U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny dvě pevné desky

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny dvě pevné desky"

Bohumila Dušková
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Analtcké řešení enoroměrného roění newtonské kaaln vě evné esk Jenoroměrné roění newtonské kaaln v meeře me věma evným eskam vlvem tlakového raent - v obr. se akresleným voleným sstémem kartéských sořanc. Obr. Dvě evné esk Analtcké řešení roění se obecně ro akýkolv t kaaln (newtonská newtonská mocnnná bnhamská...) íská řešením Cachho rovnce a říslšné konstttvní rovnce kaaln. V říaě newtonské kaaln le řešení ískat tímto ůsobem nebo řešením Naver Stokesov rovnce která vnkne soením Cachov rovnce a Newtonova ákona konstttvní rovnce ro newtonsko kaaln. Je reentováno ovoení řešením Naver Stokesov rovnce. Obecný ost řešení Cachho rovnce a říslšné konstttvní rovnce e obobné ost veeného v materál Analtcké řešení enoroměrného roění newtonské kaaln evná a ohblvá eska. A. Řešení Naver Stokesov rovnce. Přeokla Desk voorovné nekonečných roměrů (válenost esek ). Časově stálené roění. Nestlačtelná newtonská kaalna. Iotermní roění konst. konst. Jenoroměrné roění. Proění v ravtačním ol. Proění vlvem tlakového raent ; ( ) ( ).. Rovnce smbolcký ás K soc so násleící rovnce (ožt rovnce římo ro nestlačtelné roění): Rovnce kontnt: t ro ané řeokla: (A ) ( ) (A ) Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk

2 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk Naver Stokesova rovnce: f t (A 3) ro ané řeokla: ( ) (A 4) Pon. Př neotermním roění k rovncím ále řste transortní rovnce ro řenos tela a telotní ávslost enotlvých fkálních velčn. 3. Rovnce složkový ás Přes rovnc v smbolckém ás o složkového v návo Tenor áklaní úrav. Rovnce kontnt: (A 5) (A 6) Naver Stokesova rovnce: (A 7) Složka : (A 8a) Složka : (A 8b) Složka : (A 8c) 4. Analýa enotlvých členů rovnc Analýa a sohrn toho co víme a čem můžeme něco říc. 4. Složk vektor rchlost Jenoroměrné roění ve směr os (v obr. ) : ) ( f nekonečné esk na sořanc nemůže ávset ) ( f (A 9a) ) ( (A 9b)

3 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae h( ) (A 9c) 4. První arcální ervace rchlost Vhleem k (A-9) arcální ervace so: (A a)? (A a) (A a) (A b)? (A b) (A b) (A c) (A c) (A c) O arcálních ervacích / a / v tomto okamžk neokážeme říc více. Z rovnce kontnt o osaení (v (A-9)) stíme že: / na sořanc nemůže ávset ávsí oe na sořanc : f (). Parcální ervace rchlost so te: (A 3a) (A 3b) 4.3 Drhé arcální ervace rchlost Vhleem k (A-9) a (A-) (A-) a (A-3) rhé arcální ervace so: (A 4a) (A 5a) (A 6a) 4.4 Tlakový raent (A 4b) (A 5b) (A 6b) (A 3c) (A 4c) (A 5c) (A 6c) (A 7) Proění vlvem tlakového raent ; ( ) ( ). O složkách / a / vektor v tomto okamžk neokážeme říc více. Ncméně vhleem k řeoklaům b složka / měla být rovna nle. Neboť ok b nebla roění b mohlo být ovlvňováno ve směr os. 4.5 Vektor ravtačního rchlení Proění v ravtačním ol Země ( 98 m/s ) esk voorovné (A 8a) (A 8b) (A 8c) 5. Dosaení o rovnc Dosaíme a ravíme rovnce s ohleem na (A-9) (A-) res. (A-3) (A-) (A-) (A- 4) (A-5) (A-6)(A-7) a (A-8): Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 3

