechť f je funkce, definovná v intervlu I, která má tuto vlstnost: jsouli x, x, x 3 libovolná tři čísl z intervlu I splňující nerovnost x < x < x 3, leží bod P = [x, f(x )] buď pod přímkou, spojující body P = [x, f(x )] P 3 = [x 3, f(x 3 )], nebo n ní. Potom říkáme, že funkce f je konvexní v intervlu I. Jestliže v této definici nhrdíme slovo pod slovem nd, obdržíme definici funkce konkávní v I. Definice 6.4. Nechť f je funkce, definovná v intervlu I, která má tuto vlstnost: jsouli x, x, x 3 libovolná tři čísl z intervlu I splňující nerovnost x < x < x 3, leží bod P = [x, f(x )] pod přímkou, spojující body P = [x, f(x )] P 3 = [x 3, f(x 3 )]. Potom říkáme, že funkce f je ryze konvexní v intervlu I. Jestliže v této definici nhrdíme slovo pod slovem nd, obdržíme definici funkce ryze konkávní v I. 85

86 Poznámk 6.5. Kždá funkce ryze konvexní (konkávní) v I je konvexní (konkávní) v I, le ne nopk. Poznámk 6.6. Přímk spojující body P P 3 z předchozích definic má rovnici y = f(x 3) f(x ) x 3 x (x x ) + f(x ). Funkce f je tedy konvexní v intervlu I tehdy jen tehdy, jestliže pro kždou trojici čísel x, x, x 3 z intervlu I splňující nerovnost x < x < x 3, pltí nerovnost f(x ) f(x 3) f(x ) x 3 x (x x ) + f(x ), nebo-li f(x )(x 3 x ) f(x 3 )(x x ) + f(x )(x 3 x ). (6.4) Podobně pro funkce konkávní dostneme f(x )(x 3 x ) f(x 3 )(x x ) + f(x )(x 3 x ) (6.5) Pro funkce ryze konvexní (konkávní) bychom pouze neostré nerovnosti nhrdili ostrými nerovnostmi. Vidíme, že nerovnost (6.4) dostneme z nerovnosti (6.5) pouze obrácením znménk nerovnosti. Z toho plyne, že funkce f je konvexní (ryze konvexní) v intervlu I tehdy jen tehdy, je-li funkce f konkávní (ryze konkávní) v I. Obrázek 6.: Upozorněme, že k tomu, by byl funkce f n intervlu I konvexní musí úsečk y ležet nd funkcí f pro, b I splňující < b. 86

87 Vět 6.7. Nechť funkce f je spojitá v intervlu I nechť má druhou derivci v kždém vnitřním bodě intervlu I. Potom funkce f je v intervlu I konvexní, právě když f (x) 0 v kždém vnitřním bodě intervlu I. ryze konvexní, právě když f (x) > 0 v kždém vnitřním bodě int. I. konkávní, právě když f (x) 0 v kždém vnitřním bodě intervlu I. ryze konkávní, právě když f (x) < 0 v kždém vnitřním bodě int. I. Důkz. Tvrzení věty dokážeme pouze pro konvexní funkce. Pro ryze konvexní funkce by to byl pouze jednoduchá modifikce důkzu pro konvexní funkce pro konkávní ryze konkávní funkce tvrzení pltí n zákldě poznámky 6.6. Nechť x < x < x 3 jsou tři body z intervlu I. Podle věty o střední hodnotě existují čísl c d tk, že x < c < x < d < x 3 f(x 3 ) f(x ) = f (d) f (c) = f(x ) f(x ). x 3 x x x Je-li f (x) 0, je funkce f neklesjící tedy f(x 3 ) f(x ) x 3 x f(x ) f(x ) x x nebo-li (f(x 3 ) f(x ))(x x ) (f(x ) f(x ))(x 3 x ). A poslední nerovnost odpovídá nerovnosti (6.4), tedy funkce f je v intervlu I konvexní. Tím jsme dokázli jednu implikci. K důkzu druhé implikce předpokládejme existenci čísl x I tk, že f (x ) < 0. Dále existuje δ > 0 tk, že jednk f (x) < 0 pro x (x δ, x +δ) jednk (x δ, x +δ) I. Zvolíme-li nyní x = x δ x 3 = x + δ, došli bychom stejným způsobem jko v první části důkzu, že funkce f je v intervlu (x δ, x + δ) ryze konkávní tedy nemůže být v intervlu I konvexní. Nyní ještě vyšetříme, co se dá usoudit o průběhu funkce ze znménk druhé derivce v zdném bodě x 0. Definice 6.8. Nechť existuje derivce f (x 0 ) v bodě x 0. Existuje-li číslo δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ leží bod [x, f(x)] nd tečnou y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), (6.6) říkáme, že funkce f je ryze konvexní v bodě x 0. Existuje-li číslo δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ leží bod [x, f(x)] pod tečnou (6.6), říkáme, že funkce f je ryze konkávní v bodě x 0. 87

88 Vět 6.9. (Význm znménk druhé derivce.) Je-li f (x 0 ) > 0, je funkce f v bodě x 0 ryze konvexní. Je-li f (x) < 0, je funkce f v bodě x 0 ryze konkávní. Důkz. Je-li f (x 0 ) > 0, potom je funkce f (x) rostoucí v bodě x 0. To znmená, že existuje δ > 0 tk, že pro x 0 δ < c < x 0 je f (c) < f (x 0 ) pro x 0 < c < x 0 + δ je f (x 0 ) < f (c). Je-li x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) existuje podle věty o střední hodnotě číslo c ležící mezi x 0, x tk, že f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ). (6.7) Je-li nyní x 0 < x < x 0 + δ, je i x 0 < c < x 0 + δ, potom pltí x x 0 > 0 f (x 0 ) < f (c). Poslední nerovnost vynásobíme kldným číslem (x x 0 ) dostneme f (c)(x x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ). Je-li nopk x 0 δ < x < x 0, je i x 0 δ < c < x 0, potom pltí x x 0 < 0 f (x 0 ) > f (c). Poslední nerovnost vynásobíme záporným číslem (x x 0 ) dostneme opět f (c)(x x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ). Doszením této nerovnosti do rovnosti (6.7) dostneme y = f(x) = f (c)(x x 0 ) + f(x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Tím je dokázáno, že funkce f v bodě x 0 ryze konvexní. Druhou část věty buď dokážeme podobně jko první část nebo užijeme první část n funkci f. 6.5 Lokální bsolutní extrémy Definice Nechť je dáno číslo c funkce f, definovná v intervlu M obshujícím bod c. Jestliže f(x) f(c) pro všechn x z dného intervlu M, říkáme, že funkce f má v bodě c bsolutní (globální) mximum n M. Definice 6.3. Nechť je dáno číslo c funkce f, definovná v jistém intervlu (, b) obshujícím bod c. Existuje-li δ > 0 tk, že x (c δ, c + δ) je f(x) f(c), říkáme, že funkce f má v bodě c lokální mximum. Lze-li zvolit δ > 0 tk, že x (c δ, c) (c, c + δ) je f(x) < f(c), říkáme, že funkce f má v bodě c ostré lokální mximum. Obrázek 6.: Funkce f je v bodě ryze konvexní, ztímco funkce f je v bodě ryze konkávní. 88

89 Definice 6.3. Nechť je dáno číslo c funkce f, definovná v intervlu M obshujícím bod c. Jestliže f(x) f(c) pro všechn x z dného intervlu M, říkáme, že funkce f má v bodě c bsolutní (globální) minimum n M. Definice Nechť je dáno číslo c funkce f, definovná v jistém intervlu (, b) obshujícím bod c. Existuje-li δ > 0 tk, že x (c δ, c + δ) je f(x) f(c), říkáme, že funkce f má v bodě c lokální minimum. Lze-li zvolit δ > 0 tk, že x (c δ, c) (c, c + δ) je f(x) > f(c), říkáme, že funkce f má v bodě c ostré lokální minimum. Vět (Hledání bsolutních extrémů.) Nechť funkce f je definován v intervlu I. Má-li funkce f v bodě c I bsolutní mximum n I, potom je bod c buď krjním bodem intervlu I nebo má funkce f v bodě c lokální mximum. Obdobně má-li funkce f v bodě d I bsolutní minimum n I, potom je bod d buď krjním bodem intervlu I nebo má funkce f v bodě d lokální minimum. Důkz. Není-li bod c krjním bodem intervlu I, existuje δ > 0 tk, že (c δ, c + δ) I podle předpokldu je f(x) f(c) pro x (c δ, c + δ). Tedy funkce f má v bodě c lokální mximum. Podobně pro minimum. Význm lokálních extrémů pro získání předstvy o průběhu funkcí je jsný. Návod jk nlézt lokální extrémy popíšeme v následujících dvou větách. Vět (Nutná podmínk existence lokálního extrému.) Existuje-li f (x 0 ) 0, nemá funkce f v bodě x 0 lokální extrém. Důkz. Je-li f (x 0 ) 0, tedy buď f (x 0 ) > 0 nebo f (x 0 ) < 0, potom je funkce f v bodě x 0 buď rostoucí nebo klesjící nemůže mít v bodě x 0 ni lokální mximum ni lokální minimum. Poznámk Funkce f (x) = x f (x) = x 3 mjí v bodě 0 derivci rovnou nule, le ztímco funkce f má v bodě 0 ostré lokální minimum, funkce f nemá v bodě 0 lokální extrém (je v tomto bodě rostoucí). Dále funkce f 3 (x) = x f 4 (x) = x + x nemjí v bodě 0 derivci (viz. poznámk 5.8). Ale ztímco funkce f 3 má v bodě 0 ostré lokální minimum, funkce f 4 nemá v bodě 0 lokální extrém (je v tomto bodě rostoucí). Lokální extrémy může (le nemusí!) mít funkce jen v bodech, ve kterých derivce buď neexistuje nebo je rovn nule. V následující větě si ukážeme, jk rozhodnout v těchto přípdech. Vět (Postčující podmínk existence lokálního extrému.) Nechť x 0 (, b). Dále nechť funkce f je spojitá v intervlu (, b) má derivci v kždém bodě intervlu (, b) různém od bodu x 0. Existuje-li δ > 0 tk, že pro x 0 δ < x < x 0 je f (x) > 0 pro x 0 < x < x 0 + δ je f (x) < 0, potom má funkce f v bodě x 0 ostré lokální mximum. 89

90 pro x 0 δ < x < x 0 je f (x) < 0 pro x 0 < x < x 0 + δ je f (x) > 0, potom má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. pro 0 < x x 0 < δ je f (x) > 0, potom je funkce f v bodě x 0 rostoucí. pro 0 < x x 0 < δ je f (x) < 0, potom je funkce f v bodě x 0 klesjící. Důkz. Je-li x libovolný bod tkový, že 0 < x x 0 < δ, existuje podle věty o střední hodnotě číslo c ležící mezi x 0, x tk, že je f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ). (6.8) V prvním přípdě pro x 0 δ < x < x 0 je (x x 0 ) < 0 f (c) > 0. Tedy f (c)(x x 0 ) < 0 po doszení do rovnice (6.8) dostneme f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ) < 0. Pro x 0 < x < x 0 + δ máme (x x 0 ) > 0 f (c) < 0. Tedy f (c)(x x 0 ) < 0 po doszení do rovnice (6.8) máme opět f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ) < 0. Tkže pro x (x 0 δ, x 0 +δ) pltí f(x) < f(x 0 ) funkce f má v bodě x 0 ostré lokální mximum. Osttní přípdy se dokzují stejným způsobem. Příkld Hledejme bsolutní extrémy funkce f(x) = x 3 3x + 0 v intervlu [ 3, 3). Funkce f může mít bsolutní extrémy pouze n hrnici intervlu (x = 3) nebo v bodech, v nichž derivce buď neexistuje nebo se rovná nule. Spočteme tedy derivci f (x) = 3x 3x = 3(x ) = 3(x )(x + ). Derivce existuje ve všech bodech derivce se rovná nule v bodech x = x =. Dále ze znménk derivce plyne: v intervlu ( 3, ) je derivce kldná, tkže funkce roste od hodnoty f( 3) = 8 do hodnoty f( ) = ; v intervlu (, ) je derivce záporná, tkže funkce klesá od hodnoty f( ) = (tedy v bodě x = má podle předchozí věty funkce f lokální mximum) do hodnoty f() = 8 v intervlu (, 3) je derivce opět kldná, tkže funkce je v tomto intervlu rostoucí. Tedy v bodě x = má podle předchozí věty funkce f lokální minimum (f() = 8). Porovnáním čísel f( 3) = 9, f( ) =, f() = 8 lim x 3 f(x) = f(3) = 8, zjistíme, že v intervlu [ 3, 3) má funkce f bsolutní minimum v bodě x = 3, le nemá bsolutní mximum, neboť sup x [ 3,3) f(x) = 8, le této hodnoty funkce f v intervlu [ 3, 3) nenbývá. V přípdě, že bychom hledli bsolutní extrémy n uzvřeném intervlu [ 3, 3], potom by v bodě x = 3 bylo bsolutní mximum v bodě x = 3 bsolutní mximum. Poznámk K rozhodnutí, zd-li v bodech, v nichž je derivce rovn nule nebo neexistuje, je lokální extrém, můžeme použít předchozí větu. V tomto přípdě musíme vyšetřovt chování první derivce ve všech bodech intervlu (x 0 δ, x 0 +δ), různých od bodu x 0. Místo toho můžeme využít následující větu, v níž vystupují derivce vyšších řádů, le stčí, když známe jejich hodnoty v jediném bodě x 0. Tto vět může selht v přípdech, kdy některá derivce v bodě x 0 neexistuje. 90

