Kapitola 9. Numerické derivování

Transkript

1 Kapitola 9 Numerické derivování Definice: Existuje-li pro danou funkci f : R! R vlastní (tj konečná) limita říkáme, že funkce f(x) má v bodě a derivaci Příslušnou limitu značíme f 0 (a) f(a + ) f(a) lim!0 Poznámka: Geometrický význam derivace f 0 (a) je směrnice tečny křivky dané rovnicí y = f(x) v bodě a (nebot tečna v bodě a je limitní poloou sečny pro! 0) Fyzikálně značí derivace funkce y = f(x), kde x je čas a y dráa poybu, limitu z průměrné ryclosti, tedy okamžitou ryclost v čase a Poznámka: Pro danou funkci f(x) vyjadřuje derivace f 0 (x 0 ) míru stoupání, resp klesání v bodě x 0

2 Způsoby odvození vzorců pro výpočet derivace Odvození pomocí interpolačnío polynomu Pro funkci f, která je zadána tabulkou, sestrojíme interpolační polynom a derivaci funkce f v bodě a ztotožníme s derivací tooto interpolačnío polynomu v bodě a Poznámky: - Stupeň polynomu nemůže být nižší než řád počítané derivace - Pro jednoducost ledáme odnotu derivace v uzlovém bodě a navíc uvažujeme ekvidistantní uzly s krokem

3 2 Odvození pomocí Taylorova rozvoje Pro dostatečně ladkou funkci f platí (pro > 0): f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) + 2 f 00 ( ); 2 (x 0 ; x 0 + ) 2 f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 ) + 2 f 00 ( 2 ); 2 2 (x 0 ; x 0 ) 2 Z první rovnice potom plyne vzta f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) = D P f(x 0 ; ) 2 f 00 ( ) Podobně ze drué rovnice f 0 (x 0 ) = f(x 0) f(x 0 ) = D L f(x 0 ; ) + 2 f 00 ( 2 ) Obdrželi jsme dva základní dvoubodové vzorce D P f(x 0 ; ) a D L f(x 0 ; ), tzv pravou a levou poměrnou diferenci Podobně odvodíme další vzorce pomocí Taylorova rozvoje vyššíc řádů Platí: f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) f 000 ( ); 2 (x 0 ; x 0 + ) Po odečtení obdržíme: f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) 3 6 f 000 ( 2 ); 2 2 (x 0 ; x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) = 2f 0 (x 0 ) (f 000 ( ) + f 000 ( 2 )) Odtud vyjádříme první derivaci a získáme tříbodový vzorec D C f(x 0 ; ), tzv centrální poměrnou diferenci f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 D C f(x 0 ; ) 2 2 (f 000 ( ) + f 000 ( 2 )) 2 6 f 000 ()

4 Uvedené vzorce jsou pro výpočet první derivace f 0 (x 0 ) Pro výpočet drué derivace f 00 (x 0 ) lze použít například vzorec, který dostaneme po sečtení vztaů: f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) f 000 (x 0 ) f (4) ( ); 2 (x 0 ; x 0 + ) f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) 3 6 f 000 (x 0 ) f (4) ( 2 ); 2 2 (x 0 ; x 0 ) f(x 0 + ) + f(x 0 ) = 2f(x 0 ) + 2 f 00 (x 0 ) (f (4) ( ) + f (4) ( 2 )) Odtud vyjádříme druou derivaci a získáme tříbodový vzorec pro druou derivaci

