Příklady z matematiky(pro ITS)

Transkript

1 Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln ) 00 2 Df= 0, 9) 2,0.4 f)=ln 8 2) Df= 9,3) 7,9).5 f)= ln 49 2) Df= 7,2 5,7).6 f)= ln+) Df=,3 5, ).7 f)= ln 25 2) Df= 5, 3,5).8 f)=ln 36 2) Df= 6,2 5,6).9 f)=ln ) Df= 9,2) 5,9.0 f)= 2 6+ln+0) Df= 0, 2 3, ). f)=ln ) + 2 Df=7, ).2 f)= 2 2 ln5 ) Df=, 2,5).3 f)= 2 6+ln 6 2) Df= 4, 2 3,4).4 f)=ln ) + 5 Df= 5, ).5 f)= Df= 5, 3, ).6 f)= ln2 ) Df=, 8 5,2).7 f)=ln ) + +8 Df= 8, 5) 2, )

2 2.8 f)=ln6 ) Df=,2 4,6).9 f)=ln ) + +3 Df= 3,2) 7, ).20 f)= ln 36 2) Df= 6, 2 5,6).2 f)=ln+7) Df= 7, 3 7, ).22 f)= Df= 5, 3, f)= +ln7 ) Df= 4, ) 2,7) +.24 f)= ln0 ) 6+5 Df= 3,) 5,0).25 f)=ln f)= ln 36 2).27 f)= ln 25 2) Df=,2) 5,9 Df=, 3,6) Df=, 3,5.28 f)= 36 2 ln Df=,3) 5,6.29 f)= 6 2 ln Df= 3, ),4.30 f)=ln5 ) Df=,) 3,5).3 f)=ln Df= 4,) 5,0 Inverzní funkce: Kfunkci fprosténasvémmaimálnímdefiničnímoboru)zjistětefunkciinverzní f,včetnědefiničníhooboru Df aoboruhodnot Hf : 2. f: y= π+arcsin2 3) f : y= 2 3+sin π)), Df = π 2,3π 2, Hf =,2

3 3 2.2 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2.3 f: y= π+2arcsin f: y= π 2arcsin 5) f : y=2+3sin π 2, Df = 0,2π, Hf =,5 f : y=5+sin π 2, Df = 0,2π, Hf = 4,6 2.5 f: y= ) f : y= , Df =, 3 2, Hf =,3 2.6 f: y= 2 5+ln 3)) f : y=3+e 2 5, Df =, ), Hf =3, ) 2.7 f: y= 2 ) π arccos 3 f : y=3+cos 2 π 2), Df = π 4, π 2, Hf = 3,4 2.8 f: y= π 2arctg f : y=+tg 2 π 2, Df =0, π, Hf =, ) 2.9 f: y= 3 ) 4 e 2 f : y=2 ln 2 4 3), Df = ), 4 3, Hf =,2 2.0 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2. f: y=arcsin f : y=2 2 sin 2, Df = 0, π 2, Hf =, 2.2 f: y= arcsinln ) MS3 2.3 f: y= ln f : y=e sin 2, Df = 0, π 2, Hf =,e f : y=e 22 4, Df = 0,, Hf =,e 2.4 f: y=arctg 2 ) f : y=2+ tg ) 2, Df = π 2, π 4, Hf = 2, ) Derivace- tečna, normála: Zjistěterovnicitečnyarovnicinormálykfunkci fvbodě T: 3. f)=5+e 2 T=,? t: 3 y+3=0 n: +3y 9=0 3.2 f)=3 ln 2 T=,? t: 2 y+=0 n: +2y 7=0

4 4 3.3 f)= +3 cos T=0,? t: y+3=0 n: +y 3=0 3.4 f)=4arctg 2 T=4,? t: 4y+4π 4=0 n: 4+y π 6=0 3.6 f)=2 arctg 2 T=,? t: 2+ πy π+2=0 n: π 2y+3 π=0 3.7 f)=2+ln 3 ) 5 2 T=,? t: 7 2y 3=0 n: 2+7y 6=0 3.8 f)=3+ln ) T=2,? t: 2 y =0 n: +2y 8=0 3.9 f)= 2 T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.0 f)= ++cos T=0,? t: 3 2y+2=0 n: 2+3y 3=0 3. f)=2+ sin +9 T=0,? t: 3y+6=0 n: 3+y 2=0 3.2 f)=5+2 ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y =0 3.3 f)=arctg ) T=,? t: y =0 n: +y =0 3.4 f)=e +cos +2 π) T=π,? t: 2 y 2π+=0 n: +2y π 2=0 3.5 f)= cos T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.6 f)= 2ln T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.7 f)= π cos T=π,? t: 2πy 3π=0 n: 2π+y+ 2π 2 =0 3.8 f)= 8cos +4 T=0,? t: +2y 8=0 n: 2 y+4=0 3.9 f)=5+ 3+ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y = f)= 2 + T=2,? t: 3 2y+4=0 n: 2+3y 9=0

5 5 3.2 f)=2 arctg ) T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y = f)= e + T=0,? t: 2y+2=0 n: 2+y = f)=3 +3ln T=,? t: y+2=0 n: +y 4= f)=2+ )arctg T=,? t: π 4y+8 π=0 n: 4+πy 4 2π= f)= 2 2 T=4,? t: 5 2y 36=0 n: 2+5y 88= f)= 3++ ln T=,? t: 5 4y+3=0 n: 4+5y 4= f)= cos T=π,? t: +y=0 n: y 25= f)= ln 3 T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7= f)=2+ + arctg T=0,? t: y+2=0 n: +y 2= f)=2++e tg T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.3 f)= 2 +5 T=2,? t: 2 3y 5=0 n: 3+2y 2= f)=ln arctg T=,? t: π 4y π=0 n: 4+π y 4= f)=4arctg ) T=2,? t: 6 y+ π 32=0 n: +6y 6π 2= f)=+ 4+ln T=,? t: 5 4y+7=0 n: 4+5y 9= f)= 3+ ln T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7=0 Derivace- průběh funkce: Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f rostoucí, na kterých je klesající a její lokální etrémy: 4. f)= e 2 + rostoucína, 2, klesajícína, ana 2, ), lokálníminimumvbodě alokálnímaimumvbodě f)=6 7)e 6 klesajícína,,rostoucína, ),lokálníminimumvbodě

6 6 4.3 f)= 3ln+) klesajícína,2, rostoucína 2, ),lokálníminimumvbodě2 4.4 f)=9 25arctg rostoucína, 4 3 ana 4 3, ),klesajícína 4 3 3,4, lokálníminimumvbodě 4 3 alokálnímaimumvbodě f)= ln rostoucína 0,e 2,klesajícína e 2, ), lokálnímaimumvboděe f)=e 2 klesajícína, 2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě f)=5+4)e 5 klesajícína,,rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.8 f)=e rostoucína,,klesajícína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 3 rostoucína,3)ana 3, ), klesajícína, lokálníminimumvbodě 4.0 f)= 3) rostoucína,, klesajícína, ),lokálníminimumvbodě 4. f)= 4.2 f)= ln rostoucína 0,)ana,4, klesajícína 4, ), lokálnímaimumvbodě4 klesajícína 0, e 2, rostoucína e 2, ), lokálníminimumvbodě e f)= ln 2 rostoucína 0, e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvbodě e 4.4 f)= e rostoucína 0, 2, klesající na 2,, lokálnímaimumvbodě f)= klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.6 f)= 2 2 rostoucína 0,, klesajícína,2, lokálnímaimumvbodě 4.7 f)= klesajícína 0,9, rostoucína 9, ), lokálníminimumvbodě9 4.8 f)= +ln klesajícína0,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 2 8 ln klesajícína0,2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě f)= 2 +0 rostoucína 0, 8 ana 0, ), klesajícína 8,0, lokálnímaimumvbodě 8alokalníminimumvbodě0

7 7 4.2 f)= 2 ln) rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.22 f)=4 5) e 4 klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.23 f)= ln rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.24 f)= 2 arctg rostoucína, ana, ), klesajícína,, lokálnímaimumvbodě alokalníminimumvbodě 4.25 f)= 5 arctg klesajícína0,4, rostoucína 4, ), lokálníminimumvbodě f)= 4 +5 arctg rostoucína, 2 ana 2, ), klesajícína 2,0)ana 0,2, lokálnímaimumvbodě 2alokalníminimumvbodě f)= 3 3 klesajícína 0,64, rostoucína 64, ),lokalníminimumvbodě f)= rostoucína 2,, klesajícína, ), lokálnímaimumvbodě 4.29 f)= +2 ln klesající na 0,2+2 3, rostoucí na 2+2 ) 3,, lokalníminimumvbodě f)= klesajícína, 3, rostoucína 3, ), lokalníminimumvbodě f)= +0arctg rostoucína, 3 ana 3, ), klesajícína 3,0) ana 0, 3,lokálnímaimumvbodě 3 alokalníminimumvbodě f)=5 3 rostoucína0,3, klesajícína 3, ), lokálnímaimumvbodě f)=ln 4 ) rostoucína0,4, klesajícína 4,6), lokálnímaimumvbodě f)= 3 ) 2 rostoucína,)ana 3, ), klesajícína,3, lokalníminimumvbodě f)=e 3 3e 2 +5 klesajícína,ln2, rostoucína ln2, ), lokálníminimumvboděln2

