Technická univerzita v Liberci. cvičebnice k předmětu MECHANIKA TEKUTIN
|
|
- Romana Kučerová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií cvičebnice k předmětu MECHANIKA TEKUTIN J. ŠEMBERA Katedra modelování procesů Liberec 00
2
3 Obsah Úvod 5 Příklady ke cvičení 6. Základní veličiny, jednotky a vztahy Hydrostatika Rozměrová analýza Stacionární proudění Nestacionární proudění Silové účinky proudu Analytické řešení rovnic proudění Další příklady Řešení a výsledky příkladů Použitá literatura 36 3
4
5 Úvod Vážení studenti, cílem cvičení k předmětu Mechanika tekutin je naučit studenta provádět běžné rutinní výpočty v oboru mechaniky tekutin, které jsou založeny na použití základních a experimentálních vztahů mezi stavovými veličinami. Právě tato tématika je zpracována textu, který se vám dostává do rukou. Jsme přesvědčeni, že text účelně doplňuje cvičení a pomůže vám při přípravě na písemnou část zkoušky. Přejeme hodně hezkých zážitků při studiu Mechaniky tekutin, při odkrývání vzájemných souvislostí a vztahů. 5
6 Kapitola Příklady ke cvičení. Základní veličiny, jednotky a vztahy tlak p[pa = kg/m/s ] síla F [N = kgm/s ] objem V [m 3 ] hustota ρ[kg/m 3 ] teplota T [K] součinitel stlačitelnosti ε[pa ] součinitel tepelné roztažnosti γ[k ]. atmosférický tlak p a = 00kPa. hustota vody ρ v = 000kg/m 3 gravitační zrychlení g =. 9,8m/s součinitel stlačitelnosti vody ε v = 4,6 0 0 Pa součinitel tepelné roztažnosti vody γ v =,8 0 4 K. hustota vzduchu ρ vz =,3kg/m 3 stlačitelnost: V = V 0 ε p tepelná roztažnost: V = V 0 γ T hydrostatický tlak: p = hρg ideální plyn: pv = RT Příklad.. Manometr ukazuje přetlak v potrubí 3,4m vodního sloupce. Jaký je přetlak v Pa a jaký je tlak v potrubí? Příklad.. Potrubí o objemu 50l je naplněno vodou pod atmosférickým tlakem. Kolik vody do něj musíme dočerpat, abychom trojnásobně zvýšili tlak? Příklad..3 Potrubí o objemu 50l je plné vody o teplotě 5 C. Na jakou teplotu musíme vodu ohřát, abychom tlak zvýšili z atmosférického tlaku na trojnásobek? 6
7 .. Hydrostatika 7 Příklad..4 Potápěč v hloubce 70m vydechne bublinu vzduchu o průměru 7cm. Jaký průměr bude mít tato bublina těsně pod hladinou? Napište pohybovou rovnici bubliny. Příklad..5 Máme sud s padesáti litry piva právě naražený ruční pípou. Tlak uvnitř sudu je stejný jako v okolní atmosféře (z pípy tedy nic neteče). Kolik vzduchu je třeba napumpovat do sudu, aby pak bez dalšího pumpování bylo možno načepovat právě 0 piv (tj. 5l kapaliny)? Sud má tvar válce o vnitřním průměru d = 30cm a výšce v s = 75cm, ústí pípy je h p = 40cm nad sudem. Pivo považujeme za ideální kapalinu o hustotě ρ v = 000kg/m 3. Příklad..6 Jaký je tlak v hloubce 800m pod hladinou moře, je-li mořská voda a) nestlačitelná (ρ = 060kg/m 3 ) b) stlačitelná (ε = Pa ).. Hydrostatika Hydrostatický tlak Příklad.. Do jaké výšky nad hladinu vyzvedneme velmi těsným velmi pomalým pístem vodu v trubici, působí-li na hladinu atmosférický tlak. Příklad.. Vyřešte příklad.. s předpokladem, že teplota vody je 70 C víte-li, že tlak nasycených vodních par při této teplotě je 3kPa. Příklad..3 V zařízení na obrázku jsou tři tekutiny: () voda o hustotě ρ = 000kg/m 3, () vzduch (ρ =,kg/m 3 ). Určete tekutinu (3) (přesněji její hustotu), víte-li, že h = 40mm, h = 00mm, h 3 = 50mm, h 4 = 45mm. Podtlak v nádrži je p N p a = 0,05MPa. ³ ÔÆ ½µ ² ³ ¾µ ³ Ô ½ ² ± ² ± ¾ µ
8 8 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad..4 Máme dva spojené válce o průměrech d = 0cm a d = 3,5cm naplněné vodou. Na obou jsou písty o hmotnostech m = 5kg a m. Určete hmotnost pístu m, víte-li, že rozdíl hladin ve válcích je h = 3cm (vyšší hladina je v prvním válci). Příklad..5 Ve vaně tvaru kvádru (m m 5m(výška)) je 0t vody a 70t rtuti. Určete průběh tlaku působícího na stěnu vany. (ρ Hg = 3600kgm 3 ) Ñ ½µ ¾µ ¾Ñ ¾Ñ ½ ¾ Příklad..6 Šikmá stěna dělí vodní nádrž na dvě různě hluboké části (viz obrázek). Určete velikost a působiště výsledné síly, je-li α = 60, h = m, h = m, stěna je široká 5m a hustota vody je 000kg/m 3. ½ «¾ Příklad..7 Dvě nádoby s vodou a rtutí jsou odděleny záklopkou pohyblivou v bodě A (viz obrázek). Určete, jak vysoko může dosahovat rtuť, aby přepážka nepoklesla (zanedbejte hmotnost přepážky). À ¾ Ç ½ α = 30 a = 0cm h = 35cm ρ H O = 000kg/m 3 ρ Hg = 3600kg/m 3 Õ «À ¾
9 .. Hydrostatika 9 Vztlak a plování těles Příklad..8 Jaký objem dřevěného tělesa o hustotě ρ dřeva = 70kg/m 3 a objemu V = 0,5m 3 bude vyčnívat při plavání ve vodě? Příklad..9 Nádoba je naplněna dvěma nemísitelnými kapalinami o hustotách ρ = 850kg/m 3 a ρ = 000kg/m 3. V nádobě plave zcela ponořený kvádr o hustotě ρ k = 90kg/m 3. Jeho výška je h = cm. Určete vzájemnou polohu kapalin a kvádru. Příklad..0 V nádobě se třemi nemísitelnými kapalinami plove koule o průměru d. Je ponořena ve třetí kapalině do hloubky b a vyčnívá ze druhé kapaliny do první do výšky a. Určete její hustotu. ½µ ¾µ ρ = 860kg/m 3 ρ = 000kg/m 3 ρ 3 = 00kg/m 3 d = 80cm a = 0cm b = 0cm µ Objem kulového vrchlíku o poloměru r a výšce a je V = πa (3r a). 3 Příklad.. Otvor ve dně nádrže je uzavřen zátkou tvaru komolého kužele. Určete sílu nutnou na uvolnění zátky. Tření zanedbejte. Ô À D = 30mm H = 50mm h = 0mm ρ = 000kg/m 3 d = 5mm h = 5mm m = 30g Ô ½ objem komolého kužele: V = π 3 v(r + rr + R )
10 0 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.. Jakou hydrostatickou silou nadzvedává kov horní část slévárenské formy na obrázku? Á Ê ½ Ê ¾ À R = 0,3m R = 0,38m d = 0,05m H = 0,6m ρ = 7300kg/m 3 Kapalina v poli zrychlení Příklad..3 Kbelík s vodou je ve výtahu. Hladina je 40cm nade dnem. Určete hydrostatický tlak na dno, je-li zrychlení výtahu,5ms a má směr a) dolů, b) nahoru; c) určete pohyb, při němž nebude na dno působit hydrostatický tlak. Příklad..4 Nákladní auto s kvádrovou korbou o rozměrech d š h = 5,5m veze 00hl kapaliny. Jakou může jet nejvýše rychlostí, aby nevylil náklad, předpokládáme-li, že v případě nebezpečí úplně zabrzdí z plné rychlosti za 5s? Zanedbejte možné překmity hladiny a předpokládejte, že kapalina je po celou dobu v ustáleném stavu (hladina je stále rovná). Příklad..5 Kvádrová vana na nakloněné rovině: rozměry podstavy d s, objem vody ve vaně V, úhel naklonění roviny α. Vanu táhneme se zrychlením a. a) Jaký je úhel naklonění hladiny β? b) Jaký tlak působí na spodní roh vany? «
11 .3. Rozměrová analýza Příklad..6 V nádobě tvaru válce o poloměru 5cm je 0cm vody. Nádobu roztočíme na,5ot./s. Jaký je tvar hladiny a jaká je hydrostatická síla působící na dno nádoby? Ö Öµ À ¼ Příklad..7 Uzavřená válcová nádoba o průměru R = 90cm a výšce H =,8m je v klidu naplněna vodou do výšky h 0 =,05m. Jak velká plocha dna a poklice bude odkryta při otáčkách,5ot./s?.3 Rozměrová analýza Příklad.3. Turbína má otáčky 50s. Na pětkrát menším modelu s otáčkami 35s byla naměřena obvodová rychlost,65m/s. Jaké obvodové rychlosti dosáhne skutečná turbína? Příklad.3. Určete vztah pro tlak vyvolaný proudem nestlačitelné tekutiny na stojící těleso. Předpokládejte pouze závislost na hustotě a rychlosti tekutiny..4 Stacionární proudění Nevazká nestlačitelná kapalina: rovnice kontinuity: V = v S Bernouliho rovnice: hρg + p + ρv = konst. Potenciální energie+tlaková energie+kinetická energie=konst. Příklad.4. Určete rychlost proudění vody v, je-li v Prandtlově trubici na obrázku rozdíl hladin rtuti h = 4,7mm. Ú Õ ½ Õ¾ Ú¾ Ú Ô¾ Ú Ú½ ¼ ρ H O = 000kg/m 3 Ú Ô½ Ú ² ± À ρ Hg = 3600kg/m 3
