Ke Gaussově metodě určování dráhy planetky Ceres Vladimír Štefl, ÚTFA, PřF, MU, Brno

Transkript

1 Ke Gaussově meodě určování dráhy planeky Ceres Vladimír Šefl, ÚFA, PřF, MU, Brno K. F. Gauss: o deermine he orbi of a heavenly body, wihou any hypoheical assumpion, from observaions no embracing a grea period of ime, and no allowing a selecion wih a view o he applicaion of special mehods. Hisorie moderního výzkumu sluneční sousavy je sará necelá ři soleí. V druhé polovině 8. soleí, roku 766 německý maemaik Johann Daniel iius (79-796) objevil závislos průměrné vzdálenosi planey od lunce původně vyjádřené v varu a = n + 4, kde 0 n = 0,, 6,, 4, 48. V roce 77 byla závislos uveřejněna německým asronomem Johannem Elerem Bodem (747 86) jako zv. iiova Bodeova řada ve varu a n = 0,4 + 0,x, kde n =,0,,,... Když anglický asronom William Herschel (78 8 ) objevil v roce 78 Uran, propočíaná velikos velké poloosy jeho dráhy činila a = 9, AU a splňovala ak iiovu Bodeovu řadu dávající a = 9,6 AU. Pod vedením rodáka z dnešní Budapeši Franze Xavera von Zacha (754 8), později asronoma v německém měsě Goha, započala roku 799 evropská pozorovací asronomická kampaň hledání planey mezi Marsem a Jupierem pro a =,8 AU. družení asronomů nazývané,,nebeská policie, kam pařili např. J. E. Bode, W. Herschel, H. W. M. Olbers, N. Maskelyne, J. H. chröer, G. Piazzi, zkoumalo především objeky podél eklipiky. Ialský maemaik a asronom z Palerma Giuseppe Piazzi (746 86) prvního ledna roku 80 ve 0h 4min mísního času nalezl objek, kerý se během noci posunul o 4 k severozápadu. Vzhledem k hvězdnému poli v pozadí se během dalších dnů přemísťoval. Piazzi

2 popsal svůj objev ako:,,pozoroval jsem. ledna poblíž ramena Býka objek s hvězdnou velikosí osmé magniudy, kerý se dalšího večera. ledna posunul o 0 přibližně k severu o 4 ke znamení Berana ledování prováděl do. února 80, kdy se objek přiblížil ke lunci a přesal bý pozorovaelný. Celkově Piazzi sledoval objek 4 nocí, získal údaje o úplných pozorováních, v nichž zachyil zhruba 9 o jeho dráhy kolem lunce. Objek obdržel jméno Ceres Ferdinandea na počes bohyně úrody a sicilského mecenáše krále Ferdinanda IV., kerý nechal v Palermu hvězdárnu posavi. Pozorovaný objek původně Piazzi považoval za komeu, později ho asronomové zařadili jako osmou planeu sluneční sousavy ležící mezi Marsem a Jupierem, neboť splňovala vzdálenosí a =,8 AU od lunce iiusovu Bodeovu řadu. Až po roce 850 se změnil jeho sau na planeku. Úplná Piazziho pozorování byla publikována v září 80 v Monaliche Correspondenz. Během září 80 provedl německý maemaik a asronom Karl Friedrich Gauss ( ) propoče dráhy. Pro výpočy vybral Gauss ři pozorování:. ledna,. ledna a. února. Zachycovala rerográdní pohyb od. ledna do. ledna, kdy objek přešel opě k přímému pohybu. Do lisopadu 80 Gauss upřesnil dráhové elemeny, velká poloosa a =,767 AU, oběžná doba = 68 dnů, excenricia e = 0,085 a sklon dráhy i = 0 o Dále spočíal předpokládané eklipikální souřadnice na dny , v inervalech šesi dnů. jejich pomocí již zmiňovaný Franz Xaver von Zach objek - planeku znovu objevil 7. prosince a následně aké. ledna 80. Polohy se shodovaly s Gaussovým výpočem na 0. Novou planeku sledoval v lednu 80 rovněž Heinrich Wilhelm Mahäus Olbers ( ), kerý později objevil i další planeky Pallas a Vesu. Ješě v émže roce 80 navrhl Herschel pro nové objeky souhrnný název aseroidy. Obecnou meodu výpoču dráhy kosmického ělesa ze ří pozorování Gauss uveřejnil v spise sepsaném původně německy heorie der Bewegung, der in Kegelschnien sich um die onne bewegenden Himmelskörper, známější je lainská verze horia mous corporum coelesium in secionibus conicus solem ambienium česky eorie pohybu kosmických ěles pohybujících se kolem lunce po kuželosečkách z roku 809. pis se skládá ze dvou knih. První Obecné vzahy mezi veličinami, kerými je pohyb kosmických ěles kolem lunce definován a z druhé udium drah kosmických ěles z geocenrických pozorování. Gaussův výklad se opíral o čyři věy, keré jsou důsledkem planosi Keplerových zákonů:

