Nekonečno v matematice. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
|
|
|
- Danuše Havlíčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nekonečno v matematice Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Křesťanský sbor Brno Městská knihovna Blansko Středa 22. listopadu 2017
2 Motivace Důkazy existence Boha Bedřich Pospíšil Historie Pochybnosti Motivace Nekonečno v matematice 2 / 12
3 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému ( ) Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu ( ) Pragmatický rozhodnutí pro užitečné ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
4 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Tomáš Akvinský ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
5 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Anselm z Canterbury ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
6 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Blaise Pascal ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
7 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Immanuel Kant ( ) bořitel důkazů Nekonečno v matematice 3 / 12
8 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Tomáš Akvinský ( ) Nathaniel Harsthorne ( ) Richard Swinburne (1936 ) Nekonečno v matematice 3 / 12
9 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Anselm z Canterbury ( ) Kurt Gödel ( ) Nathaniel Harsthorne ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
10 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Blaise Pascal ( ) Nekonečno v matematice 3 / 12
11 Důkazy existence Boha Induktivní výstup od viditelného k neviditelnému Deduktivní cesta od logických pravd o sobě ke konkrétnímu Pragmatický rozhodnutí pro užitečné Jean le Rond d Alembert ( ) Dokazujeme-li existenci boží odvoláním na povahu nekonečné dokonalé bytosti a jejích atributů, dokazujeme existenci a priori neboli úvahou čerpanou ze samotné povahy předmětu.... všechny takové důkazy předpokládají ideu nekonečna, a ta není příliš jasná. Nekonečno v matematice 3 / 12
12 Bedřich Pospíšil ( ) Nekonečno v matematice 4 / 12
13 Bedřich Pospíšil ( ) Po zavření vysokých škol snaží se Jednota československých matematiků a fysiků stručnými svazky Cesty k vědění nahrazovati zakázané vysokoškolské vzdělání české inteligence. K této práci se přihlásil také Pospíšil... Nekonečno v matematice 4 / 12
14 Bedřich Pospíšil ( ) O pojmu nekonečna uvažovalo a stále uvažuje mnoho lidí, filosofů i hloubavých laiků. Při tom je v těch úvahách mnoho planého, lidé čítají otázky o nekonečnu k oněm neurčitým a mystickým otázkám, o nichž rádi uvažují, ač jsou sami přesvědčeni, že k nijakým konečným závěrům nelze. Chci je z úvah tohoto druhu přenésti na zcela exaktní pole, ukázat jim, že pro nás úvahy o nekonečnu nejsou již o nic mystičtější, než kterékoliv zcela exaktní matematické úvahy. Nekonečno v matematice 4 / 12
15 Motivace Historie Starověk Středověk Novověk Pochybnosti Historie Nekonečno v matematice 5 / 12
16 Starověk Aristoteles ( ) Nekonečno v matematice 6 / 12
17 Starověk Aristoteles ( ) Organon: Kategorie O vyjadřování První analytiky Druhé analytiky Topiky O sofistických důkazech Nekonečno v matematice 6 / 12
18 Starověk Aristoteles ( ) Organon: Kategorie O vyjadřování První analytiky Druhé analytiky Topiky O sofistických důkazech Sféra stálic je hranicí reálného světa. Nekonečno v matematice 6 / 12
19 Starověk Aristoteles ( ) Organon: Kategorie O vyjadřování První analytiky Druhé analytiky Topiky O sofistických důkazech Sféra stálic je hranicí reálného světa. Eukleides ( ) Nekonečno v matematice 6 / 12
20 Starověk Aristoteles ( ) Organon: Kategorie O vyjadřování První analytiky Druhé analytiky Topiky O sofistických důkazech Sféra stálic je hranicí reálného světa. Elementa: Základní pojmy (výměry) Axiomy (zásady) Postuláty (úlohy prvotné) Eukleides ( ) (: Věta Důkaz :) Nekonečno v matematice 6 / 12
