Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu

Transkript

1 Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 12. zá í 2016 Vedoucí seminární práce: prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc.

2 Osnova

3 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost axiální síly, která zp sobí ztrátu stability ideálního prost podep eného Timo²enkova prutu obecného pr ezu.

4 P edpoklady e²ení úlohy P edpoklady o prutu Prut je staticky ur it podep en (jako prostý nosník) St ednice nedeformovaného prutu je úse ka Prut je materiálov dokonale homogenní, materiál je z hlediska mechanických vlastností izotropní P i p sobení zatíºení se prut deformuje lineárn pruºn Zatíºení p sobící na prut Na prut p sobí pouze vn j²í axiální síla P Vztah mezi zatíºením a deformací prutu Pouºíváme zjednodu²ený vztah mezi zatíºením prutu a jeho deformací - Timo²enkovu teorii ohybu prutu

5

6 P edpoklady e²ení úlohy Zp sob analýzy ztráty stability prutu Pouºijeme teorii 2. ádu.

7 P edpoklady teorie Pr ezy p ímého prutu kolmé na deformovanou st ednici, se p i deformaci pooto í o ur itý úhel - z stávají rovinné Deformované pr ezy nemusí být kolmé na deformovanou st ednici - zobecn ní Eulerovy-Bernoulliovy teorie Pooto ení deformovaných pr ez od my²lené kolmice na deformovanou st ednici je d sledkem p sobení posouvajících sil Q

8 γ γ(x) = θ(x) + ϕ(x) = Q GA 0 ϕ θ θ = w (x) A 0 = A/m θ A - plocha pr ezu m - opravný smykový koecient Pro tvercový pr ez platí m 1.2 Pro kruhový pr ez m 1.11

9 Geometrické rovnice γ(x) = θ(x) + ϕ(x), (1) θ(x) = w (x), (2) κ(x) = ϕ (x), (3) kde κ je n kdy ozna ována jako pdeudok ivost st ednice.

10 Materiálové rovnice Q(x) = GA 0 γ(x), (4) M(x) = EI κ(x), (5) kde E je Young v modul pruºnosti a I je moment setrva nosti pr ezu.

11 Statická rovnice pro ohybový moment M M(x) = Pw(x). (6)

12 Statické rovnice pro posouvající sílu Q - Engesserova formulace Engesser 1889,1891 γ ϕ θ Q(x) = Pθ(x) = Pw (x) = M (x). θ Q Engesser

13 Statické rovnice pro posouvající sílu Q - Haringxova formulace γ ϕ θ Haringx Ztráta stability spirálových pruºin Q(x) = Pϕ(x). θ Q Heringx

14 Srovnání Haringxovy a Engesserovy formulace γ ϕ θ θ Q Heringx Q Engesser

15 Okrajové podmínky w(0) = w(l) = 0 M(x) = Pw(x) = EI ϕ (x) Pw(0) = EI ϕ (0) ϕ (0) = 0 Pw(L) = EI ϕ (L) ϕ (L) = 0

16 ídící rovnice podle Engesserovy formulace P GA 0 w (x) = w (x) ϕ(x), (7) Pw(x) = EI ϕ (x). (8)

17 Kritická síla podle Engesserovy formulace w C 2 0, L, w(0) = w(l) = 0, ϕ C 1 0, L, ϕ (0) = ϕ (L) = 0 w P + EI (1 P w = 0, (9) ) GA 0 w λw = 0, (10) λ = π2 L = P 2 EI (1 P. (11) ) GA 0

18 Kritická síla podle Engesserovy formulace P Eng = IGEA 0π 2 GA 0 L 2 + EI π 2, (12) Kritická síla m ºe v tomto p ípad být pouze kladná, tedy tlaková.