12 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.4. Jaký rozdíl tlaků naměří tlakoměr připojený k Venturiho trubici na obrázku? Ô ¾ Ú ¾ Ô Příklad.4.3 Jakou rychlostí bude stříkat voda z injekční stříkačky na ob- Ú ½Ô ½ rázku? D = 00mm d = 60mm ρ = 000kg/m 3 h = 50mm V = 0 m 3 /s Ô ½ ± Ô D = 5mm d = mm ρ = 000kg/m 3 F = 60N Vyjádření ztrát energie: Ztráty jsou modelovány snížením rychlosti a zmenšením skutečného průřezu, jímž tekutina protéká: Rychlostní součinitel ϕ = v skutečná v teoretická Součinitel kontrakce α = S proudu S otvoru. Průtočný objem se tedy počítá: V = v skutečná S proudu = αϕv teoretická S otvoru = µ V teoretická Zde µ = αϕ je tzv. výtokový součinitel. Výtokové součinitele pro některé případy je možno najít v [, tabulka 8]. Příklad.4.4 Kanál je ukončen jezem. Před jezem teče voda v kanálu rychlostí v =,8m/s, výška proudu přepadající vody je h = 45cm a šířka jezu i kanálu je l =,m. Výtokový součinitel přepadu je µ = 0,65. Určete průtočný objem přes jez. Ú½ Ü õ ÔÔÙ Ð
13 .4. Stacionární proudění 3 Příklad.4.5 Nádoba tvaru kvádru s obdélníkovým otvorem u dna (viz obrázek). Spočítejte průtok vody otvorem za předpokladu: a) konstantní rychlosti kapaliny v celém otvoru b) rychlostního profilu v otvoru c) se započítáním poklesu hladiny během výtoku. Ú h =,m v = 5cm a = 8cm s =,5m d = m µ = 0,7 ρ = 000kg/m 3 Příklad.4.6 Kanál je ukončen šikmou stěnou s obdélníkovým odtokovým otvorem (viz obrázek). Jaký je průtočný objem odtoku? Ú½ õ ÓØÚÓÖÙ Ü «Ú α = 60 v = 5cm s = 35cm h = 40cm µ = 0,7 v = m/s Příklad.4.7 Za jak dlouho vyteče voda z válcové nádoby nahoře otevřené s otvorem ve dně (viz obrázek)? D = 0cm d = cm À H = 50cm µ = 0,65 Vazká kapalina: Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρα v = h ρg + p + ρα v + p z, kde α je tzv. Coriolisův součinitel, vyjadřující úpravu výpočtu střední rychlosti v = V vzhledem ke kinetické energii. S Pro turbulentní proudění je,04 α,, pro laminární proudění v kruhové trubce je α = a mezi dvěma deskami je
14 4 Kapitola. Příklady ke cvičení α =,543. Pro malé rychlosti se běžně zanedbává (α = ). Člen p z = e z ρ = h z ρg = ξρ v vyjadřuje energetické ztráty. ξ je tzv. ztrátový součinitel. Energetické ztráty značně závisí na charakteru proudění. Ten lze rozlišit podle tzv. Reynoldsova čísla Re = vd, kde d je charakteristický rozměr kanálu. Při ν Reynoldsových číslech menších než kritické Reynoldsovo číslo Re k je proudění laminární, pro Re >> Re k jde o turbulentní proudění, pro Re >Re k může docházet k oběma druhům proudění. Laminární proudění v kruhovém potrubí o průměru d: Re = vd, Re ν k = 30, ještě pro Re < 4000 může docházet k laminárnímu proudění. Weisbachův vztah: ξ = λ l 64, kde součinitel třecích ztrát λ = d Re ve čtvercovém potrubí se stranou průřezu a: Re = va; ν ξ = λ l 57, kde λ = a Re Turbulentní proudění v hydraulicky hladkém potrubí: Pro Re k Re : λ = 0,364 4 Re (Blasius) Pro 0 5 Re 0 6 : λ = 0,84 5 Re λ = (,8 log Re,5) (Konakov) v hydraulicky drsném potrubí: Pro vysoké Re nezávisí na Reynoldsově čísle, pro nízká Re na něm závisí (rozlišení vysokých a nízkých Reynoldsových čísel: viz Nikuradzeho diagram např. [, diagramy č. 8, 9]) pro vysoká Re: λ = = (Nikuradze), ( log d +,38) ( log r +,74) kde je drsnost vyjádřená v metrech, r = d. pro nízká Re: Moody: λ = { [ log ( 6,97 Re ) 0,9 ]} +0,7 d ) 0,5 (, λ = 0, 00 + ) 0,5 Re d Altšul, Filoněnko: λ = 0, ( 68 + Re d Pro nekruhový průřez je d hydraulický průměr d = 4S o, kde S je průřez a o je omočený obvod. Tabulky drsností některých materiálů jsou uvedeny v [, tabulka č. 9]. Další ztráty v ohybech potrubí, výtocích, rozdvojeních, apod. se vyjadřují pomocí součinitele místních ztrát ξ. Pro některé případy jsou ξ uvedeny v [, tabulka č. 30].
15 .4. Stacionární proudění 5 Příklad.4.8 Určete množství vody protékající jednotlivými větvemi systému. Třecí ztráty zanedbejte vůči místním ztrátám. Jaká je celková tlaková ztráta? ½ ½ ¾ ½ Ú½ Ú ¾ Ú v = 3,8m/s d = 50mm d = 5mm ξ = 5 ξ = 7 ξ 3 = 4 ξ 4 = 6 Příklad.4.9 Do válcové trubky délky l proudí terpentýnový olej rychlostí v. První část dlouhá l má průměr d, za ní je ventil a pokračuje trubka o průměru d. Určete celkovou ztrátu (p z, h z, e z ). Potrubí je hydraulicky hladké. ½ н Ú½ Ú ½ Ð ¾ ¾ l = 5m l = 3,8m ν =,8 0 6 m /s ρ = 80kg/m 3 d = 40mm d = mm v = 0,m/s ξ v = 4,85 Příklad.4.0 Dvě nádrže jsou spojené potrubím. Ze spodní nádrže volně vytéká voda, v horní je hladina uměle držena na konstantní úrovni. Na obrázku je již ustálený stav. Určete výtokovou rychlost do ovzduší, tlak nad hladinou ve spodní nádrži a ztrátový součinitel ξ ventilu mezi dvěma nádržemi. Potrubí je hydraulicky ³ hladké. p = 0,MPa p = 0,03MPa p a = 00kPa h 0 = 0,5m h = 8m h = 4m ¼ ² Ô ½ ³ ½ ½ Ô ¼ ½ ½ ½ d = 00mm l = 0m ³ Ô ¾ d = 50mm l = 5m ³ ¾ ϕ = 0,95 ϕ = 0,90 ξ = 4,5 ξ 3 =, ξ vtoku = ρ = 000kg/m 3 ν = 0, m /s Ð ½ ÚØÓÙ Ð ¾ ¾ ¾ Ð ¾
16 6 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.4. Určete, jak daleko od středu čerpadla na obrázku dostříkne voda, otáčí-li se jeho horní část úhlovou rychlostí ω. Ö ¾ Ü h 0 = 50cm h = 50cm h = 50cm d = 5cm r = 75cm ω = s λ = 0,08 ξ ½ v = 0,5 ξ x = 0,3 ¼ Î Příklad.4. Určete ztrátu v difuzoru na obrázku při proudění vody. ½.5 Nestacionární proudění Ä Neustálené proudění, stlačitelná tekutina: Ú ¾ ¾ ρ = 000kg/m 3 L = 50mm d = 60mm d = 0mm v = m/s λ = 0,04 = konst. Rovnice kontinuity: ρ S v = ρ S v + () ρ Sdl; dl je elementární vzdálenost () t ve směru proudnice. Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv + p z + () ρ vdl; () t kde poslední člen pro stálý průřez a nestlačitelnou kapalinu je roven ρal (a je zrychlení). Příklad.5. V trubici tvaru U na obrázku jsou vodní hladiny v jednotlivých ramenech drženy s rozdílem výšek h. Jak se bude pohybovat hladina, uvolníme-li hladiny (vyrovnáme-li tlak nad oběma rameny)? Zanedbejte vliv ztrát energie. ½ ² ± ¾ Ð d = 0,5cm l = 75cm h(0) = 30cm h(t) =?
17 .6. Silové účinky proudu 7 Příklad.5. Tentýž stav, jako v příkladu.5., jen započteme ztráty způsobené viskozitou kapaliny ν = 0 6 m /s. Navíc máme jiné počáteční podmínky: v čase t = 0 jsou hladiny v obou trubicích vyrovnány, ale rychlost klesání hladiny v levém rameni je v(0) = 0,3m/s. Příklad.5.3 Olej proudí potrubím na obrázku zdola nahoru. Určete tlak oleje na horním konci potrubí, znáte-li tlak na dolním konci p = 30kPa, vstupní rychlost v = m/s a zrychlení oleje a = 0,7m/s. Ztrátu na rozšíření počítejte podle vzorce z [, tab. 30]: p zx =, ρ(v v ). ¾ Á о ³ ϕ = 45 ρ = 80kg/m 3 Ê ν =, m /s Á Ú½ l = 0cm l = 450cm Á н d =,5cm d = 5,5cm ½ Ê Příklad.5.4 Z veliké nádrže odtéká voda potrubím (viz obrázek). Za jakou dobu po otevření výpusti bude rychlost na výstupu v(t) = 4,5m/s? Zanedbáváme tření a pokles hladiny. Započítáme rychlostní součinitel potrubí ϕ = 0,8. Ý «.6 Silové účinky proudu Ð Þ h = m l = 0m F = S v dṁ S v dṁ + S (p p a )( n )ds + S (p p a )( n )ds + G Kontrolní objem V je omezen kontrolní plochou S = S S S 0, kde plochou S 0 neprotéká tekutina. n i je vektor vnější normály plochy S i.