91 Vět Nechť f je funkce x 0 číslo. Dále nechť existuje přirozené číslo n tk, že je f (n) (x 0 ) 0 f (k) (x 0 ) = 0 pro 0 < k < n. Potom pltí: Je-li n liché f (n) (x 0 ) > 0, potom je funkce f rostoucí v bodě x 0. Je-li n liché f (n) (x 0 ) < 0, potom je funkce f klesjící v bodě x 0. Je-li n sudé f (n) (x 0 ) > 0, potom má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Je-li n sudé f (n) (x 0 ) < 0, potom má funkce f v bodě x 0 ostré lokální mximum. Důkz. Větu dokážeme mtemtickou indukcí pro přípd f (n) (x 0 ) > 0. ) Pro n = máme f (x 0 ) > 0 tedy funkce f je rostoucí v bodě x 0. ) Nechť n > předpokládejme, že tvrzení věty pltí pro m = n, máme tedy f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0 f (n ) (x 0 ) > 0, chceme dokázt, že tvrzení pltí i pro m = n. Funkce g = f vyhovuje indukčnímu předpokldu neboť g (x 0 ) = g (x 0 ) = = g (n ) (x 0 ) = 0 g (n ) (x 0 ) > 0. Tedy pro funkci g vět pltí. Nyní rozlišme dv přípdy: Je-li n sudé (tedy n liché), je podle tvrzení věty funkce g = f rostoucí v bodě x 0. Protože g(x 0 ) = f (x 0 ) = 0, existuje δ > 0 tk, že pro x 0 δ < x < x 0 je f (x) < 0 pro x 0 < x < x 0 + δ je f (x) > 0. Potom podle předchozí věty (přípd ) má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Je-li n liché (tedy n sudé), má podle tvrzení věty funkce g = f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Protože g(x 0 ) = f (x 0 ) = 0, existuje δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ je f (x) > 0. Potom podle předchozí věty (přípd 3) je funkce f rostoucí v bodě x 0. Druhý přípd f (n) (x 0 ) < 0 lze dokázt podobně nebo převést tento přípd n předchozí vyšetřováním funkce f místo funkce f. 6.6 Inflexní body Již známe význm znménk druhé derivce. Nyní budeme zkoumt, co se děje v bodech, v nichž je druhá derivce rovn nule nebo neexistuje. Podíváme-li se, kdy je funkce podle definice ryze konvexní nebo ryze konkávní v bodě, zjistíme, že v některých bodech, v nichž je druhá derivce rovn nule nebo neexistuje, bude prvděpodobně přecházet křivk v bodě [x 0, f(x 0 )] z jedné strny tečny n druhou. Definice 6.4. Nechť funkce f má v bodě x 0 derivci. Dále nechť existuje číslo δ > 0 tk, že nstává jeden z těchto dvou přípdů: Buď leží bod [x, f(x)] pro x 0 δ < x < x 0 pod tečnou pro x 0 < x < x 0 + δ nd tečnou. y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (6.9) 9

92 Nebo leží bod [x, f(x)] pro x 0 δ < x < x 0 nd tečnou (6.9) pro x 0 < x < x 0 + δ pod tečnou. Potom říkáme, že funkce f má v bodě x 0 inflexi nebo tké, že křivk y = f(x) má v bodě [x 0, f(x 0 )] inflexní bod. Obrázek 6.3: Funkce f má v bodě inflexní bod, ztímco funkce g je v bodě ryze konvexní funkce g je v bodě ryze konkávní. Vět 6.4. (Nutná podmínk existence inflexe.) Existuje-li f (x 0 ) 0, potom nemá funkce f v bodě x 0 inflexi. Důkz. Je-li f (x 0 ) 0, potom je funkce f v bodě x 0 buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. Podle definice tedy nedochází k přechodu křivky v bodě [x 0, f(x 0 )] z jedné strny tečny n druhou v bodě x 0 není inflexní bod. Poznámk Inflexe tedy může nstt jen v bodech, v nichž se druhá derivce buď rovná nule nebo neexistuje. Otázku, zd-li je v tkovém bodě inflexní bod, nám pomůže rozhodnout následující vět. Vět (Postčující podmínk existence inflexe.) Nechť x 0 (, b). Dále nechť funkce f má spojitou první derivci v intervlu (, b) nechť má druhou derivci v kždém bodě intervlu (, b) různém od bodu x 0. Potom pltí: Existuje-li δ > 0 tk, že pro x 0 δ < x < x 0 je f (x) < 0 pro x 0 < x < x 0 + δ je f (x) > 0, má funkce f v bodě x 0 inflexi. Existuje-li δ > 0 tk, že pro x 0 δ < x < x 0 je f (x) > 0 pro x 0 < x < x 0 + δ je f (x) < 0, má funkce f v bodě x 0 inflexi. Existuje-li δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ je f (x) > 0, je funkce f v bodě x 0 ryze konvexní. Existuje-li δ > 0 tk, že pro 0 < x x 0 < δ je f (x) < 0, je funkce f v bodě x 0 ryze konkávní. Důkz této věty je podobný důkzu postčující podmínky existence lokálního extrému, tkže ho vynecháme. 9

93 6.7 Dodtky příkldy Definice Nechť T = [x, f(x)] je bod rovinné křivky y = f(x) p je přímk určen f(x) kx q rovnicí y = kx + q. Vzdálenost bodu T od přímky p oznčme v(x) =. k + Je-li lim v(x) = 0, pk přímku p nzýváme symptotou křivky. Má-li funkce f v bodě c x nevlstní limitu nebo (popřípdě jednostrnnou), pk přímk x = c (rovnoběžná s osou y) je svislou symptotou. Pro symptoty, které nejsou rovnoběžné s osou y pltí: Vět Je-li křivk y = f(x) definován v intervlu [, ) existují-li vlstní limity k = lim x f(x) x q = lim x (f(x) kx), pk symptot existuje má rovnici y = kx + q. Anlogické tvrzení lze vyslovit i pro přípd intervlu (, ]. Důkz. lim (f(x) kx q) = lim (f(x) kx) q = q q = 0. x x Absolutní hodnot je spojitá funkce, tkže f(x) kx q lim x k + = 0 k + = 0. N závěr uvedeme několik plikcí teorie probrné v této kpitole. Příkld (Vyšetřování průběhu funkce.) Vyšetřujme průběh funkce f(x) = x+ x. Určíme definiční obor D(f) = {x R; x 0}. Funkce je spojitá n celém definičním oboru. Dále si všimněme, že dná funkce je lichá f( x) = x + ( x = x + ) = f(x). x Spočtěme první druhou derivci f (x) = x f (x) = x 3 pro všechn x D(f). 93

94 Njdeme lokální extrémy. Rovnice f (x) = x = 0 je splněn v bodech x = x =. Podle věty 6.40 pro n = je v bodě x = ostré lokální minimum (f () = > 0) v bodě x = ostré lokální mximum (f ( ) = < 0). Nkonec spočteme funkční hodnoty f() = f( ) =. V osttních bodech definičního oboru derivce existuje je různá od nuly, tkže žádné dlší lokální extrémy dná funkce nemá. Pro x > je f (x) = > 0, tkže funkce f je rostoucí v intervlech (, ) x (, ). V intervlech (0, ) (, 0) je f (x) = < 0 tedy funkce f je v x těchto intervlech klesjící. Dále je f (x) = > 0 pro x > 0, tkže funkce f je ryze konvexní v intervlu x3 (0, ). V intervlu (, 0) je f (x) = < 0 tedy funkce f je v tomto intervlu x 3 ryze konkávní. Druhá derivce existuje je různá od nuly n celém definičním oboru funkce f, tkže funkce f nemá inflexní bod. Nkonec spočteme limity v krjních bodech definičního oboru určíme symptoty. ( lim x + ) ( =, lim x + ) =, x 0 + x x 0 x tkže přímk x = 0 je svislá symptot. Dále existují konečné limity f(x) k = lim x ± x = lim x + x = lim ( + x ) = lim( + y ) =, x ± x x ± y 0 q = lim (f(x) kx) = lim x ± x ± (x + x x ) tedy podle věty 6.46 je přímk y = x symptot. Nčrtneme grf: ( ) = lim = 0, x ± x 94

95 Poznámk Je-li funkce lichá, je její grf je symetrický vzhledem k počátku souřdnic. Této vlstnosti bychom mohli využít vyšetřovt její průběh jen pro x 0 protože má-li lichá funkce npříkld v bodě x = lokální mximum, bude mít v bodě x = lokální minimum, je-li funkce npříkld n intervlu (0, ) konvexní, bude n intervlu (, 0) konkávní podobně. Tkže v předchozím příkldu stčilo vyšetřovt zdnou funkci pouze pro x > 0 její průběh pro x < 0 odvodit z příslušné symetrie. Je-li funkce sudá, je její grf je symetrický podle osy y. Potom opět stčí vyšetřovt její průběh pouze pro x 0 protože má-li sudá funkce npříkld v bodě x = lokální mximum, bude mít v bodě x = tké lokální mximum, je-li funkce npříkld n intervlu (0, ) konvexní, bude konvexní i n intervlu (, 0) podobně. Příkld Který z obdélníků o obvodu O cm (O > 0) má největší obsh? Oznčíme-li strny obdélník ( x ) y, potom obsh S = xy O = (x + y), nebo-li y = O O x. Potom S(x) = x x = Ox x. Vzhledem k tomu, že délky strn musí být [ nezáporné, hledáme nyní mximum funkce S v intervlu x 0, O ]. Funkce S nbývá svého mxim buď v bodech, v nichž je derivce rovn nule, nebo v krjních bodech. Z rovnice S (x) = O x = 0, plyne x = O. Máme tedy tři kndidáty n bsolutní extrém: ( ) ( ) 4 O O S (0) = 0, S = 0 S = O 4 6. Absolutní mximum tedy nstává v bodě x = O 4, nebo-li největší obsh mezi všemi obdélníky o obvodu O má čtverec o strně O 4. Vět (O derivci prmetricky zdné funkce.) Nechť mjí funkce x = ϕ(t) y = ψ(t) v intervlu I vlstní derivci nechť dále ϕ (t) 0 v intervlu I. Pk pro x {ϕ(t); t I} pltí dy dx = dy dt dt dx = ψ (t) ϕ (t). Důkz. Je-li ϕ (t) 0, potom je funkce ϕ ryze monotónní existuje k ní n intervlu I inverzní funkce ϕ. Potom pro x {ϕ(t); t I} pltí y(x) = ψ(ϕ (x)) z vět o derivci složené funkce o derivci inverzní funkce plyne dy dx = ψ (t) ( ϕ (x) ) ψ (t) = ϕ (t). Poznámk 6.5. Spočítáme ještě druhou derivci prmetricky zdné funkce ( ) d dy d dx dx = dy dt dt dx dx = ψ (t)ϕ (t) ψ (t)ϕ (t) (ϕ (t)) ϕ (t). Derivce vyšších řádů spočteme podobně. 95

96 Příkld 6.5. Prmetrické rovnice elipsy jsou: x = cos t y = b sin t pro t (0, π) (pro horní polovinu elipsy). Potom pro t (0, π) pltí dy dx = ψ (t) ϕ (t) = b cos t sin t = b b x cotg t = y. 96

97 Kpitol 7 Určitý nebo-li Riemnnův integrál 7. Součtová definice integrálu V elementární geometrii se definuje obsh trojúhelník (jko polovin součinu zákldny výšky) dále obsh obrzců, které se djí rozložit n konečný počet trojúhelníků (mnohoúhelníků). Problém, který přirozeným způsobem vede k zvedení určitého integrálu, je výpočet obshu obecnějších obrzců než mnohoúhelníků. Předstvme si následující problém: Nechť je dán omezená nezáporná funkce f v intervlu [, b]. Nyní sestrojme obrzec P, ohrničený osou x, přímkmi x = x = b funkcí f. Jk spočítt obsh obrzce P? Nbízí se tto myšlenk: rozdělme intervl [, b] n několik dílků (dělícími) body x, x,, x n (pro zjednodušení znčení budeme psát = x 0 b = x n ). Kždý tkto vzniklý intervl [x i, x i ] i =,,, n bude tvořit zákldnu dvou obdélníků. První obdélník bude mít výšku M i rovnou supremu funkce f v intervlu [x i, x i ] druhý bude mít výšku m i rovnou infimu funkce f v intervlu [x i, x i ]. Potom součet obshů prvních obdélníků tvoří mnohoúhelník opsný obrzci P jeho obsh je roven číslu n M i (x i x i ). i= A součet obshů druhých obdélníků tvoří mnohoúhelník vepsný obrzci P jeho obsh je roven číslu n m i (x i x i ). i= Nyní se dostáváme k jádru nší hypotézy. Předpokládejme, že když bude počet dělících bodů vzrůstt nde všechny meze (nebo-li když budou délky jednotlivých dílků konvergovt k nule), bude jk obsh vepsného tk i opsného mnohoúhelníku konvergovt k téže limitě obshu obrzce P. V dlším textu se budeme věnovt ověřování této hypotézy. Pokud nebude řečeno jink, budeme v této kpitole předpokládt, že < b. Definice 7.. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Je-li dáno n N n + dělících bodů = x 0 < x < x < < x n < x n = b, 97

98 říkáme, že dělící body definují dělení D intervlu [, b] n n intervlů [x 0, x ], [x, x ],, [x n, x n ]. Řekneme, že dělení D zjemňuje dělení D, jestliže kždý bod dělení D je tké bodem dělení D. Definice 7.. Nechť < b f je funkce omezená v intervlu [, b]. Dále nechť D je dělení intervlu [, b] s n + dělícími body. Oznčme symbolem x i = x i x i tj. délku i-tého intervlu [x i, x i ], symbolem M i supremum funkce f v intervlu [x i, x i ] symbolem m i infimum funkce f v intervlu [x i, x i ]. Dnému rozdělení D přiřdíme dvě čísl: S(f, D) = n M i x i s(f, D) = i= n m i x i. i= První číslo nzveme horním součtem druhé dolním součtem. V následujícím lemmtu shrneme vlstnosti horních dolních součtů. Lemm 7.3. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Potom pltí následující tři tvrzení: Je-li M supremum m infimum funkce f v intervlu [, b], potom pro libovolné dělení D intervlu [, b] pltí: Je-li dělení D zjemněním dělení D, je m(b ) s(f, D) S(f, D) M(b ). S(f, D ) S(f, D) s(f, D ) s(f, D). 98

