Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
|
|
- Anna Kopecká
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů r, s, které dosazeny do uvedených rovnic určí týž bod. Pro r, s dostáváme rovnici ru - sv = B - A, kde A = (a 1, a, a 3 ), B = (b 1, b, b 3 ), u = (u 1, u, u 3 ) a v = (v 1, v, v 3 ). Dosadíme souřadnice a dostaneme soustavu tří rovnic o neznámých r, s ru 1 - sv 1 = b 1 - a 1 ru - sv = b - a ru 3 - sv 3 = b 3 - a 3. Označme h hodnost matice soustavy a h hodnost matice rozšířené. Pro přímky p, q pak nastane právě jedna z následujících možností: (1) Soustava nemá žádné řešení a vektory u, v jsou lineárně závislé (h = 1, h = ). Přímky p, q jsou rovnoběžné, různé. () Soustava nemá žádné řešení a vektory u, v jsou lineárně nezávislé (h =, h = 3). Přímky p, q jsou mimoběžné. (3) Soustava má právě jedno řešení, vektory u, v jsou pak lineárně nezávislé (h =, h = ). Přímky p, q jsou různoběžné. 160
2 (4) Soustava má nekonečně mnoho řešení. Pak jsou vektory u, v lineárně závislé (h = 1, h = 1). Přímky p, q jsou totožné. Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o vzájemné poloze přímek p: X = A + ru, q: Y = B + sv, jestliže a) A = (-1,, 1), u = (3, 1, -1), B = (9, 4, -10), v = (-9, -3, 3), b) A = (7, 5, 3), u = (3,, 1), B = (0, -1, -), v = (1,, 3). Řešení: a) Platí v = -3u, vektory u, v jsou lineárně závislé. Zjistíme, zda jsou přímky p, q totožné nebo rovnoběžné. Budeme proto hledat společné body přímek p, q. Soustava rovnic má tvar 3r + 9s = 10 r + 3s = r 3s = 11. Lze se snadno přesvědčit, že soustava nemá řešení a tedy přímky p, q jsou rovnoběžné, různé. b) Vektory u, v jsou lineárně nezávislé. Přímky p, q jsou různoběžky nebo mimoběžky. Nyní budeme řešit soustavu rovnic 3r s = 7 r s = 6 r 3s = 5. Soustava má jediné řešení r = -, s = 1. Existuje tedy jediný průsečík přímek p, q, bod R = (1, 1, 1). Přímky p, q jsou různoběžné. Výklad B. Vzájemná poloha dvou rovin 161
3 Pro dvě roviny může nastat právě jedna z následujících možností: (1) Roviny nemají žádné společné body, pak jsou rovnoběžné, různé. () Množina všech společných bodů obou rovin je přímka, tj. obě roviny jsou různoběžné. (3) Roviny jsou totožné. Předpokládejme, že roviny jsou dány vektorovými rovnicemi X = P + ka + lb, Y = Q + mc + nd, kde P = (p 1, p, p 3 ), Q = (q 1, q, q 3 ), a = (a 1, a, a 3 ), b = (b 1, b, b 3 ), c = (c 1, c, c 3 ) a d = (d 1, d, d 3 ). K získání společných bodů obou rovin budeme řešit rovnici P + ka + lb = Q + mc + nd s neznámými k, l, m, n. Dosadíme souřadnice a dostaneme soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých. ka1 + lb1 mc1 nd1 = q1 p1 ka + lb mc nd = q p ka + l b mc nd = q p Označíme h hodnost matice soustavy a h hodnost matice rozšířené. Mohou nastat případy: (1) h =, h = 3, soustava nemá řešení (roviny jsou rovnoběžné různé), () h = 3, h = 3, soustava má nekonečně mnoho řešení, která závisí na jednom parametru (roviny jsou různoběžné), (3) h =, h =, soustava má nekonečně mnoho řešení, která závisí na dvou parametrech (roviny jsou totožné). 16
4 Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o vzájemné poloze rovin: a) X = (1, 1, 1) + k(1, 0, ) + l(-, 1, 1), Y= (0,, -) + m(-1, 1, 3) + n(-3, 1, -1), b) X = (0, 0, 1), + k(1, 1, 0) + l(,, 1), Y = (7, 5, 5) + m(3,, ) + n(, 1, 1), c) X = (1, 1, 1) + k(, 0, 4) + l(-6, 3, 3), Y = (5, 1, 9) + m(1, -1, -3) + n(3, -1, 1). Řešení: a) Dostaneme soustavu rovnic: k l + m + 3n = 1 l m n = 1 k + l 3m + n = 3. Užijeme Gaussovu eliminační metodu: A B Úpravy r r r 5r
