3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
|
|
|
- Antonín Horák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d.
2 Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého pousu, áhodé jevy ozačujeme X,Y, Elemetárí jev E jev, terý ejde dále rozložit. Záladí prostor Ω možia všech elemetárích jevů. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
3 Zálady teorie pravděpodobosti Jistý jev I jev, terý vždy astae (jev, terý astae s pravděpodobostí ). Nemožý jev jev, terý idy eastae. Opačý jev opačý jev jevu A je jev Ā, terý astae právě tehdy, dyž eastae jev A. Disjutí jevy jevy A a B jsou disjutí, emohou-li astat současě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
4 Zálady teorie pravděpodobosti Axiomaticé zavedeí pravděpodobosti:. ravděpodobost jevu je ezáporá veličia. A 2. ravděpodobost sjedoceí oečě ebo spočetě moho disjutích jevů je rova součtu pravděpodobostí těchto jevů. A A A A A A 3. ravděpodobost jevu jistého je rova. I 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 4
5 Zálady teorie pravděpodobosti Na záladě uvedeých axiomů plye, že pravděpodobost jevu opačého jevu A je rova doplňu do. A A Ig. Michal Dorda, h.d. 5
6 Náhodá proměá a její popis Náhodá proměá je reálá fuce defiovaá a možiě všech elemetárích jevů, terá aždému jevu přiřadí reálé číslo. Rozlišujeme áhodou proměou: Disrétí (obor hodot áhodé proměé je oečá ebo eoečá posloupost). Spojitou (obor hodot áhodé proměé je určitý oečý ebo eoečý iterval). Ig. Michal Dorda, h.d. 6
7 Náhodá proměá a její popis Disrétí áhodou proměou můžeme popsat fučími závislostmi: ravděpodobostí fuce px X x. Distribučí fuce Fx X x pxi. x x Spojitou áhodou proměou můžeme popsat pomocí: Hustoty pravděpodobosti f x. x Distribučí fuce Fx X x f t dt. i Ig. Michal Dorda, h.d. 7
8 Náhodá proměá a její popis ro distribučí fuci DN i SN platí: Fx. a X b Fb Fa. lim Fx,lim Fx. x x ro pravděpodobostí fuci DN platí: pxi. p. x i x i Ig. Michal Dorda, h.d. 8
9 Náhodá proměá a její popis ro hustotu pravděpodobosti SN platí: f x. f x dx. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
10 Náhodá proměá a její popis Náhodou proměou můžeme dále popsat pomocí číselých charateristi. Číselé charateristiy N dělíme: odle způsobu výpočtu a mometové, vatilové a ostatí. odle toho, teré vlastosti rozděleí pravděpodobosti charaterizují a charateristiy polohy, variability, šimosti a špičatosti. Ig. Michal Dorda, h.d.
11 Náhodá proměá a její popis Středí hodota (počátečí momet. řádu): ro DN x p. EX ro SN xf x dx. EX ro středí hodotu platí: Ec c. EcX cex. EX Y EX EY. x i i x i Ig. Michal Dorda, h.d.
