základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

Transkript

1 Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky po částech polyomiálí tj. takové křivky, jejichž segmety jsou polyomiálími křivkami ejčastěji používaé křivky třetího stupě (kubiky) dostatečě široká škála tvarů eáročý výpočet lze s imi dobře maipulovat je možé zaručit spojitost 0 1 C

2 Modelováí křivek polyomiálí křivky křivky vyšších stupňů mohou způsobovat ežádoucí vlěí a oscilace a jsou áročější a výpočet modelováí defiováo ěkolik řídících bodů (řídící polygo) určíme průběh křivky je možé zadávat tečé vektory křivky je možé klást podmíky a spojitost a hladkost avázaí Počítačová geometrie Petra Suryková

3 Petra Suryková Modelováí křivek parametricky zadaá kubika v prostoru dvaáct koeficietů () t a t b t c t d 3 y() t a t b t c t d 3 y y y y z() t a t b t c t d 3 z z z z ovládáí tvaru křivky pomocí jedotlivých koeficietů eí ituitiví, ze změy koeficietu elze jedoduše odhadout změu tvaru křivky při defiici křivek s určitými vlastostmi výhodé oddělit charakteristiky, které jsou pro daou křivku idividuálí, od vlastostí, které jsou společé pro všechy křivky modelovaé shodým způsobem

4 Petra Suryková Modelováí křivek maticově C MG Q() t TC TMG Q t TC t t t 3 ( ) 1 a a a b b b c c c d d d y z y z y z y z Q t TC t t t 3 ( ) 1 m11 m1 m13 m14 G1 m m m m G m31 m3 m33 m34 G3 m m m m G

5 Modelováí křivek eistují dva základí způsoby iterpretace řídících bodů iterpolace aproimace iterpolačí křivka prochází daými body aproimačí křivka eprochází daými body, řídící body určují tvar křivky Počítačová geometrie Petra Suryková

6 Modelováí křivek Nejčastěji požadovaé vlastosti Ivariace k afiím trasformacím a projekcím, která zaručuje, že apříklad rotace řídicího polygou a ásledé geerováí křivky má stejý výsledek, jako rotace každého bodu z vygeerovaé křivky Vlastost koveí obálky silá podmíka - celá křivka leží v koveí obálce všech svých řídicích bodů slabá podmíka - část křivky leží v koveí obálce ěkterých řídicích bodů (typicky segmet - v obálce svého geerujícího polygou) Lokalita změ - změou polohy (u racioálích křivek i váhy) řídicího bodu se měí je část křivky, ikoli křivka celá Křivka může procházet krajími body svého řídicího polygou Počítačová geometrie Petra Suryková

7 Iterpolace polyomem Formulace problému dáo: tabulka hodot i, fi, i, fi, i 0,..,, [ ab, ] děleí itervalu a b, pro fukci f defiovaou a uzavřeém itervalu uvažujme hledáme fukci z jisté třídy, která abývá v zadaých bodech stejých hodot ejčastěji polyom, trigoometrický polyom, racioálí fukce, epoeciálí fukce y f f f 0 f 1 f i f i Počítačová geometrie Petra Suryková

8 Petra Suryková Iterpolace polyomem Formulace problému 1 dáo: bodů v roviě úkol: alézt takovou křivku, která daými body prochází y f f f 0 f 1 řešeí: alezeí polyomiálí fukce f() stupě ejvýše, která v zadaých bodech abývá hodot f f ( ), f f ( ), f f ( )... f f ( ) iterpolace pomocí splie křivky, která se skládá z dílčích iterpolačích polyomů, které platí jako áhrada v dílčích itervalech,,,...,

9 Petra Suryková Iterpolace polyomem hledáme polyom f ( ) a0 a1 a... a,,... f0, f1, f... f v bodech 0 1 záme fukčí hodoty body 0, 1,... tzv. uzly, které jsou avzájem růzé 1 1 soustava lieárích rovic pro ezámých f f ( ) a a a... a f f ( ) a a a... a f f ( ) a a a... a f f a a a a ( ) zapsat maticově

10 Petra Suryková Iterpolace polyomem metoda eurčitých koeficietů řešeí soustavy lieárích rovic pro Věta: a, i 1,.., f f a a a a i 0 ( 0) f f ( ) a a a... a f f ( ) a a a... a f f a a a a ( ) Úloha polyomické iterpolace je jedozačě řešitelá. pro určeí iterpolačího polyomu eistuje moho postupů, všechy postupy určí stejý polyom

11 Petra Suryková Iterpolace polyomem Jié techiky kostrukce iterpolačího polyomu (eplicití formule) Lagrageův iterpolačí polyom (Lagrageův tvar iterpolačího polyomu) ( ) ( ) L i i i0 l f, kde l ( ) i j0, ij i j j,,... pro 0 1 avzájem růzé uzly eistuje právě jede iterpolačí polyom stupě ejvýše důkaz L ( ) i j 0

12 Petra Suryková Iterpolačí křivky Lagrageův iterpolačí polyom (Lagrageův tvar iterpolačího polyomu) vlastosti l ( ) i - Lagrageovy polyomy platí l ( ) i l ( ) i j ij - jsou polyomy ejvýše stupě 0,i j 1,i j

13 Petra Suryková Iterpolačí křivky Položme ( ) ( )( )...( ) potom platí l ( ) i 1 ( ) ( ) ( ) i i j j0, ij

14 Petra Suryková Iterpolačí křivky Chyba Lagrageovy iterpolace f C 1 () I I 0, 1,... L ( ) f, pak eistuje I Nechť, kde je ejmeší iterval obsahující a jsou avzájem růzé uzly. Nechť je Lagrageův iterpolačí polyom pro fukci,,..., 0 1 * * * f L f 1 ( 1) * ( 1)! - chyba Lagrageovy iterpolace v bodě *

15 Iterpolačí křivky Lagrageova iterpolace výhody eplicití zadáí výzam především při teoretickém zkoumáí vlastostí iterpolačích polyomů evýhody při větším počtu bodů (vyšší stupeň polyomu) začé,,rozkmitáí křivky u krajích bodů změa ebo přidáí bodu vše se musí zovu přepočítat velký počet operací eplatí čím více bodů je zadáo, tím přesější fukci dostaeme Počítačová geometrie Petra Suryková

16 Iterpolačí křivky Newtoův iterpolačí polyom (Newtoův tvar iterpolačího polyomu) v bodech 0, 1,... záme fukčí hodoty y0, y1, y... y poměré diferece ultého až -tého řádu y 0 0 y, y y 1 0 y, y, y 1 0 Počítačová geometrie, kde ( ) i j N ( ) ( ) a i i i0 y y y, y y, y y, y,..., y i1 j0 y, y,..., y y,..., y, y Petra Suryková

17 Petra Suryková Iterpolačí křivky Newtoův iterpolačí polyom (Newtoův tvar iterpolačího polyomu) ( ) 0 1, 0 0 y, y1, y y y y N y y y a : y, y,..., y i i i1 0...,,..., ejprve se spočítá tabulka poměrých diferecí

18 Petra Suryková Iterpolačí křivky Newtoova iterpolace výhody sadá úprava polyomu výpočetě méě áročé přidat další bod (oproti Lagrageově iterpolaci) ěkteré výpočty zůstaou beze změy (předchozí koeficiety se eměí) častější použití evýhody a k při větším počtu bodů (vyšší stupeň polyomu) začé,,rozkmitáí křivky u krajích bodů (stejé)