5 Je vidět, že soustava nemá řešení. Roviny jsou rovnoběžné různé. b) Postupujeme stejně jako v předchozím příkladu a ze soustavy k + l 3m n = 7 k + l m n = 5 l m n = 4, získáme soustavu k + l 3m n = 7 l m n = 4 m + n =. Platí h = h = 3. Nyní můžeme například n zvolit libovolně. Položíme n = t. Dostaneme řešení k = 1 + t, l = -t, m = - - t, n = t. Dosadíme toto řešení např. do rovnice první roviny: X = (0, 0, 1) + (1 + t)(1, 1, 0) + (-t)(,, 1), tj. X = (1, 1, 1) + t(-1, -1, -1). Tím jsme získali rovnici přímky, množiny všech společných bodů obou rovin. Obě roviny jsou různoběžné. c) Soustavu rovnic k 6l m 3n = 4 3l + m + n = 0 4k + 3l + 3m n = 8, upravíme na tvar k 6l m 3n = 4 3l + m + n = 0. Protože h = h =, můžeme dvě neznámé zvolit. Například k = r, l = s. Získáme řešení k = r, l = s, m = -r - 3s +, n = r - 3s -. Dosadíme toto řešení např. do rovnice první roviny: 164
6 X = (1, 1, 1) + r(, 0, 4) + s(-1, 6, 6). Je vidět, že množina všech společných bodů obou rovin je právě první rovina. Obě roviny jsou tedy totožné. Pokud budou roviny ρ 1, ρ dány obecnými rovnicemi ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = určíme jejich vzájemnou polohu takto: Označme h hodnost matice předcházející soustavy a h hodnost matice rozšířené. Potom platí: 0, 0, (1) Roviny ρ 1, ρ jsou rovnoběžné, různé právě tehdy, když h = 1, h =. () Roviny ρ 1, ρ jsou různoběžné právě tehdy, když h = h =. (3) Roviny ρ 1, ρ jsou totožné právě tehdy, když h = h = 1. C. Vzájemná poloha přímky a roviny Budeme postupovat stejně jako v předcházejících případech. Rovnice přímky a rovnice roviny určují soustavu lineárních rovnic a mohou nastat případy: (1) Soustava nemá řešení; přímka nemá s rovinou společný bod, je s rovinou rovnoběžná. () Soustava má právě jedno řešení; přímka je s rovinou různoběžná a má s ní společný právě jeden společný bod, průsečík. (3) Soustava má nekonečně mnoho řešení; přímka leží v rovině. 165
7 Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o vzájemné poloze přímky p: X = (3, 1, 3) + t(-1, -4, 3) a roviny ρ: x + y + 3z + 4 = 0. Řešení: Napíšeme parametrické rovnice přímky p: x = 3 t y = 1 4t z = t. Dosadíme do rovnice roviny: (3 - t) + (1-4t) + 3(3 + 3t) + 4 = 0. Po úpravě dostaneme 18 = 0. Rovnice nemá řešení, to znamená, že neexistuje společný bod přímky p a roviny ρ. Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ (v dané rovině neleží). Úlohy k samostatnému řešení 1. Určete vzájemnou polohu přímek p, q. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku: a) p: x = 1 + r, y = 7 + r, z = 5 + 4r, q: x = 6 + 3s, y = -1 - s, z = s, b) p: x = 1 + r, y = r, z = + r, q: x = -1 + s, y = - + s, z = s, c) p: x = 1 + r, y = r, z = 5 + 3r, q: x = 5s, y = - s, z = -1 + s, x y 4z + 5 = 0 d) p: q: 5x z + 3 = 0, 3x + 4y + 5z 3 = 0 3y + z 1 = 0, x + y + z + 1 = 0 e) p: q: x y z 1 = 0, y x + z 1 = 0 + y = 0, x + y 3z 1 = 0 f) p: x = 1 - t, y = 4-5t, z = -4-4t, q: 8x z + 3 = 0.. Pro jakou hodnotu čísla k jsou přímky p: x = - + r, y = -3r, z = 1 + 4r a q: x = 3 + ks,y = 1 + 4s, z = 7 + s různoběžné? 3. Zjistěte vzájemnou polohu rovin α, β a v případě, že jsou různoběžné, rozhodněte, zda jsou na sebe kolmé a určete parametrické rovnice přímky, v níž se roviny protínají: a) α: x - 3y + 5z - 7 = 0, β: x - 3y + 5z + 3 = 0, 166