21 Starověk Aristoteles ( ) Organon: Kategorie O vyjadřování První analytiky Druhé analytiky Topiky O sofistických důkazech Sféra stálic je hranicí reálného světa. Elementa: Základní pojmy (výměry) Axiomy (zásady) Postuláty (úlohy prvotné) Eukleides ( ) (: Věta Důkaz :) Omezenou přímou čáru souvisle prodloužit přímým směrem (každou úsečku lze prodloužit za její koncový bod). Nekonečno v matematice 6 / 12
22 Starověk Aurelius Augustin ( ) Nekonečno v matematice 6 / 12
23 Starověk Aurelius Augustin ( ) Vímeť jistotně, že počtům konce není; neboť při kterémkoliv počtu bychom myslili u konce býti, vždy tentýž počet, neřku-li přidáním jedničky dá se zmnožiti, brž aťby sebe větší byl... A buď daleko od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všecky počty neměly známy býti, jelikož moudrosti, jak Žalmista zpívá, není počtu. Nekonečno v matematice 6 / 12
24 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Nekonečno v matematice 7 / 12
25 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Nekonečno v matematice 7 / 12
26 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Musí se říci, že geometrie nemusí mysliti, že by nějaká čára byla nekonečná v uskutečnění, nýbrž musí vzíti nějakou čáru v uskutečnění zakončenou, od níž by se mohlo ubrati, kolik je třeba; a tu nazývá čárou nekonečnou. Nekonečno v matematice 7 / 12
27 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Musí se říci, že geometrie nemusí mysliti, že by nějaká čára byla nekonečná v uskutečnění, nýbrž musí vzíti nějakou čáru v uskutečnění zakončenou, od níž by se mohlo ubrati, kolik je třeba; a tu nazývá čárou nekonečnou. Mikuláš Kusánský ( ) Nekonečno v matematice 7 / 12
28 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Musí se říci, že geometrie nemusí mysliti, že by nějaká čára byla nekonečná v uskutečnění, nýbrž musí vzíti nějakou čáru v uskutečnění zakončenou, od níž by se mohlo ubrati, kolik je třeba; a tu nazývá čárou nekonečnou. Mikuláš Kusánský ( ) De docta ignorantia:...o pravdě nevíme nic jiného, než že víme, že přesně tak jak jest, je neuchopitelná a všichni filosofové ji hledají, ale žádný ji nenašel tak jak jest; a čím poučenější budeme o této nevědomosti, tím bĺıž se přibližujeme k samotné pravdě. Nekonečno v matematice 7 / 12
29 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Musí se říci, že geometrie nemusí mysliti, že by nějaká čára byla nekonečná v uskutečnění, nýbrž musí vzíti nějakou čáru v uskutečnění zakončenou, od níž by se mohlo ubrati, kolik je třeba; a tu nazývá čárou nekonečnou. Mikuláš Kusánský ( ) De docta ignorantia:...o pravdě nevíme nic jiného, než že víme, že přesně tak jak jest, je neuchopitelná a všichni filosofové ji hledají, ale žádný ji nenašel tak jak jest; a čím poučenější budeme o této nevědomosti, tím bĺıž se přibližujeme k samotné pravdě. Největší kvantita je totiž maximálně veliká; nejmenší kvantita maximálně malá.... nahlédneme tedy jasně, že maximum a minimum splývají. Nekonečno v matematice 7 / 12
30 Středověk Tomáš Akvinský ( ) Summa theologická: Musí se tedy říci, že pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. Musí se říci, že geometrie nemusí mysliti, že by nějaká čára byla nekonečná v uskutečnění, nýbrž musí vzíti nějakou čáru v uskutečnění zakončenou, od níž by se mohlo ubrati, kolik je třeba; a tu nazývá čárou nekonečnou. Mikuláš Kusánský ( ) Nekonečno v matematice 7 / 12
31 Středověk Giordano Bruno ( ) Nekonečno v matematice 7 / 12
32 Středověk Giordano Bruno ( ) De l infinito universo et Mundi: Je-li svět konečný a vně světa nic není, táži se vás: Kde je svět? Kde je universum? Nekonečno v matematice 7 / 12
33 Středověk Giordano Bruno ( ) De l infinito universo et Mundi: Je-li svět konečný a vně světa nic není, táži se vás: Kde je svět? Kde je universum? Je-li důvod pro existenci omezeného dobra a konečné dokonalosti, je nesrovnatelně více důvodů pro dobro nekonečné; existuje-li dobro z vhodnosti a zvláštního důvodu, existuje nekonečné dobro z absolutní nutnosti. Nekonečno v matematice 7 / 12