5 f 00 (x 0 ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 ) + f(x 0 ) (f (4) ( ) + f (4) ( 2 )) 2 2 f (4) () Poznámka: Samozřejmě lze odvodit řadu dalšíc vzorců, přičemž platí, že čím více bodů použijeme, tím bude řád cyby vyšší Příklad: Pomocí uvedenýc tří vzorců vypočtěte přibližnou odnotu první derivace funkce f(x) = e x ( x) v bodě x 0 = Použijte krok = 0; Řešení: Nejprve si pro kontrolu analyticky zjistíme přesnou odnotu první derivace funkce f bodě x 0 f 0 (x) = e x ( x) + e x ( ) = xe x ; tj f 0 () = e = e 2; 782 Nyní použijeme pravou, levou a centrální poměrnou diferenci: 2 3 D P f(x 0 ; f(x 0 + ) f(x 0 ) ) = = e; ( ; ) e ( ) = 0; 0; e; = = e ; 3; 004 (cyba 0; 2858) 0; D L f(x 0 ; f(x 0) f(x 0 ) ) = = e ( ) e 0;9 ( 0; 9) = 0; 0; e0;9 = = e 0;9 2; 4596 (cyba 0; 2586) 0; D C f(x 0 ; f(x 0 + ) f(x 0 ) ) = 2 0; = e; 0; e 0;9 = 0; 2 = e; ( ; ) e 0;9 ( 0; 9) = 0; 2 e ; + e 0;9 2; (cyba 0; 036) Všimněme si velikosti cyb v jednotlivýc případec Potvrzuje se fakt, že cyba prvníc dvou (dvoubodovýc) vzorců je řádu, tj v řádu desetin a cyba poslednío (tříbodovéo) vzorce je řádu 2, tj v řádu setin

6 Podmíněnost úloy numerickéo derivování Uvažujme nyní např vzorec s pravou diferencí D P f(x 0 ; ), tj platí f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) D P f(x 0 ; ) f 00 () 2 cyba metody Cybu metody označme r Platí-li jf 00 (x)j < M pro x 2 (x 0 ; x 0 + ), potom jr j M 2 Musíme uvážit cyby měření (zaokroulovací cyby) - označíme r 2 Označíme-li f(x 0 ); f(x 0 + ) : : : : : : přesné odnoty f? (x 0 ); f? (x 0 + ) : : : : : : vstupní odnoty Potom pro r 2 platí r 2 = f(x 0 + ) f(x 0 ) přesná odnota vzorce f? (x 0 + ) f? (x 0 ) vypočtená odnota vzorce A dále jr 2 j = f(x 0 + ) f? (x 0 + ) f? (x 0 ) f(x 0 ) + jf(x 0 + ) f? (x 0 + )j + jf? (x 0 ) f(x 0 )j " + " = 2" Využili jsme zde odady jf? (x 0 + ) f(x 0 + )j " jf? (x 0 ) f(x 0 )j " číslo " může představovat např strojovou přesnost Pro celkovou cybu r potom platí jrj jr j + jr 2 j M 2 + 2"

7 Úloa numerickéo derivování je špatně podmíněná! (pro zmenšující se roste cyba) Lze najít optimální krok opt V následujícíc příkladec ukažte cybu 3 odvozenýc vzorců pro výpočet první derivace funkce f(x) v bodě x 0 při použití kroků = 0 6 ; 0 5 ; : : : ; 0 Příklad f(x) = sin x, x 0 =

8 Příklad 2 f(x) = sin x, x 0 = Příklad 3 f(x) = e x, x 0 =

9 Příklad 4 f(x) = e x, x0 = Poznámka: Na základě špatné podmíněnosti se zdá, že nebude možné při výpočtu derivace dosánout libovolné přesnosti Zvýšení přesnosti ale můžeme dosánout ) použitím vzorce s cybou vyššío řádu 2) použitím tzv Ricardsonovy extrapolace

10 Ricardsonova extrapolace Jde o obecný princip, který se používá nejen u numerickéo derivování Myšlenka vycází z too, že na základě znalosti výrazu pro rozvoj cyby využijeme dvou přibližnýc výsledků k získání třetío, který bude přesnější Tento proces eliminace cyb budeme demonstrovat např na poměrné centrální diferenci D C f(x 0 ; ) Vyjdeme z Taylorova rozvoje: () f(x 0 +) = f(x 0 )+f 0 (x 0 )+ 2 f 00 (x 0 )+ 3 f 000 (x 0 )+ 4 f (4) (x 0 )+ 5 f (5) ( ) ! (2) f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 )+ 2 2 f 00 (x 0 ) 3 6 f 000 (x 0 ) f (4) (x 0 ) 5 5! f (5) ( 2 ) () (2) f(x 0 +) f(x 0 ) = 2f 0 (x 0 )+ 3 f 000 (x 0 )+ 5 f (5) ( ) + f (5) ( 2 ) 3 5! O( 5 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) = f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) + O( 4 ) ~ 6 D C f(x 0 ; ) Stejný vzorec použijeme pro výpočet s krokem = 2 D C f(x 0 ; ) = f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) + O( 4 ) D C f(x 0 ; 2) = f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) + O( 4 ) ~~ Podtržené členy cceme eliminovat rovnici ~ vynásobíme 4 Odečteme ~~ 4D C f(x 0 ; ) = 4f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) + O( 4 ) 6 D C f(x 0 ; 2) = f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) + O( 4 ) 6 4D C f(x 0 ; ) D C f(x 0 ; 2) = 3f 0 (x 0 ) + O( 4 ) f 0 (x 0 ) = 4D Cf(x 0 ; ) D C f(x 0 ; 2) 3 + O( 4 )