12 Náhodá proměá a její popis Rozptyl (cetrálí momet 2. řádu): 2 2 DX x EX p ro DN. 2 2 ro SN DX x EX f x dx. 2 2 ři výpočtech rozptylu se spíš užívá vztahu: 2 2 DX EX EX EX EX 2, EX xi px i 2 EX x f x x i i x i de pro DN,pro SN dx. x i Ig. Michal Dorda, h.d. 2
13 oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) atří mezi disrétí áhodé proměé. Rozděleí je defiováo jedím parametrem λ > středí počet událostí za jedotu času. oissoova N může abývat hodot,,2, a může apř. představovat počet záazíů přicházejících za jedotu času. ravděpodobostí fuce je defiováa: X e pro,,,2...,! X jide. ro středí hodotu a rozptyl platí: EX DX. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
14 oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) Odvozeí vztahu pro středí hodotu: Ig. Michal Dorda, h.d !!!!!! * 2 e e e e e e EK * Maclauriova řada... 2!!! 2 x x x e x
15 oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) Uáza průběhu pravděpodobostí fuce oissoovy áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
16 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) atří mezi spojitá rozděleí pravděpodobosti. Rozděleí je defiováo jedím parametrem λ >. Expoeciálí N představuje dobu trváí čiosti (apř. obsluhy záazía), příp. dobu mezi jedotlivými událostmi (příchody záazíů) jestliže se počet přicházejících záazíů za jedotu času řídí oissoovým rozděleím, potom dély mezer mezi příchody záazíů se řídí expoeciálím rozděleím. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
17 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) ro hustotu pravděpodobosti platí: f f x x e pro x jide., x, ro distribučí fuci platí: F F x x e pro x jide., x, Ig. Michal Dorda, h.d. 7
18 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) ro středí hodotu expoeciálí N platí: EX. ro rozptyl expoeciálí N platí: DX 2. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
19 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Odvozeí vztahu pro středí hodotu: Ig. Michal Dorda, h.d. 9 lim lim * a a a a x a x x e e a dx xe dx xe dx e x dx x xf EX * a a a a a a a x a x a x a x a x a x x x a x e e a e e e a e e e a e e x dx e e x dx e e x e v u e v x u dx xe
20 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Uáza průběhu hustoty pravděpodobosti expoeciálí áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
21 Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Uáza průběhu distribučí fuce expoeciálí áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
22 Systémy hromadé obsluhy Za systém hromadé obsluhy (SHO) lze považovat aždý systém, ěmuž přicházejí požadavy a obsluhu v systému. Vstupí proud požadavů Frota požadavů čeajících a obsluhu v SHO Liy provádějící obsluhu Výstupí proud požadavů Ig. Michal Dorda, h.d. 22
23 Systémy hromadé obsluhy SHO lze čleit podle moha ritérií, rozezáváme apř.: Systémy bez froty a systémy tvořící frotu. Systémy tvořící frotu lze rozdělit a systémy s eomezeou ebo omezeou délou froty. Systémy tvořící frotu lze dále rozdělit podle frotového režimu FIFO, LIFO, RI. Systémy s paralelě, sériově ebo ombiovaě řazeými liami. Systémy se spolehlivými liami a systémy s espolehlivými liami. Ig. Michal Dorda, h.d. 23
24 Systémy hromadé obsluhy Vstupí údaje o SHO Výstupí údaje o SHO Systém hromadé SS obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. 24
25 Systémy hromadé obsluhy Každý SHO lze charaterizovat ěolia fatory: Charater vstupího tou záazíů. Charater obsluhy. očet obslužých lie a jejich uspořádáí. Kapacita froty a frotový režim (poud SHO umožňuje tvorbu froty). Tyto údaje představují oblast vstupích dat (potřebujeme je zát, abychom mohli SHO matematicy modelovat). Ig. Michal Dorda, h.d. 25
26 Systémy hromadé obsluhy U daého SHO ás zajímá apř.: roceto odmítutých záazíů, resp. pravděpodobost odmítutí záazía ODM. Využití obslužých lie κ. Středí počet záazíů v systému EK. Středí počet záazíů v obsluze ES. Středí počet záazíů ve frotě EL. Tyto údaje představují oblast výstupích dat (tedy to, co chceme řešeím matematicého modelu SHO zísat) provozí charateristiy. Ig. Michal Dorda, h.d. 26
27 Systémy hromadé obsluhy SHO se pro ázorost ozačují dle Kedallovy lasifiace SHO: X / Y / / m, de: X vyjadřuje pravděpodobostí rozděleí příchodu záazíů SHO, Y vyjadřuje pravděpodobostí rozděleí, terým se řídí doba trváí obsluhy záazía, ozačuje počet obslužých lie v SHO, m ozačuje celový počet míst v SHO. Ig. Michal Dorda, h.d. 27
