Základní pojmy kombinatoriky

Transkript

1 Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat ásledující jedoduché, ale veli důležité pravidlo Měje koečé ožiy A, A,, A Pak A A A = A A A Slovy to zaeá, že počet uspořádaých -tic takových, že a ísto ůžee dát cokoli z A ožostí, a ísto cokoli z A ožostí,, a -té ísto cokoli z A ožostí, je rove součiu A A A Ilustruje si toto pravidlo ěkolika příklady Příklad Kolik je přirozeých čísel ezi 0 6 a 0 7 takových, že se v jejich zápise eopakuje žádá číslice? A kolik je takových přirozeých čísel ezi 0 6 a 0 7, kde v jejich zápise estojí dvě stejé číslice vedle sebe? Nejprve si uvědoíe, že čísla, o která se á jedá jsou sediciferá K odpovědi a prví otázku si vyjasíe, kolik ožostí áe při výběru číslice a každé ze sedi íst Na prví ístě áe 9 ožostí Jsou to číslice,,, 9, eboť číslo 0 zde eůžee použít (Vytvořeé číslo by bylo eší ež 0 6 Na druhé ístě už ůžee použít všech deset číslic s výjikou té, kterou použili a ísto prví Tedy 9 ožostí Na třetí ísto áe opět všech deset číslic k dispozici, pouze usíe vyechat ty, stojící a prvích dvou ístech, tj 8 ožostí Projdee-li takto všech sed pozic, dostaee, že počet hledaých čísel je N = = Odpověď a druhou otázku je podobá Na ísto áe 9 ožostí jako výše Na druhé ísto rověž 9 ožostí, eboť z deseti číslic esíe použít je tu, která stojí a prví ístě Na třetí pozici ůže být jakákoli z deseti cifer kroě té, která stojí a ístě druhé, tedy opět 9 ožostí Po projití všech sedi pozic áe výsledek N = 9 7 =

2 Připoeee si ěkolik ozačeí Číslo! = ( se azývá faktoriál Platí, že 0! = Dále, ( ( k! = pro 0 k, = k! k! ( k! k 0 jiak je kobiačí číslo, které čtee ad k Z defiice vidíe, že platí ( ( = k k Důležité jsou výzay těchto dvou čísel Číslo! udává počet všech uspořádáí (= perutací růzých objektů do řady Číslo ( k udává počet všech k-prvkových podoži -prvkové ožiy Vrátíe se yí k příkladu o rozesazeí lidí kole kulatého stolu tak, aby vybraé osoby A a B eseděly vedle sebe Bude užitečé si uvědoit, jaký je rozdíl v počtech ožostí postavit lidí do řady ebo je posadit kole kulatého stolu Máe-li zjistit počet uspořádáí lidí do řady, je to právě případ perutace prvků, a tedy počet je! Posadíe tyto lidi stojící v řadě ke stolu tak, že si začou sedat od pevě zvoleé židle v kladé syslu Tí vzike jedo rozesazeí kole stolu Vrátíe-li pak lidi do původí řady a prvího v řadě pošlee si stoupout a koec, budee ít ovou řadu Ovše posadíe-li je stejý způsobe od téže pevě zvoleé židle v kladé syslu, bude rozesazeí stejé jako před tí Pouze se všichi posuuli o jedu židli doleva Budee-li takto pokračovat a opět prvího v řadě pošlee a koec, zjistíe, že títo způsobe získaých růzých řad vytvoří jedié rozesazeí kole stolu Jiýi slovy počet uspořádáí do řady je krát větší ež počet rozesazeí kole kulatého stolu Odtup již plye, že lidí lze posadit kole kulatého stolu!/ = (! způsoby Počet způsobů usazeí lidí, aby osoby A a B ebyly vedle sebe zjistíe tak, že od všech způsobů rozesazeí odečtee taková rozístěí, kdy A a B sedí vedle sebe Aby tyto dvě osoby seděly vedle sebe, áe v prví kroku dvě ožosti: buď A sedí po levici B ebo aopak Máe-li už osoby A a B usazeé, zbylých íst obsadíe libovolě osobai, tj (! ožosti Celkově počet rozesazeí, kdy A a B sousedí je (! Odpověď a aši původí otázku je (! (! = ( 3 (! Věta Pro k platí, že ( ( = k k k Důkaz Na pravé straě je počet k-prvkových podoži -prvkové ožiy {,,, } Zjistíe, jaký výza á levá straa rovice k-prvkové podožiy si rozdělíe do dvou skupi podle toho, jestli daá podožia obsahuje prvek či ikoli Neobsahuje-li prvek, pak je taková podožia vybraá pouze