11 nebo jinak zapsáno f 0 (x 0 ) = D C f(x 0 ; ) + D Cf(x 0 ; ) D C f(x 0 ; 2) 3 + O( 4 ) Poznámka: Tímto způsobem jsme eliminovali cybu řádu 2 Algoritmus Ricardsonovy extrapolace lze samozřejmě použít opakovaně pro eliminaci cyb vyššíc řádů Tato metoda je potom velmi efektivní Pokud bycom ctěli stejným způsobem eliminovat cybu řádu např 4, potom bycom dostali: D C f(x 0 ; ) = f 0 (x 0 ) + K a odečteme 2 rovnici D C f(x 0 ; 2) = f 0 (x 0 ) + K2 4 4 f 0 (x 0 ) = 24 D C f(x 0 ; ) D C f(x 0 ; 2) 2 4 f 0 (x 0 ) = D C f(x 0 ; ) (D Cf(x 0 ; ) D C f(x 0 ; 2)) Pro eliminaci cyb vyššíc řádů postupujeme analogicky, tj místo 4 použijeme příslušný řád Poznámka: V názvu metody se objevuje slovo extrapolace Je to proto, že nová odnota derivace je lineární kombinací dvou odnot, ovšem neleží mezi těmito odnotami (kdyby tomu tak bylo, mluvili bycom o interpolaci) Koeficienty lineární kombinace samozřejmě jsou v součtu rovny jedné, ale koeficient u vzorce s krokem je kladný a koeficient u vzorce s krokem 2 je záporný

12 Při určování rozvoje cyb jednotlivýc vzorců vycázíme z Taylorova rozvoje funkce f Rozvoj cyby pro D P f(x 0 ; ) a D L f(x 0 ; ) () f(x 0 +) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) + 2 f 00 (x 0 ) + 3 f 000 (x 0 ) + 4 f (4) (x 0 ) f (5) ( ); 2 (x 0 ; x 0 +) (2) f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) 3 6 f 000 (x 0 ) f (4) (x 0 ) 5 20 f (5) ( 2 ); 2 2 (x 0 ; x 0 ) () ) f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) D P f(x 0 ; ) 2 f 00 (x 0 ) c 2 6 f 000 (x 0 ) c f (4) (x 0 ) c f (5) ( ) O( 4 ) (2) ) f 0 (x 0 ) = f(x 0) f(x 0 ) D L f(x 0 ; ) + 2 f 00 (x 0 ) c 2 6 f 000 (x 0 ) c f (4) (x 0 ) c f (5) ( 2 ) O( 4 ) Rozvoj cyby pro D C f(x 0 ; ) f(x 0 +) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) + 2 f 00 (x 0 ) + 3 f 000 (x 0 ) + 4 f (4) (x 0 ) + 5 f (5) (x 0 ) + 6 f (6) (x 0 ) + 7 f (7) ( ); ! 2 (x 0 ; x 0 + ) f(x 0 ) = f(x 0 ) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) 3 6 f 000 (x 0 ) f (4) (x 0 ) 5 20 f (5) (x 0 ) f (6) (x 0 ) 7 7! f (7) ( 2 ); 2 2 (x 0 ; x 0 ) Po odečtení: f(x 0 + ) f(x 0 ) = 2f 0 (x 0 ) f 000 (x 0 ) f (5) (x 0 ) + 7 f (7) ( ) + f (7) ( 2 ) 7! = O( 7 ) f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 D C f(x 0 ; ) 6 2 f 000 (x 0 ) c f (5) (x 0 ) c ! 2f (7) () O( 6 )

