Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Transkript

1 Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o., Brno 009 Vošický, Z.: Mtemtik v kostce pro střední školy, Frgment, Hvlíčkův Brod Zprcovl: Ing. Bc. Miloslv týpk Řešení obvodů se střídvým proudem. Jkými způsoby řešíme elektrické obvody se střídvým proudem?

2 . Metod lgebrická - pomocí Kirchhoffových zákonů pro okmžité hodnoty proudů npětí prcné složité.. Metod fázorových digrmů - pomocí Pythgorovy věty málo přehledné nepřesné. 3. Metod symbolicko - komplexní - pomocí komplexních čísel pro střídvé veličiny sinusového průběhu lineární prvky podsttně jednodušší.. Jký mtemtický prát používá symbolicko - komplexní metod? Symbolicko - komplexní metod převádí počítání s hrmonickými veličinmi (goniometrickými funkcemi) n počítání s komplexními čísly. Používáme ji při řešení složitějších obvodů. Elektrické veličiny vyjdřujeme komplexními čísly. Fázory npětí proudu povžujeme z komplexní veličiny zobrzené v Gussově rovině. Rovněž vzthy mezi jednotlivými fázory v obvodu vyjdřujeme pomocí komplexních veličin. Řešení elektrických obvodů pomocí fázorů spočívá v tom, že fázory nhrdíme komplexními čísly: bsolutní hodnot komplexního čísl velikost fázoru rgument komplexního čísl úhel fázoru od kldné osy reálných čísel 3. Jk zobrzujeme komplexní čísl? Množinu reálných čísel (R) můžeme zobrzit n přímce. Reálná čísl tedy zobrzujeme jko body n číselné ose od - do. Pro zobrzení množiny komplexních čísel potřebujeme rovinu (C). Komplexní čísl (z ltinského complexus složený) vznikjí rozšířením oboru reálných čísel. Komplexní čísl jsou tedy ndstvbou čísel reálných. V oboru reálných čísel je definováno sčítání, odčítání, násobení dělení libovolných čísel (kromě dělení nulou). Pro reálná čísl je definován n - tá mocnin ( n N). všk n - tá odmocnin ( n N), je definován pouze z nezáporného čísl. Proto v oboru reálných čísel jsou řešitelné kvdrtické rovnice jen s nezáporným diskriminntem. Kvdrtická rovnice x 0 nemá v R řešení (nemá řešení v oboru reálných čísel). Proto byl obor reálných čísel rozšířen n obor čísel komplexních. Diskriminnt : D b - 4c - 4 Pokud bychom chtěli počítt s hodnotmi efektivními nebo mximálními (jsou fázově posunuté) museli bychom je sčítt geometricky.

3 D < 0 (odmocninu se záporného čísl nenlezneme) 4. Jk by to bylo v oboru komplexních čísel? Tm pltí i (j ) - proto: 4 i b ± D 0 ± i x, x ± i Výsledek tedy je ryze imginární číslo (reálná část 0). 5. Co to je komplexní číslo? Jká je definice komplexního čísl? Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel b. Zpisujeme [; b]. Číslu ( R) říkáme reálná část komplexního čísl. Číslu b ( b R) říkáme imginární část komplexního čísl. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imginární komplexní číslo. Ryze imginární číslo [0,] se nzývá imginární jednotk v elektrotechnice se oznčuje symbolem j. V mtemtice se imginární jednotk znčí symbolem i. Komplexní čísl jsou obor bstrktní, ve kterém je definován odmocnin z kždého čísl (můžeme odmocnit i záporné číslo). Komplexní čísl nelze: uspořádt podle velikosti rozlišit n kldná záporná 6. Kde ptří číslo 0? Číslo nul řdíme mezi reálná i ryze imginární čísl. 7. Kdy je komplexní číslo rovno nule? Komplexní číslo je rovno nule, když obě jeho části (,b) jsou rovny nule. 8. Kdy jsou si dvě komplexní čísl rovn? Dvě komplexní čísl ve tvru uspořádných dvojic jsou si rovn, právě když jsou si rovny jejich reálné i imginární části. 9. Co to je modul rgument komplexního čísl? V elektrotechnice by mohlo dojít k záměně imginární jednotky i okmžité hodnoty střídvého proudu i.