28 Systémy hromadé obsluhy M E D G ozice X expoeciálí doby mezi příchody (elemetárí vstupí to) Erlagovo rozděleí dob mezi příchody ostatí doby mezi příchody obecé rozděleí dob mezi příchody ozice Y expoeciálí doba obsluhy Erlagovo rozděleí doby obsluhy ostatí doba obsluhy obecé rozděleí doby obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. 28
29 Systémy hromadé obsluhy Budeme se zabývat systémy: Vstupí to záazíů bude elemetárí. Doba obsluhy záazía bude expoeciálí áhodá proměá. U systémů tvořících frotu budeme uvažovat FIFO režim výběru záazíů z froty. Obslužé liy budou řazey paralelě, budou homogeí a ebudeme uvažovat možost jejich poruchy. Ig. Michal Dorda, h.d. 29
30 Elemetárí vstupí to Elemetárí vstupí to je taový to, terý splňuje tři záladí vlastosti: Stacioárost, bezásledost a ordiárost. Stacioárost (eměost stochasticého režimu): očet záazíů, teří přicházejí SHO za čas t, závisí pouze a délce tohoto itervalu a ezávisí a jeho poloze a časové ose. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
31 Elemetárí vstupí to Bezásledost (eexistece ásledých účiů): očet záazíů, teří přijdou SHO za čas t, ezávisí a počtu záazíů, teří SHO přišli před začátem tohoto časového itervalu. Ordiárost: Záazíci přicházejí SHO jedotlivě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
32 Elemetárí vstupí to ro elemetárí vstupí to platí: t ravděpodobost p, tedy že za čas t přijde SHO záazíů, je rova: p p t t t! e t pro jide., t,,,2,..., Elemetárí vstupí to je tedy oissoův, mezery mezi příchody záazíů SHO jsou expoeciálí. Ig. Michal Dorda, h.d. 32
33 Itezity přechodů Za rátý časový oamži t jsou přípusté pouze tyto přechody: říchod jedoho záazía astae s itezitou přechodu λ (itezita příchodu záazía ezávisí a počtu záazíů acházejících se v systému). Odchod jedoho z obsluhovaých záazíů, de =,, astae s itezitou µ (itezita odchodu záazía závisí a počtu záazíů, teří jsou v obsluze). Ig. Michal Dorda, h.d. 33
34 M/M// SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém epřipouští tvorbu froty čeajících záazíů a obsluhu, je-li systém plý, jsou přicházející záazíci odmítái. Ig. Michal Dorda, h.d. 34
35 M/M// SHO Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Středí počet záazíů, teří přicházejí SHO za jedotu času je tedy rove λ. Jeliož je vstupí to elemetárí (tedy oissoův), jsou doby mezi příchody po sobě jdoucích záazíů expoeciálí áhodou proměou s parametrem λ. řevráceá hodota tohoto parametru je rova středí době mezi příchody záazíů systému. Ig. Michal Dorda, h.d. 35
36 M/M// SHO Doba obsluhy záazía je áhodá a řídí se expoeciálím rozděleím pravděpodobosti, teré je defiováo parametrem μ. arametr μ azýváme parametrem obsluhy a udává, oli záazíů je průměrě schopa lia obsloužit za jedotu času, hodota / μ potom udává středí dobu obsluhy jedoho záazía. arametr μ azýváme parametrem systému a udává, oli záazíů za jedotu času je systém schope průměrě obsloužit. Ig. Michal Dorda, h.d. 36
37 M/M// SHO Nyí ás apřílad zajímá, jaý je středí počet záazíů v systému EK. Jeliož áhodou proměou je počet záazíů v systému, terý je disrétí, můžeme psát: EK. Z uvedeého vztahu je zřejmé, že výpočtu potřebujeme zát pravděpodobosti, že v systému se achází záazíů pro =,,,. Ty staovíme postupem, terý si uážeme dále. Ig. Michal Dorda, h.d. 37
38 řechodový graf M/M// SHO Systém se může acházet v ásledujících stavech tvořících možiu S (možia všech stavů systému): systém je prázdý (v systému se eachází žádý záazí). v systému se achází záazí teto záazí je obsluhová. v systému (a tedy i v obsluze) se achází záazíů, de =, 2,,. v systému (a tedy i v obsluze) se achází záazíů, systém je zaplě. Ig. Michal Dorda, h.d. 38
39 řechodový graf M/M// SHO 2 Vrcholy grafu představují stav systému (počet záazíů v systému), hray představují možé změy stavu systému za čas Δt a ohodoceí hra představuje itezitu přechodu. Ig. Michal Dorda, h.d. 39
40 Rovice globálí rovováhy Jedá se sice o dyamicý systém, my budeme ale vyšetřovat systém v tzv. ustáleém (rovovážém) stavu, tedy pro t. V ustáleém stavu platí tzv. pricip globálí rovováhy: ro aždou možiu stavů A, terá je podmožiou S, platí, že to (pravděpodobost stavu ásobeá itezitou přechodu) z této možiy je rove tou do této možiy. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
41 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 4
42 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 42
43 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 43
44 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 44
45 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 45