13 Algoritmus Ricardsonovy extrapolace Na základě znalosti rozvoje cyby příslušnéo vzorce můžeme pro zpřesňování odnoty vypočtené derivace použít následující algoritmus Algoritmus (např pro vzorec D C f) Pro s = 0; ; 2; : : : ; S T s;0 = D c f(x 0 ; 2 s ) Pro k = ; 2; : : : ; s T s;k = T T s;k T s ;k s;k + 4 k {z} ( ) ( ) 4 k = 2 2k, protože v rozvoji cyby tooto vzorce jsou pouze sudé mocniny Scéma T 00 2 T 0 T 4 T 20 T 2 T 22 8 T 30 T 3 T 32 T 33 Poznámka: Pokud se např rovnají T 22 a T 32, nemusíme počítat T 33, protože vyjde stejně Příklad: Použijte opakovanou Ricardsonovu extrapolaci pro výpočet derivace funkce f(x) = ln x v bodě x 0 = 3 pomocí centrální poměrné diference s kroky = 0; 8; 0; 4; 0; 2 a 0; Řešení: Ukázali jsme, že pro dostatečně ladkou funkci f platí vzta f 0 (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 D C f(x 0 ; ) kde čísla c, c 2, c 3 představují kontanty obsaující příslušné derivace + c 2 + c c : : :; rozvoj cyby Výsledky zapíšeme přeledně do tabulky:

14 f 0 (x 0 ; ) korekce [ 4 ; 6 ] 2 korekce [ ; ] ; 8 0; ; 4 0; ; 2 0; ; 0; ; ; = 3 3 = 0; ; ; = 6 0; ; = = 0; = 0; ; ; = 6 0; ; = = 0; = 0; Ve výpočtu jsme použili jednak korekci pro eliminaci cyby řádu 2, ale dále také 2 korekci, která eliminovala cybu řádu 4 V tabulce cybí sloupec pro 3 korekci Důvod je ten, že se odnoty, ze kterýc by se extrapolovala nová odnota, rovnají (dostali bycom to samé číslo) Pro úplnost dodejme, že přesná odnota derivace je f 0 (x) = x, tj f 0 (3) = 3 Pomocí následujícíc výsledků lze porovnat efektivitu při použití různýc vzorců výsledky v MATLABu >> derivace_ricardson( D_P, -sin(exp(x)),, 04, 3); Vypocte odnotu prvni derivace zadane funkce f=-sin(exp(x)) v bode x0= s kroky =[04, 02, 0, 005] Pro vypocet se pouzije vzorec prave pomerne diference D_P Ke zpresneni se pouzije Ricardsonova extrapolace =============================================================================! D_P(f,x0,) korekce 2korekce 3korekce Presna odnota derivace funkce f v bode x0 je výsledky v MATLABu

15 >> derivace_ricardson( D_L, -sin(exp(x)),, 04, 3); Vypocte odnotu prvni derivace zadane funkce f=-sin(exp(x)) v bode x0= s kroky =[04, 02, 0, 005] Pro vypocet se pouzije vzorec leve pomerne diference D_L Ke zpresneni se pouzije Ricardsonova extrapolace =============================================================================! D_L(f,x0,) korekce 2korekce 3korekce Presna odnota derivace funkce f v bode x0 je výsledky v MATLABu >> derivace_ricardson( D_C, -sin(exp(x)),, 04, 3); Vypocte odnotu prvni derivace zadane funkce f=-sin(exp(x)) v bode x0= s kroky =[04, 02, 0, 005] Pro vypocet se pouzije vzorec centralni pomerne diference D_C Ke zpresneni se pouzije Ricardsonova extrapolace =============================================================================! D_C(f,x0,) korekce 2korekce 3korekce Presna odnota derivace funkce f v bode x0 je