18 8 Kapitola. Příklady ke cvičení Příklad.6. Na lopatku (viz obrázek) dopadá válcový paprsek vody o průměru d rychlostí v. Určete sílu, kterou působí voda na lopatku, je-li rychlost pohybu lopatky u (stejným směrem, jako přitékající voda). Tvar lopatky zajišťuje, že paprsek vytékající vody má vzhledem k lopatce kruhový průřez též o průměru d. Ú¾ Á d = cm v = 6,5m/s u = 4m/s ϕ = 60 Ú½ Ù ³ Příklad.6. Volný proud vody dopadá svrchu kolmo na vodorovnou desku rychlostí 0m/s. Určete sílu, kterou voda působí na desku (proud je válcový s průměrem 5cm). Ô Ô Ú Ú ½ Příklad.6.3 Volný proud vody dopadá vodorovně na rotačně symetrické těleso a rozpadne se podle obrázku v úhlu ϕ = 35. Proud je válcový s průměrem cm a rychlostí 5m/s. Při ohnutí proudu nedojde ke ztrátě energie (rychlosti). Určete sílu, kterou voda působí na těleso. Ô ½ Ú ¾ Ú ³ Příklad.6.4 V zakřiveném potrubí kruhového průřezu s konstantním průměrem 0cm ohýbajícím se o 05 proudí voda. Vstupní rychlost je 8m/s, tlak na vstupu je 0,33MPa a střed vstupního průřezu je 0,85m nad středem výstupního průřezu. Určete sílu působící na zakřivenou část potrubí (zanedbejte ztráty energie). Objem kolena je 80l. ³ Æ Ú ½ Ô½ ½¼ Æ Ú¾ Ô¾
19 .7. Analytické řešení rovnic proudění 9 Příklad.6.5 Ze zahradního ostřikovače upevněného otočně na svislé ose na rameni délky l (na obrázku je pohled shora) vystřikuje otvorem o průměru d = 5mm voda rychlostí v = 3,7m/s. Určete ³ sílu, kterou je třeba působit v polovině ramene, aby se ostřikovač nepohyboval. Ð Ð ¾ Ú Součinitel odporu a vztlaku: Síla, kterou působí proud tekutiny na obtékané těleso se může vyjadřovat pomocí součinitele odporu c x a součinitele vztlaku c L. Odporová síla se pak vypočte podle vzorce F x = c x S x ρv, kde S x je čelní průřez obtékaného tělesa, v rychlost tekutiny a člen ρv se označuje jako kinetický tlak. Působí tím směrem, kterým proudí tekutina. Vztlaková síla se počítá podle podobného vzorce F L = c L S x ρv. Působí kolmo na sílu odporovou. Příklad.6.6 Automobil jede rychlostí v = 90km/h. Plocha jeho čelního průřezu je S x =,3m a součinitel odporu je c x = 0,46. Určete aerodynamický odpor a výkon potřebný k jeho překonání. Hustota vzduchu je ρ =,5kg/m 3. Příklad.6.7 Obdélníková šikmá střecha o rozměrech 6 8m vzdoruje větru o rychlosti v = m/s. Střecha svírá úhel 40 s vodorovinou, vítr vane vodorovně kolmo na hranu střechy. Součinitel odporu je c x = 0, a součinitel vztlaku c L = 0,6. Určete výslednou sílu působící na střechu. Hustota vzduchu je ρ =,5kg/m 3..7 Analytické řešení rovnic proudění Příklad.7. Určete tvar rychlostního profilu a závislost tlaku pro ustálené proudění nestlačitelné vazké tekutiny kruhovým potrubím, je-li proudění osově symetrické a rychlost je rovnoběžná s osou trubky. Určete pro hodnoty: R = 30cm, ν = 0 6 m /s, ρ = 000kg/m 3, V = 905l/s. Příklad.7. Turbulentní proud vody v kruhové trubce: určete pro dané Re příslušnou maximální rychlost (rychlost v ose potrubí), tvar rychlostního profilu a objemový ( průtok, víte-li, že platí mocninový zákon pro profil rychlosti: v(r) = v y ) n, max d kde y = d r a pro n platí tzv. Grimsonova formule ve tvaru = 0,9895 ln Re 0,604. Výpočet proveďte pro Re = 503, d = 5cm, ρ = n 000kg/m 3, ν = 0 6 m /s.
20 0 Kapitola. Příklady ke cvičení.8 Další příklady Příklad.8. Určete celkovou sílu působící na část potrubí na obrázku: н Ô½ ² Ро Ú l = m l = 5m l 3 = m d = 4cm p = 50kPa v = m/s ρ = 000kg/m 3 Příklad.8. Určete okamžité zrychlení proudění v trubičce spojující dvě veliké nádrže (jde o neustálené proudění). Ô ½ Ð Ú Příklad.8.3 Určete tlak p na výstupu z nakreslené části potrubí. Ô½ ½ н Ú½ Ú ½ о Ô ¾ ¾ ¾ Ô¾ p = 00kPa p = 00kPa l = m d = mm h = 3,5m v = m/s ρ = 000kg/m 3 ν = 0 6 m /s ξ = p = 00kPa l = m l = m d = 0,5mm d = mm v = m/s a = 0,m/s ρ = 000kg/m 3 ν = 0 6 m /s ξ v = 0,
21 Kapitola Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu..: p + = hρ v g = 3, ,8 = 33354Pa p = p a + p + = ,35 = 33,34kPa [ 33,35kPa ] Řešení příkladu..: V = V 0 ε v p, V 0 V = 50l = 0,05m 3, p = p a = 00kPa V 0 V = V 0 ( ε v p). = 0, m 3 V 0 = V 0 V = 0,05 ε v p 4, V = V 0 (V 0 V ) = 0, ,05 = 0, m 3 = 4,6ml [ 4,6ml ] Řešení příkladu..3: roztažnost: V = V 0 γ v T, stlačitelnost: V = V 0 ε v p V 0 γ v T = V 0 ε v p T = εv γ v p = 4, = 0,5K,8 0 4 [ 5,5 C ] Řešení příkladu..4: Stavová rovnice plynu: pv = konst. Tlak v hloubce h: p(h) = p a + hρ v g p(70)v (70) = p(0)v (0) (p a + 70ρ v g) π 6 d(70)3 π = p a 6 d(0)3 d(0) = 3 pa+70ρvg p a d(70) =. 3,9cm Vztlaková síla: F vz (h) = V (h)ρ v g Gravitační síla: F g = mg = V (0)ρ vzduchu g Rovnováha sil: ḧm = F g F vz ḧ = g( ρv V (h)) = g g ρ v ( ) m π ρ g g v 6 d(h)3 π ρ vzduchu = g ρv p a 6 d(0)3 ρ vzduchu p a+hρ vg (h je označení pro hloubku) Poznámka: V (h) ρ vzduchu = V (0)
22 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Existuje teoretická hloubka, kdy bublina začne klesat (tj. kdy gravitační síla převáží nad vztlakovou) tehdy bude hustota vzduchu rovna hustotě vody a vzduch se ve vodě rozpustí... [ 3,9cm; ḧ = g ρv p a ] ρ vzduchu p a+hρ vg Řešení příkladu..5: Stav po načepování 0 piv: hladina piva v sudu je ve výšce v, ústí pípy je ve výšce h nad hladinou: v + h = v s + h p = 5cm. Objem piva v sudu je π 4 d v = 45l v = 63,67cm, h = 5,33cm. Tlak vzduchu nad hladinou piva: p = p a + hρ v g = 05035,47Pa Objem vzduchu nad hladinou piva při tlaku p: V = π 4 d (0,75 v) = 8,0l Objem téhož vzduchu při tlaku p a : p a V a = pv V a = p p a V = 8,4l Objem vzduchu v sudu před čepováním: V 0 = 0,75 π 4 d 0,05 = 3,0l Objem dopumpovaného vzduchu V + = V a V 0 = 5,40l. [ 5,40l ] Řešení příkladu..6: a) p = p a + ρgh = ,8 800 = 8,489MPa b) dv = εv dp dv = εdp V m = ρv 0 = dm = dρv + ρdv dv = dρ V ρ dp = ρgdh dρ ρ = ερgdh dh = εg εgρ 0 ρ = ρ 0 dp = ρgdh = ε ρ 0 hεg dρ h = + c ρ εg ρ 0, kde pro h = 0 je ρ = ρ 0 c 0 = dρ ρ p = ε ln ρ + c, kde při ρ = ρ 0 je p = p a c = p a ε ln ρ 0 p = ε ln ρ ρ 0 + p a p(h) = ε ln ρ 0 hεg + p a p(h = 800m) = 8,438MPa [ a) p = 8,489MPa; b) p = 8,438MPa ] Řešení příkladu..: Minimální možný tlak na hladině v trubici pod pístem je 0Pa. Maximální možný podtlak je tedy p a = 00kPa. Takový tlak bude vyrovnán hydrostatickým tlakem vodního sloupce v trubici: p a = h ρ v g h = p a /ρ v /g = 00000/000/9,8. = 0,m [ 0,m ] Řešení příkladu..: p a p par = h ρ v g h = (p a p par )/ρ v /g = ( )/000/9,8. = 7,0m [ 7,0m ] Řešení příkladu..3: Tlak na rozhraní ve výšce h označíme p h a podobně: p h = p N + ρ g(h h ) p h3 = p h + ρ g(h h 3 ) = p N + ρ g(h h ) + ρ g(h h 3 ) p a = p h4 = p h3 + ρ 3 g(h 3 h 4 ) = p N + ρ g(h h ) + ρ g(h h 3 ) + ρ 3 g(h 3 h 4 ) ρ 3 = pa p N ρ g(h h ) ρ g(h h 3 ). g(h 3 h 4 = 358kg/m 3 )
