Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Transkript

1 Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme reálnou funkcí, jestli¾e obor hodnot H(f) = R. nejèastìji: D(f) R f : x y x... nezávisle promìnná velièina y... závisle promìnná velièina

3 Operace s funkcemi Def. Jsou dány funkce f, f 2 s denièními obory A, A 2. Nech» pro neprázdnou mno¾inu A platí: A A A 2. Potom lze denovat následující funkèní operace: rovnost funkcí f, f 2 - funkce f, f 2 jsou si rovny na mno¾inì A, jestli¾e x A : f (x) = f 2 (x) souèet (rozdíl) funkcí f, f 2 - x A : (f ± f 2 )(x) = f (x) ± f 2 (x) souèin funkcí f, f 2 - x A : (f f 2 )(x) = f (x) f 2 (x) podíl funkcí f, f 2 - x A : ( f f 2 ) (x) = f (x) f 2 (x), f 2(x) 0 c-násobek funkce f - x A : (c f )(x) = c f (x), c R absolutní hodnota funkce f - x A : ( f )(x) = f (x) Dal¹í operace: restrikce, inverze, skládání.

4 Graf funkce Def. Grafem funkce f s denièním oborem D(f) = A R nazveme mno¾inu v¹ech bodù v rovinì s kartézskou soustavou souøadnic (O, x, y), které mají tvar [x, f(x)], kde x A. y y x x

5 Denièní obor Urèete denièní obor funkce g : y = 2x x 2x 2

6 Vlastnosti funkcí - sudá a lichá funkce Funkce f se nazývá sudá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a D(f) je f( a) = f(a). Funkce f se nazývá lichá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a D(f) je f( a) = f(a). y y f( a) f(a) f( a) a a x f(a) a a x sudá funkce lichá funkce

7 Vlastnosti funkcí - periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, jestli¾e existuje takové reálné èíslo p, ¾e pro ka¾dé x D(f) je také x + p D(f) a platí f(x + p) = f(x) Èíslo p oznaèujeme jako periodu funkce. Nejmen¹í kladné èíslo p, které splòuje tuto podmínku nazýváme základní perioda funkce. ukázka periodických funkcí y = sin x a y = sin 2x y p sin 2x x sin x

8 Vlastnosti funkcí - monotonie Mìjme funkci f a podmno¾inu M jejího denièního oboru Funkce f se nazývá rostoucí na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) < f(x 2 ). Funkce f se nazývá klesající na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) > f(x 2 ).

9 Vlastnosti funkcí - monotonie Funkce f se nazývá neklesající na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) f(x 2 ). Funkce f se nazývá nerostoucí na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) f(x 2 ). Rostoucí a klesající funkce oznaèujeme souhrnnì jako funkce ryze monotónní. V¹echny tyto ètyøi typy funkcí pak souhrnnì oznaèujeme za monotónní funkce.

10 Vlastnosti funkcí - monotonie y y x 2 3 x rostoucí y klesající y x x 2 2 nerostoucí neklesající

11 Prostá funkce Funkce f s denièním oborem D(f) se nazývá prostá funkce, jestli¾e pro ka¾dou dvojici x, x 2 D(f), x x 2 platí, ¾e f(x ) f(x 2 ). Ryze monotónní funkce jsou prosté. Jak poznáme z grafu, zda se jedná o prostou funkci? Aby funkce byla prostá, ¾ádná dvojice navzájem rùzných x x 2 z denièního oboru nesmí mít stejnou funkèní hodnotu, tzn. nesmí se nám stát, ¾e by libovolná rovnobì¾ka s osou x protla graf funkce ve dvou a více bodech.

12 Prostá funkce y 2 y = x + y 3 y = x x x prostá neprostá

13 Prostá funkce K prosté funkci existuje tzv. funkce inverzní, která je opìt prostá a zobrazuje mno¾inu H(f) na mno¾inu D(f). Znaèíme f. Platí pro ni f : x = f (y), D(f ) = H(f), H(f ) = D(f), pøièem¾ x = f (y) y = f(x), x D(f) = H(f ), y H(f) = D(f )