46 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Dostáváme soustavu + lieárích rovic s + ezámými pravděpodobostmi, de =,,,. Soustavu lze obecě zapsat ve tvaru: pro,2,.... Tato soustava má eoečě moho řešeí (jeda rovice je lieárí ombiací ostatích rovic). Ig. Michal Dorda, h.d. 46
47 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Abychom zísali pouze jedo řešeí rovice, je uté soustavu doplit tzv. ormativí podmíou pravděpodobosti, terá ám říá, že systém se může acházet pouze ve stavech z možiy S. Zapsáo matematicy:. Ig. Michal Dorda, h.d. 47
48 Aalyticé řešeí M/M// SHO Z rovice plye vztah: pro,2,... pro,2,...,. přímo Teto reuretí vztah umožňuje spočítat pravděpodobost stavu pomocí pravděpodobosti stavu -. Ig. Michal Dorda, h.d. 48
49 Aalyticé řešeí M/M// SHO Nyí bychom potřebovali vyjádřit vztahy pro výpočet pravděpodobostí jedotlivých stavů pomocí pravděpodobosti stavu, chceme tedy vyjádřit závislost pro =,2,, a. K tomu využijeme reuretí vzorec, terý jsme si odvodili v předchozím postupu. Ig. Michal Dorda, h.d. 49
50 Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 5,...,,2 pro! 3! ! 2 2! omocí tohoto vztahu jsme schopi spočítat všechy pravděpodobosti romě pravděpodobosti, terou odvodíme z ormativí podmíy pravděpodobosti. Erlagův vzorec
51 Aalyticé řešeí M/M// SHO Abychom mohli použít vzorec odvozeý v předchozím símu, musíme zát hodotu pravděpodobosti. Vztah pro výpočet této pravděpodobosti odvodíme s využitím ormativí podmíy pravděpodobosti. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
52 Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 52!!!...!...!!!...!...!! Erlagův vzorec
53 rovozí charateristiy M/M// SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí bude odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu systém plý, tedy ve stavu. ro pravděpodobost odmítutí tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d. 53.!!! ODM
54 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v systému EK staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou K je počet záazíů v systému. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d !...!!!!! EK
55 rovozí charateristiy M/M// SHO Vztah pro výpočet EK lze taé odvodit ásledujícím způsobem. Vyjdeme z výchozí soustavy rovic globálí rovováhy: Ig. Michal Dorda, h.d. 55., 2, 2
56 rovozí charateristiy M/M// SHO Sečteím všech rovic globálí rovováhy dostaeme: Ig. Michal Dorda, h.d
57 rovozí charateristiy M/M// SHO Vyjdeme-li z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty disrétí áhodé proměé počtu záazíů v systému, můžeme psát: EK.... Ig. Michal Dorda, h.d. 57
58 rovozí charateristiy M/M// SHO oužijeme-li teto vztah ve vztahu předcházejícím, zísáváme postupými úpravami: Ig. Michal Dorda, h.d. 58.,, EK EK EK
59 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Jeliož u tohoto systému platí, že počet záazíů v systému se rová počtu záazíů v obsluze, můžeme psát: ES EK. Ig. Michal Dorda, h.d. 59
60 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Jeliož teto systém etvoří frotu (počet záazíů ve frotě je pořád rove ), platí: EL. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
61 rovozí charateristiy M/M// SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES, de ρ azýváme itezitou provozu. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
62 M/M// SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém připouští tvorbu froty čeajících záazíů a obsluhu, přicházející záazí achází vždy volé místo v systému, systém tedy eodmítá záazíy (v systému se může teoreticy acházet záazíů). Aby byl systém stabilí, musí platit:. Ig. Michal Dorda, h.d. 62
63 M/M// SHO Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Doba obsluhy záazía je expoeciálí áhodá proměá s parametrem μ. Ig. Michal Dorda, h.d. 63
64 řechodový graf M/M// SHO Systém se může acházet ve stavech: systém je prázdý. v systému je záazí v obsluze, ve frotě. v systému se achází záazíů, de =, 2,, ; záazíů je v obsluze, ve frotě. v systému je záazíů, všichi jsou v obsluze, frota je prázdá. v systému je záazíů, de = +, ; záazíů je v obsluze a ve frotě. Ig. Michal Dorda, h.d. 64
65 řechodový graf M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 65
66 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 66
67 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 67
68 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 68
69 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 69
70 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 7
71 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 7
72 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 72