99 Jsou-li D D dvě libovolná dělení intervlu [, b], je s(f, D ) S(f, D ). Příkld 7.4. Je-li x [, b] f(x) = c, potom pro libovolné dělení D je c(b ) s(f, D) S(f, D) c(b ). Definice 7.5. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Potom definujeme s(f, [, b]) := sup D s(f, D) S(f, [, b]) := inf D S(f, D). První číslo nzveme dolním Riemnnovým integrálem druhé horním Riemnnovým integrálem funkce f přes intervl [, b]. Supremum infimum bereme přes všechn dělení D intervlu [, b]. Jk zjistíme přechodem k supremu (infimu), má dolní (horní) integrál podobné vlstností jko dolní (horní) součet. Lemm 7.6. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Oznčíme-li A = inf f(x), B = sup f(x) K = sup f(x). Potom pltí: x [,b] x [,b] x [,b] A(b ) s(f, [, b]) S(f, [, b]) B(b ), s(f, [, b]) K(b ) S(f, [, b]) K(b ). Poznámk 7.7. Množiny {s(f, D) : D dělení intervlu [, b]} {S(f, D) : D dělení intervlu [, b]} jsou podle lemmtu 7.3 omezené tedy podle věty o supremu infimu příslušné supremum infimum v definici 7.5 existují jsou konečné. Definice 7.8. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Rovnjí-li se horní dolní Riemnnův integrál funkce f přes intervl [, b], potom definujeme Riemnnův (určitý) integrál funkce f přes intervl [, b] předpisem f(x) dx := s(f, [, b]) = S(f, [, b]). Říkáme tké, že Riemnnův integrál existuje. Je-li > b, potom definujeme Riemnnův integrál předpisem f(x) dx := b f(x) dx, pokud druhý integrál existuje. Je-li = b, pk integrál definujeme nulou. Funkci f nzveme integrndem, číslo b horní mezí číslo dolní mezí horního (dolního) integrálu. Písmeno x nzveme integrční proměnnou. 99

100 Poznámk 7.9. Integrční proměnná nemusí být oznčen písmenem x, le může být oznčen libovolným písmenem. Tedy npříkld f(x) dx = f(y) dy = f(t) dt. Příkld 7.0. Nechť < b x [, b] je f(x) = c. Potom z příkldu 7.4 plyne c(b ) s(c, [, b]) s(c, [, b]) c(b ). Tedy ve všech nerovnostech nstne rovnost c dx = c(b ). Příkld 7.. Nechť < b. Definujme funkci f v intervlu [, b] následovně: f(x) = 0 pro rcionální x f(x) = pro ircionální x. Je-li D je libovolné dělení intervlu [, b], potom pro libovolný intervl [x i, x i ], má funkce f v tomto intervlu supremum M i = infimum m i = 0. Tedy S(f, D) = n (x i x i ) = b, s(f, D) = 0. i= Protože pro kždé dělení dostneme stejný horní (dolní) součet, pltí 0 = s(f, [, b]) < S(f, [, b]) = b. Tedy Riemnnův integrál funkce f přes intervl [, b] neexistuje. Existuje-li určitý integrál integrál určitým integrálem obdržíme: f(x) dx, můžeme v lemmtu 7.6 nhrdit dolní horní Lemm 7.. Nechť < b nechť je funkce f omezená v intervlu [, b]. Oznčíme-li A = inf f(x), B = sup f(x) K = sup f(x). Potom pltí: x [,b] x [,b] x [,b] A(b ) f(x) dx B(b ) f(x) dx K(b ). V definici 7.5 jsme definovli horní integrál omezené funkce f jko infimum horních součtů. Nyní ukážeme, že horní integrál je tké limitou, ke které konvergují horní součty S(f, D), jestliže čísl x i příslušná dělení D konvergují k nule. Definice 7.3. Nechť < b nechť D je libovolné dělení intervlu [, b] definovné dělícími body = x 0 < x < x < < x n < x n = b. Symbolem v(d) oznčíme největší z čísel x, x,, x n, ( x i = x i x i ). Číslo v(d) nzveme normou dělení D. 00

101 Vět 7.4. Nechť < b nechť f je omezená funkce v intervlu [, b]. Dále nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že lim m v(d m) = 0. Potom lim S(f, D m) = S(f, [, b]). m Vět 7.5. Nechť < b. nechť f je omezená funkce v intervlu [, b]. Dále nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že je lim m v(d m) = 0. Potom lim s(f, D m) = s(f, [, b]). m Důkz. Vzhledem k tomu, že důkzy předchozích dvou vět jsou velmi podobné, dokážeme pouze první z nich. K ověření první věty stčí, dokážeme-li, že ε > 0 δ > 0 tk, že nerovnosti S(f, [, b]) ε < S(f, D m ) < S(f, [, b]) + ε (7.) jsou splněny pro kždé dělení D m intervlu [, b], které splňuje podmínku v(d m ) < δ. Potom protože lim v(d m) = 0, existuje totiž tkové n 0, že nerovnost v(d m ) < δ pltí pro m m > n 0 tedy tké nerovnosti (7.) pltí pro m > n 0. Ale nerovnosti (7.) pltí pro libovolné kldné ε to je možné pouze pokud lim S(f, D m) = S(f, [, b]). m K dokončení důkzu tedy potřebujeme dokázt nerovnosti (7.). Protože S(f, [, b]) je infimem horních součtů pltí jednk zřejmě levá nerovnost v (7.) jednk existuje dělení D (v opčném přípdě by S(f, [, b]) nebylo infimem) tk, že S(f, D) < S(f, [, b]) + ε. (7.) Dále je funkce f omezená tedy K tk, že f(x) K v intervlu [, b]. Dělení D rozděluje intervl [, b] n p dílků. Položme δ = ε 4Kp. (7.3) Nyní vezmeme libovolné dělení D m, pro které pltí v(d m ) < δ dokážeme, že pro něj pltí nerovnosti (7.). Zvolme dále dělení D m tk, že toto dělení bude obshovt všechny dělící body obou dělení D m D vyšetřeme rozdíl jejich horních součtů S(f, D m ) S(f, D m). Mohou nstt dv přípdy: Dílek dělení D m neobshuje dělící bod z dělení D tedy i dělení D m obshuje tentýž dílek, tkže příspěvek k rozdílu horních součtů je n tomto dílku roven nule. Dílek dělení D m obshuje dělící bod z dělení D tedy tento dílek je v dělení D m rozdělen n dv nebo více dílků. Příspěvek k rozdílu horních součtů je n tomto dílku nejvýše roven Kδ, protože délk dílku je nejvýše δ mximum rozdílu funkčních hodnot je f(x) f(y) f(x) + f(y) K + K = K. Ještě poznmenejme, že počet těchto dílků je nejvýše roven p. 0

102 Celkem tedy máme S(f, D m ) S(f, D m) (p )Kδ < Kpδ = ε nebo-li S(f, D m ) < S(f, D m) + ε S(f, D) + ε < S(f, [, b]) + ε (protože dělení D m je zjemněním dělení D). Tím jsme dokázli i prvou nerovnost v nerovnosti (7.). Poznámk 7.6. Význm vět spočívá v tom, že chceme-li nlézt dolní (horní) integrál, nemusíme vyšetřovt všechn dělení D intervlu [, b], sestrojit supremum dolních součtů s(f, D) (infimum horních součtů S(f, D)), le stčí sestrojit posloupnost dělení D,, D m, tkovou, že lim v(d m) = 0, njít příslušnou limitu posloupnosti m s(f, D ), s(f, D ),, s(f, D m ),, (S(f, D ), S(f, D ),, S(f, D m ),.) Pomocí vět tedy můžeme snáze počítt horní (dolní) integrály. Příkld 7.7. Nechť f(x) = x spočítejme příslušný dolní horní integrál přes intervl [0, ]. Nejprve sestrojme posloupnost dělení D, D,, D m, tk, že dělení D m rozdělí intervl [0, ] n m stejných dílků. Potom v(d) = x i = m podle vět pltí: tedy lim m v(d m) = 0. Potom s(x, [, b]) = lim m s(f, D m) S(x, [, b]) = lim m S(f, D m). Spočítejme tedy s(f, D m ) S(f, D m ). Supremum funkce f(x) = x n intervlu je M i = i m infimum je m i = i. Potom pltí m m m i S(f, D m ) = M i x i = m m = m(m + ) m s(f, D m ) = i= m m i x i = i= i= m i= Potom máme ( s(x, [, b]) = lim m ) = m i m m = m(m ) m = + m, = m. ( S(x, [, b]) = lim m + ) = m [ i m, i ] m tedy funkce f má integrál od 0 do pltí 0 x dx =. 0

103 Poznámk 7.8. V následující větě si ukážeme, že při počítání určitého integrálu nemusíme n kždém dílku [x i, x i ] hledt supremum infimum funkce f následně počítt příslušný horní dolní integrál, le stčí vzít libovolnou hodnotu funkce f(x) v kterémkoliv bodě intervlu [x i, x i ]. Nevýhodou této věty je, že musíme již předem vědět, že určitý integrál od do b existuje. Otázkou, jk poznt, zd integrál existuje, se budeme zbývt později. Vět 7.9. Nechť < b nechť f je funkce, která má určitý integrál od do b nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že je lim v(d m) = 0. m Dále nechť dělícími body dělení D m jsou body = x 0,m < x,m < x,m < < x nm,m < x nm,m = b pro kždý intervl [x i,m, x i,m ] nechť je dáno číslo ξ i,m tk, že x i,m ξ i,m x i,m i =,,, n m, n m. Potom pltí f(x) dx = lim m n m i= f(ξ i,m )(x i,m x i,m ). Důkz. Z vlstností horních dolních součtů ihned plyne z vět plyne lim m s(f, D m ) n m i= f(ξ i )(x i,m x i,m ) S(f, D m ) f(x) dx = s(f, [, b]) = lim m s(f, D m) lim m n m i= n m i= f(ξ i )(x i,m x i,m ) lim m S(f, D m) = S(f, [, b]) = A podle věty o limitě sevřené posloupnosti je tvrzení věty dokázáno. f(ξ i )(x i,m x i,m ) f(x) dx. 7. Vlstnosti určitého integrálu V této části si odvodíme lineritu určitého integrálu vzhledem k integrndu, ditivitu integrčních mezí zákldní nerovnosti. Vět 7.0. Nechť < b. Existují-li integrály (f (x) + f (x)) dx pltí (f (x) + f (x)) dx = f (x) dx f (x) dx + 03 f (x) dx, existuje i integrál f (x) dx.

104 Důkz. Nechť D m je libovolné dělení intervlu [, b], M i supremum funkce f n intervlu [x i, x i ], M i supremum funkce f n intervlu [x i, x i ], m i infimum funkce f n intervlu [x i, x i ] m i infimum funkce f n intervlu [x i, x i ]. Potom pro všechn x z intervlu [x i, x i ] pltí m i + m i f (x) + f (x) M i + M i. Oznčíme-li symboly M i supremum m i infimum funkce f = f + f n intervlu [x i, x i ] S(f, D m ), S(f, D m ), S(f, D m ) (s(f, D m ), s(f, D m ), s(f, D m )) příslušné horní (dolní) součty, potom máme S(f, D m ) = s(f, D m ) = n M i x i i= n m i x i i= n i= n i= (M i + M i ) x i = S(f, D m ) + S(f, D m ), (m i + m i ) x i = s(f, D m ) + s(f, D m ). Nyní sestrojme posloupnost dělení D,, D m, tk, že lim v(d m) = 0. Dále přechodem k limitě, plikcí vět využitím předpokldu existence integrálů funkcí f m f n intervlu [, b] dostneme f (x) dx + f (x) dx = s(f, [, b]) + s(f, [, b]) = lim m (s(f, D m ) + s(f, D m )) lim m s(f, D m) lim S(f, D m) lim (S(f, D m ) + S(f, D m )) m m = S(f, [, b]) + S(f, [, b]) = f (x) dx + Nkonec zkombinujeme předchozí dvě nerovnosti obdržíme f (x) dx. f (x) dx + lim m S(f, D m) f (x) dx lim s(f, D m) m f (x) dx + Tedy horní integrál se rovná dolnímu tím je vět dokázán. f (x) dx. Vět 7.. Nechť < b. Existuje-li integrál integrál cf(x) dx pltí cf(x) dx = c 04 f(x) dx je-li c libovolné číslo, existuje i f(x) dx.

