FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu (reg. č. CZ..7/2.2./28.2) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smk@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 2 N = {,2,3,4,5...} - přirozená čísla Z = {..., 2,,,,2,...} { }- celá čísla Q = p q : p Z,q Z {} - racionální čísla (lze je zapsat pomocí zlomku) I = R Q - iracionální čísla (nelze je zapsat pomocí zlomku) R = Q I - reálná čísla C = {a+bi : a,b R} - komplení čísla Číselné množin (obor) Funkce DEFINICE (Funkce). Funkce f je předpis, který každému z nějaké množin D přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu D nazýváme definiční obor funkce f. Označujeme ho D(f). Množina všech R, ke kterým eistuje R tak, že [,] f, se nazývá obor hodnot funkce f. Označujeme ho H(f). D(f) se nazývá argument funkce f. H(f) se nazývá hodnota funkce f. Zapisujeme f() =. DEFINICE (Graf funkce). Množina všech bodů [,] v rovině takových, že D(f) a H(f), se nazývá graf funkce f. Lineární funkce: = a+b, kde a,b R Základní elementární funkce = 2+ = 2 =

3 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 3 Kvadratická funkce: = 2 = 2 3 = = ( ) Mocninné funkce: = n, kde n Z {,} = n = n, kde n N {} = 3 =. 5 = 2 =. 4 = = / = 3 = /. 3

4 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 4 = 2 = / 2 = /2 = = 4 = /. 4 Logaritmická funkce: = log a, kde a (,) nebo a (, ) = log,2 = log 3 = log = log = log a = log a = ln = log e a (,) a (, )

5 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 5 Eponenciální funkce: = a, kde a (,) nebo a (, ) =,5 = 2 = a = a = e = 2,7... a (,) a (, ) Goniometrické funkce: = sin, = cos, = tg, = cotg = sin = cos

6 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 6 = tan = cot Cklometrické funkce: = arcsin, = arccos, = arctg, = arccotg = arcsin = arccos /2 /2

7 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 7 /2 = arctan = arccot /2 Vlastnosti funkce Definiční obor Obor hodnot Znaménko funkce, neboli kde je funkce nad osou a kde je pod osou, neboli kde je funkce kladná a kde záporná. Průsečík s osou a osou Prostota Parita - sudá, lichá, ani jedno, obojí Ohraničenost Monotónnost - kde roste a kde klesá Konvenost, konkávnost - zakřivení funkce Periodičnost Graf

8 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 8 Definiční obor. Výpočtem z předpisu - všechna čísla, která lze za dosadit. Problémové funkce jsou:. = = 2. = = 3. = log a, = ln = > 4. = tg = 2, 2, = cotg =,, = arcsin =, 7. = arccos =, Cvičení. Určete definiční obor funkce:. = = = log( 6) 4. = arcsin 3 5. = arccos ( 2 3) 6. = ln(+7) = arcsin 3 Obor hodnot. Z grafu. Znaménko funkce a průsečík s osami. Výpočtem z předpisu - f() > = kladná, f() < = záporná. Průsečík s osou = =, průsečík s osou = =. DEFINICE (Prostá funkce). Funkce f je na D(f) prostá, jestliže pro všechna, 2 D(f), kde 2, platí f( ) f( 2 ). (Žádná dvě různá nemají stejné. Je-li funkce prostá, pak každá přímka rovnoběžná s osou protíná graf funkce maimálně v jednom bodě.) DEFINICE (Parita). Funkce f je sudá, jestliže pro každé D(f) platí: (Graf sudé funkce je osově souměrný podle os.) D(f) a f() = f( ).

9 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 9 Funkce f je lichá, jestliže pro každé D(f) platí: (Graf liché funkce je středově souměrný podle bodu [,].) D(f) a f() = f( ). Cvičení 2. Určete znaménko funkce, průsečík s osami a zjistěte paritu funkce:. = = 3 3. = = 2 5. = e 2 + DEFINICE (Ohraničenost). Funkce f je na D(f) zdola ohraničená, jestliže eistuje d R takové, že f() d pro každé D(f). (Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje přímka rovnoběžná s osou taková, že graf funkce leží nad touto přímkou.) shora ohraničená, jestliže eistuje h R takové, že f() h pro každé D(f). (Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje přímka rovnoběžná s osou taková, že graf funkce leží pod touto přímkou.) ohraničená, jestliže je ohraničená zdola i shora. (Je-li funkce ohraničená, graf funkce leží mezi dvěma přímkami rovnoběžnými s osou.) DEFINICE (Monotónnost). Funkce f je na množině M D(f) rostoucí, právě kdž pro každá dvě, 2 M platí: klesající, právě kdž pro každá dvě, 2 M platí: nerostoucí, právě kdž pro každá dvě, 2 M platí: neklesající, právě kdž pro každá dvě, 2 M platí: < 2 f( ) < f( 2 ) < 2 f( ) > f( 2 ) < 2 f( ) f( 2 ) < 2 f( ) f( 2 ) Konvenost, konkávnost. Viz přednáška Užití derivací, průběh funkce. DEFINICE (Periodičnost). Nechť p R, p >. Funkce f je periodická s periodou p, jestliže pro každé D(f) platí ±p D(f) a f(+p) = f() = f( p).

10 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm (Graf periodické funkce se vznačuje tak, že se úsek délk p stále opakuje.) Graf. Jak funkce vpadá. Operace s funkcemi, funkce složená Funkce můžeme sčítat, odčítat, násobit a dělit. Vznikne tak například funkce polnom a racionálně lomená funkce. DEFINICE (Polnom neboli mnohočlen). Funkce = P n () = a n +a n +a 2 n 2 + +a n +a n, kde a,a,...,a n R,a, se nazývá polnom stupně n. Čísla a,...,a n se nazývají koeficient polnomu a a n se nazývá absolutní člen. Příklad.. = 6 = 6...polnom stupně (konstantní funkce) 2. = 2 = 2...polnom stupně (lineární funkce) 3. = polnom stupně 2 (kvadratická funkce) DEFINICE (Racionální lomená funkce - podíl dvou polnomů). Funkce = P n() Q m (), kde P n () je polnom stupně n a Q m () polnom stupně m, se nazývá racionální lomená funkce. Je-li n < m, pak se funkce nazývá rze lomená. Je-li n m, pak se funkce nazývá nerze lomená a můžeme provést dělení. Cvičení 3. Rozhodněte, zda je funkce rze nebo nerze lomená. U nerze lomených funkcí následně proveďte dělení polnomu polnomem:. = = (Pozor, nejdříve seřadit člen obou polnomů od největšího stupně po nejmenší!) = Funkce můžeme skládat. Dosazením libovolné elementární funkce za argument jiné funkce vzniká funkce složená.

11 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm DEFINICE (Složená funkce). Nechť f, g jsou dvě funkce. Složenou funkcí g f (čteme g po f ) rozumíme funkci definovanou předpisem (g f)() = g(f()), kde D(f) a f() D(g). Funkce f se nazývá vnitřní složka a g vnější složka složené funkce g f. Složená funkce může mít více složek, např. (h g f)() = h(g(f())). Příklad. Rozložte složené funkce na jednotlivé složk:. = sin 2 = (sin) 2 g = () 2 je vnější a f = sin je vnitřní složka 2. = log cos 2 = log(cos(2)) h = log g je vnější složka, g = cos f je prostřední složka a f = 2 je vnitřní složka 3. = e + h = g vnější, g = e f prostřední a f = + vnitřní Funkce inverzní k dané funkci DEFINICE (Inverzní funkce). Nechť f je prostá funkce. Funkce f se nazývá funkce inverzní k funkci f. Funkci f získáme tak, že ve všech uspořádaných dvojicích [,] f zaměníme jejich složk, tzn. že platí D(f) = H(f ) a H(f) = D(f ). Graf funkcí f a f jsou osově souměrné podle přímk = (osa. a 3. kvadrantu). Výpočet inverzní funkce f () z předpisu f(): V zadání funkce = f() zaměníme za a současně za. Následně vjádříme proměnnou. A to je naše hledaná inverzní funkce. Cvičení 4. Určete inverzní funkci k funkcím:. = = log 5 3. = e = = sin

12 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojm 2 = e = = = = sin = /2 /2 = ln = log = arcsin = cos = = tan = = cot = = arccos = arctan = arccot