DYNAMIKA BODU. kterou nazýváme setrvačnou silou. Pohybovou rovnici (2) pomocí ní přepíšeme na

Transkript

1 DYNMIK BODU POHYBOVÉ OVNIC Ze kušenost je námo že tělesa (bod) jsou schon uvádět do ohbu nebo měnt jejch ohbový stav na ně ůsobí (statcké) slové účnk. Kvantfkací tohoto stavu je Newtonův nc síl (. nc klascké mechank) d ( m v) =. () Velčnu H = mv naýváme hbností hmotného bodu. Na avé staně stojí vektoový součet (výslednce) všech statckých sl na hmotný bod ůsobících. Je-l hmotnost hmotného bodu konstantní dostáváme () m a =. () Součn hmotnost a chlení a hmotného bodu má omě síl naýváme j chlující síla. ovnc () naýváme ohbovou ovncí hmotného bodu ve vektoovém tvau. kálně vjadřuje ekvvalenc chlující (dnamcké) síl s výsledncí sl statckých. V technckých úlohách avádíme často oačně oentovanou sílu D m a kteou naýváme setvačnou slou. Pohbovou ovnc () omocí ní řeíšeme na D + = 0. (3) Tento vtah vjadřuje ovnováhu setvačné (dnamcké) síl s výsledncí sl statckých. Vektoovou ovnc () es. (3) oesujeme v ůných vhodně volených souřadncových soustavách do jedné (úloha na římce) ou (úloha v ovně) č tří (úloha v ostou) skaláních ohbových ovnc. Po volný ohb bodu o římce (kd všechn statcké síl ted jedná skalání ovnce ohbu tva mají smě této římk) má m a = (4) kde chlení římočaého ohbu vjadřujeme jednou e tří mechank I námých ávslostí d a = = = = v. (5) d d Dosaením do (4) ř nalost sl jako funkcí chlost v dáh oříadě času t ískáme ohbovou ovnc ve tvau dfeencální ovnce kteou ř nalost očátečních odmínek ( 0) = 0 (dáha v čase t = 0 ) a v ( 0) = v0 (chlost v čase t = 0 ) můžeme (někd analtck vždck však numeck) řešt a ískat tím nalost ohbu bodu ted ávslost chlost na t t v. čase v ( ) dáh na čase ( ) a chlost na dáe ( )

2 Po bod váaný k hladké (be tření) ovnné křvce kd všechn statcké síl ůsobí v oné ovně oesujeme ohbovou ovnc (4) do ou směů. Nejvýhodněj do směu tečn a nomál ke křvce. Příslušné skalání ovnce mají tva Po tečné chlení řejmě latí m a t = t m a n = n. (6) d s = = = = v (7) ds ds a t kde s je oběhnutá dáha (o křvce) v velkost chlost a t čas. Po nomálové chlení latí v = (8) a n kde je olomě křvost křvk v uvažované oloe (dané aametem s). Př nalost tečných složek t statckých sl jako funkcí v s oříadě t ískáme vní ovnc v (6) jakožto dfeencální ovnc kteá je tv. vlastní ohbovou ovncí. Ve směu tečn ke křvce totž docháí k ohbu. Ve směu nomál k ohbu nedocháí očež duhá ovnce učuje eakc vab (křvk) na bod. Jedna e statckých sl je totž nomálová eakce N námá mechank I. Duhá ovnce v (6) má odle (8) tva kde Oud n m v N + n je součet nomálových složek statckých akčních sl. mv N + n. (9) Z této ovnce ř nalost ohbu (o vřešení vlastní ohbové dfeencální ovnce) m v vjádříme ávslost velkost eakce N na čase. Síla (dnamcká) m a n se naývá odstřeou slou. Oentace nomál je řtom do středu křvost křvk. Ponámka: Je-l křvkou kužnce (velce častý říad) je = (olomě kužnce) a v = ω kde ω je úhlová chlost říslušného kuhového ohbu bodu. Tečné chlení je ak a t = α kde α je úhlové chlení kuhového ohbu. Uvažujeme-l navíc třecí účnek s koefcentem smkového tření f dostáváme ovnce (6) ve tvau m a = f N t t

