Příklad 1: Řešení jednoosé napjatosti

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1: Řešení jednoosé napjatosti"

Renata Křížová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 YNAK-pr2-prikl.nb In[]:= "D General::"spell"D Remove::rmnsm : There are no smbols matching "Global` ". More Příklad : Řešení ednoosé napatosti Parametr, atížení In[3]:= par = 8Em 2, b 2, f 5< Out[3]= 8Em 2, b 2, f 5< In[4]:= b@x_d := b H + xl In[5]:= Plot@b@xD ê. par, 8x,, 2<D Out[5]= A) Analtické řešení ü Obecné řešení řídící diferenciální rovnice In[6]:= Out[6]= sol = DSolve@Em x,x u@xd + b@xd, u@xd, xd b x2 99u@xD 2 Em b x3 + C@D + x C@2D== 6 Em ü Partikulátní řešení řídící diferenciální rovnice (s uvážením okraových podmínek) In[7]:= sol = DSolve@8Em x,x u@xd + b@xd, H Em x u@xd ê. x L f, u@2d <, u@xd, xd Out[7]= 99u@xD 2 b + 2 f 6 f x 3 b x2 b x 3 == 6 Em

2 YNAK-pr2-prikl.nb 2 ü Po posunutí In[8]:= Out[8]= In[9]:= us@x_d = u@xd ê. sol@@dd ê. par x 36 x 2 2 x 3 2 pda = Plot@us@xD, 8x,, 2<, PlotRange AllD Out[9]= ü Po deformace In[]:= Out[]= εs@x_d = x us@xd 9 72 x 36 x 2 2 In[]:= pea = Plot@εs@xD, 8x,, 2<D Out[]= ü Po napětí In[2]:= Out[2]= σs@x_d = Em εs@xd ê. par 6 H9 72 x 36 x2 L

3 YNAK-pr2-prikl.nb 3 In[3]:= psa = Plot@σs@xD, 8x,, 2<D Out[3]= B) Řešení MKP Předpokládáme rodění oblasti na 4 prvk stené velikosti. Pak každý prvků bude mít stenou matici tvarových funkcí, matici derivací tvarových funkcí a matici tuhosti, avšak iný vektor ulových sil. In[4]:= nel = 4 ; H počet prvků L par2 = JoinApar, 9 > 2, A.3.3=E nel Out[4]= 9Em 2, b 2, f 5, 2, A.9= ü Tvarové funkce In[5]:= N@s_D = s N2@s_D = s mn@s_d = 88N@sD, N2@sD<< H matice x 2 L Out[5]= s Out[6]= s Out[7]= 99 s, s == ü Matice derivací tvarových funkcí In[8]:= mb@s_d = s mn@sd Out[8]= 99, ==

4 YNAK-pr2-prikl.nb 4 ü Matice tuhosti prvků In[9]:= In[2]:= DoA mke@ed = Transpose@mB@sDD.88Em A<<.mB@sD s, 8e,, nel<e MatrixForm@mKe@DD Out[2]//MatrixForm= i k ü Vektor ulových sil prvků In[2]:= In[23]:= DoA mfbe@ed = A Transpose@mN@sDD.88b@He L + sd<< s; mffe@ed = 88<, 8<<, 8e,, nel<e mffe@d = 88A f<, 8<<; TabForm@Tab@8i, mfbe@id@@, DD, mfbe@id@@2, DD, mffe@id@@, DD, mffe@id@@2, DD <, 8i,, nel<dd Out[23]//TabForm= 6 A b H3 + L A b A b 2 A f 2 A b + 2 A b A b A b 2 3 A b + 7 A b A b A b 2 4 A b + 5 A b A b A b 2 ü Lokaliace prvkových matic a vektorů do globálních ü Inicialiace In[24]:= mk = Tab@, 8i,, nel + <, 8,, nel + <D ; mf = Tab@, 8,, nel + <D; ü Lokaliace In[26]:= mk@@he L + i, He L + DD = mk@@he L + i, He L + DD + mke@ed@@i, DD, 8i,, 2<, 8,, 2<D; mf@@he L + idd = mf@@he L + idd + mffe@ed@@i, DD + mfbe@ed@@i, DD, 8i,, 2<D, 8e,, nel<d

