, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček. Úvod do předmětu

Transkript

1 7..03, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček Mechanika tekutin Úvod do předmětu

2 strana Mechanika tekutin Zabývá se podmínkami rovnováhy kapalin a plynu v klidu, zákonitostmi pohybu kapalin a plynu, pohybu těles ponořených do kapalin a plynu. Dělení Hydrostatika a aerostatika Hydrodynamika a aerodynamika

3 strana 3 Vlastnosti kapalin a plynů Souhrnný název tekutiny Společné vlastnosti - tekutost (viskozita) - nemají stálý tvar Rozdílné vlastnosti Kapaliny mají stálý objem v klidu vytvářejí vodorovnou volnou hladinu jsou málo stlačitelné Plyny nemají stálý objem nevytvářejí volný vodorovný povrch jsou dobře stlačitelné

4 strana 4 Vlastnosti kapalin a plynů Odlišují se různou tekutostí Ideální kapalina - kapalina bez vnitřního tření, dokonale nestlačitelná Ideální plyn - plyn bez vnitřního tření, dokonale stlačitelný

5 strana 5 Základní pojmy. Hustota kapalin: ρ je hmotnost objemové jednotky kapaliny ρ = m [ kg.m -3 ] V Pro běžnou praxi se uvažuje ρ = 000 kg/m 3 (dosaženo při 3,8 C, 0 35 Pa). Stlačitelnost: κ udává o kolik se zmenší objemová jednotka kapaliny v závislosti na zvětšení tlaku o dp = Pa κ =. V0 dp dv [ - m.n ]

6 strana 6 Základní pojmy Převrácená hodnota stlačitelnosti Modul objemové pružnosti K dp = = V [ Pa] κ dv p, p ý py,p K 0 Modul závisí na teplotě, obsahu rozpuštěných solí a plynů, pro vodu: 0 C K =,87,0 GPa 0 C K =,4 GPa 3. Tepelná roztažnost: udává změnu objemu kapaliny vlivem teploty ( )[ ] 3 V = V0 β t m β.. součinitel teplotní objemové roztažnosti (voda.. 0, K - ) t.. teplota ve C

7 strana 7 Základní pojmy Zcela elementární příklad: Cisternový vagón je až po otvor naplněný naftou. (ρ = 940 kg m -3, β = 0-3 K - )Při teplotě 0 C se do vagónu vejde kg nafty. Jak se změní množství nafty, které vyteče otvorem z vagónu, když se cestou teplota nafty zvýší na 0 C? ρ = V m V m V0 = = = 53, 9 0 ρ ( Δt) = V β ( ), 0638 m V = 539,9 = m m 3

8 strana 8 Základní pojmy 4. Viskozita: Ve skutečné kapalině vznikají tangenciální síly mezi sousedními částicemi, které se pohybují různými rychlostmi. Tangenciální třecí síly vztažené na jednotku plochy dávají tangenciální napětí τ. dv dy [ ][ ] - η = τ Pa s N s τ = η m dy dv τ.. tečné napětí gradient rychlosti η.. součinitel dynamické viskozity v.. rychlost y.. délka normály (kolmo na směr proudu)

9 strana 9 Základní pojmy V praxi se používá kinematická viskozita υ. υ = η [ m s - ] ρ Kinematická viskozita pro vodu v m.s - : 0 C 78, C, C 0, C 0,8. 0-6

10 strana 0 Základní pojmy Newtonovská kapalina: platí lineární závislost mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti Nenewtonovská kapalina: vztah mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti není lineární (dán tzv. reologickými modely) a) Ideální kapalina c) Newtonovská kapalina d-g) Nenewtonovská kapalina

11 strana Základní pojmy Nenewtonovské kapaliny se rozdělují na několik skupin, pro čištění odpadních vod jsou významné Nebinghamské kapaliny (takto se chovají čistírenské kaly), platí zde Bulkley Herschelův model: τ =τ y du K dy n K koeficient konzistence n tokový index τ y počáteční napětí y

12 strana Hydrostatika nauka o rovnováze kapalin v klidu (nepůsobí žádné tangenciální napětí) Tlak:. Tlak p je definován poměrem normálové síly F a elementární plošky S. Hydrostatický tlak: p = p h df [ Pa] ds = ρ. g. h [ Pa] 3. Celkový tlak: p c je součtem vnějšího a hydrostatického: p c = p b p h