3 3 z ( -prvkové ožiy {,,, } Takových podoži je ( k Obsahujeli aopak podožia prvek, pak vzikla jako (k -prvková podožia ožiy {,,, }, ke které jse přidali prvek Takto vziklých podoži je ( k Součte získáváe počet všech k-prvkových podoži, což je přesě rovice ve větě Další užitečý vzorec je tzv bioická věta Věta (Bioická věta Pro každé x, y R a N platí (x y = k=0 Důkaz Rozepíšee si ociu a souči závorek (x y = x k y k k -krát { }} { (x y(x y (x y Po rozásobeí každé závorky s každou se podíváe, jaký je koeficiet u výrazu x k y k Teto souči vzike tak, že v k závorkách zvolíe x a ve zbylých k závorkách y Vybrat k závorek z celkového počtu závorek lze ( k způsoby, a proto se při rozásobeí objeví výraz x k y k přesě ( k krát Příklad Kolik podoži á -prvková ožia? Sečtee počet všech 0-prvkových, -prvkových,, -prvkových a podle bioické věty dostaee 0 = ( = Příklad Je počet podoži se sudý počte prvků -prvkové ožiy stejý jako počet podoži s lichý počte prvků? Podle bioické věty platí 0 = ( = 0 k liché Převedee-li záporé čley a levou strau, dostaee =, k k ( ( ( k sudé tj lichých podoži je vždy stejý počet jako sudých podoži ezávisle a počtu prvků

4 4 Věta 3 Počet ezáporých celočíselých řešeí rovice x x x = k je rove k Důkaz Zavedee ové proěé y = x, y = x x, y 3 = 3 x x x 3, y = x x x, y = x x x = k Pak platí, že y < y < < y k Počet ezáporých celočíselých řešeí x, x,, x je stejý jako počet výběrů y, y,, y z ožiy {,,, k }, a to je ( k Příklad Rozdělíe k stejých objektů do krabic Kolika způsoby to lze učiit? V prví krabici bude x objektů, ve druhé x objektů, atd Součet všech objektů je k, takže platí x x x = k Podle Věty 3 je počet takových rozděleí ( k Příklad Rozdělíe k stejých dárků děte tak, že každé dítě á alespoň jede dárek Kolika způsoby to lze učiit? V prví kroku dáe každéu z dětí po jedo dárku Zbylých k už rozdělíe způsoby, popsaýi ve Větě 3, kde ísto k áe yí k Počet je tak ( k Tato úvaha říká přesě to, že počet kladých celočíselých řešeí rovice x x x = k je ( k Ještě jede výza ůžee číslu ( k připsat Je to počet k-tic bez ohledu a uspořádáí, které lze vybrat z -prvkové ožiy, dovolíe-li opakováí prvků v k-tici Čísla x i z Věty 3 pak zaeají počet, kolikrát je i-tý prvek vybraý do k-tice Následující věta se azývá Pricip ikluze a exkluze Věta 4 Měje koečé ožiy A, A,, A Pak platí A A A = A k A j A k A i A j A k j<k i<j<k k= ( A A A Důkaz Zvole libovolý prvek x A A Na levé straě rovice ve Větě je x započteo jedou Ověříe, že je započteo a pravé straě rovice také právě jedou