4 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 4 Rovnce kontnt: (A 9) Naver - Stokesova rovnce: Soením (A-8) (A-) (A-) (A-3) (A-4) (A-5) (A-6) (A-7) a (A-8): Složka : (A a) Složka : (A b) Složka : (A c) Konvektvní složka setrvačných sl ( " ) e ík své nelneartě říčno roč nele Naver Stokesov rovnc (t. Cachho rovnc) obecně analtck řešt. Všmněme s že a řeokla enoroměrného roění (D) v rovncích (A-) vmí konvektvní část setrvačných sl (levá strana rovnc) a ík tom sme schon v tomto secálním říaě ískat analtcké řešení. V říaě tříroměrného roění (3D) nař. trblentního roění e možné rovnce řešt oe nmerck k se roblém vvolávané konvektvní složko setrvačných sl snažíme vřešt více č méně úsěšně omocí nerůněších moelů trblence. 6. Řešení rovnc 6. Řešené rovnce Naver - Stokesova rovnce: Složka : (A a) Složka : (A b) Složka : (A c) Z Naver - Stokesov rovnce ro složk (A-c) vlývá že / což blo ohaováno a e v sola s očekáváním.

5 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae 6. Řešení rovnc 6.. Naver - Stokesova rovnce - složka res. (A ) V tomto říaě nele enoše nterovat metoo searace roměnných ík řítomnost ervací ole vo růných roměnných. K řešení le oít násleícím věma úvaham. Úvaha : Pok e ervace / nenlová (což ak víme e ; v (A-7)) ak msí být fnkcí. Pok e ervace / nenlová (což ak víme e ; v (A-4b)) ak msí být fnkcí. Pok s maí být rovn vě arcální ervace kažá ole růné roměnné ak nemoho být rovn něaké fnkc která b bla fnkcí roměnných obě ervace msí být rovn konstantě. Rovnc (A-) le te řesat: a K K (A 3a) (A 3b) Rovnce (A-) se tím roane na vě rovnce (kažá obsahící ervac ole ené roměnné možnost enoše nterovat metoo searace roměnných) které se vřeší oěleně: (A 4a) K K K K (A 5a) (A 4b) nterací: K C nterací: (A 5b) (A 4c) (A 5c) K C C C C ke C C so nterační konstant. (A 6) Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 5

6 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 6 Určení nteračních konstant Pro rčení vo nteračních konstant C C e otřeba nát vě okraové omínk vě honot rchlost na eskách nebo v ro. Známe oe na obo eskách: OP : C - (/)..( - )/( - ) OP : osaením OP o (A-6): C Dosaením nteračních konstant o (A-6): [ ] (A 7a) Jelkož ro roění ve směr os msí být > le (A-7a) řesat:. (A 7b) Úvaha :. Zervme (A-) le :. konst (A 8a). Zaměňme ořaí ervací (A 8b) 3. Jelkož arcální ervace / (A 3a) K (A 8c) 4. Tím áem ro rovnc (A-) msí latt: K (A 8) a K. (A 8e) 5. Řešení rovnc (A-7) a (A-7e) Další ost t. řešení rovnc (A-7) a (A-7e) stené ako v řechoí úvae. Řešení: Rchlostní rofl : rchlostní rofl e arabolcký ; mamální rchlost v ose štěrbn (A 9) ro ( ) ( ) ke < a >.