3 m an = n N. (0) Vlastní ohbová ovnce je vní ovncí kteá ovšem obsahuje eakc N. Poto je nejve v nutno algebacké duhé ovnce (0) učt eakc N dosaením a a n = a dosa do ovnce vní. Získáme vlastní ohbovou ovnc ve tvau dfeencální ovnce kteou řešíme ř očátečních odmínkách s ( 0) = s0 (dáha v čase t = 0 ) a v ( 0) = v0 (chlost v čase t = 0 ) odobně jako u římočaého ohbu. Ze duhé ovnce (0) o vřešení ohbu le ískat (odobně jako u hladké křvk) ávslost eakce na čase. U volné ovnné křvk je možno vektoovou ovnc () (oříadě (3)) oesovat do složek evného souřadncového sstému. Pohbové ovnce ak jsou kde a a a jsou složk chlení a chlení le vjádřt jako Jestlže složk a a ávsejí oue na m a = m a = () složk statcké síl = d = = = v d d d = = = = v d d. v eventuelně t a složk jen na t le obě dfeencální ovnce řešt neávsle. Získané ávslost ( t) ( t) v tomto sstému. Složk v eventuelně vnklé jejch řešením tvoří aametcké ovnce ovnné křvk o níž se bod ohbuje. Vloučením aametu (okud to le analtck udělat) ískáme analtcko geometckou ovnc dáh. ve tvau ( ) Pohb bodu je možno sledovat v souřadncové soustavě jež koná vhledem k nehbné soustavě (sojené se Zemí) ředesaný ohb. Můžeme nař. ohb bodu sledovat v ojíždějícím se automoblu výtahu aod. Jestlže oklad ohbu 3 = + 3 kde 3 = ohblvý bod kteý sledujeme = ohbující se soustava (sojená s výtahem atd.) je obecný (ted neákladní) latí o chlení absolutního ohbu a3 = a + a3 + a c () kde a je chlení unášvého a 3 chlení elatvního ohbu (učí se odle toho o jaký ohb se jedná v konkétní úloe). Zchlení a c = ω v3 je Coolsovo chlení. Pokud oklad je ákladní a ted unášvý ohb je osuvem je ω = 0 a ted a 0 =. Do ohbové ovnce () es. (3) nní dosaujeme a chlení a chlení a 3 (). Dnamcká setvačná síla Dc m ac m ω v3 = m( v3 ω ) se naývá Coolsova c

4 síla. Př nalost unášvého ohbu le os ohbové ovnce () ovést odobně jako o říad výše kd všechn velčn bl ovnou vjadřován v souřadncovém sstému. ZÁKONY DYNMIKY BODU Newtonův nc síl le cháat jako ákon o měně hbnost v dfeencálním tvau. Platí totž dh d ( mv ) = = (3) kde je výslednce všech statckých sl na bod ůsobících. Seaací oměnných a ntegací oud dostaneme H t = t dh H H =. (4) Velčně naavo I t = s H t t říkáme (časový) muls síl. oměem velčn je [ Ns ]. ovnce (4) vjadřuje ákon o měně hbnost v ntegálním tvau. Slovní fomulace: Vektoový odíl hbností bodu na konc a na očátku děje se ovná mulsu výslednce statckých sl v ůběhu děje na bod ůsobících. Z ovnost (4) lne že oměem hbnost je Newtonsekunda [ Ns ]. Zákon oužíváme ejména tehd kd muls na avé staně se snadno sočítá. Je-l nař. síla konstantní (jako vekto ted co do velkost co do směu) je (4) možno řesat jako H H = t. ( ) t Je-l síla dokonce nulová je oud hned H = H. Je to tvení kteému říkáme věta o achování hbnost kteá neříká nc jného než že bod konstantní hmotnost na kteý neůsobí žádná síla se ohbuje ovnoměně římočaře (s konstantním vektoem chlost v ). Podobně jako o sílu bl defnován moment síl k bodu a k ose defnujeme moment hbnost k bodu a k ose. Moment hbnost k bodu (v ob.) je defnován vtahem = H = mv (5) kde je olohový vekto L s očátečním bodem a koncovým bodem jako hmotným bodem m. Výsledkem je volný vekto N m s = kg m / s. L. oměem velkost momentu hbnost je [ ] [ ]

