PEVNOSTNÍ KRITÉRIA PRO KOMPOZITNÍ MATERIÁLY. Ing. Jan Krystek

Transkript

1 PEVNOSNÍ KRIÉRIA PRO KOMPOZINÍ MAERIÁ Ing. Jan Krystek Plzeň 0

2 OBSAH OBSAH... i SEZNAM OZNAČENÍ A ZKRAEK... ii SEZNAM OBRÁZKŮ... iv SEZNAM ABUEK... v ÚVOD... Módy porušení dlouhovláknových kompozitů Porušení vláken Mezi-vláknové porušení Delaminace KRIÉRIA PORUŠENÍ Kritérium maximálních napětí Kritérium maximálních deformací Hillovo a sai-hillovo kritérium porušení Hoffmanovo kritérium porušení sai-wu kritérium Hashinovo kritérium Puckovo kritérium Kritérium ar URČENÍ PEVNOSNÍH PARAMERŮ Meze pevnosti v tahu a Mezné deformace v tahu ε a ε Meze pevnosti v tlaku a Mezné deformací v tlaku ε a ε Podélná smyková pevnost - S Smyk Jednoosý tah ±45 laminátu Smykové testy s dvojitým a trojitým vedením Smykový test vzorku s V vrubem (Iosipescu) POUŽIÁ IERAURA... 3 i

3 SEZNAM OZNAČENÍ A ZKRAEK ASM American Society for esting and Materials mezinárodní normalizační společnost se sídlem ve West onshohocken, Pennsylvania, USA b [mm] šířka vzorku E, E [MPa] moduly pružnosti kompozitu ve směru podélném a příčném F [N] zatěžující síla F max [N] maximální zatěžující síla FI F, FI M [ - ] indexy porušení pro vlákna a matrici G, G 3, G 3 [MPa] smykové moduly kompozitu v příslušných napěťových rovinách h [mm] tloušťka vzorku [mm] délka vzorku l 0 [mm] počáteční měřená délka ar04 S S S pevnostní kritérium vytvořené v NASA angley Research enter v roce 004 [MPa] mez pevnosti ve smyku pro izotropní materiál [MPa] podélná mez pevnosti ve smyku [MPa] příčná mez pevnosti ve smyku x, y, z souřadnicové osy,, Z,, Z ε, ε ε, ε [MPa] meze pevnosti v tlaku ve směru podélném, příčném a kolmo na vrstvu [MPa] meze pevnosti v tahu ve směru podélném, příčném a kolmo na vrstvu [MPa] mezné deformace v tlaku ve směru podélném a příčném [MPa] mezné deformace v tlaku ve směru podélném a příčném ii

4 α [ ] úhel sklonu roviny porušení vzhledem k rovině dané směry a 3 α 0 [ ] úhel sklonu roviny porušení při čistém tlaku ve směru příčném χ [ - ] funkce závislá na mψ mm,, S ε, ε, γ [ - ] poměrné deformace v hlavních materiálových směrech a zkos v rovinně kompozitu Δl [mm] prodloužení vzorku Δl max [mm] maximální prodloužení vzorku γ mm [ - ] zkos v souřadném systému daném směrem vychýlení vláken ze směru η [ - ] koeficient podélného tření materiálu η [ - ] koeficient příčného tření materiálu φ [ ] úhel vychýlení vláken ze směru φ c [ ] úhel vychýlení vláken při porušení čistým tlakem působícím ve směru vláken φ c mm [ - ] zkos při porušení materiálu čistým tlakem působícím ve směru vláken φ 0 [ ] úhel, při kterém se inicializuje vychýlení vláken ze směru υ, υ 3, υ 3 [ - ] Poissonova čísla σ, σ, σ 3 [MPa] normálové napětí v kompozitu ve směrech,, 3 σ, σ 3, σ 3 σ n, τ, τ [MPa] smyková napětí v kompozitu v příslušných napěťových rovinách [MPa] normálové a tečné napětí v rovině porušení kompozitu m n, τ m, τ m [MPa] napětí v rovině porušení, která je určena úhlem α mm mm,, mm m3ψ,, 3ψm [MPa] napětí v souřadnicovém systému, daném úhlem vychýlení vláken φ,, 3 3 3,, 3 [MPa] napětí v rovině zborcení určené úhlem ψ Θ [ ] úhel natočení vláken vůči podélné ose vzorku ψ [ ] úhel, o který je rovina, ve které dojde k vychýlení vláken ze směru, natočena vzhledem k rovině iii

5 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr.. Materiálové směry v lamině.... Obr.. Porušení vláken při tahovém zatížení Obr.. Porušení vláken při tlakovém zatížení a) přetržení vláken vlivem smyku, b) mikro zborcení, c) zborcení vlivem smyku nebo vybočení vláken Obr..3 Mezi-vláknové porušení a) vícesměrového, b) jednosměrového laminátu Obr..4 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tahu, b) podélném smyku Obr..5 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tlaku, b) příčném smyku Obr..6 Delaminace laminátu Obr. 3. Mezné křivky a) von Mises kritérium [39], b) resca kritérium [39], c) porovnání obou předchozích Obr. 3. Mezné křivky pro rozdílné pevnosti v tahu a tlaku a) von Mises kritérium [39], b) resca kritérium [39]... 7 Obr. 3.3 Mezné křivky pevnosti kritéria max. napětí pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách)... 9 Obr. 3.4 Závislost maximálního zatížení na úhlu vláken vůči podélné ose [7]... 0 Obr. 3.5 Mezná křivka pevnosti kritéria maximálních deformací.... Obr. 3.6 Porovnání mezných křivek pevnosti.... Obr. 3.7 Mezné křivky pevnosti kritéria sai-hill pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách).... Obr. 3.8 Mezné křivky pevnosti Hoffmanova kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách) Obr. 3.9 Mezné křivky pevnosti sai-wu kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách) Obr. 3.0 Mezné křivky pevnosti Hashin kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách) Obr. 3. ar #... 6 Obr. 3. ar #... 7 iv