7 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 7 Profl namckého naětí Řešením Naver Stokesov rovnce ískáme rchlostní rofl. Profl namckého naětí se íská ětným osaením vřešeného rchlostního rofl o konstttvní rovnce t. v aném říaě o Newtonova ákona: tr δ τ ) ( 3 (A 3) res. ro ané řeokla: (nestlačtelná kaalna) τ (A 3) ke tenor rchlost eformace e efnován (smetrcká část tenor ): ( ) [ ] T (A 3) Pon. Vhleem k tom že tenor namckých naětí e smetrcký tenor e tenor namckých naětí smetrcký t. má oe má oe 6 neávslých složek. Složkově: τ (A 33) ke složk tenor rchlost eformace so efnován T (A 34) Tenor rchlost eformace e smetrcký tenor ; má oe 6 neávslých složek: t. (A 35a) (A 35) (A 35b) (A 35e) (A 35c) (A 35f) Dosaíme arcální ervace rchlost t. (A-) (A-) a (A-3). Protože ená nenlová arcální ervace rchlost e arcální ervace / stíme že e oe ená nenlová složka tenor rchlost eformace: (A 36) a te oe ena nenlová složka tenor namckých naětí (vhleem k smetr): τ τ. (A 37) Váří se arcální ervace / ervací rchlostního rofl (A-9) nebo osaením nterační konstant C o (A-5b) a osaením o (A-37) se íská rofl namckého naětí:

8 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae τ ( ) [ ] rofl namckého naětí e lneární ; nlové naětí v ose štěrbn (A 38) Vtah (A-9) a (A-38) bl ovoen mmo né a řeokla vo nekonečných esek a řesně vato latí oe a en ro nekonečné esk. Avšak v říaě konečných esek konečných roměrů k roměr esek >>> meera me eskam s můžeme ovolt tto konečné esk ovažovat a nekonečné a ožít ro os rchlostního rofl a rofl namckého naětí vtah (A-9) a (A-38). Samořemě na okraích esk toto nelatí e so rofl ovlvněn okraem a e e 3D roění avšak vhleem k váemným roměrům esek a meer me eskam e ůsobená chba anebatelná. V říaě konečných esek o šířce B a élce k B >>> le ále vočítat: Obemový růtok kaaln meero o růře S B. : V# S S B B S Stření rchlost tok kaaln růřeem S B. V# S S B 6.. Naver Stokesova rovnce - složka nterací (metoo searace roměnných): 3 B (A 39) (A 4) (A 4) C 3 (A 4) vhleem k (A-8b) ak: C 3 (A 43) Určení nterační konstant Pro rčení nterační konstant C 3 e otřeba nát en okraovo omínk honot tlak esek nebo v ro. OP : osaením OP o (A-43): C 3 Řešení: Tlakový rofl ( ) tlakový rofl e lneární (A 44) Rovnce (A-44) e rovnce hrostatk ; ose růběh hrostatckého tlak v meeře. Vhleem k obvklým roměrům meer a tlakovém raent / e měna hrostatckého tlak anebatelná a ř výočtech se nevaže. Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 8

9 U8 Ústav rocesní a racovatelské technk FS ČVUT v Prae Obr. Dvě evné esk řešení 7. Ověření řeokla enoroměrného roění Přeokla enoroměrného roění e slněn e l roění lamnární. Za e roění lamnární nebo trblentní se rčí le honot Renolsova čísla. V říaě nekrhového rofl e Renolsovo číslo efnováno le: h Re h h ν ke : h hralcký růměr stření rchlost ν knematcká vskota - namcká vskota hstota. (A 45) Režm tok: lamnární roění Re h < 3 ; trblentní roění 3 < Re h Rovnná štěrbna: ralcký růměr: h (A 46a) Stření rchlost: (A 46b) Renolsovo číslo: (A 46c) Reh ν B. Techncká alkace Tlakové roění rovnno štěrbno. Přblžné řešení ro tlakové aální roění v trbce mekrhového růře. Raek Šlc 3/v Analtcké řešení roění newtonské kaaln vě evné esk 9

Podobné dokumenty

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze U8 Ústav procesní a pracovatelské technik FS ČVUT v Prae Seminář PHTH 3. ročník Faklta strojní ČVUT v Prae U8 - Ústav procesní a pracovatelské technik Seminář PHTH Hbnost U8 Ústav procesní a pracovatelské