1 Úvod - jazyk matematiky Co je to matematika Co je algebra Jazyk matematiky... 6

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Úvod - jazyk matematiky 2 1.1 Co je to matematika... 2 1.2 Co je algebra... 3 1.3 Jazyk matematiky... 6"

Transkript

1 Obsah 1 Úvod - jazyk matematiky 2 11 Co je to matematika 2 12 Co je algebra 3 13 Jazyk matematiky 6 2 Polynomy Co to je polynom? Operace s polynomy Hornerovo schema Kořeny polynomu Cvičení Výsledky 36 3 Matice Základní pojmy Operace s maticemi Elementární transformační matice Cvičení Výsledky 58 4 Determinanty Permutace Determinant matice Vlastnosti determinantů Výpočet determinantu 78 Rejstřík 85 Anna Kalousová: Úvod do algebry 1 1 října 2006

2 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky Velkou knihu přírody mohou číst jen ti, kteří rozumějí jazyku, jímž byla napsána A tímto jazykem je matematika Galileo Galilei Na otázku: Co je to matematika? většina lidí asi odpoví, že matematika jsou vlastně počty Ti, kteří se budou chtít trochu blýsknout, možná řeknou, že se jedná o vědu o číslech Ale je to tak doopravdy? Zkusme se nejprve zamyslet nad tím, 11 Co je to matematika Na počátku určitě bylo počítání a tedy i čísla No, na úplném počátku byl smysl pro počet, tedy schopnost vyjádřit počet pomocí slov V primitivních společnostech byla tato slova jen pro jeden a dva Větší počty se označovaly slovem mnoho Pozůstatky toho nacházíme i v indoevropských jazycích, kde slovo tři má podobný základ jako slovo označující mnoho, přes, či za Dalším dokladem je existence zvláštního duálního čísla podstatných jmen I v hodinách českého jazyka jste se jistě setkali s pozůstatky duálu, který současná čeština používá už jen pro slova označující části těla vyskytující se po dvou oči, uši, V těchto primitivních společnostech se ještě nepočítalo Počítání totiž předpokládá uvědomění si jakýchsi vztahů mezi jednotlivými počty Pak ale lidé objevili snadný způsob zaznamenávání větších počtů pomocí prstů na rukou a případně i na nohou, tyčinek, kamínků, škeblí, a lidstvo začalo počítat První známý početní systém pochází ze Středního východu Organizované zemědělství potřebovalo nějak zaznamenávat stav zásob, sestavovat plán, uzavírat obchody, Používali k tomu asi jeden centimetr velké pečlivě tvarované hliněné předměty válce, disky, kužely, Každý tvar zřejmě označoval něco jiného zvíře, objemovou či délkovou míru,, později i vyráběné předměty Tyto předměty byly pro potřeby účetnictví ukládány do hliněných pouzder, která pak byla zapečetěna To nebylo moc praktické, protože když chtěl někdo prozkoumat obsah pouzdra, musel nejprve odstranit pečeť Sumerští účetní proto začali na pouzdra vyrývat symbolické značky označující počet kusů uvnitř Tím se samotný obsah pouzder stal zbytečným, protože všechny důležité informace už byly na vnější straně pouzdra Dost dlouho ale ještě trvalo, než si to uvědomili a než začali používat hliněné tabulky s vyrytými znaky To byl obrovský krok v dějinách matematiky Byl to vlastně přechod od fyzických předmětů k abstraktním symbolům K tomu, aby lidé mohli počítat, byl důležitý také zápis čísel Představte si třeba, že máte sečíst dvě čísla zapsaná římskými číslicemi A co teprve, kdybyste je měli vynásobit K počítání je vhodný poziční zápis čísla, tak jak ho běžně používáme Starověké civilizace používaly tento zápis v desítkové Indové, Číňané, dvacítkové Mayové, Kelti nebo dokonce v šedesátkové Sumerové soustavě Ve starověku se počítání aritmetika používalo k ryze praktickým účelům výpočty plochy, úrody, rozměrů oltářů, pyramid, Používala se pouze kladná celá čísla a jejich zlomky V dochovaných textech jsou i snahy popsat postupy výpočtu, ale vždy jen pro konkrétní čísla I když je leckdy zřejmé, že tato čísla slouží jen jako příklady a dají se nahradit jakýmikoli jinými Je také zajímavé, s jakou přesností dokázali spočítat přibližné hodnoty některých iracionálních čísel Třeba v Indii spočítali hodnotu 2, která se od skutečné liší zhruba o dvě miliontiny Babyloňané se lišili dokonce o méně než jednu miliontinu a to prosim v šedesátkové soustavě Anna Kalousová: Úvod do algebry 2 1 října 2006

3 12 Co je algebra 3 V Řecku stála v popředí geometrie, čísla měla význam určitých vzdáleností, objemů Řekové byli první, kdo přestali matematiku chápat jako jakousi kuchařku, jak něco změřit, spočítat,, a začali ji studovat Thalés zavedl myšlenku matematického důkazu, Aristoteles položil základy logiky, Eukleides formuloval základní postuláty geometrie V 17 století nezávisle na sobě Isaac Newton a GW Leibniz zavedli koncepci diferenciálního a integrálního počtu Tím se matematika stala také naukou o pohybu a změnách Ale právě diferenciální a integrální počet vedl matematiky k zamyšlení nad základy matematiky, vznikla teorie množin a spolu s ní se znovu začala rozvíjet matematická logika Ve 20 století došlo k ohromnému rozvoji matematiky, původní obory jako třeba aritmetika, geometrie, algebra, se rozdělily na různé podobory, vznikly také nové obory, třeba teorie výpočetní složitosti, Jak tedy odpovědět na otázku, kterou jsme si položili na úvod? V poslední době se matematika definuje jako věda o strukturách Zkoumá struktury numerické, struktury tvarů, pravděpodobnostní struktury, struktury reálné nebo vymyšlené, statické i dynamické Podle zkoumaných struktur pak vznikla různá odvětví matematiky Otázkou je, jak moc matematika souvisí s reálným světem Jistě jste i vy sami několikrát matematiku pro řešení nějakých praktických problémů jako např kolik rohlíků můžu denně sníst, když mám na tři dny padesát korun nebo kolik zaplatím za nový koberec, když jsem starý zničil nebo jakou rychlostí by musel jet autobus městské dopravy, abych stihnul aspoň závěr cvičení, které končí za deset minut apod použili Ve škole jste různé děje ve světě popisovali pomocí matematických vzorců Snad v každé vědecké práci se nějaký ten matematický vztah objevuje Je to tedy tak, že svět kolem nás se chová podle nějakých matematických vztahů a úkolem vědy je tyto vztahy objevovat? Máme vlastně dva různé světy Ten skutečný svět věcí a vztahů mezi nimi a ten matematický, pomocí kterého ten skutečný svět popisujeme Cesta ze skutečného světa do světa matematiky se nazývá abstrakce odhlédneme od nepodstatných věcí, jako třeba že z těch pěti jablek na stole je jedno shnilé a dvě nezralá, cesta v opačném směru se nazývá specifikace Když tedy řešíme nějaký problém v reálném světě, pomocí abstrakce ho převedeme do matematického světa popíšeme ho nějakými rovnicemi,, tam ho vyřešíme a to řešení zase pomocí specifikace převedeme do reálného světa Když se vrátíme k těm jablkům na stole - je jich pět, nás je taky pět, matematicky je to jasné, každý si vezme jedno jablko No, radši si to své půjdu rychle vybrat 12 Co je algebra Již od nejstarších dob se při řešení konkrétních příkladů objevovaly úlohy, které bychom dnes označili jako řešení lineárních nebo kvadratických rovnic, případně jejich soustav Ve starověku byly tyto úlohy formulovány slovně, nepoužívala se žádná symbolika první pokusy o jakousi algebraickou symboliku nacházíme až v Diofantově Aritmetice, často byla využívána geometrická terminologie neznámá byla označována jako strana, její druhá mocnina jako čtverec, pokud byly neznámé dvě, byly označovány jako délka a šířka, Při řešení byla někdy formulována nějaká pravidla, ta ale nebyla nijak zdůvodňována Na egyptských papyrech nacházíme úlohy, které vedou na řešení rovnic typu x + ax = b a x + ax + cx = b Egypťané je řešili metodou falešného předpokladu Rovnice řešili také v Číně Nejstarším zachovaným dílem je Jiu zhang suan shu, česky Matematika v devíti knihách nebo také Devět kapitol o matematickém umění, stručně Devět kapitol Doba jeho vzniku je nejasná, ale určitě to bylo před naším letopočtem Shrnuje poznatky z předchozích dob Na konkrétních příkladech jsou zde ukázány metody výpočtů, které Číňané používali Poznáváme, že znali zlomky, počítali druhé a třetí odmocniny, obsah kruhu ale používali π = 3, Zajímavá je 8 kapitola, kde je popsána metoda řešení soustav lineárních rovnic nazývaná fang čcheng Jde o jakousi obdobou Gaussovy eliminace, o které bude v těchto skriptech ještě řeč Koeficienty jednotlivých rovnic Číňané zapisovali do sloupců a následně prováděli eliminaci elementárními sloupcovými úpravami Číňané čísla v pravém slova smyslu nezapisovali Na počítací desce je znázorňovali pomocí tyčinek Měli znaky určité uspořádání tyčinek pro číslice od jedné do devíti a ty byly dvojího druhu pro sudé a liché řády Čísla pak zapisovali v desítkové soustavě Samostatný znak pro nulu neměli, pokud se v desítkovém zápisu čísla někde nula objevila, prostě tam žádnou tyčinku nepoložili Při manipulaci se v tabulce někdy objevovala i záporná čísla, ta byla na desce odlišena červenou barvou tyčinek Záporná řešení rovnic Číňané neznali Ve středověku zaujímala významné místo arabská matematika V roce 850 vydal arabský matematik Abou Jafar Muhammad Ibn Musa al-khwarizmi knihu Kitab al-jabr wa l muqabalah Kniha v šesti krátkých kapitolách popisovala způsoby řešení šesti typů lineárních a kvadratických rovnic řešením byla stále jen kladná čísla K tomu, aby se rovnice upravila na jeden z probíraných typů, se používaly dva kroky Jeden se nazýval al-jabr Anna Kalousová: Úvod do algebry 3 1 října 2006