13 strana 3 Hydrostatika Pascalův zákon: Působí-li na kapalinu vnější tlak pouze v jednom směru, šíří se tlak uvnitř kapaliny do každého místa a v každém směru Blaise Pascal (63 66)

14 strana 4 Hydrostatika Zcela elementární příklad: Jaký je celkový tlak v hloubce m pod hladinou moře, je-li průměrná hustota mořské vody 08 kg.m -3 a vnější tlak odpovídá 740 mm rtuťového sloupce (hustota rtuti je kg.m -3 )????? a) p b = h HG. ρ HG. g HG = 0, ,8 = 98,4 kpa b) p h = h. ρ. g = ,8 = kpa c) p c = p b p h = 98,4 = 9,4 kpa

15 strana 5 Hydrostatika. Tlaková síla kapalin: a) Tlak působící na rovinnou plochu = [ N ] F ρ.g.h.s Hydrostatická tlaková síla působená pouze tíhou kapaliny se rovná tíze sloupce kapaliny se základnou rovnající se tlakové ploše a s výškou rovnající se hloubce tlačené plochy pod hladinou. Další zcela elementární příklad: Vypočtěte hydrostatickou tlakovou sílu působící na obdélníkový otvor (,x,4 m) na vodorovném dně nádrže, je-li hloubka vody metrů. F = ,8. (,.,4) = 339 kn

16 Princip Archimédovy vztlakové síly síla je výslednicí hydrostatických tlaků (sil) působících na plochu povrchu ponořeného tělesa. Horní podstava válce: horní Hydrostatická ti síla působí ů dolů F ( p h g) da = ρ 0 f Dolní podstava válce: F dolní Hydrostatická síla působí nahoru ( p h g ) da = ρ 0 f F F = g h h da = ρ ρ g V Výsledná vztlaková síla: dolní dolní f ( ) f válce

17 Plování těles. - těleso klesá ke dnu, výslednice míří dolů. - těleso se v kapalině vznáší, výslednice je nulová 3. - těleso plove na volné hladině kapaliny, výslednice míří nahoru

18 strana 8 Hydrostatika b) Tlak působící na šikmou rovinnou plochu Hydrostatická tlaková síla působící na šikmou rovinnou plochu se rovná součinu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím těžišti: Působiště této síly je dáno vztahem: J x J x yc = = = y t U S. y x x D = U xy c = x D t xy S. y t [ m] J t S. y J x.. moment setrvačnosti plochy S k ose x t F = ρ.g.h.s [ N ] [ m] J t.. moment setrvačnosti plochy S k těžištní ose x rovnoběžnou s osou x D xy.. deviační moment plochy S k osám x,y U x.. statický moment plochy S k ose y t

19 strana 9 Hydrostatika Výpočet pomocí horizontální a vertikální složky tlakové síly F Fh Sh α FV S Sv Výsledná tlaková síla F: F h.. Horizontální složka F = ρ.g. h.s.sin α [ N] h t F v.. Vertikální složka F v = ρ.g. h t.s. cos α [ N] F = F h F v [ N] Př.3 - jen velmi mírně obtížnější: Vypočtěte velikost tlakové síly, která působí na šikmou obdélníkovou stěnu šířky yp y, p y m, která je odkloněna od vodorovné o úhel 60, je-li hloubka 7m.

20 strana 0 Řešení h 7 h 7 sin α sin 60 a) těžiště: h t = = = 3,5 m b) )plocha stěny: a = = = 8,083 m S = a.b = 8,083. = 8,083 c) hydrostatická tlaková síla: F v = ρ.g. h t. S. cos α = ,8. 3,5. 8,083. cos 60 = 40,348 kn F h = ρ.g. h t. S. sin α = ,8. 3,5. 8,083. sin 60 = 38,765 kn F = Fv Fh = 40,348 38,765 = 77,530 kn d) působiště (ve svislé zatěžované ose y) 3 b.a J t y c = y t = a = a a = a = 5,389 m Sy S.y t a.b a 6 3

21 strana Hydrostatika c) Tlak působící na zakřivenou stěnu Výsledná síla se určí z jednotlivých složek F x, F y, F z F x = ρ.g.h t,x.s yz F y = ρ.g.h t,y.s xz F z = F tl -F vz [N] [N] [N] F tl.. vertikální tlaková složka, F tl = ρ.g.v [N] V.. objem sloupce kapaliny nad plochou S pod hladinou F vz.. vertikální vztlaková síla, F vz = ρ.g.w [N] W.. vztlakový objem F = F F F [ N ] x y z