6 Obr. 3.3 ar # Obr. 3.4 ar # Obr. 3.5 Napětí v rovině porušení [3]... 9 Obr. 4. Vzorky pro zkoušku tahem.... Obr. 4. Stanovení tahové pevnosti.... Obr. 4.3 Porušené vzorky - zkouška tahem [5] Obr. 4.4 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [] Obr. 4.5 Stanovení mezné hodnoty tahové deformace Obr. 4.6 Schéma tlakové zkoušky Obr. 4.7 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [] Obr. 4.8 Porušení vzorků při tlakové zkoušce (a) θ =90, (b) θ =90, (c) θ =0, (d) θ =0 [5] Obr. 4.9 Schéma zkoušky tlakem Obr. 4.0 Porušení vzorku po zkoušce tlakem [5] Obr. 4. Vzorek pro zkoušku dle ASM D 358 [3]... 8 Obr. 4. Schéma smykového testu s dvojitým vedením [4]... 9 Obr. 4.3 Schéma smykového testu s trojitým vedením [4] Obr. 4.4 Schéma smykového testu vzorku s V vrubem [5] SEZNAM ABUEK ab. 3. Kritérium ar ab. 4. Identifikační kódy porušení [] ab. 4. Identifikační kódy porušení [] v

7 ÚVOD Schopnost predikovat porušení materiálu patří mezi jednu z nejdůležitějších znalostí strojního inženýra, bez které nelze navrhovat bezpečné konstrukce a konstrukce s odpovídající životností při úspoře hmotnosti a ceny. Proto je této problematice obecně věnována velká pozornost. S rozvojem nových materiálů tato potřeba znalostí roste. ato práce se zabývá predikcí porušení kompozitních materiálů. Kompozitním materiálem obecně chápeme materiál složený alespoň ze dvou odlišných složek [7]. Každá složka má rozdílné vlastnosti (mechanické, chemické, elektrické atd.). Složky jsou oddělené rozhraním a dohromady vytvářejí celek jedinečných vlastností. Nejrozšířenějšími kompozitními materiály jsou kompozitní materiály vyztužené vlákny. yto materiály zpravidla tvoří poddajná a houževnatá matrice a jako vyztužení zde slouží vlákna (obvykle uhlíková, skelná nebo organická aramidová vlákna). Nejčastěji se jedná o dlouhá vlákna, jejichž délkové rozměry několikanásobně převyšují rozměry průřezové. Jako matrice jsou nejběžněji používané polymerní materiály, jako například epoxidová pryskyřice. Pokud nebude dále uvedeno jinak, pojmem kompozitní materiál budeme chápat výše uvedený materiál s dlouhými vlákny. Jedna tenká vrstva stejně orientovaných vláken v matrici se nazývá lamina. Kompozit složený z několika těchto různě orientovaných lamin ze stejného materiálu se nazývá laminát. Směr vláken v lamině (podélný směr) je označován indexem, kolmý na vlákna a ležící v rovině vláken (příčný směr) indexem, směr kolmý na oba předešlé indexem 3 (Obr..). Obr.. Materiálové směry v lamině. Běžným materiálovým modelem laminy je model ortotropního materiálu, resp. vzhledem k materiálové symetrii model příčně izotropního materiálu [0], [7]. Pro popis elastického chování takovéhoto materiálového modelu je třeba znát 5 nezávislých materiálových parametrů. Znalost těchto materiálových parametrů je při navrhování konstrukcí naprosto zásadní. Neméně důležitá je i znalost pevnostních parametrů kompozitních materiálů, bez

8 kterých nelze predikovat porušení. Přesné určení materiálových parametrů však není jednoduché. Výrobci kompozitních materiálů často udávají pouze některé vlastnosti dílčích složek materiálu, z kterých je třeba určit materiálové parametry výsledného materiálu. Ve spoustě případů nejsou známy ani tyto základní vlastnosti dílčích složek a je tedy nutné provést identifikaci materiálových parametrů výsledného materiálu, např. fitováním numerických modelů na výsledky experimentu. První přístupy k modelování poškozování vycházely z modelování poškození izotropních materiálů, především kovů. U těchto materiálů je ve snaze popsat porušování materiálu náskok zhruba let. První věrohodné pevnostní kritérium u homogenních a izotropních materiálů bylo navrženo oulombem koncem 8. století []. eprve po zhruba 00 letech dal Mohr kritérium do podoby popsatelné na tzv. Mohrově kružnici [9] a kritérium je tak známé jako oulomb-mohr či Mohr-oulomb [0]. Problém predikce porušování kompozitních materiálů je velmi komplexní. Porušování je ovlivněno typem zatížení, materiálem složek (matrice a vlákna), skladbou vrstev, vazbou mezi složkami a dalším. Porucha se často inicializuje pouze lokálně, v místě jedné vrstvy, nebo na rozhraní mezi vrstvami. K makroskopickému porušení ve vícesměrovém laminátu může dojít až po rozšíření poruchy do několika vrstev. Konečné (limitní) porušení nastane v případě, kdy laminát není nadále schopen přenášet daná zatížení. První důvěryhodná pevnostní kritéria pro vlákny vyztužené kompozitní materiály byla navržena v. polovině 0. století. ato pevnostní kritéria dosahovala dobré shody s experimenty v případě jednoosé napjatosti, nebo pouze v některých případech víceosé napjatosti. Proto byla a jsou vyvíjena další nová pevnostní kritéria pro kompozitní materiály. Porušování kompozitních materiálů je také ovlivněno strukturou těchto materiálů. Jedním ze základních rozdělení pevnostních kritérií je rozdělení v závislosti na měřítku [4] úroveň atomů 0-9 m [8] velikost vlákna 0-6 m [7], [], [3] tloušťka laminy 0-4 m [7], [3], [0] tloušťka laminátu 0-3 m [3], [0] Ve strojním inženýrství jsou rozhodující a nejvýznamnější makroskopická měřítka (tloušťka laminy a laminátu). Porušování kompozitních materiálů z makroskopického hlediska je věnována tato práce.