3 . Pohyb každého kosmického ělesa probíhá v sálé rovině, v níž leží sřed lunce.. Dráha opisovaná kosmickým ělesem je kuželosečka, jejíž ohnisko je ve sředu lunce.. Pohyb kosmického ělesa po dráze probíhá ak, že plochy výsečí opisované kolem lunce v různých časových inervalech jsou úměrné ěmo inervalům. Jesliže plochy a časy vyjádříme pro zvolený úhlový sekor číselně, vždy je jejich podíl sejný. 4. Pro různá kosmická ělesa obíhající kolem lunce plaí, že odpovídající podíly ploch a časů jsou úměrné druhým odmocninám polovičních paramerů drah. Gaussem vyvinuý posup vycházel z geomerie a algebry, řečeno současnou erminologií použil aplikovanou maemaiku. Nejprve promyslel do všech důsledků jednolivé kroky celkového prosorového řešení, včeně započení relaivnosi pohybu planeky, kerou pozoroval Piazzi z pohybující se Země. Následně provedl konkréní numerické výpočy, jenž vyžadovaly od auora sovky hodin práce. Náš výklad bude zachycova jednolivé vybrané klíčové kroky Gaussova geomerického posupu, kerý bylo důvipný a pohledem současné asronomie překvapující. Při aplikaci diachronního přísupu vycházíme ze znalosí, keré ve své době Gauss mohl mí. Využil meodu syneické geomerie, kerou v novější době rozvinuli Gérard Desargues (59 66), Gaspard Monge (746 88). Gauss provedl ransformaci problému z plošného na prosorový, když použil poměrně komplikované řešení s věším množsvím proměnných ve řech různých souřadných sousavách prosřednicvím algebry a geomerie. Zjisil, že k určení její prosorové dráhy je zapořebí šesi dráhových elemenů. Ze ří pozorování získal vždy po dvou konsanách, celkem edy šes konsan. Vzhledem k omu, že planeka Ceres byla pozorována v nevelkém časovém inervalu, bylo možné zanedbáva graviační působení osaních kosmických ěles. Z pozorovacích údajů Piazziho si Gauss zvolil polohu planeky v následujících dnech: rekascenze deklinace. ledna 5 o o 4 5. ledna 5 o 4 7 o 8. února 54 o 0 8 o 47 59

4 Pomocí dvou úhlů rekascenze a deklinace z Piazziho údajů Gauss sanovil ři směry, v kerých se sledovaná planeka nachází. měry však neurčovaly dráhovou rovinu, na keré se planeka pohybovala. Planeka Ceres jevila mezi. a. lednem 80 ze Země zpěný pohyb. Rerográdní pohyb a smyčka jsou způsobeny rozdílnou rychlosí pohybu Země a Ceres, kombinací jejich relaivních poloh v kosmickém prosoru. Oběžný pohyb Země kolem lunce je rychlejší než Ceres. ledovaný pozorovaný pohyb je ješě komplikován ím, že obě kosmická ělesa obíhají v různých dráhových rovinách. V průběhu Piazziho pozorování posupně narůsala vzdálenos Ceres od eklipiky v rozmezí 5 o 8 o. Piazzi získal ři polohy planeky Ceres na svěové sféře. Nebyla jimi zachycena skuečná dráhu v prosoru, dokonce ani jednoduchá projekce dráhy na svěovou sféru. Důvodem byl současný pohyb planeky Ceres a Země. Za pomoci Keplerových zákonů Gauss propočíal přesnou polohu Země na její dráze, vzdálenos a polohu vzhledem k lunci. Při řešení problému Gauss vycházel jak ze známých vlasnosí elipsy, např. plochy rovné = π. A. B, ak sám zavedl další maemaické paramery. Například speciální paramer pro pohyb po elipické dráze jako hodnou podílu plochy úhlového sekoru a uplynulého času, kerý je konsanní a rovný π. H, kde H je Gaussův poloviční paramer, zv. šířka elipsy v mísě ohniska, rovná H B =. A Prvním Gaussovým krokem bylo sanovení vzdálenosi Ceres Země, zvolil vzdálenos při druhém pozorování E P = D. Druhým bylo určení vzdálenosi obou ěles při prvním a řeím pozorování. Další Gaussovou myšlenkou bylo přenesení směrů L, L, L na imaginární sféru prosřednicvím jednokových dílů l, l, l. Obdobně na sféře zachyil směry dalších úseček OE, OE, OE a OP, OP, OP. Mohl ak na sféře zkouma úhlové vzahy.