4 4 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky a odpovídal převedení členu z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem Tedy z rovnice x + 3 = y odvodíme rovnici x = y 3 Druhým krokem byl al-muqabalah, kterému odpovídala eliminace stejných nebo opačných členů, např z rovnice y + 3 = x + 3 odvodíme rovnici y = x nebo z rovnice a + y a = x odvodíme rovnici y = x Tato kniha byla ve 12 století přeložena do latiny a vydána pod názvem Liber algebrae et almucabola překladatel Robert de Chester si nedal moc práce s překladem názvu a odtud pochází název algebra Jméno autora bylo do latiny přepsáno jako Algorismi a časem z něho vzniklo slovo algoritmus Další arabský matematik al Karadží jako první vymezil algebru jako vědu, která učí, jak vypočítat neznámé veličiny pomocí veličin známých Až do 17 století lze algebru charakterizovat jako zobecnění a rozšíření aritmetiky Zabývala se především řešením polynomiálních rovnic Zavedla také symbolické znaky pro operace a začala označovat neznámou písmeny V 16 století italští matematici odvodili vzorce pro výpočet kořenů polynomů 3 a 4 stupně Při výpočtech se ale pod druhou odmocninou objevovala i záporná čísla Docházelo k tomu dokonce i v případech, kdy kořeny byly reálné To vedlo k zavedení nových čísel označovaných trochu hanlivě jako čísla imaginární pomyslná, vymyšlená, nebo dokonce impossible Ne všichni matematici totiž byli ochotni je přijmout Až o dvě století později se velcí matematici jako d Alembert, Gauss nebo Euler zasadili o jejich přijetí V 19 století irský matematik William Hamilton vytvořil algebraickou teorii komplexních čísel pohled na komplexní čísla jako na uspořádanou dvojici čísel reálných Pokusil se komplexní čísla rozšířit a vytvořil teorii kvaternionů V 19 století se v algebře stále zkoumala otázka řešitelnosti polynomiálních rovnic vyšších řádů pomocí radikálů, tedy užitím algebraických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování Při zkoumání této otázky francouzský matematik Evariste Galois zavedl pojem grupy a to už byl počátek moderní algebry þ Krátký život Evariste Galoise je jako román Narodil se 25 října 1811 v Bourg-la-Reine nedaleko Paříže Jeho otec byl starostou městečka, matka dcerou soudce Ve dvanácti letech do této doby byl vyučován matkou vtoupil Evariste do lycea Ludvíka Velikého Zpočátku studoval velmi úspěšně, pak ale zlenivěl, takže musel jeden ročník opakovat Začal navštěvovat lekce matematiky ve třídě M Verniera Školní matematika mu nestačila, a tak četl práce matematiků tehdejší doby V roce 1828 se sám připravoval na přijímací zkoušky na pařížskou Polytechniku Neuspěl Vrátil se na lyceum V té době publikoval svůj první matematický článek Také napsal první pojednání o rovnicích a poslal je na Akademii věd Cauchy ale tuto práci ztratil 2 července 1829 spáchal Galoisův otec sebevraždu kvůli pomluvám, které o něm začal rozšiřovat nový místní kněz O pár dní později Galois podruhé neuspěl u přijímacích zkoušek na Polytechniku Traduje se, že při zkoušce rozhořčený Galois hodil po examinátorovi hadr na mazání tabule Začal studovat na École Normale Napsal další pojednání o polynomiálních rovnicích a poslal je znovu do Akademie věd Fourier si vzal rukopis domů, ale o něco později zemřel, takže rukopis byl zase ztracen Před a po revoluci v roce 1830 se politika stala důležitou součástí Galoisova života Pro své dva články byl vyloučen ze školy V květnu 1831 byl uvězněn, v červnu propuštěn, v červenci znovu zadržen a v říjnu odsouzen na 6 měsíců jako recidivista V březnu následujícího roku byli vězni kvůli epidemii cholery přestěhováni do nemocnice s policejním dozorem Tady se asi seznámil s femme fatale svého života Okolnosti jsou nejasné, ale 30 května 1831 měl Galois duel, při kterém byl zraněn a opuštěn jak soupeřem tak vlastními sekundanty Našel ho vesničan a dopravil do nemocnice, kde následující den zemřel v náručí svého mladšího bratra Bylo mu dvacet let Tak svět přichází o matematiky Jeho práce byly znovuobjeveny až po více než deseti letech V září 1843 Joseph Liouville v Akademii oznámil, že v Galoisových pracech našel odpověď na otázku řešitelnosti polynomiálních rovnic pomocí radikálů O dva roky později tyto práce vydal bez jakýchkoli vlastních komentářů Grupa je základní algebraická struktura Příkladem může být třeba množina celých čísel s operací sčítání Nebo množina nenulových racionálních čísel s operací násobení Množina reálných čísel s operací sčítání, Ve všech těchto případech jsou splněny následující podmínky: 1 Operace je asociativní Když třeba sčítáme , dostaneme stejný výsledek, jako když sčítáme Když násobíme 1 2 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme Zřejmě to platí i v ostatních případech 2 Existuje vždycky výjimečný prvek, který má tu vlastnost, že když vstoupí do operace s jakýmkoli číslem, výsledek je to číslo U sčítání má tuto vlastnost nula, vždycky a + 0 = a a také 0 + a = a Pro násobení je tímto číslem jednička, zase a 1 = a a 1 a = a Takovémuto číslu říkáme neutrální prvek, někdy také jednotkový násobení nebo nulový sčítání 3 Ke každému číslu můžeme najít takové číslo, že výsledek operace provedené s těmito dvěma čísly je roven příslušnému neutrálnímu prvku Tak třeba v případě sčítání celých čísel je = 0, = 0, = 0, obecně a + a = 0 V případě násobení nenulových racionálních čísel máme = 1, = 1, obecně a a = 1 Takovému číslu pak říkáme opačný v případě sčítání nebo inversní v případě násobení prvek 4 Asi také všichni víte, že tyto operace jsou komutativní např když sčítáme 2+3, dostaneme stejný výsledek jako když sečteme 3 + 2, nebo když násobíme 2 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme října Anna Kalousová: Úvod do algebry