9 MÓD PORUŠENÍ DOUHOVÁKNOVÝH KOMPOZIŮ K porušení laminátu může dojít buď poškozením jedné nebo více lamin laminátu. oto poškození se nazývá intra-laminární poškození. V případě poškození oddělením vedlejší laminy se jedná o mezilaminární poškození. Poškození se podle závažnosti rozděluje na počáteční a konečné. Počátečním porušením chápeme lokální porušení (jedné nebo více vrstev), zatížení se rozloží mezi neporušené vrstvy laminátu, který je i nadále schopen přenášet dané zatížení.. Porušení vláken ah nebo tlak ve směru vláken způsobí v lamině porušení vláken. V případě tahového zatížení laminy může pro porušení vláken nastat pouze jeden typ porušení vláken přetržení vláken (Obr..). Obr.. Porušení vláken při tahovém zatížení. V případě zatížení tlakem ve směru vláken může nastat jeden ze tří níže uvedených typů porušení: přetržení vláken vlivem smyku ( fiber fracture ) - Obr..a mikro zborcení ( micro-buckling ) - Obr..b zborcení vlivem smyku ( buckling due to shear ) neboli vybočení ( kinking ) - Obr..c Nejběžnějším módem porušením je právě zborcení vlivem smyku nebo vybočení vláken. Vysoké hodnoty tlakového zatížení způsobí vysoká vnitřní smyková napětí, ty vedou k vybočení či zborcení vláken. yp porušení je závislý na mikrostruktuře materiálu (např. zda obsahuje mikrotrhliny, zda jsou všechna vlákna skutečně rovnoběžná apod.). 3

10 Obr.. Porušení vláken při tlakovém zatížení a) přetržení vláken vlivem smyku, b) mikro zborcení, c) zborcení vlivem smyku nebo vybočení vláken.. Mezi-vláknové porušení Mezi vláknové porušení kompozitu ( Inter Fiber Failure IFF) je porušení laminy napříč tloušťkou. oto porušení je následkem porušení soudržnosti matrice (kohezní porušení), případně porušení na rozhraní matrice a vlákna (adhezní porušení). Porušení vznikne v jedné vrstvě laminátu a je zastaveno přilehlou vrstvou s odlišnou orientací vláken (Obr..3a). V případě jednosměrového laminátu nastává limitní porušení napříč celou tloušťkou laminátu (Obr..3b). Obr..3 Mezi-vláknové porušení a) vícesměrového, b) jednosměrového laminátu. Příčné tahové zatížení (směr ) generuje mezi-vláknové porušení v rovině porušení, která je rovnoběžná se směrem vláken (Obr..4a). Obdobně je tomu v případě podélného smykového napětí (τ ) (Obr..4b). 4

11 Obr..4 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tahu, b) podélném smyku. V případě příčného tlakového zatížení (směr ) (Obr..5a) nebo příčných smykových napětí (τ 3 a τ 3 ) (Obr..5b) nastává mezi-vláknové porušení v rovině rovnoběžné s vlákny, ale nerovnoběžné s rovinou určenou směry a 3. Porušení v této rovině nesníží schopnost laminy přenášet zatížení na nulovou hodnotu, ale významně ovlivňuje vedlejší vrstvy. Rovina porušení vytvoří klín, ten působí na vedlejší vrstvy zatížením kolmo na vrstvy. oto zatížení je významné při delaminaci. Na rozdíl od mezi-vláknového porušení laminy při příčném tahu či podélném smyku (Obr..4) vede obvykle porušení laminy vlivem příčného tlakového zatížení nebo příčných smykových napětí (Obr..5) ke konečnému porušení laminátu. Obr..5 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tlaku, b) příčném smyku..3 Delaminace Rozlišujeme tři základní módy namáhání (Obr..). Delaminace obvykle nastává oddělením mezi vrstvami, které je zapříčiněno napětím kolmo na vrstvu (směr 3) nebo příčnými smykovými napětími (τ 3 a τ 3 ). Hlavními příčinami bývá existence vad v laminátu vzniklých při výrobě. Delaminace roste buď únavovým zatížením, nebo postupným navyšováním statického zatížení. 5

12 Obr..6 Delaminace laminátu. 6

13 3 KRIÉRIA PORUŠENÍ Nejzákladnější dělení kritérií porušení podle měřítka je zmíněno v úvodu. My se budeme v této kapitole zabývat pouze makromechanickými kritérii pro porušení na úrovni laminy a laminátu. Jedná se především o kritéria pro jednosměrové kompozity. První pevnostní kritéria pro kompozitní materiály se inspirovala přístupy u izotropních materiálů. Jedno z nejpoužívanějších kritérií porušení pro izotropní materiál je von Mises kritérium. Mezná křivka pro rovinu s nulovým smykovým napětím (σ = 0) je pro toto kritérium znázorněna na Obr. 3.a. Na obrázku Obr. 3.b je zobrazeno resca kritérium, kde je porušení definováno maximálním smykovým napětím. Na obrázku Obr. 3.c je srovnání obou uvedených kritérií. Obr. 3. Mezné křivky a) von Mises kritérium [39], b) resca kritérium [39], c) porovnání obou předchozích. Modifikace von Misesovo kritéria pro případ rozdílných pevností v tahu a tlaku je ukázána na Obr. 3.a. Modifikace resca kritéria je zobrazena na Obr. 3.b. Kritérium maximálních napětí v. a 3. kvadrantu mají rozdílné hodnoty. Ve. a 4. kvadrantu se již nejedná o kritérium maximálních smykových napětí, ale o jednoduchou lineární spojnici bodů odpovídajících tahové a tlakové pevnosti ( a ). Obr. 3. Mezné křivky pro rozdílné pevnosti v tahu a tlaku a) von Mises kritérium [39], b) resca kritérium [39]. 7