105 Důkz. Nechť D m je libovolné dělení intervlu [, b]. Je-li c 0 je-li M i supremum m i infimum funkce f(x) n intervlu [x i, x i ], potom je supremum funkce cf(x) n intervlu [x i, x i ] rovno číslu cm i infimum rovno číslu cm i. A pro horní dolní součty pltí: cs(f, D m ) = n cm i x i = s(cf, D m ), S(cf, D m ) = i= n cm i x i = cs(f, D m ). Nyní sestrojíme posloupnost dělení D,, D m, tk, že lim v(d m) = 0. Dále přecho- m dem k limitě, plikcí vět využitím předpokldu existence integrálu dostneme c f(x) dx = cs(f, [, b]) = c lim m s(f, D m) = lim m s(cf, D m) i= lim S(cf, D m) = c lim S(f, D m) = cs(f, [, b]) = c m m f(x) dx. f(x) dx Tedy horní integrál se rovná dolnímu tím je vět pro c 0 dokázán. Podobně budeme postupovt pro c < 0. Potom je supremum funkce cf(x) n intervlu [x i, x i ] rovno číslu cm i infimum rovno číslu cm i. A pro horní dolní součty pltí: cs(f, D m ) = n cm i x i = s(cf, D m ), S(cf, D m ) = i= n cm i x i = cs(f, D m ) Nyní sestrojíme posloupnost dělení D,, D m,, tk, že lim v(d m) = 0. Dále přechodem k limitě, plikcí vět využitím předpokldu existence integrálu funkce m f n intervlu [, b] dostneme c f(x) dx = cs(f, [, b]) = c lim m S(f, D m) = lim m s(cf, D m) i= lim S(cf, D m) = c lim s(f, D m) = cs(f, [, b]) = c m m f(x) dx. Tedy horní integrál se rovná dolnímu tím je vět dokázán. Větu 7.0 můžeme pomocí indukce sndno rozšířit n libovolný počet sčítnců. Zkombinujemeli věty dostneme následující větu: Vět 7.. Nechť < b. Existují-li integrály jsou-li c, c,, c n libovolná čísl, potom pltí f (x) dx, f (x) dx,, (c f (x) + + c n f n (x)) dx = c f (x) dx + + c n f n (x) dx. f n (x) dx 05

106 Vět 7.3. Nechť < b. Existují-li integrály pro všechn x z intervlu [, b]. Potom pltí (Speciálně pokud f (x) = 0 tk f (x) dx f (x) dx 0.) f (x) dx, f (x) dx. Důkz. Podle věty 7. pro n =, c = c = pltí (f (x) f (x)) dx = f (x) dx f (x) dx je-li f (x) f (x) f (x) dx. Dále máme f (x) f (x) tedy f (x) f (x) 0, potom podle lemmtu 7. pro A = 0 dostneme Dohromdy tedy (f (x) f (x)) dx 0. tím je vět dokázán. f (x) dx f (x) dx = (f (x) f (x)) dx 0 Vět 7.4. Nechť < b < c. Existují-li integrály integrál c f(x) dx pltí f(x) dx c b f(x) dx, existuje i c f(x) dx = f(x) dx + c b f(x) dx. Důkz. Nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že lim m v(d m) = 0 nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [b, c] tková, že lim m v(d m) = 0. Nyní definujme posloupnost D, D,, D m,, dělení intervlu [, c], tkové, že kždé dělení D i má stejné dělící body jko dělení D i D i. Potom pltí S(f, D m ) = S(f, D m) + S(f, D m) s(f, D m ) = s(f, D m) + s(f, D m). Dále přechodem k limitě, plikcí vět využitím předpokldu existence integrálů funkce f n intervlu [, b] n intervlu [b, c] dostneme lim s(f, D m) = lim (s(f, m m D m) + s(f, D m)) 06

107 = s(f, [, b]) + s(f, [b, c]) = f(x) dx + c b f(x) dx lim S(f, D m) = lim (S(f, m m D m) + S(f, D m)) = S(f, [, b]) + S(f, [b, c]) = f(x) dx + Tedy horní integrál se rovná dolnímu tím je vět dokázán. c b f(x) dx. Vět 7.5. Nechť < b < c < d. Existuje-li integrál c b f(x) dx. d f(x) dx existuje i integrál Důkz. Nechť D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že lim m v(d ) = 0, D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [b, c] tková, že lim m v(d ) = 0 D, D,, D m,, je posloupnost dělení intervlu [c, d] tková, že lim m v(d ) = 0. Nyní definujme posloupnost D, D,, D m,, dělení intervlu [, d], tkové, že kždé dělení D i má stejné dělící body jko dělení D i, D i, D S(f, D m ) = S(f, D m) + S(f, D m) + S(f, D m), i. Potom pltí s(f, D m ) = s(f, D m) + s(f, D m) + s(f, D m). Přechodem k limitě, plikcí vět využitím předpokldu existence integrálu funkce f n intervlu [, d] dostneme d d f(x) dx = lim m s(f, D m) = lim m (s(f, D m) + s(f, D m) + s(f, D m)) = s(f, [, b]) + s(f, [b, c]) + s(f, [c, d]) f(x) dx = lim m S(f, D m) = lim m (S(f, D m) + S(f, D m) + S(f, D m)) = S(f, [, b]) + S(f, [b, c]) + S(f, [c, d]). Odečtením předchozích dvou rovností obdržíme 0 = (S(f, [, b]) s(f, [, b])) + (S(f, [b, c]) s(f, [b, c])) + (S(f, [c, d]) s(f, [c, d])). Protože horní integrál je větší nebo roven dolnímu, je tké kždý sčítnec větší nebo roven nule. Potom z poslední rovnosti plyne, že kždý sčítnec musí být roven nule. Tedy integrál c b dokázán. f(x) dx existuje, protože příslušný horní integrál se rovná dolnímu tím je vět 07

108 7.3 Existence určitého integrálu Vět 7.6. (Vlstnosti integrálu jko funkce horní meze.) Nechť < b nechť f je omezená funkce, která má určitý integrál od do b. Oznčme F (x) = pltí Funkce F je spojitá v intervlu [, b]. x f(t) dt, potom Je-li funkce f spojitá v intervlu [, b], potom F (x) = f(x) v intervlu (, b). Kromě toho má funkce F derivci zprv v bodě rovnou f() derivci zlev v bodě b rovnou f(b). Tvrzení pltí i pro horní dolní Riemnnův integrál. V tom přípdě nemusíme předpokládt existenci určitého integrálu, le stčí omezenost funkce f. Důkz. Funkce f je omezená, existuje tedy číslo K tk, že f(x) K. V prvním přípdě stčí dokázt, že funkce F je spojitá v intervlu [, b) zprv v intervlu ( (, b] zlev. Dokážeme pouze spojitost zprv. Je-li ε > 0 x 0 [, b), zvolme δ = min b x 0, ε ). K Nyní dokážeme, že pro x (x 0, x 0 + δ), je F (x) F (x 0 ) < ε (tím bude dokázáno, že funkce F je spojitá v bodě x 0.) Potom pltí x x0 x F (x) F (x 0 ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt x 0 K(x x 0 ) < Kδ ε. V druhém přípdě stčí dokázt, že funkce F má derivci v intervlu [, b) zprv v intervlu (, b] zlev. Tvrzení opět dokážeme pouze pro derivci zprv. Je-li ε > 0 x 0 [, b), potom ze spojitosti funkce f plyne, že existuje δ (0 < δ b x 0 ) tk, že nerovnost f(t) f(x 0 ) < ε/ je splněn pro všechn t z intervlu (x 0, x 0 + δ). Je-li 0 < h < δ, potom pltí: f(x 0 ) ε < f(t) < f(x 0) + ε, (7.4) F (x 0 + h) F (x 0 ) h Dále z věty 7. nerovnosti (7.4) obdržíme = h x0 +h x 0 f(t) dt. (7.5) f(x 0 ) ε < f(x 0 ) ε h x0 +h x 0 f(t) dt f(x 0 ) + ε < f(x 0) + ε. (7.6) Nkonec zkombinujeme nerovnosti (7.6) s rovností (7.5) dostneme f(x 0 ) ε < F (x 0 + h) F (x 0 ) h < f(x 0 ) + ε, 08

109 nebo-li F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h < ε, pro kždé h vyhovující nerovnostem 0 < h < δ. Tedy funkce F má v bodě x 0 derivci zprv rovnou číslu f(x 0 ). Vět 7.7. (O existenci určitého integrálu.) Nechť < b nechť je funkce f spojitá v intervlu [, b], potom f(x) dx existuje. Důkz. Protože je funkce f(x) spojitá v intervlu [, b], je v tomto intervlu omezená. Pro zkrácení oznčme F (x) = S(f, [, x]), G(x) = s(f, [, x]). Nyní plikujeme větu 7.6 n funkce F G. Podle této věty jsou obě funkce spojité v intervlu [, b] v kždém vnitřním bodě tohoto intervlu pltí F (x) = f(x) G (x) = f(x). Potom funkce F G je tké spojitá v intervlu [, b] v kždém vnitřním bodě má derivci rovnou nule, tedy funkce F G je konstntní v intervlu [, b]. Dále F () G() = 0, tkže funkce F G jsou totožné n intervlu [, b]. Nebo-li horní Riemnnův integrál se rovná dolnímu tedy Riemnnův integrál existuje. 09

110 Kpitol 8 Neurčitý integrál nebo-li primitivní funkce 8. Definice zákldní vlstnosti Definice 8.. Nechť F (x), f(x) jsou dvě funkce definovné v otevřeném intervlu (, b) (může být omezený i neomezený). Pltí-li pro všechn x z intervlu (, b) rovnice F (x) = f(x), říkáme, že funkce F (x) je primitivní funkcí k funkci f(x) v intervlu (, b). Primitivní funkci tké nzýváme neurčitým integrálem znčíme ji f(x) dx. Příkld 8.. Npříkld funkce x je v intervlu (, ) primitivní funkcí k funkci x. Funkce tg x + 55 je primitivní funkcí k funkci ( cos x v intervlu π, π ) tké v intervlech ( π, 3π ) ( 3π,, 5π ),. V dlší větě se podíváme, jk je to s jednoznčností primitivní funkce. Vět 8.3. Jsou-li F (x), G(x) dvě primitivní funkce k funkci f(x) v intervlu (, b), pltí v celém intervlu (, b) rovnice G(x) = F (x) + C, kde C je libovolná konstnt. Tedy dvě primitivní funkce se liší pouze o (tzv. integrční) konstntu. Důkz. Funkce G(x) F (x) má v intervlu (, b) derivci rovnou nule tedy je podle věty 5.7 spojitá. Z toho plyne, že je konstntní v celém intervlu (, b) nebo-li pltí rovnice G(x) F (x) = C. Abychom nemuseli stále vypisovt integrční konstntu, zvedeme následující znčení: symbol = c bude znčit, že F (x), G(x) jsou dvě funkce lišící se n zdném intervlu pouze o konstntu. 0

111 Předchozí vět řeší otázku jednoznčnosti primitivní funkce. Zbývá zodpovědět otázku, zd-li ke kždé funkci existuje primitivní funkce. N následujícím příkldu uvidíme, že tomu tk není. Příkld 8.4. Definujme npříkld funkci f tkto: f(x) = pro x = 0 f(x) = 0 pro x 0. Kdyby k funkci f existovl primitivní funkce, muselo by pltit: F (x) = pro x = 0 F (x) = 0 pro x 0. Potom je funkce F konstntní pro x 0. Z existence vlstní derivce v intervlu (, ) plyne, že funkce F je v tomto intervlu spojitá (podle věty 5.7). Potom funkce F musí být konstntní v celém intervlu (, ) její derivce je rovn nule všude v intervlu (, ), což je ve sporu s původní definicí funkce f v bodě nul. Tedy funkce f nemá primitivní funkci v intervlu (, ). Nicméně pltí tto vět: Vět 8.5. (O existenci neurčitého integrálu.) Nechť f je funkce spojitá v otevřeném intervlu (, b) (může být i neomezený), Potom pro libovolné číslo c z intervlu (, b) je funkce x c f(t) dt primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b). (Tedy ke kždé spojité funkci v intervlu (, b) existuje v tomto intervlu primitivní funkce.) Důkz. Je-li x 0 libovolné číslo z intervlu (, b), zvolme čísl α β z intervlu (, b) tk, by α < min (c, x 0 ) mx (c, x 0 ) < β. Potom podle vět existuje integrál x c f(t) dt pro kždé x [α, β] jeho derivce se rovná f(x) pro kždé x [α, β]. Speciálně to tedy pltí pro x = x 0 protože x 0 bylo zvoleno libovolně, pltí tvrzení věty pro kždé x z intervlu (, b). Bohužel tto vět nedává žádný návod, jk primitivní funkci nlézt. V této následující kpitole odvodíme několik vět, které nám umožní převést výpočet složitých integrálů n výpočet integrálů jednodušších. Nejprve si odvodíme primitivní funkce k elementárním funkcím. Využitím zákldních vzorců pro derivce ihned dostneme následující větu: Vět 8.6. (Zákldní vzorce.) Pltí x n dx = c xn+ pro n R, n, x (0, ), n + x n dx = c xn+ n +, dx = c x pro n N, x (, ), x n dx = c xn+ pro n Z, n <, x (0, ) nebo x (, 0), n + x dx = c x ln, e x dx = c e x pro > 0,, x (, ),

112 x dx = c ln x pro x (0, ) nebo x (, 0), sin x dx = c cos x, cos x dx = c sin x pro x (, ), cos x dx = c tg x (v kždém otevřeném intervlu neobshujícím žádný bod, pro který cos x = 0), sin x dx = c cotg x (v kždém otevřeném intervlu neobshujícím žádný bod, pro který sin x = 0), dx = c rcsin x = c rccos x pro x (, ), x + x dx = c rctg x = c rccotg x pro x (, ). Vět 8.7. Existují-li v intervlu (, b) neurčité integrály f (x) dx,, f n (x) dx jsou-li c,, c n libovolná čísl, potom existuje i integrál (c f (x) + c f (x) + + c n f n ) dx pltí (c f (x) + + c n f n (x)) dx c = c f (x) dx + + c n f n (x) dx. Důkz. V intervlu (, b) položme F = f (x) dx,, F n = f n (x) dx, tkže F (x) = f (x),, F n(x) = f n (x). Potom podle věty o derivci součtu je (c F (x) + + c n F n (x)) = (c f (x) + + c n f n (x)) tedy funkce c F + + c n F n je hledná primitivní funkce. Příkld cos x 5 x x dx = c 3 cos x dx 5 x 5 dx + + x dx c = 3 sin x 5 x6 6 + rctg x

