Přednáška 09. Smyk za ohybu

Transkript

1 Přednáška 09 Smk a ohbu Vnitřní síl na nosníku ve vtahu k napětí Smkové napětí pro obdélníkový průře Smkové napětí pro obecný průře Smkové ochabnutí Svar, šroub, spřahovací trn Příklad Copright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mechanics, Cech Republic Permission is granted to cop, distribute and/or modif this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or an later version published b the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. cop of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Motivace ohýbaný nosník f=20 kn/m, šířka obdélníkového průřeu 0,1 m Nosník modelován jako úloha rovinné napjatosti 1 m 1,5 m 2,5 m 0,5 m Normálové napětí x x Smkové napětí x M = /2=40 knm σ x (=0.25)=9,6 MPa M = /8=62,5 knm W el = 0,1 0,52 =4,1666 e-3 m 3 6 σ x (=0,25)=15 MPa Přesné řešení 1,5 MPa Deformace většen 200x, E=210 GPa, n=0,3. 2

3 Ilustrace vniku smkových napětí, rovnováha Dva oddělené nosník x Spolupůsobící nosník x x Každá část nosníku musí být v rovnováe, výslednice napětí jsou N x, V, M. x x x x N x = M = x d x d N x V M V N x V = x d 3

4 Rovnováha smková síla měnou normálové síl f x N N r T : T N =0 rovnováha na všrafované části L R b = fl 2 x x M =Nr, N = M r M = fl2 8, N= fl2 8r =R b ohbový moment L 4r =T vtah mei T a R b x = x Dlouhé níké nosník L 4r,T R b Krátké a vsoké nosník L 4r,T R b porušení nutné třmínk nutné vtužení 4

5 Podmínka rovnováh na elementárním kvádru x x x x X =0 Pro nosník ohýbaný poue okolo hlavní centrální os a atížený svisle: x x,, = M x x = x x = dm x = V x dx x = V x 2 2 C 1 na okrajích průřeu je smkové napětí nulové 5

6 Smkové napětí obdélníkový průře τ x ( x,,h/2)=0 C 1 = V ( x) h2 8 τ x ( x,, h/2)=0 C 1 = V ( x) h2 8 b h = 1 12 bh3 τ x = V (x) 2 2 V (x) Kontrola: h2 τ x (x,, )d= 1,5V (x) bh 8 = 1,5V (x) bh h/ 2 b h / 2 [ 2 ] 1 4 h 2 [ ] h 2 d= 1,5V (x) h [ h 2 h 2 4 (h/2)3 3 h 2 4( h /2)3 3 2] h = 1,5V ( x) 2 h h 3 =V (x) 6

7 Smkové napětí obdélníkový průře h x,max = 3 2 x x = 3 2 V x elastick b τ x ( x, )= 1,5V (x) bh x x = V x bh [ ] h 2 elastick =V x plastický stav Kontrola:V x = x d= V x =V x Smkové napětí vniká v důsledku posouvající síl. Jinými slov: Změna normálových napětí po délce prutu vtváří posouvající sílu a smková napětí. 7

8 Smkový tok pro obecný průře konstantního průřeu x Dx x sx xs = sx t sx =b sx b ře xs s Souřadnice s může mít libovolnou orientaci po průřeu. Často souhlasí s osami,. Souřadnici s volíme tak, ab ře bl co nejužší a předpoklad rovnoměrného smkového napětí τ sx na řeu tím bl co nejlépe splněn, vi dále. Podmínka rovnováh t sx D x= τ sx d x : (σ x D σ x )d σ x d t sx D x=0 s x d Dx x x d t sx = D σ x D x d, x 0, t sx= σ x x d Změna normálových napětí po délce prutu vtváří smkový tok a smkové napětí. 8

9 Obecný vorec pro smkový tok Odvoení platí poue pro hlavní centrální os, x x,, = M x x x,, x M x I = dm x dx dm x = V x dx I V x I t sx = σ x x d=v ( x) d V (x) I d S S S S Statické moment oddělených částí k hlavním centrálním osám. t sx = V (x)s V (x) S I, τ sx =τ xs = t sx b, τ xs= V (x) S V (x)s b bi 9

10 Příklad smkové napětí v tenkostěnném průřeu 200 mm F=103,91 kn 50 x 125 mm 175 mm Těžiště C s -střed smku mm V 3 m 103,91 kn 350 mm =0,0375 m 2 =4,453125e 4 m 4 I =2,140625e 4 m S 1,2 =0,35 0,05 0,1=1,75e-3 m 3 S 3 =S 1,2 0,05 0,075 2 /2=1,89e-3 m 3 S 4,5 = 0,2 0,05 ( 0,15)=1,5e-3m 3 τ 1 xs = V 1,2 S =1,167 MPa, τ 2 0,35 I xs = V 1,2 S =8,167 MPa 0,05 s τ 3 xs = V 3 S =8,823 MPa 0,05 τ 4 xs =7,000 MPa, τ 5 xs =1,75MPa 10

11 Příklad smkové napětí v tenkostěnném průřeu τ xs =τ x 1,75 7,00 8,823 1,167 8,167 MPa V = x d Simulace pomocí metod konečných prvků (MKP), napětí spojitě vhlaeno do ulů (skok v napětí jsou ve vkreslení ignorován) 11

12 Příklad smkové napětí v tenkostěnném průřeu τ xs =τ x 2,625 0,14 Nereálné průměrné napětí S 6 =0,15 0,05 0,1=7,5e-4 m 3 S 7 =0,075 0,05 ( 0,15)= 5,625e-4 m 3 0,14 7 2,625 MPa τ 6 xs = V 6 S =3,500 MPa 0,05 τ 7 xs = V 7 S = 2,625MPa 0,05 s V = x d =0 6 3,500 0,14 0,14 Nereálné průměrné napětí Napětí v polovině světlé šířk části pásnice, průměrná hodnota e vorce 1,75 MPa 3,500 MPa 12