34 Středověk Giordano Bruno ( ) De l infinito universo et Mundi: Je-li svět konečný a vně světa nic není, táži se vás: Kde je svět? Kde je universum? Je-li důvod pro existenci omezeného dobra a konečné dokonalosti, je nesrovnatelně více důvodů pro dobro nekonečné; existuje-li dobro z vhodnosti a zvláštního důvodu, existuje nekonečné dobro z absolutní nutnosti. Existuje nekonečný vesmír, který je výsledkem nekonečné Boží moci, neboť považuji za věc nehodnou Boží dobroty a moci, aby Božstvo dalo vzniknout konečnému světu, když vedle tohoto světa mohlo dát vznik jinému a nekonečně mnoha jiným. Budďsi; prohlásil jsem, že je nekonečné množství jednotlivých světů, podobných tomuto světu naší Země, o níž se spolu s Pythagorem domnívám, že je to hvězda, které se podobají Měsíc, jiné planety a jiné hvězdy, jichž je nekonečně mnoho, a že všechna tato tělesa jsou bezpočetné světy, které dohromady dávají nekonečnou vesmírnost v nekonečném prostoru; a tomu se říká nekonečný vesmír, v němž je světů bezpočtu. Tak je tedy dvojí nekonečnost: Nekonečnost velikosti vesmíru a nekonečné množství světů. Nekonečno v matematice 7 / 12
35 Středověk Dante Alighieri ( ) Nekonečno v matematice 7 / 12
36 Středověk Dante Alighieri ( ) Božská komedie, 33, : Ne nemám slov, ba ani sil to chápat a netroufám si vyložit to bĺıž, s tím nic, co vím, zde musím jenom tápat. Ó věčné světlo, které v sobě tkvíš, jen ty si s láskou hledíš do ohniska, jen ty se znáš a sebe vysvětĺıš! Nekonečno v matematice 7 / 12
37 Novověk Galileo Galilei ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
38 Novověk Galileo Galilei ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
39 Novověk Galileo Galilei ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
40 Novověk Galileo Galilei ( ) Eukleides: Celek je větší než část. Nekonečno v matematice 8 / 12
41 Novověk Galileo Galilei ( ) Eukleides: Celek je větší než část. Nekonečno v matematice 8 / 12
42 Novověk Galileo Galilei ( ) Eukleides: Celek je větší než část. Co se kryje, rovno jest. Nekonečno v matematice 8 / 12
43 Novověk Galileo Galilei ( ) Eukleides: Celek je větší než část. Co se kryje, rovno jest. Nekonečno v matematice 8 / 12
44 Novověk Galileo Galilei ( ) Aktuální nekonečno je sporné. Proto nemůže existovat Eukleides: Celek je větší než část. Co se kryje, rovno jest. Nekonečno v matematice 8 / 12
45 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
46 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Nekonečno v matematice 8 / 12
47 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Nekonečno v matematice 8 / 12
48 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x George Berkeley ( ) Infinitisimálie (nekonečně malé veličiny): Duchové zemřelých veličin Nekonečno v matematice 8 / 12
49 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
50 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 Nekonečno v matematice 8 / 12
51 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 = = Nekonečno v matematice 8 / 12
52 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 = = = (1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+ = Nekonečno v matematice 8 / 12
53 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 = = = (1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+ = = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 ) = Nekonečno v matematice 8 / 12
54 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 = = = (1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+ = = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 ) = = = Nekonečno v matematice 8 / 12
55 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Guido Grandi ( ) 0 = = = (1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+ = = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 ) = = = = 1 Nekonečno v matematice 8 / 12
56 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Augustin-Louis Cauchy ( ) Veličina dosahuje své mezní hodnoty (limity). Dostane se tak bĺızko k nule, jak si jen přejeme, a již se od ní nevzdáĺı. Nekonečno v matematice 8 / 12
57 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Karl T.W. Weierstraß ( ) lim x x 0 y(x) = 0 ( ε)( δ)( x) x x 0 < δ y(x) y(x 0 ) < ε Nekonečno v matematice 8 / 12