23 3 [ 358kg/m 3 (rtuť) ] Řešení příkladu..4: Hydrostatický tlak kapaliny vyvažuje rozdíl tlaků způsobených písty: p = m g/s = 4m g/π/d = 0 9,8/3,45/0,0 =. 645Pa p = m g/s = 4m g/π/d = 4 9,8m /3,45/0,085 =. 685,4m Pa p h = h ρ v g =. 0, ,8 = 94,3Pa p + p h = p.. m = ( ,3)/685,4 = 9,54kg [ 9,54kg ] Řešení příkladu..5: Jde o nemísitelné kapaliny leží na sobě. Rtuť je těžší, tedy leží vespod. V Hg = m Hg ρ Hg = 5,47m 3 h = V Hg =,87m V H O = m H O = ρ 0m3 H h O = V H O =,5m Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem v některém spodním rohu vany se svislou osou z. Tlak nebude záviset na souřadnicích x, y, ale jen na z. V rozsahu z (h +h,5m) bude zevnitř působit pouze atmosférický tlak, v intervalu z (h, h + h ) bude půobit navíc hydrostatický tlak sloupce vody: p(z) = (h + h z)ρ H Og + p a. V rozmezí z (0, h ) bude působit atmosférický tlak, tlak celého sloupce vody a části sloupce rtuti: p(z) = (h z)ρ Hg g +h ρ H Og +p a. Ô Þµ ¾È ½¾ È [ ½¼¼È ½ ¾Ñ Ñ Ñ Þ ] Řešení příkladu..6: Síla z levé strany: F = pds = s h p(h) dh S 0 sρg sin α h = 36N Síla z pravé strany: F = sρg sin α h = 890N = s sin α sin α h 0 (h h)ρgdh = Působiště síly = bod, ve kterém působení síly vyvolá stejný moment, jako když je síla rozložená: Vyrovnáme momenty vzhledem k průsečnici stěny a dna: h M = F y = F p = h p(h)s h dh h sin α 0 sin α sin α p = h 3 Podobně h p = h 3 Celková síla F = F F = 8487N, působiště vyrovnáním momentů: F hp sin α = F h p sin α F h p sin α h p = F h F h 3F = 0,78m [ 8487N; 0,78m nade dnem ]
24 4 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu..7: Srovnání momentů sil zleva a zprava M H O = a sin α gρ 0 H O (h +a sin α x) s x dx =... = ρ sin α sin α H Ogsa [ h + a sin α] 6 M Hg = h gρ 0 Hg (h x) s x dx =... = ρ Hggs sin α sin α sin α 6 h3 M H O = M Hg h = 3 ρh Oa sin α[3h +a sin α]. ρ Hg = 0,095m. [ 0,095m ] Řešení příkladu..8: ρ dřeva V = ρ v V 0 V 0 = ρ dřeva ρ v V = 70 0,5 = 0,8m3 000 [ Vyčnívá 0,07m 3 dřeva. ] Řešení příkladu..9: Kapalina o vyšší hustotě (ρ ) bude pod kapalinou o nižší hustotě (ρ ). ρ < ρ k < ρ kvádr bude plovat na rozhraní. Určíme jeho ponoření v druhé kapalině (označíme je h ): Vztlaková síla působící na kvádr je h S ρ + (h h ) S ρ, kde S je plocha podstavy kvádru. Gravitační síla působící na kvádr je h S ρ k. h S ρ + (h h ) S ρ = h S ρ k h S(ρ ρ ) = hs(ρ k ρ ) h = ρ k ρ ρ ρ h = 70 = 5,6cm 50 [ Kvádr plove na kapalině ponořen 5,6cm ] Řešení příkladu..0: V = πa ( 3d a), V 3 3 = πb ( 3d b), V = 4π d3, V = V V V 3. ρ V + ρ V + ρ 3 V 3 = ρv ρ = ρ V +ρ V +ρ 3 V 3 = 986,73kg/m 3 V [ 986,73kg/m 3 ] Řešení příkladu..: Síla dolů je způsobena gravitací a vahou vody v objemu V + = π D (H h 4 ). Síla nahoru je způsobena vztlakem objemu V = π h [D + d D d ] + V + π d 4 (H h ), kde d = d + D d(h h h ) = 6.7mm. À Î Î Î ½ ½ F = mg + V + ρg V ρg = 3N
25 5 Řešení příkladu..: Vztlak způsobí objem nad odlitkem: Î Á Ê ½ Ê ¾ À V = πr H π d 4 (H R ) 3 πr3 = 0,5m 3 F = V ρg = 5385N [ 3N ] [ 5385N ] Řešení příkladu..3: p = h ρ a c (a c je celkové zrychlení). a) p = h ρ (g a) = 0, ,3 = 94Pa b) p = h ρ (g + a) = 0,4 000,3 = 494Pa c) p = h ρ (g + a) = 0 g = a setrvačné zrychlení působí proti gravitačnímu volný pád výtahu. [ 94Pa; 494Pa; volný pád ] Řešení příkladu..4: Předpokládáme, že hladina kapaliny se rychle ustaluje kolmo k působícímu zrychlení. Kromě gravitačního zrychlení bude při brždění působit setrvačné zrychlení o velikosti rovné zbrždění automobilu. Směr setrvačného zrychlení je totožný se směrem jízdy a je kolmý na směr gravitačního zrychlení. Součet obou zrychlení musí působit takovým směrem, aby se hladina neustálila nad okrajem korby, tj. sklon zrychlení vůči svislici nesmí být větší než arccotg(,5/0,5), tj. velikost setrvačného zrychlení nesmí být větší než 0,5/,5 g = 0,g. =,96m/s. Tedy rychlost automobilu před zbržděním nesmí být víc než 5,96 = 9,80m/s = 35,8km/h. [ 35,3km/h ] Řešení příkladu..5: a) Sínová věta: sin β a = sin( π α) g a = cos α g a β = arcsin( a cos α g a ) Õ Õ «Õ ¾ «Æ «
26 6 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů b) p = p a + Hρ g a, H je výška hladiny ve směru zrychlení g a... H =... = ( V + dtg(α β)) cos(α β) d s p = p a + ρ v g a ( V cos(α β) + d sin(α β)) ds [ β = arcsin( a cos α);p = p g a a + ρ v g a ( V cos(α β) + d sin(α β)) ] ds Řešení příkladu..6: Hladina bude v každém bodě kolmá k působícímu zrychlení (to je indukováno gravitací a rotací). Výška hladiny h(r) bude z důvodu symetrie záviset jen na vzdálenosti od středu rotace. Setrvačné zrychlení způsobené rotací: a r (r) = rω, kde úhlová rychlost ω = π,5s. ÐÒ Ö Öµ Ö Öµ «Öµ tgα(r) = ar(r) g h(r ) = H 0 + r = d dr h(r) 0 a r(r) g dr = H 0 + ω g r H 0 určíme porovnáním objemů: V = R 0 πrh(r)dr =... = π(h 0R + ω 4g R4 ) = Í = V 0 = πr. h 0 H 0 = h 0 ω 4g R = 0,0584m Určení tlaku na dno: přírůstek tlaku v hloubce x na kružnici r: dp(x, r) = ρg( dx) + ρa r (r)dr p(x, r ) = x H 0 ρg( dx) + r 0 ρa r(r)dr =... = ρ[g(h 0 x ) + ω r ]. Tlak na dno je tedy p(0, r). Síla na dno F = R 0 p(0, r)πrdr =... = πρr [gh ω R ] = 385,9N [ h(r) = 0, ,530r ;F = 385,9N ] Řešení příkladu..7: Ö ½ Ö ¾ Ê Jako v příkladu..6: h(r) = H 0 + ω g r Skutečná hladina je ale h(r) = max{0; min{,8; h(r)}}. Srovnáním objemů: r r πrh(r)dr + (R r)πh = = V 0 = πr,05 a přitom h(r ) = 0, tj. H 0 + ω r = 0 g a h(r ) = H, tj. H 0 + ω r = H g řešením této soustavy dostáváme: r = R ( h 0 ) + Hg = 0,37m H ω a r = R ( h 0 ) Hg = 0,335m. H ω [ r = 0,4m, r = 0,34m ] Řešení příkladu.3.: Vystupují zde veličiny: průměr d[m], otáčky ω[s ], obvodová rychlost v[m/s].