8 f)= 2 +)arctg klesajícína, ) 4.37 f)=ln 4arctg rostoucí na 0,2 3 ana 2+ ) 3,, klesající na 2 3,2+ 3, lokálnímaimumvbodě2 3alokalníminimumvbodě f)= 6 e 32 6 rostoucína, 3 ana 0, 3, klesajícína 3,0 ana 3, ), lokálnímaimumvbodě 3a 3 alokalníminimumvbodě f)= 3 +3 rostoucí na 0, ) 3, klesající na 3,, lokálnímaimumvbodě f)= e 5 rostoucína,5, klesajícína 5, ), lokálnímaimumvbodě5 4.4 f)=arctg e ) klesajícína,, rostoucína, ), lokalníminimumvbodě 4.42 f)= ) 3 klesajícína, 2), 2, ana 3, ), rostoucína,3, lokálnímaimumvbodě3alokalníminimumvbodě 4.43 f)= 4arcsin 5 klesajícína 5, 3 ana 3,5, rostoucína 3,3, lokálníminimumvbodě 3alokalnímaimumvbodě f)=+3arccos 5 klesajícína 5, 4 ana 4,5, rostoucína 4,4, lokálníminimumvbodě 4alokalnímaimumvbodě4 Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f konvení, na kterých je konkávní a její body inflee: 4.45 f)= konvenína, 3 ana 2, ), konkávnína 3,2, infleevbodech 3a f)= konvenína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě f)= 2 2ln) konvenína 0, e, konkávnína e, ), infleevbodě e

9 f)=e konkávnína, 2, konvenína 2, ), infleevbodě f)= ln) konkávnína 0, 2, konkávnína 2, ), infleevbodě f)= ) e konvenína,3 ana 5, ), konkávnína 3,5, infleevbodech3a5 4.5 f)= konkávní na, 3 ana ana 0, 3, konkávní na 3,0 3, ),infleevbodech 3, 0a f)= 2+ln konkávní na 0, 3 e 2, konvení na ) 3 e2,, infleevbodě 3 e f)=ln+ 2 ) konkávnína, ana, ), konkávnína,, infleevbodech a 4.54 f)= konkávnína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě2 Integrály: Vypočítejte integrál: 6. sin d 2cos +c 6.2 cos d 2sin +c 6.3 d 2 ln ln+c 6.4 d ln lnln+c 6.5 2arctgd + 2 arctg 2 +c e 2 +3 d e c 6.7 d 2 ln ln+c

10 0 6.8 cosarctg ) + 2 d sinarctg ) + c lnd d 2ln ln+c d π/2 0 cosd +sin ln arctg d π 0 sin d +cos lnπ ) lnd 4ln arctgd ) 2 +2 d π/2 ln e d +e ln )d 3 2+ ln5 Vypočítejte obsah rovinného obrazce pod grafem funkce f v mezích od a do b: 6.9 f)= + 2 a=0 b= π/ f)= a= b=3 ln3 Diferenciální rovnice: Vyřešte diferenciální rovnici s podmínkou: 6. y =2 +y 2) y0)= y=tg 2 + π 4 )

11 6.2 y = ycotg yπ)= 2 y=2sin 6.3 y = +y 2) cos y0)= 3 y=tg π 3 +sin ) 6.4 y = y 2 y0)= 2 y= 2e 6.5 y = 2 y y)=4 y=ln ±2) y =+y 2 y0)= y =y y4)=e y=tg y=e 6.8 y 2 +3 ) =2cos 2 y y)= y cosy= y0)=0 6.0 y =2e y y0)=4 y=arctg ln 2 +3) ln4 ) y=arcsin y =3 e ) 2, y 2 =+e ) y e y = y)=0 y=ln 6.2 y = y 2 + y0)=3 y=3e arctg 6.3 y = y y2)=6 y= y y cos) 2 = y0)=2 y= 3 8+tg 6.5 2yy = + 2 y0)=2 y= 4+arctg 6.6 y = 2 cos 2 y0)=0 y=tg y = +y 2) cos y0)= y =3 cosy) 2 y0)= y =+y 2 y0)= y = ycos y0)=5 ) y=tg sin + π 2 y=arctg 3 + π 4 ) y=tg y=5 e sin