5 Ponámka: Podle avdel áce s vektoovým součnem je vekto učenou nostelkam vektoů H a (to je de na ovnu nákesn). Jeho velkost je L kolmý na ovnu L = H sn γ (6) kde be šk načíme velkost říslušných vektoů a γ je úhel kteý svíají nostelk obou vektoových čntelů (v ob.). Smsl vektou L je dán avdlem avé uk. Položíme-l avou uku na náčtek tak ab st směřoval od vektou k vektou H ak alec ukauje smsl výsledku. Zde ukáaný náčtek dává smsl vektou L a nákesnu. Moment hbnost k ose o (v ob.) je ůmět vektou momentu hbnost k lbovolnému bodu té os (v defnce výše) do té os. Matematck vjádřeno ( e L ) = e[ e ( H )] L0 = e (7) kde e je jednotkový vekto směu os o omocí něhož je učena kladná oentace této os. Ponámk: ) Výsledný vekto L 0 samořejmě neávsí na volbě bodu na ose o. ) Vekto L 0 má vžd smě os o. Jeho velkost (včetně naménka) je ovna L 0 = L cosδ (8) kde δ je úhel kteý svíá osa o s nostelkou vektou L (v ob.) 3) Snadno le ověřt že souřadnce vektou L 0 k očátku 0 katéského souřadncového sstému (učeného odle defnce momentu hbnost k bodu) jsou velkost momentů hbnost L L L k osám tohoto katéského sstému (učené odle defnce momentu hbnost k ose). 4) Jsou-l osa o a nostelka hbnost H ě kolmé mmoběžk o nejkatší vdálenost (nejčastější říad výočtu momentu hbnost k ose) je velkost L ovna 0

6 L 0 = H (9) a smsl L 0 je dán avdlem avé uk. Položíme-l avou uku na náčtek (v ob.) tak ab st ukaoval smsl vektou H ukauje alec na ose smsl výsledku. Devujme vtah (5) a ředokladu konstantní hmotnost odle času. Dostaneme dl d = m v + m. d Podle knematcké defnce = v (chlost bodu) a = a (chlení bodu). Ted je dl = v m v + ma. Podle (6) je vní sčítanec vavo nulový otože vekto v a γ = 0 ). Př konstantní hmotnost odle (3) je m a =. Poto dl =. mv jsou ovnoběžné (a ted Součn vavo vjadřuje moment výslednce statckých sl k bodu. Je ted dl = M. (0) Potože jednotkový vekto o os o je na čase neávslý le skaláním řenásobením výau (0) ískat analogcký vtah o (velkost) momentu k ose ve tvau dl o = M. () o Výa (0) a () vjadřují ákon o měně momentu hbnost (k bodu nebo k ose) v dfeencálním tvau. Seaací a ntegací (0) es. () dostaneme