73 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 73
74 Rovice globálí rovováhy M/M// SHO V tomto případě dostáváme soustavu eoečě moho lieárích rovic s eoečě moho ezámými pravděpodobostmi, de =,,2,,, : pro pro,2,...,, 2,... Ig. Michal Dorda, h.d. 74
75 Aalyticé řešeí M/M// SHO Z těchto rovic zísáme přímo reuretí vztahy: pro,2,...,, pro,,.... poz. U druhého reuretího vztahu uvádíme platost i pro =, což eodpovídá příslušé rovici globálí rovováhy. Lze se ale sado přesvědčit (dosazeím = do prvího reuretího vztahu), že druhý reuretí vztah platí i v tomto případě. Ig. Michal Dorda, h.d. 75
76 Aalyticé řešeí M/M// SHO Nyí bychom opět potřebovali vyjádřit vztahy pro výpočet pravděpodobostí jedotlivých stavů pomocí pravděpodobosti stavu, chceme tedy vyjádřit závislost pro =,2,,, a. K tomu využijeme reuretí vzorce, teré jsme si odvodili v předchozím postupu. Ig. Michal Dorda, h.d. 76
77 Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 77,...,,2 pro! 3! ! 2 2! Vztah pro výpočet pomocí, vztah platí pouze pro =,2,,!!!
78 Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 78,..., pro!!,..., pro!,...a, pro : Víme 2 2 Vztah pro výpočet pomocí, platí pouze pro =,!!! Vztah pro výpočet pomocí, platí pouze pro =,!!!
79 Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 79 pro!!!!!! pro ravděpodobost opět staovíme z ormativí podmíy pravděpodobosti. Jedá se o eoečou geometricou řadu s prvím čleem a = ρ a vocietem q = ρ, pro součet eoečé geometricé řady platí:. pro q q a s
80 rovozí charateristiy M/M// SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí ebude idy odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu ěterou z lie eobsazeou, začíá ihed jeho obsluha, v opačém případě se řadí do froty, jejíž déla eí ija omezea: ODM. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
81 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d ! 2 ** * s s s ES
82 rovozí charateristiy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d !! * !! **
83 rovozí charateristiy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 83 Středí počet záazíů v obsluze ES lze taé odvodit z rovic globálí rovováhy, teré sečteme: 2,..., pro,,2,... pro.
84 rovozí charateristiy M/M// SHO Zísaý vztah upravujeme: Ig. Michal Dorda, h.d ,,,
85 rovozí charateristiy M/M// SHO ro ES musí z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty platit: Ig. Michal Dorda, h.d ES
86 rovozí charateristiy M/M// SHO oužitím tohoto vztahu dostáváme:.... ES Z ormativí podmíy pravděpodobosti plye, že výraz v závorce a levé straě musí být rove, proto dostáváme: ES. Ig. Michal Dorda, h.d. 86
87 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Můžeme tedy psát: Ig. Michal Dorda, h.d l l l l l l l l l l l l d d d d d d l l l l EL l l
88 rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v systému EK je rove součtu středího počtu požadavů v obsluze a středího počtu požadavů ve frotě. Můžeme tedy psát: EK ES EL 2. Ig. Michal Dorda, h.d. 88
89 rovozí charateristiy M/M// SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES. Ig. Michal Dorda, h.d. 89
90 M/M//m SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém připouští tvorbu froty záazíů čeajících a obsluhu, déla froty je omezea a (m ) míst. Nachází-li příchozí záazí v systému m záazíů, je odmítut (systém je tedy vždy stabilí). Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Doba obsluhy záazía je expoeciálí áhodá proměá s parametrem μ. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
91 řechodový graf M/M//m SHO Systém se může acházet ve stavech: systém je prázdý. v systému je záazí v obsluze, ve frotě. v systému se achází záazíů, de =, 2,, ; záazíů je v obsluze, ve frotě. v systému je záazíů, všichi jsou v obsluze, frota je prázdá. v systému je záazíů, de = +,, m - ; záazíů je v obsluze a ve frotě. m v systému je m záazíů; záazíů je v obsluze a m ve frotě. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
92 řechodový graf M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 92
93 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 93
94 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m 2 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 94
95 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 95
96 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 96
97 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 97
98 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 98
99 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 99
100 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d.
