SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Transkript

1 SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. Kamenice 3, 4. patro, dv.č INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz

2 XI. STABILITA

3 KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM M STABILNÍ Stabilita - vlastnost systému, kterou můžeme charakterizovat jeho schopností udržet své chování či rysy (parametry) v předepsaných mezích i za případného vnějšího rušivého působení. Rovnováha -relativně stálý stav systému, vzniklý vyrovnáním vlivů na systém působících.

4 KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM M STABILNÍ

5 STABILITA Ljapunovská stabilita: Rovnovážný stav x e je ljapunovsky stabilní právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro libovolný počáteční stav x 0, který leží v okolí δ rovnovážného stavu, tj. x 0 x e < δ platí, že všechny stavy x(t), které jsou řešením systému, leží v blízkosti rovnovážného stavu, tj. x(t) x e < ε

6 STABILITA Ljapunovská stabilita

7 STABILITA Ljapunovská stabilita Nevyžadujeme, aby blízké řešení konvergovalo do rovnovážného stavu, ale pouze vyžadujeme, aby se mu příliš nevzdalovalo. Kvaziasymptotická stabilita: Rovnovážný stav x e je kvaziasymptoticky stabilní právě tehdy, když existuje takové číslo δ > 0, že každý stav x(t) systému, který leží v δ okolí rovnovážného stavu, konverguje pro t k tomuto rovnovážnému stavu, neboli lim x(t) x. t e

8 STABILITA Asymptotická stabilita: Rovnovážný stav je asymptoticky stabilní právě tehdy, když je ljapunovsky stabilní i kvaziasymptoticky stabilní.

9 STABILITA Stabilitu můžeme definovat i z vnějšího pohledu a to tak, že na každý omezený vstup (co do hodnot) bude systém reagovat omezeným výstupem (co do hodnot) (BIBO - Bounded Input Bounded Output, ohraničený vstup ohraničený výstup). Podle této definice lze ověřit pouze nestabilitu. Nutnou a postačující podmínkou pro BIBO stabilitu je absolutní integrovatelnost jeho impulsní charakteristiky, tj. musí platit g(t) dt < 0 Pro diskrétní systémy platí obdobná tvrzení.

10 KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM M STABILNÍ dva základní přístupy k určení stability: stabilita vůči počátečnímu stavu (daná konvergencí přirozené odezvy); stabilita vynuceného pohybu;

11 STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU tendence systému reagovat přiměřeně na podnět konečné délky a po jeho zániku se vrátit do výchozího stavu (není nezbytnou podmínkou DEFINICE: Systém je stabilní, pokud na každý ohraničený vstup x(t) [x(nt)] (co do hodnot) reaguje rovněž ohraničeným výstupem y(t) [y(nt)] (dle této definice lze ověřit pouze nestabilitu)

12 STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU asymptoticky stabilní systém je systém, jehož přirozená odezva časem zaniká mějme lineární systém pracující ve spojitém čase. řádu definovaný přenosovou funkcí H(p) p K + a p + a 0 L - h(t) (p p A p p A.e K )(p p p t A.e + B.e ) p p t t A (p p ) B + (p p )

13 NUTNÉ A POSTAČUJ UJÍCÍ PODMÍNKY Oblast, ve které leží póly stabilního systému, je v komplexní rovině levá polorovina bez imaginární osy. Jsou-li póly systému na imaginární ose, říkáme, že je systém na mezi stability.

14 NUTNÉ A POSTAČUJ UJÍCÍ PODMÍNKY Příklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí p + p + 3 G(p) (p + ) (p + 3)(0,p + )(p + p + )

15 NUTNÉ A POSTAČUJ UJÍCÍ PODMÍNKY Příklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí p + p + 3 G(p) (p + ) (p + 3)(0,p + )(p + p + ) Póly přenosové funkce jsou: 3 p, p3 p j p Tento systém je ljapunovsky i asymptoticky stabilní j p 4 0,

16 STABILITA VŮČI POČÁTE TEČNÍMU STAVU

17 STABILITA VŮČI POČÁTE TEČNÍMU STAVU

18 STABILITA DISKRÉTN TNÍCH SYSTÉMŮ Stabilitu diskrétních systémů vyšetřujeme pomocí pólů systému respektive vlastních čísel matice systému. Lineární stacionární systém je asymptoticky stabilní právě tehdy, jsou-li póly systému v absolutní hodnotě menší než,resp. vlastní čísla matice systému M. 8