7 L t = t dl M L L = M. () L t Velčně vavo říkáme (časový) muls momentu výslednce statckých sl. Je řtom lhostejné da se jedná o moment k bodu nebo k ose. Vtah () latí o oba t momentů ovšem o moment hbnost vlevo moment síl vavo vžd ke stejnému bodu (ose). ovnce vjadřuje ákon o měně momentu hbnost v ntegálním tvau. Slovní fomulace: odíl momentů hbnost k nehbnému bodu (ose) na konc a na ačátku děje se ovná mulsu momentu výslednce statckých sl v ůběhu děje na bod ůsobících (ke stejnému bodu nebo ose). Zákon oužíváme ejména tehd kd muls na avé staně se snadno učí. Je-l výsledný statcký moment konstantní (jako vekto) je L L = M t. ( ) t Je-l moment síl nulový dostáváme oud L = L kteému říkáme věta o achování momentu hbnost. Ponámka: Moment síl k bodu je nulový nejen o nulovou sílu ale o nulové ameno ted kdž síla stále říslušným bodem ocháí. To je říad tv. centálního ohbu kteým se řídí ohb lanet kolem Slunce nebo dužc kolem Země. Stejně tak moment síl k ose je nulový nejen o nulovou sílu ale o říad že osa o s nostelkou síl jsou ovnoběžné nebo ůnoběžné římk. Za ředokladu konstantní hmotnost (3) lne m =. Skaláním řenásobením vektoem d vhledem k defnc chlost oud lne d m d = m = m v = d. Potože řejmě a otože Integací = d d je element áce dw máme oud m v v m = d Defnujeme-l knetckou eneg bodu jako t ( v v) = v = d. m v m v = W. k = m v (3)

8 dostáváme oud k k = W. (4) oměem knetcké enege (stejně jako áce) je Joule (= kg m / s ). ovnce (4) vjadřuje ákon o měně knetcké enege. Jeho slovní fomulace: odíl knetckých enegí me ěma oloham bodu (daným olohovým vekto a ) je oven ác výslednce statckých sl na bod ůsobících v ůběhu jeho řemsťování me míněným oloham. Ponámk: ) Zatímco ákon o měně hbnost a momentu hbnost jsou vektoové (a tudíž se oesují do směů) ákon o měně knetcké enege je skalání. ) Po úsěšné oužtí ákona je třeba výslednou sílu nát jako funkc oloh včetně tvau dáh o kteé bod řemsťujeme. V mechance se setkáváme ovněž se slam u nchž áce neávsí na tvau dáh (což je ekvvalentní s tvením že áce takové síl o uavřené dáe je nulová). Takové síl naýváme konevatvní (otencální). Nechť estuje ve volené souřadncové soustavě funkce ( ) enege bodu že o složk síl v této souřadncové soustavě latí Pak o tuto souřadncovou soustavu je dw = d = = ; = ; = gad. d + d + d d d - tv. otencální d d kde na avé staně stojí totální dfeencál otencální enege. Potože o konevatvní sílu dw d je říůstek otencální enege komenován ací sotřebovanou slou a naoak slou vkonaná áce namená stejný úbtek otencální enege ř řechodu ůsobště síl jedné oloh do duhé. Integací ředchoí ovnce ískáme W = d d kde = [ ] = odkud = ( ) ( ). Tato ovnce ve sovnání s (.4) dává ( = W ) = k k + k = + k = konst. (5) Př ohbu v slovém ol konevatvním (otencálním) je celková mechancká enege daná součtem otencální a knematcké enege konstantní. Jedná se o ákon achování celkové mechancké enege. Potencální eneg též naýváme otencálem říslušejícím =. Potože [ ] k slovému ol ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;

9 je ; ; ; ;. Vhledem k áměnnost duhých smíšených devací oud lne = = = ; ;. (6) Tto tv. Cauchov emannov odmínk jsou ostačujícím odmínkam konevatvnost slového ole. Po ovnnou úlohu (ovnné slové ole) odadá smě os a e tří odmínek se stává jedná tvau =. (7) Po jednooměnou úlohu k síle ( ) e. otencální enege jako ( ) ( ) ( ) + = C d d d o lbovolnou avní konstantu C. Potencální enege je učena až na avní konstantu. Tuto konstantu učujeme volbou nulové kladn otencální enege. PŘÍKLDY KONZVTIVNÍCH SIL a) tíha volba nulové hladn lbovolně (odle tu úloh) b) síla v užně o tuhost k volba nulové hladn ve volné délce užn o l Příklad nekonevatvních sl: asvní účnk de se část mechancké enege řeměňuje v eneg teelnou.