14 Při tvorbě prvních kritérií pro kompozitní se materiál přepokládal homogenní materiál (není rozlišení vlákno a matrice) a průběh napětí lineární až do porušení. Vznikla tak jednoduchá kritéria maximálního napětí a maximální deformace [0], [7]. ato kritéria patří do skupiny neinteraktivních kritérií, u nichž neexistuje vazba mezi normálovými složkami napětí a ani mezi složkami normálových a smykových napětí. Dále bylo odvozeno několik již interaktivních kritérií zahrnujících vazbu mezi složkami normálových napětí i mezi normálovými a smykovými složkami napětí. Z interaktivních kritérií zde jmenujme alespoň některá, která jsou obsažena v běžných komerčních konečnoprvkových systémech: Hill [7], sai-wu [38], [39], Hashin [6], [7] a Puck [34], [35]. V roce 980 vzniklo první z tzv. direct mode kritérií Hashin. Direct mode kriteria se vyznačují tím, že popisují několik druhů, tzv. módů, porušení. Každý tento mód popisují nezávislou podmínkou. Kritérium Hashin rozeznává čtyři módy porušení. Porušení v tahu v podélném směru (směr vláken), porušení v tahu v příčném směru, porušení v tlaku ve směru podélném a porušení v tlaku ve směru příčném. Do skupiny direct mode kritérií patří dále například Puckovo kritérium či kritérium ar [4], [5], [3], [37]. V literatuře [8] jsou obsaženy výsledky z tzv. World Wide Failure Exercise (WWFE). Práce na tomto projektu začali v roce 998. V této práci je hodnoceno 9 teorií porušování pro jednosměrové dlouhovláknové kompozitní materiály. yto různé teorie byly hodnoceny především z hlediska jejich schopnosti predikovat porušení v konkrétním případě. Bylo navrženo několik experimentů, ve většině případů statické zkoušky, jejichž výstupem byly hodnoty maximálních sil, při nichž docházelo k porušení materiálu. Dalšími testy byly únavové testy a testy při změně teploty. Podrobný přehled testovaných kritérií je uveden v [9], []. Velmi dobrých výsledků dosahovalo například kritérium Puck. Nevíhodou tohoto kritéria je to, že obsahuje parametry, které nemají žádnou fyzikální podstatu. Hodnoty těchto konstant se stanovují především ze zkušeností nebo ze speciálních testů. Ve WWFE nebyl stanoven žádný definitivní závěr, který z přístupů, či která z teorií je nejlepší pro obecnou predikci porušení materiálu. Jedním z důvodů je nedostatek vhodných a spolehlivých experimentálních dat pro plné zhodnocení různých teorií. 8

15 3. Kritérium maximálních napětí Kritérium maximálních napětí [7] je nejjednodušším kritériem pro kompozitní materiály. I přestože je toto kritérium neinteraktivní, tudíž nezahrnuje vazbu mezi jednotlivými složkami napětí, patří mezi v praxi nejpoužívanější kritéria. A to právě především díky jeho velmi snadnému použití. Podle kritéria maximálních napětí dojde k porušení v případě, kdy jedna ze složek napětí dosáhne příslušné meze pevnosti daného materiálu. Pro rovinou napjatost (σ, σ a σ ) je možné napsat pevnostní podmínky v tomto tvaru,,,, S, S, (3.) kde σ a σ jsou normálová napětí v hlavních materiálových směrech, σ je smykové napětí v rovině vrstvy, je mez pevnosti v tlaku ve směru podélném, je mez pevnosti v tahu ve směru podélném, je mez pevnosti v tlaku ve směru příčném, je mez pevnosti v tahu ve směru příčném a S je podélná smyková pevnost. K porušení dojde, jakmile nebude splněna alespoň jedna z těchto šesti podmínek. Mezní křivky pevnosti jsou ve třech navzájem kolmých rovinách ve tvaru obdélníka (Obr. 3.3). Obr. 3.3 Mezné křivky pevnosti kritéria max. napětí pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách) Jsou-li složky napětí vyjádřeny v souřadnicovém systému O(x, y, z), zatímco složky mezí pevností jsou vyjádřeny v hlavních materiálových směrech O(,, 3) je třeba složky napětí σ x, 9

16 σ y a σ xy transformovat do souřadnicového systému O(,, 3). Více k tomuto je uvedeno v [7]. Z Obr. 3.4 je zřejmé, že pro mezní hodnotu napětí ve směru osy x platí tři vztahy, které jsou funkcí úhlu Θ (natočení vláken vůči ose x). Pro malé úhly Θ je maximální zatížení závislé na pevnosti v tahu ve směru podélném. S rostoucím úhlem je maximální zatížení ovlivňováno pevností ve smyku S. Pro velké úhly je pak rozhodujícím faktorem pro porušení mez pevnosti v tahu ve směru příčném. Obr. 3.4 Závislost maximálního zatížení na úhlu vláken vůči podélné ose [7]. 3. Kritérium maximálních deformací oto kritérium je analogické k předchozímu. K porušení dojde v případě, kdy jedna ze složek vektoru deformace dosáhne mezné hodnoty deformace. Pro případ rovinné napjatosti lze opět zapsat šest podmínek pevnosti ve tvaru ε, ε, ε, ε, S ε, S ε, (3.) kde ε a ε jsou složky deformace v materiálových směrech, γ je zkos, ε je mezná deformace v tlaku ve směru podélném, ε je mezná deformace v tahu ve směru podélném, ε je mezná deformace v tlaku ve směru příčném, ε je mezná deformace v tahu ve směru příčném a S ε je mezný zkos. Při platnosti Hookeova zákona je možno tyto podmínky přepsat [7] do tvaru 0

17 ,,,, (3.3) S, S, kde ν je Poissonovo číslo. Mezní křivka pevnosti v souřadnicích normálových napětí (σ, σ ) je ve tvaru kosodélníka (Obr. 3.5). Na Obr. 3.6 je srovnání obou neinteraktivních kritérií (maximálních napětí a maximálních deformací) Obr. 3.5 Mezná křivka pevnosti kritéria maximálních deformací. Obr. 3.6 Porovnání mezných křivek pevnosti. Připomeňme, že obě uvedená kritéria patří mezi neinteraktivní. Jejich nedostatkem je, že nezahrnují vazby mezi normálovými složkami napětí a mezi normálovými a smykovými složkami napětí, přičemž právě na kombinaci různých složek napětí může záviset porušení. Při jednoosém namáhání neinteraktivita sice nehraje významnou roli, při víceosém namáhání