5 YNAK-pr2-prikl.nb 5 In[27]:= MatrixForm@mKD Out[27]//MatrixForm= i k In[28]:= MatrixForm@mFD Out[28]//MatrixForm= i A f + A b H3 + L 6 A b + A b 2 A b + 2 A b 2 A b + 3 A b 2 A b k A b ü Aplikace kinematicých okraových podmínek In[29]:= HmKr = Drop@mK, 85, 5<, 85, 5<DL êê MatrixForm Out[29]//MatrixForm= i 2 2 k 2 In[3]:= HmFr = Drop@mF, 85, 5<DL êê MatrixForm Out[3]//MatrixForm= i A f + A b H3 + L 6 A b + A b 2 A b + 2 A b 2 k A b + 3 A b 2 ü Řešení soustav rovnic In[3]:= mur = LinearSolve@mKr ê. par2, mfr ê. par2d Out[3]= 8.5,.7875,.85,.625<... výsdná ulová posunutí In[32]:= mu = Append@mUr, D Out[32]= 8.5,.7875,.85,.625, <... ahrneme posun předepsaný kinematickou OP. 8.5,.7875,.85,.625, <

6 YNAK-pr2-prikl.nb 6 ü Analýa deformací a napětí Analýu deformací a napětí provádíme lokálně na prvcích. In[33]:= In[34]:= In[35]:= εkp@ed@s_d = mb@sd.take@mu, 8e, e + <D, 8e,, nel<d σkp@ed@s_d = Em εkp@ed@sd, 8e,, nel<d TabForm@Tab@8e, εkp@ed@sd, σkp@ed@sd< ê. par2, 8e,, nel<dd Out[35]//TabForm= deformace i napětí sou po prvku konstantní (důsdek voné aproximace). C) Porovnání výlsedků analtického řešení a řešení MKP ü Posun In[36]:= In[38]:= pdkp = ListPlot@Tab@8Hi L ê. par2, mu@@idd<, 8i,, nel + <D, PlotSt 8PointSie@.3D, RGBColor@,, D<, DisplaFunction IdentitD; pdkp2 = ListPlot@Tab@8Hi L ê. par2, mu@@idd<, 8i,, nel + <D, PlotJoined > True, PlotSt 8PointSie@.3D, RGBColor@,, D<, DisplaFunction IdentitD; Show@pda, pdkp, pdkp2d Out[38]= ü Deformace In[39]:= Out[39]= se@x_, e_d = UnitStep@x He L D UnitStep@x e D UnitStep@ H + el + xd UnitStep@ e + xd

7 YNAK-pr2-prikl.nb 7... tato funkce "vbere" interval x odpovídaící prvku e In[4]:= εkpg@x_d = Sum@εkp@eD@x He L D se@x, ed, 8e,, nel<d ê. par2; In[4]:= pekp = Plot@εkpg@xD, 8x,, 2<, PlotSt 8RGBColor@,, D<, DisplaFunction IdentitD; In[42]:= Show@pea, pekpd Out[42]= ü Napětí In[43]:= σkpg@x_d = Sum@σkp@eD@x He L D se@x, ed, 8e,, nel<d ê. par2; In[44]:= pskp = Plot@σkpg@xD, 8x,, 2<, PlotSt 8RGBColor@,, D<, DisplaFunction IdentitD; In[45]:= Show@psa, pskpd Out[45]= Příklad 2: Sestavte matici tuhosti pro úlohu příkladu (řešení MKP), přičemž: a) kinematickou okraovou podmínku nahraďte rovnovážnou statickou OP

8 YNAK-pr2-prikl.nb 8 b) v ednom ementů uvažute modul pružnosti E =. Vpočtěte determinant matice tuhosti a ukažte, že v obou případech matice tuhosti není poitivně definitní. Řešení a) In[46]:= mka = i k ; In[47]:= Det@mKaD Out[47]= Řešení b) In[48]:= mkb = i 2 k ; In[49]:= Det@mKbD Out[49]=

Podobné dokumenty

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy