6.1 Systémy hromadné obsluhy

Transkript

1 6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov queueig theory), je matematicé rozracováí a aalyzováí systémů osytujících hromadou obsluhu ějaých zařízeí. Systém hromadé obsluhy je obsluhové zařízeí, osytující obsluhu určitého druhu. Do tohoto zařízeí vstuují záazíci, ožadující orétí obsluhu. Zde je uté odotout, že od ojmem záazíci se rozumí eje lidé, ale i eživé věci. Proto se taé ědy místo ojmu záazíci oužívá termí ožadavy a obsluhu. Po obsloužeí záazíci oouštějí systém hromadé obsluhy. Obsluhové zařízeí se může sládat z jedoho ebo více míst, a terých se osytuje orétí obsluha. Tato místa se azývají liy obsluhy. Systém hromadé obsluhy (SHO) je záladí teoreticý model ro realizaci obslužých rocesů. SHO je tvořeý obslužými aály, teré osytují obsluhu ožadavům, řicházejícím ve vstuím roudu. o uočeí obsluhy trvající staoveou dobu se aál uvolňuje a realizovaý ožadave odchází ve výstuím roudu. Poud v oamžiu říchodu ožadavu eí volý žádý aál, řadí se ožadave do froty. Obr. 6.: Systém hromadé obsluhy (A vstu ožadavů do systému, B odmítuté ožadavy, C realizovaé oložy) Systém hromadé doravy je vždy tvoře ásledujícími rvy: vstuí roud; frota; obslužé aály; výstuí roud. A) Podle vstuího roudu dělíme SHO ásledově: ) odle očtu ožadavů: a) omezeý b) eomezeý

2 ) odle ovahy: a) determiisticý b) stochasticý 3) odle druhu obsluhy: a) stejorodý všechy ožadavy ožadují stejý druh obsluhy; b) růzorodý ožadavy ožadují růzé druhy obsluhy; 4) odle říchodu: a) jedotlivě b) suiově 5) odle itezity vstuu: a) ostatí b) romělivá B) Podle druhu obsluhy: ) odle froty: a) ohraičeé b) eohraičeé ) odle doby zdržeí: a) omezeý b) eomezeý 3) odle zůsobu odchodu z froty: a) FIFO rvý říjde, rvý odejde b) LIFO osledí řijde, rvý odejde c) SIFO áhodé ořadí odchode d) PRI odle riorit (atributů) e) GE obecé řazeí froty 4) odle ředosti olože: a) slabé b) silé C) Vzhledem a síť SHO se dělí: a) aralelí řazeí b) sériové řazeí c) ombiovaé řazeí

3 D) Vzhledem a obsluhu se SHO dělí: ) odle ovahy doby obsluhy: a) determiisticý b) stochasticý ) odle itezity obsluhy: a) ostatí b) roměé 3) odle očtu aálů: a) roměý b) ostatí Při ávrhu SHO a sebe arážejí dva rotichůdé ožadavy: záazí chce čeat co ejratší dobu, což zameá co ejvětší aacitu; saha reduovat álady a miimalizovat očet obslužých aálů. 6.. Možosti aalyticého řešeí stochasticého systému hromadé obsluhy Předoládá se, že ravděodobost výsytu více ež jedoho ožadavu a obsluhu je v daém oamžiu ulová. Taové roudy ožadavů se ozačují jao ordiárí. Přitom se zavádí tzv. arametr roudu ožadavů (t). Proud ožadavů je stacioárí, je-li ost. Tz., že ravděodobost výsytu určitého očtu ožadavů v itervalu <t; t+ t> ezávisí a t, ale ouze a délce časového itervalu t. Dále budeme uvažovat ouze se stacioárími Marovovými rocesy. Pro matematicý ois systému hromadé obsluhy otřebujeme zát ásledující iformace: - iformace o říchodu záazíů - iformace o době obsluhy - iformace o očtu obsluhových lie - iformace o záazících, teří emohou být v době svého říchodu oamžitě obsloužei Podle výše uvedeých ritérií lze systémy hromadé obsluhy lasifiovat do ěolia ategorií. Nejoužívaější je tzv. Kedallova lasifiace systémů hromadé obsluhy. 6.. Kedallova lasifiace systémů hromadé obsluhy V této lasifiaci jsou systémy tříděy odle tří hlavích hledise: - tyu stochasticého rocesu oisujícího říchod ožadavů obsluze - záoa rozložeí dély obsluhy - očtu obsluhových lie, jež jsou záazíům disozici Iformace o těchto třech charateristiách je zaódováa ve tvaru

