Ohybové kroucení. Radek Kottner. 19. ledna 2017

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ohybové kroucení. Radek Kottner. 19. ledna 2017"

Jaromír Beneš
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Ohybové kroucení Radek Kottner 19. ledna 017

2 Volný krut tenkonst nného pr ezu τ xz = T I T δ i I T = 1 3 n δi 3 h i i=1 I T = 1 3 δ3 h

3 Smykové nap tí od ohybu σ x = M I y z τ xz = V z S y b I y t = τ xz b = V z S y I y

4 Ohybové kroucení M x = T + M ω B = M y,1 h = M y, h σ x = σ ω = B I ω ω τ ω = M ω S ω δ I ω

5 Názvosloví ω [m ] - sektoriální (výse ová) sou adnice S ω [m 4 ] - statický sektoriální moment I ω [m 6 ] - sektoriální moment setrva nosti S ωy, S ωz [m 5 ] - sektoriální devia ní momenty I T [m 4 ] - moment tuhosti ve volném kroucení C - t ºi²t (st ed hmotnosti) P o - pomocný pól P - hlavní pól - st ed smyku M - hlavní po átek - nulový bod (pro osov symetrický pr ez leºí na ose symetrie pr ezu)

6 Sektoriální sou adnice ω - je rovna dvojnásobku plochy výse e, kterou opí²e pr vodi mezi nulovým bodem M a hledaným bodem pr ezu

7 P íklad Ur ete polohu st edu smyku. Vykreslete pr b h hlavní sektoriální sou adnice ω. Ur ete hlavní sektoriální moment setrva nosti I ω.

8 pr ez je symetrický k ose z hlavní pól P bude leºet na ose symetrie pomocný pól P o a hlavní po átek M zvolíme na ose symetrie polohu hlavního pólu ur íme vzdáleností mezi P a P o z c z p = c z = S ω oy I z, kde S ωoy je pomocný sektoriální devia ní moment

9 Pomocná sektoriální sou adnice I z = y da = y da + y da = Iz1 + I z3 = A A 1 A 3 1 = 1 δ 1b δ 3b 3 3 = 0, 8 + 0, 45 = 1, 5 m4 S ωoy = ω oyda = (h y)yda = A A 1 = h y da = hiz1 = 4 0, 8 = 3, m 5 A 1 c z = Sωoy = 3, =, 56 m I z 1, 5

10 Sektoriální moment setrva nosti I ω = ω da = (1, 44y) da + (, 56y) da = A A 1 A 3 = 1, 44 I z1 + (, 56) I z3 = = 1, 659 +, 949 = 4, 608 m 6 Vere² agin ω da = A A ω(s)ds ωδ(s) = δ A = δ(plocha pod funkcí ω) ω ω(s)ds ω = 1, 44 b 1 b 1 = ω 1 ω b 1 = 1, 44b σ ω,max = Bmaxωmax I ω ( I ω = δ 1, 88 b1 ) + 1 1, 44b 1 3 ( + δ 3 3, 84 b3 1, 56b ) 3 3 I ω = 1, 44 δ 1b , 56 I z3

11 P íklad Vy²et ete pr b hy vnit ních ú ink na prut. Ur ete maximální normálové a smykové nap tí. Dáno: F = 1, 6 MN; l = 40 m; e = m; E = 00 GPa; G = 80 GPa;

12 Geometrické charakteristiky α = GI T EI ω I T = 1 n δ 3 i 3 h i i=1 = 1 3 (0, , , 3 3) = 0, 0138 m 4 I ω = 4, 608 m 6 (viz minulý p íklad) α = 0, , , 608 = 0, m 1 I y = δ3 1 b δ h 1b 1 + δ 3 h 1 + δ 3 3 b δ h 3b 3 = = 0, , , , , 3 = 5, 336 m 4

13 Bimoment x < 0, l/ > 1) x = 0, B = 0 0 = C 1 C = 0 B = C 1 sinh(αx) ) x = l/, ϑ = 0 B α B = m(x) m(x) = dmx dx = 0 B α B = 0 B = C 1 sinh(α x) + C cosh(α x) T = ϑgi T T (x = 0) = 0 M x = M ω + T M ω(l/) = M x(l/) = F e M ω = db dx = C 1 α cosh(αx) F e = C 1 α cosh(α l ) C 1 = F e 1 α cosh(α l ) B = F e sinh(αx) α cosh(α l )