58 Novověk Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( ) y y x x Karl T.W. Weierstraß ( ) lim x x 0 y(x) = 0 ( ε)( δ)( x) x x 0 < δ y(x) y(x 0 ) < ε lim x x 0 y(x) = ( h)( δ)( x) x x 0 < δ y(x) > h Nekonečno v matematice 8 / 12
59 Novověk Bernard Bolzano ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
60 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečno v matematice 8 / 12
61 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Nekonečno v matematice 8 / 12
62 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost, protože v sobě obsáhne vůbec všechny pravdy. Nekonečno v matematice 8 / 12
63 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost, protože v sobě obsáhne vůbec všechny pravdy. Množina pravd o sobě je nekonečná. Nekonečno v matematice 8 / 12
64 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost, protože v sobě obsáhne vůbec všechny pravdy. Množina pravd o sobě je nekonečná. Musím zamítnout jako nesprávný jiný výměr nekonečna matematikové ji popíší jako proměnnou veličinu, jejíž hodnota může být větší, než jakákoliv sebe větší daná veličina. To co nazývají matematikové proměnnou veličinou, není vlastně veličina, nýbrž pouhý pojem, pouhá představa veličiny, která v sobě pojímá nejen jednu jedinou veličinu, nýbrž dokonce nekonečně mnoho veličin. Nekonečno v matematice 8 / 12
65 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost, protože v sobě obsáhne vůbec všechny pravdy. Množina pravd o sobě je nekonečná. Přejděme nyní k úvaze o nanejvýš pozoruhodné zvláštnosti, jež se vyskytuje vždy u vztahu dvou množin, jsou-li obě nekonečné: dvě množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je na jedné straně možno spojit ve dvojici každou věc náležející jedné z nich, s věcí náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je na druhé straně možno, aby jedna z obou množin obsahovala druhou jako svůj pouhý díl... Nekonečno v matematice 8 / 12
66 Novověk Bernard Bolzano ( ) Pojem nekonečna je aplikován na množství, tj. na množiny jednotek. Nekonečným množstvím nazveme takové množství, že každá konečná množina představuje pouze jeho část. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost, protože v sobě obsáhne vůbec všechny pravdy. Množina pravd o sobě je nekonečná. Ani nekonečná množina bodů nepostačí k vytvoření kontinua, např. jakkoliv krátké čáry. Kontinuum existuje tam, avšak také jen tam, kde existuje souhrn jednoduchých předmětů, které jsou tak položeny, že každý jednotlivý z nich má v tomto souhrnu souseda, a to v každé vzdálenosti. Nekonečno v matematice 8 / 12
67 Novověk Georg Cantor ( ) Nekonečno v matematice 8 / 12
68 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství). Nekonečno v matematice 8 / 12
69 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství) Nekonečno v matematice 8 / 12
70 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství) Nekonečno v matematice 8 / 12
71 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství). 0, , , , , , , , , , , , Nekonečno v matematice 8 / 12
72 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství). 0, , , , , , , , , , , , , Nekonečno v matematice 8 / 12
73 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství). 0, , , , , , , , , , , , , Nekonečno v matematice 8 / 12
74 Novověk Georg Cantor ( ) Nemohu nikterak souhlasit se způsobem, jakým Bolzano s nekonečnými čísly zachází, neumí jim dát správnou definici. Pro správné zachycení nekonečných čísel zde není dostatečně jasně definován obecný pojem mohutnosti (který je nezávislý na uspořádání množství), tak také přesný pojem počtu(který je nutně svázán s nějakým dobrým uspořádáním množství). Nemám žádné pochybnosti co se týče pravdy o nekonečnu, které jsem poznal s Boží pomocí a které jsem v jeho rozmanitosti studoval více než dvacet let. Nekonečno v matematice 8 / 12
75 Motivace Historie Pochybnosti Důsledky Nová infinitní matematika Pochybnosti Nekonečno v matematice 9 / 12
76 Důsledky Nekonečno v matematice 10 / 12
77 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Nekonečno v matematice 10 / 12