19 ídící rovnice podle Haringxovy formulace Pϕ(x) = GA 0 (x)(ϕ(x) + w (x)), (13) Pw(x) = EI (x)ϕ (x). (14)

20 Kritická síla podle Haringxovy formulace w C 2 0, L, w(0) = w(l) = 0, ϕ C 1 0, L, ϕ (0) = ϕ (L) = 0 w + P(P + GA 0) IGEA 0 w = 0, (15) w λw = 0, (16) λ = π2 L 2 = P(P + GA 0) IGEA 0. (17)

21 Kritická síla podle Haringxovy formulace GA 0 ± G 2 A 2 + 4π2 0 P Har = L IGEA 2 0, (18) 2 Kritická síla je kladná i záporná, tedy tlaková i tahová

22 Porovnání Eulerovy, Engesserovy a Haringxovy tlakové kritické síly pro E/G = 3

23 Porovnání Eulerovy, Engesserovy a Haringxovy tlakové kritické síly pro E/G = 20

24 Tahová kritická síla P Har = GA 0 ± G 2 A 2 + 4π2 0 L IGEA 2 0, 2 P Har GA 0.

25 Tahová kritická síla G = P Har GA 0 ( E 1 2(1 + ν), 0 < ν < 0, 5 G = 2 1 ) E 3 σ Har P Har A 0 ( 1 ( 1 ɛ Har ) ) E

26 Tahová kritická síla James M. Kelly Tension Buckling in Multilayer Elastomeric Bearings

27 Tahová kritická síla S. Caddemi, I. Calió, F. Cannizzaro Tensile and compressive buckling of columns with shear deformation singularities

28 Sendvi ové nosníky a panely

29 Kritická síla podle Engesserovy formulace Huang, Zhang, Rong Buckling Analysis of of Axially Functionally Graded and Non-Uniform Beams Based on Timoshenko Theory M 4 (x)w (4) (x) + M 3 (x)w (3) (x) + M 2 (x)w (x) + M 1 (x)w (x) = 0. (19) M 1 (x) = P [ ( ) ( ) ( ) ] EI (x) + 2EI (x) + EI (x), GA 0 GA 0 GA 0 (20)

30 ídící rovnice podle Haringxovy formulace Pϕ(x) = GA 0 (x)(ϕ(x) + w (x)), (21) Pw(x) = EI (x)ϕ (x). (22)

31 Kritická síla podle Haringxovy formulace w C 1 0, L, w(0) = w(l) = 0, ϕ C 2 0, L, ϕ (0) = ϕ (L) = 0 ( ) P (EI (x)ϕ (x)) 2 = GA 0 (x) + P ϕ(x). (23)

32 Kritická síla podle Haringxovy formulace - varia ní formulace H = {ϕ; L 0 (ϕ ) 2 dx <, ϕ (0) = 0, ϕ (L) = 0} L 0 EI (x)ϕ (x)v (x)dx P 2 L P L ϕ(x)v(x)dx (24) GA 0 (x) ϕ(x)v(x)dx = 0 v(x) H.

33 Kritická síla podle Haringxovy formulace - varia ní formulace P = l ± ( L ) 0 ϕ2 0 ϕ L 1 L ϕ 0 GA 2 EI (ϕ ) L 0. (25) 1 ϕ GA 2 0

34 Kritická síla podle Haringxovy formulace - MKP Úlohu e²me metodou kone ných prvk na H p, kde H p H s bázovými funkcemi ψ i (x), x 0, L a i = 1...n. Platí tedy n ϕ a = α i ψ i, i = 1...n, (26) i=1 kde α i jsou neznámé reálné koecienty. L 0 EI (x)ϕ a(x)ψ i(x)dx P 2 L P L GA 0 (x) ϕ a(x)ψ i (x)dx (27) ϕ a (x)ψ i (x)dx = 0 ψ i (x).

35 Kritická síla podle Haringxovy formulace - Kvadratický problém vlastních ísel - linearizace Ku + P 2 Mu + PRu = 0. (28) v 2 = u, v 1 = Pu Kv 2 PMv 1 Rv 1 = 0 tedy Pv 2 = v 1, KPv 2 = Kv 1

36 Kritická síla podle Haringxovy formulace - Kvadratický problém vlastních ísel - linearizace Získáváme tedy soustavu rovnic pro neznámé vektory v 1 a v 2 ( ) ( ) R K M 0 v = P v, K 0 0 K kde v = (v 1 v 2 ) T.

37 Kritická síla podle Haringxovy formulace - Kvadratický problém vlastních ísel - itera ní e²ení Guo, Lin a Wang Numerical Solutions for Large Sparse Quadratic Eigenvalue Problems Ku = P(λM + R)u. (29) 1) λ = λ 0 P = P 0 2) λ = P 0 P = P 1... n) λ n P n < ɛ

38 Záv ry Záv ry

39 D kuji za pozornost