5 12 Co je algebra 5 Ale to v případě grup není pravidlem Pokud má grupa navíc tuto vlastnost, říkáme jí komutativní nebo také Abelova grupa Co je těmto příkladům společné? Vždy jsme měli nějakou množinu s nějakou binární operací Raději nebudeme rozebírat, co to je množina, a spokojíme se s intuitivní představou nějakého souboru prvků Slovo operace se také běžně používá Co si pod tím ale představit? Vezměme třeba to sčítání celých čísel K čemu při něm vlastně dochází? To vezmeme nějaká dvě celá čísla a přiřadíme jim jejich součet, tedy zase nějaké celé číslo Při násobení je to podobné, vezmeme nějaká dvě čísla a přiřadíme jim jejich součin, zase nějaké číslo Mohli bychom se tedy na operaci obecně dívat jako na nějaké zobrazení, které každé dvojici raději uspořádané, ne všechny operace jsou komutativní prvků přiřadí nějaký prvek někdy jiný, někdy stejný jeko jeden z nich A musí do operace vždycky vstupovat dva prvky? Co brání, aby byly tři, čtyři, nebo jen jeden? Nebrání tomu nic Počet prvků, které do operace vstupují, se nazývá četnost nebo také arita operace Jsou potom operace unární, třeba taková, která číslu přiřadí jeho převrácenou hodnotu, binární, to jsou známé operace sčítání, odčítání, násobení nebo dělení, ternární,, obecně n-ární Důležité je, že to zobrazení musí přiřazovat výsledek každé uspořádané n-tici prvků z množiny V tomto smyslu například dělení reálných čísel není operací, protože nelze dělit nulou Když ale vezmeme množinu nenulových reálných čísel, dělení operací je Definujme si nyní grupu 121 Definice Grupa je neprázdná množina G s jednou binární operací, která splňuje následující podmínky 1 pro všechny prvky a, b, c z množiny G platí a b c = a b c asociativita operace 2 V množině G existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny G je a j = j a = a existence neutrálního prvku 3 ke každému prvku a z množiny G existuje prvek a 1 takový, že a a 1 = a 1 a = j existence inversního prvku Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny G platí, že a b = b a komutativita operace, nazveme tuto grupu komutativní nebo Abelovou Je vidět, že podle této definice jsou grupami také množina racionálních čísel s operací sčítání, množina nenulových reálných čísel s operací násobení, množina komplexních čísel s operací sčítání, množina nenulových komplexních čísel s operací násobení, množina všech polynomů s operací sčítání, Grupou ale není množina přirozených čísel s operací sčítání, protože zde nemáme opačné prvky Taky třeba množina všech racionálních čísel s operací násobení, protože k nule neexistuje inversní prvek Na reálných číslech ale známe dvě operace - sčítání a násobení Spolu s operací sčítání tvoří tato množina grupu, dokonce komutativní Když odebereme nulu a uvažujeme operaci násobení, máme opět komutativní grupu Navíc víme, že obě tyto operace jsou spojeny distributivními zákony Existuje nějaké pojmenování takovéto struktury? Ano, říkáme jí těleso v tomto případě dokonce komutativní těleso Uveďme si ještě definici tělesa, protože lineární prostory, což je hlavní téma těchto skript, se obecně budují právě nad komutativními tělesy My se budeme omezovat pouze na lineární prostory nad reálnými čísly, ale často budeme používat vlastnosti reálných čísel, které plynou právě z toho, že reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso 122 Definice Těleso je alespoň dvouprvková množina T s dvěma binárními operacemi + a, která splňuje následující podmínky 1 pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a + b = b + a komutativita operace + 2 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a + b + c = a + b + c asociativita operace + 3 v množině T existuje prvek o takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a + o = o + a = a existence nulového prvku 4 ke každému prvku a z množiny T existuje prvek a takový, že a + a = a + a = o existence opačného prvku 5 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a b c = a b c asociativita operace Anna Kalousová: Úvod do algebry 5 1 října 2006

6 6 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky 6 v množině T existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a j = j a = a existence jednotkového prvku 7 ke každému prvku a z množiny T \ {0} existuje prvek a 1 takový, že a a 1 = a 1 a = j existence inversního prvku 8 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a b + c = a b + a c 9 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a + b c = a c + b c Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a b = b a komutativita operace, nazveme toto těleso komutativní 1 Příklady těles, se kterými jste se již setkali, jsou kromě reálných čísel s obvyklým sčítáním a násobením ještě také komplexní nebo racionální čísla vždy s obvyklými operacemi Pokud znáte operaci modulo zbytek po dělení čísla a číslem b, může pro vás být příkladem tělesa také množina Z p = {0, 1, 2,, p}, kde p je prvočíslo a kde sčítáme a násobíme právě modulo p Ve všech těchto příkladech byla tělesa dokonce komutativní Příkladem nekomutativního tělesa jsou již zmiňované kvaterniony Zase nás může napadnout, proč by tyto operace musely být jen dvě A proč obě binární? Samozřejmě to není nezbytné Můžeme mít množiny s konečně i nekonečně operacemi různých arit, které zase splňují nějaké podmínky Pro většinu z nich už nemáme speciální název, obecně je označujeme jako univerzální algebry Dál už tento námět zkoumat nebudeme, protože by šel daleko nad rámec skript Chtěla jsem jen naznačit, co zkoumá dnešní algebra Předmětem jejího studia jsou algebraické struktury, tedy neprázdné množiny, na kterých jsou definovány určité algebraické operace Z algebry se vydělilo další odvětví matematiky a to lineární algebra Lineární algebra zkoumá lineární také se říká vektorové prostory a vše, co s nimi souvisí, např lineární zobrazení, lineární formy, ale také soustavy lineárních rovnic, matice, Počátky lineární algebry najdeme v 17 století, kdy René Descartes jako první popsal geometrické problémy jako třeba průsečík přímek formou lineárních rovnic Více se rozvíjet začala až v 19 století, jsou s ní spjata jména jako Gauss, Jordan nebo Hamilton, který zavedl označení vektor Zpočátku lineární algebra studovala prostory dimense dvě a tři Pak se ale rozšířila na prostory libovolné konečné i nekonečné dimense S pojmem lineární prostor se setkáte téměř ve všech oblastech matematiky 13 Jazyk matematiky 131 Příklad Plocha čtverce přidaná k jeho straně je rovna 3 4 Řešení: Vezmi 1 Rozděl 1 na polovinu, dostaneš 1 2 Výsledek umocni na druhou a dostaneš 1 4 Přičti 3 4 a dostaneš 1 To je odmocnina z 1 Odečti 1 2, kterou jsi dostal dělením 1 dvěma Získal jsi stranu čtverce Takto nějak vypadalo řešení příkladů ve starověku Šlo o příklad, který bychom dneska popsali jako řešení kvadratické rovnice x 2 + x = 3 4 Když použijeme dnes dobře známou formulku, obdržíme dvě řešení, jednak 1 2, tedy řešení, které získali i starověcí matematici, a pak také 3 2, což je řešení, které ve starověku neznali a také neuznávali, protože délka strany samozřejmě nemůže být záporná Z uvedeného jsou snad vidět nejméně dvě výhody, které matematická symbolika přináší 1 Příklad lze zapsat stručně a jasně 2 Lze popsat obecné řešení, které je použitelné pro větší množství případů Na druhé straně se nic nesmí přehánět Pokud by se v zápisu používaly jen symboly, text by byl nesrozumitelný Např Sf, x 0 ε δε > 0 δ > 0 x x x 0 < δ fx fx 0 < ε je vám jistě známá definice spojitosti funkce f v bodě x 0 to označujeme Sf, x 0 Nevím, jaký dojem ve vás vznikl, když jste tento zápis viděli poprvé, a to předpokládám vám předem vysvětlili, co ten pojem znamená, 1 V literatuře se často nerozlišuje mezi tělesem a komutativním tělesem 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry

7 13 Jazyk matematiky 7 ale myslím, že asi nebyl úplně příjemný A představa, že matematický text se bude skládat jen z takovýchto formulek řazených jedna za druhou, je asi dost hrůzná Nabízí se analogie s hudbou Ta používá také speciální symbolický jazyk - notový zápis Kdyby notový zápis neexistoval, bylo by velmi obtížné reprodukovat slyšenou skladbu, snad jen nějakou jednoduchou píseň Naproti tomu, když člověk dostane do ruky notový zápis, nemusí být schopný zapsanou melodii slyšet, snad jen tu jednoduchou Záleží jistě na zkušenosti a hudebním sluchu Ale je to namáhavé Podobně i v matematice je pro nás symbolický text výhodný, jak bylo naznačeno v úvodu této podkapitoly, ale i pro člověka s velkou zkušeností se symbolickými znaky je velmi namáhavé číst jen samé formulky Proto je v matematice dobré využívat symboliky, ale je třeba ji také prokládat normálním nesymbolickým textem Protože tato skripta jsou určena pro matematiky-začátečníky, bude v nich jen málo neznámých matematických symbolů Výhodou symbolů je také jejich jednoznačnost Příkladem může být spojka nebo, kterou používáme ve dvojím významu - vylučovacím a nevylučovacím Když řekneme Přijde tam Petr nebo Pavel, může to znamenat, že tam přijde právě jeden z nich vylučovací nebo také že přijde aspoň jeden z nich, možná i oba nevylučovací V matematice bychom v prvním případě použili symbol a ve druhém Význam těchto dvou symbolů je jednoznačně dán a není tedy potřeba nějak složitě popisovat, co se tím vlastně myslí Význam sémantika jednotlivých logických spojek je dán pravdivostními tabulkami pro jednotlivé spojky, s nimiž jste se již pravděpodobně setkali na střední škole Pro zopakování uvedeme pravdivostní tabulky základních logických spojek, tedy negace, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence a a a b a b a b a b a b V matematickém textu se také můžeme setkat s kvantifikátory Jeden se nazývá všeobecný, zapisuje se a znamená, že tvrzení platí pro všechny hodnoty proměnné, která je za kvantifikátorem uvedena Druhý se nazývá existenční, zapisuje se a znamená, že tvrzení platí alespoň pro jednu hodnotu proměnné, která je za ním uvedena Opatrní musíme být při negování tvrzení s kvantifikátory Pokud totiž není pravda, že pro všechna x platí P x, znamená to, že aspoň pro jedno x neplatí P x, a ne že P x pro všechna x neplatí Analogicky, pokud neplatí, že existuje x, pro které P x platí, znamená to, že P x neplatí pro žádné x Když to zapíšeme symbolicky, máme xp x odpovídá x P x xp x odpovídá x P x Ale matematický text se nevyznačuje jen speciálními symboly Často se v něm objevují slova definice, věta, důkaz Je možné, že jste se s těmito pojmy ještě nesetkali, proto si trochu objasníme, co znamenají Možná se vám někdy stalo, že jste se s rodiči domluvili, že se vrátíte večer, ale při vašem návratu pak došlo k jakémusi nedorozumění vyvolanému tím, že vaše představa o tom, co je večer, byla jiná, než představa vašich rodičů Podobně když vám někdo v zimě řekne, že je venku docela teplo, může tam být chladněji, než když se v létě dozvíte, že dnes tam moc teplo není Je vidět, že v běžném jazyce používaná slova nemají obvykle přesně vymezený význam Občas díky tomu člověk narazí, ale většinou se lidé nějak domluví V matematice je situace poněkud jiná Protože se pohybujeme v abstraktním světě, je potřeba používané pojmy přesně definovat vymezit, popsat Definice je tedy jakási úmluva, že něčemu, co jsme tady na spoustě řádek pečlivě a přesně popsali, budeme říkat několika málo obvykle jedním či dvěma slovy Například večer můžeme definovat jako období od 18 do 22 hodin zeměpisné šířce odpovídajícího času A teplo může být, když je více než 20 Celsiových stupňů V definici by zřejmě měly vystupovat pouze pojmy již dříve definované pomineme-li spojovací slovíčka z běžného jazyka To se ale obvykle nevyžaduje, spíše se uvedou na začátku pojmy, jejichž znalost se předpokládá Pokud je někdo nezná, musí si je najít v jiné literatuře Kdybychom totiž chtěli všechno definovat od základů, příliš by narostl počet stránek a než by se čtenář prokousal k tomu novému, co mu chceme sdělit, asi by text odložil V definici tedy zavádíme nějaký nový pojem prostřednictvím pojmů známých definovaných již dříve nebo těch, jejichž znalost se předpokládá Ve větách pak popisujeme vztahy mezi pojmy Matematická věta je většinou ve tvaru implikace Dá se tedy rozdělit na dvě části - předpoklady a tvrzení Předpoklady jsou uvozeny slovy nechť, pokud, jestliže, buďte, mějme, Vlastní tvrzení následuje za slovy potom či pak Někdy ta první část předpoklady chybí Takové tvrzení má prázdnou množinu předpokladů, platí vždy Anna Kalousová: Úvod do algebry 7 1 října 2006

8 8 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky Každá matematická věta musí být dokázána, to znamená, že musí být ověřena její platnost V důkazu se obvykle používají některé vlastnosti pojmu, které vypreparujeme z jeho definice, a také některé předchozí již dokázané věty Používáme při tom postupy, které matematika považuje za správné O tom, které to jsou, se dozvídáme z matematické logiky Kromě těchto tří pojmů se v matematických textech objevují ještě různá tvrzení, pozorování, důsledky, lemmata, Jsou to v podstatě také věty, ale těmito označeními rozlišujeme jakousi důležitost nebo složitost Třeba tvrzení je obvykle nějaká menší věta, jejíž důkaz je jednoduchý Pozorování je něco, čeho si lze všimnout bez nějakého velkého studování Důkaz je natolik jednoduchý, že se často vůbec neuvádí Důsledek je věta, která přímo snadno plyne z jiné věty Lemma je pomocné tvrzení Používá se většinou tam, kde je důkaz věty obtížný a dlouhý Zformuluje se několik pomocných tvrzení lemmat, která sama o sobě nemusí být zrovna moc zajímavá a jejichž důkazy většinou nejsou lehké Když se jimi ale člověk prokouše, je důkaz věty naprostá hračka no, to je trochu nadnesené, ale význam lemmat je opravdu v tom, aby z nich ta krásná věta vyplývala jednoduše I na střední škole jste se setkali se základními typy důkazů Jak už bylo řečeno, je matematická věta většinou ve tvaru implikace, tedy P T, kde P jsou předpoklady a T je vlastní tvrzení Můžeme postupovat přímo, tedy použijeme postupně předpoklady a pomocí správných úsudků odvodíme tvrzení, nebo nepřímo, kdy vlastně dokazujeme ekvivalentní implikaci, totiž T P 132 Příklady Ilustrujme si tento typ důkazu na několika příkladech 1 Druhá mocnina sudého čísla je opět sudé číslo Přesněji bychom měli napsat: Pro všechna celá čísla z platí: Je-li z sudé číslo, pak také z 2 je sudé číslo Všeobecný kvantifikátor se ale v textu často vynechává Také údaj, o jaká čísla se jedná, může v textu chybět, myslí se pak největší možná množina těch čísel, pro která má daná vlastnost sudost smysl V našem případě je to množina celých čísel Tvrzení platí i pro libovolnou podmnožinu, tedy i pro množinu přirozených čísel Než začneme větu dokazovat, musíme si ujasnit, co znamená, že je nějaké číslo sudé Pravděpodobně víte, že sudá čísla jsou násobky dvou Jak to ale matematicky zachytit? Většinou se používá následující definice: Celé číslo z nazveme sudé, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 a Přistupme nyní k dokazování Předpokladem věty je, že z je sudé číslo, vlastní tvrzení pak říká, že také z 2 je sudé číslo Přepíšeme si podle definice, co to znamená, že z je sudé Existuje takové celé číslo a, že z = 2 a Spočítáme z 2 a potřebujeme ukázat, že i toto číslo je sudé, tedy že ho můžeme napsat ve tvaru 2 b, kde b je nějaké celé číslo z 2 = 2 a 2 = 4 a 2 = 2 2a 2 Položíme-li b = 2a 2, pak opravdu můžeme psát z = 2 b, kde b je celé číslo, protože vzniklo z celého čísla a operacemi umocněním a vynásobením dvěma, na které jsou celá čísla uzavřená Tím je tvrzení dokázáno 2 Je-li z 2 liché číslo, je také z liché číslo Uvědomme si nejprve, co znamená, že je nějaké číslo liché Pravděpodobně každý ví, že toto číslo není sudé Uvedená věta se tedy dá přeformulovat ve tvaru Jestliže z 2 není sudé číslo, pak také z není sudé číslo To je ale ekvivalentní s předchozím, námi již dokázaným tvrzením, jak se můžeme přesvědčit z následující pravdivostní tabulky, kde P označuje tvrzení z je sudé a T tvrzení z 2 je sudé P T P T P T T P října Anna Kalousová: Úvod do algebry