18 je třeba mít toto na zřeteli. Z těchto důvodů bylo třeba zavést kritéria, která by tento nedostatek odstranila. Vznikala tak kritéria založená na energetických přístupech. 3.3 Hillovo a sai-hillovo kritérium porušení Hillovo kritérium vychází z von Misesovy podmínky pro izotropní materiál. Hill tuto podmínku rozšířil pro ortotropní materiály a v podmínce uvažoval stejné pevnosti v tahu a tlaku ( = atd.). Pro případ rovinné napjatosti má Hillovo podmínka tvar S Z, (3.4) kde,,z jsou meze pevnosti v hlavních materiálových směrech. sai zjednodušil Hillovu podmínku pro případ jednosměrových kompozitů, kdy uvažoval = Z. ím se podmínka pevnosti zjednoduší na tvar S. (3.5) Na Obr. 3.7 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle kritéria sai-hill ve třech rovinách. Měřítko pro napětí ve směru vláken je přibližně pětkrát menší než pro napětí ve směru příčném nebo než pro smykové napětí. Obr. 3.7 Mezné křivky pevnosti kritéria sai-hill pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách). 3.4 Hoffmanovo kritérium porušení Hoffman zobecnil Hillovo kritérium pro případ rozdílných mezí pevností v tahu a tlaku. Pro rovinou napjatost v rovině vrstvy lze Hoffmanovu podmínku porušení napsat ve tvaru

19 3 S. (3.6) Na Obr. 3.8 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle Hoffmanova kritéria ve třech rovinách. Obr. 3.8 Mezné křivky pevnosti Hoffmanova kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách). 3.5 sai-wu kritérium sai a Wu navrhli kritérium ve tvaru polynomu [7]. S předpokladem, že plocha poškození bude obsahovat pouze složky napětí nikoliv složky deformace, sestavili pro anizotropní materiál podmínku ve tvaru,...,6,,,, j i ij i i j i f f (3.7) kde f i a f ij jsou tenzory pevnosti prvního a druhého řádu. Pro parametry f i a f ij určené pomocí experimentů (zejména stanovení pevností pro jednotlivé způsoby zatěžování) lze pevnostní podmínku sai-wu pro rovinnou napjatost zapsat ve tvaru * f S, (3.8) kde * f je vazební koeficient, který může být vyjádřen následovně, * f (3.9)

20 kde σ je zatížení (napětí), při kterém dojde k porušení při dvouosém testu. Vazební koeficient * f je považován za empirický koeficient. V případě, že f / přejde pevnostní * podmínka sai-wu (3.8) do tvaru Hoffmanova kritéria (3.6). Na Obr. 3.9 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle sai-wu kritéria ve třech rovinách. Obr. 3.9 Mezné křivky pevnosti sai-wu kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách). 3.6 Hashinovo kritérium oto kritérium bylo původně vyvíjeno pro jednosměrové polymerní kompozity. Je to jedno z prvních kritérií, které rozlišovalo několik módů porušení, zde konkrétně čtyři. Kritérium bylo sepsáno jako dvojdimenzionální. Na Obr. 3.0 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle Hashin kritéria ve třech rovinách. Módy porušení Hashinova kritéria jsou následující porušení vláken v tahu při σ 0 porušení vláken v tlaku při σ < 0 S (3.0) (3.) 4

21 5 porušení matrice v tahu při σ > 0 S (3.) porušení matrice v tlaku při σ < 0 S S S. (3.3) Obr. 3.0 Mezné křivky pevnosti Hashin kritéria pro materiál 300/508 [39] (rozdílné měřítko na osách). Při rozšíření pro prostorovou napjatost jsou podmínky porušení následující porušení vláken v tahu při σ 0 3 S (3.4) porušení vláken v tlaku při σ < 0 (3.5)

22 porušení matrice v tahu při (σ + σ 33 ) > S S porušení matrice v tlaku při (σ + σ 33 ) < (3.6) S S S S (3.7) 3.7 Puckovo kritérium Puckovu kritériu je věnována pozornost v práci [9], která vznikala současně s touto publikací. 3.8 Kritérium ar04 ato kapitola je převzata z autorovy diplomové práce [6]. Jedná se o moderní pevnostní kritérium, které bylo vytvořeno v NASA angley Research enter v roce 004 [3]. oto kritérium je odvozeno pro plně 3D napěťový stav. Výsledkem kritéria je hodnota indexu porušení FI 0,. Je-li tento index roven, znamená to, že dojde k porušení. Kritérium ar04 rozeznává šest módů porušení. ar # Dle toho módu nastane vlivem tahu příčně na vlákna k porušení matrice (Obr. 3.). ar # Obr. 3. ar #. Vlivem tlaku ve směru příčném na vlákna dojde k porušení matrice pod určitým úhlem. Z obrázku Obr. 3. je patrný smysl natočení roviny zlomu vzhledem k rovině dané směry a 3 o úhel α. 6

23 ar #3 Obr. 3. ar #. Vlivem tahu ve směru vláken dojde k prostému přetržení vláken (Obr. 3.3). ar #4 Obr. 3.3 ar #3. Vlivem tlaku ve směru vláken a ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení vláken z jejich podélného směru (směr ) a jejich následnému porušení. Na obrázku Obr. 3.4 je znázorněna rovina, v níž dojde k vychýlení vláken ze směru o úhel φ, tato rovina je natočená od roviny dané směry a o úhel ψ. ar #5 Obr. 3.4 ar #4. Vlivem tlaku ve směru vláken a tlaku ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení vláken a k porušení matrice pod určitým úhlem. ar #6 Vlivem tlaku ve směru vláken a tahu ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení vláken a jejich následnému porušení a dále následuje porušení matrice mezi vlákny. 7