14 Vni ní ú inky x < 0, l/ > V z = F M y = F x M x = F e B = F e sinh(αx) α cosh(α l ) M ω = db dx M ω = F e α cosh(αx) α cosh(α l ) M ω + T = M x T = M x M ω T = F e ( 1 cosh(αx) ) cosh(α l )

15 Normálové nap tí B max = B(x = l/) = F e sinh(α l ) α cosh(α l ) = = F e ( α tanh α l ) = 7, 7 MNm σ ω,max = Bmax I ω ω max = = 7, 7 3, 84 = 3, 1 MPa 4, 608 M y,max = M y(x = l/) = F l = 16 MNm 4 ( My, max h σ y,max = I y + δ ) 3 = = 16, 1 = 6, 3 MPa 5, 336 σ max = σ ω,max + σ y,max = = 3, 1 + 6, 3 = 9, 4 MPa

16 Sektoriální statický moment Smykový tok t ω = MωSω I ω ( ) analogie t = VzSy I y Sektoriální statický moment S ω = S ω,max = S ω,min = s ωda 0 1, 44 yδ 1 dy = 1, 44 0, 15 = 0, 43 m4 0 1,5 1, 5, 56 yδ 3 dy =, 56 0, = 0, 576 m 4 0

17 Sektoriální smykové nap tí M ω(0) = M ω(x = 0) = F e α cosh(α0) α cosh(α l ) = 1, 6 1 = 1, 8 MNm cosh(0, ) M ω,max = M ω(x = l/) = F e = 1, 6 = 1, 6 MNm Sektoriální smykový tok t ω,max = Mω,maxS ω,min 1.6 ( 0, 576) = = 0, MN/m I ω 4, 608 Sektoriální smykové nap tí τ ω(0) = Mω(0)S ω,min 1, 8 ( 0, 576) = = 0, 8 MPa I ωδ 3 4, 608 0, τ ω,max = tω,max δ 3 = 0, 0, = 1 MPa Výslednice smykových tok je na obou pásnicích stejná co do velikosti M ω,max = V y h = 0, 4 4 = 1, 6 MNm

18 Maximální smykové nap tí V z,max = V z(x = 0) = V z(x = l/) = F/ = 0, 8 MN τ xz,v,max = τ xz,v (z = 0) = = Vz Sy δ I y = 0, 8 (4 0, , 1 1) =, 1 MPa 0, 1 5, 336 τ xz,v (z = h/ + δ 3 /) = 0 T max = T (x = 0) = F e ( 1 cosh(α0) ) cosh(α l ) = = 1, 6 ( ) 1 1 = 0, 3 MNm cosh(0, ) τ xy,t,max = Tmax I T δ 3 = 0, 3 0, = 4, 64 MPa 0, 0138 τ(l/) = τ xy,t (l/) + τ ω,max = = 1 MPa τ max = τ xy,t,max + τ ω(0) = 4, , 8 = 5, 44 MPa

19 P íklad Vy²et ete pr b hy vnit ních ú ink na prut. Ve kterém ezu bude p sobit nejv t²í σ ω a jak se vypo ítá? Dáno: l; E; I ω ; I T ; e; M y

20 Bimoment 1) x = 0, ϑ = 0 M x = M ω + T T = ϑgi T T (x = 0) = 0 M ω(0) = M x(0) = 0 M ω = db dx = C 1α cosh(αx) + C α sinh(αx) 0 = C 1 α cosh(α 0) + C α sinh(α 0) C 1 = 0 B = C cosh(αx) α = GI T EI ω B α B = m(x) = dmx dx = 0 B = C 1 sinh(α x) + C cosh(α x) ) x = l, B = B(l) B(l) = C cosh(αl) B(l) = M y e C = B(l) M y e = cosh(αl) cosh(αl) B = M y e cosh(αl) cosh(αx)

21 Vni ní ú inky x = 0; B(0) = M y e cosh(αl) x = l; B = B(l) = M y e M ω = db dx M y e M ω = cosh(αl) α sinh(αx) x = 0; M ω(0) = 0 x = l; M ω(l) = M y e cosh(αl) α sinh(αl) M ω + T = M x M ω + T = 0 T = M ω max B = B(l) max σ ω = B(l) I ω ω max = My e ω max I ω

Podobné dokumenty

Přednáška 10. Kroucení prutů

Přednáška 10. Kroucení prutů Přednáška 10 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem 2) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným, střed smyku c) Tenkostěnným uzavřeným 3) Ohybové (vázané) kroucení