9 13 Jazyk matematiky 9 3 Druhá mocnina lichého čísla je opět liché číslo Opět si nejprve musíme ujasnit, co znamená, že je číslo liché Asi nám moc nepomůže to, co jsme použili v předchozím důkazu, totiž že není sudé Dokonce ani když to přepíšeme ve tvaru Celé číslo z nazveme liché, jestliže nexistuje takové celé číslo a, že z = 2 a neboli celé číslo z nazveme liché, jestliže pro všechna celá čísla a je z 2 a Potřebujeme nějaké pozitivní vyjádření Třeba Celé číslo z nazveme liché, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 a + 1 A teď už budeme postupovat podobně jako v prvním důkazu Spočítáme druhou mocninu a přepíšeme ji ve tvaru 2 b + 1 jestliže položíme b = 2a 2 + 2a 4 Je-li z 2 sudé číslo, je také z sudé číslo z 2 = 2 a = 4a 2 + 4a + 1 = 2 2a 2 + 2a + 1 = 2 b + 1, Použijeme-li opět toho, že celá čísla jsou buď sudá nebo lichá, tedy že být sudý znamená nebýt lichý, je zřejmé, že toto tvrzení je ekvivalentní s předchozím, které již bylo dokázáno Další způsob důkazu, se kterým jste se již setkali, je důkaz sporem Ten využívá pravidlo o vyloučení třetího, což je jedno z pravidel platných v matematické logice Říká vlastně, že vždycky musí platit tvrzení nebo jeho negace, nemůže nastat situace, kdy neplatí ani jedno z nich jakási třetí možnost Důkaz pak provádíme tak, že předpokládáme, že uvedené tvrzení neplatí tedy platí jeho negace, a z tohoto předpokladu dále něco vyvozujeme Naším cílem je odvodit nějaký nesmysl, něco, co určitě není pravda Pokud se nám to podaří ovšem ne díky nějakým našim špatným úsudkům - to by se to dokazovalo, označíme tento nesmysl jako spor se zdravým rozumem, s nějakou obecně známou pravdou, s tím nesprávným předpokladem, Jestliže jsme tedy z předpokladu, že tvrzení neplatí, odvodili spor, znamená to, že tento předpoklad byl nesprávný, nepravdivý, a tedy podle pravidla o vyloučení třetího musí být pravdivé to původní tvrzení Důkaz sporem se velmi často užívá v případě tvrzení ve tvaru Neplatí, že a také při důkazech jednoznačnosti, tj Existuje jediný, kdy předpokládáme, že existuje více tedy dva objektů s uvedenou vlastností, a dostaneme se ke sporu Na ukázku si uvedeme jeden příklad důkazu sporem 133 Příklad 2 není racionální číslo Důkaz provádíme sporem, proto předpokládáme, že 2 je racionální číslo negace dokazovaného tvrzení Zase si nejprve musíme uvědomit, co je to racionální číslo Jedna z definic pro nás výhodná říká: Číslo a nazveme racionálním, jestliže existují nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že a = p q Kdyby tedy 2 bylo racionální číslo, musela by existovat nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že 2 = p q Tento výraz umocníme na druhou tím se rovnost neporuší a máme 2 = 2 p = p2 q q 2, tedy p2 = 2 q 2 To ale znamená, že p 2 je sudé Podle posledního příkladu v minulé části víme, že je sudé také číslo p Můžeme ho proto zapsat jako 2 a, kde a je nějaké celé číslo Nyní do předchozího vztahu dosadíme za p = 2 a p 2 = 2 a 2 = 4 a 2 = 2 q 2, tedy q 2 = 2 a 2 To ovšem znamená, že q 2 je sudé a tedy i q je sudé A tím jsme u cíle Proč? No přece p i q jsou sudá čísla, jejich společným dělitelem je číslo 2 A přitom podle předpokladu měla být nesoudělná! Možná ještě někdo váhá na tím, co znamená, že jsou čísla nesoudělná To se definuje tak, že jejich jediný společný dělitel je číslo 1 A my jsme našli jiného společného dělitele To je samozřejmě kýžený spor Takže předpoklad, že 2 je racionální číslo, je špatný Musí platit jeho negace, tj 2 není racionální číslo Anna Kalousová: Úvod do algebry 9 1 října 2006

10 10 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky þ Možná jste se s tímto důkazem již setkali Velice často se používá jako příklad důkazu sporem Já jsem si ho vybrala proto, že je hezký nepoužívají se žádné složité pojmy a úpravy, taky jsme využili toho, co jsme dokázali v předchozí části, a navíc se k němu pojí zajímavá historka Tento důkaz je tradičně připisován Hippasovi z Metapontu Patřil mezi pythagorejce, žáky Pythagora, o kterém jste už jistě slyšeli Pythagorejci viděli v číslech obraz pravé podoby vesmíru, znali však pouze čísla přirozená a jejich zlomky jak by také vzdálenost mohla být třeba záporná Tím, že Hippasos objevil, že takovou přirozenou věc, jakou je úhlopříčka jednotkového čtverce, nelze vyjádřit v uznávaném tvaru, velmi otřásl základy jejich filosofie Za trest byl ze společenství vyloučen a pythagorejci mu dokonce zřídili hrob, aby bylo jasné, že je pro ně mrtvý Traduje se, že ho dokonce vyvezli na širé moře a tam ho hodili do vody, aby se utopil Jak vidíte, nebylo vždy lehké být matematikem a objevovat nové věci Objev iracionality 2 se pak pythagorejci snažili držet v tajnosti Posledním typem důkazu, o kterém se zmíníme, je důkaz matematickou indukcí Je to jedna z nejsilnějších zbraní matematiky, protože nám umožňuje dokázat tvrzení pro všechna přirozená čísla kterých je nekonečně mnoho, pokud dokážeme platnost pouze dvou tvrzení Můžeme si to znázornit na tzv dominovém efektu Představte si, že máte řadu dominových kostek a chcete, aby spadly všechny, když strčíte do jedné z nich Co k tomu budete potřebovat? Jedním požadavkem bude, aby ty kostky stály tak blízko u sebe, aby každá padající kostka porazila i tu následující, tedy aby pád n-té kostky vyvolal pád n + 1-ní kostky No a potom ještě potřebujeme vybrat kostku, do které strčíme Zřejmě to musí být první kostka, protože kdybychom strčili do druhé, třetí,, spadly by jen ty za nimi, ty před nimi by zůstaly stát Řada dominových kostek je ve skutečnosti jen konečná takže bychom mohli třeba strčit i do poslední kostky a požadovat, aby každá kostka shodila předchozí, ale tento princip můžeme použít i pro abstraktní situaci, kdy řada je nekonečná A stejný princip používá i matematická indukce Chceme-li dokázt, že nějaké tvrzení T n platí pro všechna přirozená čísla n, stačí ukázat, že platí T 1 shození první kostky a že z platnosti pro n plyne platnost pro n+1, tedy že pro všechna n N platí T n T n+1 n-tá kostka shodí n+1-ní kostku Ukážeme si to opět na příkladu 134 Příklad Ukažte, že pro všechna n N platí: n n + 1 = n n + 1 Důkaz provedeme matematickou indukcí Nejprve dokážeme platnost pro n = = 1 2 = Teď potřebujeme dokázat indukční krok Předpokládáme tedy, že pro nějaké n platí a chceme dokázat, že potom platí n n + 1 = n n + 1, n n n + 1 n + 2 = n + 1 n + 2 Vezmeme levou stranu dokazovaného výrazu a budeme ji upravovat, až získáme stranu pravou První úpravou je rozložení upravovaného výrazu na součet součtu prvních n členů a n + 1-ního členu, abychom mohli využít indukční předpoklad a součet prvních n členů nahradit Potom oba zlomky převedeme na společného jmenovatele a upravíme n n n + 1 n + 2 = n n + 1 = n n n + 1 n + 2 = n n + 2 n + 1 n n + 1 n + 2 = n2 + 2n + 1 n + 1 n + 2 = 1 n + 1 n + 2 = Tím je tvrzení dokázáno = n n + 1 n + 2 = n + 1 n října Anna Kalousová: Úvod do algebry