24 V tabulce ab. 3. jsou formulovány jednotlivé módy, včetně prvního přiblížení pro módy ar# a ar#6, které je nutné použít při neznalosti konstanty g vyjadřující poměr energií nutných k iniciaci šíření trhliny v materiálu. Symboly FI M a FI F jsou indexy porušení pro matrici a vlákna. ab. 3. Kritérium ar04. ar#, 0 FI g g ar#, první přiblížení ar#, 0 nebo 3 0; - ar#3, 0 ar#4, 0; mm 0 ar#5, 0 nebo 3 0; - M FI M S FI FI FI FI M F F M S S S n mm mm m m n S S n m mm mm ar#6, 0; mm 0 FI g g ar#6, první přiblížení FM mm mm FI FM S m n Při uvažování lineárního konstitutivního vztahu lze získat hodnoty napětí a konstant užitých v podmínkách porušení uvedených v tabulce ab. 3. pomocí vztahů uvedených v [3]. Přesné určení hodnoty funkce, S je popsáno v [3]. Při nedostatku mψ mm, experimentálních dat lze použít prvního přiblížení módu ar# a ar#6. Úhel, pod kterým dojde k porušení matrice jen vlivem tlaku ve směru příčném na vlákna, je pro většinu jednosměrových kompozitů s uhlíkovými vlákny 0 = Koeficient příčného tření materiálu lze vyjádřit, ( 3.8 ) tan 0 8

25 a příčná pevnost ve smyku cos 0 S cos 0 sin 0 tan, ( 3.9 ) 0 a v případě chybějících experimentálních dat lze uvažovat koeficient podélného tření materiálu S. ( 3.0 ) Napětí v rovině porušení, která se určí nalezením takového z intervalu 0,, pro které bude FI M (mód ar#) maximální, lze vypočíst ze vztahů 3 3 n cos 3 sin, 3 sin 3cos, ( 3. ) S sin cos 3. Význam těchto napětí a úhlu je patrný z obrázku Obr Obr. 3.5 Napětí v rovině porušení [3]. Úhel, při kterém se inicializuje vychýlení vláken ze směru 0 mm, ( 3. ) 9

26 kde c je vychýlení vláken při porušení čistým tlakem působícím ve směru vláken a mm zkos v případě porušení materiálu čistým tlakem ve směru vláken. yto veličiny lze určit ze vztahů je arctan c mm G. S 4 S S, ( 3.3 ) Úhel (Obr. 3.4) je dán vztahem 3 arctan. ( 3.4 ) 3 Napětí v rovině, ve které dojde k vychýlení vláken ze směru (určené úhlem ) se vypočtou ze vztahů ψψ 3ψ3ψ ψ ψ3ψ 3ψ 3 3 cos, 0, 3 cos cos 3 ψψ 3 sin sin. sin, 3, ( 3.5 ) kde Potom bude úhel, o který se vychýlí vlákna ze směru mm dána vztahem ψ 0 mm, ( 3.6 ) ψ je zkos v souřadném systému daném směrem vychýlení vláken. Jeho velikost je mm 0 G ψ G ψψ 0. ( 3.7 ) 0

27 Nyní je možné vyčíslit napětí v souřadném systému, který je dán úhlem vychýlení vláken mm mm mm m3ψ 3ψm ψψ sin ψ3ψ cos cos. 3ψ ψψ ψψ, mm cos, 3ψ sin ψψ ψ, cos sin, ψ ( 3.8 ) Pro kombinovaný mód ar#6 je uvažováno porušení vláken jen v případě. ( 3.9 ) Napětí v rovině porušení, která je určena úhlem, lze vypočíst ze vztahů m n m m mm mm mm cos 3ψ3ψ 3ψ3ψ sin sin. 3ψm mm 3ψ3ψ cos sin, m3ψ sin, m3ψ ( 3.30 )

28 4 URČENÍ PEVNOSNÍH PARAMERŮ V této kapitole jsou uvedeny způsoby určení základních pevnostních parametrů, jejichž znalost je nezbytná pro predikci porušení. 4. Meze pevnosti v tahu a Meze pevnosti v tahu ve směru vláken a ve směru příčném na vlákna se zpravidla určují pomocí zkoušek tahem dle ASM D 3039 []. Jedná se o zkoušku kompozitu ve tvaru plochých podélných vzorků (Obr. 4.). Obr. 4. Vzorky pro zkoušku tahem. Vzorky pro určení meze pevnosti v tahu ve směru vláken obsahují pouze vlákna ve směru podélném (θ = 0 ). Vzorky pro určení meze pevnosti v tahu ve směru příčném na vlákna obsahují pouze vlákna ve směru příčném (θ = 90 ). Pevnosti se stanoví jako maximální tahová síla vztažená na počáteční průřez vzorku (Obr. 4.). Na obrázku (Obr. 4.3) je ukázka vzorků po tahové zkoušce pro úhly θ = 0 a θ = 90. Obr. 4. Stanovení tahové pevnosti.

29 Obr. 4.3 Porušené vzorky - zkouška tahem [5]. Vzorky je nutné opatřit na obou stranách obou konců hliníkovými příložkami (Obr. 4.), aby nedocházelo k porušování vzorků v čelistech vlivem jejich drsného povrchu. Příložky jsou ke vzorku lepeny lepidly s vysokou smykovou pevností. Norma ASM D 3039 dále definuje přípustné a nepřípustné typy porušení (Obr. 4.7). Pro každý testovaný vzorek by měl být určen tzv. identifikační kód porušení. Jedná se o označení porušení zahrnující informaci o módu, oblasti a místa porušení. Identifikační kódy se skládají ze tří znaků. První udává mód porušení, druhý rozsah porušení a třetí místo porušení. Význam znaků je popsán v ab. 4.. Jednotlivá písmena jsou odvozená z anglických výrazů. Ukázky porušených vzorků po zkouškách tlakem je zobrazeno na Obr ab. 4. Identifikační kódy porušení []. První znak Druhý znak řetí znak Mód porušení Kód Oblast porušení Kód Místo porušení Kód šikmý A mezi příložkami I dole B delaminace D u příložek A nahoře čelisti, příložky G < x šířka od čelisti W vlevo boční střed měřené oblasti G vpravo R mnohonásobný mód M(x,y,z) vícenásobná M střed M podélné štěpení S různé V různé V výbušný neznámé U neznámé U ostatní O 3

30 Obr. 4.4 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení []. 4. Mezné deformace v tahu ε a ε Mezné deformace v tahu ve směru vláken ε a ve směru příčném na vlákna ε se stanovují ze stejných zkoušek jako výše uvedené meze pevnosti v tahu a. Mezné deformace v tahu se určí z maximální hodnoty prodloužení Δl max a počáteční měřené délky l 0 (Obr. 4.5) Obr. 4.5 Stanovení mezné hodnoty tahové deformace. 4