27 7 Rozměrová matice: m s ( d ω v 0 0 ) ( 0 0 dω/v = konst. d ω /v = d ω /v v = (d /d ) ω /ω v = 5 50/35,65. = 8,93m/s ) [ 8,93 m/s ] Řešení příkladu.3.: Vystupují zde veličiny: tlak p[pa = kg/m/s ], hustota ρ[kgm 3 ], rychlost v[m/s]. p ρ v kg 0 0 Rozměrová matice: m 3 0 s p/v /ρ = konst. p = konst. ρ v Poznámka: Konstanta vystupující v tomto vztahu se nazývá Eulerova konstanta a značí se Eu. Závisí na geometrických podmínkách (tvaru a poloze tělesa vůči proudění) i na druhu proudění. Řešení příkladu.4.: Bernouliho rovnice: h ρ H Og + p + ρ H Ov = h ρ H Og + p + ρ H Ov. h = h, v = 0, v = v p = p + ρ H Ov v = (p p ) ρ H O p = p + h(ρ Hg ρ H O)g v = h(ρhg ρ H O)g ρ H O. =,9m/s [ p = Eu ρ v ] Poznámka: p p je tzv. dynamický tlak, p tzv. statický tlak a p celkový tlak Řešení příkladu.4.: Rovnice kontinuity: V = v S = v S v = 4 V ; v πd = 4 V πd Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv p p = (h h )ρg + ρ(v v ( ) ) p = ρ[ hg + 4 V π ( )] =. 695Pa d 4 D 4 Řešení příkladu.4.3: Rovnice kontinuity: v S = v S v = d D v [,9m/s ] [ 695Pa ]
28 8 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů rovnováha sil: F + p a S = p S p = F S + p a = 4F πd + p a Bernouliho rovnice: h ρg + p + ρv = h ρg + p + ρv, h = h, p = p a 4F + p πd a + ρ d4 v D 4 = p a + ρv v = 4F πd ρ D4 d 4 D 4 v = 8D F πρ(d 4 d 4 ). = 5,6m/s [ 5,6m/s ] Řešení příkladu.4.4: Bernoulliho rovnice: xρg + ρv (x) = ρv v (x) = v + gx V = µ h v 0 (x)ldx = µl h 0 v + gxdx = µl v +gh y v dy = µl ( v g 3g + gh 3 v) 3 =,m 3 /s. [,m 3 /s ] Řešení příkladu.4.5: a) Bernoulliho rovnice: 0ρ H Og ρ H O0 = (h + v)ρg ρv v = (h + v)g V = µv S = µav (h + v)g = 0,066m 3 /s b) (h + x)ρg + ρv (x) = 0 v (x) = g(h + x) V = µa v v 0 (x)dx = gµa h+v y dy = µa g h 3 ((h+v)3/ h 3/ ) = 0,066m 3 /s c) H = H(t), H(0) = h : d V (t) = µa g ((H(t) + dt 3 v)3/ H(t) 3/ ) V (t) = dsh(t) d V (t) = µa g V (t) (( + v) 3/ V (t) dt 3 ds ds... nutno řešit numericky (například nahradit časovou derivaci diferenčním členem V (k+) V (k), kde horní index označuje pořadí časového kroku a t délku t časového kroku, a nahrazení členů V (t) na pravé straně hodnotami v minulém časovém kroku V (k). 3/ ) [ a), b) 0,066m 3 /s, c) V (k+) = V (k) tµa g V (k) (( 3 ds + v) 3/ V (k) 3/ ds ), V (0) = dsh, V (k t) = V (k+) V (k) t ] Řešení příkladu.4.6: Bernoulliho rovnice: ρv = ρv (x) ρgx v (x) = gx + v V = µs h+v sin α v h (x) dx = [ µs sin α 3g sin α (g(h + v sin α) + v ) 3/ (gh + v) 3/] = 0,9m 3 /s [ 0,9m 3 /s ] Řešení příkladu.4.7: Bernoulliho rovnice: h(t)ρg = ρv (t), h(0) = H v(t) = gh(t) dv (t) = V (t) = µπ d D D dh v(t), V (t) = π h(t) π = µπ d g h dt dt 4 dh h = µ ( d ( D) gdt h + C = µ d D) gt t = 0 h = H : C = H t = ( H h) ( D ) µ d g t h=0 = ( H µ D ) g d = 49,s [ 49,s ]
29 9 Řešení příkladu.4.8: Rovnice kontinuity: v S = v S + v 3 S Rovnost tlaků na roztoku i soutoku p z = p z : (ξ + ξ + ξ 3 )ρ v = ξ 4 ρ v 3 d Z obou rovnic: v = v =,698m/s v 3 = ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d d + ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d d + ξ +ξ +ξ 3 ξ 4 d v = 4,406m/s V = v πd 4 = 0,34m 3 /s, V 3 = v 3 πd 4 = 0,054m 3 /s, p z = ξ 4 ρ v 3 = 58,kPa [ V = 0,34m 3 /s, V 3 = 0,054m 3 /s, p z = 58,kPa ] Řešení příkladu.4.9:. úsek: v = 0,m/s, Re = v d = 835 < Re ν k = 30 laminární proudění λ = 64 Re = 34, ( ) d. úsek: v = v d =,m/s, Re = v d = 66 > Re ν k turbulentní pr. Blasius: λ = 0,364 4 Re = 35, l h z = λ v v d g + ξ l v g + λ v d g = 0,9m p z = h z ρg = 845Pa; e z = pz = gh ρ z =,49J/kg [ h z = 0,9m; p z = 845Pa; e z =,49J/kg ] Řešení příkladu.4.0: ( ) Bernoulliho rovnice: p + h 0 ρg + ρ0 = p + 0ρg + ρ v ϕ v = ϕ p p +h 0ρg =,85m/s ρ Rovnice kontinuity: v πd = v πd v 4 4 = d v d = 0,8m/s Bernoulliho rovnice: p + h ρg + ρ0 = p a + 0ρg + ρv + p z p = p a + ρv h ρg + p z ( ) Vyjádření ztrát na výtoku: ρv + ξ vytok ρv = ρ v ϕ ξvytok = ϕ Ztráty v potrubí do ovzduší: Re = v d = >> Re ν k turbulentní proudění (λ = 0,84 5 [( ) ] = 0,0789) Re p z = + λ l ϕ d + ξ + ξ 3 ρv = 589Pa p = 697Pa Bernoulliho rovnice: p + h ρg = p + p z p z = p p + h ρg = 7kPa Re = v d = >> Re ν k turbulentní proudění (λ = 0,84 5 Re = 0,05594) [( ) ] l p z = + λ ϕ d + ξ + ξ vtoku ρv ( ) ξ = p z l λ ρv ϕ d ξ vtoku = 4,4 [ v = 0,8m/s, p = 697Pa, ξ = 4,4 ] Řešení příkladu.4.: Bernoulliho rovnice mezi body na hladině a v ohybu čerpadla: p a = p + ρv +
30 30 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů (h + h )ρg + p z Bernoulliho rovnice mezi ohybem čerpadla a výtokem: p + ρv = p a + ρv ρ(rω) + p z, kde člen ρ(rω) vyjadřuje potenciální energii v poli odstředivého zrychlení. Jejich kombinací: 0 = (h + h )ρg + p z + ρv ρ(rω) + p z, kde ztráty p z + p z = ( ξ v + ξ x + λ h 0+h +h ) +r ρv v = r ω (h +h )g +ξ v+ξ x+λ h 0 +h +h +r d d = 4,75m/s Doba letu vody z rovnice volného pádu: h + h = gt t = 0,63s ½ µ Ð Ö Ð ÚØ Õ ÖØ h +h g = Podle obrázku pravoúhlého trojúhelníku: l = (r + vt) + (ωrt) = 6,8m Řešení příkladu.4.: h z = λ l v při konstantním průměru a rychlosti d g dh z = λ v (l) dl h g d(l) z = l λ v (l) dl l g d(l) Rovnice kontinuity: π d v = π d 4 4 v v = ( ) d v d. Lineární vztah mezi vzdáleností od počátku rozšíření l a průměrem: d(l) = d + d d l. L h z = λ L d 4 g 0 d 4 (l) v dl = λd4 v L dl = λ d(l) g 0 (d + d d L l)5 g d4 v d d ( ) ( ) λ 8g d4 v L d d = λv d 4 d 4 L d 4 8g(d d = 0,0803m ) d 4 p z = h z ρg = 787,7Pa, e z = gh z = 0,788J/kg, ξ v = ghz = 0,3939 v L dx d d = x 5 [ 6,8m ] [ h z = 0,0803m, p z = 787,7Pa, e z = 0,788J/kg, ξ v = 0,3939 ] Řešení příkladu.5.: Bernoulliho rovnice: p a + ρ v + lρa = p a + ρ v + ρgh přitom v = v = v = ḣ ḧ ; v = a hg = al = d h = g h; řešíme substitucí h = dt l eλt : charakteristická rovnice λ = g λ l, = ±i Řešení je tedy h(t) = c e i g l t + c e i g l t, konstanty z počátečních podmínek: h(0) = c e 0 + c e 0 = c + c = 0,3; g ḣ(0) = c l ie0 g c l ie0 g = (c c )i = 0 c l = c = 0,5 Kapalina bude kmitat s periodou π 0,75 l g l. 9,6 : h(t) = 0,3 cos( 9,6 0,75 t).