4 Kldné číslo b udává délku úsečky 0. Je to bsolutní hodnot vektoru (fázoru ) nzývá se modul. Úhel φ, který svírá úsečk 0 s reálnou osou Re se nzývá rgument komplexního čísl předstvuje fázový posun. Úhel φ lze vypočítt z prvoúhlého trojúhelník pomocí goniometrických funkcí: b sinϕ cosϕ tgϕ b Velikost úhlu φ určíme pomocí klkulčky stiskem tlčítk sin - (rcsin), cos - (rccos) nebo tg - (rctg). 0. Funkce rcsin (rkus sin) Cyklometrické funkce (rcsin, rccos, rctg rccotg) jsou inverzní k funkcím goniometrickým. Protože goniometrické funkce jsou ryze monotónní jen v určitých intervlech, existují inverzní funkce pouze v těchto intervlech. Jko příkld je uveden funkce rcsin. mezením definičního oboru π, π funkce y sin x získáme funkci inverzní y rcsin x, x, π π s oborem hodnot, Cyklometrická funkce rcsin x je n klkulčkách znčen sin - je to inverzní funkce ke goniometrické funkci sin x.. Jké jsou tvry komplexního čísl? Komplexní číslo lze zpst ve třech různých tvrech:. lgebrický (složkový) tvr ± jb. cosϕ ± j sin ϕ. goniometrický tvr ( )

5 ± jϕ 3. exponenciální tvr. e - používá se pro nlýzu elektrických obvodů. ± jb. ( ) ± jϕ cosϕ ± j sinϕ. e Pro zápis komplexního čísl v goniometrickém exponenciálním tvru potřebujeme znát bsolutní hodnotu (modul) rgument komplexního čísl. lgebrický tvr je vhodný pro součet rozdíl komplexních čísel. 3 Exponenciální tvr je vhodný pro součin, podíl mocniny komplexních čísel. 4. Co to je Eulerův vzorec? Eulerův vzorec určuje vzth mezi exponenciálním goniometrickým tvrem komplexního čísl. Pro libovolný úhel φ pltí: ϕ e j cosϕ j sinϕ e,78 zákld přirozených logritmů 3. Co to je imginární jednotk? Komplexní čísl se vyjdřují pomocí imginární jednotky j (v mtemtice i). Pro j pltí: j j - j j j - 3 Smosttně sečteme (odečteme) reálné imginární části komplexních čísel. 4 Moduly komplexních čísel vynásobíme (vydělíme) úhly sečteme (odečteme).

6 j 3 -j j 4 j 5 j j 6-99 pkování je vždy po čtyřech mocninách. Pokud tedy počítáme npř. j 99 pk 4(3) 4 Zbytek 3 znčí, že j 99 j 3 -j 4. Co to je číslo komplexně sdružené? V elektrotechnice používáme i čísl komplexně sdružená znčíme je hvězdičkou *. Komplexně sdružené číslo se tké zpisuje jko s pruhem ( ). Z kždého komplexního čísl můžeme udělt číslo komplexně sdružené. Komplexně sdružené číslo získáme, když změníme znménko u hodnoty imginární složky. jb e jφ * - jb * e -jφ Existuje též opčné komplexní číslo, což se od komplexně sdruženého čísl liší tím, že znménko je změněno i u reálné části. 5. Co to je bsolutní hodnot komplexního čísl? bsolutní hodnot (geometrický význm) komplexního čísl je vzdálenost obrzu komplexního čísl od počátku [0,0] souřdnicového systému v Gussově rovině. Jink řečeno je to délk přepony prvoúhlého trojúhelníku s odvěsnmi, b.

7 bsolutní hodnot komplexního čísl jb je číslo reálné definovné vzthem: b. kde jb bsolutní hodnot komplexního čísl je odmocnin součinu komplexního čísl čísl k němu komplexně sdruženého. bsolutní hodnot modul délk úsečky 0, kldné číslo. Množin všech komplexních čísel o stejné bsolutní hodnotě tvoří kružnici o poloměru. bsolutní hodnot rozdílu dvou komplexních čísel je vyjádření vzdálenosti těchto komplexních čísel v Gussově rovině. Komplexní číslo, jehož bsolutní hodnot je rovn, se nzývá komplexní jednotk. 6. Jk symbolicky vyjádříme fázový posun? kmžitá hodnot npětí s fázovým posunem: u U mx sin( ω t ϕ ) j ( ωt ϕ ) jϕ jωt Symbolické vyjádření fázoru: U U [ cos ( ω t ϕ ) j sin( ωt ϕ ) ] Ue Ue. e Výrz U.e jφ zhrnuje velikost počáteční fázi npětí. Výrz e jωt vyjdřuje čsovou složku. 7. Jk se provádí lgebrické úkony s komplexními čísly? Provádět operce s komplexními čísly je výhodnější, jsou-li tto čísl zpsán v lgebrickém nebo goniometrickém tvru. Sčítání odčítání komplexních čísel Sčítání dvou komplexních čísel (,B) provádíme jko sčítání reálných dvojčlenů, s tím, že sčítáme zvlášť reálné zvlášť imginární části. Součet dvou komplexních čísel, B je komplexní číslo C, jehož reálná část je rovn součtu reálných částí imginární část je rovn součtu imginárních částí obou sčítnců. Příkld: Sečtěte komplexní číl B. 3 j, B 5 - j. C B 3 j 5 - j (3 5) j( -) 8 j Pokud bychom číslo C chtěli vyjádřit ve tvru goniometrickém či exponenciálním, museli

8 bychom vypočítt modul rgument. Modul: C ,06 rgument: tgϕ 0,5 ϕ 7, 8 C 8,06.(cos 7, j sin 7,) 8,06 e j7, Násobení komplexních čísel ) tvr lgebrický Máme dvě komplexní čísl: j - jb B jb Jejich součinem bude opět číslo komplexní: C. B ( jb ). ( jb ) j b j b j b b j b j b - b b ( - b b ) j( b b ) Modul: b tgϕ ( b b ) ( b ) C b b b b rgument: Poznámk:. Součin libovolného komplexního čísl nuly je roven nule.. Pro kždá dvě komplexní čísl, B pltí, že. B 0 ( 0 V B 0) b) tvr exponenciální Součin C dvou komplexních čísel e jα, B e jβ je opět komplexní číslo. Modul: Modul C je roven součinu modulů, B obou činitelů. C. B rgument: rgument je roven součtu zákldních rgumentů. γ α β Pltí: ( α β) jγ j C B. e. C e

9 Příkld: Určete součin D komplexních čísel. B. 5 j3, B 4 - j. D (5 j3). (4 - j) 0 j - j0 6 6 j Výsledné komplexní číslo D vyjádříme ve tvru exponenciálním tím, že vypočteme jeho modul rgument. Modul: D ,076 rgument: tgϕ 6 3 0,0679 φ 4,398 D 6,076e j4,398 Správnost výpočtu ověříme tím, že komplexní čísl B převedeme n exponenciální tvr, provedeme jejich součin porovnáme ob výsledky. 5 j3 5,83e j30,963 B 4 j 4,47e j6,565 D j30,963 j6,565. B 5,83e.4,47e 6,076. e j4,398 Příkld: Vypočítejte součin čísl 0 j5 s číslem B, které je k němu komplexně sdružené.. * (0 j5). (0 - j5) 00 j50 - j j0 5 Dělení komplexních čísel ) Dělení reálného čísl komplexním číslem Při dělení reálného čísl, číslem komplexním postupujeme tk, že u zlomku násobíme čittele i jmenovtele komplexně sdruženým číslem tím ze jmenovtele komplexní číslo odstrníme. Výsledek bude komplexní číslo. Příkld: Dělte reálné číslo 5 komplexním číslem - j.

10 5 5.( j) 50 j5 50 j5 D 0 j ( j).( j) 4 j j 5 j5 b) Dělení dvou komplexních čísel v lgebrickém tvru B jb ( jb ).( jb ) ( bb ) j( b b ) jb ( jb ).( jb ) b b b b b b j b Příkld: Vypočítejte podíl D komplexních čísel /B. 0 j B 5 - j [D 3 j5] c) Dělení dvou komplexních čísel v exponenciálním tvru Stejně jko u násobení, tk tké při dělení dvou komplexních čísel je vhodnější použít jejich exponenciální tvry. Příkld: Vypočítejte podíl D komplexních čísel /B. 0 j B 5 - j j0, j 0,06665e D 3,53707e j, j 5,09909e j,64773 Mocnin odmocnin komplexního čísl becný vzorec pro n-tou mocninu jϕ n n jnϕ C ( e ) becný vzorec pro n-tou odmocninu C n e jϕ n e e ϕ j n Příkld: Vypočítejte třetí mocninu komplexního čísl 3 j. lgebrický tvr převedeme n tvr exponenciální: 3 j 3,605e j33,69 Exponenciální tvr komplexního čísl umocníme: e j33,69 ) 3 46, 85 e 0, 07 ( 3,605

11 Příkld: Vypočítejte třetí odmocninu komplexního čísl 5e j0,58 (-4,75 j7.46). 3 j0, 58 5e 5e j36,86 4 j3 Moivreov 5 vět Moivreov vět o n-té mocnině komplexního čísl propojuje komplexní čísl s goniometrií je vyjádřen formulí: Z n Z n [ cos( n. ϕ ) j sin( n.ϕ )] Příkld: Vypočítejte pomocí Moivreovy věty pátou mocninu komplexního čísl ( - -j) ) Komplexní číslo převedeme n tvr goniometrický: ( ) ( ) sinϕ III.kvdrnt φ 5π 4 5π 5π cos j sin 4 4 b) Pomocí Moivreovy věty určíme poždovnou mocninu: 5 4 ( ) 5 5π cos5 4 j 4 5π j sin j4 π cos 4 π j sin 4 4 cos j sin 5 brhm de Moivre ( ), nglický mtemtik frncouzského původu, člen Královské vědecké společnosti. Zbývl se mtemtickou nlýzou, teorií prvděpodobnosti rekurentními řdmi. N sklonku život údjně hrávl šchy po kvárnách zemřel v reltivní bídě.