11 13 Jazyk matematiky 11 Někdy se matematická indukce používá v trochu jiném tvaru Můžeme například dokazovat, že nějaké tvrzení platí jen pro přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna nějakému přirozenému číslu n 0 Potom samořejmě ten první krok nedokazujeme pro jedničku, ale pro n Příklad Ukažte, že pro všechna přirozená n 3 platí: Nejprve dokážeme platnost pro n = 3 2 n > 2n = 8 > 7 = Nyní dokážeme indukční krok Předpokládáme, že pro nějaké libovolné n 3 platí a chceme dokázat, že potom platí také 2 n > 2n + 1, 2 n+1 > 2n = 2n + 3 Opět si levou stranu upravíme, abychom mohli použít indukční předpoklad 2 n+1 = 2 2 n > 2 2n + 1 = 4n + 2 Zbývá nám dokázat, že 4n + 2 > 2n + 3 Protože n 3, je n > 2 a Tím je tvrzení dokázáno 4n + 2 = 2n + 2n + 2 > 2n = 2n + 6 > 2n + 3 Někdy může být situace ještě složitější Když se zase vrátíme k dominovým kostkám, můžeme si ji znázornit tak, že jsou kostky rozloženy po ploše tak, že každá z nich může bý shozena nějakou kostkou, která je před ní Nevíme ale, která to je Může jich být zapotřebí i víc jedna nestačí Jak potom zajistíme, aby kostka spadla? Abychom měli jistotu, je potřeba, aby spadly všechny, které jsou před ní Indukce pak probíhá takto: Nejprve zase tvrzení dokážeme pro nějakou nejmenší hodnotu někdy raději i pro několik malých hodnot - pro jistotu A potom z toho, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla menší než n, dokážeme, že platí i pro n To je indukční krok Pokud toto zvládneme, můžeme směle prohlásit, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla případně od nějakého počínaje Ač se to možná na první pohled nezdá, jsou oba tyto principy matematické indukce říká se jim slabý a silný ekvivalentní 136 Příklad Ukažte, že každé přirozené číslo n 2 lze rozložit na součin prvočísel tj čísel, která lze dělit jen jimi samými a jedničkou Toto tvrzení jistě platí pro malá přirozená čísla 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 2 = 2 2, 5 = 5, 6 = 2 3, Musíme ještě dokázat indukční krok Mějme nějaké přirozené číslo n 2 Mohou nastat dva případy Buď je toto číslo prvočíslo, pak není třeba rozkládat n = n, nebo prvočíslem není a dá se napsat jako součin dvou čísel např n = k m, která jsou menší než n Ale každé menší číslo už umíme rozložit na součin prvočísel indukční předpoklad, proto i číslo n můžeme rozložit tak, že vynásobíme ty dva rozklady n = m k = m 1 m 2 m s k 1 k 2 k t Je vidět, že jsme tady nemohli použít ten předchozí slabý princip Tedy mohli, jsou totiž ekvivalentní, ale museli bychom tou ekvivalencí projít, což by bylo zdlouhavé Anna Kalousová: Úvod do algebry 11 1 října 2006

12 Kapitola 2 Polynomy S polynomy jste se pravděpodobně setkali už na střední škole A budete je potkávat i nadále, a to nejen v matematice, ale i v jiných oborech Často se používají k výpočtu přibližné hodnoty funkce v nějakém bodě možná jste se již setkali s Taylorovým polynomem, používají se i k popisu chování některých veličin naměřenými hodnotami se prokládá polynomiální křivka V této kapitole shrneme základní poznatky o polynomech 21 Co to je polynom? Jak český název mnohočlen napovídá, je polynom výraz, který má mnoho členů Mnoho znamená blíže neurčený konečný počet alespoň jeden, členy jsou výrazy typu číslo krát mocnina proměnné To číslo může být reálné reálné polynomy nebo komplexní komplexní polynomy, a říká se mu koeficient Pokud nebude řečeno něco jiného, budeme v rámci těchto skript pod pojmem polynom rozumět vždy reálný polynom Pouze v části věnované kořenům polynomů budeme muset přibrat polynomy komplexní, protože se může stát jak jistě víte ze střední školy, že polynom s reálnými koeficienty nemá žádné reálné kořeny má pouze komplexní kořeny Naproti tomu všechny kořeny komplexního polynomu jsou komplexní čísla nemusíme zavádět nějaká nová Budeme-li potřebovat zdůraznit, že koeficienty polynomu jsou čísla komplexní, reálná, racionální, či celá, budeme mluvit o polynomu s komplexními, reálnými, racionálními, či celočíselnými koeficienty Proměnná se může jmenovat různě x, y, z, a, b,, α, β,, mluvíme pak o polynomu v proměnné x, y, z,, α, β, Polynom je součtem svých členů Některé koeficienty mohou být nulové, ty nás příliš nezajímají, v zápisu polynomu se zpravidla vynechávají Píšeme x 5 + x 3 2x + 1 místo x 5 + 0x 4 + x 3 + 0x 2 2x + 1 nebo místo 0x 6 + x 5 + 0x 4 + x 3 + 0x 2 2x + 1 Může nás také zajímat, jaká je nejvyšší mocnina proměnné, u níž je nenulový koeficient Tomuto číslu říkáme stupeň polynomu Pokud žádné takové číslo neexistuje, tedy pokud má polynom všechny koeficienty rovny nule nulový polynom, položíme stupeň roven 1 To, co jsme si tady popsali, teď zformulujeme do několika definic 211 Definice Nechť a 0, a 1,, a n 1, a n jsou reálná čísla Algebraický výraz a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, což stručně zapisujeme a i x i, nazveme polynom v proměnné x, čísla a 0, a 1,, a n nazýváme koeficienty polynomu Nulový polynom Ox je polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule 212 Definice Nechť P x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom Stupeň polynomu P označujeme st P je největší m N takové, že a m 0 Stupeň nulového polynomu položíme roven 1 Polynom nultého stupně se nazývá konstantní, prvního stupně lineární, druhého stupně kvadratický a třetího stupně kubický 213 Příklady 1 Polynom P 1 x = 3x má stupeň 2, je to kvadratický polynom Anna Kalousová: Úvod do algebry 12 1 října 2006

13 22 Operace s polynomy 13 2 Polynom P 2 x = 0x 4 + 0x 3 + 3x má stupeň 2, je to kvadratický polynom 3 Polynom P 3 x = 3 má stupeň 0, je to konstantní polynom 4 Polynom P 1 x = 2x 3 + 3x 1 má stupeň 3, je to kubický polynom 214 Definice Řekneme, že se polynomy P x = a i x i a Qx = m b i x i sobě rovnají, jestliže mají stejný stupeň st P = st Q = k a navíc a i = b i pro všechna i = 0, 1,, k 215 Příklady 1 Polynomy P x = 2x 3 + x 2 2 a Qx = 0x 5 + 2x 3 + x 2 + 0x 2 se sobě rovnají, protože mají stejný stupeň st P = st Q = 3 a koeficienty u jednotlivých mocnin se sobě rovnají 2 Polynomy P x = 3x 3 x 2 + x a Qx = 0x 3 + 3x 2 x + 1 se sobě nerovnají nemají stejný stupeň 216 Poznámka Mějme polynom a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Zřejmě platí následující rovnosti a n x n + + a 1 x + a 0 = 0x n+1 + a n x n + + a 1 x + a 0 = 0x n+2 + 0x n+1 + a n x n + + a 1 x + a 0 = To znamená, že každý polynom můžeme natáhnout na libovolnou délku tím, že přidané koeficienty položíme rovny nule Toho budeme využívat v případech, kdy bude potřeba, aby nějaké dva polynomy byly stejně dlouhé 217 Poznámka V matematice se často můžete setkat i s jiným chápáním termínu polynom, totiž jako polynomiální funkce To je taková reálná nebo komplexní funkce P x reálné nebo komplexní proměnné, že existují reálná nebo komplexní čísla a 0, a 1,, a n 1, a n taková, že pro všechna x R nebo x C je P x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Rovnost polynomů se pak chápe jako rovnost funkcí a ukáže se, že platí to, co jsme my měli jako definici 214 Podobně operace se chápou jako operace s funkcemi a ukáže se, že platí vztahy, které my budeme mít jako definiční 22 Operace s polynomy Polynomy můžeme sčítat člen po členu, přičemž ten kratší doplníme nulami, aby měl stejnou délku jako ten delší, násobit reálným číslem opět člen po členu a také násobit mezi sebou každý člen s každým členem a následně sečíst koeficienty u stejných mocnin Polynomy můžeme také dělit, ovšem pouze částečně a se zbytkem 221 Definice Součet polynomů: Nechť P x = a n x n + + a 1 x + a 0 a Qx = b m x m + + b 1 x + b 0 jsou polynomy a nechť m n Položme b i = 0 pro i = m + 1,, n Součtem polynomů P x a Qx nazveme polynom P + Qx definovaný P + Qx = a n + b n x n + + a 1 + b 1 x + a 0 + b 0 = 222 Příklad P x = 2x 3 x 2 + 5, Qx = 3x 2 2x + 1 a i + b i x i P + Qx = 2x 3 x x 2 2x + 1 = 2x 3 x 2 + 0x x 3 + 3x 2 2x + 1 = = 2 + 0x x x = 2x 3 + 2x 2 2x + 6 Anna Kalousová: Úvod do algebry 13 1 října 2006