101 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m m m Ig. Michal Dorda, h.d.
102 Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO V tomto případě dostáváme soustavu m+ lieárích rovic s m+ ezámými pravděpodobostmi, de =,,2,,m: pro pro,2,...,,..., m. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
103 Aalyticé řešeí M/M//m SHO Z těchto rovic zísáme přímo reuretí vztahy: pro,2,...,, pro,,..., m. poz. U druhého reuretího vztahu uvádíme platost i pro =, což eodpovídá příslušé rovici globálí rovováhy. Lze se ale sado přesvědčit (dosazeím = do prvího reuretího vztahu), že druhý reuretí vztah platí i v tomto případě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
104 Aalyticé řešeí M/M//m SHO Nyí si opět vyjádříme vztahy, pomocí terých jsme schopi staovit hodotu pravděpodobosti stavu, de =,,m pomocí pravděpodobosti stavu. Využijeme tomu odvozeé reuretí vztahy. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
105 Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 5,...,,2 pro! 3! ! 2 2!
106 Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 6 m m,...,, pro!!,...,, pro!!!!!!
107 Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 7 pro!! pro!!!!!! m m m m m m pro... pro m m m m m m m m m ravděpodobost opět staovíme z ormativí podmíy pravděpodobosti.
108 rovozí charateristiy M/M//m SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí bude odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu m záazíů v systému (tedy jsou obsazea všecha místa v obsluze i ve frotě). Můžeme tedy psát: ODM m m! m. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
109 rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d ! 2 ** * m m m m s s s s ES
110 rovozí charateristiy M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d.....!! * !! ** m m m m m m m
111 rovozí charateristiy M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. Středí počet záazíů v obsluze ES lze taé odvodit z rovic globálí rovováhy, teré sečteme:.,..., pro,,2,... pro m. m m
112 rovozí charateristiy M/M//m SHO Zísaý vztah upravujeme: Ig. Michal Dorda, h.d ,,, m m m m m m m m
113 rovozí charateristiy M/M//m SHO ro ES musí z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty platit: Ig. Michal Dorda, h.d m m ES
114 rovozí charateristiy M/M//m SHO oužitím tohoto vztahu dostáváme:.... m ES Z ormativí podmíy pravděpodobosti plye, že výraz v závorce a levé straě musí být rove m, proto dostáváme: ES m. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
115 rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Můžeme tedy psát: EL m l l l m l l l. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
116 rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů v systému EK je rove součtu středího počtu požadavů v obsluze a středího počtu požadavů ve frotě. Můžeme tedy psát: EK ES EL m l. m l l Ig. Michal Dorda, h.d. 6
117 rovozí charateristiy M/M//m SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES m. m Ig. Michal Dorda, h.d. 7
3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
6.1 Systémy hromadné obsluhy
6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY
7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.
Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Sekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems
MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat
14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evroský sociálí od Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti eto materiál vzikl díky Oeračímu rogramu Praha Adatabilita CZ..7/3../3354 Maažerské kvatitativí metody II - ředáška č.3 - Queuig theory teorie
1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Přednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Komplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Náhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Statistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Deskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Intervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.
TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly
Odhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
STATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
Definice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.
Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.
odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
S k l á d á n í s i l
S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
MARKOVOVSKÉ ŘETĚZCE Stochastické procesy Markovovské řetězce s diskrétním časem DTMC Discrete Time Markov Chain...
OBSAH MARKOVOVSKÉ ŘETĚZCE... 2 5.1 Stochasticé procesy... 2 5.2 Marovovsé řetězce s disrétím časem DTMC Discrete Time Marov Chai... 2 5.2.1 Defiice Marovovsého řetězce... 3 5.2.2 Matice přechodu... 4 5.2.3
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Užití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
P2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:
Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie
NEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Matematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
P. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Závislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme
2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Národní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí
n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Nové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017
66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý
n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Vícekanálové čekací systémy
Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve
Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost
MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem