Integrální počet funkcí jedné proměnné
|
|
|
- Simona Benešová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčité integrály Určité a nevlastní integrály Geometrické aplikace určitého integrálu. p.1/??
2 Neurčité integrály Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál cos(ln x) dx. Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál cos x sin x dx. Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál x 2 1 x 6 dx.. p.2/??
3 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál cos(ln x) dx.?. p.3/??
4 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Výsledek: cos(ln x)dx= x 2 (cos(ln x)+sin(ln x)). cos(ln x) dx.. p.3/??
5 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Návod: cos(ln x) dx. Dvakrát po sobě použijte metodu per partes, přičemž v 1. kroku položte: u (x)=1, v(x)=cos(ln x). Hledaný integrál pak vypočtěte ze vzniklé rovnice.. p.3/??
6 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Řešení: cos(ln x) dx. u (x)=1 u(x)= 1dx=x cos(ln x)dx = = xcos(ln x)+ sin(ln x) dx = v(x)=cos(ln x) v (x)= sin(ln x) 1 x u (x)=1 u(x)= 1dx=x ( ) = = xcos(ln x)+ xsin(ln x) cos(ln x)dx v(x)=sin(ln x) v (x)=cos(ln x) 1 x = xcos(ln x)+xsin(ln x) cos(ln x)dx = Vypustíme-li z uvedeného řetězce rovností vnitřní členy, můžeme psát: cos(ln x)dx=xcos(ln x)+xsin(ln x) cos(ln x)dx Převedením posledního členu z pravé strany na stranu levou dostaneme: 2 cos(ln x)dx=xcos(ln x)+xsin(ln x) Odtud pak plyne: cos(ln x)dx= xcos(ln x)+xsin(ln x) 2 = x 2 (cos(ln x)+sin(ln x)).. p.3/??
7 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál cos(ln x) dx. Maple: > Int(cos(ln(x)),x)=int(cos(ln(x)),x); cos(ln(x)) dx= 1 2 cos(ln(x)) x+1 2 sin(ln(x)) x. p.3/??
8 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Mathematica: Integrate[Sin[Log[x]], x] 1 2 xcos[log[x]]+ 1 2 xsin[log[x]] cos(ln x) dx.. p.3/??
9 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál cos x sin x dx.?. p.4/??
10 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Výsledek: cos x sin x dx=2 sin x. cos x sin x dx.. p.4/??
11 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Návod: Integrál vypočítejte pomocí substituce sin x=t. cos x sin x dx.. p.4/??
12 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Řešení: cos x sin x dx. cos x sin x dx = = sin x cos x dx t 1 2 dt= t1 2 = t = dt = t dt= =2 t=2 sin x. p.4/??
13 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Maple: cos x sin x dx. > Int(cos(x)/sqrt(sin(x)),x)=int(cos(x)/sqrt(sin(x)),x); cos(x) dx=2 sin(x) sin(x). p.4/??
14 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Mathematica: Integrate[Cos[x]/Sqrt[Sin[x]], x] cos x sin x dx. 2 Sin[x]. p.4/??
15 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál x 2 1 x 6 dx.?. p.5/??
16 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Výsledek: x 2 1 x 6 dx= 1 3 arcsin x3. x 2 1 x 6 dx.. p.5/??
17 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Návod: x 2 1 x 6 dx. Integrand nejprve upravte, a to tak, abyste mohli použít substituci x 3 = t.. p.5/??
18 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Řešení: x 2 1 x 6 dx. x 2 1 x 6 dx = = 1 3 x 2 1 (x3 ) 2 dx= x 3 = t 3x 2 dx = dt x 2 dx = 1 3 dt 1 1 t 2 dt=1 3 arcsin t= 1 3 arcsin x3 =. p.5/??
19 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Maple: x 2 1 x 6 dx. > Int(xˆ2/sqrt(1-xˆ6),x)=int(xˆ2/sqrt(1-xˆ6),x); x 2 dx=1 1 x 6 3 arcsin(x3 ). p.5/??
20 Příklad Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý integrál Mathematica: Integrate[x 2/Sqrt[1 x 6], x] ArcSin [x 3] 3 x 2 1 x 6 dx.. p.5/??
21 Určité integrály 3 Příklad Vypočtěte určitý integrál x e 3 x2 dx. e 2 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3x ln xdx. 1 e 1 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál 0 e x x dx.. p.6/??
22 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3 x e 3 x2 dx. 1?. p.7/??
23 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3 x e 3 x2 dx. Výsledek: 3 1 x e 3 x2 dx= (e 2 1e 6 ).. p.7/??
24 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3 x e 3 x2 dx. Návod: 1 Integrovaná funkce f(x)=x e 3 x2 je definovaná na množině D(f)=Ê, na níž je navíc spojitá. Protože platí, že 1;3 D(f), je tím spíše spojitá na intervalu 1;3. Tím je zaručena existence primitivní funkce F(x) k funkci f(x) na intervalu 1;3. Zadaný integrál tudíž existuje. Primitivní funkce F(x) se vypočítá pomocí substituce3 x 2 = t.. p.7/??
25 Příklad Vypočtěte určitý integrál Řešení: 3 1 x e 3 x2 dx. 3 1 x e 3 x2 dx = = x 2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x= 1 t=2 x=3 t= 6 ( e 6 e 2) = 1 2 = 1 2 (e 2 1e 6 ) 6 2 e t dt= 1 2 [e t] 6 2 =. p.7/??
26 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3 x e 3 x2 dx. Maple: 1 > Int(x*exp(3-xˆ2),x=-1..3)=int(x*exp(3-xˆ2),x=-1..3); 3 1 x e (3 x2) dx= 1 2 e2 1 2 e( 6). p.7/??
27 Příklad Vypočtěte určitý integrál 3 x e 3 x2 dx. Mathematica: 1 Integrate[x Exp[3 x 2], {x, 1,3}] 1+e 8 2e 6. p.7/??
28 Příklad e2 Vypočtěte určitý integrál 3x ln xdx. e?. p.8/??
29 Příklad Vypočtěte určitý integrál Výsledek: e2 e 3x ln xdx. e2 e 3x ln xdx= 9 4 e4 3 4 e2.. p.8/??
30 Příklad Vypočtěte určitý integrál Návod: e2 e 3x ln xdx. Integrovaná funkce f(x)=3x ln x je definovaná na množině D(f)=(0, ), na níž je navíc spojitá. Protože platí, že e,e 2 D(f), je tím spíše spojitá na intervalu e,e 2. Tím je zaručena existence primitivní funkce F(x) k funkci f(x) na intervalu e,e 2. Zadaný integrál tudíž existuje. Vypočítáme jej pomocí metody per partes, a to tak, že položíme: u =3x, v=ln x.. p.8/??
31 Příklad Vypočtěte určitý integrál Řešení: e2 e 3x ln xdx. e2 e 3x ln xdx = u =3x u= 3x2 2 v=ln x v = 1 x = [ 3x 2 2 ln x ] e 2 e e2 e 3x x dx= = = [ 3x 2 [ 3x 2 2 ln x 2 ] e 2 e 3 2 e2 e ( ln x 1 ) ] e 2 2 e xdx= = 3e4 2 [ 3x 2 2 ln x ] e 2 e 3 2 ( lne 2 1 ) 3e2 2 2 [ x 2 2 ] e 2 e = ( lne 1 ) 2 = = 9 4 e4 3 4 e2. p.8/??
32 Příklad e2 Vypočtěte určitý integrál 3x ln xdx. Maple: e > Int(3*x*ln(x),x=exp(1)..exp(2))=int(3*x*ln(x),x=exp(1)..exp(2)); e 2 e 3 xln(x) dx= 3 4 e e4. p.8/??
33 Příklad Vypočtěte určitý integrál Mathematica: e2 e 3x ln xdx. Integrate[3xLog[x], {x, Exp[1], Exp[2]}] 3 ( 4 e2 1+3e 2). p.8/??
34 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál 1 0 e x x dx.?. p.9/??
35 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál Výsledek: 1 0 e x x dx. 1 0 e x x dx=2(e 1).. p.9/??
36 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál Návod: 1 0 e x x dx. Integrovaná funkce f(x)= e x x je definovaná na množině D(f)=(0, ). Protože uzavřený interval 0,1 není podmnožinou D(f), funkce f(x) nemůže mít na intervalu 0,1 primitivní funkci. Zadaný integrál tudíž neexistuje. Platí však, že(0,1 D(f) a protože funkce f(x) je na D(f) spojitá, je tím spíše spojitá na intervalu(0,1. Tím je zaručena existence primitivní funkce F(x) k funkci f(x) alespoň na intervalu(0,1. Jedná se tedy o nevlastní integrál, který se vypočítá takto: 1 0 e x dx=[f(x)] 1 x 0 = F(1) lim F(x), x 0 + pokud ovšem bude uvedená limita vlastní. Primitivní funkci F(x) vypočítáme pomocí substituce t= x.. p.9/??
37 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál Řešení: Nejprve si přečtěte Návod. 1 0 e x x dx. F(x)= e x x dx = 1 2 x 1 x dx x = t dx = dt = 2dt =2 e t dt=2e t x =2e 1 0 e x x dx= [ ] x 1 2e 0 1 x =2e lim 2e =2e 2e 0 =2e 2=2(e 1) x 0 +. p.9/??
38 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál 1 e x x dx. Maple: 0 > Int(exp(sqrt(x))/sqrt(x),x=0..1)=int(exp(sqrt(x))/sqrt(x),x=0..1); 1 0 e ( x) x dx=2 e 2. p.9/??
39 Příklad Vypočtěte nevlastní integrál Mathematica: 1 0 e x x dx. Přímý výpočet pomocí programu Mathematica: Integrate[Exp[Sqrt[x]]/Sqrt[x], {x, 0, 1}] 2( 1+e) nebo vypočteme neurčitý integrál a spočteme nevlastní integrál pomocí limit: v = Integrate[Exp[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x] 2e x integral=limit[v, x 1] Limit[v, x 0,Direction 1] 2+2e. p.9/??
40 Geometrické aplikace určitého integrálu Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce a osou x. f(x)=x x+4, x 4,0 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0.. p.10/??
41 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f(x)=x x+4, x 4,0 a osou x.?. p.11/??
42 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce a osou x. Výsledek: P= f(x)=x x+4, x 4,0. p.11/??
43 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f(x)=x x+4, x 4,0 a osou x. Návod: Vypočtěte určitý integrál x x+4dx p.11/??
44 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce a osou x. Řešení: f(x)=x x+4, x 4,0 Nejprve budeme hledat průsečíky grafu funkce f(x) s osou x. Jejich x-ové souřadnice získáme jako řešení rovnice f(x)=0, tj. x x+4=0. Tedy: x x+4=0 x=0 x+4=0, přičemž: x+4=0 x+4=0 x= 4. Rovnice x x+4=0 má tedy 2 řešení: x 1 =0 a x 2 = 4, což jsou právě krajní body uvažovaného intervalu 4,0. Vzhledem k tomu, že spojitá funkce nemůže mezi dvěma sousedními nulovými body střídat znaménko, je jasné, že bude platit bud to f(x) >0 x ( 4,0), nebo naopak f(x) <0 x ( 4,0). Zda platí první, či druhá alternativa, zjistíme např. tak, že určíme znaménko funkční hodnoty funkce f v některém (zcela libovolně zvoleném) bodě ležícím v intervalu( 4,0). Protože např. 2 ( 4,0) a f( 2) <0, platí: f(x) <0 x ( 4,0) Obrazec jehož obsah počítáme: -3 Další. p.11/??
45 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f(x)=x x+4, x 4,0 a osou x. Řešení: Plošný obsah P zadaného obrazce tedy spočteme takto: 0 P= x x+4dx = 4 x+4 = t x = t 4 dx = dt x= 4 t=0 x=0 t=4 4 = (t 4) tdt= 0 = 4 ( t t 4 ) t dx= 4 ( t2 3 +4t 1 ) 2 dx= = 0 [ 2 5 = t t 3] = = ( ) 4 3 0=. p.11/??
46 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f(x)=x x+4, x 4,0 a osou x. Maple: > Int(-x*sqrt(x+4),x=-4..0)=int(-x*sqrt(x+4),x=-4..0); 0 4 x x+4 dx= p.11/??
47 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce a osou x. Mathematica: Nejdříve si nakreslíme graf dané funkce: g=plot[xsqrt[x+4], {x, 4,0}] Graphics Nyní vypočteme plochu obrazce: P= Integrate[ xsqrt[x+4], {x, 4,0}] f(x)=x x+4, x 4,0. p.11/??
48 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0.?. p.12/??
49 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Výsledek: P= π p.12/??
50 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Návod: Pro plošný obsah obrazce platí P= 0 (sin 2 x sin 3 x)dx. π. p.12/??
51 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Řešení: Nejprve budeme hledat průsečíky grafů funkcí f(x) a g(x). Jejich x-ové souřadnice získáme jako řešení rovnice f(x)=g(x), tj.sin 2 x=sin 3 x. Tedy: sin 2 x=sin 3 x sin 2 x sin 3 x=0 sin 2 x (1 sin x)=0 sin 2 x=0 1 sin x=0, přičemž: sin 2 x=0 sin x=0 x=kπ, k a 1 sin x=0 sin x=1 x= π 2 +2kπ, k. Z bodů tvaru kπ, kde k, leží v intervalu π,0 dva body, a to: x= π a x=0. Z bodů tvaru π 2 +2kπ, kde k, neleží v intervalu π,0 žádný z nich. Rovnice sin 2 x=sin 3 x má tedy v intervalu π,0 2 řešení: x 1 = π a x 2 =0, což jsou právě krajní body uvažovaného intervalu π,0. Vzhledem k tomu, že je funkce f(x) g(x)=sin 2 x sin 3 x spojitá, nemůže mezi dvěma sousedními nulovými body střídat znaménko. Další. p.12/??
52 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Řešení: Musí tudíž platit bud tosin 2 x sin 3 x >0 x ( π,0), neboli sin 2 x >sin 3 x x ( π,0), nebo naopaksin 2 x sin 3 x <0 x ( π,0), neboli sin 2 x <sin 3 x x ( π,0). Zda platí první, či druhá alternativa, zjistíme např. tak, že určíme znaménko funkční hodnoty funkce f g v některém (zcela libovolně zvoleném) bodě ležícím v intervalu( π,0). Protože např. π 2 ( π,0) a f( π 2 ) g( π 2 )=sin2 ( π 2 ) sin3 ( π 2 )=( 1)2 ( 1) 3 =1+1=2>0, platí: sin 2 x sin 3 x >0 x ( π,0), nebolisin 2 x >sin 3 x x ( π,0). Plošný obsah P zadaného obrazce tedy spočteme takto: P= 0 (sin 2 x sin 3 x)dx. π Nejprve si spočteme primitivní funkci k funkcisin 2 x sin 3 x: (sin 2 x sin 3 x)dx= sin 2 xdx sin 3 xdx, přičemž každý z posledních dvou integrálů vypočteme samostatně: Další. p.12/??