31 Případně lze mezní deformace v tahu určit pomocí experimentálně získaných pevností a při jednoosých namáháních. Při platnosti Hookeova zákona je vztah mezi napětím a deformací ε, E ε. (4.) E 4.3 Meze pevnosti v tlaku a Meze pevnosti v tlaku ve směru vláken a ve směru příčném na vlákna se určují pomocí zkoušek tlakem dle ASM D 340 []. Stejně jako u pevností v tahu i zde se jedná o zkoušky kompozitu ve tvaru plochých podélných vzorků (Obr. 4.6). Vzorky pro určení meze pevnosti v tahu ve směru vláken obsahují pouze vlákna ve směru podélném (θ = 0 ). Vzorky pro určení meze pevnosti v tlaku ve směru příčném na vlákna obsahují pouze vlákna ve směru příčném (θ = 90 ). Nevýhodou této zkoušky je potřeba speciálních tlakových čelistí s vedením (Obr. 4.6). Obr. 4.6 Schéma tlakové zkoušky. Ve zmíněné normě ASM D 340 jsou definovány přípustné a nepřípustné typy porušení (Obr. 4.7). Stejně jako u zkoušek tahem by měl být pro každý vzorek určen tzv. identifikační kód porušení. Význam znaků pro porušení zkouškou tlakem je popsán v ab. 4.. Jednotlivá písmena jsou odvozená z anglických výrazů. Ukázky porušených vzorků po zkouškách tlakem je zobrazeno na Obr

32 Obr. 4.7 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení []. ab. 4. Identifikační kódy porušení []. První znak Druhý znak řetí znak Mód porušení Kód Oblast porušení Kód Místo porušení Kód šikmý A u příložek A nahoře napříč tloušťky H mezi příložkami I střed M příčný střih střed měřené oblasti G dole B roztřepení B vícenásobná M vlevo rozdrcení konce lepidlo u příložky vpravo R delaminace D různé V různé V vzpěr E neznámé U neznámé U po tloušťce K boční mnohonásobný mód M(x,y,z) podélné štěpení S výbušný ostatní O Určení příčné meze pevnosti v tlaku je možné i zkouškou tlakem, jejíž schéma je znázorněno na (Obr. 4.9). ato zkouška je mnohem jednodušší, než výše popsaná zkouška tlakem a nevyžaduje žádné speciální čelisti. Porušení vzorku po tlakové zkoušce je zobrazeno na Obr

33 Obr. 4.8 Porušení vzorků při tlakové zkoušce (a) θ =90, (b) θ =90, (c) θ =0, (d) θ =0 [5]. Obr. 4.9 Schéma zkoušky tlakem. Obr. 4.0 Porušení vzorku po zkoušce tlakem [5]. 4.4 Mezné deformací v tlaku ε a ε Přímé experimentální určení mezních deformací v tlaku ve směru vláken ε a ve směru příčném na vlákna ε je poměrně obtížné. Vzhledem k velmi malé měřené délce (kvůli vyloučení vzpěru) nelze většinou využít pro měření prodloužení extenzometr. Vyhodnocování 7

34 prodloužení z příčníků bývá velmi nepřesné. K vyhodnocení prodloužení lze využít např. metodu digitální korelace obrazu [], [36]. Stejně jako u mezních deformací v tahu lze určit mezní deformace v tlaku pomocí experimentálně získaných pevností a při jednoosých namáháních. Při platnosti Hookeova zákona je vztah mezi napětím a deformací ε, E ε. (4.) E 4.5 Podélná smyková pevnost - S Experimentální určení podélné smykové pevnosti je možné několika různými zkouškami: jednoosý tah laminátu ±45 [3] smykové testy s dvojitým a trojitým vedením [4] smykové testy vzorku s V vrubem (Iosipescu [5], s vedením [6]) Vzhledem k různosti zkoušek je vhodné, uvádět kromě hodnoty i typ zkoušky, pomocí níž byla tato hodnota určena Smyk Jednoosý tah ±45 laminátu Zkouška dle normy ASM D 358 [3] nevyžaduje žádné speciální čelisti. Mezi další výhody patří u této zkoušky tvarová jednoduchost vzorků (Obr. 4.). Podélná smyková pevnost se stanoví ze vztahu F S max, (4.3) bh kde F max je maximální tahové zatížení, b je šířka vzorku a h je tloušťka vzorku. Obr. 4. Vzorek pro zkoušku dle ASM D 358 [3]. 8

35 4.5. Smykové testy s dvojitým a trojitým vedením Smykové zkoušky s dvojitým (Obr. 4.) a trojitým vedením (Obr. 4.3) definuje norma ASM D 455 [4]. yto zkoušky jsou vhodné pro jednosměrové lamináty s orientací vláken v podélném či příčném směru. U obou smykových zkoušek s vedením jsou vyžadovány speciální čelisti a vzorky jsou větší než v předchozím případě a musí být opatřeny příslušným počtem děr, to samozřejmě zvyšuje výrobní náklady vzorků. Podélná smyková pevnost se stanoví ze vztahů uvedených v obrázcích Obr. 4. a Obr Obr. 4. Schéma smykového testu s dvojitým vedením [4]. 9

36 Obr. 4.3 Schéma smykového testu s trojitým vedením [4] Smykový test vzorku s V vrubem (Iosipescu) ento typ zkoušek je popsán v normě ASM D 5379 [5]. Vzorek s V vrubem je zatěžován pomocí speciálních ohybových čelistí. Schéma této zkoušky je znázorněno na obrázku Obr Podélná smyková pevnost se stanoví ze vztahu F S max, (4.4) w h Obr. 4.4 Schéma smykového testu vzorku s V vrubem [5]. 30