12 2 Soustavy lineárních rovnic: Vyřešte soustavu lineárních rovnicpomocí elementárních úprav): 7. 2z + t = +2y z 3t = 2y +2z +5t = y z +3t = 3, 2,,0 + α 38,3, 8,2) 7.2 y 2z +t = 2 +y 3z t = +y 2z +t = 0 3 +y 7z +t = 7 26,6,,0+ α 5,0, 2,) y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 5 2,,0,+ α,,,0) y 2z + t = + y + z +2t = y +4t = 7 + y +2z +3t = 6 3,,2,0+ α 2,,,) 7.5 y +2t = z 3t = 3 +2y 5z + t = 7 2, 2,,0+ α0,2,,) y +5z t = y +2z 7t = 5 5 2y +8z 6t = 9 5, 4, 3,0+ α4,, 2,) y +z = 4 +2y +z + t = y z +t = 2,,5,0+ α 5,2,0,) y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 7 4 5, 5,0,3 5 + α,,,0) y +3z t = y + z +4t = y +4z 8t = 0 8,7,3,0+ α26,,,) Vektory, hodnost: Napište vektor a jako lineární kombinaci vektorů u, v a w: 8. a=2, 3,3), u=,2,), v=3,,2), w=, 2,) a=2 u v+3 w

13 3 8.2 a=4, 3, 5), u=2,,3), v=,,4), w=3, 2,) a=2 u 3 v+ w Zjistěte hodnost matice A: hod3 hod2 hod3 hod2 hod2 hod2 Zjistěte, jsou-li vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé 8.9 2, 3,2,),,, 2,),7, 3, 2,5) lineárnězávislé 8.0 3,,,2),,3,5,4),,5,9,6) lineárnězávislé 8.,,,2),,2,2, 2),7,2,3,9) lineárněnezávislé 8.2,2,,2),4,,7,5),,,2,) lineárnězávislé 8.3 2,,3,4,),3,,3,,2),5,0,6,3,3) lineárnězávislé

14 ,,,3),,,, 3),3,,,) lineárněnezávislé 8.5,3,, ),2,2,,),3,,2,9),,,,2) lineárnězávislé 8.6,2,3, ),2,,3,),4, 7,3,5) lineárnězávislé Determinanty- Cramerovo pravidlo: Vyřešte pomocí Cramerova pravidla soustavu lineárních rovnic: y +z = 2 +2y +z = y +z = 7 2,3, y = 3 +2y + z = 3 y +2z = 5 2,, y +5z = 7 2 2y +2z = 6 3 3y + z = 7 2,0, y = 4 y +z = 2 +y +z = 3,2, y +z = 9 +z = 3 +2y +z = 2,0, y + z = 0 2 y +2z = y + z = 6 3,3, y 2z = 7 + y + z = 0 2y +2z = 7, 2, y 3z = y + z = 6 +2y +3z = 3 2,, y + z = 6 2 2y + z = 2 + y 2z = 2,2,3

15 y +5z = 7 2 2y + z = 5 3 3y + z = 7 2,0, 9. 3 y + z = + y z = z = 0,0, y + z = 6 z = 3 + y 2z = 3 2,, 9.3 y z = 0 2 y + z = 5 3y = 3 3,2, y z = y + z = 7 y + z = 2,2, y z = y + z = 4 +2y + z = 0, 3, y + z = y + z = 8 + y + z = 6 2,, y = 4 y + z = 2 + y + z = 3,2, z = 2 + y = 4 + y + z = 2,0, y +2z = 4 y +3z = y 2z =,3, y + z = y 3z = 5 3 y z = 6 2,0,

16 6 Matice- maticové rovnice: Vyřešte maticovou rovnicizjistěte X): 0. A B 3X ) ) 2 0 ) 5 3 ) 0.2 AX+ 2X 2 4 ) A B+ X ) ) 2 ) 2 ) 0.4 A A X 2 5 ) AX 5X ) ) 2 4 ) XB 3X ) ) 2 ) A B 3X ) ) 2 6 ) A B 2X ) ) ) A B 2X ) ) ) A2X+ B ) ) 0 2 ) XA+3X ) ) 2 0 ) A B+4X ) 4 6 ) 2 2 ) XB X ) ) 2 ) 3 4 8

17 7 0.4 XB+ X ) A 2 AX ) ) A B 4X ) ) 2 0 ) A B ) ) ) XB 2X ) 0 5 ) ) A B+2X ) ) 2 ) A B X ) 4 2 ) 2 3 ) XB X ) ) ) A B 5X ) ) 0 ) XA X ) )