14 14 Kapitola 2 Polynomy 223 Pozorování Vlastnosti sčítání polynomů 1 Sčítání polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P + Q = Q + P 2 Sčítání polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že P + Q + R = P + Q + R 3 Nulový polynom je neutrální vzhledem ke sčítání, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P +O = P = O+P 4 Ke každému polynomu P existuje opačný polynom P takový, že platí P + P = O = P + P Důkaz Nechť P x = a i x i, Qx = b i x i, Rx = c i x i, pokud byly některé polynomy kratší, doplnili jsme je nulovými koeficienty 1 Sčítání reálných čísel je komutativní použijeme u druhé rovnosti, proto P + Qx = a i + b i x i = b i + a i x i = a i x i = Q + P x 2 Sčítání reálných čísel je asociativní použijeme u druhé rovnosti, proto P + Q + Rx = a i + b i + c i x i = a i + b i + c i x i = P + Q + Rx 3 Díky komutativitě stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P +O = P Nula je neutrální vzhledem ke sčítání reálných čísel, proto P + Ox = a i + 0x i = a i x i = P x 4 Položme P x = a i x i, kde a i je opačné číslo k číslu a i Opět stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P + P = O Zřejmě P + P x = a i + a i x i = a i a i x i = 0 x i = Ox 224 Poznámka Tyto čtyři vlastnosti jsou vlastně axiomy komutativní grupy, které byly uvedeny v definici 121 Množina polynomů s obvyklým sčítáním proto tvoří komutativní grupu Díky poslední vlastnosti můžeme také definovat odčítání polynomů jako přičítání opačného polynomu, tedy P Qx = P + Qx 225 Příklad P x = 2x 3 x 2 + 5, Qx = 3x 2 2x + 1 P Qx = 2x 3 x x 2 2x + 1 = 2x 3 x 2 + 0x x 3 3x 2 2x 1 = = 2 0x x x = 2x 3 4x 2 + 2x října Anna Kalousová: Úvod do algebry

15 22 Operace s polynomy Definice Násobení polynomu číslem: Nechť P x = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom, α reálné číslo α-násobkem polynomu P x nazveme polynom α P x definovaný 227 Příklad P x = 2x 3 x α P x = α a n x n + + α a 1 x + α a 0 = α a i x i 3 P x = 3 2x 3 x = 3 2x x = 6x 3 3x Pozorování Pro jakékoli polynomy P, Q a jakákoli reálná čísla α, β platí 1 α β P = αβ P 2 α + β P = α P + β P 3 α P + Q = α P + α Q 4 1 P = P 5 0 P = O Důkaz Nechť P x = a i x i, Qx = b i x i, pokud byl jeden z nich kratší, doplnili jsme jej nulovými koeficienty 1 Násobení reálných čísel je asociativní, proto α β P x = αβa i x i = αβa i x i = αβ 2 Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání, proto α+β P x = α+β a i x i = α a i +β a i x i = 3 Opět využijeme distributivity násobení reálnýchch čísel vzhledem ke sčítání α P +Qx = α a i +b i x i = α a i +α b i x i = 4 Číslo 1 je neutrální vzhledem k násobení, proto 1 P x = 1 a i x i = 5 Součin jakéhokoli reálného čísla s nulou je roven nule, proto 0 P x = 0 a i x i = a i x i = αβ P x α a i x i + β a i x i = α P +β P x α a i x i + α b i x i = α P +α Qx a i x i = P x 0 x i = Ox Anna Kalousová: Úvod do algebry 15 1 října 2006

16 16 Kapitola 2 Polynomy 229 Definice Součin polynomů: Nechť P x = a n x n + + a 1 x + a 0 a Qx = b m x m + + b 1 x + b 0 jsou polynomy Položme a i = 0 pro i = n + 1,, n + m a b i = 0 pro i = m + 1,, m + n Součinem polynomů P x a Qx nazveme polynom P Qx definovaný kde pro k = 0, 1, 2,, m + n je 2210 Příklad P x = 2x 2 + 5, Qx = x 2 P Qx = c m+n x m+n + + c 1 x + c 0 = c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 = c i x i, k a i b k i P Qx = 2x x 2 = 2x 3 + 5x + 4x 2 10 = 2x 3 4x 2 + 5x 10 To odpovídá i vzorci pro koeficienty c k, které jsou uvedeny v definici, neboť P x = 0x 3 + 2x 2 + 0x + 5, Qx = 0x 3 + 0x 2 + x 2 a tedy 2211 Pozorování Vlastnosti násobení polynomů c 0 = 5 2 = 10 c 1 = = 5 c 2 = = 4 c 3 = = 2 1 Násobení polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P Q = Q P 2 Násobení polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že P Q R = P Q R 3 Polynom Ex = 1 konstantní jednička je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P E = P = E P 4 Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že a P Q + R = P Q + P R b P + Q R = P R + Q R Důkaz Opět budeme využívat známých vlastností operací s reálnými čísly 1 Mějme polynomy označme potom platí m P x = a i x i a Qx = b i x i, S = P Q a T = Q P, s k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 = b 0 a k + b 1 a k b k 1 a 1 + b k a 0 = t k pro všechna k = 0, 1, 2,, m + n 2 Mějme polynomy označme m p P x = a i x i, Qx = b i x i a Rx = c i x i, U = P Q, V = Q R, S = P Q R = U R a T = P Q R = P V, 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry

17 22 Operace s polynomy 17 potom platí a tedy u j = a 0 b j + a 1 b j a j 1 b 1 + a j b 0, v j = b 0 c j + b 1 c j b j 1 c 1 + b j c 0 s k = u 0 c k + u 1 c k u k c 0 = a 0 b 0 c k + a 0 b 1 + a 1 b 0 c k a 0 b k + a 1 b k a k b 0 c 0 = = a 0 b 0 c k + b 1 c k b k c 0 + a 1 b 0 c k b k 1 c a k b 0 c 0 = a 0 v k + a 1 v k 1 + +a k v 0 = t k pro všechna k = 0, 1, 2,, m + n + p 3 Důkaz je zřejmý, neboť číslo 1 je neutrální vůči násobení reálných čísel 4 Díky komutativitě násobení polynomů stačí dokázat jen jednu rovnost Mějme polynomy m m P x = a i x i, Qx = b i x i a Rx = c i x i, které jsme opět doplnili na potřebnou délku, a označme S = P Q + R a T = P Q + P R, potom platí s k = a 0 b k + c k + a 1 b k 1 + c k a k 1 b 1 + c 1 + a k b 0 + c 0 = = a 0 b k + a 0 c k + a 1 b k 1 + a 1 c k a k 1 b 1 + a k 1 c 1 + a k b 0 + a k c 0 = = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 + a 0 c k + a 1 c k a k 1 c 1 + a k c 0 = t k, pro všechna k = 0, 1, 2,, m + n 2212 Poznámka S operací násobení polynomy netvoří grupu, protože není splněna podmínka existence inversních prvků Takovouto algebraickou strukturu nazýváme pologrupa Množina polynomů s obvyklým násobením tedy tvoří komutativní pologrupu Na množině polynomů jsme definovali dvě binární operace, sčítání a násobení Jsou spolu spojeny distributivními zákony Ale množina polynomů s těmito dvěma operacemi netvoří těleso, protože opět není splněna podmínka existence inversních prvků Takovéto algebraické struktuře říkáme okruh Množina polynomů s obvyklým sčítáním a násobením tedy tvoří komutativní okruh 2213 Pozorování Pro polynomy P, Q platí: 1 stp + Q max{st P, st Q} 2 stα P = st P pro α 0, st0 P = 1 3 stp Q = st P + st Q, pokud jsou oba polynomy nenulové, v opačném případě je stupeň roven 1 Důkaz Tvrzení je snad zřejmé 2214 Věta Dělení polynomů se zbytkem: Ke každým dvěma polynomům P a Q, kde polynom Q je nenulový, existují polynomy Y a Z takové, že Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně P = Y Q + Z a st Z < st Q Anna Kalousová: Úvod do algebry 17 1 října 2006