19 STABILITA DISKRÉTN TNÍCH SYSTÉMŮ 9

20 XII. SPOJOVÁNÍ SYSTÉMŮ ZPĚTNÁ VAZBA

21 SÉRIOVÉ (KASKÁDN DNÍ) ) ZAPOJENÍ F (p) U(p) X(p) F (p) Y(p) U(p) F (p) Y(p) X(p) Y(p) U(p) U(p) Y(p) F(p).. F (p).f (p) X(p) U(p) X(p) U(p) F(p) N i F(p i )

22 PARALELNÍ ZAPOJENÍ Y (p) F (p) X(p) Y (p) F (p) X(p) F (p) Y(p) X(p) Y(p) Y (p) + Y (p) F(p) F (p) + F (p) X(p) X(p) F(p) N i F(p i )

23 ZPĚTNOVAZEBN TNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ F (p) Y(p) E(p) F (p) V(p) Y(p) F (p) Y(p) X(p) E(p) X(p) - V(p) X(p) E(p) + V(p)

24 ZPĚTNOVAZEBN TNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ F(p) Y(p) X(p) + Y(p) E(p) + V(p) Y(p) E(p) Y(p) V(p). E(p) Y(p) Y(p). E(p) + V(p) F (p) + F (p).f (p) E(p) E(p) Y(p) E(p) V(p) + E(p) F(p) + F (p) F (p).f Y(p) E(p) V(p) Y(p). E(p) Y(p) (p) kladná ZV celková přenosová funkce přímé větve F(p) m součin celkových přenosových funkcí přímé a zpětné větve

25 ZPĚTN TNÁ VAZBA PRINCIP REGULACE

26 ZPĚTN TNÁ VAZBA VLASTNOSTI zvýšená přesnost např. schopnost věrně reprodukovat vstup; snížená citlivost poměru výstup/vstup na změny parametrů systému; snížený vliv nelinearit; snížený vliv vnějších poruch a šumu; širší rozsah frekvenčního pásma; tendence k oscilacím a nestabilitě;

27 PŘÍKLAD ROZŠÍ ŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMAP G(p) p + G( ω) jω + H( ω) G( ω) + G( ω) jω + + jω + jω + jω + + jω + jω +. jω +

28 SYSTÉM M SE SETRVAČNOST NOSTÍ.ŘÁDU modulová logaritmická frekvenční charakteristika F( ω) db 0log(F( ω) 0logK 0log T ω + pro ω «/T je (Tω) «a tedy F( ω ) db 0logK pro ω» /T je (Tω)» a tedy F( ω) db 0logK 0logTω

29 PŘÍKLAD ROZŠÍ ŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMAP H( ω) db K 0log H( ω) db 0logK 0logTω T 0log ω 0logK 0log 0logTω + 0log

30 BIOLOGICKÁ ZPĚTN TNÁ VAZBA Biologická zpětná vazba je mechanismus, který prostřednictvím měření a smyslově vnímatelného znázornění stavu určitého subsystému lidského organismu umožňuje tento stav změnit volní činnosti vyšetřované osoby. Může-li si člověk prostřednictvím určitého přístroje uvědomit stav či změnu stavu svého organismu (které by si normálně nevšimnul), např. generování EEG signálu s převažujícím výskytem složek o frekvencích z intervalu 8 Hz rytmus alfa, pak se může naučit tento stav do určité míry ovlivňovat.

31 BIOLOGICKÁ ZPĚTN TNÁ VAZBA Veličiny, které mohou být biologickou zpětnou vazbou vědomě modifikovány, jsou např. klidové svalové napětí, srdeční rytmus, tlak krve, periferní tok krve (vasokonstrikce, resp. vasodilatace), kožní odpor či EEG signál. Znázornění hodnoty sledované veličiny je především vizuální (poloha ukazatele, umístění bodu na ploše obrazovky) nebo akustické (výška či hlasitost tónu). V poslední době se prosazuje forma jednoduchých počítačových her. Možnost (schopnost) ovlivňovat stav vlastního organismu umožňuje využít tohoto principu v terapii psychických poruch různého typu.

32 Příprava nových učebních materiálů pro obor Matematická biologie je podporována projektem ESF č. CZ..07/..00/ VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