5 Klíčovou myšlenkou bylo zavedení ploch úhlových sekorů a pro inervaly z P do P a z P do P. Pomocí Gaussových vě, byly sanoveny podíly velikosí ploch a odpovídajících časových inervalů, sřední sluneční čas všech svých pozorování, Gauss ak znal jmenovaele uvedených zlomků, proo získal = = 0,949,. Připomínáme, že Piazzi zaznamenal = = 0,487 = = 0,5. Přesože Gauss neznal přesnou dráhu planeky Ceres obdržel přesné hodnoy pro podíly ploch úhlových sekorových a času. Další obrázek demonsruje nezávislos pořadí posunuí v rovnoběžníku při kombinaci posunuí OA a OB. Polohu bodu P vzhledem k bodům P a P obdržíme pomocí rovnoběžníku vzniklého z posunů OQ a OQ podél přímek OP a OP. Body Q a Q rozdělují čási OP a OP v poměru, kerý lze vyjádři v časech odpovídajících rojúhelníkovým plochám, a. Obdržíme OQ =. OQ = a OP OP

6 Názornější je Gaussova myšlenka sesrojení rovnoběžníku OP XP, ve kerém vrchol X získáme jako průsečík rovnoběžek OP a OP vedených z bodů P a P. Následně rovnoběžka s OP vedená bodem P umožňuje naléz polohu bodu Q, obdobně rovnoběžka s OP vedená bodem P udává polohu bodu Q. Posup při prosorovém nalezení polohy P byl následující. Výše popsaný posup nalezení bodu X Gauss promíl do roviny dráhy Země kolem lunce, včeně nalezení bodů Q a Q. pomocí geomerických úvah nalezl bod X. Průsečík roviny úhlové výseče s vrcholem v bodě X a směru přímky E P umožňuje naléz polohu v prosoru bodu P. Další důvipnou myšlenkou Gausse bylo nahrazení ploch úhlových sekorů, a odpovídajícími plochami rojúhelníků, a. Následně vyřešil, v jakém vzahu jsou plochy rojúhelníků a

7 ploch úhlových sekorů, jejichž poměr znám byl. Na základě znalosi velikosi sran určil plochu Δ PP =. P P. PP 4r relaivně blízké, byl velmi malý rozdíl v plochách odpovídajících sekorů a rojúhelníků. Proo Gauss mohl přibližně psá = = 0,5 Pozice P, P a P leží na dráze planeky Ceres, všechny jsou v dráhové rovině procházející luncem. Pohyb Ceres, jak již bylo uvedeno, probíhá v souladu s Gaussovými věami. Vzhledem k omu, že ři pozice Ceres z Gaussem vybraných pozorování byly = = 0,487. Poměrné vzahy Q, Q k OP a OP byly známy z poměrů uplynulých časů. Další důležiou určovanou vzdálenosí byla vzdálenos Ceres lunce r. K jejím upřesnění využi auor zv. Gaussův π ( )( ) korekční fakor G +, r ( )( ) umožňující dosazení do poměru π +, kerý je mírně věší než. Zach, Olbers a další předpokládali podle r iiovy-bodeovy řady a =,8 AU. Ze ří pozorování (poloh a časů) byl určen G,00. Přesný Gaussův výpoče vedl k hodnoě a =,767 AU. Na schemaickém obrázku jsou zachyceny propočené dráhy planeek Ceres a Pallas.

8 Princip Gaussem navržené meody, kombinující geomerické a dynamické zákoniosi pohybu planeky po elipické dráze kolem lunce, má nadčasovou hodnou. Maemaické zpracování meody aplikací lineární algebry v současnosi umožnilo podsané urychlení výpočů. Gaussova meoda modernizovaná pro výpočy na počíači je používána dodnes, například ke sanovení drah umělých kosmických ěles. Lieraura: [ ] Piazzi, G.: Risulai delle Osservazioni della Nuova ella. Palermo, 80. [ ] Direcor, B., ennenbaum, J.: hp:// [ ] Gauss, K. F.: heory of he Moion of he Heavenly Bodies Moving abou he un in Conic ecions. Dover Publicaions, Inc. Mineola, New York 004. [ 4 ] Zach, F. X.: Monaliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde [ 5 ] Gauss, K. F.: ummarische Übersich der Besimmung der Bahnen der beiden neuen Haupplaneen angewanden Mehoden 80 (Gauss Werke,v. 6, p ). [ 5 ] Gauss, K. F.: ummary Overview of he Mehod Used o Deermine he Orbis of he wo New Planes. hp://

9 [ 6 ] Forbes, E. G.: Gauss and he Discovery of Ceres. Journal for he Hisory of Asronomy 97, No., p [ 7 ] Foderá,. G., Manara, A., icoli, P.: Giuseppe Piazzi and he Discovery of Ceres.