78 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Nekonečno v matematice 10 / 12
79 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor. David Hilbert ( ) Nekonečno v matematice 10 / 12
80 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Hypotéza kontinua Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor. David Hilbert ( ) Nekonečno v matematice 10 / 12
81 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Hypotéza kontinua Každou množinu lze dobře uspořádat Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor. David Hilbert ( ) Nekonečno v matematice 10 / 12
82 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Hypotéza kontinua Každou množinu lze dobře uspořádat Soubor ordinálních čísel netvoří množinu Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor. David Hilbert ( ) Nekonečno v matematice 10 / 12
83 Důsledky Zodpovězení některých starých otázek Teorie množin se stala univerzálním jazykem matematiky Hypotéza kontinua Každou množinu lze dobře uspořádat Soubor ordinálních čísel netvoří množinu Jules-Henri Poincaré ( ) Aktuální nekonečno neexistuje. Cantorovci na to zapomněli a upadli do kontradikce. Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor. David Hilbert ( ) Nekonečno v matematice 10 / 12
84 Nová infinitní matematika Jak je možné, že některé poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné v přirozeném reálném světě? Nekonečno v matematice 11 / 12
85 Nová infinitní matematika Jak je možné, že některé poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné v přirozeném reálném světě? Pokud jsou tyto poznatky použitelné v přirozeném reálném světě, pak to je při výkladech neostrých jevů tohoto světa. Nekonečno v matematice 11 / 12
86 Nová infinitní matematika Jak je možné, že některé poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné v přirozeném reálném světě? Pokud jsou tyto poznatky použitelné v přirozeném reálném světě, pak to je při výkladech neostrých jevů tohoto světa. Je-li nekonečno použitelné při výkladech neostrých jevů, pak v neostrosti těchto jevů musí být v nějaké podobě přítomné. Nekonečno v matematice 11 / 12
87 Nová infinitní matematika Jak je možné, že některé poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné v přirozeném reálném světě? Pokud jsou tyto poznatky použitelné v přirozeném reálném světě, pak to je při výkladech neostrých jevů tohoto světa. Je-li nekonečno použitelné při výkladech neostrých jevů, pak v neostrosti těchto jevů musí být v nějaké podobě přítomné. Protože ne všechny poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné při výkladech přirozeného reálného světa, není přirozené nekonečno podřízeno týmž zákonům, jako klasické nekonečno. Nekonečno v matematice 11 / 12
88 Nová infinitní matematika Jak je možné, že některé poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné v přirozeném reálném světě? Pokud jsou tyto poznatky použitelné v přirozeném reálném světě, pak to je při výkladech neostrých jevů tohoto světa. Je-li nekonečno použitelné při výkladech neostrých jevů, pak v neostrosti těchto jevů musí být v nějaké podobě přítomné. Protože ne všechny poznatky klasické infinitní matematiky jsou použitelné při výkladech přirozeného reálného světa, není přirozené nekonečno podřízeno týmž zákonům, jako klasické nekonečno. Klasické nekonečno: jasné, ostré, určité, neměnné. Přirozené nekonečno: zamlžené, neostré, neurčité, závisí na příslušném pohledu. Nekonečno v matematice 11 / 12
89 Nekonečno v matematice 12 / 12
Důkaz nebo cesta? Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
Důkaz nebo cesta? Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Křesťanský sbor Brno Městská knihovna Blansko Středa 23. listopadu 2016 Úvod Kam půjdeme? Tomášovy
Úvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23
Úvod do logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 23 Co je logika? Čeho se týkají logické zákony? Tři možnosti: (1) světa (2) myšlení (3) jazyka (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216
Úvod rvm rozpravy o teorii mnozm... 1/ ŽIVNÁ PŮDA... Espafiolizar Europa!...