31 3 [ h(t) = 0,3 cos(5,t) ] Řešení příkladu.5.: Maximální Reynoldsovo číslo: Re max = v(0)d = 500 laminární proudění ν Bernoulliho rovnice: ρgh = ρal + sgnv p z, kde p z = λ l ρ d v, kde λ = 64ν vd ztrátový tlak p z násobíme koeficientem sgnv, protože ke ztrátě dochází vždy ve směru rychlosti v. Protože sgnv p z = sgnv 64ν l ρ vd d v = 3νl ρv a přitom a = v = ḧ; v = ḣ, d dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici ḧ + 3ν ḣ + g h = 0, kterou řešíme d l substitucí h = e λt : λ + 3ν λ + g = 0 λ d l, = 6ν 6 ± ν g 6ν ; označme k = ; K = d d 4 l d k g l h(t) = c e λ t + c e λ t = e kt (c e Kt + c e Kt ), konstanty z počátečních podm.: h(0) = c e 0 + c e 0 = c + c = 0 c = c h(t) = c e kt sinh(kt) ḣ(0) = c [ ke 0k sinh(0k) + Ke 0k cosh(0k) ] = c K = v(0) c = v(0) K h(t) = v(0) K ekt sinh(kt), kde k = ,005 = 0,64s, K = 5,07is sinh(ix) = i sin(x) h(t) = 0,3 5,07 e 0,64t sin(5,07t) [ h(t) = 0,059e 0,64t sin(5,07t) ] Řešení příkladu.5.3: Pohybová rovnice: p + ρ v = p + ρ v + ρgh + p z + ρ () adl () Rovnice kontinuity: v S = v S v = d v d a S = a S () adl = (a () l + a l ) = a (l + d l d ) l navíc h = (l + l ) cos ϕ; p z = λ d ρ v l + λ d ρ v Ztráta v první části potrubí: Re = v d = 064 < Re ν k ; λ = 64 Re = 0,060 Ztráta ve druhé části potrubí: Re = v d = 484 < Re ν k ; λ = 64 Re = 0,3 Ztráta na rozšíření (viz [, tab. 30]): p zx =, ρ(v v ) = 36,Pa p z = ρλ l d v + p zx + ρλ l d v = 3448Pa p = p + ρ v ρ v d d ) ρg(l + l ) cos ϕ p z ρa (l + d l d = 87,kPa [ p = 87,kPa ] Řešení příkladu.5.4: Teoretická rychlost bude splňovat Bernoulliho rovnici ve tvaru: ρgh + p a = ρ v + p a + ρal al + v gh = 0 dvl + dt v gh = 0 dt = t(v) = l dv = l gh v [ l gh ln gh+v gh v ] gh v + gh+v Skutečná rychlost bude však pouze ϕ-násobkem teoretické rychlosti, proto musíme určit t( v ϕ ) = dv gh l gh+ v ϕ gh ln gh v ϕ = 4,35s [ 4,35s ]
32 3 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů Řešení příkladu.6.: Rychlosti v a u měříme vzhledem k okolí (zemi), zatímco rychlost v je měřena relativně vůči lopatce. Zavedeme tedy rychlost v = v u a budeme vše počítat v soustavě lopatky: F = H H, kde H, resp. H je tok hybnosti vody přicházející na lopatku, resp. tok hybnosti vody opouštějící lopatku. F x = Ḣx Ḣx = ṁ(v u) ṁ( v cos ϕ) F y = Ḣy Ḣy = 0 ṁv sin ϕ Z rovnice kontinuity (v soustavě lopatky) je v u = v Hmotnostní tok (přítoku i odtoku též v soustavě lopatky) je ṁ = ρπ d (v 4 u) F x = ρπ d (v 4 u) ( + cos ϕ) = 06,0N F y = ρπ d (v 4 u) sin ϕ = 6,N Celková síla F = Fx + Fy =,4N, podstatná je však síla F x. [ F x = 06,0N; F =,4N ] Řešení příkladu.6.: F = H H F y = Ḣy Ḣy = ṁv 0 = ρπ d v v = 4909N 4 F x = Ḣx Ḣx = 0 0 = 0N F = Fx + Fy = 4909N, působí směrem dolů. Řešení příkladu.6.3: ṁ = ṁ = ρπ d v; v 4 = v F x = Ḣx Ḣx = ṁ v ṁ v x = ρπ d 4 v ( cos ϕ) = 5,N F y = Ḣy Ḣy = 0 0 = 0N F = Fx + Fy = 5,N, působí směrem doprava. [ F = 4909N ] [ F = 5,N ] Řešení příkladu.6.4: Rovnice kontinuity v = v Bernoulliho rovnice p +ρ v +ρgh = p +ρ v +0 p = p +ρgh = 338,3kPa. F x = Hx Hx ((p p a ) S ) x ((p p a ) S ) x +G x = ṁ(v x v x )+π d ((p 4 p a )+ (p p a ) cos ϕ) + 0 = π d 4 [ρv ( + cos ϕ) + ((p p a ) + (p p a ) cos ϕ)] = 94N F y = Hy Hy ((p p a ) S ) y ((p p a ) S ) y + G y = 0 ṁv y (p p a )π d d sin ϕ ρgv = π sin ϕ 4 4 [ρv + p p a ] ρgv = 493N F = Fx + Fy. = 965N. [ F =. 965N ] Řešení příkladu.6.5: l M = M F = F yl F = F y F y = Ḣy Ḣy = 0 + ṁv = ρπ d 4 v F = ρπ d v = 4,84N [ F = 4,84N ]
33 33 Řešení příkladu.6.6: F x = c x S x ρv = 0,46,3 P = F x v = 9588W,5( 90 3,6 ) = 383,5N [ F x = 383,5N, P = 9588W ] Řešení příkladu.6.7: Odporová síla F x = c x S x ρv = 0, 6 8 sin 40,5 = 536,5N působí vodorovně ve směru větru. Vztlaková síla F L = c L S x ρv = 584,0N působí směrem dolů! Celková síla F = Fx + FL = 67,3N působí pod úhlem arctg F L Fx vodorovině směrem dolů. Řešení příkladu.7.: Navier-Stokesovy rovnice v cylindrických souřadnicích: w w r + u w r ϕ + v w y u r +ν w u r + u u r ϕ + v u y + wu r w v r + u v r ϕ + v v y = p ρ ( w r + w r = 7,3 vůči [ F = 67,3N ] r + (.0.) ϕ + w r r u r ϕ w ) r p r ϕ + (.0.) ) = ρ ( u r + u r ϕ + u Rovnice kontinuity v cylindrických souřadnicích: r r (rw) + r u r + w r ϕ u r +ν y + r = p ρ y + (.0.3) ( v +ν r + v r ϕ + v y + ) v r r w ϕ + v y = 0 (.0.4) kde u, v, w jsou složky rychlosti po řadě ve směrech ϕ, y, r. Z předpokladu osové symetrie 0. ϕ Z předpokladu rovnoběžnosti rychlosti s osou trubky u = w 0. Z rovnice (.0.) p r = 0. Z rovnice (.0.) zbude identita 0 = 0. ( Rovnice (.0.3) dostane tvar v v = p + ν y ρ y Z rovnice kontinuity zbude v = 0. y Kombinací a úpravou posledních dvou rovnic: v r + v y + r p = νρ y r r ) v. r ( ) r v r. Navíc p = dp y dy
34 34 Kapitola. Řešení a výsledky příkladů a v = dv. r dr p p Integrací v souřadnici y dostáváme lineární závislost tlaku na vzdálenosti: dp = y ( ) ( ) d νρ y r dr r dv dr dy p = νρ d r dr r dv dr y Integrací v souřadnici r dostáváme kvadratický rychlostní profil: dp rdr = d ( ) ( ) r dv νρ dy dr dv = dp r + c νρ dy r dr v = dp νρ dy r +c ln r+c z okrajových podmínek: v(0) < + c = 0, v(r) = 0 c = dp dp 4νρ dy R v(r) = 4νρ dy (r R ), tj. parabolický profil rychlosti ve směru klesajícího tlaku. Vypočteme průtok integrací rychlosti: V = R π vdr rdϕ = π dp R 4 dp 8νρ V = = 0,845Pa/m 0 0 νρ dy 4 dy πr 4 p = 0,845 y, v(r) = 7,3(r 0,9) Řešení příkladu.7.: π Průtok: V = 0 d/ 0 v(y) ( d y) dydϕ = πv max ( d střední rychlost: v = 4 V = vmax = νre πd (n+)(n+) d v max = νre(n+)(n+) = 0,043m/s d V = πdνre =, m 3 /s 4 ( v = v y ) n max d = 0,043(8y) 0,3 m/s [ p = 0,845 y, v(r) = 7,3(r 0,9) ] ) (n+)(n+) = d πv max (n+)(n+) [ v(y) = 0,043(8y) 0,3 m/s; V =, m 3 /s ] Řešení příkladu.8.: F = H H p S n p S n + V ρ g = ṁv ṁv p π d n 4 p π d n 4 + (l + l + l 3 )π d ρ g 4 v = v = (v, 0); n = (, 0); n = (, 0); g = (0, g) Bernoulliho rovnice: p + l ρg + ρv = p + ρv p = p + l ρg = 00kPa F = π (, 0) 00000π (, 0) + 9π (0; 9,8) = ( 6,8; 0,9)N. [ F = ( 6,8; 0,9)N ] Řešení příkladu.8.: Proudění v trubičce: Re = vd = 000 < Re ν k laminární. λ = 64 = 0,064; ξ Re = λ l = 64 d p z = (ξ + ξ) ρv = 3500Pa Bernoulliho rovnice: p + hρg = p + p z + ρal a = p p p z+ hρg =,84m/s. ρl [ a =,84m/s ]
35 35 Řešení příkladu.8.3: Bernoulliho rovnice: p + ρv = p + ρv + p z + ρa l + ρa l Rovnice kontinuity: v = d d v = 0,5m/s; a = d a d = 0,4m/s V první části trubky: Re = v d ν = 500 < Re k λ = 64 Ve druhé části trubky: Re = v d ν = 50 < Re k λ = 64 l ξ = λ l d = 56, ξ = λ p z = (ξ + ξ v ) ρv + ξ d = 5 Re = 0,8 Re = 0,56 ρv = 44,kPa Z Bernoulliho rovnice p = p + ρv ρv p z ρa l ρa l = 55,77kPa [ p = 55,77kPa ]
36 Literatura [] P. Havlík, O. Profous: Mechanika tekutin, sbírka řešených příkladů, VŠSE Plzeň 99. [] J. Urbášek: Tabulky a diagramy fyzikálních vlastností látek, VŠST Liberec 976. [3] J. Adamec, M. Lísal, B. Váradiová: Mechanika tekutin, sbírka příkladů, ČVUT Praha 993. [4] J. Ježek: Mechanika tekutin, příklady, ČVUT Praha
CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN
Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením
Více2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou... 4. 2.4 Tlak ve vzduchu vyvolaný tíhovou silou... 5
Obsah 1 Tekutiny 1 2 Tlak 2 2.1 Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou.............. 3 2.2 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou............. 4 2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou............. 4
VíceČást 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2006 2007
TEST Z FYZIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-F-2006-01 1. Převeďte 37 mm 3 na m 3. a) 37 10-9 m 3 b) 37 10-6 m 3 c) 37 10 9 m 3 d) 37 10 3 m 3 e) 37 10-3 m 3 2. Voda v řece proudí rychlostí 4 m/s. Kolmo
VícePříklad 1. Jak velká vztlakovásíla bude zhruba působit na ocelové těleso o objemu 1 dm 3 ponořené do vody? /10 N/ p 1 = p 2 F 1 = F 2 S 1 S 2.
VII Mechanika kapalin a plynů Příklady označené symbolem( ) jsou obtížnější Příklad 1 Jak velká vztlakovásíla bude zhruba působit na ocelové těleso o objemu 1 dm 3 ponořené do vody? /10 N/ Stručné řešení:
VíceRychlostní a objemové snímače průtoku tekutin
Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu
VíceZáklady fyziky + opakovaná výuka Fyziky I
Ústav fyziky a měřicí techniky Pohodlně se usaďte Přednáška co nevidět začne! Základy fyziky + opakovaná výuka Fyziky I Web ústavu: ufmt.vscht.cz : @ufmt444 1 Otázka 8 Rovinná rotace, valení válce po nakloněné
VíceLaboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny
Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY FYZIKÁLNA 2. ročník šestiletého studia
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
Více(1) Řešení. z toho F 2 = F1S2. 3, 09 m/s =. 3, 1 m/s. (Proč se zde nemusí převádět jednotky?)
() Která kapalina se více odlišuje od ideální kapaliny, voda nebo olej? Zdůvodněte Popište princip hydraulického lisu 3 Do nádob A, B, C (viz tabule), které mají stejný obsah S dna, je nalita voda do stejné
Více4. Kolmou tlakovou sílu působící v kapalině na libovolně orientovanou plochu S vyjádříme jako
1. Pojem tekutiny je A) synonymem pojmu kapaliny B) pojmem označujícím souhrnně kapaliny a plyny C) synonymem pojmu plyny D) označením kapalin se zanedbatelnou viskozitou 2. Příčinou rozdílné tekutosti
Vícefyzika v příkladech 1 a 2
Sbírka pro předmět Středoškolská fyzika v příkladech 1 a 2 Mechanika: kapaliny a plyny zadání 1. Ve dně nádoby je otvor, kterým vytéká voda. Hladina vody v nádobě je 30 cm nade dnem. Jakou rychlostí vytéká
VíceVariace. Mechanika kapalin
Variace 1 Mechanika kapalin Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Pascalův zákon, mechanické vlastnosti
VíceS = 2. π. r ( r + v )
horní podstava plášť výška válce průměr podstavy poloměr podstavy dolní podstava Válec se skládá ze dvou shodných podstav (horní a dolní) a pláště. Podstavou je kruh. Plášť má tvar obdélníka, který má
VíceMECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A
Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D07_Z_OPAK_M_Mechanika_kapalin_a_plynu_T Člověk a příroda Fyzika Mechanika kapalin
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceDigitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceClemův motor vs. zákon zachování energie
Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této
VíceV i s k o z i t a N e w t o n s k ý c h k a p a l i n
V i s k o z i t a N e w t o n s k ý c h k a p a l i n Ú k o l : Změřit dynamickou viskozitu destilované vody absolutní metodou a její závislost na teplotě relativní metodou. P o t ř e b y : Viz seznam
VíceStereometrie pro učební obory
Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových
Více1141 HYA (Hydraulika)
ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů
VíceIlustrační animace slon a pírko
Disipativní síly Kopírování a šíření tohoto materiálu lze pouze se souhlasem autorky PhDr. Evy Tlapákové, CSc. Určeno pro základní kurz biomechaniky studentů FTVS UK, školní rok 2008/2009 Disipativní síly
VíceČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D.
ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov Modelování termohydraulických jevů 3.hodina Hydraulika Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. Letní semestr 008/009 Pracovní materiály pro výuku předmětu.
VíceMechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny
Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita
VíceMechanika kapalin a plynů
Mechanika kapalin a plynů Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 24. listopadu 2010 Obsah Tekutiny Tlak Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou Tlak v kapalině vyvolaný
VíceVýukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0996 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_368 Jméno autora: Třída/ročník: Mgr. Alena Krejčíková
VíceZadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.
STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M
VíceObr. 1 Stavební hřebík. Hřebíky se zarážejí do dřeva ručně nebo přenosnými pneumatickými hřebíkovačkami.
cvičení Dřevěné konstrukce Hřebíkové spoje Základní pojmy. Návrh spojovacího prostředku Na hřebíkové spoje se nejčastěji používají ocelové stavební hřebíky s hladkým dříkem kruhového průřezu se zápustnou
Více8. TLAKOMĚRY. Úkol měření. Popis přípravků a přístrojů
Úkol měření 8. TLAKOMĚRY 1. Ověřte funkci diferenčního kapacitního tlakoměru pro měření malých tlakových rozdílů. 2. Změřte závislost obou kapacit na tlakovém rozdílu.. Údaje porovnejte s průmyslovým diferenčním
VícePŘÍKLADY Z HYDRODYNAMIKY Poznámka: Za gravitační zrychlení je ve všech příkladech dosazována přibližná hodnota 10 m.s -2.
PŘÍKLADY Z HYDRODYNAMIKY Poznámka: Za gravitační zrychlení je ve všech příkladech dosazována přibližná hodnota 10 m.s -. Řešené příklady z hydrodynamiky 1) Příklad užití rovnice kontinuity Zadání: Vodorovným
Více34_Mechanické vlastnosti kapalin... 2 Pascalův zákon _Tlak - příklady _Hydraulické stroje _PL: Hydraulické stroje - řešení...
34_Mechanické vlastnosti kapalin... 2 Pascalův zákon... 2 35_Tlak - příklady... 2 36_Hydraulické stroje... 3 37_PL: Hydraulické stroje - řešení... 4 38_Účinky gravitační síly Země na kapalinu... 6 Hydrostatická
VíceMECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy
VíceI N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. = (pascal) tlak je skalár!!! F p = =
MECHANIKA TEKUTIN I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í Tekutiny zahrnují kapaliny a plyny. Společnou vlastností tekutin je, že částice mohou být snadno od sebe odděleny (nemají vlastní
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VícePříklady - rovnice kontinuity a Bernouliho rovnice
DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-20 Téma: Mechanika tekutin a rovnice kontinuity Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý Příklady Příklady - rovnice kontinuity a Bernouliho
VíceCvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
VíceTeoretické otázky z hydromechaniky
Teoretické otázky z hydromechaniky 1. Napište vztah pro modul pružnosti kapaliny (+ popis jednotlivých členů a 2. Napište vztah pro Newtonův vztah pro tečné napětí (+ popis jednotlivých členů a 3. Jaká
VíceCVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,
Více1.8.3 Hydrostatický tlak
.8.3 Hydrostatický tlak Předpoklady: 00802 Z normální nádoby s dírou v boku voda vyteče, i když na ni netlačí vnější síla. Pokus: Prázdná tetrapacková krabice, několik stejných děr v boční stěně postupně
VíceStavíme reproduktorové
Í ª3³»» ±¼«µ ± ±ª7 ±«ª ø ÎÒÜ ò Þ± «³ Í#µ± Î ¼ ± ³ 7 µ7 µ ª ª ±¾ ± (»¾²3 8?¾ ª²3»»µ ±² ó µ ±«ª» ² 8²7³ & «³«ò Ö» ± ½» ±½ ±» ²7 ª»¼»³ µ ¼± «²± (3 «²7 ± ¾± 3 ª ±¾½ ±¼²3 3 ò X ª¾ «²»ó '» ±«(»¼4²±»µ ª ±«²»²?ª
Více6. Mechanika kapalin a plynů
6. Mechanika kapalin a plynů 1. Definice tekutin 2. Tlak 3. Pascalův zákon 4. Archimedův zákon 5. Rovnice spojitosti (kontinuity) 6. Bernoulliho rovnice 7. Fyzika letu Tekutiny: jejich rozdělení, jejich
VíceDiplomová práce. Sbírka úloh z mechaniky kontinua PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY. Vypracoval: Michal Kolář
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY Diplomová práce Sbírka úloh z mechaniky kontinua Vypracoval: Michal Kolář studující V. ročníku obor M F studijní rok 00/003 Vedoucí
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
VíceVýtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy)
Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Úvod: Problematika výtoku kapaliny z nádrže se uplatňuje při vyprazdňování nádrží a při nejjednodušším nastavování konstantních průtoků.
