Pokročilé simulace ve fyzice mnoha částic:

Transkript

1 Pokročilé simulace ve fyzice mnoha částic: Simulace složitých, nerovnovážných a kvantových jevů Miroslav Kotrla & Milan Předota FZÚ AV ČR, Praha 8 oddělení teorie kondenzovaných látek JU České Budějovice Přírodovědecká fakulta ústav fyziky a biofyziky kotrla@fzu.cz predota@prf.jcu.cz

2 SYLABUS Optimalizační úlohy: simulované žíhání, molekulární statika výpočet energetických bariér metadynamika. Rovnovážné simulace: fázové přechody a kritické jevy klastrové algoritmy, finite size scaling, multispinové kódování pro celulární automaty, dlouhodosahové síly, molekulárních systémy. Simulace nerovnovážných jevů: kinetické koeficienty, časové korelační funkce, Einsteinův vztah, nerovnovážná MD, self-difúze částic v mřížovém plynu, simulace růstu sněhové vločky (DLA).

3 SYLABUS POKRAČOVÁNÍ Kinetické MC, volba kinetiky, čas v kinetickém MC, "n-fold way" algoritmus, model adsorpcedesorpce částic na povrchu. Simulace růstu reálných krystalů - SOS modely. MC pro kvantové systémy: variační MC, kanonické kvantové MC, izomorfismus kvantových a klasických systémů, znaménkový problém. Numerické simulace z prvních principů, metoda funkcionálu hustoty, Car-Parrinelliho metoda.

4 k algoritmům MC - I standardní termodynamické MC (opakování z ZS) S A P A známo: configurace, jejich pravděpodobnosti generujeme realizaci Markovovského řetězce A, k 1,..., M pomocí matic přechodu W W A A i j i j X X A P A cíl: co nejrychlejší výpočet používány matice: Metropolis nebo Glauber W W A M i j G 1 i j th exp E 0 pro 1 E 0 1 / 2 2 různé matice = různé sekvence stavů, tj. odpovídají různé dynamice, ale střední hodnota stejná k E E A E A j i

5 Modelování časově závislých jevů a) deterministicky přesný popis b) statistické simulace

6 Modelování časově závislých jevů a) deterministicky přesný popis známe nebo máme představu o všech detailech lze napsat soustavu evolučních diferenciálních rovnic (MD, časově závislé konečné elementy) např. mikroskopický pohyb atomů/molekul, rovnice proudění etc. příklad o laplaceovském růstu - Dirichletova úloha b) statistické simulace

7 Modelování časově závislých jevů a) deterministicky přesný popis známe nebo máme představu o všech detailech lze napsat soustavu evolučních diferenciálních rovnic (MD, časově závislé konečné elementy) např. mikroskopický pohyb atomů/molekul, rovnice proudění etc. příklad o laplaceovském růstu - Dirichletova úloha b) statistické simulace dynamika známa jen přibližně, ale důležité rysy identifikavány popis pomocí stochastických rovnic (některá varianta MC) rozlišit: i. jen evoluce jako sekvence náhodných stavů např. DLA diffusion limited aggregation ii. měření časových závislostí např. rychlost růstu krystalu

8 Modelování časově závislých jevů a) deterministicky přesný popis známe nebo máme představu o všech detailech lze napsat soustavu evolučních diferenciálních rovnic (MD, časově závislé konečné elementy) např. mikroskopický pohyb atomů/molekul, rovnice proudění etc. příklad o laplaceovském růstu - Dirichletova úloha b) statistické simulace dynamika známa jen přibližně, ale důležité rysy identifikavány popis pomocí stochastických rovnic (některá varianta MC) rozlišit: DLA diffusion limited aggregation i. jen evoluce jako sekvence náhodných stavů další příklady: požáry, epidemie ii. měření časových závislostí rychlost růstu krystalu

9 Simulace lesních požárů on line simulátory požáru na internetu: simulator požáru s ovládáním pravděpodobnosti šíření simulator požáru s nastavením větru a paliva (lesa, křoví, trávy) CA simulator požáru a růstu stromů - ovládáním pravděpodobností hoření a růstu I CA simulator požáru a růstu stromů - ovládáním pravděpodobností hoření a růstu II pěkný

10 úloha- požár Simulace lesních požárů - pokračov ování Uvažujte "les" na čtvercové mřížce při periodických okrajových podmínkách a simulujte následující celuární automat: Každý vrchol mřížky se může nacházet ve třech stavech: živý strom, hořící strom, spáleniště. Nová konfigurace se generuje z předchozí podle pravidel: 1. Má-li živý strom alespoň jednoho hořícího souseda (ze 4 sousedů), pak vzplane. 2. Hořící strom shoří (v následující konfiguraci se změní ve spáleniště) 3. Na spáleništi vyroste nový strom s pravděpodobností p Vyjděte z konfigurace s náhodně rozmístěnými stromy a spáleništi v poměru 1:1 a s několika náhodně umístěnými hořícími stromy. Vhodné p je několik %. Sledujte časovou závislost hustoty stromů pro různé hodnoty pravděpodobnosti p. Proveďte středování přes několik běhů, sledujte závislost a na velikosti systému. Modifikace: misto několika hořících stromů na začátku zaveďte pravděpodobnost vzniku požáru q.