113 8. Integrce per prtes Vět 8.9. (Integrce per prtes.) Nechť funkce u v mjí v intervlu (, b) spojité derivce potom v intervlu (, b) pltí u(x)v (x) dx = c u(x)v(x) u (x)v(x) dx. Důkz. Podle věty o derivci součinu v intervlu pltí (, b) (u(x)v(x)) = u(x)v (x) + u (x)v(x). Protože funkce u v mjí v intervlu (, b) spojité derivce, jsou spojité i funkce u(x)v (x) u (x)v(x) tedy podle věty 8.5 k nim existují primitivní funkce. Nkonec použijeme větu 8.7 dostneme u(x)v(x) = c (u(x)v (x) + u (x)v(x)) dx = c u(x)v (x) dx + u (x)v(x) dx. Předchozí vět nám poskytuje důležitý návod k výpočtu neurčitých integrálů. Jk se používá, si objsníme n několik příkldech. Příkld 8.0. Vypočtěme xe x dx. V per prtes položme u(x) = x v (x) = e x u (x) = v(x) = e x. Funkce x e x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí xe x dx = c xe x e x dx = c xe x e x = c e x (x ). Příkld 8.. Vypočtěme x sin x dx. V per prtes položme u(x) = x v (x) = sin x u (x) = x v(x) = cos x. Funkce x cos x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí x sin x dx = c x cos x + x cos x dx. K výpočtu integrálu nprvo opět použijeme per prtes. Položme u(x) = x v (x) = cos x u (x) = v(x) = sin x. 3

114 Funkce x sin x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí x cos x dx = c x sin x sin x dx = c x sin x + cos x. Celkem tedy dostneme x sin x dx = c x cos x + x cos x dx c = x cos x + x sin x + cos x. Příkld 8.. Vypočtěme ln x dx. V per prtes položme u(x) = ln x v (x) = u (x) = x v(x) = x. Funkce x ln x mjí spojité derivce v intervlu (0, ), proto v tomto intervlu pltí ln x dx = c x ln x x x dx = c x ln x x = c x(ln x ). Příkld 8.3. Vypočtěme I n = x n e x dx (n Z, n 0). Pro n > 0 položme v per prtes u(x) = x n v (x) = e x u (x) = nx n v(x) = e x. Funkce x n e x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí I n = x n e x dx = c x n e x n x n e x dx = c x n e x ni n. (8.) Dostli jsme tedy rekurentní vzorec, který pro n > 0 umožňuje vyjádřit I n pomocí I n, I n pomocí I n, nkonec I pomocí I 0 = e x dx c = e x. Vypočtěme npříkld I = x e x dx. Doszením do vzorce (8.) postupně dostneme I c = x e x I, I c = xe x I 0. Zpětným doszením obdržíme I c = xe x e x nkonec I c = x e x xe x + e x c = e x (x x + ). Příkld 8.4. Vypočtěme K n = ( + x ) dx (n N). Podle věty 8.6 je K n = + x dx = c rctg x, pro x (, ) nyní hledáme rekurentní formuli podobnou té z příkldu 8.3. Pro n > položme v per prtes u(x) = v (x) = ( + x ) n u nx (x) = v(x) = x. ( + x ) n+ 4

115 Funkce pltí x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu ( + x ) n K n = ( + x ) n dx c = x ( + x ) + n n x dx ( + x ) n+ nyní k čitteli v nově vzniklém integrálu přičteme odečteme jedničku poté integrnd rozdělíme n dv zlomky c x ( + x = ( + x ) + n ) dx n ( + x ) n+ tedy K n c = c = x ( + x ) + n n c = + x ( + x ) dx n+ ( + x ) n+ x ( + x ) n + nk n nk n+ ; x ( + x ) n + nk n nk n+ odtud dostneme rekurentní vzorec K n+ c = x n( + x ) + n n n K n. (8.) Vypočtěme npříkld K 3 = dx. Doszením do rekurentního vzorce (8.) ( + x ) 3 postupně dostneme (pro n = ) K c x 3 = 4( + x ) K (pro n = ) K c x = ( + x ) + K. Zpětným doszením obdržíme K c = K 3 c = x ( + x ) + rctg x nkonec x 4( + x ) + 3x 8( + x ) + 3 rctg x. 8 Příkld 8.5. Vypočtěme ln x x dx. V per prtes položme u(x) = ln x v (x) = x u (x) = x v(x) = ln x. Funkce ln x má spojitou derivci v intervlu (0, ), proto v tomto intervlu pltí ln x x dx = c ln x ln x dx. (8.3) x 5

116 Protože integrnd je spojitá funkce, existuje podle věty 8.5 primitivní funkce. Můžeme tedy ln x k oběm strnám rovnice (8.3) přičíst dx dostneme x ln x x dx = c ln x nebo-li ln x x dx c = ln x. Z těchto příkldů je vidět, jk se integrce per prtes používá. Tuto metodu můžeme použít při počítání integrálu f(x) dx zejmén tehdy, podří-li se nám vhodným způsobem převést funkci f n tvr f = uv tk, by integrál u (x)v(x) dx byl jednodušší než zdný integrál. Někdy je třeb použít per prtes vícekrát (viz. příkld 8.) přitom občs dospějeme k rekurentním vzorcům (viz. příkldy ). V tomto přípdě nevdí, vyjádříme-li nopk jednodušší integrál složitějším, protože rekurentní vzorec mám umožní vypočítt zdný integrál zpětným doszováním, jk jsme viděli v již zmiňovném příkldu 8.3. V některých přípdech můžeme nprvo dostt stejný integrál jko nlevo dostneme tedy rovnici, kde neznámou je zdný integrál pokud tento integrál existuje, stčí tuto rovnici vyřešit (viz. příkld 8.5). N závěr této části si ukážeme ještě jeden podobný příkld. Příkld 8.6. Vypočtěme sin x e x dx. V per prtes poprvé položme u(x) = sin x v (x) = e x u (x) = cos x v(x) = e x. Funkce sin x e x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí sin x e x dx = c sin x e x cos x e x dx. (8.4) A podruhé v per prtes položme u(x) = e x v (x) = sin x u (x) = e x v(x) = cos x. Funkce cos x e x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí sin x e x dx = c cos x e x + cos x e x dx. (8.5) Ob integrndy jsou spojité funkce, tkže k nim podle věty 8.5 existují primitivní funkce. Sečtením rovnic (8.4) (8.5) dostneme hledný integrál jejich odečtením vypočteme integrál cos x e x dx : sin x e x dx = c sin x ex cos x e x, cos x e x dx = c sin x ex + cos x e x. 6

117 8.3 Substituce Vět 8.7. (O substituci.) Nechť f je funkce spojitá v intervlu (, b), funkce ϕ nechť má v intervlu (α, β) vlstní derivci ϕ pro kždé t z intervlu (α, β) nechť ϕ(t) (, b). Dosdíme-li x = ϕ(t), pltí v intervlu (α, β) rovnice f(x) dx = c f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Důkz. Podle věty 8.5 existuje primitivní funkce F k funkci f v intervlu (, b). ϕ má v intervlu (α, β) vlstní derivci funkce F má vlstní derivci F (x) = f(x) v intervlu (, b). Dále pro kždé t z intervlu (α, β) pltí x = ϕ(t) (, b). Potom podle věty o derivci složené funkce má funkce F (ϕ(t)) pro kždé t z intervlu (α, β) derivci pltí (F (ϕ(t))) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). Tedy funkce F (ϕ) je primitivní funkcí k funkci f(ϕ)ϕ v intervlu (α, β). Větu o substituci můžeme použít dvojím způsobem: Máme-li vypočíst integrál f(ϕ(t))ϕ (t) dt jsou-li splněny předpokldy věty o substituci, můžeme výpočet tohoto integrálu převést n výpočet integrálu f(x) dx pomocí substituce ϕ(t) = x (ϕ (t) dt = dx). Umíme-li nlézt primitivní funkci F k funkci f, je zdný integrál vypočten. Tento postup můžeme stručně nznčit tkto: f(ϕ(t))ϕ (t) dt = c f(x) dx = c F (x) = c F (ϕ(t)). Máme-li vypočíst integrál f(x) dx v intervlu (, b), snžíme se pomocí substituce x = ϕ(t) převést tento integrál n jednodušší integrál f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Definujme nyní funkci ψ v intervlu (, b) tk, by pro kždé x tohoto intervlu pltil rovnice ϕ(ψ(x)) = x. (Tedy pokud je funkce ϕ je rostoucí nebo klesjící v intervlu (α, β), potom je funkce ψ inverzní funkcí k funkci ϕ.) Oznčíme-li symbolem G(t) primitivní funkci k funkci f(ϕ(t))ϕ (t), můžeme tento postup schémticky znázornit tkto: f(x) dx = c f(ϕ(t))ϕ (t) dt = c G(t) = c G(ψ(x)). Nyní si ukážeme tři příkldy, které budou ilustrovt použití věty o substituci prvním způsobem. Příkld 8.8. Vypočtěme sin 3 t cos t dt. Vidíme, že cos t dt je diferenciálem funkce sin t, proto zvedeme substituci x = sin t. Potom dx = cos t dt předpokldy věty o substituci jsou splněny n intervlu (, ) tedy n tomto intervlu pltí sin 3 t cos t dt = c x 3 dx = c x4 c = sin4 t

118 Příkld 8.9. Vypočtěme f(x+b) dx pro 0, známe-li primitivní funkci F k funkci f. Vidíme, že dx je po vynásobení číslem roven diferenciálu funkce x+b, proto zvedeme substituci y = x + b. Potom dy = dx předpokldy věty o substituci jsou splněny n otevřeném intervlu, ve kterém je funkce f spojitá v tomto intervlu pltí f(x + b) dx c = f(x + b) dx c = f(y) dy c = F (y) c = F (x + b). ( Příkld 8.0. Vypočtěme ) + x n x dx pro n. Vidíme, že x dx je po vynásobení dvěm diferenciálem funkce +x, proto zvedeme substituci y = +x. Potom dy = x dx předpokldy věty o substituci jsou splněny n intervlu (, ) tedy n tomto intervlu pro n pltí ( ) + x n x dx = c y n dy = c y n+ c = ( + x ) n+. n + n + Nkonec této části si nejprve uvedeme jeden příkld n použití věty o substituci druhým způsobem v příkldu 8. si ještě ukážeme jeden užitečný obrt. Příkld 8.. Vypočtěme x + 4 dx. Zveďme substituci y = x (x = y). Potom dx = dy předpokldy věty o substituci jsou splněny n intervlu (, ) tedy n tomto intervlu pltí x + 4 dx c = (y) + 4 dy = c y + dy c = rctg y c = rctg x. f (x) Příkld 8.. Vypočtěme f(x) dx. Zveďme substituci y = f(x). Potom dy = f (x) dx předpokldy věty o substituci jsou splněny v otevřeném intervlu, ve kterém f existuje zároveň je v tomto intervlu f(x) 0. V tkovém intervlu tedy pltí f (x) f(x) dx = c y dy = c ln y = c ln f(x). Npříkld: x x + dx = c x x + dx = c ln x + tg x dx = c sin x cos x dx = c ( π, π ). pltí npříkld v intervlu pltí v intervlu (, ), sin x cos x dx c = ln cos x 8

119 8.4 Souvislost určitého neurčitého integrálu Vět 8.3. (O souvislosti primitivní funkce s určitým integrálem.) Nechť < b nechť existuje integrál f(x) dx. Je-li F spojitá primitivní funkce k funkci f v intervlu (, b), potom pltí f(x) dx = F (b) F (). Důkz. Oznčme D,, D m,, posloupnost dělení intervlu [, b] tkovou, že kždé dělení D m dělí intervl [, b] n m stejných dílků. Dělícími body dělení D m jsou tedy body = x 0,m < x,m < < x m,m < x m,m = b, kde x i,m = + i(b ) m pro i =,,, m, tedy x i,m = x i,m x i,m = b m, v(d m) = b m lim v(d m) = 0. m Protože F je spojitá funkce v intervlu [x i,m, x i,m ] má v intervlu (x i,m, x i,m ) derivci f, existuje podle věty o střední hodnotě číslo ξ i,m (x i,m, x i,m ) tk, že pro i =,,, m pltí F (x i,m ) F (x i,m ) = (x i,m x i,m )F (ξ i,m ) = x i,m f(ξ i,m ). Sečteme-li tyto rovnice pro i =,,, m, dostneme F (b) F () = F (x m,m ) F (x 0,m ) = (F (x m,m ) F (x m,m )) (8.6) m +(F (x m,m ) F (x m,m )) + + (F (x,m ) F (x 0,m )) = x i,m f(ξ i,m ). Vzhledem k tomu, že lim v(d m) = 0 ξ i,m (x i,m, x i,m ), jsou tedy splněny předpokldy věty 7.9, tkže m pltí lim m m f(ξ i,m ) x i,m = i= Levá strn rovnice (8.6) nezávisí n m tedy m F (b) F () = lim f(ξ i,m ) x i,m = m i= Poznámk 8.4. Pro > b, bylo definováno dostneme b f(x) dx. f(x) dx := f(x) dx = F (b) F (). Tedy opět máme i= f(x) dx. b b f(x) dx, podle věty 8.3 f(x) dx = F (b) F () vět 8.3 pltí i pro > b. Rozdíl F(b) F() budeme krátce znčit symbolem [F(x)] b. 9

120 Vět 8.3 nám tedy dává jednoduchý návod pro výpočet určitého integrálu pomocí primitivní funkce. Kombincí věty 8.3 s per prtes s větou o substituci dostneme následující dvě věty: Vět 8.5. Nechť funkce u v mjí v intervlu (, b) spojité derivce potom v intervlu (, b) pltí u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Vět 8.6. Nechť f je funkce spojitá v intervlu (, b), funkce ϕ nechť má v intervlu (α, β) spojitou derivci ϕ pro kždé t z intervlu [α, β] nechť ϕ(t) [, b]. Položíme-li = ϕ(α) b = ϕ(β), pltí vzth f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Příkld 8.7. Vypočtěme π 0 x sin(x) dx. Ve větě 8.5 položme u(x) = x u (x) = x v (x) = sin(x) v(x) = cos(x). Funkce x cos x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí π 0 x sin(x) dx = [ x cos(x) ] π π x cos(x) dx = π 0 K výpočtu integrálu nprvo opět použijeme větu 8.5. Položme 0 π 0 x cos(x) dx. u(x) = x u (x) = v (x) = cos(x) v(x) = sin(x). Funkce x, sin x mjí spojité derivce v intervlu (, ), proto v tomto intervlu pltí π 0 Celkem tedy dostneme π [ cos(x) x cos(x) dx = [x sin(x)] π 0 sin(x) dx = ] π 0 = 0. π 0 x sin(x) dx = π π 0 x cos(x) dx = π 0 = π. 0

121 x dx Příkld 8.8. Vypočtěme. (x + ) Použijeme-li substituci x + = ϕ(x) = t, potom roste-li x od do, roste i t od do 5 (tedy ϕ() = ϕ() = 5). Dále je x dx = dt můžeme tedy použít větu 8.6 x dx (x + ) = 5 dt t [ ] 5 = t = 5. Jk nesmíme používt větu 8.6, ukážeme n následujících dvou příkldech. Příkld 8.9. Integrál 4 0 x dx nelze počítt pomocí substituce x = sin z, protože pro žádný intervl α z β nebude x = sin z probíht intervl [, 4]. Dný integrál lze řešit npříkld pomocí substituce x = z x. π + tg x Příkld Integrál dx (pro k > ) nelze integrovt pomocí substituce 0 + k tg x tg x = z, protože funkce tg x je v intervlu [0, π] nespojitá v bodě x = π. Později uvidíme, že tento problém lze obejít rozdělením tohoto integrálu n dv první budeme integrovt od 0 do π druhý od π do π.