OBSAH Úvod... 7 Podivuhodný květ českého baroka P ".. V rvm rozpravy o teorii mnozm... 1/ ŽIVNÁ PŮDA.... Espafiolizar Europa!... v ] e d mecnost b aro k' ll! spmtua., l' Ity... ]anusovská tvář baroka...
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
Jacques Le Goff Středověký člověk a jeho vnímání světa
Středověká estetika Jacques Le Goff Středověký člověk a jeho vnímání světa středověký člověk obklopen propracovaným ideologickým a kulturním systémem pro středověkého člověka je viditelný svět jenom stopou
Matematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Matematika - Historie - 1
Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
Obsah. Co je metafyzika? Dějiny pojmu "metafyzika" 17 Antika... 17
Obsah Úvodní slovo překladatele Předběžné poznámky. 11 12 ÚVOD. 15 Co je metafyzika?.. 17 Dějiny pojmu "metafyzika" 17 Antika... 17 Středověk. 19 Novověk.. 21 Po Kantovi 23 Definice metafyziky a její vysvětlení
POHAN. kategorický soud; tvrzení, jehož pravdivost lze potvrdit nebo vyvrátit s objektivní platností PROPOZICE UNIVERZÁLIE PARTIKULÁRIE PRESUPOZICE
KŘESŤAN POHAN ten, kdo se rozhodl, že jeho život už nepatří jemu samotnému, nýbrž Kristu se všemi nároky a výhodami kdokoliv jiný, kromě židů a muslimů FRAKTÁL PROPOZICE UNIVERZÁLIE negeometrický útvar
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Může matematika pomoci poznávat Boha?
Může matematika pomoci poznávat Boha? p. 1/25 Může matematika pomoci poznávat Boha? přírodovědecká SEKCE, 27. 3. 2007 Zdeněk Pospíšil Ústav matematiky a statistiky Boëthius: Vědění o věcech božských nemůže
ETIKA. Benedictus de SPINOZA
ETIKA Benedictus de SPINOZA Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Benedictus de Spinoza ETIKA ETIKA Benedictus de SPINOZA ETIKA Translation Karel Hubka, 1977 Czech edition dybbuk, 2004
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
Kosmologický důkaz Boží existence
Kosmologický důkaz Boží existence Petr Dvořák Filosofický ústav AV ČR Cyrilometodějská teologická fakulta UP Postup Dějinný a systematický kontext, literatura Důkaz Hume-Edwardsova námitka a její řešení,
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
II. Nová teorie množin a polomnožin
NoVÁ infinitní matematika karolin um II. Nová teorie množin a polomnožin Petr VoPěNka Nová infinitní matematika II. Nová teorie množin a polomnožin Petr Vopěnka Vydala Univerzita Karlova v Praze Nakladatelství
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
MĚŘENÍ, TYPY VELIČIN a TYPY ŠKÁL
MĚŘENÍ, TYPY VELIČIN a TYPY ŠKÁL Matematika a stejně i matematická statistika a biometrie s námi hovoří řečí čísel. Musíme tedy vlastnosti nebo intenzitu vlastností jedinců změřit kvantifikovat. Měřením
Přednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová
Filozofie křesťanského středověku Dr. Hana Melounová Středověk / 5. 15. st. n. l. / Křesťanství se utvářelo pod vlivem zjednodušené antické filozofie a židovského mesionaismu. Základní myšlenky už konec
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
Přednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Zavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Racionalismus. Představitelé jsou René Descartes, Benedikt Spinoza, G. W. Leibnitz.