11 úloha - epidemie Simulace šířen ení epidemií Uvažujte následující model šíření epidemie: Každý vrchol mřížky se může nacházet v jenom ze tří stavů: nakažený (N ), zdravý (Z ), imunní (I ). Aktivními vrcholy budeme rozumět nejbližší sousedy vrcholů ve stavu N, kteří sami jsou ve stavu Z. Aplikujte dále následující algoritmus: -Vybernáhodně aktivní uzel. -S pravděpodobností p jej převeď do stavu N (nakažený), jinak jej převeď do stavu I (imunní). Simulujte na čtvercové mřížce při periodických okrajových podmínkách. V počátečním konfiguraci nechť je centrální vrchol ve stavu N (nakažený) a všechny ostatní ve stavu Z (zdravý). Odhadněte kritickou hodnotu pravděpodobnosti onemocnění p c pro to, aby nákaza zachvátila celý systém, tj. aby došlo k perkolaci nákazy. Jak se změní situace jestliže do systému zavedeme pohyb? Pohyb simulujte výměnou stavů dvou různých vrcholů. Uvažujte dvě varianty mechanismu pohybu: v nejbližším okolí - vyber náhodně dvojici sousedních vrcholů, libovolně daleko - vyber náhodně dvojici libovolných vrcholů. Návod: u systému s pohybem uvažujte o alternativním kriteriu pro vyhodnocení nákazy

12 Diffusion Limited Aggregation (DLA) (difúzí omezená agregace) Witten and Sander (1981)

13 Basic algorithm: DLA on a square lattice 1. Initialize start with an immobile seed particle in the center of an otherwise empty square lattice (cluster mass M = 1, cluster radius Rmax = 1) 2. Launch a new particle place a single particle with equal probability on a circle with radius Rstart > Rmax about the center (as small as possible, e.g. Rstart = Rmax + 1) 3. Diffusion move the particle from its current position to a randomly chosen nearest neighbor (NN) site. Repeat 3 until a NN site of a cluster particle is reached, then go to step 4 4. Aggregation add the particle to the cluster, increase M by one and reevaluate Rmax. stop if the desired mass M is reached, else go to step 2.

14 Diffusion Limited Aggregation (DLA) 3. Diffusion (shortcuts) calculate the current distance r of the particle from the origin. If r < Rjump : move the particle from its current position to a randomly chosen nearest neighbor site. If Rkill>rRjump : move the particle with equal probability anywhere on a circle with radius (r Rstart) around its current position. If r Rkill : remove the particle from the lattice, go to step 2. repeat 3 until a nearest neighbor of a cluster site is reached, then go to 4.

15 Diffusion Limited Aggregation (DLA)

16 Problém obchodního cestujícího

17 Problém obchodního cestujícího

18 Problém obchodního cestujícího

19 k algoritmům MC - I standardní termodynamické MC (opakování z ZS) S A P A známo: configurace, jejich pravděpodobnosti generujeme realizaci Markovovského řetězce A, k 1,..., M pomocí matic přechodu W W A A i j i j X X A P A cíl: co nejrychlejší výpočet používány matice: Metropolis nebo Glauber W W A M i j G 1 i j th exp E 0 pro 1 E 0 1 / 2 2 různé matice = různé sekvence stavů, tj. odpovídají různé dynamice, ale střední hodnota stejná k E E A E A j i

20 k algoritmům MC - II kinetické MC (KMC) simulační stochastický proces odpovídá skutečnému procesu dán kinetický model: elementární události =1,..., N(A) a jejich pravděpodobnosti R (nenormované) algoritmus - v k-tém kroku 1. z množiny N(A (k) ) vybereme událost s praděpodobností danou rozložením R 2. přejdeme do nové konfigurace A (k+1) 3. přepočítáme N(A (k+1) ) a R Je to algoritmus BEZ neúspěšných pokusů v každém kroku se systém vyvijí. prakticky neužíván v této formě, ale v rychlejší variantě pro skupiny procesů viz skripta

21 čas v MC & KMC V MC obvykle užit prostě počet kroků na částici resp. na uzel. V realitě, ale různé procesy probýhají různě rychle! třeba aproximativní popis vztahu k reálnému fyzikálnímu času Předpokládáme: rozdělení na intervaly, tak že v každém okamžiku probíhá jen jeden proces a že události tvoří Poissonův proces. Pravděpodobnost m událostí během času t m Poiss Rt P m e m! Rt náhodný interval mezi dvěma událostmi má rozdělení P Rt Re, 1/R

22 čas v KMC Algoritmu KMC doplníme tak, že v k-tém kroku spočteme ( k ) 0,1 t 1/ R A lnu k náhodné číslo přírustek času závisí na okamžité konfiguraci Čas pak je t a časová střední hodnota n k1 t k 1 n ( k ) t k1 X X A t k