18 18 Kapitola 2 Polynomy Důkaz Dokážeme nejprve jednoznačnost polynomů Y částečný podíl a Z zbytek Důkaz provádíme sporem, to znamená, že budeme předpkládat, že existují dvě různé dvojice polynomů s požadovanými vlastnostmi Tedy předpokládáme, že existují polynomy Y 1, Y 2, Z 1, Z 2 takové, že Y 1 Y 2 nebo Z 1 Z 2 a st Z 1 < st Q, st Z 2 < st Q a P = Y 1 Q + Z 1, P = Y 2 Q + Z 2 Platí po úpravě dostaneme Podle pozorování 2213 je P = Y 1 Q + Z 1 = Y 2 Q + Z 2, Y 1 Y 2 Q = Z 2 Z 1 naproti tomu sty 1 Y 2 Q = sty 1 Y 2 + st Q st Q, pokud Y 1 Y 2, stz 2 Z 1 < st Q Z rovnosti polynomů ale podle definice 214 musí platit To je ovšem spor Musí tedy platit, že Y 1 = Y 2 Potom sty 1 Y 2 Q = stz 2 Z 1, Z 2 Z 1 = Y 1 Y 2 Q = 0 Q = 0, což znamená, že Z 1 = Z 2 A tím se dostáváme znovu ke sporu, tentokrát s předpokladem, že Y 1 Y 2 nebo Z 1 Z 2 Platí tedy, že částečný podíl i zbytek jsou určeny jednoznačně Existenci dokážeme indukcí podle stupně polynomu P x Nechť n = st P a m = st Q, P x = m a i x i a Qx = b i x i i=1 1 Pokud je polynom P x nulový, je zřejmě Y x = 0 a Zx = 0 Pokud je polynom P x konstantní, potom v případě, že Qx je také konstantní, je Y x = a0 b 0 a Zx = 0, v případě, že st Q 1, je Y x = 0 a Zx = a 0 2 Nyní dokážeme indukční krok Předpokládáme, že tvrzení platí pro všechna k < n a dokážeme, že tvrzení pak platí i pro n Rozlišíme dva případy a Pokud je n < m, je zřejmě Y = O a Z = P b Pokud je n m, položíme i=1 Rx = a n b m x n m a Sx = P R Qx Zřejmě P = S +R Q Protože st S < n, můžeme využít indukční předpoklad Existují tedy polynomy T a Z takové, že st Z < st Q a S = T Q + Z Dosadíme-li do předchozího vztahu, je P = S + R Q = T Q + Z + R Q = T + R Q + Z = Y Q + Z, položíme-li Y = T + R Tím je tvrzení dokázáno 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry

19 22 Operace s polynomy Existenci polynomů z předchozí věty můžeme také dokázat pomocí algoritmu pro dělení polynomů, který si teď popíšeme Mějme polynomy P x = m a i x i a Qx = b i x i a nechť st P = n, st Q = m 0 1 Položíme Y = 0, Z = P, k = st Z st Q a označíme a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z 2 Pokud k 0, položíme c = a/b m, Y = Y + cx k, Z = Z cx k Q, k = st Z st Q a označíme opět a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z Opakujeme, dokud je splněna podmínka 3 Pokud k < 0, výpočet ukončíme Pokud n < m, zastaví se algoritmus hned po prvním kroku, protože k < 0 Bude tedy Y = O a Z = P Pokud n m, sníží se při každém průchodu stupeň polynomu Z a tedy i k Tím máme zaručeno, že se výpočet po konečně mnoha krocích zastaví Zároveň v každém kroku platí, že P = Y Q + Z V okamžiku ukončení výpočtu je k < 0, tedy st Z < st Q 2216 Příklad Vydělte se zbytkem polynom P x polynomem Qx, jestliže P x = 2x 5 + x 4 + 3x 2 + x 2 a Qx = x 2 + 2x Nejprve položíme Y x = 0, Zx = P x = 2x 5 + x 4 + 3x 2 + x 2, k = st Z st Q = 3, a = 2 2 Protože k 0, položíme c = 2, Y x = 2x 3, Zx = 3x 4 2x 3 + 3x 2 + x 2, k = 2, a = 3 3 Protože k 0, položíme c = 3, Y x = 2x 3 3x 2, Zx = 4x 3 + 6x 2 + x 2, k = 1, a = 4 4 Protože k 0, položíme c = 4, Y x = 2x 3 3x 2 + 4x, Zx = 2x 2 3x 2, k = 0, a = 2 5 Protože k 0, položíme c = 2, Y x = 2x 3 3x 2 + 4x 2, Zx = x, k = 1, a = 1 6 Protože k < 0, výpočet ukončíme Platí tedy, že 2x 5 + x 4 + 3x 2 + x 2 = 2x 3 3x 2 + 4x 2 x 2 + 2x x Postup dělení obvykle zapisujeme způsobem, který znáte z mladšího školního věku, kdy jste se zbytkem dělili přirozená čísla Do prvního řádku napíšeme P x : Qx a za rovnítko napíšeme podíl členů s nejvyššími mocninami tedy to, co jsme označili cx k Pak potřebujeme od polynomu P x odečíst cx k Qx Pod polynom P x do druhého řádku proto napíšeme cx k Qx s opačnými znaménky Podtrhneme a odečteme Opět vydělíme členy s nejvyššími mocninami, vynásobíme a odečteme a stejně postupujeme i dále Vše bude jistě jasné z následujícího zápisu 2x 5 + x 4 + 3x 2 + x 2 : x 2 + 2x + 1 = 2x 3 3x 2 + 4x 2 2x 5 4x 4 2x 3 3x 4 2x 3 + 3x 2 + x 2 3x 4 + 6x 3 + 3x 2 4x 3 + 6x 2 + x 2 4x 3 8x 2 4x 2x 2 3x 2 2x 2 + 4x + 2 x V dalších příkladech už budeme jen zapisovat postup dělení nebudeme rozepisovat jednotlivé kroky podle popsaného algoritmu Anna Kalousová: Úvod do algebry 19 1 října 2006

20 20 Kapitola 2 Polynomy 2217 Příklady Polynomy vydělte se zbytkem 1 x 5 + 2x 4 + x 3 + 7x 2 + 4x 3 : x 2 + 2x 1 = x 3 + 2x + 3 x 5 2x 4 + x 3 2x 3 + 7x 2 + 4x 3 2x 3 4x 2 + 2x 3x 2 + 6x 3 3x 2 6x Zbytek je nulový, říkáme, že polynom x 5 + 2x 4 + x 3 + 7x 2 + 4x 3 je polynomem x 2 + 2x 1 dělitelný beze zbytku Platí x 5 + 2x 4 + x 3 + 7x 2 + 4x 3 = x 3 + 2x + 3 x 2 + 2x 1 2 3x 5 + 4x 4 2x 3 2x : x 3 2x + 1 = 3x 2 + 4x + 4 3x 5 + 6x 3 3x 2 4x 4 + 4x 3 5x x 4 + 8x 2 4x 4x 3 + 3x 2 4x + 3 4x 3 + 8x 4 Platí tedy, že 3x 2 + 4x 1 3x 5 + 4x 4 2x 3 2x = 3x 2 + 4x + 4 x 3 2x x 2 + 4x 1 3 3x 5 + 4x 4 2x 3 2x : 3x 2 + 4x + 4 = x 3 2x + 2 3x 5 4x 4 4x 3 6x 3 2x x 3 + 8x 2 + 8x Platí tedy, že 6x 2 + 8x + 3 6x 3 8x 8 5 3x 5 + 4x 4 2x 3 2x = x 3 2x + 1 3x 2 + 4x Z druhého a třetího příkladu je patrné, že záleží na tom, kterým polynomem dělíme Zbytek má mít totiž nižší stupeň než dělenec nikoli než podíl, proto když dělíme opačně můžeme dělit déle 23 Hornerovo schema Hornerovo schema umožňuje spočítat hodnotu polynomu pro nějaké reálné číslo s minimálním počtem násobení Zbytečné násobení totiž vede k časovým ztrátám a zatěžuje také výsledek větší chybou Nejprve zapíšeme polynom trochu jiným způsobem Platí totiž P x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = a n x n 1 + a n 1 x n a 2 x + a 1 x + a 0 = 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

STAROVĚKÁ ČÍNA. Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře

STAROVĚKÁ ČÍNA. Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře STAROVĚKÁ ČÍNA Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře (většina obyvatel zemědělci správné určení doby setby a sklizně obilnin nezbytné) velké a malé měsíce po 30 a 29 dnech

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

{ 4} 2.2.7 Krácení a rozšiřování zlomků. Předpoklady: 010217. Zlomky 1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ; 5. představují stejné číslo.

{ 4} 2.2.7 Krácení a rozšiřování zlomků. Předpoklady: 010217. Zlomky 1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ; 5. představují stejné číslo. ..7 Krácení a rozšiřování zlomků Předpoklady: 007 Zlomky ; ; ; 8 ; 0 ; 7 ; zlomky ; ; ; 8 ; zlomky ; ; ; 8 ; 0 ; představují stejné číslo. Říkáme: 0 ; 7 ; mají stejnou hodnotu, 7 ; se rovnají. Proč je

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více