Racionalismus poznání vyrůstá z racionálního myšlení je to učení, které vyzvedá přirozené poznání člověka zdůrazňuje význam vědy, vzdělání, osvěty a kultury hlásá suverenitu lidského rozumu. Představitelé
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Teorie množin Pavel Podbrdský
Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude
1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VRCHOLNÁ SCHOLASTIKA 13. STOLETÍ
VRCHOLNÁ SCHOLASTIKA 13. STOLETÍ ÚKOL 1 VYTVOŘTE DVOJICE Co to znamená scholastika? Které období předchází vrcholné scholastice a kdo jsou jeho hlavní představitelé? CHARAKTERISTIKA fil. svět ovládnul
1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082
NÁZEV ŠKOLY: GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV MATERIÁLU: TÉMA SADY: ROČNÍK: VY_32_INOVACE_4B_05_Renesance, reformace
VET středověk a novověk (po 18. století)
VET středověk a novověk (po 18. století) Co nás čeká Křesťanství a jeho představitelé Renesance Racionalismus a empirismus, Kant Merkantelismus, Karmelismus Křesťanství Po dlouho dobu křesťanství uchovatel
Výbor textů k moderní logice
Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou
GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/
NÁZEV ŠKOLY: GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV MATERIÁLU: TÉMA SADY: ROČNÍK: VY_32_INOVACE_4B_08_Německá klasická
Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...
Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy
1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Věda a víra. Jiří GRYGAR Fyzikální ústav AV ČR Praha Učená společnost ČR
Věda a víra Jiří GRYGAR Fyzikální ústav AV ČR Praha Učená společnost ČR TEMNÝ STŘEDOVĚK ROZVOJ FORMÁLNÍHO MYŠLENÍ Scholastika 1193-1280 Albert Veliký (teolog a přírodovědec) 1225-1274 Tomáš Akvinský (tomismus:
Historie matematiky a informatiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Renesanční filosofie humanismus reformace renesanční filozofie komunikace objev antiky heliocentrismu krevní oběh, pitvy knihtisk
Renesanční filosofie znovuzrození člověka, doba duchovních a sociálních proměn ve 14. až 16. století. Jejich výrazem jsou humanismus, reformace a renesanční filozofie. Renesanci můžeme charakterizovat
Období klasické řecká filosofie II. Zuzana Svobodová
Období klasické řecká filosofie II Zuzana Svobodová Platón (428/7-348/7 př. Kr.) vl. jm. Aristoklés, Platon přezdívka daná učitelem gymnastiky (platys široký) aristokrat (na rozdíl od Sokrata) snaha o
2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
Platón: Faidón, O nesmrtelnosti duše
Platón: Faidón, O nesmrtelnosti duše http://www.spqr.cz/content/plat%c3%b3n-faid%c3%b3n-o-nesmrtelnosti-du%c5%a1e Faidón dle mého názoru patří k jedněm z nejpozoruhodnějších Platónových děl. Po stránce
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že
![N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že](/thumbs/88/115751012.jpg "N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že")
Jak rozeznáváme nekonečné množiny. Nejprve něco o zobrazeních: Nášvýkladbudezaložennaintuitivnípředstavězobrazení f: A Bjakoněčeho,cokaždému prvku a Apřiřazujenějakýprvek f(a) B. Mějmezobrazení f: A B.Řekneme,že
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
Úvod do filosofie. Pojem a vznik filosofie, definice filosofie. Vztah filosofie a ostatních věd
Úvod do filosofie Pojem a vznik filosofie, definice filosofie Vztah filosofie a ostatních věd Filosofické disciplíny, filosofické otázky, základní pojmy Periodizace Cíl prezentace studenti budou schopni
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1
Škola Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Autor Mgr. Jiří Pokorný Číslo VY_32_INOVACE_13_ZSV_2.01_Periodizace antické filozofie
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní
RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ
RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. RENESANCE A VĚK ROZUMU Renesance kulturní znovuzrození
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme
V čem dělat prezentaci?
Jak na prezentace? Osnova: - v čem dělat prezentaci - velikosti písma - barva písma a pozadí - typ písma a zvýraznění - EFEKTY - vkládání obrázků - externí soubory - závěrečný export - příklady ze života
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.