13 Příklad smkové napětí v tenkostěnném průřeu Dominantní smková napětí τ x 2,625 MPa F= kn anedbáno 2,625 MPa τ x Boční pohled (pokud b části nosníku nespolupůsobil) anedbáno 7,00 MPa 8,823 x x x anedbáno 8,167 τ x anedbáno 3,500 3,500 MPa 13

14 Smkové ochabnutí (shear lag) Nerovnoměrné rodělení normálového napětí, které vniká vlivem smkové poddajnosti určitých oblastí konstrukce. Důležité u krátkých nosníků a tenkostěnných profilů. Zjednodušený výpočet běžně uvažuje efektivní průře s vloučením málo spolupůsobících částí. σ x σ x Spolupůsobící šířka desk σ x 100 kn Délka konol 10 m, Roměr betonové desk 4,4x10x0,2 m, šířka žebra 0,4 m, světlá výška žebra 0,8 m, E=30 GPa, n=0,3, deformace 100x většen. 14

15 Příklad určete průběh τ x u trojúhelníkového průřeu h b d s τ x 2 o 3 2 V τ x (s)= V S (s) d d τ x (s) =0 s= h ds 2 τ x (h/2)= 3V bh = 3 2 = 12V s(h s) bh 3 V Rovnoramenný trojúhelník = 1 36 bh3, d s = b h s S s = 1 2 s d s 2 3 h 2 3 s = bs2 3h h s Pon.: Napětí τ x nejsou nulová. 15

16 400 mm Příklad určete smková napětí od síl V 250 mm T τ xs = V (x) S bi, V = 22 kn I = 1 12 (0,35 0,053 0,05 0,25 3 )=6,875e-5 m 4 S 1,2 =0,1 0,05 0,075=3,75e-4 m S 3 =S 1,2 0,4 0, =5,0e-4 m 3 V τ x τ 1 xs = 0,022 3,75e-4 = 2,40 MPa 0,05 I τ x Nulové τ 2 xs = 0,022 3,75e-4 = 0,30 MPa 0,4 I τ 3 xs = 0,022 5,0e-4 = 0,40 MPa 0,4 I 2,40 MPa 16

17 400 mm Příklad určete smková napětí od posouvající síl V mm T τ xs = V ( x)s, V bi =200 kn =4,73e-4 m 4 S 1,2 =0,25 0,05 0,117=1,46e-3 m 3 τ x 4,95 MPa S 3 =S 1,2 0,05 0,0922 =1,67e-3 m 3 2 S 4 =0,1 0,05 ( 0,117)= 5,85e-4 m 3 4 4,95 MPa τ x 2,47 12,35 MPa 14,12 τ 1 xs = 0,2 1,46e-3 =2,47 MPa 0,25 τ 2 xs = 0,2 1,46e-3 =12,35 MPa 0,05 τ 3 xs = 0,2 1,67e-3 =14,12 MPa 0,05 V =200 kn τ 4 xs = 0,2 ( 5,85e-4) = 4,95 MPa 0,05 17

18 Příklad určete smkové napětí v koutovém svaru Vužijte výsledk minulého příkladu a uvažujte tloušťku svaru 4 mm. 2 2,47 12,35 MPa τ x 14,12 Svar musí přenést smkový tok: t x =12,35 0,05=2,47 0,25=0,618 MN/m' Svar na jeden běžný metr nosníku musí ted přenést 618 kn/m'. Na jeden svar připadá polovina, tj. 309 kn/m'. Smkové napětí v nebepečném řeu : 2 a=4 mm nebepečný ře τ = t x 2a = 0, ,004 = 0,309 =77,25 MPa 0,004 18

19 Příklad určete smkovou sílu na jeden spřahovací trn 2 τ x 2,47 12,35 MPa 14,12 Vužijte výsledků minulého příkladu. Trn opět musí přenést smkový tok: t x =12,35 0,05=2,47 0,25=0,618 MN/m' Na jeden trn připadá smková síla: F =618 0,2=123,6 kn Ocelový hmoždík Bulldog F F v=0,2 m M. Patrick: Universit of Western Sdne 19

20 Oták 1. Nakreslete průběh posouvající síl pro nosník, který je atížen poue koncovými moment a tím je v rovnováe. Proč nevniká posouvající síla ani smkové napětí? Vsvětlete na modelu nosníku, který je složen vrstviček elastických vláken. 2. Kolikrát se větší průhb nosníku, pokud se obdélníkový průře usmkne v rovině procháející jeho těžištěm? 3. Při výpočtu smkového toku se snažíme vést co nejužší ře. Vsvětlete, jaké důsledk může mít nerespektování této ásad. 4. Při atížení nosníku posouvající silou V vnikají napětí τ x. Kterou sílu dostaneme integrací τ x po průřeu? Ukažte průře, kde vnikají i τ x. 5. Co je smkové ochabnutí? Uveďte příklad úloh, kd se musí smkové ochabnutí uvažovat. 6. Nakreslete průběh smkového napětí τ x na kruhovém průřeu. Dokažte, že výsledný průběh napětí má parabolický průběh. 7. Ukažte průře, kde v těžišti nevniká největší smkové napětí. Existuje takový průře pro smkový tok? Vtvořeno 04/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří ejména M. Jiráskovi a inspiraci jeho přednáškami. 20