37 POUŽIÁ IERAURA [] ASM International: D 3039 Standard est Method for ensile Properties of Polymer Matrix omposite Materials. ASM International, USA. [] ASM International: D 340 Standard est Method for ompressive Properties of Polymer Matrix omposite Materials with Unsupported Gage Section by Shear oading. ASM International, USA. [3] ASM International: D 358 Standard est Method for In-Plane Shear Response of Polymer Matrix omposite Materials by ensile est of a ±45 aminate. ASM International, USA. [4] ASM International: D 455 Standard est Method for In-Plane Shear Properties of Polymer Matrix omposite Materials by the Rail Shear Method. ASM International, USA. [5] ASM International: D 5379 Standard est Method for Shear Properties of omposite Materials by the V-Notched Beam Method. ASM International, USA. [6] ASM International: D 7078 Standard est Method for Shear Properties of omposite Materials by V- Notched Rail Shear Method. ASM International, USA. [7] Basu, S., [8] Waas, A. M., Ambur, D. R.: ompressive Failure of Fiber omposites under Multi-axial oading. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 006, Vol. 54, p ISSN [9] Bek,.: Kritérium porušení Puck pro dlouhovláknové kompozintí materiály. ZČU v Plzni. 0. [0] Berthelot, J. M.: omposite Materials. New ork: Springer-Verlag, 998, ISBN [] oulomb,. A.: In Nemories de Mathematique et de Physique. Academic Royal des Sciences par diver sans. 773, Vol. 7, p [] Daika, A.: Měření deformací pomocí digitální korelace obrazu. Bakalářská práce. ZČU v Plzni. 0 [3] Daniel, I. M., uo, J., Schubel, P. M. et al.: Interfiber/interlaminar Failure of omposites under Multiaxial States of Stress. omposites Science and echnology. 009, Vol. 69, p ISSN [4] Dávila,. G., amanho, P. P.: Failure criteria for FRP laminates in plane stress. NASA angley Research enter, Hampton, Virginia, USA, NASA/M , Science report, 003. [5] Dávila,. G., Jaunky, N., Groswarni, S.: Failure criteria for FRP laminates in plane stress. NASA angley Research enter, Hamplton, Virginia, USA, AIAA , : [6] Hashin Z.: Failure riteria for Unidirectional Fibre omposites. ASME Journal of Applied Mechanics. 980, Vol. 47 (), p ISSN [7] Hashin, Z., Rotem, A. A: Fatigue Failure riterion for Fiber-Reinforced Materials. Journal of omposite Materials. 973, Vol. 7, p ISSN [8] Hinton, M. J., Kaddour, A. S., Soden, P. D.: Failure riteria in Fibre Reinforced Polymer omposites: he World-Wide Failure Exercise. First edition. ESEVIER, 004, 55 p. ISBN [9] Hinton, M. J., Soden, P. D.: Prediction failure in composite laminates: the background to the exercise. omposites Science and echnology, Vol. 55, pp , 998. [0] hristensen, R. M.: Stress Based Failure riteria for Materials Science and Engineering [] Kaddour, A. S., Hinton, M. J., Sodden, P. D.: A comparison of the predictive capabilities of current failure theories for composite laminates: additional contribution. omposite Science and echnology 64, ESEVIER, 004, 8, [] Kim, B. R., ee, H. K.: An RVE-based Micromechanical Analysis of Fiber-reinforced omposites onsidering Fiber Size Dependency. omposite Structures. 009, Vol. 90, p ISSN [3] Kottner, R.: Spojování kompozitních a kovových strojních částí z hlediska tuhosti a pevnosti. Disertační práce, ZČU v Plzni, 007. [4] Kottner, R.: Strength prediction of composite structural elements under multi-axial stress state. Návrh projektu P0 P08_P_PD, 00 3

38 [5] Krystek, J., Kroupa,., Kottner, R.: Identification of mechanical properties from tensile and compression tests of unidirectional carbon composite. Experimental Stress Analysis 00, May 3 June 3, 00, Velké osiny, zech Republic. [6] Krystek, J.: Návrh a výpočet hnacího dvojkolí pro lokomotivu z nestandardních materiálů z hlediska tuhosti a pevnosti. Diplomová práce, ZČU v Plzni, 008. [7] aš, V.: Mechanika kompozitních materiálů. Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň,. vydání, 008. [8] i,., hou,.: Failure of arbon Nanotube/polymer omposites and the Effect of Nanotube Waviness. omposites: Part A. 009, Vol. 40, p ISSN [9] Mohr, O.: Welche Unstande Bedingen die Elastizitasgrenze und den Bruch eines Materials. Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure. 900, Vol. 44, p [30] Navaid, M. R.: Global sensitivity analysis of parameters in Puck's failure theory for laminated composite. hesis, San Diego State University, 00. [3] Ogihara, S., Koyanagi, J.: Investigation of ombined Stress state Failure riterion for Glass Fiber/epoxy Interface by the ruciform Specimen Method. omposites Science and echnology. 00, Vol. 70, p ISSN [3] Pinho, S.., Dávila,. G., amanho, P. P., Iannucci,., Robinson, P.: Failure Models and riteria for FRP Under In-Plane or hree-dimensional Stress States Including Shear Non-inearity. Research report, NASA/M , NASA angley Research enter, 005, 69 p. [33] Pinho, S.., Iannucci,., Robinson, P.: Physically-based Failure Models and riteria for aminated Fibre-reinforced omposites with Emphasis on Fibre Kinking: Part I: Development. omposites: Part A. 006, Vol. 37, p ISSN [34] Puck, A., Kopp, J., Knops, M.: Guidelines for the determination of the parameters in Puck s action plane strength criterion. Elsevier, omposites Science and echnology 6, 00, 8: [35] Puck, A., Schürmann, H.: Failure Analysis of FRP aminates by Means of Physically Based Phenomenological Models. omposites Science and echnology. 998, Vol. 58, p ISSN [36] Sánchez-Arévalo, F. M, Pulos, G.: Use of digital image correlation to determine the mechanical bahaviour of materials. Elsevier Inc., 008. [37] Silvestre,. P., Dávila, G.., amanho, P. P., Iannucci,., Robinson, O.: Failure models and criteria for FRP under in-plane or three-dimensional stress state including shear non-linearity. Research report, NASA/M , NASA angley Research enter VA 368 USA, 005. [38] sai, S. W., Wu, E. M.: A General heory of Strength for Anisotropic Materials. Journal of omposite Materials. 97, Vol. 5, p ISSN [39] sai, S. W.: Strength and ife of omposite. Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford, A ISBN