Více2. DOPRAVA KAPALIN. h v. h s. Obr. 2.1 Doprava kapalin čerpadlem h S sací výška čerpadla, h V výtlačná výška čerpadla 2.1 HYDROSTATICKÁ ČERPADLA
2. DOPRAVA KAPALIN Zařízení pro dopravu kapalin dodávají tekutinám energii pro transport kapaliny, pro hrazení ztrát způsobených jejich viskozitou (vnitřním třením), překonání výškových rozdílů, umožnění
VíceVěra Keselicová. duben 2013
VY_52_INOVACE_VK53 Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace Věra Keselicová duben 2013 7. ročník
VíceKontrolní otázky k 1. přednášce z TM
Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM 1. Jak závisí hodnota izobarického součinitele objemové roztažnosti ideálního plynu na teplotě a jak na tlaku? Odvoďte. 2. Jak závisí hodnota izochorického součinitele
Vícef(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =
Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží
VíceCVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM
CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM Místní ztráty, Tlakové ztráty Příklad č. 1: Jistá část potrubí rozvodného systému vody se skládá ze dvou paralelně uspořádaných větví. Obě potrubí mají průřez
VíceTlak v kapalinách a plynech Vztlaková síla Prodění kapalin a plynů
Mechanika tekutin Tlak v kapalinách a plynech Vztlaková síla Prodění kapalin a plynů Vlastnosti kapalin a plynů Tekutiny = kapaliny + plyny Ideální kapalina - dokonale tekutá - bez vnitřního tření - zcela
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Studijní program: B 341 Strojírenství Studijní zaměření: Energetické zdroje a zařízení BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Návrh a realizace experimentálního zařízení pro měření
Více7. MECHANIKA TEKUTIN - statika
7. - statika 7.1. Základní vlastnosti tekutin Obecným pojem tekutiny jsou myšleny. a. Mají společné vlastnosti tekutost, částice jsou od sebe snadno oddělitelné, nemají vlastní stálý tvar apod. Reálné
Více3. TEKUTINY A TERMIKA 3.1 TEKUTINY
3. TEKUTINY A TERMIKA 3.1 TEKUTINY 3.1.1 TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA Tekutiny: kapaliny a plyny Statika kapalin a plynů = Hydrostatika a Aerostatika Tlak v tekutině
VíceMatematika I: Aplikované úlohy
Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí
VíceMěřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Více1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI TECHNICKÝCH MATERIÁLŮ Vlastnosti kovů a jejich slitin jsou dány především jejich chemickým složením a strukturou.
1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI TECHNICKÝCH MATERIÁLŮ Vlastnosti kovů a jejich slitin jsou dány především jejich chemickým složením a strukturou. Z hlediska použitelnosti kovů v technické praxi je obvyklé dělení
VíceVysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Mechanika tekutin návody pro laboratorní měření Milada Kozubková a kolektiv Ostrava 2007
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Mechanika tekutin návody pro laboratorní měření Milada Kozubková a kolektiv Ostrava 007 Určeno pro projekt: Operační program Rozvoj lidských zdrojů Název:
Víceplynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu
Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 2.11.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 11 Ročník
VíceSnímače průtoku kapalin - objemové
Snímače průtoku kapalin - objemové Objemové snímače průtoku rotační plynoměry Dávkovací průtokoměry pracuje na principu plnění a vyprazdňování komor definovaného objemu tak, aby průtok tekutiny snímačem
VícePROCESY V TECHNICE BUDOV cvičení 3, 4
UNIVERZITA TOMÁŠE ATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESY V TECHNICE UDOV cvičení 3, 4 část Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského
VíceObr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t
7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na
VícePomůcka pro demonstraci dynamických účinků proudu kapaliny
Pomůcka pro demonstraci dynamických účinků proudu kapaliny Energie proudící vody je lidmi využívána již několik tisíciletí. Základní otázkou vždy bylo, kolik energie lze z daného zdroje využít. Úkolem
VíceProjekty do předmětu MF
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní
VíceCVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI
CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI Stojící povrch, Pohybující se povrch Příklad č. 1: Vodorovný volný proud vody čtvercového průřezu o straně 25 cm dopadá kolmo na rovinnou desku. Určete velikost
VíceMěření kinematické a dynamické viskozity kapalin
Úloha č. 2 Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úkoly měření: 1. Určete dynamickou viskozitu z měření doby pádu kuličky v kapalině (glycerinu, roztoku polysacharidu ve vodě) při laboratorní
VíceInovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání
Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:
VíceVztlaková síla působící na těleso v atmosféře Země
Vztlaková síla působící na těleso v atmosféře Země (Učebnice strana 140 141) Na pouti koupíme balonek. Pustíme-li ho v místnosti, stoupá ke stropu.po určité době (balonek mírně uchází) se balonek od stropu
Více, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček. Úvod do předmětu
7..03, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček Mechanika tekutin Úvod do předmětu strana Mechanika tekutin Zabývá se podmínkami rovnováhy kapalin a plynu v klidu, zákonitostmi pohybu kapalin a plynu,
VíceVedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
VícePro zředěné roztoky za konstantní teploty T je osmotický tlak úměrný molární koncentraci
TRANSPORTNÍ MECHANISMY Transport látek z vnějšího prostředí do buňky a naopak se může uskutečňovat dvěma cestami - aktivním a pasivním transportem. Pasivním transportem rozumíme přenos látek ve směru energetického
VíceHydraulika a hydrologie
Hydraulika a hydrologie Cvičení č. 1 - HYDROSTATIKA Příklad č. 1.1 Jaký je tlak v hloubce (5+P) m pod hladinou moře (Obr. 1.1), je-li průměrná hustota mořské vody ρ mv = 1042 kg/m 3 (měrná tíha je tedy
VíceŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA
ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit
VíceŘešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky
Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první
VícePraktikum I Mechanika a molekulová fyzika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č. III Název: Proudění viskózní kapaliny Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 16 dne: 20.3.2008
VíceMatematika I Reálná funkce jedné promìnné
Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme
VíceŘešení úloh celostátního kola 55. ročníku fyzikální olympiády.
Řešení úlo celostátnío kola 55 ročníku fyzikální olympiády AutořiJTomas(134)aMJarešová() 1a) Pro určení poloy těžiště umístíme jelan do poloy podle obr R1 Obsa příčnéo řezu jelanem ve vzdálenosti od vrcolu
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Měření Poissonovy konstanty vzduchu. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu Datum měření: 23. 10. 2009 Měření Poissonovy konstanty vzduchu Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 1 Ročník
VíceMechanika tekutin. Hydrostatika Hydrodynamika
Mechanika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Hydrostatika Kapalinu považujeme za kontinuum, můžeme využít předchozí úvahy Studujeme kapalinu, která je v klidu hydrostatika Objem kapaliny bude v klidu,
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceTéma sady: Všeobecně o vytápění. Název prezentace: základní pojmy 1
Téma sady: Všeobecně o vytápění. Název prezentace: základní pojmy 1 Autor prezentace: Ing. Eva Václavíková VY_32_INOVACE_1201_základní_pojmy_1_pwp Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony
Více3 - Hmotnostní bilance filtrace a výpočet konstant filtrační rovnice
3 - Hmotnostní bilance filtrace a výpočet konstant filtrační rovnice I Základní vztahy a definice iltrace je jedna z metod dělení heterogenních směsí pevná fáze tekutina. Směs prochází pórovitým materiálem
VícePožárně bezpečnostní zařízení 125 PBZB Přílohy
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Požárně bezpečnostní zařízení 125 PBZB Přílohy Ing. Ilona Koubková, Ph.D. Praha 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceSTŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA V
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA V HYDROMECHANIKA PRACOVNÍ SEŠIT Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání
VícePříklady z hydrostatiky
Příklady z hydrostatiky Poznámka: Při řešení příkladů jsou zaokrouhlovány pouze dílčí a celkové výsledky úloh. Celý vlastní výpočet všech úloh je řešen bez zaokrouhlování dílčích výsledků. Za gravitační
VíceVypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm.
Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. 8 cm u s = 11,3137085 cm pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ABC u t = 13,85640646 cm opět pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ACA'
VícePOHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ
POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje
VíceBIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.
BIOMECHANIKA 8, Disipativní síly II. (Hydrostatický tlak, hydrostatický vztlak, Archimédův zákon, dynamické veličiny, odporové síly, tvarový odpor, Bernoulliho rovnice, Magnusův jev) Studijní program,
VíceRotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?
Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units
VíceEUROPattern automatický fluorescenční mikroskop
EUROPattern automatický fluorescenční mikroskop vizuální hodnocení IIFT hodnocení obvykle dělá vizuálně mikroskopicky a výsledky jsou poznamenány na list papíru. Tento proces je uživatelsky nepohodlný,
Více2 MECHANICKÉ VLASTNOSTI SKLA
2 MECHANICKÉ VLASTNOSTI SKLA Pevnost skla reprezentující jeho mechanické vlastnosti nejčastěji bývá hlavním parametrem jeho využití. Nevýhodou skel je jejich poměrně nízká pevnost v tahu a rázu (pevnost
VícePovrchové odvodnění stavební jámy. Cvičení č. 8
Povrchové odvodnění stavební jámy Cvičení č. 8 Příklad zadání Vypočtěte přítok vody do stavební jámy odvodněné povrchově. Jáma je hloubená v písčitém štěrku o mocnosti 8 m. Pod kterým je rozvětralá jílovitá
VíceCVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem
Více11. Mechanika tekutin
. Mechanika tekutin.. Základní poznatky Pascalův zákon Působí-li na tekutinu vnější tlak pouze v jednom směru, pak uvnitř tekutiny působí v každém místě stejně velký tlak, a to ve všech směrech. Hydrostatický
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceMechanika zemin I 3 Voda v zemině
Mechanika zemin I 3 Voda v zemině 1. Vliv vody na zeminy; kapilarita, bobtnání... 2. Proudění vody 3. Měření hydraulické vodivosti 4. Efektivní napětí MZ1_3 November 9, 2012 1 Vliv vody na zeminy DRUHY
VíceZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY
ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat
VíceMechanické vlastnosti kapalin a plynů. opakování
Mechanické vlastnosti kapalin a plynů opakování 1 Jakým směrem se šíří tlak? 2 Chlapci si zhotovili model hydraulického lisu podle obrázku. Na písty ručních stříkaček působí stejnou silou. Který chlapec
Více