122 Kpitol 9 Integrce vybrných funkcí 9. Integrce rcionálních funkcí Zčneme tím, že uvedeme několik pojmů pozntků z lgebry. Definice 9.. Nechť n je celé nezáporné číslo 0,,, n, n R, potom (reálný) polynom definujeme předpisem Q(x) := n x n + n x n + + x + 0 x 0, Říkáme, že polynom Q je n-tého stupně, je-li x n nejvyšší mocnin, která je v polynomu Q násoben koeficientem n 0. Definice 9.. Nechť P Q jsou dv polynomy Q není identicky roven nule, potom rcionální funkci definujeme předpisem R(x) := P (x) Q(x). V této kpitole se nučíme integrovt rcionální funkce. Nejprve je s pomocí následujících třech vět převedeme n součet jednodušších funkcí, které již umíme integrovt. Vět 9.3. (Rozkld reálného polynomu.) Nechť Q je reálný polynom. Potom pro všechn x R pltí rovnice Q(x) = n (x α ) r (x α ) r (x α k ) r k (x + p x q ) s (x + p l x q l ) s l, kde r,, r k, s,, s l jsou celá kldná čísl. Polynomy x α, x α,, x α k, x + p x q,, x + p l x q l jsou reálné, nvzájem různé pro i =,,, l pltí p i 4 q i < 0. (Tedy polynomy druhého stupně nemjí reálné kořeny nelze je rozložit n součin dvou reálných polynomů prvního stupně.)

123 Příkld 9.4. x 7 + x 5 + x 3 = x 3 (x 4 + x + ) = x 3 (x + ). Vět 9.5. (Dělení polynomů.) Nechť stupeň polynomu P je větší nebo roven stupni polynomu Q. Není-li polynom Q identicky roven nule, potom existuje právě jeden polynom P tk, že polynom P definovný předpisem P (x) := P (x) P (x)q(x) má nižší stupeň než polynom Q. Polynomy P P spočítáme dělením polynomu P polynomem Q. Tedy P je podíl P zbytek, nebo-li pltí rovnost P (x) Q(x) = P (x) + P (x) Q(x). Příkld 9.6. Spočtěme podíl x3 + x + x +. x x + Vezmeme člen s největší mocninou v čitteli vydělíme ho členem s největší mocninou ve jmenovteli ( x 3 /x = x ). Tento podíl vynásobíme jmenovtelem (x x + ) součin (x 3 x + x) odečteme od čittele tedy (x 3 + x + x + ) (x 3 x + x) = 3x +, nebo-li x 3 + x + x + = x + 3x + x x + x x +. Snížili jsme tedy stupeň polynomu v čitteli. Tkto budeme pokrčovt dále dokud bude stupeň polynomu v čitteli větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovteli. Zpět k příkldu. Opět vezmeme člen s největší mocninou v čitteli vydělíme ho členem s největší mocninou ve jmenovteli ( 3x /x = 3 ). Tento podíl vynásobíme jmenovtelem (x x+) výsledek (3x 3x + 3) odečteme od čittele tedy (3x + ) (3x 3x + 3) = 3x. Celkem máme x 3 + x + x + x x + = x + 3x + x x + = x x x x +. Tento postup můžeme přehledně zpst pomocí schémtu: (+x 3 +x + x+) : (x x + ) = x x x x + x 3 + x x 3x + 3x +3x 3 3x (zbytek) Stčí tedy, budeme-li umět rozložit n součet jednodušších funkcí rcionální funkce, jejichž čittel má nižší stupeň než jmenovtel. Následující vět zjišťuje existenci tohoto rozkldu. 3

124 Vět 9.7. (O rozkldu n prciální zlomky.) Nechť Q(x) = n (x α ) r (x α ) r (x α k ) r k (x + p x q ) s (x + p l x q l ) s l, kde r,, r k, s,, s l N; n, α,, α k, p,, p l, q,, q l R, n 0. Polynomy x α, x α,, x α k, x + p x q,, x + p l x q l jsou reálné, nvzájem různé pro i =,,, l pltí p i 4 q i < 0. Dále nechť P je reálný polynom, jehož stupeň je nižší než stupeň polynomu Q. Potom existují reálná čísl A r r, A r r,, A r, A r r, A r r,, A r,, A r k rk, A r k r k,, A r k,, M s s, N s s, M s s, N s s,, Ms, Ns,, M s l s l, N s l s l, M s l s l, N s l s l,, Ms l, Ns l tk, že pro všechn x jež nejsou kořeny polynomu Q pltí rovnice P (x) Q(x) = + M s s x + N s s (x + p x q ) s l A r r (x α ) + A r r r (x α ) + + A r + r x α A r k rk + + (x α k ) r k + M s l s l x + N s l s l (x + p l x q l ) s l A r k r k (x α k ) r k + + A r k x α k + M s s x + N s s (x + p x q ) + + M s x + Ns + s l x + p x q + M s l s l x + N s l s l (x + p l x q l ) + + M s l x + Ns l. s l x + p l x q l Příkld 9.8. Rozložme funkci 5x6 x 5 + 4x 9x + 9 n prciální zlomky. x 3 (x + 3) Polynom x + 3 nemá reálné kořeny stupeň čittele je menší než stupeň jmenovtele, tkže rozkld prciální zlomky má tento tvr 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 x 3 (x + 3) = A x + B 3 x + C x + Dx + E (x + 3) + F x + G x + 3 Tuto rovnost vynásobíme jmenovtelem x 3 (x + 3) dostneme 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 = A(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx (x + 3) + (Dx + E)x 3 + (F x + G)(x + 3)x 3. (9.) Neznámé koeficienty A, B, C, D, E, F G určíme kombincí doszovcí metody (postupně doszujeme reálné kořeny jmenovtele v přípdě, že je některý reálný kořen n- násobný, doszujeme postupně do všech derivci ž do řádu n ) metody neurčitých koeficientů (porovnáváním koeficientů u stejných mocnin). Nejprve spočteme koeficienty A, B C doszovcí metodou. Nul je trojnásobným kořenem jmenovtele, tkže jejím doszením do rovnice (9.) obdržíme 9 = 9A nebo-li A =. 4

125 Potom spočteme derivci obou strn rovnice (9.) v bodě nul 9 = 9B nebo-li B = nkonec spočteme druhou derivci obou strn rovnice (9.) v bodě nul 48 = A + 8C tedy C =. Osttní koeficienty určíme metodou neurčitých koeficientů. Nejprve dosdíme vypočtené koeficienty A, B C do rovnice (9.) 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 = (x + 3) x(x + 3) + x (x + 3) +(Dx + E)x 3 + (F x + G)(x + 3)x 3 = x 4 + 6x + 9 (x 5 + 6x 3 + 9x) + x 6 + x 4 + 8x Všechny členy převedeme n levou strnu +(Dx + E)x 3 + (F x + G)(x + 3)x 3. 3x 6 3x 4 + 6x 3 = Dx 4 + Ex 3 + (F x 4 + Gx 3 )(x + 3) = Dx 4 + Ex 3 + F x 6 + 3F x 4 + Gx 5 + 3Gx 3 (3 F )x 6 Gx 5 + (D + 3F + 3)x 4 + (6 E 3G)x 3 = 0. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostneme následující rovnice: 3 = F, 0 = G, 3 = D + 3F, 6 = E + 3G. Celkem tedy máme Tedy F = 3, G = 0, D =, E = 6. 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 x 3 (x + 3) = x 3 x + x + x + 6 (x + 3) + 3x x + 3. Chceme-li integrovt rcionální funkci, tk nejprve ověříme, zd-li je stupeň polynomu v čitteli menší než stupeň polynomu ve jmenovteli. Pokud no, tk rozložíme ji n prciální zlomky. V přípdě, že je stupeň polynomu ve jmenovteli menší nebo roven stupni polynomu v čitteli, tk vydělíme čittele jmenovtelem výslednou rcionální funkci opět rozložíme n prciální zlomky. Po rozkldu n prciální zlomky mohou vzniknout tři typy funkcí, jednk je to polynom, ten integrovt umíme (vět 8.6) jednk jsou to integrály ve tvru A (x α) n dx, Mx + N dx n N, (x + px + q) n 5

126 kde p q < 0. Dále podle věty 8.6 pltí 4 A (x α) dx = c A n n pro n >, (x α) n A (x α) n dx c = A ln x α pro n =, v kždém intervlu neobshujícím bod α. Zbývá tedy spočítt třetí integrál. Postup jeho výpočtu si ukážeme v následujícím příkldu. Mx + N p Příkld 9.9. Spočtěme dx, kde (x + px + q) n 4 q < 0 n N. Derivce funkce x + px + q je x + p. To využijeme k rozdělení zdného integrálu n dv tk, by jeden obshovl násobek x + p druhý neobshovl lineární člen. Pltí M(x + p) Mx + N = + N Mp tedy máme Mx + N (x + px + q) n dx = M x + p (x + px + q) dx + n (N Mp)dx (x + px + q) n. (9.) První integrál spočteme substitucí x + px + q = t, potom (x+p)dx=dt x + p dt (x + px + q) dx = c = c = n t n (n )t n (n )(x + px + q). n Druhý integrál v (9.) převedeme n integrál dt (viz. příkld 8.4) doplně- (t + ) n ním prvních dvou členů v x + px + q n čtverec x + px + q = (x p p Potom volíme substituci y = x + p tedy dy = dx N Mp dx c N Mp = (x + px + q) n Zvolíme-li substituci t q p = y, je dt q p 4 4 ve jmenovteli dostneme ) n ) (y + q p = ((q p t + q p ) (x p 4 + q = + p ) p + q 4. 6 ( dy y + q p 4 ) n. = dy (podle předpokldu je q + p 4 > 0) ) n ) n = (q p ( t + ) n. 4

127 c = N Mp N Mp dx (x + px + q) n c = q p dt 4 ( ) n = c q p (t + ) 4 n N Mp N Mp ( q p 4 dy ( y + q p 4 ) n ) n dt (t + ) n. Tento integrál můžeme spočítt podle vzoru v příkldu 8.4 tedy umíme spočítt i integrál (9.). Umíme tedy vypočítt integrál libovolné reálné rcionální funkce, pokud ji ovšem dokážeme rozložit n prciální zlomky. Problém je hlvně rozkld polynomu ve jmenovteli n součin kvdrtických lineárních členů. Výsledek pltí v kždém intervlu neobshujícím žádný kořen polynomu ve jmenovteli. Ukážeme si to n konkrétním příkldu. 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 Příkld 9.0. Spočtěme integrál dx. x 3 (x + 3) V příkldu 9.8 jsme nšli rozkld integrndu n prciální zlomky. Tkže 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 dx = x 3 (x + 3) x + 6 x dx 3 x dx + x dx + (x + 3) dx + 3x dx. (9.3) x + 3 Nejobtížnější je výpočet integrálu ze čtvrtého sčítnce. Nejprve ho rozložíme n součet dvou jednodušších integrálů tk, by čittel prvního integrálu byl násobkem derivce funkce x +3 druhý čittel obshovl pouze konstntu x + 6 dx = (x + 3) x (x + 3) dx + 6 dx (x + 3). (9.4) První integrál vypočteme pomocí substituce z = x + 3 (dz = x dx) druhý pomocí substituce x = t 3 (dx = dt 3) převedeme n rekurentní vzorec (8.) x (x + 3) dx = c dz = c c = z z x + 3. dx 6 c 3 dt = 6 = c 3 dt (x + 3) (3t + 3) 3 (t + ). Podle rekurentního vzorce (8.) máme ( + t ) dx c t = ( + t ) + rctg t po doszení do rovnosti (9.4) dostneme x + 6 (x + 3) dx c = x x 3 3 x x rctg 3. (9.5)

128 Integrál pátého sčítnce z (9.3) vypočteme podobně jko předchozí integrál pomocí substituce z = x + 3 (dz = x dx), obdržíme 3x x + 3 dx = c 3 dz z dz = c 3 ln z = c 3 ln(x + 3). Integrály první tří sčítnců z (9.3) není třeb podrobně rozebírt. Dále dosdíme výsledek předchozí integrce výsledek z (9.5). Celkem máme 5x 6 x 5 + 4x 9x + 9 dx = c ln x + x 3 (x + 3) x x + x x 3 3 x x rctg ln(x + 3), n kždém intervlu, který neobshuje nulu. 9. Integrce dlších vybrných funkcí V této části bude symbol R(u, v) znčit rcionální funkci proměnných u v. ( ( ) ) x + b s Integrál typu R x, dx, cx + d kde s N, s >, lze převést substitucí n integrál rcionální funkce proměnné t. Příkld 9.. Spočtěme integrál x + b cx + d = ts. (9.6) x x x + 3 x dx. Použijeme substituci (9.6) x + 3 = t, nebo-li x + 3 = t, x = t 3 dx = t dt x x +3 t + t 3 5 t + t 3 3t dx = t dt = x + 3 x +3 t t 3 t t + 3 dt po rozkldu n prciální zlomky dostneme 5( = t 4 9 t 3 + ) dt = [ t ] 5 t + 4t 9 ln t 3 + ln t + = ln(3 5) + ln( 5 + ) ln ln = ln(3 5) + ln( 5 + ) + 8 ln. 8

129 Integrál typu ( R x, ) x + bx + c) dx, kde > 0 polynom x + bx + c má dv různé kořeny (jink bychom mohli odmocnit dostli bychom rcionální funkci). Tyto integrály počítáme pomocí tzv. Eulerovy substituce x + bx + c = ± x + t. (9.7) Znménko v substituci volíme tk, bychom si co nejvíce usndnili práci. dx Příkld 9.. Spočtěme integrál x + x + x. Použijeme substituci (9.7) x + x = x + t, po umocnění dostneme x + x = x xt + t nebo-li x + xt = t +. Potom x = t + + t, dx = t( + t) (t + ) = t + t dt ( + t) ( + t) dx x + c t + t = x + x t( + t) dt. Po rozkldu n prciální zlomky dostneme c = + 5 t + t + 5 c 5 ln + t 5 = ln t + ( + t) ( + t) c = ln x + x + x + 5 ln + x + x + x 5 ( + x + x + x ). Ještě určíme obor pltnosti. Kořeny polynomu pod odmocninou jsou x, = ± 5 tedy odmocnin má smysl pro x + 5 pro x 5. A protože rgumenty logritmů nemění znménko n definičním oboru odmocniny, tvoří obor pltnosti intervly [ + 5, ) (, 5 Integrál typu ]. ( R x, ) x + bx + c) dx, kde < 0 polynom x +bx+c má dv různé reálné kořeny α β splňující nerovnost α < β (v opčném přípdě by neexistovl reálná odmocnin). Tedy definiční obor odmocniny je [α, β] pltí x + bx + c = (x α)(x β) = (x α)(β x), 9

130 kde všichni tři činitelé jsou kldná čísl. Potom x + bx + c = (x α)(β x) = (x α) β x x α = β x (x α) x α zvedeme tzv. Eulerovu substituci β x = t. (9.8) x α Příkld 9.3. Spočtěme integrál Protože dx, pro x (, 3). x + 4x 3 x + 4x 3 = (x )(x 3) = (x )(3 x), je n intervlu (, 3) x > 0 3 x > 0. Můžeme tedy psát Použijeme substituci (9.8) x + 4x 3 = (x )(3 x) = (x ) 3 x x. 3 x x = t, 3 x x = t. Po vynásobení poslední rovnice výrzem (x ) vyjádříme x x = 3 + t 4t dt, dx = + t ( + t ). Potom = dx x + 4x 3 = dx (x ) 4 dt + t (3 + t t ) = 3 x x = 4t dt ( ( + t ) 3+t ) t +t dt + t c = rctg t c = rctg 3 x x. Integrál typu P n (x) dx px + rx + s, kde P n je polynom n-tého stupně. Potom n intervlu, kde je px + rx + s > 0, můžeme použít tzv. Ostrogrdského vzorce: P n (x) dx c = Q n (x) k dx px + rx + s + px + rx + s px + rx + s, (9.9) 30

131 kde Q n je polynom (n )-ního stupně k je konstnt. Polynom Q n konstntu k určíme ze vzthu P n (x) = Q n (x)(px + rx + s) + Q n (x)(px + r) + k (9.0) metodou neurčitých koeficientů. Ostrogrdského vzorec dostneme, vydělíme-li rovnici (9.0) výrzem px + rx + s následně ji zintegrujeme. x 4 dx Příkld 9.4. Spočtěme integrál, pro x <. x Dosdíme-li n = 4, P 4 (x) = x 4, Q 3 = x 3 + bx + cx + d, p =, r = 0 s = do vzthu (9.0), máme x 4 = (3x + bx + c)( x ) (x 3 + bx + cx + d)x + k porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostneme c + k = 0, b d = 0, 3 c c = 0, b b = 0, 3 = tedy = 4, b = 0, c = 3 8 d = 0, k = 3 8. Doszením Q 3 = 4 x3 3 8 x = 8 (x3 + 3) k = 3 8 obdržíme x 4 dx c = x 8 (x3 + 3) x c = 8 (x3 + 3) x + 3 rcsin x. 8 do Ostrogrdského vzorce (9.9) dx x Integrál typu Zde k cíli vždy vede substituce R (cos x, sin x) dx. tg x = t pro x ( π, π). (9.) Užitím zákldních vzthů mezi trigonometrickými funkcemi dostneme tg x = sin x cos x = cos x cos x, cos x = + tg x = + t, cos x = cos x sin x = cos x = + t = t + t, sin x = sin x cos x = tg x cos x = 3 t + t,

132 x Dohromdy tedy máme vzorce sin x = = rctg t, dx = dt + t. t t dt, cos x =, dx = + t + t + t. (9.) π sin x Příkld 9.5. Spočtěme integrál 0 + cos x dx. Použitím substituce (9.) vzthů (9.) máme π = 0 0 sin x tg π + cos x dx = 4 tg 0 + t t + t dt = 0 t +t dt + t + t = +t 0 + t t dt + t + t + t t + t dt = [ t ln( + t ) ] = ln. 0 Substituce (9.) sice vždy vede k rcionlizci funkce R (cos x, sin x), le vzniklá rcionální funkce bývá většinou znčně složitá. Proto v některých speciálních přípdech bývá výhodnější použít jiné substituce. Jde o tyto přípdy: Je-li R (cos x, sin x) = R (cos x, sin x), volíme substituci cos x = t. Je-li R (cos x, sin x) = R ( cos x, sin x), volíme substituci sin x = t. Je-li R (cos x, sin x) = R ( cos x, sin x), volíme substituci tg x = t pro x ( π, π ). 3

133 Kpitol 0 Dodtky plikce 0. Nevlstní integrály Dosud jsme určitý integrál definovli pouze pro omezené funkce n omezeném intervlu [, b]. Tuto definici nyní rozšíříme i n neomezené intervly pro neomezené funkce. Je-li < b existuje-li určitý integrál funkce f n intervlu [, b], potom je podle věty 7.6 integrál F (y) = F (b) = lim F (y), nebo-li y b y lim y b y f(x) dx spojitou funkcí proměnné y v intervlu [, b] pltí f(x) dx = lim y b (F (y) F ()) = F (b) F () = f(x) dx. Může se všk stát, že limit vlevo existuje, i když určitý integrál vprvo neexistuje. V tkovém přípdě rozšíříme definici určitého integrálu právě limitou vlevo. Podobně budeme postupovt i v přípdě dolní meze v přípdě, že některá z těchto mezí není omezená. Definice 0.. Nechť < b nechť funkce f má pro y [, b) Riemnnův integrál y y f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim f(x) dx, nzveme tuto limitu zobecněným y b Riemnnovým integrálem funkce f od do b. Definice 0.. Nechť < b nechť funkce f má pro y (, b] Riemnnův integrál f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim f(x) dx, nzveme tuto limitu zobecněným y y + y Riemnnovým integrálem funkce f od do b. Definice 0.3. Nechť je dáno číslo nechť funkce f má pro y Riemnnův integrál y y f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim f(x) dx, nzveme tuto limitu zobecněným y Riemnnovým integrálem funkce f od do. 33

134 Definice 0.4. Nechť je dáno číslo nechť funkce f má pro y Riemnnův integrál y f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim y y Riemnnovým integrálem funkce f od do. Příkld 0.5. Spočítejme integrál Funkce 0 dx x. f(x) dx, nzveme tuto limitu zobecněným x není omezená v bodě x =, tkže nemá Riemnnův integrál od 0 do. Nicméně pro y [0, ) Riemnnův integrál existuje pltí y 0 dx x = y +. A protože lim y y = 0, existuje i zobecněný Riemnnův integrál 0 dx ( = lim ) y + =. x y Pokud bod b, ve kterém není integrnd omezený, leží uvnitř intervlu [, c] (přes který integrujeme), nbízí se následující myšlenk: Rozdělíme intervl [, c] n dv intervly [, b] [b, c] n obou těchto intervlech spočteme zobecněný Riemnnův integrál. V přípdě, že ob integrály existují, potom existuje i zobecněný Riemnnův integrál n intervlu [, c] rovná se jejich součtu. Stejným způsobem můžeme postupovt i v přípdě, že bodů, v nichž není integrnd omezený, je více. dx Příkld 0.6. Spočítejme integrál 3. x Funkce 3 není omezená v bodě x = 0, tkže nemá Riemnnův integrál od do. x Nicméně pro y [, 0) Riemnnův integrál existuje pltí y dx 3 x = [ 3 3 x ] y = 3 3 y + 3 tké pro y (0, ] existuje Riemnnův integrál pltí y dx 3 x = [ 3 3 x ] y = y. A protože lim y 0 3 y = lim y y = 0, existuje i zobecněný Riemnnův integrál dx 0 3 = x dx 3 + x 0 dx 3 x = lim y 0 (3 3 y + 3) + lim y 0 + (3 3 3 y) = 6. 34

135 dx Příkld 0.7. Spočítejme integrál (x + )(x + 4). Intervl (, ) není omezený, tkže Riemnnův integrál neexistuje. Nicméně pro 0 y < Riemnnův integrál existuje pltí y dx 0 (x + )(x + 4) = 3 0 x + x + 4 dx = [ rctg x rctg x ] y = ( rctg y rctg y ) tké pro < y 0 Riemnnův integrál existuje pltí 0 dx y (x + )(x + 4) = [ rctg x rctg x ] 0 = 6 y 6 ) ) = π, existuje i zobec- A protože lim (rctg y rctg y y něný Riemnnův integrál dx (x + )(x + 4) = = 6 lim y y ( = lim rctg y + rctg y y ( rctg y rctg y Příkld 0.8. Spočítejme integrál 0 0 dx (x + )(x + 4) + ) + 6 lim y dx x. (rctg y rctg y ). 0 dx (x + )(x + 4) ) = π 6. ( rctg y + rctg y Funkce není omezená v bodě x = 0, tkže nemá Riemnnův integrál od 0 do. Dále x pro y (0, ] Riemnnův integrál existuje pltí y dx x = ln y. Ale lim ln y =, neexistuje tedy ni zobecněný Riemnnův integrál. y Obsh rovinných obrzců Zvedení určitého integrálu bylo motivováno problémem výpočtu obshu plochy, ohrničené osou x, přímkmi x = x = b ( < b) nezápornou omezenou funkcí f tento problém nás přivedl k zvedení (zobecněného) Riemnnov integrálu funkce f přes intervl [, b]. Oznčíme-li příslušný obsh symbolem S(, b, f), potom poždujeme, by byly splněny tyto poždvky S(, b, f) 0 pro libovolný intervl [, b] libovolnou nezápornou omezenou funkcí f n intervlu [, b], 35

136 je-li < c < b, je S(, b, f) = S(, c, f) + S(c, b, f) pro libovolnou nezápornou omezenou funkcí f n intervlu [, b], je-li c < d b, je S(c, d, g) S(, b, f) pro libovolné nezáporné omezené funkce f g splňující nerovnost g(x) f(x) pro všechn x [c, d], S(, b, f) = (b )c pro libovolný intervl [, b] libovolnou nezápornou konstntní funkcí f(x) = c n intervlu [, b]. Vět 0.9. (Obsh plochy pod grfem nezáporné funkce.) Obsh S(, b, f) obrzce ohrničeného osou x, přímkmi x =, x = b ( < b) nezápornou spojitou funkcí f n intervlu [, b] je roven S(, b, f) = f(x) dx. Důkz. Sndno si rozmyslíme, že integrál f(x) dx splňuje všechny čtyři podmínky kldené n obsh plochy. Dále oznčme D,, D m,, posloupnost dělení intervlu [, b] tkovou, že kždé dělení D m dělí intervl [, b] n m stejných dílků. Dělícími body dělení D m jsou tedy body = x 0,m < x,m < < x m,m < x m,m = b, kde x i,m = + i(b ) m pro i =,,, m, tedy x i,m = x i,m x i,m = b m, v(d m) = b m lim v(d m) = 0. Potom pro kždé m dělení pltí s(d m ) S(, b, f) S(D m ). Vzhledem k tomu, že funkce f je spojitá n intervlu [, b], existuje určitý integrál funkce f od do b rovná se dolnímu hornímu Riemnnovu integrálu tedy podle vět pltí: f(x) dx = lim m s(f, D m) S(, b, f) lim m S(f, D m) = Podobně bychom mohli odvodit větu: f(x) dx. Vět 0.0. (Obsh plochy nd grfem nekldné funkce.) Obsh S(, b, f) obrzce ohrničeného osou x, přímkmi x =, x = b ( < b) nekldnou spojitou funkcí f n intervlu [, b] je roven S(, b, f) = f(x) dx. Osttní přípdy dostneme vhodnou kombincí předchozích dvou vět. Ukážeme si to n několik příkldech. 36