14 Inverze funkce Urèete inverzní funkci k funkci f : y = 2x x 2.

15 Skládání funkcí Slo¾ená funkce existuje v pøípadì, kdy je nezávisle promìnná jedné funkce funkcí hodnot jiné. Ilustrujme si to jednoduchém pøípadu: pøedpokládejme, ¾e funkce y = f(u) = 2u + 50 vyjadøuje závislost týdenní mzdy dodavatele ultrazvukù na poètu prodaných pøístrojù. Pøedpokládejme dále, ¾e týdenní mno¾ství prodaných pøístrojù závisí na jejich cenì, co¾ lze popsat pomocí funkce kde x je cena pøístroje v tis. Kè. u = g(x) = 50 2, 5x, Chceme-li vypoèítat týdenní mzdu dodavatele, musíme tyto dvì funkce navzájem slo¾it, nebo» mzda je závislá na poètu prodaných výrobkù a ten závisí na jejich cenì: y = f(u) = 2u + 50 = 2(50 2, 5x) + 50 = 300 5x + 50 = 350 5x Mzda dodavatele je tedy funkcí ceny pøístrojù, tj. y = f(x) = 350 5x.

16 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Je dána libovolná mno¾ina X. Konstantní funkce. Pro r R je konstanta k r : X R dána pøedpisem x X : k r (x) = r. Charakteristická funkce. Pro ka¾dou podmno¾inu M X denujeme její charakteristickou funkci ch M : X R pøedpisem: ch M (x) = { pro x M 0 pro x / M

17 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Absolutní hodnota. Funkce udávající vzdálenost daného èísla na èíselné ose od poèátku, denovaná: y = x = { x pro x 0 x pro x < 0 Signum. Funkce signum je denována: y = pro x < 0 pro x > 0 0 pro x = 0

18 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí ukázky:

19 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Lineární funkce. Pro ka¾dá dvì reálná èísla a, b denujeme lineární funkci y = ax + b. a.... smìrnice pøímky, která je grafem funkce: a = tgα, kde α je orientovaný úhel, jeho¾ prvním ramenem je kladnì orientovaná osa x a druhým graf dané lineární funkce.

20 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Vlastnosti lineárních funkcí y = ax + b a = 0 a > 0 a < 0 y = ax + b (a =0) y = ax + b (a >0) y = ax + b (a <0) D(f) = R H(f) = omezená {b} nerostoucí a neklesající není prostá x R má max a min D(f) = R H(f) = R neomezená rostoucí prostá nemá ani max, ani min D(f) = R H(f) = R neomezená klesající prostá nemá ani max, ani min

21 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Algebraickou funkcí rozumíme ka¾dou funkci f : y = f(x), kterou lze vytvoøit pomocí (koneèného poètu) operací sèítání, odèítání, násobení, dìlení, umocòování a odmocòování. Rozdìlujeme je funkce racionální a iracionální.. Racionálními funkcemi oznaèujeme souhrnnì polynomické funkce (celé racionální funkce) a lomené racionální funkce (a) Polynomická funkce je ka¾dá funkce daná pøedpisem f : y = P n (x) = a n x n +a n x n +...+a x+a 0, x R, a i R tj. ka¾dá funkce její¾ funkèní hodnoty pøedstavují polynom (n-tého stupnì) promìnné x. Denièním oborem D(f) racionální celistvé funkce f je mno¾ina R.

22 Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí (b) Lomená racionální funkce je ka¾dá funkce daná pøedpisem ve tvaru f : y = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, Q m (x) 0, kde P n, Q m jsou nesoudìlné polynomy. Dùle¾itým pøípadem racionálních lomených funkcí jsou lineární lomené funkce, speciálnì nepøímá úmìrnost. 2. Iracionální funkce je ka¾dá funkce, která není racionální.

23 Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. Elementární funkcí nazýváme ka¾dou funkci, která buï patøí mezi základní elementární funkce nebo je z nich vytvoøena pomocí koneèného poètu základních algebraických operací (sèítáním, odèítáním, násobení, dìlením) nebo skládáním funkcí. elementární funkce algebraické transcendentní (nealgebraické) racionální iracionální polynomické racionální lomené

24 Obecná mocnina Vlastnosti mocninných funkcí f : y = x n, n N n liché n sudé 3 y = x 9 y = x 5 y = x 3 2 y = x y = x 8 y = x 4 y = x D(f) = R, H(f) = R D(f) = R, H(f) = 0, + ) lichá sudá neomezená zdola omezená rostoucí rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0 nemá extrémy ostré min v bodì 0, nemá max

25 Obecná mocnina V rámci státu se ¹íøí epidemická nákaza. Podle odhadù Ministerstva zdravotnictví lze poèet osob posti¾ených nákazou vyjádøit pøibli¾nì pomocí funkce èasu, od kdy byla nákaza poprvé zji¹tìna: n(t) = 0, 05t 3 +, 4 kde n(t) je poèet osob posti¾ených nákazou (ve stovkách) a t èas v mìsících od okam¾iku, kdy byl diagnostikován první pøípad nákazy. Pøedpokládá se, ¾e tato aproximaèní funkce má dostateènou pøesnost pro 0 t 30. Po 30 dnech mìla nemoc pøirozený prùbìh. Kolik osob dostane nemoc po 0 dnech od prvního diagnostikování nákazy? øe¹ení: Poèet naka¾ených osob po 0 dnech od vypuknutí epidemie je

26 Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu a je funkce f : y = a x, a > 0, a, D(f) = R Exponenciální funkce o základu 0 se nazývá dekadická exponenciální funkce. V praxi má velký význam exponenciální funkce se základem e. = 2, 7, tzv. Eulerovým èíslem, kterou nazýváme pøirozená exponenciální funkce. y = e x Grafem exponenciálních funkcí je køivka, zvaná exponenciála.

27 Exponenciální funkce Vliv základu exponenciální funkce na její prùbìh: y = ( ) x 0 9 y =0 x 8 7 y = ( ) x y =6 x 4 3 y = ( ) x 3 2 y =3 x 2 2

28 Exponenciální funkce Exponenciální funkce hrají významnou roli v rùzných procesech rùstu nebo poklesu - napø. populaèní rùst, oceòování majetku a nemovitostí, inace, rùst HDP, pokles míry incidence urèité nemoci a dal¹í.

29 Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciálních funkcí y = a x a > 0 < a < y = a x a> y = a x 0 <a< 0 0 D(f) = R, H(f) = (0, + ) zdola omezená rostoucí prostá nemá extrémy D(f) = R, H(f) = (0, + ) zdola omezená klesající prostá nemá extrémy

30 Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu a f : y = log a x, a > 0, a, D(f) = (0, + ) je funkce inverzní k exponenciální funkci o tém¾e základua. Podle její denice tedy platí velmi dùle¾itý vztah:

31 Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmických funkcí f : y = log a x a > 0 < a < 3 3 y = a x 2 y = x y =log a x y = a x 2 y = x D(f) = (0, + ), H(f) = R neomezená rostoucí prostá nemá extrémy y =log a x 2 D(f) = (0, + ), H(f) = R neomezená klesající prostá nemá extrémy

32 Pøíklad - pamì» Cílem øízeného experimentu je popsat úèinky èasu na lidskou pamì». Úèastníci experimentu byli po¾ádáni, aby si prohlédli obrázek, který obsahoval velký poèet rùzných objektù. Pak byli ¾ádáni v rùzných èasových intervalech, aby si vzpomnìli na pokud mo¾no co nejvíce objektù. Na základì získaných výsledkù byla vytvoøena funkce R(t) = ln t, t, kde R(t) pøedstavuje prùmìrnou procentuální pamì» (vybavených objektù) a t dobu uplynulou od prohlí¾ení obrázku (v hodinách). (a) Jaké je prùmìrné procentuální vybavení si objektù hodinu po prohlédnutí obrázku? (b) Jak veliká bude tato hodnota po 0 hodinách? (c) Naèrtnìte funkci R(t).

33 Pøíklad - pamì» øe¹ení: (a) f() = ln = = 84 Hodinu po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali prùmìrnì 84% zobrazených objektù. (b) f(0) = ln 0 = , 3026 = 26, 435 Deset hodin po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali v prùmìru ji¾ jen 26, 4% zobrazených objektù. (c) R(t) R(t) = ln t t

34 Goniometrické a cyklometrické funkce goniometrické: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x cyklometrické: Restrikcí goniometrických funkcí na vhodné intervaly dosáhneme toho, ¾e je mo¾no k nim najít funkce inverzní. D(f) H(f) y = arcsin x, π 2, π 2 y = arccos x, 0, π y = arctg x (, ) ( π 2, π 2 ) y = arccotg x (, ) (0, π)

35 Hyperbolické funkce Hyperbolický sinus Hyperbolický kosinus sinh x = ex e x 2, x (, ) = ex +e cosh x 2, x (, ) Hyperbolický tangens Hyperbolický kotangens tanh x = cosh sinh x x = ex e x e x +e x, x (, ) coth x = cosh sinh x x = ex +e x e x e x, x 0