4 X/Y/, de a místě X a Y jsou velá ísmea a je řirozeé číslo (oř. symbol ), začící očet lie obsluhy. Výzam ísme X a Y je vysvětle v ásledující Tabulce. Tab. 6.: Charateristiy Kadallovy lasifiace. Písmeo M E K K N X Výzam, dosazeo za Poissoův roces říchodů, tj. exoeciálí rozložeí (avzájem ezávislých) itervalů mezi říchody Erlagovo rozložeí itervalů mezi říchody (s arametry a ) Rozložeí χ itervalů mezi říchody ( stuňů volosti) Y Exoeciálí rozložeí doby obsluhy Erlagovo rozložeí doby obsluhy (s arametry a ) Rozložeí χ doby obsluhy D Pravidelé determiisticé říchody Kostatí doba obsluhy Obecý říad žádé ředolady Obecé, tj. jaéoliv G o rocesu říchodů rozložeí doby obsluhy GI Reuretí roces říchodů - Dále se budeme zabývat ouze systémem M/M/, eboť teto systém odovídá ejčastěji řešeému roblému - ožadavy a obsluhu tvoří Poissoův roces, doba obsluhy má exoeciálí rozděleí a očet lie je Řešeí jedoduchého systému hromadé obsluhy tytu M/M/ Pro řešeí říladu ředoládejme, že máme disozici jedu frotu ro shromažďováí ožadavů obsluhy a dva obslužé aály s áhodými událostmi a vstuu a výstuu. Předoládejme, že doba obsluhy je ezávislá a očtu čeajících ožadavů. Čeající ožadavy jsou zracovávaé v ořadí v jaém řicházejí (FIFO). Pro řešeí těchto systémů oužíváme běžě teorie Marovovsých řechodů, teré odrobě řeší ařílad [Lida, 99], [Piata, 98]. Nejčastěji se říchod řídí exoeciálím rozděleím ravděodobosti s hustotou ravděodobosti: f t ( t) e ro t > Pro další výočet zavedeme další ozačeí a otřebé vztahy z [Lida,99]: očet obslužých aálů očet ožadavů v systému - středí itezita říchodu ožadavu a je to středí očet výzamých událostí, teré astaou za časovou jedotu t ravděodobost, že v době t až t+ t vstouí do froty ový ožadave, - středí itezita obsluhy je středí očet záazíů, teré je lia schoa obsloužit za časovou jedotu t ravděodobost, že obsluhovaý ožadave bude obsloužeý v době t až t+ t.

5 Podíl itezity říchodu ožadavu a itezity obsluhy ozačíme β. β. (6.) Doraví itezitu můžeme vyjádřit vztahem: Poud < je středí doba říchodu větší ež středí doba obsluhy a eoroste očet ožadavů ve frotě, o taovémto systému můžeme říci že je stabilizovaý. Pro další výočty je uto staovit ravděodobost, že v systému eí žádý ožadave ( ): β +!! Pravděodobost, že v systému je ožadavů, dy latí β!, je možo staovit ( ) ( ). (6.4) v říadě, že v systému je rávě ožadavů () je ravděodobost tohoto stavu: (6.5) Teto stav je možo charaterizovat jao ravděodobost toho, že říchozí ožadave ebude muset čeat ve frotě. Pa můžeme vyjádřit záladí statisticé arametry systému hromadé obsluhy M/M/. Středí očet obsazeých lie obsluhy: ν β (6.6) Průměrý očet ožadavů ve frotě: Q (6.7) ( ) Průměrý očet ožadavů v systému: L Q +ν (6.8) Průměrá doba čeáí ve frotě: EW (6.9) Průměrá doba obytu v systému: ER EW + (6.) (6.) (6.3)

6 6..4 Přílad řešeí stochasticého systému hromadé obsluhy tyu M/M/ Zadáí: K čerací staici ohoých hmot se dvěmi stojay řijíždí aždých 8 seud jede automobil. Doba obsluhy jedoho automobilu trvá růměrě,5 miuty. Za ředoladu, že říchody záazíů tvoří Poissoův roces, vyočtěte: - ravděodobost, že u čerací staice ebude žádý automobil, - ravděodobost, že u čerací staice budou rávě automobily, - středí očet automobilů čeajících ve frotě, - středí očet obsazeých stojaů, - středí rostoj jedoho automobilu ve frotě, - středí dobu, terou stráví řidič jedoho automobilu u čerací staice, Vyočtěte všechy uvedeé veličiy ro říad zdvojásobeí očtu stojaů ze a 4 a výsledy avzájem orovejte. Řešeí: Určeí :. středí očet automobilů za hodiu Určeí : středí očet záazíů, teré je lia schoa obsloužit za hodiu 6 4 4,5,5 6 Určeí β: β [] 4 Určeí : vyhovuje odmíce stabilizace systému [], Pravděodobost, že u čerací staice ebude žádý automobil, vyočteme odle (6.3): β +!! + + 4! 48 48,33 Pravděodobost, že u čerací staice budou dva automobily, vyočteme odle (6.4): []

7 β.! o 4!,33,567 [] Pravděodobost, že automobil, terý řijede čerací staici, bude muset čeat, vyočteme odle (6.5):,567.,97 [] 48 Středí očet automobilů, čeajících ve frotě vyočteme odle (6.7):,9375 Q,498 3,6 [] ( ) (,9375) Středí očet obsazeých stojaů u čerací staice (tj. očtu obsluhovaých) vyočteme odle (6.6): ν β,87 [] 4 Středí očet automobilů u čerací staice celem vyočteme odle (6.8): L γ + ν 3,6 +,87 5,48 [] Středí rostoj jedoho automobilu ve frotě se vyočte odle (6.9):,97 EW, 3 h.4 Středí doba ER, terou stráví jede záazí v systému, se vyočte odle (6.): ER EW +,3 +, 344 h 4 Výsledy ro říad zdvojásobeí očtu stojaů u čerací staice jsou v ásledující tabulce Tab. 6., de je očet stojaů (tj. obsluhových lie). Tab. 6.: Výsledy říladu. Q ν L EW ER,94,3,57 3,6,88 5,5,3,344 4,47,49,93,,88,3, K obdobým výsledů je možo dosět omocí hodot, teré jsou výsledem simulačího exerimetu, terý je ostave a modelu systému hromadé obsluhy se stejými arametry a s ostuy osaými v ásledujícím textu.