137 Příkld 0.. Spočítejme obsh kruhu. Kružnice je popsán rovnicí x + y = R, kde R > 0 je poloměr kružnice. Explicitní vyjádření křivky pro horní polovinu kružnice je y = R x pro x [ R, R]. Tedy obsh horní poloviny kruhu je roven R R x dx. R Explicitní vyjádření křivky pro dolní polovinu kružnice je y = R x pro x [ R, R]. Zde je dolní hrnice tvořen zápornou funkcí, tkže obsh nd ní je roven R R ( ) R x dx. Sečtením těchto dvou integrálů dostneme obsh celého kruhu. K výpočtu vzniklého integrálu využijeme substituci x = R sin t (dx = R cos t). S = R R R x dx = R π π R R sin t cos t dt = R π π π cos t dt. Poslední integrál spočítáme pomocí per-prtes tk, že budeme funkci cos t integrovt i derivovt ) = R ([sin t cos t] π π π π + sin t dt = R cos t dt = πr R π π cos t dt. π Z toho plyne, že π π cos t dt = π tedy S = πr. Příkld 0.. Spočítejme obsh plochy ohrničené grfy funkcí sin x osou x n intervlu [0, π]. Obsh zdné plochy je součtem dvou ploch. První leží pod grfem funkce sin x n intervlu [0, π] druhá leží nd grfem funkce sin x n intervlu [π, π]. S = π 0 sin x dx + π π sin x dx = [ cos x] π 0 + [cos x]π π = 4. Příkld 0.3. Spočítejme obsh plochy ohrničené grfy funkcí f(x) = sin x g(x) = π x. Funkce π x je n celém intervlu [ π, π] nezáporná, ztímco funkce sin x je nekldná n intervlu [ π, 0] nezáporná n intervlu [0, π]. Obsh zdné plochy n intervlu [ π, 0] bude tedy součtem obshů plochy ležící pod grfem funkce π x plochy 37

138 ležící nd grfem funkce sin x. A n intervlu [0, π] bude rozdílem obshů plochy ležící pod grfem funkce π x plochy ležící pod grfem funkce sin x. Tkže pltí S = 0 π π x dx + 0 = π π π sin x dx + π π π x dx sin x dx. 0 π π π x dx sin x dx První integrál předstvuje obsh poloviny kruhu o poloměru π (příkld 0.) ve druhém integrujeme lichou funkci n intervlu, který je symetrický podle nuly, tkže tento integrál je roven nule. To můžeme odvodit npříkld pomocí substituce x = y (dx = dy) Potom π π 0 π sin x dx = sin x dx = π Celkem tedy máme S = π π sin x dx + sin( y) dy = 0 π π 0 sin x dx = π sin( y) dy = sin y dy. 0 π 0 sin x dx π 0 0 sin y dy = 0. Jestliže je grf nezáporné spojité funkce f n intervlu [, b] vyjádřený prmetrickými rovnicemi: x = ϕ(t) y = ψ(t) n intervlu [c, d], kde funkce ϕ(t) má spojitou derivci různou od nuly n intervlu (c, d), potom substitucí x = ϕ(t), f(ϕ(t)) = ψ(t) ve větě 0.9 dostneme vzorec S(, b, f) = f(x) dx = d c ψ(t)ϕ (t) dt. 0.3 Délk křivky Nechť f je spojitá funkce. V této části budeme křivkou C rozumět množinu všech bodů [x, y], vyhovujících podmínkám x b, y = f(x). Nším cílem bude definovt vhodným 38

139 způsobem délku této křivky. Rozdělme intervl [, b] pomocí dělení D n n n dílků dělícími body = x 0, x, x,, x n, x n = b sestrojme body [x 0, f(x 0 )] = P 0, [x, f(x )] = P,... [x n, f(x n )] = P n. Délku úseček spojující body P i P i+ pro i = 0,..., n umíme spočítt. Pro připomenutí délk úsečky je rovn (x i+ x i ) + (f(x i+ ) f(x i )). Sečteme-li nyní délky těchto úseček, dostneme délku lomené čáry procházející body P i pro i = 0,..., n. Tuto délku oznčíme L(f, D n ). Vezmeme-li nyní dvě dělení D D tk, že dělení D je zjemněním dělení D. Potom pltí L(f, D) L(f, D ). Definice 0.4. Délku křivky C definujeme jko supremum L(f, D) přes všechn dělení intervlu [, b]. Budeme ji znčit symbolem L(, b, f). Vět 0.5. (Výpočet délky křivky.) Nechť funkce f má vlstní derivci v intervlu (, b). Dále nechť existuje (zobecněný) Riemnnův integrál + (f (x)) dx. Potom křivk C definovná množinou všech bodů [x, y], vyhovujících podmínkám x b, y = f(x) má konečnou délku dnou předpisem L(, b, f) = + (f (x)) dx. Důkz. Potřebujeme dokázt, že To znmená, že + (f (x)) dx je supremum všech čísel L(f, D). pro kždé dělení D intervlu [, b] pltí L(f, D) ε > 0 existuje dělení D tk, že + (f (x)) dx, + (f (x)) dx ε < L(f, D). 39

140 Vezmeme libovolné dělení D intervlu [, b] pro kždé m N sestrojíme dělení D m tk, že kždý částečný intervl dělení D rozdělíme n m stejných dílků. Potom kždé dělení D, D, D,... je zjemněním předchozího dělení pltí L(f, D) L(f, D ) L(f, D ) L(f, D 3 )... (0.) Jsou-li dělícími body dělení D m body = x 0, x, x,, x n, x n = b, potom délk úsečky l i spojující body [x i, f(x i )] [x i, f(x i )] je l i = (x i x i ) + (f(x i ) f(x i )). Protože f je spojitá funkce v intervlu [x i, x i ] má v intervlu (x i, x i ) derivci f, existuje podle věty o střední hodnotě číslo ξ i (x i, x i ) tk, že pro i =,,, n pltí Tedy f(x i ) f(x i ) = (x i x i )f (ξ i ) = x i f (ξ i ). l i = (x i x i ) + (f(x i ) f(x i )) = ( x i ) + ( x i f (ξ i )) = x i + (f (ξ i )). Sečteme-li délky úseček pro i =,,, n, dostneme n L(f, D m ) = x i + (f (ξ i )). i= Protože ξ i (x i, x i ), lim v(d m) = 0 podle předpokldu existuje Riemnnnův integrál m + (f (x)) dx, pltí podle věty 7.9 lim L(f, D m) = lim m n n x i + (f (ξ i )) = i= + (f (x)) dx. Podle (0.) je L(f, D) L(f, D m ) pro kždé m N protože limit zchovává nerovnosti pltí L(f, D) + (f (x)) dx. Tedy tento integrál je horní závorou. Dále víme, že b lim L(f, D m) = + (f (x)) dx. Potom ε > 0 D m tk, že + (f (x)) dx m ε < L(f, D m ) tedy tento integrál je nejmenší horní závorou tedy supremem všech čísel L(f, D). Příkld 0.6. Spočítejme obvod kružnice. Kružnice je popsán rovnicí x + y = R, kde R > 0 je poloměr kružnice. Explicitní vyjádření křivky pro horní polovinu kružnice je y = R x pro x [ R, R]. Tedy obvod horní poloviny kružnice je roven R ( ( ) ) R R + R x dx = + x R x dx = R R x dx R R 40 R

141 (pokud tento integrál existuje). Explicitní vyjádření křivky pro dolní polovinu kružnice je y = R x pro x [ R, R]. Tedy obvod dolní poloviny kružnice je opět roven + x R R R R x dx = R dx (pokud tento integrál existuje). Součtem R R x předchozích dvou integrálů dostneme obvod kružnice. Vzhledem k tomu, že integrnd není omezený v krjních bodech, Riemnnův integrál neexistuje. Zkusíme tedy spočítt zobecněný Riemnnův integrál. Po substituci x = Ry obdržíme ( R ) L = R R 0 dy = R y dy + dy 0 y y = R ( lim z ( = R z ( = R lim rcsin z z 0 y dy + lim [rcsin y]z z 0 + lim rcsin z z + 0 lim z + z lim [rcsin y]0 z + z ) = R ) dy y ) ( π π ) = πr. 0.4 Přibližný výpočet určitého integrálu Jestliže primitivní funkci nelze vyjádřit elementárními funkcemi, nebo je-li hledání primitivní funkce příliš obtížné, využíváme k výpočtu určitých integrálů tzv. kvdrturní vzorce. V přípdě, že je integrovná funkce dná tbulkou, tk nám ni nezbývá nic jiného, než spočítt přibližnou hodnotu určitého integrálu pomocí kvdrturního vzorce. Kvdrturním vzorcem budeme rozumět proximci určitého integrálu n I(f) = f(x) dx konečným součtem I n+ (f) = H i f( i ). Čísl i, o kterých předpokládáme, že leží v intervlu [, b], nzýváme uzly kvdrturního vzorce čísl H i nzýváme váhmi nebo koeficienty. Váhy uzly se volí tk, by nezávisely n integrovné funkci by splňovly některé dlší poždvky, zejmén, by chyb kvdrturního vzorce, definovná předpisem E n+ (f) := I(f) I n+ (f) měl vhodné vlstnosti. Obvykle se vyžduje, by kvdrturní vzorec integrovl některou třídu funkcí přesně (nejčstěji polynomy). Řádem kvdrturního vzorce budeme rozumět celé číslo m, pro něž pltí E n+ (x k ) = 0 pro k = 0,..., m, 4 i=0

142 le E n+ (x m+ ) 0. Dv nejjednodušší kvdrturní vzorce tvoří dolní horní součty. Nicméně tyto kvdrturní vzorce integrují přesně pouze konstntní funkce jsou tedy pouze řádu nul proto se v prxi většinou nepoužívjí. Uvedeme si ještě dv dlší jednoduché kvdrturní vzorce. Lichoběžníkové prvidlo vznikne tk, že intervl [, b] rozdělíme n n stejných dílků funkci f n kždém dílku nhrdíme lineární funkcí (úsečkou) y = f( i) f( i ) i i (x i ) + f( i ). Tedy v bodech i i se funkce f úsečk y protínjí. Následně zintegrujeme úsečku y ( lichoběžník ) n intervlu [ i, i ] přesně obdržíme ( i i ) f( i) + f( i ) (b ) f( i ) + f( i ) =. n Nkonec sečteme obdržené integrály přes všechny dílky dostneme ( ) b f( 0 ) n f(x) dx = h + f( i ) + f( n) + E(f), kde i= h = b n, i = + ih, i = 0,..., n, E(f) = b h f (c), c (, b). Z konstrukce lichoběžníkového prvidl je ihned vidět, že je-li funkce f lineární nebo konstntní, potom použitím lichoběžníkového prvidl dostneme přesný výsledek. A tedy lichoběžníkové prvidlo je řádu jedn. Při odvozování Simpsonov prvidl postupujeme podobně jko u lichoběžníkového prvidl. Nejprve intervl [, b] rozdělíme n n (musí být sudé) stejných dílků funkci f nhrdíme n kždém intervlu [ i, i+ ] kvdrtickou funkcí. My si všk ukážeme jednodušší způsob odvození. Určitý integrál totiž nezávisí n posunutí, posuneme-li zároveň funkci i integrční meze. Tkže stčí odvodit kvdrturní vzorec n referenčním intervlu [ h, h] tento vzorec plikovt n funkci f n kždém intervlu [ i, i+ ]. Potřebujeme tedy njít kvdrtickou funkci y = x + bx + c tk, by se v bodech h, 0 h protínl s funkcí f. Tkže musí pltit f( h) = h bh + c, f(0) = 0 b0 + c, f(h) = h + bh + c. Sndno njdeme řešení: y = f(h) f(0) + f( h) x + h 4 f(h) f( h) x + f(0) h

143 jeho integrováním od h do h dostneme hlednou kvdrturní formuli: f(h) f(0) + f( h) h 3 h 3 + hf(0) = h (f(h) + 4f(0) + f( h)). 3 Jejím přenesením n obecný intervl [ i, i+ ] o délce h tedy obdržíme h 3 (f( i) + 4f( i+ ) + f( i+ )). Sečteme-li tyto vzorce přes všechny intervly [ i, i+ ], dostneme Simpsonovo prvidlo m m f(x) dx = h f( 0 ) + 4 f( i ) + f( i ) + f( m ) + E(f), 3 kde i= i= h = b m, i = + ih, i = 0,..., m (sudé), E(f) = b 80 h4 f (IV ) (c), c (, b). Z konstrukce Simpsonov prvidl je ihned vidět, že je-li funkce f kvdrtická, lineární nebo konstntní, potom Simpsonovo prvidlo integruje tyto funkce přesně. A tedy Simpsonovo prvidlo je minimálně druhého řádu. Ve skutečnosti z chyby kvdrturního vzorce plyne, že Simpsonovo prvidlo počítá přesně i integrál z kubické funkce (její čtvrtá derivce je nul, tkže i příslušná chyb E(f) = 0) tedy Simpsonovo prvidlo je třetího řádu. Chyby obou dříve zmíněných kvdrturních vzorců lze odvodit s použitím Tylorovy věty, kterou si uvedeme později. Číslo h, vyskytující se v obou právě uvedených vzorcích, budeme nzývt integrčním krokem. Ob kvdrturní vzorce ptří do skupiny složených kvdrturních vzorců. Tyto vzorce vzniknou tk, že se nejprve zdný intervl rozdělí n n dílků n kždém dílku se použije jednoduchý kvdrturní vzorec výsledky se následně sečtou. Příslušné jednoduché kvdrturní vzorce obdržíme, dosdíme-li do lichoběžníkového prvidl n = do Simpsonov prvidl n =. 0.5 Přibližné řešení nelineárních rovnic V této části si uvedeme dvě metody výpočtu řešení nelineární rovnice f(x) = 0. Iterční metody pro řešení rovnice f(x) = 0 jsou metody, které generují posloupnost čísel, která 43