16 Aproximaci derivace funkce jsme již použili např u odvození metody sečen z Newtonovy metody Newtonova metoda x k+ = x k f(x k ) f 0 (x k ) f 0 (x k ) f(x k) f(x k ) x k x k metoda sečen x k x k x k+ = x k f(x k ) f(x k ) f(x k ) Metoda konečnýc diferencí jeden ze způsobů řešení okrajovýc úlo Řešme okrajovou úlou (ODR 2řádu) u 00 + q(x)u = f(x) x 2 (0; ) u(0) = g 0 ~ u() = g q; f dané funkce definované a spojité na 0; i, q(x) 0 g 0 ; g daná čísla () úloa má právě klasické řešení) Interval 0; i rozděĺıme na N stejnýc podintervalů (ekvidistantní sít ) S = fx i = i; i = 0; ; : : : ; Ng : : : sít ; : : : krok sítě Přibližné řešení konstruujeme jako funkci diskrétnío argumentu x i Přibližné řešení je určeno vektorem U = [U 0 ; U ; U 2 ; : : : ; U N ; U N ], kde složky U i aproximují odnoty u(x i ) přesnéo řešení v uzlec sítě

17 Klasické řešení splňuje rovnici ~ v každém bodě x 2 (0; ), tj u 00 (x) + q(x)u(x) = f(x) Na 0; i jsme zvolili rovnoměrnou sít S a v každém vnitřním bodě této sítě musí platít: u 00 (x i ) + q(x i )u(x i ) = f(x i ); i = ; 2; : : : ; N ~~ druou derivaci aproximujeme druou poměrnou diferencí u 00 (x i ) " u(xi + ) u(x i ) # u(x i ) u(x i ) = i u(xi ) 2u(x 2 i ) + u(x i + ) soustavu ~~ naradíme soustavou přibližnýc rovností tj 2 [u(x i ) 2u(x i ) + u(x i + )] + q(x i )u(x i ) f(x i ) 2 (U i 2U i + U i+ ) + q(x i )U i = f(x i ) i = ; 2; : : : ; N U 0 = g 0 U N = g soustava diferenčníc rovnic Neznáme odnoty uvnitř intervalu, tj v x ; x 2 ; : : : ; x N V první rovnici figuruje odnota U 0, ta je ale rovna g 0 a tento člen převedeme na pravou stranu Obdobně pro poslední rovnici, za U N dosadíme g N a převedeme na pravou stranu Získaná soustava: q 0 : : : q 2 0 : : : q q N : : : q N A 3 2 U U 2 U U N U = f + g0 2 f 2 f g f N {z 2 } F

18 Soustava lineárníc algebraickýc rovnic AU = F A symetrická, třídiagonální, pozitivně definitní () regulární) - symetrie matice je důsledek symetrie použité diferenční aproximace u 00 a očíslování uzlů (zde je vše přirozené, význam u parciálníc diferenciálníc rovnic) - pro regulární matici soustavy 9! řešení Otázky: S jakou přesností přibližné řešení aproximuje přesné řešení? Zmenšuje se cyba přibližnéo řešení, zjemňujeme-li sít, tj! 0? Poznámka: Pro aproximaci derivací lze samozřejmě použít i jiné vzorce Použijeme-li např vzorec 7, bude výsledná matice soustavy opět pásová, šíře pásu bude nyní 5 Ukažme si jak postupovat při diskretizaci úloy s derivací v okrajové podmínce Je-li na některém z konců intervalu zadána Neumannova nebo Newtonova okrajová podmínka, musíme předcozí postup modifikovat, nebot neznáme odnotu u(0) nebo u() V takovém případě musíme sestavit také diferenční aproximaci příslušné okrajové podmínky a připojit ji k soustavě diferenčníc rovnic, jež ve vnitřníc uzlec aproximují diferenciální rovnici Ukážeme tři takové možné aproximace pro řešení následující úloy

19 u 00 + q(x)u = f(x) x 2 (0; ) 0 u(0) 0 u 0 (0) = g 0 0 > 0 () u() = g Ve vnitřníc uzlec sítě aproximujeme diferenciální rovnici () stejnými diferenčními rovnicemi jako v předcozím případě 2 (U i 2U i + U i+ ) + q(x i )U i = f(x i ) i = ; 2; : : : ; N V těcto rovnicíc vystupují neznámé U 0 ; U ; : : : ; U N ; U N Abycom dostali stejný počet rovnic jako neznámýc, musíme tedy (na základě okrajovýc podmínek) k získaným N rovnicím ještě 2 rovnice připojit Jednu z nic dostaneme z Diricletovy okrajové podmínky v bodě x = tak, že položíme U N = g Levou okrajovou podmínku (v bodě x = 0) můžeme zužitkovat různými způsoby způsob Aproximujeme-li u(0) pomocí vzorce (tj pravé poměrné diference), dojdeme k diferenční rovnici 0 U 0 0 U U 0 = g 0 ( 0 6= 0); kterou klasické řešení splňuje s cybou velikosti O() Rovnici vynásobíme číslem =( 0 ) a upravíme na tvar 2 i 0 ( + )U 0 U g 0 = ; 0 0 tuto úpravu děláme proto, aby výsledná matice soustavy sít ovýc rovnic byla symetrická Předcozí rovnici přidáme k získaným diferenčním rovnicím a dosadíme g za U N Dostaneme opět soustavu lineárníc algebraickýc rovnic se symetrickou třídiagonální maticí (pozor: U = [U 0 ; U ; : : : ; U N ] T ) : : : q 0 : : : q q N : : : q N 3 2 U 0 U U U N Matice soustavy je řádu N a lze dokázat, že je regulární Přibližné řešení lze proto jednoznačně stanovit a dá se ukázat, že jeo cyba je velikosti O() Tato skutečnost, tj snížení řádu cyby metody, možná překvapí, nebot sít ová rovnice pro všecny uzly s výjimkou x 0 aproximuje diferenciální rovnici s diskretizační cybou O( 2 ) Přesto však okolnost, že jsme se v jediné rovnici dopustili diskretizační cyby velikosti O(), ovlivní velikost cyby metody nejen v bĺızkosti bodu x 0, ale ve všec bodec sítě Jde tu o jev, který je pro užití diferenční metody typický a ukazuje, že cceme-li využít přesnosti, s níž jsme aproximovali diferenciální rovnici samotnou, musíme stejně přesně aproximovat i okrajové podmínky 3 = f N g 0 0 f f 2 f N g 2

20 2způsob Bezprostřední možnost přesnější nárady odnoty derivace v okrajové podmínce spočívá v užití vzorců 4 a 5 z tabulky Tyto aproximace mají pro u 2 C 3 diskretizační cybu O( 2 ) Vzniklá soustava diferenčníc rovnic však již není třídiagonální, není symetrická a navíc se při jejím řešení standardními metodami moou vyskytnout numerické problémy Proto tento postup nedoporučujeme 3způsob Hodnotu u 0 (0) aproximujeme pomocí vzorce 3 (centrální poměrná diference) kde x = u 0 (0) i u(x ) u(x ) ; 2 Cyba aproximace je druéo řádu Okrajovou podmínku 0 u(0) 0 u 0 (0) = g 0 tak naradíme diferenční rovnicí U U 0 U 0 0 = g 0 ( 0 6= 0): (~) 2 Je zde však navíc další neznámá U a potřebujeme proto připojit ještě jednu rovnici Nejjednodušeji to provedeme tak, že žádáme platnost rovnice pro vnitřní uzly i pro raniční uzel x 0, tj platnost rovnice 2 (U 2U 0 + U ) + q(x 0 )U 0 = f(x 0 ): (}) (Jde vlastně o aproximaci diferenciální rovnice v bodě x 0 = 0) Fiktivní odnotu U,která nemá význam aproximace přesnéo řešení naší okrajové úloy (nebot toto řešení uvažujeme pouze na intervalu 0; i), z rovnic (~), (}) vyloučíme dosadíme U = 2 q0 U 0 f 0 + 2U 0 U ; U 2 (q 0 U 0 f 0 ) 2U 0 + U 0 U a dospějeme k diferenční rovnici = g U U 0 0q 0 U0 0 = g f 0 ; 2 která aproximuje okrajovou podmínku v bodě x 0 = 0 a kterou dostatečně ladké přesné řešení naší okrajové úloy splňuje s cybou řádové velikosti O( 2 ) Rovnici upravíme na tvar 2 ( i q 0 )U 0 U g 0 = + f a připojíme ji k diferenčním rovnicím pro vnitřní uzly Dá se ukázat, že cyba přibližnéo řešení je v tomto případě velikosti O( 2 )