5 5 Prvek x leží obecě v ožiách Můžee pro usaděí zápisu předpokládat, že to jsou ožiy A,, A V prví suě je prvek x započte -krát Ve druhé suě je započte ( -krát, eboť leží ve všech průicích dvojic oži vybraých z A,, A Stejě tak áe, že ve třetí suě je prvek x započte ( 3 -krát, atd Naposledy se prvek x objeví v -té suě, kde je zapčte ( -krát, tj jedou Dohroady dostáváe, že a pravé straě je daé x započteo ( ( 3 ( ( = ( ( Přičteí a odečteí jedičky a s využití bioické věty dostaee ( = ( = i i=0 ( ( ( ( 3 ( i = ( = ( ( ( 3 Ověřili jse, že každý prvek ze sjedoceí je a pravé straě započítá právě jedou, a tedy výraz a pravé straě se rová počtu prvků ve sjedoceí Cvičeí ( Měje v prostoru bodů, z ichž žádé čtyři eleží v roviě Kolik rovi určuje tato ožia bodů? ( Měje balíček karet očíslovaých,,, ze kterého postupě síáe všechy karty (a Kolik je růzých uspořádáí balíčku takových, že při síáí přijde karta číslo dříve ež karta číslo? (b Kolik je růzých uspořádáí balíčku takových, že při síáí je ezi kartou číslo a kartou číslo právě k dalších karet? (3 Obdélík je rozděleý vodorovýi a svislýi úsečkai a čtverců velikosti Kolik růzých obdélíků je títo děleí určeo? (4 Měje v krabici koulí očíslovaých,,, Postupě je vytahujee všechy ve (a Nechť k je pevě zvoleé číslo, k Kolik je případů takových, že k-tá vytažeá koule á číslo právě k? (b Kolik je takových vytažeí všech koulí, že při ich alespoň v případech souhlasí pořadí tažeé koule s její čísle? (5 Společost se skládá z užů a že

6 6 (a Kolika způsoby je ožé utvořit řadu, kde se uži a žey střídají? (b Kolika způsoby je ožé všechy usadit okolo kulatého stolu tak, že se uži a žey střídají? Rozesazeí, která se liší pouze pootočeí, pokládáe za stejá (6 Z ožiy {,,, } zvolíe čtyři čísla (a Kolik je takových výběrů, že ejvětší ze zvoleých čísel je alespoň? (b Kolik je takových výběrů, že druhé ejvětší ze zvoleých čísel je alespoň? (7 Na šachovici 8 8 rozestavíe 8 věží (a Kolika způsoby je to ožé udělat tak, aby se věže avzáje eapadaly? (b Kolika způsoby je to ožé udělat tak, aby se věže avzáje eapadaly a avíc aby žádá věž estála a diagoále z čerých políček? (8 Máe balíček karet očíslovaý čísly,, (a Kolika způsoby je ožé balíček uspořádat, aby pro každé k =,, platilo, že a k-té ístě v balíčku je karta s čísle alespoň k? (b Kolika způsoby je ožé balíček uspořádat, aby pro každé k =,, platilo, že a k-té ístě v balíčku je karta s čísle ejvýše k 4? (9 Kole kulatého stolu je p íst, kde p je prvočíslo Ke každéu ístu připravíe jede talíř Talíře áe k dispozici v růzých barvách Kolik je rozístěí talířů kole kulatého stolu takových, při které se použijí talíře alespoň dvou barev? (Řešeí této úlohy je jede z ožých důkazů tzv alé Feratovy věty, která říká, že pro každé přirozeé číslo a prvočíslo p platí vztah p od p (0 Máe k dispozici p ul a q jediček (a Kolik růzých posloupostí délky p q lze sestavit? (b Nechť p = q Kolik lze sestrojit posloupostí délky pq takových, aby se v ich evyskytovali dvě uly vedle sebe? ( Z čísel {,, } tvoříe poslouposti délky k (a Kolik existuje růzých klesajících posloupostí? (b Kolik existuje růzých erostoucích posloupostí? ( V ístí cukrárě ají 0 druhů zrzliy a tři druhy polev Jestliže zrzliový pohár á tři kopičky zrzliy a každá z ich ůže ít (ebo eusí a sobě ějakou z polev, kolik růzých zrzliových pohárů lze vytvořit? Řešeí: ( Rovia je určea třei body, proto počet rovi je ( 3

