ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

Transkript

1 Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4 = 3 2x 1 4x 3 2x 4 = Rozhodněte, zda je vektor v = [, 4, 3] lineární kombinací vektorů u 1 = [2, 1, ], u 2 = [ 2,, 1], u 3 = [ 1, 1, 1]. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R 3 P 3 (P 3 = {p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a : a 2, a 1, a R}) A ([2; 1; ]) = 2x 2 + x, A ([2; ; 1]) = 2x + 1, A ([ 1; 1; 1]) = x 2 + x 1 Určete množinu vzorů 3x 2 x Vypočtěte determinant matice Najděte vlastní čísla a příslušné vlastní vektory matice [ ] 5 2 M = (a) Uveďte definici báze vektorového prostoru V. (b) Určete a zdůvodněte, zda-li matice [ ] je pozitivně definitní, negativně definitní či indefinitní. Mdx. Varianta

2 Verze 1.2A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, x 1 2x 4 = 2 x 1 +2x 2 +4x 4 = 4 x 2 2x 3 +x 4 = 1 x 3 +x 4 = 2 2. Najděte LU rozklad matice Rozhodněte, zda je vektor v = [8, 7, 1] lineární kombinací vektorů u 1 = [, 2, 1], u 2 = [5, 1, 1], u 3 = [3, 2, ]. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R 3 R 2 A ([ 2; 2; 1]) = [ 1; 1], A ([ 1; 1; 1]) = [1; 2], A ([ 3; 2; ]) = [1; 3] Určete jádro zobrazení A. 5. Buď B : R 3 R 3 R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3. Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e 1 = [ 1,, 1], e 2 = [1,, ], e 3 = [, 1, ] (a) Uveďte definici bilineární formy. (b) Určete, zda-li zobrazení A : R 3 R 3 definované předpisem A (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 x 3, x 1 + x 2 + 1) je lineární. Mdx. Varianta

3 Verze 1.3A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 4x 1 +8x 2 +x 3 +3x 4 = 12 x 1 2x 4 = 1 x 1 4x 2 x 3 5x 4 = 5 2x 1 5x 2 x 3 4x 4 = Rozhodněte, zda je polynom p(x) = 2x 2 + 7x + 2 lineární kombinací polynomů q(x) = 2x 2 1, r(x) = x 2 + 3x + 1, s(x) = 3x 2 + 4x Je dáno lineární zobrazení A : R 3 R 2 A ([ 2; 1; ]) = [ 1; 1], A ([; 2; 1]) = [ 1; 2], A ([ 1; 1; 1]) = [ 3; 4] Určete jádro zobrazení A. 5. Buď Q matice kvadratické formy v R 3 vzhledem ke standardní bázi. Klasifikujte tuto formu Q = (a) Uveďte definici skalárního součinu. (b) Určete, zda-li zobrazení A : R 3 R 3 definované předpisem A (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 x 3, x 1 + x 2 + 1) je lineární. Mdx. Varianta

4 Verze 1.4A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, x 2 +x 3 +x 4 = 3 2x 1 +x 2 11x 3 9x 4 = 19 x 1 x 2 +5x 3 +4x 4 = 8 x 1 2x 2 +4x 3 +3x 4 = Rozhodněte, zda je polynom p(x) = 2x 2 3x 2 lineární kombinací polynomů q(x) = 2x 1, r(x) = x 2 5x 3, s(x) = x 2 + 4x Je dáno lineární zobrazení A : R 3 P 3 (P 3 = {p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a : a 2, a 1, a R}) A ([; 2; 1]) = 2x 2 + x, A ([5; 7; 5]) = 2x 2 2x 1, A ([ 3; 2; 2]) = x 2 x 1 Určete množinu vzorů 2x 2 3x Buď B : R 3 R 3 R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = 2x 2 y 3 + 2x 3 y 1 + x 3 y 2 + 2x 3 y 3. Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e 1 = [1,, ], e 2 = [, 1, ], e 3 = [,, 1] (a) Uveďte větu o LU rozkladu. (b) Určete, zda-li množina V = {[,, ]} tvoří podprostor vektorového prostoru R 3. Mdx. Varianta

5 Verze 1.5A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, x 3 4x 4 = 5 2x 1 +x 2 +2x 3 +7x 4 = 11 x 1 +x 3 +3x 4 = 5 x 2 +3x 3 +13x 4 = Najděte LU rozklad matice Rozhodněte, zda je vektor v = [ 5, 5, 1] lineární kombinací vektorů u 1 = [ 2, 1, ], u 2 = [, 2, 1], u 3 = [ 1, 1, 1]. 4. Je dáno lineární zobrazení A : P 3 R 2 (P 3 = {p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a : a 2, a 1, a R}) A (2x + 1) = [ 1; 1], A ( x 2 + x + 1 ) = [1; 2], A ( 5x ) = [2; 5] Určete množinu vzorů [1; 4]. 5. Buď B : R 2 R 2 R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = x 1 y 1 x 1 y 2 + 2x 2 y 2. Najděte její symetrickou a antisymetrickou část. Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e 1 = [1, 1], e 2 = [1, 1]. 6. Najděte všechna vlastní M = (a) Uveďte větu o LU rozkladu. (b) Určete a zdůvodněte, zda-li matice [ ] je pozitivně definitní, negativně definitní či indefinitní. Mdx. Varianta