22 strana Hydrodynamika Proudění ítekutiny ti je pohyb btekutiny ti v jednom směru. ě Proudění z hlediska časového průběhu může být:. stacionární (ustálené) - proudění, při němž se v daném místě tekutiny nemění její rychlost v závislosti na čase. nestacionární - prouděním, u něhož se v daném místě tekutiny rychlost v závislosti na čase mění Pohyb částic tekutiny se popisuje pomocí proudnic: Proudnice je taková myšlená čára, že tečna sestrojená v jejím libovolném bodě určuje směr rychlosti pohybující se částice tekutiny. Každým bodem kapaliny prochází právě jedna proudnice, proudnice se ý p yp p j p,p neprotínají.

23 strana 3 Hydrodynamika zabývá se pohybem kapaliny a jejím jí působením ů na tuhá hátělesa při řijejich ji vzájemném relativním pohybu Průtočný profil: rovinný řez vedením proudu, kolmý k jeho podélné ose a charakterizující jeho tvar, který kapalina zaujímá.

24 strana 4 Hydrodynamika Průtočný průřez S: plošný obsah řezu proudu plochou v každém bodě k vektoru střední bodové rychlosti -otevřený proudění o volné hladině (řeka) - uzavřený tlakové proudění (potrubí) Bodová rychlost u(x,y,z): dráha l, kterou částice urazí za jednotku času t. u = dl l dt [ m.s ] -

25 strana 5 Hydrodynamika Střední bodová rychlost: v dlouhém časovém intervalu vyrovnaná hodnota bodové rychlosti. Průřezová (střední profilová) rychlost: její jjvynásobení průtočným profilem dává skutečný ýprůtok: Proudění: Q = v S [m 3.s - ] - ustálené: rychlost není funkcí času Q = konst. Platí rovnice kontinuity (spojitosti) Q = v S v S v n S n = konst. - neustálené: rychlost v daném bodě je funkcí času

26 strana 6 Hydrodynamika Rovnice kontinuity Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v v každém místě trubice stejný. Q m = Q m S v ρ = S v [ kg s ] - ρ Q S V v = Q V = S v [ ] 3 - m kg zákon zachování hmoty

27 Hydrodynamika Rovnice kontinuity: strana 7

28 strana 8 Hydrodynamika Bernoulliho rovnice Za ustáleného pohybu ideální kapaliny je součet polohové, tlakové i pohybové energie stálý pro všechny průřezy. E E E p tl k = Δm g h Δm = ΔV p = ρ = Δm v p Daniel Bernoulli (700 78) Ep Etl Ek = Ep Etl Ek = konst. zákon zachování energie

29 strana 9 Hydrodynamika Po úpravě Daniel Bernoulli (700 78) v ρ p h g v ρ p h g = Pro vodorovné potrubí v ρ p v ρ p v ρ p v ρ p = =

30 strana 30 Hydrodynamika Bernoulliho rovnice pro skutečnou č kapalinu E = h p α. v p = h ρ.gρ g g ρ.g α. v g Z Z Dochází k vnitřnímu tření a tření o stěny část mechanické energie se mění převážně na energii tepelnou z hydraulického hlediska ztráta. v Pro skutečný profil se bodová rychlost nahradí rychlostí průřezovou α Nerovnoměrné rozdělení rychlosti v profilu se zohlední Coriolisovým číslem. Hodnota α - pro koryta a kanály =,0 až,45 - pro potrubí =,04 až, α u 3 = S 3 v ds.s

31 strana 3 Užití Bernoulliho rovnice Pittotova t trubice Pomocí Pitotovy trubice se určuje rychlost proudící tekutiny pomocí rozdílu tlaků. Tekutina v ohnutém vývodu () ztratí veškerou svou rychlost, zatímco u rovného vývodu () má tekutina stále svou rychlost. Svou energii si uchová, proto bude platit: p ( p p ) = p v v = ρ ρ

32 strana 3 Užití Bernoulliho rovnice Pittotova t trubice A330/A340 pitot t tubes

33 strana 33 Užití Bernoulliho rovnice = p v p v ρ ρ g h = p v p 0 a a ρ ρ ρ g h = v

34 strana 34 Užití Bernoulliho rovnice Ve vodorovné trubici i proudí voda rychlostí 3 m/s, v daném místě je tlak p = 0, MPa. Určete rychlost proudění v místě o tlaku 0,09 MPa ρ v p = ρ v p v = ρ v p ρ p Bernoulliho princip p

35 Děkuji za pozornost strana 35