7 7 (a Ze syetrie vyplývá, že polovia všech uspořádáí balíčku je taková, že předchází a ve zbytku aopak Hledaý počet je!/ (b Blok začíající a kočící, ezi kterýi je k dalších karet, ůže být v balíčku uístě k způsoby Kroě karet a ůžee zbylých karet v balíčku uspořádat (! způsoby Protože ještě celý blok ůže začíat a kočit, dostaee, že počet je ( k (! (3 Každý obdélík je urče dvěa vodorovýi úsečkai a dvěa svislýi Prvích je a druhých je Počet ožých obdélíků je tak ( ( (4a Uístíe-li kouli s čísle k a k-té ísto, bude zbylých koulí rozístěo (! způsoby V případě (4b je ožý je jede způsob rozístěí (5a Začíá-li řada uže, stojí uži a lichých ístech a počet jejich rozístěí je! Doplit žey a sudá ísta lze také! způsoby, proto áe pro teto typ řady (! ožostí Začíá-li řada žeou, je situace stejá, takže výsledek je (! (5b Rozesadíe žey kole kulatého stolu, aby ezi ii bylo vždy jedo volé ísto To je ožé (! způsoby Na zbylá prázdá ísta posadíe užů! způsoby, takže počet všech rozístěí je! (! (6a ( Od všech výběrů čtyř čísel odečtee ty výběry, kde jsou všecha čísla eší ež : ( (6b Od všech výběrů odečtee ty, kde jsou všecha čísla eší ež a také ty výběry, kde tři z čísel jsou eší ež, ale jedo je alespoň : ( ( 4 0 ( ( 0 (7a V prví řádku šachovice áe 8 ožostí pro uístěí věže Ve druhé řádku už je 7, ve třetí je 6 atd Počet rozístěí je 8! (7b Ozače A k ožiu všech rozístěí 8 věží, že se vzájeě eapadají a přito jeda věž stojí a k-té políčku diagoály, k =,, 8 Počet hledaých rozístěí je pak 8! A A 8 Dále, A k = 7!, A j A k = 6!,, A A 7 = = A A 8 Podle priicpu ikluze a exkluze z Věty 4 dostaee výsledek (8a Neexistuje žádé takové uspořádáí, protože posledí karta by usela ít číslo (8b Pro prví kartu áe 5 ožostí Rověž i pro druhou, třetí atd, až dojdee ke kartě čtvrté od koce, tj s pořadový čísle 3 Pro tu už áe je 4 ožosti Pro další karty pak je postupě 3, a ožost Počet uspořádáí je tak 5 4 4! (9 Kdybycho talíře rovali do řady, tak a každé ísto áe výběr z barev, tedy p ožostí Musíe ale odečíst ta rozístěí, kde se vyskytují všechy talíře stejé barvy Pro uspořádáí do řady bycho tak dostali p ožostí Protože p je prvočíslo eůže se takové rozístěí talířů skládat s periodicky se opakujících bloků Proto každé jedo rozístěí do kruhu odpovídá p růzý rozístěí do řady Odtud áe, že hledaý počet je ( p /p (0a Z celkového počtu p q íst v poslouposti vyberee q íst pro jedičky a zbytek doplíe ulai Počet je tak ( pq q (0b Kroě dvou posloupostí, kde se střídají 0 a, ohou být i poslouposti obsahující jede blok a a zbylých ístech se opět střídají 0 a Taková posloupost utě začíá a kočí 0 Odtud plye, že jak před bloke, tak i za í usí být lichý počet čleů poslouposti Takových poloh bloku je p Posloupostí vyhovujících podíce je tedy (p = p (a Každéu výběru k růzých čísel odpovídá právě jedo uspořádáí těchto čísel do klesající poslouposti, tj áe ( k klesajících posloupostí

8 8 (b V erostoucí poslouposti se ohou hodoty opakovat, proto vybíráe k-tice s opakováí, ( k ( Ozačíe si dvojicí (z, p typ jedé kopičky zrzliy s polevou: z abývá hodot,,, 0 a zaeá jede z druhů zrzliy a p abývá hodot 0,,, 3 a ozačuje jedu z použitých polev (čísla,, 3 ebo bez polevy (číslo 0 Takových dvojic je 40 Pohár se skládá ze tří těchto dvojic, přičež připouštíe opakováí Odtud áe, že počet pohárů je ( = 480