53 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Řešení: 1 cos2x sin 2 xdx = dx= 1 (1 cos2x)dx= 2 2 = 1 dx 1 cos2xdx= x 1 2cos2xdx= 4 2x = t = 2dx = dt = 1 2 x 1 cos tdt= 4 = 1 2 x 1 4 sin t=1 2 x 1 4 sin2x sin 3 xdx = = sin x sin 2 xdx= sin x (1 cos 2 x)dx= cos x = t sin xdx = dt = (1 t 2 )dt= = t+ t3 3 = cos x+cos3 x 3 Další. p.12/??
54 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Řešení: Tedy: Tudíž: (sin 2 x sin 3 x)dx= 1 2 x 1 4 sin2x+cos x cos3 x 3 P = = 0 π [ ] x 1 4 sin2x+cos x x cos3 3 π ( π ) = π 2 = π (sin 2 x sin 3 x)dx= ( ) =. p.12/??
55 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Maple: > Int((sin(x))ˆ2-(sin(x))ˆ3,x=-Pi..0)=int((sin(x))ˆ2-(sin(x))ˆ3,x=-Pi.. 0); 0 πsin(x) 2 sin(x) 3 dx= π p.12/??
56 Příklad Vypočtěte plošný obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x)=sin 2 x, g(x)=sin 3 x, x π,0. Mathematica: P= Integrate[Sin[x] 2 Sin[x] 3, {x, Pi,0}] 1 6 (8+3π). p.12/??
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter..
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní
Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
y H = c 1 e 2x + c 2 xe 2x, Partikularni reseni hledam metodou variace konstant ve tvaru c 1(x)e 2x + c 2(x)xe 2x = 0
1 Urcete vsechna maximalni reseni: y + 4y + 4y = e 2x x + 1 Definicni obor: x 1, tj. resim na intervalech (, 1) a ( 1, ) Charakteristicky polynom λ 2 + 4λ + 4 ma dvojnasobny koren -2, tedy tvar homogenniho
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 7/8 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný,
metoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
Derivace funkce a parciální derivace
Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce jedné proměnné Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Parciální derivace. p.1/18 Derivace funkce jedné proměnné Příklad 3.1.1 Vypočtěte z definice
Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.
Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A
Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2016/17 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 6/7 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Spojitost a limita funkce, limita posloupnosti
Spojitost a ita funkce, ita posloupnosti Spojitost funkce Limita funkcí Limita posloupností. p.1/14 Spojitost funkce Příklad 2.1.1 Vyšetřete spojitost funkce x sin 1 pro x 0, f(x) = x 1 pro x =0. Příklad
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Derivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.
![Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.](/thumbs/92/109752097.jpg "Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.")
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
Primitivní funkce, určitý integrál, nevlastní integrály
Primitivní funkce, určitý integrál, nevlastní integrály Program Maple může být velmi dobrým pomocníkem při hledání primitivních funkcí i při výpočtu určitých integrálů. Přesto se neobejdeme bez dobré znalosti
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
metodou Monte Carlo J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha
Výpočet obsahu plošných obrazců metodou Monte Carlo J. Löwit, Gymnázium Českolipská, Praha jakub.lowit@gmail.com J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha matenajakub@gmail.com J. Novotná, Gymnázium, Chomutov
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet. Substituce v určitém integrálu VY_32_INOVACE_M0311
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..7/.5./. Zlepšení podmínek pro výuku
Primitivní funkce, určitý integrál, nevlastní
Počítačový algebraický systém Maple jako pomůcka při studiu předmětu Matematika I a II. Primitivní funkce, určitý integrál, nevlastní integrály Program Maple může být velmi dobrým pomocníkem při hledání
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Spojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
x + 6 2x 8 0. (6 x 0) & (2x 8 > 0) nebo (6 x 0) & (2x 8 < 0).
Opáčko - Řešení. a) Podíl vlevo není definovaný pro x 8 = 0, a tedy dostáváme podmínku na řešení x. Jedničku převedeme na levou stranu nerovnosti, převedeme na společný jmenovatel a dostáváme Nerovnost
Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde
Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými