Průřezové charakteristiky

Transkript

1 Stavení statka, ročník akalářskéo stua Průřeové carakterstky ěžště složenýc oraců omogenníc průřeů Kvaratcké momenty áklaníc průřeů Kvaratcké momenty složenýc průřeů ěžště složenýc oraců neomogenníc průřeů Katera stavení mecanky Fakulta stavení, VŠB - ecncká unverta Ostrava

2 Průřey prutovýc konstrukčníc prvků Návr a posuek eformovatelnýc prutů vyžauje tv geometrcké (průřeové) carakterstky průřeu, které jsou neytné pro efnování tuost prutu: Ploca průřeu Statcké momenty S a S průřeu k momentovým osám a Souřance, těžště průřeu Momenty setrvačnost, k osám, -Centrální momenty setrvačnost -Hlavní centrální momenty setrvačnost Devační moment D k osám, Poloměr setrvačnost, k osám, Přepokla: průře omogenní (stejnoroý), fktvní měrná tía γ (e fykálnío roměru)

3 Geometrcký pops prutu, ealace F F F F F Osa prutu (přímý prut), přípaně střence prutu (přímý akřvený prut) Průře prutu o ploše a +y + + l ěžště průřeu Statcké scéma: statcký moel nosné konstrukce P P a R a R a l R

4 ěžště Fykální výnam těžště: a) motný o se soustřeěnou motností útvaru ) o, ve kterém le motný útvar vystavený tíe poepřít prot posunutí anž y ocáelo k rotac ěžště je cápáno jako statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl v prostoru č rovně, které tvoří vlastní tíy elementů motnéo útvaru ěžnce osa procáející těžštěm

5 ěžště rovnnéo omogennío složenéo orace Složený rovnný oraec ( lomená čára neo složený plošný oraec) vnká spojením několka (oecně n,,, n) jenoucýc rovnnýc oraců (prvků) v téže rovně, u kterýc umíme určt polou těžště a áklaní geometrcké carakterstky (úsečka, kru ) Postup: a) Složený oraec umístt o pravoúlé souřancové soustavy (výoný je počátek v levém orním rou orace) ) Roělt složený oraec na ílčí jenoucé orace c) Pro kažý oraec určt souřance a jeo těžště ) Pro kažý oraec spočítat tíovou fktvní sílu P Honota P opovíá élce ílčí čáry l neo velkost ílčí plocy e) Zavést fktvní síly P o těžště nejprve rovnoěžně s osou, poté s osou f) Určt výslenc tíovýc sl: R l, R g) Určt statcký stře soustavy těcto rovnoěžnýc sl (Vargnonova věta) Souřance statckéo střeu této soustavy souřance těžště složenéo orace Např: -ovou souřanc těžště určíme rovnost statckéo momentu tíové síly k ose - S S R ( P ) P S neol S P P 5

6 Příkla ěžště složenéo orace íová síla ~ Ploca P,0 m P 8,0 m Celková ploca P m P 5 0,0 m 6

7 Příkla -ěžště složenéo orace : -ová souřance ,5,5 m 7

8 Příkla -ěžště složenéo orace : -ová souřance 0, ,9 m 8

9 9 ěžště složenýc oraců s otvory a výřey Zvláštní přípa složenýc oraců s otvory (s oslaením) neo s výřey (otvory souseící s orysem orace) Výpočet: Jenotlvé orace považovat a samostatné prvky e otvorů, otvory považovat a alší prvky se ápornou plocou (tíové síly opačně orentované) + +

10 Kvaratcké momenty rovnnýc oraců Moment setrvačnost (vžy klaný) kvaratcký moment plocy, vtažený k jené ose Defnuje tuost prutu k ané ose Devační moment (klaný č áporný) kvaratcký moment plocy vtažený ke věma vájemně kolmým osám Součn vou souřanc, ávsí na jejc naménkác D Ponámka: pro přípay jenoose neo vouose symetrckýc průřeů je D vtažený k těžštním osám D 0 (ůka v ále) Polární moment (vžy klaný) kvaratcký moment plocy vtažený k jenomu ou pólu (v ále) Osy setrvačnost: Osy (tay, ), ke kterým jsou kvaratcké momenty vtaženy K výklau kvaratckýc momentů Roměr (jenotka) [élka ], pravla m neo mm 0

11 Centrální kvaratcké momenty rovnnýc oraců a centrální osy setrvačnost Momenty setrvačnost a evační moment možno počítat k lovolným vájemně kolmým osám - posunutým neo natočeným vleem k počátku Ve stavení mecance jsou ůležté kvaratcké momenty anéo orace (průřeu), které jsou vtaženy k jeo těžštním osám Jená se o centrální kvaratcké momenty (centrální momenty setrvačnost a centrální evační momenty) ěžštní osy se tuíž naývají centrální osy setrvačnost t t D, t Centrální moment setrvačnost rovnnéo orace je nejmenší momentů setrvačnost anéo orace vtaženýc k rovnoěžně posunutým osám

12 Centrální kvaratcké momenty oélníku, 0 t t D O Zvoleno: Výpočet centrálníc momentů setrvačnost: t t Ooně: 0 D Důka nulovéo evačnío momentu symetrckéo průřeu: Poor: tyto vtay platí pro oélník uloženéo le oráku (tv nastojato) t

13 Centrální kvaratcké momenty oélníku, 0 t t D O Zvoleno: Výpočet centrálníc momentů setrvačnost: 8 8 t + t Ooně: 0 / D t o t Důka nulovéo evačnío momentu symetrckéo průřeu : Oélník otočený o 90 : Pomůcka: ve vtaíc pro výpočet centrálníc momentů setrvačnost oélníku je mocněn na třetí vžy roměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnost t

14 Kvaratcké momenty oélníku k rovnoěžně posunutým osám Zvoleno: O [, ] c, o + c t D D t + c t + t c c vertkální rameno těžště válenost posunuté osy o osy těžštní t orontální rameno těžště válenost posunuté osy o osy těžštní Stenerova věta t Moment setrvačnost rovnnéo orace k lovolné (mmotěžštní) ose je roven momentu setrvačnost k rovnoěžné s těžštní osou většenému o součn plošnéo osau a čtverce válenost oou os

15 Kvaratcké momenty oélníku k rovnoěžně posunutým osám Zvoleno: O [, ] c, o Stenerova věta + c + t + + t > t > t c t D D t + c 0 + Důka: t c vertkální rameno těžště - válenost posunuté osy o osy těžštní orontální rameno těžště - válenost posunuté osy o osy těžštní ( 0) Využtí: kvaratcké momenty složenýc průřeů t > t stejným půsoem okažte pro t 5

16 Centrální kvaratcké momenty áklaníc oraců (v taulky) D 0 D 0 a a a a D 0 r πr πr π 6 D 0 6

17 Centrální kvaratcké momenty válcovánýc proflů Nepočítají se - v taulky V taulkác jsou uveeny: motnost průřeu na jenotku élky, potřené geometrcké roměry a průřeové carakterstky průřeů Honoty jsou vtaženy k osám y- (v rovně y- více v přemětu Pružnost a plastcta) 7

18 Centrální kvaratcké momenty válcovánýc U proflů Poku uete v přemětu Stavení statka počítat průřeové carakterstky složenýc válcovanýc průřeů, uou áklaní taulkové onoty aané 8

19 Centrální kvaratcké momenty složenýc průřeů Postup výpočtu: Využtí kvaratckýc momentů k rovnoěžně posunutým osám a) volt pomocnou souřancovou soustavu, (výoné volt počátek v levém orním rou neo na ose symetre) ) roělt složený oraec na n áklaníc prvků,, n c) pro kažý prvek určt a souřance jeo těžště [ ; ] v pomocné souřancové soustavě ) určt souřance těžště [ ; ] celéo orace, kterým proložt centrální osy setrvačnost průřeu t, t rovnoěžné s osam, e) pro kažý prvek určt ramena těžště :, c f) s využtím Stenerovy věty vypočítat centrální kvaratcké momenty celéo orace: n ( + c ) n ( ) + n D ( D + c ) (Otvory mají plocy momenty setrvačnost se naménkem mínus, evační momenty s opačným naménkem než plné prvky) 9

20 Příkla -ěžště složenéo orace : -ová souřance ,5,5 m 0

21 Příkla Centrální moment setrvačnost Ramena ílčíc těžšť c 0,5 -,9 -, m c,0 -,9-0,9 m c 6,0 -,9, m Momenty setrvačnost ílčíc oraců, / 0 m, / 0667 m, 5 / m Centrální moment setrvačnost Σ( + c ) 0 +,0 (-,) ,0 (-0,9) + + 0,0,, m

22 Příkla Centrální moment setrvačnost Ramena ílčíc těžšť,0 -,5 -,5 m -,0 -,5-0,5 m -,5-,5,0 m Momenty setrvačnost ílčíc oraců, / 5 m, / 667 m, 5 / 08 m Centrální moment setrvačnost Σ( + ) 5 +,0 (-,5) ,0 (-0,5) ,0,0 9,8 m

23 Příkla Devační moment D Devační moment ílčíc průřeů D D D 0 m (-ose symetrcký průře) Devační moment D celéo průřeu D Σ(D + c ),0 (-,) (-,5) + + 8,0 (-0,9) (-0,5) + + 0,0,,0 5,0 m,0 -,5 -,5 m -,0 -,5-0,5 m -,5-,5,0 m c 0,5 -,9 -, m c -,0 -,9-0,9 m c 6,0 -,9, m

24 Kvaratcké momenty k pootočeným osám Jsou-l námy kvaratcké momenty rovnnéo orace pro pravoúlou vojc os, s počátkem o, je možno určt onoty kvaratckýc momentů pro jnou vojc pravoúlýc os,, pootočenou o půvoníc os o úel α: cos α + sn α + D sn α sn α + cos α D sn α D ( )sn α + Dcosα Změnou úlu α, se mění onoty kvaratckýc momentů k pootočeným osám Estuje úel pootočení os α 0, př kterém naývají momenty setrvačnost k těmto osám etrémníc onot a evační moment je nulový Osy pootočené o úel α 0 lavní osy setrvačnost Momenty setrvačnost vtažené k lavním osám (etrémní momenty setrvačnost) lavní momenty setrvačnost, o tgα 0 D α V přípaě symetrckéo průřeu (stačí jenoose symetrcký), je D 0, α 0 0 Potom momenty setrvačnost a vtažené osám, jsou ároveň lavní momenty setrvačnost Větší nc je, menší Osy, jsou pak ároveň lavní osy setrvačnost (v níže)

25 Poloměr setrvačnost Geometrcká carakterstka průřeu: Hlavní centrální poloměry setrvačnost: ma ma mn mn Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro oélníkový průře : (šířka, výška ) ma & 0,887 mn & 0,887 Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro čtvercový průře (strana a): & 0,887 a ma mn Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro kruový průře: π r r ma mn π r r Roměr [élka], pravla m neo mm 5

26 Polární moment setrvačnost Polární moment setrvačnost vtažený k ou (pólu): (p je válenost o pólu) p p p + Ve stavařské pra: pólem je výraně těžště průřeu, centrální polární moment setrvačnost, využtí u rotačně symetrckýc průřeů Kvaratcký moment, roměr [élka ], pravla m neo mm p ( + ) Poučka: Polární moment setrvačnost k pólu (ou) O je roven součtu momentů setrvačnost ; vtaženýc k jakýmkol věma vájemně kolmým osám setrvačnost, které tímto oem (pólem) procáejí Roměr [élka ], pravla m neo mm K výklau polárnío momentu setrvačnost 6

27 Průřeové carakterstky orace složenéo válcovanýc tyčí o UPN 60 PN 0 Příkla č k procvčení (uete potřeovat): Dle postupu u přeešléo příklau spočítejte všecny průře car, které jsme na této přenášce proíral Průře je složen válcovanýc U60 a 0 proflů Zaané onoty konkrétně pro tento průře: 0:,0,60 6 mm mm,,,0 mm 06mm, 6 0mm Ponámka (pro vaš přípanou kontrolu taulkovýc onot): Poor na uložení válcovanéo U proflu Osy jsou oprot osám v taulkác vájemně přeoené U 60: 8500,0 mm mm, mm, 65mm, 60mm e 8,mm poloa těžště U proflu kóty, v snímky,na kterýc jsou taulky průřeů 9,50 6 7

28 Průřeové carakterstky orace složenéo válcovanýc tyčí o P U U c U [, ] R t P c Nápověa: 7,80-5 m (nutno Stener) + (není třea Stener) Průře je symetrcký k ose D 0, t 8

29 Okruy prolémů k ústní část koušky ěžště omogennío rovnnéo složenéo orace (lomená čára, složený plošný oraec) ěžště neomogennío rovnnéo složenéo orace (lomená čára, složený plošný oraec Kvaratcké momenty áklaníc průřeů (momenty setrvačnost, evační moment) Centrální kvaratcké momenty áklaníc průřeů 5 Centrální kvaratcké momenty složenýc průřeů 8 Polární momenty setrvačnost 9 Poloměry setrvačnost 9