8 b) α: 4x + y - 4z + = 0, β: x + y + z - 1 = 0, c) α: x - 3z + = 0, β: x = 3 + 3r, y = s, z = r, d) α: 3x - y - z - 5 = 0, β: x + 9y - 3z + = 0, e) α: x = 1 + r - s, y = 1 + s, z = 1 + p + q, β: x = -p -3q, y = + p + q, z = - + 3p - q, f) α: x = r + s, y = r + s, z = 1 + s, β: x = 7 + 3p + q, y = 5 + p + q, z = 5 + p + q, g) α: x = 1 + r - 6s, y = 1 + 3s, z = 1 + 4r + 3s, β: x = 5 + p + q, y = 1 - p - q, z = 9-3p + q, h) α: x - y + z = 3, β: x = 5 + r + s, y = r, z = s. 4. Určete čísla k, l tak, aby roviny α, β byly rovnoběžné: a) α: x + ky + 3z - 5 = 0, β: lx - 6y - 6z + = 0, b) α: 3x - y + kz - 9 = 0, β: x + ly + z - 3 = Určete číslo l tak, aby roviny α, β byly na sebe kolmé: a) α: 3x - 5y + lz - 3 = 0, β: x + 3y + z + 5 = 0, b) α: 5x + y - 3z - 3 = 0, β: x + ly - 3z + 1 = Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a roviny ρ. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. a) Přímka p je dána body A, B a rovina ρ body MNQ, A = (, 1, ), B = (3, 1, 3), M = (,, 1), N = (1,, ), Q = (3, 5, 3). b) Přímka p je dána body E = (3, 1, 3), F = (4, 5, 0) a rovina ρ: x + y + 3z + 4 = 0. c) p: x = 5t, y = 0, z = t, ρ: x = 3 + r + s, y = 1 - r + s, z = r - s. d) p: x = - + 3t, y = 1-4t, z = t, ρ: 4x - 3y - 6z - 5 = 0. e) p: x = 1 + t, y = -1 - t, z = 6t, ρ: x + 3y + z - 1 = 0. f) p: x = - - t, y = 1 + 3t, z = 3 + t, ρ: x + y - z + 6 = Pro které hodnoty k, l leží přímka p: x = 3 + 4t, y = 1-4t, z = -3 + t v rovině ρ: kx + y - 4z + l = 0? 8. Pro které hodnoty k, l je rovina ρ: kx + ly + 3z - 5 = 0 kolmá k přímce p: x = 3 + t, y = 5-3t, z = - - t? 9. Pro jakou hodnotu k je přímka p rovnoběžná s rovinou ρ: a) p: x = t, y = + kt, z = -3 - t, ρ: x - 3y + 6z + 7 = 0, 167
9 b) ρ: x - y + kz - = 0, p: 3x y + z + 3 = 0 4x 3y + 4z + 1 = 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení a) různoběžné, (-3, 5, -3), b) totožné, c) mimoběžné, d) různoběžné, ( 11, 13 11, 11 ), e) mimoběžné, f) rovnoběžné.. k = a) rovnoběžné, b) různoběžné, nejsou kolmé, p: x = -1 + t, y = - t, z = 1, c) rovnoběžné, d) různoběžné, kolmé, p: x = t, y = t, z = t. e) rovnoběžné, f) různoběžné, nejsou kolmé, p: x = 1 - t, y = 1 - t, z = 1 - t, g) totožné, h) různoběžné, nejsou kolmé, x = 7 + 4t, y = + 3t, z = t. 4. a) k = 3, l = -4, b) k = 3, l =. 5. a) l = 6, b) l = a) různoběžné, R = (1, 1, 1), b) rovnoběžné, c) totožné, d) rovnoběžné, e) různoběžné, R = (, -3, 6), f) totožné. 7. k = 3, l = k = -3, l = a) k = -3, b) k =
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
Analytická geometrie v prostoru
Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
Další polohové úlohy
5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Kolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
Euklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25
n 3 GeometrievÊ zvláštěvê Euklidovský prostor n Ê Norma, úhel vektorů, skalární a vektorový součin Parametrické rovnice přímky Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny. p.1/25 Euklidovskýprostor
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište
Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Libor Šindel, Oldřich Vlach
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Libor Šindel, Oldřich Vlach Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 1. století (reg. č. CZ.1.07/..00/07.033), na kterém se společně podílela Vysoká škola
Mongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek
Mongeovo zobrazení Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné totožné a = b Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
9. Soustava lineárních rovnic
@097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text